EXERCÍCIOS BÁSICOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Exercícios resolvidos
Sendo A=[1;7] e B=[3;9[, determine os conjuntos abaixo:
a)
Analisando as retas abaixo, constatamos que a intersecção entre A e B
é dada pela área compreendida entre as retas azuis.
Logo:
= [3;7]
b)
Novamente analisando as retas, consta-se que a união entre A e B é
dada pela área compreendida entre as retas vermelhas, não contando
9, pois [3;9[
Logo:
= [1;9[
Representar na reta real os intervalos:
a) [1;7]
b) [3;9[
Veja que o ponto 9 não estar incluído.
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) Sendo A=]-1;3] e B=[3;5[, determine:
a)
b)
2) Sendo A=[1;4] e B=]-1;2], determine:
a)
b)
3) Represente na reta real os seguintes intervalos:
a) ]-3;4]
b) [1;4]
c) [2;
[
d) ]-
;1]
CÁLCULO ALGÉBRICO
1) Calcular:
Exemplo: (3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2) = 3x²+2x-1-2x²+4x+2 = x²+6x+1
a) (3a-2b+c) + (-6a-b-2c) + (2a+3b-c)
b) (3x²-1/3) - (6x²-4/5)
c) (2a-3ab+5b) - (-a-ab+2b)
2) Efetue e simplifique:
Exemplo: (2x+3).(4x+1) = 8x²+2x+12x+3 = 8x²+14x+3
a) (2a+3b).(5a-b)
b) (x-y).(x²-xy+y²)
c) (3x-y).(3x+y).(2x-y)
3) Simplifique:
Exemplo: 10x³y²/5x²y = 2xy
a) 8a³b²/2ab²
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
b) 4a³-2a²+8a / 2a
c) 18x³y²/6x²y³
4) (Fuvest) O valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10, x=3 e y=1 é:
(a) 100
(b) 50
(c) 250
(d) -150
(e) -200
5) (Fuvest) Se A=(x-y)/xy, x=2/5 e y=1/2, então A é igual a:
(a) -0,1
(b) 0,2
(c) -0,3
(d) 0,4
(e) -0,5
Respostas dos testes: 4)E, 5)E
PRODUTOS NOTÁVEIS
1) Calcule os produtos notáveis:
a) (a+2)(a-2)
b) (xy+3z)(xy-3z)
c) (x²-4y)(x²+4y)
d)
e) (x+3)²
f) (2a-5)²
g) (2xy+4)²
h)
i) (x+4)³
j) (2a+b)³
l) (a-1)³
Exercício resolvido: Calcule 41.39 usando um produto notável.
(40+1)(40-1) = 40² -1² = 1.599
2) Calcule 101.99 usando um produto notável.
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
FATORAÇÃO
1) Fatorar, colocando os fatores comuns em evidência:
Exemplos:
ax+2a = a(x+2)
a²-b² = (a+b)(a-b)
a² - 4ab + 4b² = (a-2b)²
2x²-2 = 2(x²-1) = 2(x+1)(x-1)
a) 3ax-7ay
b) x³ -x² + x
c) x³y² + x²y² + xy²
d) a²b² - ab³
e) a² + ab + ac + bc
f) x² - b²
g) x²-25
h) (x²/9 - y²/16)
i) x² + 4x + 4
j) a² + 6ab + 9b²
l) 144x²-1
m) ab + ac + 10b + 10c
n) 4a² - 4
o) x³y - xy³
p) x² + 16x + 64
q) 2x² + 4x + 2
r) ax³ + 2a²x² + a³x
Resolução do exercício (e) a² + ab + ac + bc = a.(a+b) + c.(a+b) = (a+b).(a+c)
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
1) Ache o mínimo múltiplo comum (mmc) de:
a) (x²-9) e (x²+6x+9)
b) (x²+x), (x²-x) e (x³-x)
c) (x²-4), (x²-4x+4) e (x²+4x+4)
2) Simplificar:
a)
b)
c)
d)
3) Efetuar:
a)
b)
4) Efetuar as multiplicações:
a)
b)
c)
d)
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e)
5) Efetuar as divisões:
a)
b)
c)
d)
EQUAÇÃO DO 1º GRAU
1) Resolva as seguinte equações:
Exemplo: 2(2x+7) + 3(3x-5) = 3(4x+5) -1
Aplicando a propriedade distributiva:
4x+14+9x-15=12x+15-1
4x+9x-12x=15-1+15-14
x=15
Portanto V={15}
a) 2x-3=17
b) 4x+7=x-8
c) 3-7(1-2x)=5-(x-9)
d) 3-7(1-2x)=5-(x-9)
e)
[Sugestão]: Ache o mmc e elimine o denominador
f)
g)
Respostas: (e)1; f)2/7; g)15/2
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
1) Resolver os seguintes sistemas:
a)
b)
c)
d)
2) Problemas com sistemas já montados:
a) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés.
Quantas são as galinhas e os coelhos?
x+y=23
2x+4y=82
b) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas
idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma?
x+y=25
x-y=13
c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do
menor, menos 1. Quais são os números?
x+y=50
x=2y-1
d) Duas pessoas ganharam juntas, 50 reais por um trabalho e uma delas
ganhou 25% do que a outra. Quanto ganhou cada pessoa?
x+y=50
x=1/4y
e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e duas
canetas juntas custam 30. Qual o preço da caneta e da lapiseira?
x=2y
x+y=30
3) (Fuvest) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da
água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é?
(A) 20g
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(B) 25g
(C) 35g
(D) 40g
(E) 45g
4) (F.C.CHAGAS) Somando-se os 2/3 de um número x como os 3/5 do
número y, obtém-se 84. Se o número x é metade do número y, então a
diferença y-x é igual a:
(A) 18
(B) 25
(C) 30
(D) 45
(E) 60
Respostas dos testes: 3)C, 4)D
RAÍZES E RADICAIS
1) Dê o valor de cada radical no campo dos número reais. Caso não
exista, escreva: não existe.
a)
h)
b)
i)
c)
j)
d)
l)
e)
m)
f)
n)
g)
o)
Não existem: (b), (h)
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
2) Aplicação das propriedades:
Exemplo 1:
a)
b)
c)
d)
[Nota]: 25 = 5²
e)
Exemplo 2:
f)
g)
[Nota]:
h)
i)
j)
Exemplo 3:
l)
m)
n)
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Exemplos 4:
;
o)
p)
q)
r)
Exemplo 5:
s)
t)
Exemplo 6:
u)
v)
x)
z)
Exemplo 7:
a`)
b`)
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c`)
d`)
Exemplos 8:
e`)
f`)
g`)
h`)
i`)
POTENCIAÇÃO
1) Efetuar, observando as definições e propriedades:
a) (-2)³
i)
b)
j) (0,5)³
c) 500¹
l) 15¹
d) 100º
m)
e) 0³
n)
f) 0º
g)
h)
o)
p)
q)
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
2) (Fuvest) O valor de
(a) 0,0264
(b) 0,0336
(c) 0,1056
(d) 0,2568
(e) 0,6256
, é:
3) (Fei) O valor da expressão
(a) -5/6
(b) 5/6
(c) 1
(d) -5/3
(e) -5/2
é:
4) (UECE) O valor de
(a) -15/17
(b) -16/17
(c) -15/16
(d) -17/16
é
5) (F.C. CHAGAS) Simplificando-se a expressão
se:
(a) 0,16
(b) 0,24
(c) 1,12
(d) 1,16
(e) 1,24
Respostas dos testes: 2) B; 3) E; 4)B; 5) D
RACIONALIZAÇÃO
1) Racionalize o denominador de cada fração:
a)
p)
b)
q)
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, obtém-
EXERCÍCIOS BÁSICOS
c)
r)
d)
s)
e)
t)
f)
u)
g)
v)
h)
w)
i)
x)
j)
y)
k)
z)
l)
a`)
m)
b`)
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n)
c`)
o)
d`)
2) (Fuvest)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Resp: 2)D
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
1) Complete o quadro conforme o exemplo:
Equação
6x²-3x+1=0
-3x²=5/2+4x
y²=5y
6x²=0
a
6
Coeficientes
b
-3
2) Determine as raízes das seguintes equações:
a) x²-3x+2=0
b) 2y²-14y+12=0
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c
1
EXERCÍCIOS BÁSICOS
c) -x²+7x-10=0
d) 5x²-x+7=0
e) y²-25=0
f) x²-1/4=0
g) 5x²-10x=0
h) 5+x²=9
i) 7x²-3x=4x+x²
j) z²-8z+12 = 0
2) Determine o valor de k nas equações, de modo que:
a) x² - 12x + k = 0 , tenha duas raízes reais e iguais
b) 2x² - 6x +3k = 0, não tenha raízes reais
c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais
d) kx² - 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes.
3) Complete o quadro:
Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = b/a
Produto das raízes de uma equação do 2º grau =
c/a
Equação
x² - 6x + 9 = 0
x² - 2x + 3 = 0
2x² + 5x - 8 = 0
x² + 5x -24=0
Soma das
raízes
6
Produto das
raízes
9
-5
5
-6
24
-6
-3
4) Dê o conjunto solução das seguintes equações fracionárias:
a)
b)
c)
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d)
e)
f)
5) Dê o conjunto solução das seguintes equações literais:
a) x² - (a+1) + x = 0
b) x² - (a+m) + am = 0
c) y² - by - 2b³ = 0
d) ax² - (a²+1) + a = 0
e) x² - 3rx + 2r² = 0
6) Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas:
a)
b)
c)
d)
e)
7) Resolução de equações irracionais:
Primeiramente devemos eliminar o radical
Eleve ambos os membros ao quadrado para eliminar o radical
Exemplo:
x - 1 = x² - 6x + 9
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
x² - 7x +10 = 0
Aplicando a fórmula de Bháskara, encontramos as raízes x=5, x`=2
Verificação: Substitua os valores das raízes em ambos os membros
e verifiquem se a igualdade é satisfeita
Para x=5
1º membro:
2º membro: x-3 = 5-3 = 2
Como o 1º membro é igual ao 2º membro, X1=5 é solução da
equação.
Para X2=2
1º membro:
2º membro: x-3 = 2-3 = -1
Como o 1º membro é diferente do 2º membro, x`=2 não é solução
da equação
Portanto, V={5}
Nunca se esqueçam de fazer a verificação...
a)
b)
c)
d)
e)
8) (UFSC) A soma das raízes da equação x²-28/6 = 7x/2 - x/2 é?
Resposta: 8) 11
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
1) Represente graficamente a função
definida por:
a) f(x) = 2x-1
b) f(x) = -1/2x+3
c) f(x) = 4x
d) f(x) = 1/3x+2
e) f(x) = -3x+6
2) Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes
equações:
a) f(x) = 2x+5
b) f(x) = -x+2
c) f(x) = 1/3x+3
d) f(x) = 1-5x
e) f(x) = 4x
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
Determine a expressão da função representada pelo gráfico
abaixo:
Uma equação do 1º grau é definida por y=ax+b com
Pelo gráfico, conclui-se que:
Quando x=0, y=2; portanto, o valor de b na expressão é igual
a2
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
Quando y=0, x=-4 (raiz ou zero da função)
Substituindo os valores em y=ax+b:
0 = -4a + 2
a = 1/2
Logo, a expressão é y = 1/2x+2.
3) As figuras abaixo representam os gráficos de funções, de R
em R, determine as expressões que as definem.
a)
b)
Respostas: 3: a) y= -1/2x+2; b) y = x-1
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
FUNÇÃO DO 2º GRAU
1) As equações abaixo definem funções do 2º grau. Para cada uma
dessas funções, ache as coordenadas do vértice que a representa:
a) f(x)= x² - 4x + 5
b) f(x)= x² +4x - 6
c) f(x)= 2x² +5x - 4
d) f(x)= -x² + 6x - 2
e) f(x)= -x² - 4x +1
2) Determine, se existirem, os zeros reais das funções seguintes:
a) f(x)= 3x² - 7x + 2
b) f(x)= -x² + 3x - 4
c) f(x)= -x² + 3/2x + 1
d) f(x)= x² -4
e) f(x)= 3x²
Não existe zeros em (b)
3) Construa o gráfico das seguintes funções:
a) f(x)= x² - 16x + 63
b) f(x)= 2x² - 7x + 3
c) f(x)= 4x² - 4x +1
d) f(x)= -x² + 4x - 5
e) f(x)= -2x² +8x- 6
4) Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a
bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos,
de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t.
a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima?
[Nota]: observem o vértice
b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola?
c) Esboce o gráfico que represente esta situação.
Respostas: 4: a)4s; b) 16m]
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
PROBLEMAS
Exercício resolvido: O problema clássico das torneiras
Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma torneira B,
enche o mesmo tanque sozinha em 15h. Em quanta horas as duas
torneiras juntas encherão o tanque?
Sendo V a capacidade do tanque em 1 hora:
A enche V/10 do tanque; B enche V/15 do tanque
A e B enchem juntas: V/10 + V/15 = V/6
Sendo t o tempo em que as duas juntas enchem o tanque: V/6.t =
V
Portanto t = 6horas
1) (Fuvest) O dobro de um número, mais a sua terça parte, mais a
sua quarta parte somam 31. Determine o número.
2) (Vunesp) Uma certa importância deve ser dividida entre 10
pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre 8
dessas pessoas, cada uma destas receberia R$5.000,00 a mais.
Calcule a importância.
3) (Unicamp) Roberto disse a Valéria: "pense um número, dobre
esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2.
Quanto deu?". Valéria disse "15", ao Roberto que imediatamente
revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse
número.
4) Obter dois números consecutivos inteiros cuja soma seja igual a
57.
5) (F.C.CHAGAS) Por 2/3 de um lote de peças iguais, um
comerciante pagou R$8.000,00 a naus do que pagaria pelos 2/5 do
mesmo lote. Qual o preço do lote todo?
6) Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um tanque.
Outra torneira sozinha gasta 5min para encher o mesmo tanque.
Em quanto tempo, as duas torneiras juntas enchem esse tanque?
Respostas: 1)12; 2)R$200.000,00; 3)9; 4)28 e 29; 5) R$30.000,00; 6) 4min
7) A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é 35.
Qual é o número?
8) Qual é o número que, adicionado ao triplo do seu quadrado, vale
14?
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
9) A metade do quadrado de um número menos o dobro desse
número é igual a 30. Determine esse número.
10) Se do quadrado de um número subtrairmos 6, o resto será 30.
Qual é esse número?
11) O produto de um número positivo pela sua terça parte é igual a
12. Qual é esse número?
12) Determine dois números consecutivos ímpares cujo produto
seja 195.
13) A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 anos e o produto
de suas idades é 270. Qual é a idade de cada um?
14) Qual é o número inteiro positivo cuja metade acrescida de sua
terça parte é igual ao seu quadrado diminuído 134?
15) Calcule as dimensões de um retângulo de 16cm de perímetro e
15cm² de área.
16) A diferença de um número e o seu inverso é 8/3. Qual é esse
número?
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