ISSN 1984-8218
Uma Ordem Total para Números Fuzzy Triangulares Simétricos∗
Tiago C. Asmus
Graçaliz P. Dimuro
Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional, Programa de Pós-Graduação em Computação
Centro de Ciências Computacionais, Universidade Federal do Rio Grande, 96201-900, Rio Grande, RS
E-mail: tiagoasmus@gmail, [email protected]
RESUMO
A teoria dos conjuntos fuzzy tem sido utilizada para o tratamento de incertezas, principalmente
aquelas associadas à variáveis linguísticas, quando fica difícil determinar a pertinência ou não de um
elemento a um conjunto. Assim, dado um subconjunto F de um universo U , essa condição de pertinência
vaga, difusa, incerta, de um elemento x do universo U ao subconjunto F é traduzida através de uma
função de pertinência ϕF : U → [0, 1], onde o grau de pertinência de x a F é um número ϕF (x) entre 0
e 1. Um subconjunto fuzzy F de U pode ser representado por um conjunto de pares ordenados da forma
(x, ϕF (x)), com x ∈ U , atribuindo assim um grau de pertinência em F para cada elemento do domínio
de U . Chama-se de suporte de F o conjunto suppF = {x ∈ U |ϕF (x) > 0}. Denominam-se alfa-níveis
de F os subconjuntos clássicos de U definidos por F [α] = {x ∈ U |ϕF (x) ≥ α}, para 0 < α ≤ 1, e, para
α = 0, o alfa-nível de F é definido como o fecho do suporte, isto é, F [0] = supp
\F . Um subconjunto de
números reais F̄ é chamado de número fuzzy se todos todos alfa-níveis de F̄ forem intervalos fechados,
não vazios, e seu o suporte for limitado. [3]
Números fuzzy podem modelar variáveis linguísticas nos mais variados tipos de problemas. Em
particular, podem-se utilizar números fuzzy no processo de tomada de decisão estratégica, à luz da teoria
dos jogos. Muitas situações de interação estratégica envolvem recompensas (ou possíveis prejuízos),
onde qualquer diferença de valores é relevante. Quando há incerteza nesse tipo de problema, utilizam-se
números fuzzy para representar expressões como “em torno de”, ou “aproximadamente”, para dar mais
segurança ao processo de tomada de decisão. [1]
Uma etapa inerente de qualquer tomada de decisão estratégica é a comparação de recompensas, para
determinar qual a maior delas para se maximizar os ganhos. Existem muitos métodos de ordenação de
números fuzzy, no entanto, poucos são definidos por ordens totais, pela infinidade de formas que esses
números podem assumir [5]. Assim, neste trabalho, consideram-se apenas números fuzzy triangulares
simétricos, que representam a expressão “em torno de”. Justifica-se esta escolha tendo em vista a sua
aplicação para o cálculo de probabilidades fuzzy, na proposta de Buckley [4], utilizada em nosso trabalho
sobre jogos bayesianos fuzzy [2].
O objetivo deste trabalho é introduzir uma relação de ordem total para números fuzzy triangulares
simétricos. Além da grandeza numérica do número fuzzy, o método também analisa a imprecisão contida
nesse número.
Dados os números fuzzy triangulares simétricos F¯1 = (a1 /c1 /b1 ), F¯2 = (a2 /c2 /b2 ), seus respectivos alfa-cortes podem ser representados por F¯1 [α] = [(c1 − a1 )α + a1 , (c1 − b1 )α + b1 ] e
F¯2 [α] = [(c2 − a2 )α + a2 , (c2 − b2 )α + b2 ], a relação de igualdade entre esses números é dada por:
F¯1 = F¯2 ⇔ a1 = a2 ∧ b1 = b2 ∧ c1 = c2 .
(1)
Para definir a relação <, são estipuladas 4 condições que abrangem todas as possibilidades de posicionamento entre 2 números fuzzy triangulares simétricos distintos, levando em consideração ainda um
grau de imprecisão 0 ≤ ρ ≤ determinado de acordo com o problema modelado. Então, define-se:
∗
Apoio financeiro do CNPq (Proc. 483257/09-5, 560118/10-4, 476234/2011-5), FAPERGS (Proc. 11/0872-3) e CAPES.
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F¯1 < F¯2 ⇔ (a1 < a2 ∧ b1 ≤ b2 ∧ c1 < c2 )
(2)
∨ (a1 < a2 ∧ b2 < b1 ∧ c1 ≤ c2 )
∨ [a1 ≤ a2 ∧ b2 < b1 ∧ c2 < c1 ∧ ∀ 0 ≤ α ≤ ρ : (c1 − a1 )α + a1 ≤ (c2 − a2 )α + a2 ]
∨ [a2 ≤ a1 ∧ b1 < b2 ∧ c1 < c2 ∧ ∃ 0 ≤ α ≤ ρ : (c1 − a1 )α + a1 ≤ (c2 − a2 )α + a2 ].
A relação ≤, definida pelas equações (1) e (2) para quaisquer F¯1 e F¯2 , é uma relação de ordem total,
pois possui as propriedades de reflexão, anti-simetria, transitividade e, principalmente, totalidade.
Para exemplificar, considera-se F¯1 = (0/5/10) e F¯2 = (3/4/5), representados através de seus alfaníveis como F¯1 [α] = [5α, 10 − 5α] e F¯2 [α] = [α + 3, 5 − α]. Para que a ordenação seja possível, deve-se
escolher um 0 ≤ ρ ≤ 1, que vai determinar o quanto a precisão da informação contida no número fuzzy
vai ser relevante para a ordenação.
Assumindo ρ = 0.8, tem-se que F¯2 < F¯1 , pois 0 ≤ 3, 5 < 10, 4 < 5 e ∃0 ≤ α ≤ 0.8 : α + 3 ≤ 5α.
No entanto, ao tomar ρ = 0.6 a situação se inverte, pois 0 ≤ 3, 5 < 10, 4 < 5 e ∀ 0 ≤ α ≤ 0.6 : α + 3 ≤
5α, logo, F¯1 < F¯2 . Veja a representação gráfica desses exemplos na Figura 1.
Figura 1: Representação gráfica dos números F¯1 = (1/5/9) e F¯2 = (6/7/8).
O método de ordenação aqui apresentado se mostra bastante prático e de simples aplicação, pois não
carece de funções auxiliares e se limita a comparar os valores chaves dos números fuzzy envolvidos,
levando em consideração um grau de imprecisão. Finalmente, por representar uma relação de ordem
total, o método é ideal para utilização em problemas em que a total ordenação é importante, tais como
a determinação de solução de equilíbrio na teoria dos jogos ou a ordenação de prioridades em bases de
conhecimento, evitando possíveis incertezas em um processo de tomada de decisão.
Palavras-chave: Conjuntos Fuzzy, Números Fuzzy, Ordenação de Números Fuzzy
Referências
[1] W. Amaral and F. Gomide, A coevolutionary approach to solve fuzzy games, In “Granular Computing: At the Junction of Rough Sets and Fuzzy Sets” (R. Bello, R. Falcón, W. Pedrycz, and
J. Kacprzyk, eds) pp. 121 – 130, Springer, Berlin, 2008.
[2] T.C. Asmus and G.P. Dimuro, On fuzzy probabilities in bayesian games, In “Proceedings of
2011 Workshop-School on Theoretical Computer Science” (S.A. Costa, L.Foss, M.S. Aguiar, G.P.
Dimuro, and A.C.R. Cosa, eds.) pp. 25 –31, IEEE, Los Alamitos, 2011.
[3] L.C. Barros and R.C. Bassanezi, “Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática”, UNICAMP/IMECC,
Campinas, 2010.
[4] J.J. Buckley, “Fuzzy Probabilities: New Approach and Applications”, Springer, Berlin, 2005.
[5] A.M. Nejad and M. Mashinchi, Ranking fuzzy numbers based on the areas on the left and the right
sides of fuzzy number, Computers & Mathematics with Applications 61(2) (2011) 431 – 442.
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