FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma
correspondência:
Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro
elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao
segundo conjunto dado.
Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a
correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se
associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim
;
;
.A
correspondência por pares ordenados seria:
NOÇÕES DE FUNÇÃO:
Considere os diagramas abaixo:
1
2
3
4
5
Condições de existência:
(1) Todos os elementos de x têm
um correspondente em y.
(2) Cada elemento de x tem um
e somente um correspondente
em y.
Analisando os diagramas acima:
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
O diagrama 1 não satisfaz a condição (1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a
condição (2).
Logo, somente o diagrama 2 representa uma função.
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM:
Observe o diagrama a seguir:
Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados será:
f={(1,2),(2,3),(3,4)}
O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.
D(F)=X
O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.
C(F)=Y
Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.
f(1)=2
Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.
Logo o conjunto das imagens de f e dado por:
Im(f)={2,3,4}
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
DETERMINAÇÃO DE FUNÇÃO:
OBSERVE:
1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:
2) Associe cada elemento de X com a sua capital.
3) Determine o conjunto imagem de cada função:
a) D(f) = {1,2,3}
y = f(x) = x + 1
[Sol] f(1) = 1+1 = 2
f(2) = 2+1 = 3
f(3) =3+1 = 4
Logo: Im(f)={2,3,4}
b) D(f) = {1,3,5}
y = f(x) = x²
[Sol] f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25
Logo: Im(f)={1,9,25}
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
PLANO CARTESIANO
Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em 0, os quais determinam o plano
A.
Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas
retas:
x // x' e y // y'
Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'
Nessas condições, definimos:
- Abscissa de P é um número real representado por P1
- Ordenada de P é um número real representado por P2
- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de
par ordenado ( x' , y' )
- O eixo das abscissas é o eixo x
- O eixo das ordenadas é o eixo y
- A origem do sistema é o ponto 0
- Plano cartesiano é o plano A.
Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau!
Exemplo:
Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele
recebe de comissão 50 reais por produto vendido.
a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em
função do número x de produto vendido.
[Sol] y=salário fixo + comissão
y=500 + 50x
b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?
[Sol] y=500+50x , onde x=4
y=500+50.4 = 500+200 = 700
c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
[Solução] y=500+50x , onde y=1000
1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10
A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º
grau, sendo dada por:
y=f(x)=ax+b com
,
e
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU:
O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.
EXEMPLO:
1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
[Solução] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes
para y.
O conjunto dos pares ordenados determinados
é f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}
x y=f(x)=x+1
-2
-1
-1
0
0
1
1
2
2
3
2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.
[Solução] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes
para y.
x y=f(x)=-x+1 O conjunto dos pares ordenados
determinados é f={(-2,3),(-2
3
1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}
-1
2
0
1
1
0
2
-1
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
Gráficos crescente e decrescente respectivamente:
y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a = 1
Função crescente
y = -x+1 ( a<0 ); onde a=-1
Função decrescente
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU:
Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau,
definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta
obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x,
que terá como coordenada o par ordenado (x,0).
1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.
[Solução] Basta determinar o valor de x para termos y=0
x+1=0 » x=-1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.
Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a
raiz da função.
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Solução] Fazendo y=0, temos: 0 = -x+1 » x = 1
Gráfico:
Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a
raiz da função.
SINAL DE UMA FUNÇÃO DE 1º GRAU:
Observe os gráficos:
a>0
a<0
Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo
sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
EXEMPLOS:
1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.
a) y=f(x)=x+1
[Solução] x+1>0 » x>-1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1
x+1<0 » x<-1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1
b) y=f(x)=-x+1
[Solução] * -x+1>0 » -x>-1 » x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1
-x+1<0 » -x<-1 » x>1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)
DETERMINANDO UMA FUNÇÃO AFIM
Descobrindo a lei de formação de uma função afim, conhecendo apenas os
valores de dois pontos. Para isso, veremos as expressões para determinarmos os
coeficientes por meio de uma expressão que depende apenas dos valores de cada
ponto.
Vamos determinar a função que passa por dois pontos. Para isso, precisamos
encontrar as coordenadas destes dois pontos, sendo que a coordenada y’ é
determinada pelo valor da função na coordenada x’ (x1, f(x1)), (x2, f(x2)).
Pela definição de função afim, temos que ela é determinada pela seguinte
expressão f(x)=ax+b, ou seja, para determinar tal função, basta encontrarmos os
coeficientes a, b. Veremos que para descobrir estes coeficientes precisamos apenas
de dois pontos e o valor da função nesses pontos.
Antes de mostrarmos a expressão do caso geral, vejamos como proceder em um
exemplo.
Com f(1)=4 e f(2)=6, temos, então, dois pontos e os valores da função nestes
pontos.
Para f(1) temos: f(1) = 4 = a.1+b
Para f(2) temos: f(2) = 6 = a.2+b
Destacaremos essas duas relações de igualdade:
6=2a+b (-), se subtrairmos uma igualdade da outra, teremos o seguinte
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
resultado:
4=a+b
2=a,
ou seja, a é igual a 2. Descobrimos o valor de um dos coeficientes. Para
encontrarmos o outro, basta substituirmos o resultado em uma das igualdades.
Usaremos a segunda:
4=a+b
como a=2 teremos , 4=2+b assim teremos, b=2
Como f(x)=ax+b e a=2 e b=2, temos que esta função, para f(1)=4 e f(2)=6,
será a seguinte:
f(x)=2x+b.
Mas este é o processo realizado para um caso específico. Como seria a expressão
para determinarmos os valores dos coeficientes de qualquer função? Veremos
agora.
Seja y1=f(x1) e y2=f(x2), sendo estes pontos, pontos distintos. Teremos que a
expressão destes pontos será dada da seguinte forma:
y1=f(x1)=ax1+b
y2=f(x2)=ax2+b, faça a subtração da expressão debaixo pela de cima. Com isso,
teremos:
Tendo a expressão para o coeficiente a, substituiremos a expressão para esse
coeficiente em y1.
Desta forma, veja que as expressões para os coeficientes a, b, são determinadas
apenas pelos valores dos pontos, valores estes que conhecemos.
Desta forma, fica demonstrado que é possível determinar uma função afim,
conhecendo apenas os valores de dois pontos.
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
COEFICIENTE LINEAR DE FUNÇÃO DO 1º GRAU
As funções do tipo f(x) = y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0,
são consideradas do 1º grau. Ao serem representadas no plano cartesiano,
constituem uma reta crescente ou decrescente. E no caso de a = 0, a função é
chamada de constante.
Uma função possui pontos considerados essenciais para a composição correta de
seu gráfico, e um desses pontos é dado pelo coeficiente linear da reta representado
na função pela letra b, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo
das ordenadas (y).
Nas funções a seguir, observe o valor numérico do coeficiente linear e o gráfico
representativo da função:
y=x+1
b=1
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
y = –x – 1
b = –1
y = 2x + 4
b=4
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
y = 2x – 4
b=–4
y = 6x – 3
b=–3
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
y = 5x
b=0
APLICAÇÕES DE FUNÇÃO DE 1º GRAU
APLICAÇÃO 1
Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.
Condições dos planos:
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num
certo período.
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num
certo período.
Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas
x dentro do período pré – estabelecido.
Vamos determinar:
a) A função correspondente a cada plano.
b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os
dois se equivalem.
a) Plano A: f(x) = 20x + 140
Plano B: g(x) = 25x + 110
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
b) Para que o plano A seja mais econômico:
g(x) > f(x)
25x + 110 > 20x + 140
25x – 20x > 140 – 110
5x > 30
x > 30/5
x>6
Para que o Plano B seja mais econômico:
g(x) < f(x)
25x + 110 < 20x + 140
25x – 20x < 140 – 110
5x < 30
x < 30/5
x<6
Para que eles sejam equivalentes:
g(x) = f(x)
25x + 110 = 20x + 140
25x – 20x = 140 – 110
5x = 30
x = 30/5
x=6
O plano mais econômico será:
Plano A = quando o número de consultas for maior que 6.
Plano B = quando número de consultas for menor que 6.
Os dois planos serão equivalentes quando o número de consultas for igual a 6.
APLICAÇÃO 2
Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo
variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias
produzidas, determine:
a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças;
b) Calcule o custo de produção de 400 peças.
Respostas
a) f(x) = 1,5x + 16
b) f(x) = 1,5x + 16
f(400) = 1,5*400 + 16
f(400) = 600 + 16
f(400) = 616
O custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00.
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
APLICAÇÃO 3
Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 0,90 por quilômetro
rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros
rodados, calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22
quilômetros?
f(x) = 0,9x + 4,5
f(22) = 0,9*22 + 4,5
f(22) = 19,8 + 4,5
f(22) = 24,3
O preço a pagar por uma corrida que percorreu 22 quilômetros é de R$ 24,30
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