Limites Trigonométricos Resolvidos
Sete páginas e 34 limites resolvidos
senx
=1
x→0 x
Usar o limite fundamental e alguns artifícios :
lim
0
x
x
lim
= , é uma indeterminação.
=? à
x →0 sen x
x → 0 sen x
0
x
1
1
x
lim
= lim
=
= 1 logo lim
=1
sen x
x →0 sen x
x →0 sen x
x → 0 sen x
lim
x→0
x
x
sen 4 x
sen 4 x
sen 4 x 0
sen y
à lim 4.
= 4. lim
= ? à lim
=
=4.1= 4
2. lim
x →0
y →0
x→0
x→0
0
4x
y
x
x
sen 4 x
lim
=4
x→0
x
sen 5 x
5 sen 5 x
5 sen y 5
sen 5 x
= ? à lim .
logo lim
3. lim
= lim .
=
x →0 2 x
x →0 2
y
0
x
→
0
→
2
y
5x
2
2x
1. lim
sen mx
=
x →0
nx
4. lim
sen 3 x
x →0 sen 2 x
5. lim
x→0
logo
senmx
=
sennx
? à
sen y
m
. lim
n y →0 y
=
=
m
m
.1=
n
n
=
5
2
sen mx m
=
x →0
nx
n
sen y
sen 3 x
sen 3 x
sen 3 x
lim
3.
lim
→
y
0
sen 3 x
3
y
3
x
→
0
3x = .
3x = .
lim
= lim x = lim
= .1 =
sen
t
sen
2
x
x →0 sen 2 x
x → 0 sen 2 x
x→0
sen 2 x
2
2
lim
lim
2.
x→0 2 x
t →0 t
x
2x
sen 3 x 3
lim
=
x →0 sen 2 x
2
sen mx
sen mx
sen mx
m.
sen mx
m mx
m
x
mx
lim
= lim
= lim
=
Logo
= lim .
sen nx
x →0 sen nx
x →0 n sen nx
x → 0 sen nx
x →0
n
n.
nx
nx
x
? à lim
=? à
3
2
6. lim
sen mx
m sen mx
= lim .
x →0
x→0 n
nx
mx
logo
logo lim
senmx m
=
x → 0 sennx
n
lim
7.
8.
sen x
0
tgx
tgx
tgx
sen x 1
lim
= ?
à lim
=
= lim cos x = lim
. =
à lim
x→ 0 x
x→ 0 x
x→ 0 x
x→ 0
x → 0 cos x x
0
x
tgx
sen x
1
sen x
1
=1
lim
.
= lim
. lim
= 1 Logo lim
x→ 0
x→ 0
x → 0 cos x
x→ 0 x
x
cos x
x
x → 1
0
tg (t )
tg a 2 − 1
tg a 2 − 1
=
?
à
=
lim
lim
à Fazendo t = a 2 − 1, 
à lim
=1
2
2
a →1 a − 1
a →1 a − 1
t
→
0
t
→
0
0
t

(
)
logo lim
a →1
(
(
)
) =1
tg a 2 − 1
a2 −1
1
Limites Trigonométricos Resolvidos
Sete páginas e 34 limites resolvidos
9. lim
x →0
x − sen 3 x
x + sen 2 x
= ? à lim
x →0
x − sen 3 x
x + sen 2 x
0
0
=
à f (x ) =
x − sen 3 x
x + sen 2 x
=
 sen 3 x 
x.1 −

x 

=
 sen 5 x 
x.1 +

x 

sen 3 x 

sen 3 x
sen 3 x
x.1 − 3.

1 − 3.
1 − 3.
x
3
.

=
3. x
3.x = 1 − 3 = −2 = − 1 logo
à lim
sen 5 x
sen 5 x
x →0
sen 5 x 
1+ 5
6
3

1 + 5.
1 + 5.
x.1 + 5.

x
x
5
.
5
.
x
5
.


x − sen 3 x
1
lim
=−
x →0 x + sen 2 x
3
1
sen x 1 sen 2 x
1
tgx − sen x
tgx − sen x
10. lim
=
?
à
lim
=
=
lim
.
.
.
3
3
2
x →0
x →0
x→0
x cos x x
1 + cos x 2
x
x
sen
x
−
sen
x
.
cos
x
sen x
− sen x
tgx − sen x cos x
sen x.(1 − cos x ) sen x 1 1 − cos x
cos x
. .
f (x ) =
=
=
=
=
3
3
3
x x 2 cos x
x 3 . cos x
x
x
x
sen x 1 1 − cos x 1 + cos x
.
.
.
x x 2 cos x 1 + cos x
tgx − sen x 1
Logo lim
=
x →0
2
x3
11. lim
=
1 + tgx − 1 + sen x
x →0
x
sen x 1 1 − cos 2 x
1
.
.
.
2
x cos x
1 + cos x
x
=? à
3
lim
tgx − sen x
x →0
x
3
sen x 1 sen 2 x
1
1
.
.
.
.
x →0 x
cos x x 2 1 + cos x 1 + tgx + 1 + sen x
lim
f (x ) =
lim
x →0
12.
1 + tgx − 1 + senx
x3
1 + tgx − 1 + sen x
x
3
sen x − sen a
lim
x→a
x−a
=
=
1 + tgx − 1 − sen x
x3
.
.
=
=
1
sen x 1 sen 2 x
.
.
.
2
x cos x x
1 + cos x
1
1 + tgx + 1 + sen x
1 1 1 1
1 1 2 2
= 1. . . . =
1
1 + tgx + 1 + sen x
=
=
1
4
tgx − sen x
x3
.
1
1 + tgx + 1 + sen x
1
4
=? à
sen x − sen a
lim
x→a
x−a
x − a . cos x + a 
)
 2 
2 .
lim
x→a
1
x−a
2.

 2 
=
x−a
x+a
2 sen
. cos

2


 2 =
lim
x→a
x−a
2.

 2 
2 sen(
= cos a
Logo lim
x→a
sen x − sen a
x−a
= cosa
2
Limites Trigonométricos Resolvidos
Sete páginas e 34 limites resolvidos
13. lim
a →0
sen ( x + a ) − sen x
a
= ? à lim
a →0
sen ( x + a ) − sen x
a
a
 2x + a 
2 sen  . cos

2
 
 2 
.
= cos x
lim
a→a
1
a
2. 
2
14.
sen ( x + a ) − sen x
a →0
a
Logo lim
lim
cos( x + a ) − cos x
a
1
1
−
sec x − sec a
cos
x
cos
a
= ? à lim
= lim
x→a
x→ a
x−a
x−a
a+ x
a−x
− 2. sen
. sen 

cos a − cos x
 2 
 2 =
lim
= lim
x → a ( x − a ). cos x. cos a
x→a
(x − a ). cos x. cos a
a+ x
a−x
− 2. sen 
 sen

1
 2 .
 2 .
lim
x→a
1
 a − x  cos x. cos a
− 2.

 2 
x2
=
x → 0 1 − sec x
16. lim
f (x ) =
−
x2
1
1−
cos x
1
1 − cos 2 x
x
2
=
=
=
=-senx
sec x − sec a
lim
x→a
x−a
sen a
1
.1 .
1
cos a. cos a
=
=cosx
x+a+ x
x−a− x
− 2 sen
. sen

cos( x + a ) − cos x
cos( x + a ) − cos x
2
2




lim
= ? à lim
= lim
a
→
0
a→0
a
→
0
a
a
a
 2x + a 
−a
−a
− 2. sen
sen
. sen


2x + a 
 2 
 2 
 2 
.
= − sen x Logo
lim
= lim − sen

a→0
a→0
−a
 2  −a
2.



 2 
 2 
a→0
15.
=
 x+a−x
 x+a+ x
2 sen
 . cos

2
2




.
lim
a→a
1
 x−a
2.

 2 
sen a 1
.
cos a cos a
=
Logo lim
x→a
1
? à lim
−
2
sen x
x2
1
1
.
.
cos x (1 + cos x )
sec x − sec a
x−a
=
1
x2
x 2 . cos x
=
=
(
1 − cos x ) 1 (1 + cos x )
cos x − 1
− 1.(1 − cos x )
−
.
.
cos x (1 + cos x )
cos x
x2
1
1
1
.
.
(
cos x 1 + cos x )
=
−
sen 2 x
x
2
.
=
a+x
a−x
sen
 sen

1
 2 
 2 
lim
.
.
x→ a
1
 a − x  cos x. cos a


 2 
= tga. sec a
x2
= lim
x→0
x → 0 1 − sec x
=
cos a − cos x
lim cos x. cos a
x→a
x−a
=
= tga. sec a
−2
=
1
1
.
(
cos x 1 + cos x )
3
Limites Trigonométricos Resolvidos
Sete páginas e 34 limites resolvidos
17.
1 − cot gx
lim
π 1 − tgx
x→
1 − cot gx
lim
π 1 − tgx
x→
=?à
−1.(1 − tgx )
tgx
lim
π
tgx
1
−
x→
= limπ −
4
1 − cos x
3
18. lim
x→
1
tgx
4
= −1
tgx − 1
tgx
= lim
π 1 − tgx
x→
x→
1 − cos x
3
sen 2 x
x→0
= lim
x →0
=
4
Logo limπ
4
= ? à lim
sen 2 x
x→0
=
4
4
1
tgx
lim
π
x → 1 − tgx
1−
1 − cot gx
1 − tgx
= -1
4
(1 − cos x ).(1 + cos x + cos 2 x ) =
1 − cos 2 x
(1 − cos x ).(1 + cos x + cos 2 x ) = lim 1 + cos x + cos 2 x = 3
1 − cos 3 x
3
Logo lim
=
2
x →0
x
0
x
→
0
→
(1 − cos x )(. 1 + cos x )
1 + cos x
2
2
sen x
sen x.(1 + 2. cos x )
sen 3 x
sen 3 x
19. lim
= ? à limπ
= limπ −
=− 3
π
lim
x→
1 − 2. cos x
x→
3
1 − 2. cos x
3
x→
1
3
(
)
sen 3 x
sen ( x + 2 x )
sen x. cos 2 x + sen 2 x. cos x
sen x. 2 cos 2 x − 1 + 2. sen x. cos x. cos x
=
=
=
=
1 − 2. cos x 1 − 2. cos x
1 − 2. cos x
1 − 2. cos x
sen x. 2 cos 2 x − 1 + 2 cos 2 x
sen x. 4 cos 2 x − 1
sen x.(1 − 2.cox )(
. 1 + 2.cox )
sen x.(1 + 2. cos x )
=
=−
= −
1 − 2. cos x
1 − 2. cos x
1 − 2. cos x
1
f (x ) =
[(
]
)
sen x − cos x
1 − tgx
4
20. lim
x →π
[
=? à
]
sen x − cos x
1 − tgx
4
lim
x →π
= lim (− cos x ) = −
x →π
4
sen x − cos x
f (x ) =
1 − tgx
sen x − cos x
sen x − cos x
sen x − cos x
=
=
=
sen x
sen x
cos x − sen x
1−
1−
cos x
cos x
cos x
sen x − cos x
cos x
−
= − cos x
.
1
cos x − sen x
21. lim (3 − x ). cos sec(πx ) = ? à lim (3 − x ). cos sec(πx ) = 0.∞
x→3
sen x − cos x
− 1.(sen x − cos x )
cos x
=
x→3
f (x ) = (3 − x ). cos sec(πx) = (3 − x ).
1
π . sen (3π − πx )
(3π − πx )
=
2
2
1
1
3− x
3− x
=
=
=
π
.
sen
3
π − πx )
(
sen (πx ) sen (π − πx ) sen (3π − πx )
π .(3 − x )
à lim (3 − x ). cos sec(πx ) = lim
x→3
x→3
1
π . sen (3π − πx )
(3π − πx )
1
x
 x → +∞

t → 0
=
=
1
π
1
1
22. lim x. sen( ) = ? à lim x. sen( ) = ∞.0
x→∝
x→∝
x
x
1
sen 
sen t
x
lim
= lim
=1
1
t →0 t
x →∝
x
à Fazendo t =
4
Limites Trigonométricos Resolvidos
Sete páginas e 34 limites resolvidos
π
1 + sen
2. sen 2 x + sen x − 1
2. sen 2 x + sen x − 1
1 + sen x
6 =
lim
=
23. lim
lim
=
=
?
à
2
π
x →π 2. sen 2 x − 3. sen x + 1
x →π − 1 + sen x
x →π 2. sen x − 3. sen x + 1
6
6
6
− 1 + sen
6
1

1
 sen x − .(sen x + 1)
1+
2
(sen x + 1) = 1 + sen x
2
2. sen x + sen x − 1
2 =−3 à
=
f (x ) =
=
2
1
1

2. sen x − 3. sen x + 1 
(sen x − 1) − 1 + sen x
−1+
 sen x − .(sen x − 1)
2
2

πx
πx
πx
24. lim(1 − x ).tg   = ? à lim(1 − x ).tg   = 0.∞ à f (x ) = (1 − x ).tg   =
→
x →1
x
1
2
2
 
 
 2 
2
2
π
2
.(1 − x ).
(
1 − x)
 π πx 
π
π
π =
à
(1 − x ). cot g  −  =
= 2
=
 π πx 
 π πx 
 π πx 
 π πx 
2 2 
tg  −  tg  − 
tg  −  tg  − 
2 2 
2 2 
2 2 
2 2 
π
 π πx 
.(1 − x )
 − 
2
2 2 
2
2
2
 πx 
π
lim(1 − x ).tg   = lim
=
Fazendo uma mudança de variável,
= π
(
)
tg
t
x →1
→
1
x
 π πx 
 2
π
tg  −  lim
 2 2  t →0 t
temos :
 π πx 
 − 
2 2 
π πx  x → 1
t= − 
2 x t → 0
1− x 2
=
x →1 sen (πx )
25. lim
f (x ) =
1− x 2
sen πx
=
1+ x
1− x 2
= lim
x →1 sen (πx )
x →1 π . sen (π − πx )
(π − πx )
? à lim
(1 − x )(. 1 + x ) =
sen (π − πx )
=
2
π
1+ x
1+ x
=
sen (π − πx ) π . sen (π − πx )
(1 − x )
π .(1 − x )
=
1+ x
π . sen (π − πx )
(π − πx )
π

π

26. lim cot g 2 x. cot g  − x  = ? à lim cot g 2 x. cot g  − x  = ∞.0
x →0
x
→
0
2

2

tgx
1 − tg 2 x 1 − tg 2 x
tgx
π

f (x ) = cot g 2 x. cot g  − x  = cot g 2 x.tgx =
=
= tgx.
=
2tgx
2.tgx
2
2

tg 2 x
1 − tg 2 x
1 − tg 2 x
π

lim cot g 2 x. cot g  − x  = lim
x →0
2
2
 x→0
27. lim
x →0
f (x ) =
cos x − 3 cos x
sen 2 x
cos x − 3 cos x
sen 2 x
t = 2.3 cos x = 6 cos x
= lim
t →1 1 +
=
t3 − t2
1 − t 12
x → 0

t → 1
=
1
2
−t2
t + t 2 + ... + t 10 + t 11
=
=−
− t 2 .(1 − t )
1
12
(1 − t ).(1 + t + t 2 + ... + t 10 + t 11 )
t 6 = cos x ,
=
t 12 = cos 2 x ,
−t2
1 + t + t 2 + ... + t 10 + t 11
sen 2 x = 1 − t 12
5
Limites Trigonométricos Resolvidos
Sete páginas e 34 limites resolvidos
BriotxRuffini :
1
0
0
1
•
1
1
1
1
1
...
...
...
0
1
1
sen 2 x − cos 2 x − 1
=
cos x − sen x
4
28. lim
π
x→
-1
1
0
sen 2 x − cos 2 x − 1
cos x − sen x
4
? à lim
π
x→
− 2
(
= lim
(− 2. cos x ) = − 2. cos
π
x→
4
π
4
= − 2.
2
2
=
)
sen 2 x − cos 2 x − 1 2. sen x cos x − 2 cos 2 x − 1 − 1 2. sen x. cos x − 2 cos 2 x + 1 − 1
=
=
=
cos x − sen x
cos x − sen x
cos x − sen x
2. sen x. cos x − 2 cos 2 x
− 2. cos x.(cos x − sen x )
= −2. cos x
=
cos x − sen x
cos x − sen x
sen ( x − 1)
sen (x − 1)
1 sen (x − 1) 2 x − 1 + 1
= lim .
= ? à lim
.
=1
29. lim
x →1 2 x − 1 − 1
x →1 2
x →1
(x − 1)
1
2x − 1 − 1
f (x ) =
f (x ) =
sen (x − 1)
2x −1 −1
=
sen (x − 1)
2x − 1 − 1
2x − 1 + 1
.
2x − 1 + 1
1 sen (x − 1) 2 x − 1 + 1
.
.
2 (x − 1)
1
1 − 2. cos x
=
π
x→
x−
3
3
30. limπ
?
=
sen ( x − 1) 2 x − 1 + 1 sen ( x − 1) 2 x − 1 + 1
.
=
.
=
2x − 1 − 1
1
2.(x − 1)
1
1 − 2. cos x
=
π
x→
x−
3
3
à limπ
π − x 


sen  3
π + x 
 2 




=
lim 2. sen 3
.  π
x →π
2


x
−
3


  3
 2 


π +π 
 2π 

3 . = 2. sen 3 . = 2. sen π . = 2. 3 = 3
2. sen 3

 2 
2
2

3




π + x 
π − x 


 3

2.(− 2 ) sen 3
.
sen
π



 2 
2 . cos
− cos x 
x 
 2 
3




 =
 = 
=
π
π


x
−
x −


− 1.2. 3
3

2



π − x 


sen 3
π + x 
 2 

= 2. sen 3 . 
 2  π − x 


  3
 2 


1 − cos 2 x
2. sen x
lim
=2
= limπ
x →0 x. sen x
x
x→
 1
2 .
− cos
1 − 2. cos x
f (x ) =
=  2
π
π
x −
x−
3
3
π + x 
π − x 


 3

2. sen 3
.
sen
 2 
 2 




π − x 
 3

 2 


1 − cos 2 x
31. lim
=? à
x →0 x. sen x
3
6
Limites Trigonométricos Resolvidos
Sete páginas e 34 limites resolvidos
2
2
1 − cos 2 x 1 − 1 − 2 sen x 1 − 1 + 2 sen 2 x 2. sen x 2. sen x
=
f (x ) =
=
=
=
x. sen x
x. sen x
x
x. sen x
x. sen x
(
32. lim
x →0
)
x
1 + sen x − 1 − sen x
= ? à lim
x →0
=1
f (x ) =
(
x
1 + sen x − 1 − sen x
x. 1 + sen x + 1 − sen x
2. sen x
)=
=
x
1 + sen x − 1 − sen x
(
x. 1 + sen x + 1 − sen x
1 + sen x − (1 − sen x )
1 + sen x + 1 − sen x
sen x
2.
x
=
= lim
x →0
1 + sen x + 1 − sen x
2. sen x
x
) = x.( 1 + sen x +
1+1
2.1
1 − sen x
1 + sen x − 1 + sen x
=
1+1
2.1
)=
=1
cos 2 x
cos x + sen x
2
2
=
= lim
+
= 2
→
x
0
1
2
2
cos x − sen x
cos 2 x.(cos x + sen x ) cos 2 x.(cos x + sen x )
cos 2 x
cos 2 x.(cos x + sen x )
=
=
f (x ) =
=
cos x − sen x
(cos x − sen x )(. cos x + sen x )
cos 2 x
cos 2 x − sen 2 x
33. lim
x→0
cos 2 x.(cos x + sen x ) cos x + sen x
=
cos 2 x
1
34.
=
2
2
+
2
2
=
=
2
 3

− sen x 
2.
 2


lim 
π
π
x→
x−
3
3
3 − 2. sen x
3 − 2. sen x
lim
=?
à lim
=
π
π
π
π
x→
x→
x
−
x
−
3
3
3
3
 π

π

  π − 3x 
 π + 3x
  −x
 + x 
 


. cos 3

2. sen 3
2. sen 3 . cos 3
  2 
 2 
  2 
 2





 
 









= lim 
lim
π
π
3x − π
π
x→
x→
x−
3
3
3
3
  π − 3x 
 π + 3x  
2. sen
. cos
 
6

 6 
 
lim
π
− 1.(π − 3 x )
x→
3
3






=
π


2. sen − sen x 
3

lim 
π
π
x→
x−
3
3
=
=
35. ?
7