Exercícios:
1)
(UFMS) Se x é um número real que verifica simultaneamente as equações sen a = x +
2
3 e cos a = 10 − x para algum número real a, determine o valor de x + 10.
Sen²a + cos²a = 1
(x + 3)² + (
10 − x ²
)
2
=1
x² + 6x + 9 + 10 – x² = 1
6x+19=1
6x = -18
x = -3
x + 10 = -3 + 10 = 7
2)
(UCSAL-BA) Qualquer que seja o número real x, a expressão cos4x – sen4x é
equivalente a:
a) sen²x – 1
b) 2senx cosx
c) 2cos²x – 1
d) 2 – cos²x
e) (senx + cosx)*cosx
cos4x – sen4x = (cos²x – sen²x)(cos²x+sen²x)
Como sen²x + cos²x = 1, podemos escrever sen²x = 1 – cos²x
Então: cos²x – (1 – cos²x) = 2cos²x
3)
-1
(ITA-SP) Sabe-se que x é um número real pertencente ao intervalo ]0,2π[ e que o
triplo da sua secante, somado ao dobro da sua tangente, é igual a 3. Então, o cosseno
de x é igual a:
3
a)
4
b)
2
7
c)
5
13
d)
15
26
3secx + 2tgx = 3
Como sec x = 1 / cosx e tg x = senx/cosx, podemos escrever:
1
senx
+2
=3
cos x
cos x
3
2senx
+
=3
cos x cos x
3 + 2senx = 3 cos x
3
e)
13
49
Como sen²x + cos²x = 1 → sen²x = 1 – cos²x
senx = 1− cos ² x
Então:
3 + 2senx = 3 cos x ⇒ 3 + 2 1 − cos ² x = 3 cos x
2 1 − cos ² x = 3 cos x − 3
(2
1 − cos ² x
)
2
2
= (3 cos x − 3)
4(1 − cos ² x ) = 9 cos ² x − 18 cos x + 9
4 − 4 cos ² x = 9 cos ² x − 18 cos x + 9
13 cos ² − 18 cos x + 5 = 0
cos x =
5
ou cos x = 1
13
Como cosseno só pode ser 1 em x = 0 ou x = 2π, este valor não pode ser usado, uma
vez que o intervalo é aberto neste valor.
Logo, a resposta só pode ser a que consta na alternativa C
4)
Sabendo que cos x =
−
5
10
e π < x < 3π/2, determine o valor de (1+senx)*(1-senx).
(1+senx)(1-senx) = 1 – sen²x = cos²x
2

5
5
1
 =
cos ² x =  −
=

 10  100 20
5) Dado senx=1/3, com x pertencente ao 2° quadrante, determine o valor de todas as
demais razões trigonométricas.
2
sen²x + cos²x = 1
1
senx
− 2
tgx =
= 3 =
cos x − 2 2
4
3
1
1
cos sec x =
= =3
senx 1
3
1 8
1
  + cos ² x = 1 ⇒ cos ² x = 1 − =
9 9
 3
1
1
−3 2
=
=
cos x − 2 2
4
3
1
1
cot gx =
=
= −2 2
tgx
2
−
4
sec x =
cos x =
−2 2
3
6)
2
2
Sabendo que cos x =
, com x pertencendo ao 1° quadrante, determine as demais
razões trigonométricas.
2
sen²x + cos²x = 1
2
senx
2
tgx =
=
=1
cos x
2
2
1
1
cos sec x =
=
= 2
senx
2
2
7)
 2
 = 1 ⇒ sen² x = 1 − 2 = 1
sen² x + 

2
4 2


sec x =
senx =
1
1
=
= 2
cos x
2
2
cot gx =
1 1
= =1
tgx 1
Sabendo que sec x = 7/3, determine cotg x.
sec²x = 1 + tg²x
49
7
  = 1 + tg ² x ⇒ = 1 + tg ² x
3
9
 
49
40
−1 =
tg ² x =
9
9
2 10
tgx =
3
cot gx =
8)
3
10 3 10
1
1
=
=
=
tgx 2 10 2 10 10
20
3
Se sen α = 3t – 1 e cos α = 1 – t, então α pertence a que quadrante?
sen² α + cos² α = 1 → (3t-1)² + (1-t)² = 1
9t² - 6t + 1 + 1 – 2t + t² = 1
10t² - 8t + 1 = 0
Resolvendo a equação chegamos em
t=
4± 6
10
2
2
Se usarmos t =
4+ 6
10 ,
teremos:
 4+ 6 
 − 1 = 0,93
senα = 3

 10 
4+ 6 
 = 0,35
cos α = 1 − 

 10 
tanto seno quanto cosseno positivos, o que se refere ao
primeiro quadrante
Se usarmos t =
4− 6
10
, teremos:
 4− 6 
 − 1 = −0,53
senα = 3

 10 
 4− 6 
 = 0,84
cos α = 1 − 

 10 
seno negativo e cosseno positivo, o que se refere ao quarto
quadrante.
9)
Sabendo que sen x = 4/5 e π/2 < x < π, calcule as demais razões trigonométricas.
2
sen²x + cos²x = 1
4
senx
4
5
tgx =
=
=−
−
3
cos x
3
5
1
1 5
cos sec x =
= =
senx 4 4
5
16 9
4
=
  + cos ² x = 1 ⇒ cos ² x = 1 −
25 25
5
1
1
5
=
=−
cos x − 3
3
5
1
1
3
cot gx =
=
=−
tgx − 4
4
3
sec x =
10) Sabendo que sec x = 3, calcule o valor de y = sen²x + 2tg²x.
sec x =
1
1
1
⇒3=
⇒ cos x =
cos x
cos x
3
sen² x = 1 −
1 8
8
= ⇒ sen ² x =
9 9
9
Então:
sen ² x + 2tg ² x =
8
8
152
+ 2 * 8 = + 16 =
9
9
9
2
1
sen² x + cos ² x = 1 ⇒ sen² x +   = 1
 3
8
8
sen ² x
tg ² x =
= 9 = 9 =8
cos ² x  1  2 1
 
9
 3
cos x = −
3
5