UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAMAT – Departamento Acadêmico de Matemática Cálculo Diferencial e Integral 4 (MA64A) SÉRIES - TRANSFORMADAS NOTAS DE AULA Rudimar Luiz Nós 2o semestre/2011 2 Não é paradoxo dizer que nos nossos momentos de inspiração mais teórica podemos estar o mais próximo possível de nossas aplicações mais práticas. A. N. Whitehead (1861-1947) [email protected] http://pessoal.utfpr.edu.br/rudimarnos 3 4 SUMÁRIO 1. SÉRIES .................................................................................................................................................................................9 1.1 – SEQUÊNCIAS INFINITAS .................................................................................................................................................9 1.2 – SÉRIES INFINITAS ..........................................................................................................................................................9 1.3 – CONVERGÊNCIA DE SÉRIES ..........................................................................................................................................10 1.3.1 – A série geométrica..............................................................................................................................................10 1.3.2 – Condição necessária à convergência.................................................................................................................11 1.3.3 – Teste da divergência...........................................................................................................................................11 1.3.4 – Série de termos positivos: o teste da integral.....................................................................................................11 1.3.5 – Convergência absoluta e condicional ................................................................................................................12 1.3.6 – Convergência uniforme (série de funções).........................................................................................................12 1.3.7 – Teste M de Weierstrass ......................................................................................................................................13 2. A SÉRIE DE FOURIER....................................................................................................................................................17 2.1 – FUNÇÕES PERIÓDICAS .................................................................................................................................................17 2.2 – SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS ..........................................................................................................................................18 2.3 – SÉRIE DE FOURIER .......................................................................................................................................................22 2.3.1 – Definição............................................................................................................................................................22 2.3.2 – Coeficientes ........................................................................................................................................................22 2.3.3 – Continuidade seccional ou por partes................................................................................................................25 2.3.4 – Convergência: condições de Dirichlet ...............................................................................................................25 2.4 – SÉRIE DE FOURIER DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DADA ................................................................................................27 2.5 – FUNÇÕES PARES E FUNÇÕES ÍMPARES ..........................................................................................................................35 2.6 – SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS.................................................................................................................................39 2.7 – SÉRIE DE FOURIER DE SENOS .......................................................................................................................................40 2.8 – O FENÔMENO DE GIBBS ...............................................................................................................................................44 2.9 – A IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA SÉRIES DE FOURIER..............................................................................................45 2.10 – CONVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS ATRAVÉS DA SÉRIE DE FOURIER ..................................................................47 2.11 – DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER....................................................................................................48 2.12 – A FORMA EXPONENCIAL (OU COMPLEXA) DA SÉRIE DE FOURIER ...............................................................................50 2.13 – APLICAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER NA SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS .........................................55 2.13.1 – Equações diferenciais ......................................................................................................................................55 2.13.2 – Equação do calor .............................................................................................................................................56 2.13.3 – Equação da onda..............................................................................................................................................59 2.13.4 – Equação de Laplace .........................................................................................................................................61 2.14 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ..........................................................................................................................................65 2.15 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ................................................................................................................................77 3. A INTEGRAL DE FOURIER / TRANSFORMADAS DE FOURIER .........................................................................91 3.1 – A INTEGRAL DE FOURIER ............................................................................................................................................92 3.2 – CONVERGÊNCIA DA INTEGRAL DE FOURIER ................................................................................................................92 3.2.1 – Convergência absoluta e condicional ................................................................................................................93 3.3 – A INTEGRAL COSSENO DE FOURIER .............................................................................................................................93 3.4 – A INTEGRAL SENO DE FOURIER ...................................................................................................................................94 3.5 – FORMAS EQUIVALENTES DA INTEGRAL DE FOURIER....................................................................................................95 3.6 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER E DA TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER ........................................97 3.7 – TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER E TRANSFORMADA COSSENO DE FOURIER INVERSA ......................................99 3.8 – TRANSFORMADA SENO DE FOURIER E TRANSFORMADA SENO DE FOURIER INVERSA .................................................100 3.9 – FUNÇÃO DE HEAVISIDE .............................................................................................................................................102 3.10 – ESPECTRO, AMPLITUDE E FASE DA TRANSFORMADA DE FOURIER ............................................................................104 3.11 – PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................................106 3.11.1 – Comportamento de F(α) quando |α|→∞ ........................................................................................................107 3.11.2 – Linearidade ....................................................................................................................................................108 3.11.3 – Simetria (ou dualidade)..................................................................................................................................108 3.11.4 – Conjugado ......................................................................................................................................................109 3.11.5 – Translação (no tempo) ...................................................................................................................................109 3.11.6 – Translação (na frequência) ............................................................................................................................110 5 3.11.7 – Similaridade (ou mudança de escala) e inversão de tempo ...........................................................................110 3.11.8 – Convolução ....................................................................................................................................................111 3.11.9 – Multiplicação (Convolução na frequência)....................................................................................................114 3.11.10 – Transformada de Fourier de derivadas .......................................................................................................115 3.11.11 – Derivadas de transformadas de Fourier ......................................................................................................116 3.12 – RESUMO: PROPRIEDADES OPERACIONAIS DAS TRANSFORMADAS DE FOURIER ........................................................119 3.13 – DELTA DE DIRAC.....................................................................................................................................................120 3.13.1 – Propriedades do delta de Dirac .....................................................................................................................121 3.13.2 – Transformada de Fourier do delta de Dirac ..................................................................................................122 3.14 – MÉTODOS PARA OBTER A TRANSFORMADA DE FOURIER .........................................................................................122 3.14.1 – Uso da definição.............................................................................................................................................122 3.14.2 – Uso de equações diferenciais .........................................................................................................................126 3.14.3 – Decomposição em frações parciais................................................................................................................128 3.15 – TRANSFORMADA DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES ............................................................................................130 3.15.1 – A função constante unitária ...........................................................................................................................130 3.15.2 – A função sinal.................................................................................................................................................131 3.15.3 – A função degrau .............................................................................................................................................132 3.15.4 – Exponencial....................................................................................................................................................132 3.15.5 – Função cosseno ..............................................................................................................................................133 3.16 – RESUMO: TRANSFORMADAS DE FOURIER DE ALGUMAS FUNÇÕES ...........................................................................134 3.17 – IDENTIDADE DE PARSEVAL PARA AS INTEGRAIS DE FOURIER ..................................................................................135 3.18 – CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS ......................................................................................................................137 3.19 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................141 3.19.1 – Equações diferenciais ordinárias...................................................................................................................141 3.19.2 – Equações diferenciais parciais ......................................................................................................................142 Derivação sob o sinal de integração – Regra de Leibniz .................................................................................................................. 142 3.19.2.1 – Equação do calor (EDP parabólica).................................................................................................................................. 144 3.19.2.2 – Equação da onda (EDP hiperbólica) ................................................................................................................................. 146 3.19.2.3 – Equação de Laplace (EDP elíptica) .................................................................................................................................. 148 3.20 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INTEGRAIS E DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS .........................................................151 3.21 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................154 3.22 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................157 4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE ............................................................................................................................165 4.1 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ...........................................................................................................165 4.1.1 – Motivação.........................................................................................................................................................165 4.1.2 – Função de Heaviside........................................................................................................................................166 4.1.2.1 - Generalização........................................................................................................................................................................ 167 4.1.3 – Transformada de Laplace ................................................................................................................................168 4.2 – FUNÇÕES DE ORDEM EXPONENCIAL...........................................................................................................................171 4.3 – CONVERGÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ..............................................................................174 4.3.1 – Convergência absoluta e condicional ..............................................................................................................174 4.3.2 – Condições suficientes para a convergência .....................................................................................................174 4.4 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DAS FUNÇÕES ELEMENTARES ...............................................................175 4.4.1 – f(t) = tn ..............................................................................................................................................................175 4.4.2 – f(t) = eat ............................................................................................................................................................177 4.4.3 – Transformada de algumas funções elementares ..............................................................................................177 4.5 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ................................................................................178 4.5.1 – Comportamento da transformada de Laplace F(s) quando s→∞ ....................................................................178 4.5.2 – Linearidade ......................................................................................................................................................178 4.5.3 – Primeira propriedade de translação ou deslocamento ....................................................................................181 4.5.4 – Segunda propriedade de translação ou deslocamento.....................................................................................181 4.5.5 – Similaridade (ou mudança de escala) ..............................................................................................................182 4.5.6 – Transformada de Laplace unilateral de derivadas ..........................................................................................183 4.5.7 – Transformada de Laplace unilateral de integrais............................................................................................185 4.5.8 – Derivadas de transformadas de Laplace unilaterais (multiplicação por tn) ....................................................186 4.5.9 – Integrais de transformadas de Laplace unilaterais (divisão por t) ..................................................................187 4.5.10 – Convolução ....................................................................................................................................................189 4.5.11 – Valor inicial ...................................................................................................................................................190 4.5.12 – Valor final ......................................................................................................................................................191 4.6 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE FUNÇÕES PERIÓDICAS ......................................................................192 6 4.7 – CÁLCULO DE INTEGRAIS IMPRÓPRIAS ........................................................................................................................194 4.8 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL ...........................................................196 4.8.1 – Uso da definição...............................................................................................................................................196 4.8.2 – Expansão em série de potências.......................................................................................................................196 4.8.3 – Uso de equações diferenciais ...........................................................................................................................200 4.8.4 – Outros métodos ................................................................................................................................................200 4.8.5 – Uso de tabelas de transformadas .....................................................................................................................200 4.9 – TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL DE ALGUMAS FUNÇÕES .........................................................................200 4.9.1 – Função nula .....................................................................................................................................................200 4.9.2 – Função degrau unitário ...................................................................................................................................200 4.9.3 – Função impulso unitário ..................................................................................................................................201 4.9.4 – Algumas funções periódicas.............................................................................................................................202 4.10 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA DE LAPLACE UNILATERAL INVERSA...........................................204 4.10.1 – Completando quadrados ................................................................................................................................204 4.10.2 – Decomposição em frações parciais................................................................................................................204 4.10.3 – Expansão em série de potências.....................................................................................................................209 4.10.4 – Uso de tabelas de transformadas de Laplace.................................................................................................211 4.10.5 – A fórmula de Heaviside ..................................................................................................................................211 4.10.6 – A fórmula geral (ou complexa) de inversão ...................................................................................................212 4.11 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................................................213 4.11.1 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes......................................................................213 4.11.2 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis........................................................................219 4.11.3 – Equações diferenciais ordinárias simultâneas...............................................................................................221 4.11.4 – Equações diferenciais parciais ......................................................................................................................223 4.12 – SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ÍNTEGRO-DIFERENCIAIS ....................................................................................................229 4.13 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................232 4.14 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................240 5. TRANSFORMADAS Z ...................................................................................................................................................251 5.1 – DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .......................................................................................................252 5.2 – TRANSFORMADA Z UNILATERAL DE ALGUMAS SEQUÊNCIAS .....................................................................................253 5.2.1 – Versão discreta da função delta de Dirac........................................................................................................253 5.2.2 – Sequência unitária ou passo discreto unitário .................................................................................................253 5.2.3 – Exponencial......................................................................................................................................................254 5.2.4 – Potência............................................................................................................................................................255 5.3 – SÉRIES DE POTÊNCIAS: DEFINIÇÃO, RAIO DE CONVERGÊNCIA ....................................................................................256 5.4 – EXISTÊNCIA E DOMÍNIO DE DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .............................................................258 5.5 – PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA Z UNILATERAL .................................................................................................260 5.5.1 – Linearidade ......................................................................................................................................................260 5.5.2 – Translação (ou deslocamento) .........................................................................................................................264 5.5.3 – Similaridade .....................................................................................................................................................265 5.5.4 – Convolução ......................................................................................................................................................266 5.5.5 – Diferenciação da transformada de uma sequência ..........................................................................................267 5.5.6 – Integração da transformada de uma sequência ...............................................................................................269 5.5.7 – Valor inicial .....................................................................................................................................................270 5.5.8 – Valor final ........................................................................................................................................................271 5.6 – RESUMO: TRANSFORMADA Z UNILATERAL DAS FUNÇÕES DISCRETAS ELEMENTARES ...............................................272 5.7 – TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA ................................................................................................................272 5.8 – MÉTODOS PARA DETERMINAR A TRANSFORMADA Z UNILATERAL INVERSA ..............................................................273 5.8.1 – Uso da transformada Z unilateral e de suas propriedades..............................................................................273 5.8.2 – Decomposição em frações parciais..................................................................................................................274 5.8.3 – Expansão em série de potências.......................................................................................................................277 5.8.4 – Estratégia geral de inversão ............................................................................................................................279 5.9 – TRANSFORMADA Z BILATERAL .................................................................................................................................280 5.9.1 - Série de Laurent................................................................................................................................................280 5.8.1.1 - Singularidades ....................................................................................................................................................................... 280 5.9.2 – Definição..........................................................................................................................................................282 5.10 – EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS .....................................................................................................................................286 5.10.1 – Definição ........................................................................................................................................................286 5.10.2 – Equações de diferenças lineares ....................................................................................................................287 7 5.10.3 – Solução de equações de diferenças lineares ..................................................................................................287 5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................................................294 5.12 – EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES ..............................................................................................................................301 6. FORMULÁRIO ...............................................................................................................................................................307 REFERÊNCIAS...................................................................................................................................................................317 8 1. SÉRIES 1.1 – Sequências infinitas Uma sequência infinita é uma função discreta cujo domínio é N \ {0} . Notação: {a n }, n ∈ N \ {0}, a n = f (n ) Exemplos n2 1 4 9 16 25 1 ) {a n } = (− 1) ⇒ {a n } = ,− , ,− , ,L 3n − 1 2 5 8 11 14 n 2o) A sequência {a n } = é convergente ou divergente? 2n + 1 {a n } = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,L , n , n + 1 ,K 2n + 1 2n + 3 3 5 7 9 11 o n +1 Se lim a n existe, então {a n } é convergente. Caso contrário, {a n } é divergente. n →∞ Como lim n →∞ n = lim 2n + 1 n → ∞ 1 1 2+ n = 1 , {a n } é convergente. 2 1.2 – Séries infinitas Uma série infinita é definida como sendo a soma dos termos de uma sequência infinita. ∞ Notação: ∑ a n = a1 + a 2 + a 3 + L + a n + L n =1 S1 = a 1 S2 = a1 + a 2 Somas parciais: S3 = a 1 + a 2 + a 3 M Sn = a1 + a 2 + a 3 + L + a n Se lim S n = S , então a série infinita é convergente. Se o limite S não existe, então a série n →∞ infinita é divergente. Exemplo ∞ 1 1 1 1 1 1 ∑ n(n + 1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + L + n(n + 1) + L n =1 9 an = 1 1 1 = − n (n + 1) n n + 1 1 1 1 1 1 1 1 S n = a 1 + a 2 + a 3 + L + a n = 1 − + − + − + L + − 2 2 3 3 4 n n + 1 1 n Sn = 1 − = n +1 n +1 n lim S n = lim =1 n →∞ n →∞ n + 1 Logo, a série infinita é convergente. 1.3 – Convergência de séries Diferenciar: • • • Condições necessárias à convergência; Condições suficientes à convergência; Condições necessárias e suficientes à convergência. 1.3.1 – A série geométrica Teorema: A série geométrica ∞ ∑ a r n -1 = a + ar + ar 2 + ar 3 + K , com a≠0, n =1 a , se r < 1 (− 1 < r < 1) ; 1− r (ii) diverge, se r ≥ 1 (r ≤ -1 ou r ≥ 1) . (i) converge, e tem por soma Exemplos 1o) ∞ ∑2 n =1 1 n −1 =1+ 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + L + n −1 + L = 2 2 2 2 2 2o) 0, 5 = 0,5555K = 1 1 1− 2 =2 5 5 5 5 5 5 10 = 10 = 5 + + + +K = 9 10 100 1000 10000 9 1− 1 10 10 10 1.3.2 – Condição necessária à convergência ∞ Teorema: Se a série infinita ∑ a n é convergente, então lim a n = 0 . n →∞ n =1 A recíproca não é sempre verdadeira. 1.3.3 – Teste da divergência ∞ Se lim a n não existir ou lim a n ≠ 0 , então a série infinita n →∞ n →∞ ∑ a n é divergente. n =1 1.3.4 – Série de termos positivos: o teste da integral Teorema: Se f é uma função contínua, decrescente e de valores positivos para todo x ≥ 1 , então a série infinita ∞ ∑ ( ) () ∫ () ∫ () f n = f 1 + f (2 ) + L + f (n ) + L n =1 ∞ (i) converge se a integral imprópria f x dx converge; 1 ∞ (ii) diverge se a integral imprópria f x dx diverge. 1 Exemplo ∞ ∑ A série harmônica n =1 lim n →∞ ∫ 1 ∞ 1 =0 n 1 1 1 1 1 = 1 + + + + + L é divergente. n 2 3 4 5 (condição necessária, porém não suficiente) 1 dx = lim b→∞ x ∫ 1 b 1 b dx = lim[ln (x )]1 = lim[ln (b ) − 0] = ∞ b →∞ b→∞ x Como a integral diverge, a série harmônica diverge. 11 1.3.5 – Convergência absoluta e condicional ∞ A série ∑ ∞ a n é dita absolutamente convergente se n =1 ∑ a n = a 1 + a 2 + a 3 + K convergir. n =1 ∞ Se ∑ ∞ a n convergir mas n =1 ∑ ∞ a n divergir, então ∑ n =1 n =1 ∞ ∑ Teorema: Se a n é dita condicionalmente convergente. ∞ a n converge, então ∑ n =1 a n também converge. n =1 Exemplo A série 1 + 1 1 1 1 1 1 1 − 2 − 2 + 2 + 2 − 2 − 2 + L é absolutamente convergente, uma vez que 2 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +L = 2 3 4 5 6 7 8 ∞ ∑ n =1 1 π2 (provaremos usando a série de Fourier). = 6 n2 1.3.6 – Convergência uniforme (série de funções) Série de números reais ∞ ∑ a n = a1 + a 2 + a 3 + K n =1 ∞ Exemplo: ∑ 2n 4 8 16 32 = 2+ + + + +K n! 2! 3! 4! 5! n =1 Série de funções ∞ ∑ u n (x ) = u 1 (x ) + u 2 (x ) + u 3 (x ) + K n =1 ∞ Exemplo: ∑ sen (2 x ) sen (3x ) sen (4 x ) sen (nx ) = sen (x ) + + + +K n! 2! 3! 4! n =1 12 a A série de Fourier 0 + 2 ∞ ∑ n =1 nπ x nπ x a n cos L + b n sen L é uma série de funções trigonomé ricas. ∞ Sejam a série ∑ u n (x ) , onde {u n (x )}, n = 1,2,3,K é uma sequência de funções definidas em n =1 [a,b], S n (x ) = u 1 (x ) + u 2 (x ) + u 3 (x ) + L + u n (x ) a soma parcial da série e lim S n (x ) = S(x ) . A série n →∞ converge para S(x ) em [a , b] se para cada ε > 0 e cada x ∈ [a , b] existe um N > 0 tal que S n (x ) − S(x ) < ε para todo n > N . O número N depende geralmente de ε e x . Se N depende somente de ε , então a série converge uniformemente ou é uniformemente convergente em [a , b] . ∞ Teorema 1: Se cada termo da série ∑ u n (x ) é uma função contínua em [a,b] e a série é n =1 uniformemente convergente para S(x) em [a,b], então a série pode ser integrada termo a termo, isto é, ∞ b ∞ b u n (x )dx = u n (x )dx . a a n =1 n =1 ∫ ∑ ∑∫ ∞ Teorema 2: Se cada termo da série ∑ u n (x ) é uma função contínua com derivada contínua n =1 ∞ em [a,b] e se ∑ ∞ u n (x ) converge para S(x) enquanto n =1 ∑ u 'n (x ) converge uniformemente em [a,b], n =1 d então a série pode ser diferenciada termo a termo em [a,b], isto é, dx ∞ ∑ n =1 u n (x ) = ∞ ∑ n =1 d u n (x ) . dx 1.3.7 – Teste M de Weierstrass Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897): matemático alemão. Se existe uma sequência de constantes M n , n = 1,2,3,K , tal que para todo x em um intervalo (a) u n (x ) ≤ M n e ∞ (b) ∑ M n converge, n =1 ∞ então ∑ u n (x ) converge uniforme e absolutamente no intervalo. n =1 13 Observações: 1a) O teste fornece condições suficientes, porém não necessárias. 2a) Séries uniformemente convergentes não são necessariamente absolutamente convergentes ou viceversa. Exemplo ∞ ∑ n =1 cos(nx ) cos(2 x ) cos(3x ) cos(4 x ) = cos(x ) + + + +L 2 n 22 32 42 é uniforme convergente em [0,2π] (ou em qualquer intervalo), uma vez que cos(nx ) 1 ≤ 2 e 2 n n ∞ ∑ 1 π2 = . 6 n2 n =1 Exercícios ∞ 01. Mostre que a série ∑ n2 diverge. 5n 2 + 4 n =1 R.: Use o teste da divergência. ∞ 02. Mostre que a série ∑( n =1 R.: 1 converge e determine sua soma. 2n − 1)(2n + 1) 1 2 03. Determine se as séries infinitas a seguir são convergentes ou divergentes. ∞ a) ∑ n =1 ∞ b) n 2 n +1 ∑ ln(n ) n3 R.: A série é divergente: ∫ ∞ x dx = ∞ . x +1 2 1 R.: A série é convergente: ∫ 1 n =1 14 ∞ ln (x ) 1 dx = . 3 4 x e absolutamente ∞ c) ∑ ne −n R.: A série é convergente: xe − x dx = 1 n =1 ∞ d) ∫ ∞ ∑ 1 n ln (n ) n =2 R.: A série é divergente: ∫ ∞ 2 . e dx = ∞. x ln (x ) 2 04. Verifique se as séries de funções seguintes são uniformemente convergentes para todo x . ∞ a) ∑ cos(nx ) 2n R.: A série é uniformemente convergente para todo x . 1 n + x2 R.: A série é uniformemente convergente para todo x . sen 2 (nx ) 2n − 1 R.: A série é uniformemente convergente para todo x . n =1 ∞ b) ∑ n =1 ∞ c) ∑ n =1 2 ∞ 05. Seja f (x ) = ∑ n =1 sen (nx ) . Prove que n3 ∫ ∞ ∑( π f (x )dx = 2 0 1 2n − 1) n =1 4 . ∞ sen (nx ) 1 1 , o teste M de Weierstrass (prove que converge usando o teste da ≤ ∑ 3 3 3 n n n =1 n integral) e o fato de que uma série uniformemente convergente pode ser integrada termo a termo. R.: Use ∞ Observação: Mostraremos futuramente que ∑( n =1 06. Prove que ∫ π 0 1 2n − 1) 4 cos(2 x ) cos(4x ) cos(6 x ) 1.3 + 3.5 + 5.7 + L dx = 0 . 15 π4 . Assim, = 96 ∞ ∫∑ π 0 n =1 sen (nx ) π4 . dx = 48 n3 16 2. A SÉRIE DE FOURIER Jean-Baptiste Joseph Fourier (1766-1830): físico, matemático e engenheiro francês. Principais contribuições: teoria da condução do calor, séries trigonométricas. Por que aproximar uma função por uma função dada por senos e cossenos? Para facilitar o tratamento matemático do modelo, uma vez que as funções trigonométricas seno e cosseno são periódicas de período fundamental 2π , contínuas, limitadas e de classe C ∞ , ou seja, são infinitamente diferenciáveis. 2.1 – Funções periódicas Uma função f : R → R é periódica de período fundamental P se f (x + P ) = f (x ) ∀x, P > 0 . Exemplos (a) (b) (c) (d) Figura 1: (a) f (x ) = sen (x ) , função de período fundamental P = 2π ; (b) f (x ) = cos(x ) , função de período fundamental P = 2π ; (c) f (x ) = 5 , função de período fundamental P = k, k > 0 ; (d) função onda triangular, de período fundamental P = 2 . 17 Como as funções sen (x ) e cos(x ) são 2π-periódicas, temos que sen (x ) = sen (x + 2π ) = sen (x + 4π ) = sen (x + 6π ) = L cos(x ) = cos(x + 2π ) = cos(x + 4π ) = cos(x + 6π ) = L . Funções periódicas surgem em uma grande variedade de problemas físicos, tais como as vibrações de uma corda, o movimento dos planetas em torno do sol, a rotação da terra em torno do seu eixo, o movimento de um pêndulo, a corrente alternada em circuitos elétricos, as marés e os movimentos ondulatórios em geral. 2.2 – Séries trigonométricas Denomina-se série trigonométrica a uma série da forma a0 + a 1 cos(x ) + b1sen (x ) + a 2 cos(2 x ) + b 2 sen (2x ) + a 3 cos(3x ) + b 3 sen (3x ) + L 2 ou a0 + 2 ∞ ∑[ a n cos(nx ) + b n sen (nx )] (2.2.1) nπ x nπ x a n cos L + b n sen L . (2.2.2) n =1 ou a0 + 2 ∞ ∑ n =1 Obtém-se a forma (2.2.2) através de uma transformação linear que leva um intervalo de amplitude 2L em um intervalo de amplitude 2π . Em (2.2.1) ou (2.2.2), para cada n temos um harmônico da série e a 0 , a n e b n são os coeficientes da série. a 0 : constante a n = f (n ) e b n = f (n ) : sequências infinitas Exemplo n an = 2 2(− 1) 2 1 2 2 1 cos(nπ ) = ,− ,K ⇒ {a n } = − , ,− , nπ nπ π π 3π 2π 5π A série trigonométrica (2) também pode ser escrita na forma 18 a0 + 2 ∞ ∑ n =1 nπ x A n sen + φn , L 2 (2.2.3) 2 onde A n = a n + b n , a n = A n sen (φ n ) e b n = A n cos(φ n ) . A forma (2.2.3) é obtida multiplicando-se e dividindo-se a forma (2.2.2) por 2 2 2 2 a n + bn a0 2 a n + bn a0 + 2 ∞ ∑ n =1 a0 + 2 ∞ ∑ n =1 ∞ ∑ n =1 + ∑ n =1 2 2 2 nπ x nπ x a n + b n a n cos L + b n sen L a n 2 + b n 2 an bn nπ x nπ x 2 2 a n + bn cos + sen 2 2 a n 2 + bn 2 L L a n + bn Considerando a0 + 2 ∞ 2 a n + bn . 2 2 a n + bn = An , an b = sen (φ n ) e n = cos(φ n ) , temos que: An An nπ x nπ x A n sen (φ n ) cos + cos(φ n )sen L L nπ x A n sen + φn L nπ x Em (2.2.3), o termo A n sen + φ n é chamado harmônico de ordem n e pode ser L caracterizado somente pela amplitude A n e pelo ângulo de fase φ n . Questões 01. Dada uma função f(x) 2L-periódica, quais as condições que f(x) deve satisfazer para que exista uma série trigonométrica convergente para ela? 02. Sendo m, n ∈ N , mostre que: (a) ∫ L nπ x cos dx = 0, n ≠ 0 L −L 19 u= nπ x L L nπx cos dx = L −L ∫ L L dx = [x ]−L = L − (− L ) = 2L −L nπ x nπ x sen dx = 0 ( f (x ) = sen é ímpar no intervalo [− L, L] ) L L −L nπ x L du = nπ dx L L du nπ dx = L ∫ L L nπ x L nπ x sen dx = − cos = − [cos(nπ ) − cos(− nπ )] = 0 nπ L −L nπ L −L n =0⇒ ∫ ∫ L L u= (c) L du nπ dx = L nπx L nπx cos sen [sen(nπ) − sen (− nπ)] = 0 dx = = nπ L − L nπ L −L n =0⇒ ∫ nπ dx L L ∫ (b) du = ∫ L nπ x sen dx = L −L ∫ L 0dx = 0 −L L 0, se m ≠ n mπ x nπ x cos cos dx = L L L, se m = n ≠ 0 −L Lembrando que : cos(u ) cos(v ) = ∫ L 1 mπ x nπ x cos cos dx = 2 L L −L m=n ≠0⇒ m=n =0⇒ (d) ∫ 1 [cos(u + v ) + cos(u − v )] 2 ∫ ∫ L ∫ 1 nπ x cos dx = 2 L −L 2 L −L ∫ (m + n )π x (m - n )π x + cos cos dx =0 se m ≠ n L L L 2 nπ x 1 cos L + 1 dx = 2 −L L 1 mπ x nπ x cos cos dx = 2 L L −L L ∫ ∫ L dx = −L 1 L [x ]−L = L 2 L L 2dx = [x ]−L = 2L −L 0, se m ≠ n mπ x nπ x sen (o produto de duas funções ímpares é par) sen dx = L L L, se m = n ≠ 0 −L 20 Lembrando que : sen (u )sen (v ) = ∫ L 1 mπ x nπ x sen sen dx = 2 L L −L m=n ≠0⇒ m=n =0⇒ (e) ∫ 1 [cos(u − v ) − cos(u + v )] 2 ∫ ∫ ∫ L (m - n )π x (m + n )π x − cos cos dx = 0 se m ≠ n L L −L L 1 nπ x sen dx = 2 L −L 2 ∫ L 1 2nπ x 1 − cos L dx = 2 −L L 1 mπ x nπ x sen sen dx = 2 L L −L ∫ ∫ L dx = −L 1 L [x ]−L = L 2 L 0dx = 0 −L L mπ x nπ x cos sen dx = 0 (o produto de uma função par por uma ímpar é ímpar) L L −L Lembrando que : sen (u ) cos(v ) = ∫ L 1 [sen(u + v ) + sen(u − v )] 2 1 mπ x nπ x sen cos dx = 2 L L −L ∫ L (n + m )π x (n - m )π x + sen sen dx =0 L L −L Observações: 1a) Os resultados encontrados anteriormente continuam válidos quando os limites de integração –L e L são substituídos por c e c + 2L, respectivamente, com c ∈ R . 2a) Funções ortogonais Definição 1: O produto interno ou produto escalar de duas funções f (x ) e g(x ) em um intervalo [a,b] é o número (f | g ) = ∫ b f (x )g (x ) dx . a Definição 2: Duas funções f e g são ortogonais em um intervalo [a , b] se (f | g ) = ∫ b f (x )g(x ) dx = 0 . a nπ x nπ x Assim, as funções f (x ) = sen e g (x ) = cos são ortogonais no intervalo (− L, L ) . L L 21 2.3 – Série de Fourier 2.3.1 – Definição Seja a função f(x) definida no intervalo (− L, L ) e fora desse intervalo definida como f (x + 2L ) = f (x ) , ou seja, f (x ) é 2L-periódica. A série de Fourier ou a expansão de Fourier correspondente a f(x) é dada por a0 + 2 ∞ ∑ n =1 nπ x nπ x a n cos L + b n sen L sendo que os coeficientes de Fourier a 0 , a n e b n são dados pelas expressões a seguir. 1 a0 = L 1 an = L 1 bn = L ∫ ∫ L f (x )dx −L L nπ x f (x ) cos dx L −L ∫ L nπ x f (x ) sen dx L −L 2.3.2 – Coeficientes Se a série ∞ A+ ∑ n =1 nπ x nπ x a n cos L + b n sen L converge uniformemente para f (x ) em (− L, L ) , mostre que, para n = 1,2,3,K , 1 1. a n = L 1 2. b n = L 3. A = ∫ L nπ x f (x ) cos dx ; L −L ∫ L nπ x f (x ) sen dx ; L −L a0 . 2 22 ∞ 1. Multiplicando f (x ) = A + ∑ n =1 nπ x nπ x mπ x a n cos L + b n sen L por cos L e integrando de –L a L, obtemos: ∫ L mπ x f (x ) cos dx = A L −L L ∫ mπ x cos dx + L L − 144 42444 3 I ∞ + ∑ ∫ L L mπ x nπ x mπ x nπ x cos cos a n dx + b n sen dx cos L L L L −L −L 1444444444444424444444444444 3 n =1 ∫ II n =1,2,3,K, m,K Considerando m ≠ 0 em I e n = m em II: ∫ L mπ x f (x ) cos dx = a m L L −L 1 am = L ∫ L 1 mπ x f (x ) cos dx ou a n = L L −L ∫ 1 Para n = 0 , a 0 = L nπ x f (x ) cos dx L −L L f (x )dx . (2.3.2.1) −L ∞ 2. Multiplicando f (x ) = A + ∫ L ∑ n =1 nπ x nπ x mπ x a n cos L + b n sen L por sen L e integrando de –L a L, obtemos: ∫ L ∞ + L ∫ ∑ ∫ mπ x f (x ) sen dx = A L −L n =1 mπ x sen dx + L −L L L mπ x nπ x mπ x nπ x sen sen a n cos dx + b n sen dx L L L L −L −L 1444444444444424444444444444 3 ∫ I Considerando n = m em I: 23 n =1,2,3,K, m,K ∫ L mπ x f (x ) sen dx = b m L L −L 1 bm = L ∫ L 1 mπ x f (x ) sen dx ou b n = L L −L ∞ 3. Integrando f (x ) = A + ∑ n =1 ∫ L f (x )dx = A −L ∫ ∫ L nπ x f (x ) sen dx L −L nπ x nπ x a n cos L + b n sen L de –L a L, obtemos: ∞ L dx + −L a n ∑ ∫ n =1 L nπ x cos dx + b n L −L ∫ nπ x sen dx L −L L Para n = 1,2,3,K , obtemos: ∫ L f (x )dx = 2AL −L 1 A= 2L ∫ L f (x )dx (2.3.2.2) −L Comparando (2.3.2.1) e (2.3.2.2), concluímos que a 0 L = 2AL ⇒ A = a0 . 2 Observação: Os resultados encontrados continuam válidos quando os limites de integração –L e L são substituídos por c e c + 2L, respectivamente, com c ∈ R . ∞ Teorema 1: Se ∑ ∞ u n (x ) e n =1 ∑ v n (x ) são uniformemente convergentes em a ≤ x ≤ b e se n =1 ∞ h (x ) é contínua em ∞ ∑[ ( ) h x u n (x )] e n =1 a ≤ x ≤ b , então as séries ∞ ∑[ ∑[ n =1 n =1 u n (x ) + v n (x )] , u n (x ) − v n (x )], ∞ ∑[ ( ) h x v n (x )] são uniformemente convergentes em a ≤ x ≤ b . n =1 Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 393. 24 Teorema 2: Toda série trigonométrica uniformemente convergente é uma série de Fourier. Mais precisamente, se a série a0 + a 1 cos(x ) + b1sen (x ) + a 2 cos(2 x ) + b 2 sen (2x ) + a 3 cos(3x ) + b 3 sen (3x ) + L 2 converge uniformemente a f (x ) para todo x , então f (x ) é contínua para todo x , f (x ) tem período 2π e a série trigonométrica é a série de Fourier de f (x ) . 2.3.3 – Continuidade seccional ou por partes Uma função é seccionalmente contínua ou contínua por partes em um intervalo α ≤ t ≤ β se este intervalo pode ser subdividido em um número finito de intervalos em cada um dos quais a função é contínua e tem limites, à direita e à esquerda, finitos. Exemplo Figura 2: Função seccionalmente contínua – [13]. 2.3.4 – Convergência: condições de Dirichlet Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): matemático alemão. Suponha que: (1) f (x ) é definida em (− L, L ) , exceto em um número finito de pontos; (2) f (x ) é 2L-periódica fora de (− L, L ) ; (3) f (x ) e f ' (x ) são seccionalmente contínuas em (− L, L ) . Então, a série a0 + 2 ∞ ∑ n =1 nπ x nπ x a n cos L + b n sen L , 25 com coeficientes de Fourier, converge para: (a) f(x), se x é um ponto de continuidade; (b) f (x + ) + f (x − ) , se x é um ponto de descontinuidade. 2 Observações: 1a) f (x + ) e f (x − ) representam os limites laterais de f(x), à direita e à esquerda, respectivamente. f (x + ) = lim+ f (x + h ) e f (x − ) = lim+ f (x − h ) h →0 h →0 2a) As condições (1), (2) e (3) impostas a f(x) são suficientes para a convergência, porém não necessárias. Demonstração: SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Cálculo avançado. 2a ed. Porto Alegre: Bookman. Teorema fundamental: Seja f (x ) uma função definida e muito lisa por partes no intervalo − π ≤ x ≤ π e seja f (x ) definida fora desse intervalo de tal modo que tenha período 2π . Então a série de Fourier de f (x ) converge uniformemente a f (x ) em todo intervalo fechado que não contenha descontinuidades de f (x ) . Em cada descontinuidade x 0 , a série converge para 1 lim f (x ) + lim f (x ) . x x →x 0 − 2 →x 0 + Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 461. Observação: Uma função contínua por partes é lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada primeira contínua; é muito lisa por partes se em cada subintervalo tem derivada segunda contínua. Teorema da unicidade: Sejam f 1 (x ) e f 2 (x ) funções seccionalmente contínuas no intervalo − π ≤ x ≤ π , de modo que ambas tenham os mesmos coeficientes de Fourier. Então, f 1 (x ) = f 2 (x ) , exceto talvez nos pontos de descontinuidade. Demonstração: KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol 2. Página 456. 26 2.4 – Série de Fourier de uma função periódica dada Exemplo 1 0, se - 5 < x < 0 Seja f (x ) = , f (x ) = f (x + 10) . 3, se 0 < x < 5 a) Construa o gráfico de f(x). 0, se - 5 < x < 0 , f (x ) = f (x + 10) . Figura 3: Gráfico de f (x ) = 3, se 0 < x < 5 b) f(x) satisfaz às condições de Dirichlet? • f (x ) é definida em (− 5,5) , exceto em x = 0 (há um número finito de descontinuidades no intervalo); f (x ) é periódica de período fundamental P = 10 , isto é, f (x ) = f (x + 10) ; • f (x ) e f ' (x ) são seccionalmente contínuas em (− 5,5) . • Assim, a série de Fourier converge para f (x ) nos pontos de continuidade e para dos limites laterais) nos pontos de descontinuidade. c) Determine a série de Fourier correspondente a f(x). P = 2L = 10 ⇒ L = 5 1 a0 = L ∫ 1 f (x )dx = 5 −L L ∫ 0 0dx + −5 ∫ 5 0 3 3 5 3dx = [x ]0 = (5 − 0 ) = 3 5 5 a0 = 3 27 3 (média 2 1 an = L ∫ 1 nπ x f (x ) cos dx = 5 L −L L ∫ 0 nπ x 0 cos dx + 5 −5 ∫ nπ x 3 cos dx 5 0 5 5 3 5 3 nπ x a n = sen [sen (nπ) − sen (0)] = 0 = 5 nπ 5 0 nπ an = 0 1 bn = L ∫ 1 nπ x f (x )sen dx = 5 L −L L ∫ 0 nπ x 0sen dx + 5 −5 ∫ nπ x 3sen dx 5 0 5 5 3 5 3 3 nπ x b n = − cos [1 − cos(nπ)] = − [cos(nπ) − cos(0)] = 5 nπ nπ nπ 5 0 bn = 3 3 n (− 1)n +1 + 1 1 − (− 1) = nπ nπ bn = 3 (− 1)n +1 + 1 nπ [ ] [ [ ] ] Série de Fourier de f (x ) : 3 3 f (x ) = + 2 π ∞ ∑ (− 1)n +1 + 1 sen nπ x n 5 n =1 f (x ) = 3 3 2 πx 2 3π x 2 5π x 2 7π x + sen + sen + sen + sen + K 2 π 1 5 3 5 5 5 7 5 f (x ) = 3 6 πx 1 3π x 1 5π x 1 7π x + sen + sen + sen + sen + K 2 π 5 3 5 5 5 7 5 3 6 f (x ) = + 2 π ∞ ∑ 1 (2n − 1)π x sen 2n − 1 5 n =1 28 (a) (b) Figura 4: (a) Expansão de f(x) em série de Fourier com n = 19 ; (b) expansão de f(x) em série de Fourier com n = 49 . d) Redefina f(x) para que a série de Fourier venha a convergir para f(x) em − 5 ≤ x ≤ 5 . 3 2 , x = -5 0, - 5 < x < 0 f (x ) = 3 2 , x = 0 3, 0 < x < 5 3 2 , x = 5 Exemplo 2 Seja f (x ) = x 2 , 0 < x < 2π , f (x ) = f (x + 2π) . a) Esboce o gráfico de f(x). Figura 5: Gráfico de f (x ) = x 2 , 0 < x < 2π , f (x ) = f (x + 2π) . 29 b) Expanda f(x) em uma série de Fourier. P = 2 L = 2π ⇒ L = π Lembre-se de que a função está definida em (0,2L ) , e não em (− L, L ) . 1 a0 = L a0 = ∫ c+ 2L c 1 f (x )dx = π ∫ 2π 2π 1 x3 1 8π 2 x dx = = 8π 3 − 0 = π 3 0 3π 3 ( 2 0 ) 8π 2 3 1 an = L ∫ c+2L c 1 nπ x f (x ) cos dx = π L ∫ 2π x 2 cos(nx )dx (2.4.1) 0 Usando integração por partes, temos que: ∫ udv = uv − ∫ vdu u = x 2 , du = 2xdx, dv = cos(nx )dx , v = ∫ x 2 cos(nx )dx = x 2 sen (nx ) 2 − n n ∫ sen (nx ) n x sen (nx )dx u = x , du = dx, dv = sen (nx )dx , v = − cos(nx ) n ∫ x 2 cos(nx )dx = x 2 sen (nx ) 2 x cos(nx ) 1 − − + n n n n ∫ x 2 cos(nx )dx = x 2 sen (nx ) 2 x cos(nx ) 2sen (nx ) + − +C n n2 n3 ∫ cos(nx )dx Voltando a (2.4.1), obtemos: 1 an = π ∫ 2π 2π 1 x 2 sen (nx ) 2x cos(nx ) 2sen (nx ) x cos(nx )dx = + − π n n2 n3 0 2 0 30 an = 1 4π 4 − 0 = 2 2 π n n an = 4 n2 1 bn = L ∫ c+2L c 1 nπ x f (x )sen dx = π L ∫ 2π x 2 sen (nx )dx (2.4.2) 0 Usando integração por partes, temos que: u = x 2 , du = 2xdx, dv = sen (nx )dx, v = − ∫ x 2 sen (nx )dx = − x 2 cos(nx ) 2 + n n ∫ cos(nx ) n x cos(nx )dx u = x , du = dx, dv = cos(nx )dx , v = sen (nx ) n ∫ x 2 cos(nx ) 2 x sen (nx ) 1 x sen (nx )dx = − + − n n n n ∫ x 2 sen (nx )dx = − 2 ∫ sen (nx )dx x 2 cos(nx ) 2 x sen (nx ) 2 cos(nx ) + + +C n n2 n3 Voltando a (2.4.2), obtemos: 1 bn = π bn = ∫ 0 2π 2π 1 x 2 cos(nx ) 2x sen (nx ) 2 cos(nx ) x sen (nx )dx = − + + π n n2 n3 0 2 1 4π 2 2 2 4π + 3 − 3=− − π n n n n bn = − 4π n 31 Série de Fourier de f (x ) : ∞ ∑ 4π 2 f (x ) = +4 3 cos(nx ) πsen (nx ) n 2 − n (2.4.3) n =1 Em x = 0 , (2.4.3) converge para a média dos limites laterais, ou seja 4π 2 + 0 = 2π 2 . 2 Figura 6: (a) Expansão de f(x) em série de Fourier com n = 10 ; (b) expansão de f(x) em série de Fourier com n = 20 . ∞ c) Usando a série de Fourier de f(x), prove que ∑ n =1 Considerando x = 0 em (3), temos que: ∞ ∑ 4π 2 2π 2 = +4 3 1 n2 n =1 ∞ ∑ 4 1 4π 2 2π 2 2 = 2 π − = 3 3 n2 n =1 32 1 1 1 1 π2 . = 1+ 2 + 2 + 2 +L = 6 n2 2 3 4 ∞ ∑ 1 π2 = 6 n2 n =1 Observações: 1a) Comando do winplot para uma função definida por várias sentenças:: joinx( ) Exemplo x 2 + 2, x <1 f (x ) = − x + 4, 1 ≤ x ≤ 3 1 , x>3 x 1 joinx x 2 + 2 | 1,− x + 4 | 3, x 2a) Comando do winplot para uma soma: sum(f(n,x),n,a,b): soma de f (n, x ) de n = a até n = b Exemplo 4 f (x ) = + π ∞ ∑ 1 sen (2nx ) n n =1 (4/pi)+sum((1/n)*sin(2*n*x),n,1,100) 33 Exercícios 01. Seja f ( x ) = x + π , − π < x < π , uma função 2π -periódica. a) Verifique se f ( x ) satisfaz às condições de Dirichlet. b) Expanda f ( x ) em uma série de Fourier. ∞ ∑ R.: f (x ) = π + 2 (− 1)n +1 sen(nx ) n n =1 c) Mostre que ∞ (− 1)n+1 = π . ∑ 2n − 1 n =1 4 d) Como f ( x ) deveria ser definida em x = −π e x = π para que a série de Fourier convergisse para f ( x ) em − π ≤ x ≤ π ? e) Plote simultaneamente o gráfico de f ( x ) e da série de Fourier que converge para ela. 02. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. (a) (b) Figura 7: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com n = 5 . R.: f (x ) = 1 8 + 2 π2 ∞ ∑ n =1 nπ 1 − cos 2 2 n cos nπ x 2 34 03. Seja o sinal representado no gráfico abaixo. y 4 3 2 1 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 Figura 8: Sinal. a) Determine a série de Fourier correspondente ao sinal. 4 R.: f (x ) = 1 + π ∞ ∑ (− 1)n +1 + 1 sen (nπx ) n n =1 b) Para quanto converge a série de Fourier do sinal em x = 1 ? E em x = 2 ? R.: 1 c) Use a série de Fourier determinada em (a) para calcular para quanto converge a série numérica ∞ ∑ 1 . n2 n =1 R.: π2 6 d) Plote simultaneamente os gráficos de f (x ) e da série de Fourier de f (x ) . 2.5 – Funções pares e funções ímpares Uma função f(x) é par se f (− x ) = f (x ) . Assim, f 1 (x ) = x 2 , f 2 (x ) = 2 x 6 − 4 x 2 + 5 , f 3 (x ) = cos(x ) e f 4 (x ) = e x + e − x são funções pares. 35 Figura 9: Gráfico da função f (x ) = e x + e − x . Uma função f(x) é ímpar se f (− x ) = −f (x ) . Assim, f 1 (x ) = x 3 , f 2 (x ) = x 5 − 3x 3 + 2 x , f 3 (x ) = sen (x ) e f 4 (x ) = tg (3x ) são funções ímpares. Figura 10: Gráfico da função f (x ) = x 5 − 3x 3 + 2 x . Teorema – Propriedades das funções pares e ímpares (a) O produto de duas funções pares é par. (b) O produto de duas funções ímpares é par. (c) O produto de uma função par e uma função ímpar é ímpar. (d) A soma (ou diferença) de duas funções pares é par. 36 (e) A soma (ou diferença) de duas funções ímpares é ímpar. (f) Se f é par, então ∫ (g) Se f é ímpar, então a f (x )dx = 2 −a ∫ ∫ a f (x )dx . 0 a f (x )dx = 0 . −a Demonstração Seja F(x ) = f (x ) g(x ) . (a) Suponhamos f(x) e g(x) funções pares. Assim: f (− x ) = f (x ), g(- x ) = g (x ) F(− x ) = f (− x ) g (- x ) = f (x ) g(x ) = F(x ) ∴ F(x ) é par b) Suponhamos f(x) e g(x) funções ímpares. Logo: f (− x ) = −f (x ), g (- x ) = −g(x ) F(− x ) = f (− x ) g (- x ) = −f (x )[- g(x )] = f (x ) g(x ) = F(x ) ∴ F(x ) é par (c) Suponhamos f(x) par e g(x) ímpar. Então: f (− x ) = f (x ), g(- x ) = −g(x ) F(− x ) = f (− x ) g (- x ) = f (x )[- g (x )] = −f (x ) g(x ) = −F(x ) ∴ F(x ) é ímpar Seja F(x ) = f (x ) ± g(x ) . (d) Suponhamos f(x) e g(x) funções pares. Dessa forma: f (− x ) = f (x ), g (- x ) = g(x ) F(− x ) = f (− x ) ± g(- x ) = f (x ) ± g (x ) = F(x ) ∴ F(x ) é par (e) Suponhamos f(x) e g(x) funções ímpares. Assim: 37 f (− x ) = −f (x ), g (- x ) = −g(x ) F(− x ) = f (− x ) + g(- x ) = −f (x ) − g(x ) = −[f (x ) + g (x )] = −F(x ) ∴ F(x ) é ímpar F(− x ) = f (− x ) − g (- x ) = −f (x ) + g(x ) = −[f (x ) − g(x )] = −F(x ) ∴ F(x ) é ímpar (f) f(x) é par ⇒ f (− x ) = f (x ) ∫ ∫ 0 0 f − x dx = f − x dx = a a 0 0 f (x )dx = −a a ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ () ∫ () ∫ () ∫ () ∫ f (x )dx = − −a a a f x dx + −a f x dx 0 a f x dx = 0 a f (x )dx = 2 f x dx + 0 0 ∫ a f (x )dx 0 (g) f(x) é ímpar ⇒ f (− x ) = −f (x ) ∫ ∫ 0 0 f − x dx = f − x dx = − a a 0 0 f (x )dx = −a a ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ () ∫ () ∫ () ∫ () ∫ f (x )dx = − −a a a f x dx + −a f x dx 0 a f x dx = − 0 a f (x )dx = 0 f x dx + 0 Exemplo f (x ) = x 5 cos(2 x )sen (3x ), x ∈ ]- ∞, ∞[ 5 f (− x ) = (− x ) cos(− 2 x )sen (− 3x ) = -x 5 cos(2x )[− sen (3x )] = x 5 cos(2 x )sen (3x ) = f (x ) f (x ) é função par Exercícios Verifique a paridade das seguintes funções: 01. f (x ) = sen (x ) cos(4 x ) , x ∈ ]− ∞, ∞[ 02. f (x ) = cos(2 x ) cos(5x ) , x ∈ ]− ∞, ∞[ 03. f (x ) = sen (3x )sen (x ) , x ∈ ]− ∞, ∞[ 04. f (x ) = sen (5x ) cos(x )sen (2x ) , x ∈ ]− ∞, ∞[ 38 0 05. f (x ) = x 4 sen (2x ) , x ∈ ]− ∞, ∞[ 06. f (x ) = x 2 cos(3x ) , x ∈ ]− ∞, ∞[ 07. f (x ) = x 7 cos(x )sen (4 x ) , x ∈ ]− ∞, ∞[ 08. f (x ) = (x + 2 ) cos(2 x ) , x ∈ ]− ∞, ∞[ 09. f (x ) = e x sen (x ) , x ∈ ]− ∞, ∞[ ( ) 10. f (x ) = e x + e − x cos(3x )sen (x ) , x ∈ ]− ∞, ∞[ 11. f (x ) = x + e x , x ∈ ]− ∞, ∞[ 12. f (x ) = 1 , x ∈ ]− ∞,0[ ∪ ]0, ∞[ x 13. f (x ) = 1 x (e + e − x )sen(10x )cos(8x ) , x ∈ ]− ∞,0[ ∪ ]0, ∞[ 2 x ( ) 14. f (x ) = e x − e − x cos(x )sen (3x ) , x ∈ ]− ∞, ∞[ 2.6 – Série de Fourier de cossenos Se f(x) é uma função par em (− L, L ) , então temos que: 1 a0 = L 1 an = L ∫ ∫ L 2 f (x )dx = L −L L −L ∫ L f (x )dx 0 2 nπ x f (x ) cos dx = L 1442 4L43 ∫ L 0 nπ x f (x ) cos dx L função par 1 bn = L ∫ L nπ x f (x )sen dx = 0 4L43 − L 1442 função ímpar a Série de Fourier de cossenos: f (x ) = 0 + 2 ∞ ∑ n =1 nπ x a n cos L Exemplos − x , se - 2 < x < 0 01. Expanda f (x ) = , f (x ) = f (x + 4 ) , em uma série de Fourier de cossenos. x, se 0 < x < 2 39 R.: f (x ) = 1 + 4 π2 ∞ ∑ (− 1)n − 1 cos nπ x n =1 2 n2 y 4 3 2 1 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 − x , se - 2 < x < 0 Figura 11: Gráfico da função f (x ) = , − 2 < x < 2 , f (x ) = f (x + 4 ) , expandida em x, se 0 < x < 2 série de Fourier de cossenos com n = 5 e n = 100 . ∞ 02. Mostre que ∑( n =1 1 2n − 1) 2 = π2 8 . ∞ 03. Determine para quanto converge a soma ∑( n =1 1 2n ) 2 . R.: π2 24 2.7 – Série de Fourier de senos Se f(x) é uma função ímpar em (− L, L ) , então temos que: 1 a0 = L 1 an = L ∫ ∫ L f (x )dx = 0 −L L −L nπ x f (x ) cos dx = 0 4L43 1442 função ímpar 40 1 bn = L ∫ L 2 nπ x f (x )sen dx = L L 3 − L 144244 ∫ L nπ x f (x )sen dx L 0 função par ∞ Série de Fourier de senos: f (x ) = ∑ n =1 nπ x b n sen L Exemplo Expanda f (x ) = x , - 2 < x < 2 , f (x ) = f (x + 4 ) , em uma série de Fourier de senos. R.: f (x ) = 4 π ∞ ∑ (− 1)n +1 sen nπ x n =1 n 2 y 4 3 2 1 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 Figura 12: Gráfico da função f (x ) = x , − 2 < x < 2 , f (x ) = f (x + 4 ) , expandida em série de Fourier de senos com n = 10 e n = 100 . Exercícios 01. Seja f (x ) = 2 x, - 3 ≤ x < 3 , f (x ) = f (x + 6) . a) Desenvolva f(x) em uma série de Fourier. R.: f (x ) = 12 π ∞ ∑ n =1 (− 1)n +1 sen nπ x n 3 41 ∞ b) Determine para quanto converge a série ∑ n =1 (− 1)n +1 . 2n − 1 R.: π 4 02. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. (a) (b) Figura 13: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com cinco harmônicos. R.: f (x ) = 3 8 + 2 π2 ∞ ∑ n =1 nπ cos −1 2 cos nπ x n2 2 03. Calcule a série de Fourier do sinal periódico representado no gráfico (a) da figura abaixo. (a) (b) Figura 14: (a) Sinal; (b) Série de Fourier do sinal com vinte harmônicos. 42 R.: f (x ) = 6 π ∞ ∑ (− 1)n − n =1 2 nπ sen nπ 2 n sen nπ x 2 4, - 4 < x ≤ -2 - 3x - 2, - 2 ≤ x ≤ 0 04. Seja f (x ) = , f (x ) = f (x + 8) . Determine a série de Fourier de f (x ) . 3x 2, 0 ≤ x ≤ 2 4, 2 ≤ x < 4 R.: f (x ) = 5 24 + 2 π2 ∞ ∑ n =1 nπ cos −1 2 cos nπ x n2 4 05. Seja f (x ) = x sen (2 x ), - π < x < π, f (x + 2π ) = f (x ) , representada graficamente abaixo. y 3 2 1 x −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −1 −2 −3 Figura 15: Gráfico de f (x ) = x sen (2 x ), - π < x < π, f (x + 2π ) = f (x ) . a) Determine a série de Fourier de f (x ) . ∞ ∑ 1 4 1 R.: f (x ) = − + cos(x ) − cos(2 x ) − 4 2 3 4 (− 1)n +1 cos(nx ) n =3 n2 − 4 b) Empregando (a), calcule para quanto converge a série numérica ∞ ∑ n =1 R.: (− 1)n+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + K . n (n + 4) 1.5 2.6 3.7 4.8 5.9 6.10 7 48 43 06. Seja f : R → R / f (x ) = x cos(3x ), - π < x < π, f (x + 2π) = f (x ) . a) Calcule a série de Fourier de f (x ) . ∞ ∑ 1 4 1 R.: f (x ) = sen (x ) − sen (2x ) − sen (3x ) + 2 4 5 6 n=4 n n (− 1) sen (nx ) (n − 3)(n + 3) b) Determine para quanto converge a série numérica ∞ ∑ n =1 R.: (− 1)n +1 (2n + 3) = 5 − 7 + 9 − 11 + 13 − 15 + K . n (n + 3) 1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9 5 6 2.8 – O fenômeno de Gibbs Josiah Willard Gibbs (1839-1903): matemático e físico teórico norte americano. Principais contribuições: análise vetorial e mecânica estatística. O fenômeno de Gibbs descreve a maneira peculiar como a série de Fourier truncada de uma função f (x ) periódica e seccionalmente contínua se comporta nas vizinhanças de uma descontinuidade dessa função. A n-ésima soma parcial da série de Fourier apresenta oscilações de maior amplitude nas proximidades de uma descontinuidade. A amplitude dessas oscilações não diminui com o aumento do número de harmônicos, porém tende a um limite. Há uma estimativa para a amplitude das oscilações nas proximidades de uma descontinuidade x 0 dada por 0,09[f (x 0 + ) − f (x 0 - )]. A Figura 16 ilustra o fenômeno de Gibbs para a onda quadrada. 0, - 1 < x < 0 Onda quadrada: f (x ) = , f (x + 2 ) = f (x ) . 1, 0 < x < 1 1 1 Série de Fourier da onda quadrada: f (x ) = + 2 π ∞ ∑ n =1 44 (− 1)n +1 + 1 sen(nπx ) n y 1 x −1 1 0, - 1 < x < 0 , f (x + 2) = f (x ) , com n = 5 , Figura 16: Série de Fourier da onda quadrada f (x ) = 1, 0 < x < 1 n = 10 , n = 20 e n = 100 . Exercício Pesquise a respeito dos seguintes aspectos do fenômeno de Gibbs: a) amplitude das oscilações; b) como minimizar os efeitos do fenômeno de Gibbs; c) consequências do fenômeno de Gibbs associadas principalmente à compactação de imagens e de áudio; d) associe os fenômenos de Gibbs e de Runge (interpolação polinomial). 2.9 – A identidade de Parseval para séries de Fourier Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755-1836): matemático francês. Se a n e b n são os coeficientes de Fourier correspondentes a f (x ) , e se f (x ) satisfaz as condições de Dirichlet, então 1 L ∫ L [f (x )] −L 2 a2 dx = 0 + 2 45 ∞ ∑( a 2n + b 2n ). n =1 Demonstração Assumimos que a série de Fourier correspondente a f (x ) converge uniformemente para f (x ) em (− L, L ) e que: 1 a0 = L 1 an = L 1 bn = L ∫ ∫ ∫ L f (x )dx ⇒ −L ∫ ∫ ∫ L f (x )dx = a 0 L −L L nπ x f (x ) cos dx L −L ⇒ L nπ x f (x )sen dx L −L ⇒ L nπ x f (x ) cos dx = a n L L −L L nπ x f (x )sen dx = b n L L −L Dessa forma, multiplicando ∞ ∑ a f (x ) = 0 + 2 n =1 nπ x nπ x a n cos L + b n sen L por f (x ) e integrando termo a termo de –L a L, temos que: ∫ ∫ ∫ 1 L L [f (x )] 2 −L L a dx = 0 2 ∫ ∞ L f (x )dx + −L L 2 −L ∫ L [f (x )] −L 2 + a2 dx = 0 + 2 nπ x f (x ) cos dx + b n L −L ∫ nπ x f (x )sen dx L −L L a n a n L + b n b n L) n =1 ∞ 2 [f (x )] 2 dx = L a 0 L ∞ ∑( ∑( ∑( −L [f (x )] ∑ ∫ n =1 a dx = 0 a 0 L + 2 2 a n n =1 a 2n + b 2n ) ∞ a 2n + b 2n ) n =1 Aplicações • • Convergência de séries. Verificar se uma série trigonométrica é a série de Fourier de uma função f(x). 46 Exercício − x , se - 2 < x < 0 , f (x ) = f (x + 4 ) . Determine a identidade de Parseval correspondente à Seja f (x ) = x, se 0 < x < 2 série de Fourier de f(x). ∞ R.: ∑( 1 2n − 1) n =1 =1+ 4 1 1 1 π4 + + + L = 96 34 54 7 4 (2.9.1) 2.10 – Convergência de séries numéricas através da série de Fourier Exemplo Empregando a identidade de Parseval determinada anteriormente, mostrar que ∞ ∑ n =1 ∞ ∑ ∑ ∑ ∑( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ () 1 π4 = n 4 90 ∞ e ∑ n =1 1 π4 . = (2n )4 1440 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 +L 4 n 2 3 4 5 6 7 n =1 ∞ 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + 4 + 4 + 4 + L + 4 + 4 + 4 + L 4 n 5 7 4 6 3 2 n =1 ∞ 1 = n4 n =1 ∞ ∞ n =1 1 1 + 4 4 2 2n − 1 1 π4 1 = + n 4 96 16 n =1 ∞ 1 1 1 1 + 4 + 4 + 4 + L 3 4 2 1 n4 n =1 1 1 − 16 ∞ 1 π4 = n 4 96 n =1 15 16 ∞ 1 π4 = n 4 96 n =1 ∞ 1 16 π 4 π4 = = n 4 15 96 15 6 n =1 47 ∞ ∑ 1 π4 = n 4 90 (2.10.1) n =1 Empregando (2.9.1) e (2.10.1), temos que: ∞ ∑( ∑( ∑( 1 2n ) n =1 ∞ ∞ 4 = 4 = 1 2n ) n =1 = 1 2n ) n =1 4 1 1 1 1 + 4 + 4 + 4 +L 4 8 2 4 6 π4 − 90 π4 96 = 16π 4 − 15π 4 1440 π4 1440 2.11 – Derivação e integração da série de Fourier ∞ Teorema 1: Se {u n (x )}, n = 1,2,3,K , forem contínuas em [a , b] e se ∑ u n (x ) convergir n =1 uniformemente para a soma S(x ) em [a , b] , então ∫ ∞ b S(x )dx = a ∑∫ n =1 b a u n (x )dx ou ∞ ∫ ∑ b a n =1 u n (x )dx = ∞ ∑∫ n =1 b a u n (x )dx . Assim, uma série uniformemente convergente de funções contínuas pode ser integrada termo a termo. Teorema 2: Se {u n (x )}, n = 1,2,3,K , forem contínuas e tiverem derivadas contínuas em [a , b] ∞ e se ∑ ∞ u n (x ) convergir para S(x ) enquanto ∑ n =1 u 'n (x ) é uniformemente convergente em [a , b] , n =1 então em [a , b] ∞ S (x ) = ' ∑ n =1 d u (x ) ou dx ' n ∞ ∑ n =1 u n (x ) = ∞ ∑ n =1 d u n (x ) . dx Dessa forma, a série pode ser derivada termo a termo. Observação: Os teoremas 1 e 2 oferecem condições suficientes, porém não necessárias. 48 Teorema 3: A série de Fourier correspondente a f(x) pode ser integrada termo a termo de a a x, e a série resultante convergirá uniformemente para ∫ x f (u )du desde que f(x) seja seccionalmente a contínua em − L ≤ x ≤ L e ambos, a e x, pertençam a esse intervalo. Exemplo Seja f (x ) = x, - 2 < x < 2 . a) Obtenha uma série de Fourier para f (x ) = x 2 , 0 < x < 2 , integrando a série de Fourier f (x ) = x = 4 π ∞ ∑ (− 1)n +1 sen nπ x . n =1 2 n ∞ b) Use a série obtida anteriormente para mostrar que ∑ (− 1)n +1 = π 2 n2 12 . n =1 a) f (x ) = x = 4 π ∞ ∑( n =1 n +1 − 1) n nπ x sen 2 f (x ) = x = 4 π x 1 2π x 1 3π x 1 4π x sen + L − sen + sen − sen π 2 2 2 3 2 4 2 f (u ) = u = 4 π u 1 2π u 1 3π u 1 4π u sen − sen + sen − sen + L π 2 2 2 3 2 4 2 Integrando a igualdade anterior de 0 a x, temos que: ∫ x 0 4 udu = π ∫ x 1 πu sen du − 2 2 0 ∫ x 1 2π u sen du + 3 2 0 ∫ x 1 3π u sen du − 4 2 0 ∫ 4π u sen du + L 2 0 x x2 4 2 2 2 2 πx 2π x 3π x 4π x = − cos + C1 + 2 cos + C 2 − 2 cos + C 3 + 2 cos + C 4 + L 2 π π 2 2 2 4 4 π 44 4244444 144444 44424π44444 444 432π44444 4444 3 (1) x2 4 2 2 2 2 πx 2π x 3π x 4π x = C ' + − cos + 2 cos − 2 cos + 2 cos + L 2 π π 2 2 π 2 3 π 2 4 π 2 x2 8 πx 1 2π x 1 3π x 1 4π x = C ' − 2 cos − 2 cos + 2 cos − 2 cos + L 2 π 2 2 2 3 2 4 2 x2 = C − 16 π2 πx 1 2π x 1 3π x 1 4π x cos 2 − 2 2 cos 2 + 3 2 cos 2 − 4 2 cos 2 + L 49 ∞ ∑ Em (1), se a soma C i = C1 + C 2 + K < ∞ for conhecida, podemos usá-la para determinar a 0 . i =1 a 1 C= 0 = 2 L ∫ 2 1 f (x )dx = 2 0 ∫ 2 2 1 x3 1 8 4 x dx = = ⋅ = 2 3 0 2 3 3 2 0 Logo: x2 = 4 16 − 3 π2 π x 1 2π x 1 3π x 1 4π x cos 2 − 2 2 cos 2 + 3 2 cos 2 − 4 2 cos 2 + L 4 16 f (x ) = x = − 2 3 π 2 ∞ ∑ (− 1)n +1 cos nπ x n2 (2.11.1) 2 n =1 b) Considerando x = 0 em (2.11.1): ∞ ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ 4 16 x2 = − 2 3 π (− 1)n +1 n2 n =1 0= ∞ 4 16 − 3 π2 n +1 −1 n2 n =1 ∞ 4 16 − =− 2 3 π n +1 −1 n2 n =1 4 π2 ⋅ = 3 16 ∞ n +1 −1 n2 n =1 ∞ ∑ (− 1)n +1 = π 2 n2 12 n =1 2.12 – A forma exponencial (ou complexa) da série de Fourier a a) Mostrar que f (x ) = 0 + 2 ∞ complexa f (x ) = ∑ cne i nπ x L ∞ ∑ n =1 nπ x nπ x a n cos L + b n sen L pode ser escrita na forma . n = −∞ 50 b) Mostrar que os coeficientes de Fourier a 0 , a n e b n podem ser escritos como uma única 1 integral c n = 2L ∫ L f (x )e −i nπ x L dx , n = 0,±1,±2,±3,K . -L a) Recordando as identidades de Euler (Leonhard Euler (1707-1783): matemático suíço) e ± iθ = cos(θ ) ± i sen (θ ) Seja f (x ) = [cos(x ) + i sen (x )]e − i x . (2.12.1) d f (x ) = [i cos(x ) − sen (x )]e −i x + [cos(x ) + i sen (x )](− i )e −i x dx d f (x ) = [i cos(x ) − sen (x ) − i cos(x ) + sen (x )]e −i x = 0 ⇒ f (x ) é constante dx f (0 ) = [cos(0) + i sen (0 )]e −i (0 ) = 1 f (x ) = 1 Voltando a (2.12.1), temos que: 1 = [cos(x ) + i sen (x )]e −i x ⇒ cos(x ) + i sen (x ) = e i x Assim: e e i nπ x L −i nπ x L nπ x nπ x = cos + i sen L L nπ x nπ x nπ x nπ x = cos − + i sen − = cos − i sen L L L L As igualdades anteriores conduzem a: nπ x e cos = L nπ x e sen = L i nπ x L i nπ x L +e 2 −e 2i −i nπ x L −i nπ x L Substituindo as igualdades acima na série de Fourier de f (x ) , temos que: 51 ∞ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ a f (x ) = 0 + 2 n =1 ∞ a f (x ) = 0 + 2 n =1 ∞ a f (x ) = 0 + 2 n =1 ∞ a f (x ) = 0 + 2 n =1 ∞ a f (x ) = 0 + 2 n =1 nπ x nπ x a n cos L + b n sen L nπ x nπ x nπ x nπ x i i −i −i e L +e L e L −e L + bn an 2 2i a n b n i nπL x a n b n −i nπL x + − e e + 2i 2 2i 2 ia n + b n i nπL x ia n − b n −i nπL x + e e 2 i 2 i a n − ib n 2 Considerando c n = ∞ f (x ) = ∑ cne i i e nπ x L a + ib n + n 2 −i e nπ x L a + ib n a n − ib n e c -n = n ⇒ a n = c n + c −n e b n = i(c n − c −n ) : 2 2 nπ x L n = −∞ a0 2 n = 0 ⇒ c0 = Exercício Mostre que ∫ L e i ( n − m )π x L -L 0, se m ≠ n dx = 2L, se m = n ∞ b) Multiplicando f (x ) = ∑ cne i nπ x L por e −i mπ x L e integrando de –L a L, obtemos: n = −∞ ∫ ∫ L f (x )e −i mπ x L ∞ dx = -L f (x )e -L ∑ ∫ ∑ ∫ n = −∞ L −i mπ x L ∞ dx = c n n = −∞ c n L e i nπ x L e −i mπ x L -L L e -L i ( n − m )π x L dx dx 52 Considerando n = m : ∫ L f (x )e nπ x L −i dx = c n 2L -L 1 cn = 2L ∫ L f (x )e −i nπ x L dx -L Outra forma de mostrar: 1 1 1 c n = (a n − ib n ) = 2 2 L 1 cn = 2L 1 cn = 2L 1 c0 = 2L ∫ ∫ L ∫ L 1 nπ x f (x ) cos dx − i L L −L ∫ nπ x f (x )sen dx L −L L nπ x nπ x f (x )cos − i sen dx L L −L L f (x )e −i nπ x L dx −L ∫ L 1 f (x )dx ⇒ 2c 0 = L −L ∫ L f (x )dx ⇒ 2c 0 = a 0 ⇒ c 0 = −L a0 2 Exemplo f (x ) = x , - 2 < x < 2, P = 4 ⇒ L = 2 1 cn = 2L 1 cn = 4 ∫ ∫ i cn = − 4 L f (x )e −i nπ x L dx −L 2 xe −2 ∫ 2 −2 −i nπ x 2 1 dx = 4 ∫ 2 −2 nπ x nπ x x cos − i sen dx 2 2 i nπ x x sen dx = − 2 2 ∫ 0 2 nπ x xsen dx 2 Integrando por partes, temos que: 2 i 2x 4 i 4 nπ x nπ x c n = − − cos cos(nπ ) + 2 2 sen = − − 2 nπ 2 nπ 2 n π 2 0 53 (2.12.2) cn = 2i (− 1)n , n ≠ 0 nπ n = 0 ⇒ c 0 = 0 (substitua n por 0 em (2.12.2)) ∞ f (x ) = ∑ cne i nπ x L n = −∞ ∞ f (x ) = ∑ n = −∞ i 2i (− 1)n e nπ nπ x 2 2i = π ∞ ∑ n = −∞ (− 1)n e i nπ2 x n Verificando a equivalência entre as formas exponencial e usual: 2 f (x ) = π ∞ ∑ (− 1)n n n = −∞ Para n opostos, 4 f (x ) = π ∞ ∑ nπ x nπ x i cos 2 − sen 2 (− 1)n i cos nπ x se anula e 2 n (− 1)n sen nπ x duplica. Assim: n 2 (− 1)n +1 sen nπ x n 2 n =1 1 c0 = 4 ∫ 2 x dx = 0 −2 Exercícios 01. Determine a série de Fourier na forma exponencial de f (x ) = e − x , − π < x < π , f (x ) = f (x + 2π ) . senh (π) R.: f (x ) = π ∞ ∑ (− 1)n e inx 1 + in n = −∞ 10, - 5 < x < 0 02. Seja f (x ) = , f (x ) = f (x + 10) . Expanda f (x ) em série de Fourier na forma − 10, 0 < x < 5 exponencial. 54 10i R.: f (x ) = π ∞ ∑ (− 1)n +1 + 1 e i nπ5 x , n = 0 ⇒ c n i 0 n = −∞ ( 2 n −1) π x 20i ∞ e 5 = 0 ou f (x ) = ∑ π n = −∞ 2n − 1 03. Seja f (x ) = 2 x, - π < x < π, f (x + 2π) = f (x ) . a) Expanda f (x ) em série de Fourier na forma exponencial. Para quanto converge a série em x = ±π ? ∞ R.: f (x ) = 2 i ∑ (− 1)n e inx , n = 0 ⇒ c n 0 =0 n = −∞ Em x = ± π a série de Fourier converge para a média dos limites laterais, ou seja, zero. ∞ b) Use a série determinada no item a para calcular ∑ 1 π2 . R.: 6 n2 n =1 2.13 – Aplicações da série de Fourier na solução de equações diferenciais parciais A série de Fourier surge na solução de equações diferenciais parciais, tais como a equação do calor, a equação da onda e a equação de Laplace. 2.13.1 – Equações diferenciais Uma equação diferencial é uma igualdade que relaciona uma função e suas derivadas (ou apenas as derivadas dessa função). Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma igualdade envolvendo as derivadas de uma função de uma única variável independente. Exemplos dy(t ) + 3y(t ) = 0, t > 0 dt (1) u '' (x ) − 4u (x ) = 3 cos(2πx ), x > 0 (2) Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma igualdade envolvendo as derivadas de uma função de duas ou mais variáveis independentes. Exemplos u t (x , t ) = 2u xx (x, t ), 0 < x < 2, t > 0 (3) 55 ∂ 2 u (x , y ) ∂ 2 u (x , y ) + = 2 xy, 0 < x < 1, 0 < y < 1 ∂x 2 ∂y 2 (4) u t (x , t ) + u (x, t )u x (x , t ) = Γ u xx (x , t ), 1 < x < 5, t > 0 (5) A ordem de uma equação diferencial é dada pela derivada (simples ou parcial) de maior ordem que ocorre na equação. Uma equação diferencial é dita linear quando depende linearmente da função (variável dependente) envolvida e seus coeficientes independem dessa função. Uma equação diferencial é dita homogênea quando o termo que independe da função e de suas derivadas é identicamente nulo. Assim, nos exemplos dados anteriormente, temos em: (1) uma EDO linear de 1a ordem homogênea; (2) uma EDO linear de 2a ordem não homogênea; (3) uma EDP linear de 2a ordem homogênea; (4) uma EDP linear de 2a ordem não homogênea (equação de Poisson); (5) uma EDP não linear de 2a ordem não homogênea (equação de Burger). Na solução de equações diferenciais parciais podemos ter dois tipos de informações suplementares necessárias à unicidade de solução: condições iniciais e condições de contorno (domínios limitados). Dessa forma, teremos problemas de valor inicial, problemas de contorno ou problemas mistos (ambos). Uma equação diferencial parcial de segunda ordem da forma A ∂ 2 φ(x, y ) ∂ 2 φ(x , y ) ∂ 2 φ(x, y ) ∂φ(x, y ) ∂φ(x , y ) + B + C +D +E + Fφ(x , y ) = G 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y ∂ x ∂ y é dita elíptica se B 2 − 4AC < 0 , parabólica se B 2 − 4AC = 0 e hiperbólica se B 2 − 4AC > 0 . 2.13.2 – Equação do calor u t (x , t ) = κ u xx (x , t ) (equação diferencial parcial parabólica) A formulação matemática da equação do calor pode ser encontrada em FIGUEIREDO, D.G. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais, página 1. Obtenha uma solução u (x , t ) para o problema misto abaixo. 56 ∂u ∂ 2u = 3 , t > 0, 0 < x < 2 2 ∂ t ∂ x u (0, t ) = u (2, t ) = 0, t > 0 u (x,0) = x , 0<x<2 u (x, t ) < M (solução limitada) Solução: u (x, t ) = X(x )T(t ) (separação de variáveis) Substituindo (1) na equação diferencial parcial, obtemos: (2.13.2.1) 2 ∂ (XT ) = 3 ∂ 2 (XT ) ∂t ∂x X dT d2X = 3T 2 dt dx 1 dT 1 d 2 X = = −λ2 2 3T dt X dx (2.13.2.2) Pode-se mostrar que uma constante c ≥ 0 em (2.13.2.2) não satisfaz as condições de contorno. Assim: dT 2 dt + 3λ T = 0 2 d X + λ2 X = 0 dx 2 (2.13.2.3) A solução do sistema de equações diferenciais ordinárias (2.13.2.3) é: 2 T = Ce −3λ t (2.13.2.4) X = A 1 cos(λ x ) + B1sen (λ x ) Substituindo (2.13.2.4) em (2.13.2.1), encontramos 2 u (x, t ) = e −3λ t [A cos(λ x ) + Bsen (λ x )], A e B constantes . (2.13.2.5) Precisamos agora determinar A e B de tal maneira que (2.13.2.5) satisfaça as condições de contorno. 2 2 u (0, t ) = 0 ⇒ e −3λ t A = 0 ⇒ A = 0 ⇒ u (x , t ) = Be −3λ t sen (λ x ) u (2, t ) = 0 ⇒ Be −3λ2 t sen (2λ ) = 0 (2.13.2.6) (2.13.2.7) Como B = 0 satisfaz (2.13.2.7) (não nos interessa a solução trivial), evitamos essa escolha ( u (x, t ) = 0 ). Consideremos então 57 sen (2λ ) = 0 ⇒ 2λ = nπ ⇒ λ = nπ , n ∈ Z. 2 (2.13.2.8) Substituindo (2.13.2.8) em (2.13.2.6): u (x , t ) = B n e − 3n 2π 2 t 4 nπ x sen . 2 (2.13.2.9) Em (2.13.2.9), substituímos B por B n , indicando que constantes diferentes podem ser usadas para diferentes valores de n. Lembrando que somas de soluções da forma (2.13.2.9) são também soluções (princípio da superposição), podemos escrever (2.13.2.9) como: ∞ u (x , t ) = ∑ n =1 Bn e − 3 n 2π 2 t 4 nπ x sen . 2 (2.13.2.10) A solução (2.13.2.10) deve satisfazer também a condição inicial u (x,0 ) = x, 0 < x < 2 . Portanto, substituindo t = 0 em (2.13.2.10), obtemos: ∞ x= ∑ n =1 nπ x B n sen , 0 < x < 2 . 2 (2.13.2.11) Observe que (2.13.2.11) equivale a expandir f (x ) = x , − 2 < x < 2 , em uma série de Fourier de senos. Logo: Bn = − 4 4 4 n (− 1)n +1 . cos(nπ ) = − (− 1) = nπ nπ nπ (questão resolvida anteriormente) (2.13.2.12) Substituindo (2.13.2.12) em (2.13.2.10), chegamos à solução 4 u (x , t ) = π ∞ ∑ 2 2 (− 1)n +1 e − 3n 4π t sen nπ x . n 2 n =1 (2.13.2.13) Exercício Mostre que a solução (2.13.2.13) satisfaz a equação diferencial parcial, as condições de contorno e a condição inicial. 58 2.13.3 – Equação da onda u tt (x , t ) = c 2 u xx (x, t ) (equação diferencial parcial hiperbólica) A formulação matemática da equação da onda pode ser encontrada em FIGUEIREDO, D.G. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais, página 130. Determine uma solução u (x , t ) para o seguinte problema misto. 2 ∂ 2u 2 ∂ u = a 2 ∂x 2 ∂t u(0, t ) = u (L, t ) = 0 u(x,0) = f (x ) u (x ,0) = 0 t u(x, t ) < M 0 < x < L, t > 0 t>0 0< x<L 0< x<L Solução: u (x, t ) = X(x )T(t ) (separação de variáveis) (2.13.3.1) Substituindo (2.13.3.1) na equação diferencial parcial, obtemos: 2 ∂2 2 ∂ ( ) (XT ) = XT a ∂ t2 ∂x 2 X d 2T d2X 2 = a T dt 2 dx 2 1 d 2T 1 d 2X = = −λ2 2 2 2 X dx a T dt (2.13.3.2) d 2T 2 2 2 + a λ T = 0 dt 2 d X + λ2 X = 0 dt 2 (2.13.3.3) A solução do sistema de equações diferenciais ordinárias (2.13.3.3) é: T = A1 cos(aλt ) + A 2 sen (aλt ) X = B1 cos(λx ) + B 2 sen (λx ) . (2.13.3.4) Substituindo (2.13.3.4) em (2.13.3.1), encontramos u (x, t ) = [A 1 cos(aλt ) + A 2 sen (aλt )][B1 cos(λx ) + B 2 sen (λx )] . 59 (2.13.3.5) Devemos agora determinar as constantes para que (2.13.3.5) satisfaça as condições de contorno e as condições iniciais. u (0, t ) = 0 ⇒ B1 [A 1 cos(aλt ) + A 2 sen (aλt )] = 0 ⇒ B1 = 0 (a solução trivial não interessa) (2.13.3.6) u (x, t ) = [A 1 cos(aλt ) + A 2 sen (aλt )][B 2 sen (λx )] = sen (λx )[Asen(aλt ) + B cos(aλt )] (2.13.3.7) u (L, t ) = 0 ⇒ sen (λL )[Asen(aλt ) + B cos(aλt )] = 0 (2.13.3.8) sen (λL ) = 0 ⇒ λL = nπ ⇒ λ = nπ , n∈Z L (2.13.3.9) u t (x , t ) = sen (λx )[aλA cos(aλt ) − aλBsen(aλt )] u t (x ,0 ) = aλAsen(λx ) = 0 ⇒ A = 0 (2.13.3.10) Substituindo (2.13.3.9) e (2.13.3.10) em (2.13.3.7), temos que: u (x, t ) = Bsen (λx ) cos(aλt ) ; ∞ u (x , t ) = ∑ n =1 nπ x nπ at B n sen cos . L L (2.13.3.11) Em (2.13.3.11), acrescentamos o índice n à constante B pensando na superposição de soluções. ∞ u (x , 0 ) = f (x ) ⇒ ∑ n =1 nπ x B n sen = f (x ) . L (2.13.3.12) Temos em (2.13.3.12) a expansão de f(x) em uma série de Fourier de senos. Logo: 2 Bn = L ∫ L 0 nπ x f (x )sen dx . L (2.13.3.13) Substituindo (2.13.3.13) em (2.13.3.11), obtemos a solução procurada. 2 u (x , t ) = L ∞ ∑∫ n =1 0 L nπ x nπ x nπ at f (x )sen dx sen cos L L L (2.13.3.14) Exercício Mostre que a solução (2.13.3.14) satisfaz a equação diferencial parcial, as condições de contorno e as condições iniciais. 60 2.13.4 – Equação de Laplace u xx (x, y ) + u yy (x, y ) = 0 (equação diferencial parcial elíptica) Obtenha uma solução u (x , y ) para o problema de contorno a seguir. ∂ 2u ∂ 2u 2 + 2 =0 ∂y ∂x u(0, y ) = u (1, y ) = u (x,0 ) = 0 u(x,1) = u = f (y ) 1 u(x, t ) < M 0 < x < 1, 0 < y < 1 y 1 u1 0 0 x 0 0 1 Figura 17: Condições de contorno para a equação de Laplace. Solução: u (x, y ) = X(x )Y(y ) (separação de variáveis) (2.13.4.1) Substituindo (2.13.4.1) na equação diferencial parcial, obtemos: ∂2 ∂2 ( XY ) + (XY ) = 0 ∂x 2 ∂y 2 Y d 2X d2Y + X =0 dx 2 dy 2 d2X d 2Y Y 2 = −X 2 = −λ2 dx dy 1 d2X 1 d 2Y =− = −λ2 2 2 X dx Y dy (2.13.4.2) 61 d 2X 2 2 +λ X =0 dx 2 d Y − λ2 Y = 0 dy 2 (2.13.4.3) A solução do sistema de equações diferenciais ordinárias (2.13.4.3) é: X = A 1 cos(λx ) + B1sen (λx ) Y = A 2 cosh (λy ) + B 2 senh (λy ) . (2.13.4.4) Substituindo (2.13.4.4) em (2.13.4.1), encontramos u (x, t ) = [A 1 cos(λx ) + B1sen (λx )][A 2 cosh (λy ) + B 2 senh (λy )] . (2.13.4.5) Devemos agora determinar as constantes para que (2.13.4.5) satisfaça as condições de contorno. u(0, y) = 0 ⇒ A1[A 2 cosh(λy) + B2 senh(λy)] = 0 ⇒ A1 = 0 (a solução trivial não interessa) (2.13.4.6) u (x, t ) = sen (λx )[A cosh (λy ) + Bsenh(λy )] (2.13.4.7) u (x,0 ) = 0 ⇒ Asen (λx ) = 0 ⇒ A = 0 (2.13.4.8) u (x, t ) = Bsen (λx )senh (λy ) (2.13.4.9) u (1, y ) = 0 ⇒ Bsen(λ )senh (λy ) = 0 ⇒ sen (λ ) = 0 ⇒ λ = nπ, n ∈ Z (2.13.4.10) Substituindo (2.13.4.10) em (2.13.4.9) e usando o princípio da superposição, temos que: ∞ u (x , t ) = ∑ B n sen (nπx )senh (nπy ) ; (2.13.4.11) n =1 ∞ u (x,1) = u 1 ⇒ ∑ B n senh (nπ )sen (nπx ) = u 1 . (2.13.4.12) n =1 Temos em (2.13.4.12) a expansão de u 1 em uma série de Fourier de senos. Assim: 2 senh (nπ)B n = 1 ∫ 0 1 u 1sen (nπ x )dx ⇒ B n = 1 2u 1 1 − cos(nπ x ) ; senh (nπ) nπ 0 62 Bn = 2u 1 (− 1)n +1 + 1 . [− cos(nπ) + 1] = 2u 1 nπ senh (nπ ) nπ senh (nπ) [ ] (2.13.4.13) Substituindo (2.13.4.13) em (2.13.4.11), obtemos a solução procurada. 2u u (x , t ) = 1 π ∞ ∑ [(− 1) n =1 n +1 ] +1 sen (nπx )senh (nπy ) n senh (nπ) (2.13.4.14) Exercícios 01. Mostre que a solução (2.13.4.14) satisfaz a equação diferencial parcial e as condições de contorno. 02. Suponha uma barra de comprimento L (extremos em x = 0 e x = L ) com temperatura inicial dada por uma função f(x). Determine a distribuição de temperatura na barra. Para este caso, o problema de valor de contorno é dado por ∂u ∂ 2u t > 0, 0 < x < L =κ 2 , ∂x ∂t u x (0, t ) = u x (L, t ) = 0, t > 0 u (x,0) = f (x ), 0<x<L u (x, t ) < M (solução limitada) R.: 1 u (x , t ) = L ∫ L 2 f (x )dx + L 0 ∞ ∑∫ n =1 L 0 κ n 2π 2 t nπ x − L2 nπ x f (x ) cos cos dx e L L 03. Solucione o problema misto: ∂ ∂2 u ( x , t ) = 2 u (x , t ) 2 ∂ t ∂ x u(0, t ) = u (4, t ) = 0 u(x,0) = 25x u(x, t ) < M 0 < x < 4, t > 0 t>0 0<x<4 R.: Bn = 200 (− 1)n +1 nπ 200 u (x , t ) = π ∞ ∑ n =1 2 2 (− 1)n +1 e − n 8π t sen nπ x n 4 63 04. Solucione os problemas de valor de contorno a seguir empregando o método de separação de variáveis. 3u x (x , y ) + 2u y (x, y ) = 0 a) u (x ,0 ) = 4e −x R.: u (x, y ) = 4e (3 y − 2 x ) 2 ∂ ∂ ∂x u (x, y ) = 2 ∂y u (x , y ) + u (x , y ) b) u (x ,0 ) = 3e −5 x + 2e −3x R.: u (x, y ) = 4e −5 x −3 y + 2e −3x − 2 y 64 2.14 – Exercícios resolvidos 01. Seja f : R → R / f (x ) = x 2 sen (2 x ) , x ∈ (− π, π) , f (x + 2π) = f (x ) . a) Plote o gráfico de f (x ) com pelo menos três períodos. 8 y y 9 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 −5 −5 −6 −6 −7 −7 −8 −8 −9 (a) (b) Figura 18: Gráfico de f : R → R / f (x ) = x 2 sen (2 x ) : (a) x ∈ (− π, π) ; (b) f (x + 2π) = f (x ) . b) Determine a série de Fourier de f (x ) . 2 f (− x ) = (− x ) sen (− 2x ) = − x 2 sen (2x ) f (x ) é função ímpar (produto de uma par por uma ímpar) ⇒ a 0 = 0, a n = 0∀n ≥ 1 P = 2 L = 2π ⇒ L = π 2 bn = L ∫ L 2 nπx f (x )sen dx = π L 0 ∫ π x 2 sen (2x )sen (nx )dx Empregando a identidade sen (u )sen (v ) = 1 bn = π ∫ π x cos[(n − 2 )x ]dx − 2 0 ∫ π 0 (2.14.1) 0 1 [cos(u − v ) − cos(u + v )] em (2.14.1), temos que: 2 x 2 cos[(n + 2 )x ]dx Calculando a integral indefinida (integração por partes): 65 (2.14.2) u = x , du = dx u = x 2 , du = 2xdx dv = cos(ax )dx , v = ∫ x 2 cos(ax )dx = sen (ax ) a x 2 sen (ax ) 2 − a a dv = sen (ax )dx, v = − ∫ cos(ax ) a x sen (ax )dx cos(ax )dx 2 x sen (ax ) 2 x cos(ax ) 2sen (ax ) = + − +C a a2 a3 = x 2 sen (ax ) 2 x cos(ax ) 1 − − + a a a a ∫ (2.14.3) Usando (2.14.3) em (2.14.2): | )] ) | π 1 x 2 sen[(n − 2 )x ] 2 x cos[(n − 2 )x ] 2sen[(n − 2 )x ] bn = + − + π n−2 (n − 2)2 (n − 2)3 0 1 x 2 sen[(n + 2)x ] 2 x cos[(n + 2 )x ] 2sen[(n + 2 x + − - π n+2 (n + 2)2 (n + 2 3 bn = 0 π 1 π 2 sen[(n − 2 )π] 2π cos[(n − 2)π] 2sen[(n − 2 )π] + − + π n−2 (n − 2)2 (n − 2)3 - 1 π 2 sen[(n + 2 )π] 2π cos[(n + 2 )π] 2sen[(n + 2)π] + − π n+2 (n + 2)2 (n + 2)3 n Como cos[(n ± 2 )π] = (− 1) e sen[(n ± 2)π] = 0 : 1 2π(− 1) 2π(− 1) − 2 π (n − 2 ) (n + 2)2 n bn = n 1 1 n − = 2(− 1) 2 (n + 2)2 (n − 2) ( 2 2 2 2 n (n + 2 ) − (n − 2 ) n n + 4n + 4 − n − 4n + 4 ( ) b n = 2(− 1) = 2 − 1 2 2 2 n2 − 4 (n − 2) (n + 2 ) ( 8n 16n (− 1)n n b n = 2(− 1) = , n≠2 2 2 2 n2 − 4 n − 4 ( b1 = − ) ( ) 16 9 Para calcular b 2 , voltamos a (2.14.2): 66 ) ) 1 b2 = π 1 = π ∫ ∫ π x cos[(2 − 2 )x ]dx − 2 0 π 2 x dx − 0 1 x 3 = π 3 ∫ π 0 ∫ π 0 x 2 cos[(2 + 2 )x ]dx x 2 cos(4 x )dx π x 2 sen (4x ) 2x cos(4 x ) 2sen (4 x ) − + − 4 42 43 0 0 | π 1 π 3 2π − π 3 16 π2 1 = − 3 8 = ∞ ∑( π2 1 16 f (x ) = − sen (x ) + − sen (2x ) + 16 9 3 8 n (− 1) n n2 − 4 n =3 ) 2 sen (nx ) (2.14.4) c) Plote simultaneamente os gráficos de f (x ) e da série de Fourier de f (x ) truncada (empregue diferentes harmônicos) e faça comentários pertinentes. y y 9 7 8 6 7 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −9 10 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −5 −4 −6 −5 −7 −6 −8 −7 −9 −8 (a) (b) ∞ ∑( π2 1 16 Figura 19: Gráfico de f (x ) = − sen (x ) + − sen (2 x ) + 16 9 3 8 n = 1000 . 67 n =3 n (− 1) n n2 − 4 ) 2 sen (nx ) : (a) n = 3 ; (b) Comentários: Como f (x ) tem descontinuidades do tipo removível em ± π, ± 3π, ± 5π,K , não se observa o fenômeno de Gibbs na série de Fourier de f (x ) . Nas descontinuidades de f (x ) , a série de Fourier converge para a média dos limites laterais (zero). d) Use a série de Fourier de f (x ) para determinar para quanto converge a série numérica ∞ ∑ n =1 Considerando x = (− 1)n +1 (2n + 1) (2n − 1)2 (2n + 3)2 = 3 5 7 9 − 2 2 + 2 2 − 2 2 + K. 2 1 .5 3 .7 5 .9 7 .11 2 2 π em (2.14.4) e lembrando que (n 2 − 4 ) = (n 2 − 2 )(n 2 + 2) : 2 16 5 7 9 π 3 f = 0 = − + 16 2 2 − 2 2 + 2 2 − 2 2 + K 2 9 1 . 5 3 . 7 5 . 9 7 . 11 ∞ ∑ 16 = 16 9 ∞ ∑ n =1 n =1 (− 1)n +1 (2n + 1) (2n − 1)2 (2n + 3)2 (− 1)n +1 (2n + 1) (2n − 1)2 (2n + 3)2 = 1 9 02. Seja f : R → R / f (x ) = senh (x ) cosh(x ) , x ∈ (− π, π) , f (x + 2π) = f (x ) . a) Determine a série de Fourier de f (x ) . f (− x ) = senh (− x ) cosh (− x ) = -senh(x ) cosh (x ) = -f (x ) f (x ) = senh (x ) cosh(x ) é uma função ímpar (produto de uma ímpar por uma par) ⇒ a 0 = 0, a n = 0∀n ≥ 1 P = 2L = 2 π ⇒ L = π bn = 2 L ∫ L 0 2 nπx f (x )sen dx = π L ∫ π senh (x ) cosh (x )sen (nx )dx 0 68 2 = π 2 = π ∫ ∫ π 0 π 0 1 = 2π ex − e−x ex + e−x 2 2 e 2x + 1 − 1 − e −2 x 4 ∫ π e sen (nx )dx − 2x 0 sen (nx )dx sen (nx )dx ∫ e - 2x sen (nx )dx 0 π (2.14.5) Calculando a integral indefinida (integração por partes) ∫ e ax sen (nx )dx : u = e ax , du = ae ax dx dv = sen (nx )dx, v = − ∫ e ax sen (nx )dx = − cos(nx ) n e ax cos(nx ) a + n n ∫ e ax cos(nx )dx u = e ax , du = ae ax dx dv = cos(nx )dx , v = sen (nx ) n ∫ e ax sen (nx )dx = − e ax cos(nx ) a e ax sen (nx ) a + − n n n n ∫ e ax sen (nx )dx = − e ax cos(nx ) ae ax sen (nx ) a 2 + − 2 n n2 n a2 1 + 2 n ∫ ∫ ∫ e ax sen (nx )dx e ax sen (nx )dx ∫ ax e ax cos(nx ) ae ax sen (nx ) e sen (nx )dx = − + n n2 e ax sen (nx )dx = n2 n2 + a2 e ax cos(nx ) ae ax sen (nx ) + − +C n n2 (2.14.6) Substituindo (2.14.6) em (2.14.5), primeiramente com a = 2 e depois com a = −2 , tem-se que: 69 | π 1 n 2 e 2 x cos(nx ) 2e 2 x sen (nx ) bn = + − + 2π n 2 + 4 n n2 0 - | 1 n 2 e −2 x cos(nx ) 2e − 2 x sen (nx ) − − 2π n 2 + 4 n n2 0 π bn = 1 n 2 e 2 π cos(nπ) 1 e −2 π cos(nπ ) 1 + + − − 2π n 2 + 4 n n n n bn = 1 n cos(nπ) − e 2π + e −2π 2 2π n + 4 ( n = 1 n (− 1) − e 2 π + e −2 π 2 2π n + 4 = 1 n (− 1) (e 2π − e −2π ) 2π n 2 + 4 ( ) ) n +1 n +1 1 n (− 1) e 2 π − e −2 π = π n2 + 4 2 n +1 = senh (2π) (− 1) n π n2 + 4 n +1 senh (2π ) (− 1) n bn = , n ≥1 π n2 + 4 senh (2π) f (x ) = π ∞ ∑ n =1 (− 1)n +1 n sen (nx ) n2 + 4 b) Plote simultaneamente os gráficos de f (x ) e da série de Fourier de f (x ) truncada (empregue diferentes harmônicos) e faça comentários pertinentes. 70 140 y 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 x 10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 −10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 −90 −100 −110 −120 −130 −140 −150 Figura 20: Gráfico de f (x ) = senh(x ) cosh (x ) , x ∈ (− π, π) , f (x + 2π) = f (x ) . 140 130 y 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −10 −20 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −30 −40 −50 −60 −70 −80 −90 −100 −110 −120 −130 −140 −150 Figura 21: Gráfico de f (x ) = senh(x ) cosh (x ) , x ∈ (− π, π) , f (x + 2π) = f (x ) (azul), e da série de Fourier de f (x ) com n = 1 (vermelho). 71 140 130 y 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 x 10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1−10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 −90 −100 −110 −120 −130 −140 −150 Figura 22: Gráfico de f (x ) = senh (x ) cosh (x ) , x ∈ (− π, π) , f (x + 2π) = f (x ) (azul), e da série de Fourier de f (x ) com n = 10 (vermelho). 140 y 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 x 10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 −90 −100 −110 −120 −130 −140 −150 Figura 23: Gráfico de f (x ) = senh (x ) cosh (x ) , x ∈ (− π, π) , f (x + 2π) = f (x ) (azul), e da série de Fourier de f (x ) com n = 20 (vermelho). 72 140 130 y 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 x 1 −10 −20 −30 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −40 −50 −60 −70 −80 −90 −100 −110 −120 −130 −140 −150 Figura 24: Gráfico de f (x ) = senh (x ) cosh (x ) , x ∈ (− π, π) , f (x + 2π) = f (x ) (azul), e da série de Fourier de f (x ) com n = 50 (vermelho). 140 y 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 x 10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −10 −20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −30 −40 −50 −60 −70 −80 −90 −100 −110 −120 −130 −140 −150 Figura 25: Gráfico de f (x ) = senh (x ) cosh (x ) , x ∈ (− π, π) , f (x + 2π) = f (x ) (azul), e da série de Fourier de f (x ) com n = 1000 (vermelho). 73 Comentários: Como o prolongamento periódico de f (x ) tem descontinuidades do tipo salto finito, observa-se o fenômeno de Gibbs na série de Fourier de f (x ) , isto é, oscilações de maior amplitude nas vizinhanças dos saltos. A estimativa para a maior amplitude é de cerca de 9% da amplitude do salto. Nas descontinuidades de f (x ) , a série de Fourier converge para a média dos limites laterais (zero). x Figura 26: Gráfico da série de Fourier de f (x ) com n = 1 (vermelho), n = 10 (verde escuro), n = 20 (verde claro), n = 50 (marron) e n = 1000 (preto). 03. Seja f (x ) = cosh (3x ), - π < x < π, f (x + 2π) = f (x ) . a) Determine a série de Fourier de f (x ) . f (− x ) = cosh (− 3x ) = cosh (3x ) f (x ) = cosh (3x ) é uma função par ⇒ b n = 0 ∀n ≥ 1 = f (x ) P = 2 L = 2π ⇒ L = π 2 a0 = π ∫ π cosh (3x )dx = 0 π 2 senh (3x ) 2 = senh (3π) π 3 0 3π 74 2 an = π ∫ π cosh (3x ) cos(n x )dx (2.14.7) 0 Calculando a integral indefinida (integração por partes) u = cosh (3x ), du = 3senh (3x )dx dv = cos(nx )dx, v = ∫ cosh (3x ) cos(nx )dx : u = senh (3x ), du = 3 cosh (3x )dx sen (nx ) n dv = sen (nx )dx, v = − ∫ cos(nx ) n ∫ cosh (3x ) cos(nx )dx = cosh (3x )sen (nx ) 3 − n n ∫ cosh (3x ) cos(nx )dx = cosh (3x )sen (nx ) 3 senh (3x ) cos(nx ) 3 − − + n n n n senh (3x )sen (nx )dx ∫ cosh (3x )cos(nx )dx ∫ 9 cosh (3x )sen (nx ) 3senh (3x ) cos(nx ) + 1 + 2 cosh (3x ) cos(nx )dx = n n2 n ∫ cosh (3x ) cos(nx )dx = n 2 cosh (3x )sen (nx ) 3senh (3x ) cos(nx ) + +C n n 2 + 9 n2 (2.14.8) Substituindo (2.14.8) em (2.14.7), tem-se que π an = 2 n 2 cosh (3x )sen (nx ) 3senh (3x ) cos(nx ) + π n 2 + 9 n n2 0 2 n 2 3senh (3π) cos(nπ) an = π n 2 + 9 n2 n 6senh (3π) (− 1) . an = π n2 + 9 senh (3π) 6senh (3π) f (x ) = + 3π π ∞ ∑ n =1 (− 1)n n2 + 9 cos(nx ) b) Calcule para quanto converge a série numérica ∞ ∑ n =1 (− 1)n 2 n +9 =− 1 1 1 1 1 + − + − +K . 10 13 18 25 34 75 (2.14.9) Considerando x = 0 em (2.14.9), tem-se que cosh (0 ) = 1 ( f (x ) é contínua em x = 0 ) e que senh (3π ) 6senh (3π) 1= + 3π π senh (3π) 6senh (3π) 1− = 3π π ∞ ∑ n =1 ∑ n =1 (− 1)n 2 n +9 = n2 + 9 ∞ ∑ n =1 3π − senh (3π) 6senh (3π) = 3π π ∞ (− 1)n (− 1)n n2 + 9 ∞ ∑ n =1 (− 1)n n2 + 9 3π − senh (3π) π 3π − senh (3π) . = 3π 6senh (3π ) 18senh (3π) 76 2.15 – Exercícios complementares 01. Seja f (x ) , representada graficamente abaixo, uma função π -periódica. f(x) 2 x − π π 2 2 -2 π 4 − π x − 2, - 2 < x < 0 Figura 27: Gráfico de f (x ) = , f (x + π ) = f (x ) . − 4 x + 2, 0 < x < π 2 π Expanda f (x ) em série de Fourier. ∞ 4 R.: π ∑ n =1 1 sen (2nx ) n y 4 3 2 1 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 π 4 − π x − 2, - 2 < x < 0 , f (x + π ) = f (x ) , e da série de Fourier de f (x ) Figura 28: Gráfico de f (x ) = − 4 x + 2, 0 < x < π π 2 com n = 5 e n = 20 . 77 02. Seja f (x ) , representada graficamente abaixo, uma função π -periódica. f(x) 2 x − π π 2 2 π 4 x + 2, - ≤ x < 0 π 2 , f (x + π ) = f (x ) . Figura 29: Gráfico de f (x ) = 4 − x + 2, 0 ≤ x ≤ π π 2 Expanda f (x ) em série de Fourier. ∞ 4 R.: 1 + 2 π ∑ n =1 (− 1)n +1 + 1 cos(2nx ) n2 y 4 3 2 1 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 π 4 π x + 2, - 2 ≤ x < 0 Figura 30: Gráfico de f (x ) = , f (x + π ) = f (x ) , e da série de Fourier de f (x ) com − 4 x + 2, 0 ≤ x ≤ π π 2 n = 2 e n = 4. 78 03. Seja f (x ) a função representada graficamente abaixo. Sabendo que f (x ) = f (x + 4π) , determine a série de Fourier de f (x ) na forma usual. f(x) 2 x − 2π −π π 2π -2 4 − π x − 6, - 2π ≤ x < −π Figura 31: Gráfico de f (x ) = − 2, - π ≤ x < π , f (x + 4π) = f (x ) . 4 x − 6, π ≤ x ≤ 2π π (− 1)n − cos nπ 16 2 cos n x R.: f (x ) = −1 + 2 2 π n 2 ∑ 04. Seja f (x ) a função representada graficamente abaixo. Sabendo que f (x ) = f (x + 6π) , determine a série de Fourier de f (x ) na forma usual. f(x) 3 x − 3π −π π 3π -3 3 π x + 6, - 3π ≤ x < −π Figura 32: Gráfico de f (x ) = 3, - π ≤ x < π , f (x + 6π) = f (x ) . 3 - x + 6, π ≤ x ≤ 3π π 79 R.: f (x ) = 1 + 18 π2 ∑ (− 1)n +1 + cos nπ n 2 3 cos n x 3 − 8, - 4 < x < 0 , f (x ) = f (x + 8) . Expanda f (x ) em série de Fourier na forma 05. Seja f (x ) = 8, 0 < x < 4 exponencial. 8i R.: f (x ) = π ∞ ∑ (− 1)n − 1 e i nπ4 x , n = 0 ⇒ c n 0 =0 n = −∞ − 2 x , - π < x ≤ 0 06. Seja f (x ) = , f (x + 2 π ) = f (x ) . 2x , 0 < x < π a) Expanda f (x ) em série de Fourier na forma exponencial. Para quanto converge a série em x = ±π ? 2 R.: f (x ) = π ∞ ∑ (− 1)n − 1 e inx , n = 0 ⇒ c n2 0 =π n = −∞ Em x = ± π a série de Fourier converge para a média dos limites laterais, ou seja, 2π . ∞ b) Use a série determinada no item a para calcular ∑ n =1 R.: 1 . (2n − 1)2 π2 8 07. a) Obtenha a série de Fourier que converge para a função 2π -periódica f ( x ) = e x , − π < x < π . 2senh (π ) 1 R.: f (x ) = + π 2 ∞ ∑ n =1 (− 1)n [cos(nx ) − n sen (nx )] 2 n +1 b) Determine a identidade de Parseval correspondente à série obtida no item anterior. ∞ R.: ∑ n =1 1 π senh (2π ) − 2 senh 2 (π ) = n2 +1 4 senh 2 (π ) 80 se - π ≤ x ≤ 0 0, 08. Sendo f ( x ) = uma função 2π -periódica: sen (x ), se 0 ≤ x ≤ π a) expanda f ( x ) em uma série de Fourier; 1 1 1 R.: f (x ) = + sen (x ) + π 2 π b) mostre que ∞ ∑ n =2 (− 1)n + 1 cos(nx ) 1− n2 1 1 1 π 2 −8 . L + + + = 16 12.3 2 3 2.5 2 5 2.7 2 Sugestão: Calcule a identidade de Parseval. 09. Seja 0, - π < x < 0 f (x ) = , f (x ) = f (x + 2π) cos(x ), 0 < x < π (1) e sua série de Fourier 1 1 f (x ) = cos(x ) + 2 π ∞ ∑ [ ] n n (− 1) + 1 sen (nx ) . n2 −1 (2) n =2 A Figura 22 ilustra o gráfico de f (x ) e de sua série de Fourier com n = 50 . y y 3 3 2 2 1 1 x x −4 −3 −2 −1 1 2 3 −4 4 −3 −2 −1 1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 (a) 2 3 4 (b) 0, - π < x < 0 Figura 33: (a) Gráfico de f (x ) = , f (x ) = f (x + 2π) ; (b) gráfico de cos(x ), 0 < x < π 1 1 f (x ) = cos(x ) + 2 π ∞ ∑ [ n ] n (− 1) + 1 sen (nx ) , com n = 50 . n2 −1 n =2 81 a) f (x ) é par ou ímpar? Justifique. b) Identifique os coeficientes de Fourier de f (x ) . [ n ] 1 n (− 1) + 1 R.: a 0 = 0, a 1 = , a n = 0∀n ≥ 2, b1 = 0, b n = ∀n ≥ 2 2 π(n 2 − 1) 953π c) Para quanto converge a série (2) se x = 14π ? E se x = ? Justifique. 6 R.: Em x = 14π a série converge para 3 1 953π a série converge para − ; em x = . 2 6 2 ∞ d) Use a série de Fourier de f (x ) para determinar a convergência da série ∑ n =1 2 R.: π 16 10. Prove que, para 0 ≤ x ≤ π : a) x(π − x ) = b) x(π − x ) = cos (2 x ) cos (4 x ) cos (6 x ) − + + + L 2 2 2 6 1 2 3 π2 8 sen ( x ) sen (3 x ) sen (5 x ) + + + L 3 3 3 π 1 3 5 Usando (a) e (b), mostre que: ∞ c) ∑ (− 1)n −1 n2 n =1 ∞ d) ∑ n =1 π2 = 12 (− 1)n −1 (2n − 1)3 ∞ e) ∑( n =1 1 2n − 1) 6 = π3 32 π6 e = 960 ∞ ∑ n =1 1 π6 = n 6 945 11. a) Mostre que, em − π < x < π , 82 (2n )2 . (2n − 1)2 (2n + 1)2 1 3 4 2 x cos(x ) = − sen (x ) + 2 sen (2 x ) − sen (3x ) + sen (4x ) − L . 2 2.4 3.5 1.3 Figura 34: Gráfico de f (x ) = x cos(x ), - π < x < π , e da série de Fourier de f (x ) com n = 5 e n = 10 . b) Usando (a), mostre que em − π ≤ x ≤ π 1 cos(2 x ) cos(3x ) cos(4x ) x sen (x ) = 1 − cos(x ) − 2 − + − L . 2 2.4 3.5 1.3 Figura 35: Gráfico de f (x ) = x sen (x ), - π ≤ x ≤ π , e da série de Fourier de f (x ) com n = 5 . 83 c) Empregando (a) e (b), mostre que: ∞ ∑ n =1 ∞ (− 1)n +1 (2n + 1) = 1 2n (2n + 2) 4 R.: Use x = ∑( n =1 1 3 = n n + 2) 4 π 2 em (a) R.: Use x = π em (b) e2 (x + 2), se - 2 < x ≤ 0 12. Seja f (x ) = 2 uma função 4-periódica, representada graficamente abaixo. e - x + 2 , se 0 ≤ x < 2 e2 (x + 2), se - 2 < x ≤ 0 , de período fundamental P = 4 . Figura 36: Gráfico da função f (x ) = 2 x 2 + e , se 0 ≤ x < 2 a) Verifique se f(x) satisfaz as condições de Dirichlet. b) Determine a série de Fourier correspondente a f(x). R.: a 0 = e 2 − e2 2 e2 nπ 1 n n n , a n = 2 2 1 − (− 1) + 2 2 e 2 − (− 1) , b n = − + 2 2 e 2 − (− 1) 2 nπ n π + 4 n π n π +4 [ ] [ ] c) Calcule a identidade de Parseval da série de Fourier obtida no item anterior. 84 [ ] ∞ R.: ∑ (a n =1 2 n + bn 2 4 2 e e 3 ) = 12 + − 2 8 d) Usando um software gráfico, plote o gráfico da série de Fourier determinada em (b) com pelo menos quinze (15) harmônicos. e2 (x + 2), se - 2 < x ≤ 0 Figura 37: Série de Fourier com n = 15 da função f (x ) = 2 , de período e - x + 2 , se 0 ≤ x < 2 fundamental P = 4 . 0, se - 3 ≤ x ≤ 0 13. Seja f (x ) = 2 , f (x + 6 ) = f (x ) . x (3 − x ), se 0 < x < 3 a) Esboce o gráfico da função dada com pelo menos três períodos. 0, se - 3 ≤ x ≤ 0 Figura 38: Gráfico da função f (x ) = 2 , de período fundamental P = 6 . x (3 − x ), se 0 < x < 3 85 b) Determine a série de Fourier de f(x). R.; a 0 = 9 , 4 an = [ ] 162 (− 1)n − 1 − 27 (− 1)n , 4 4 2 2 n π n π bn = [ ] 54 n +1 2(− 1) − 1 3 3 n π c) Esboce o gráfico da série de Fourier determinada em (b) com pelo menos cinco (5) harmônicos. 0, se - 3 ≤ x ≤ 0 Figura 39: Série de Fourier com n = 5 da função f (x ) = 2 , de período x (3 − x ), se 0 < x < 3 fundamental P = 6 . 14. Seja f (x ) = x 2 sen (x ) , − 3π 3π , f (x ) = f (x + 3π) . <x< 2 2 a) Esboce o gráfico de f (x ) com pelo menos três períodos. 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −1 −24 −23 −22 −21 −20 −19 −18 −17 −16 −15 −14 −13 −12 −11 −10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12 −13 −14 −15 −16 −17 −18 −19 −20 −21 −22 −23 y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425 Figura 40: Gráfico de f (x ) = x 2 sen (x ) , f (x ) = f (x + 3π) . 86 b) Determine a série de Fourier de f (x ) . n R.: a 0 = a n = 0 , b n = f (x ) = 18 π ∞ ∑ n =1 18(− 1) π 9 − 4n 2 ( ) ( 2 8n 27 + 4n 2 − π n + 2 9 − 4n 2 ( ) ) 2 8n (27 + 4n 2 ) 2nx − π n + sen 9 − 4n 2 (9 − 4n 2 )2 3 (− 1)n c) Esboce o gráfico da série de Fourier de f (x ) com n = 1 , n = 10 , n = 100 , n = 1000 , K (Explore as limitações do aplicativo gráfico empregado). 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y x −1 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829 −28 −27 −26 −25 −24 −23 −22 −21 −20 −19 −18 −17 −16 −15 −14 −13 −12 −11 −10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12 −13 −14 −15 −16 −17 −18 −19 −20 −21 −22 −23 −24 −25 −26 Figura 41: Gráfico de f (x ) = x 2 sen (x ) , f (x ) = f (x + 3π) , e de 18 f (x ) = π ∞ ∑ n =1 2 8n (27 + 4n 2 ) 2nx n − π + sen , com n = 2 . 9 − 4n 2 (9 − 4n 2 )2 3 (− 1)n 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 y x −1 1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829 −28 −27 −26 −25 −24 −23 −22 −21 −20 −19 −18 −17 −16 −15 −14 −13 −12 −11 −10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12 −13 −14 −15 −16 −17 −18 −19 −20 −21 −22 −23 −24 −25 −26 Figura 42: Gráfico de f (x ) = x 2 sen (x ) , f (x ) = f (x + 3π) , e de 18 f (x ) = π ∞ ∑ n =1 2 8n (27 + 4n 2 ) 2nx − π + n sen , com n = 5 . 9 − 4n 2 (9 − 4n 2 )2 3 (− 1)n 87 y 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x −1 −28 −27 −26 −25 −24 −23 −22 −21 −20 −19 −18 −17 −16 −15 −14 −13 −12 −11 −10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12 −13 −14 −15 −16 −17 −18 −19 −20 −21 −22 −23 −24 −25 −26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829 Figura 43: Gráfico de f (x ) = x 2 sen (x ) , f (x ) = f (x + 3π) , e de 18 f (x ) = π ∞ ∑ n =1 2 8n (27 + 4n 2 ) 2nx − π n + sen , com n = 10 . 9 − 4n 2 (9 − 4n 2 )2 3 (− 1)n 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −1 −28 −27 −26 −25 −24 −23 −22 −21 −20 −19 −18 −17 −16 −15 −14 −13 −12 −11 −10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 −12 −13 −14 −15 −16 −17 −18 −19 −20 −21 −22 −23 −24 −25 −26 y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829 Figura 44: Gráfico de f (x ) = x 2 sen (x ) , f (x ) = f (x + 3π) , e de 18 f (x ) = π ∞ ∑ n =1 ( ) 2 8n 27 + 4n 2 2nx − π n + sen , com n = 5000 . 2 9 − 4n 2 9 − 4n 2 3 (− 1)n ( ) d) Para quanto converge a série de Fourier de f (x ) se x = − 88 17 π 619π ? E se x = ? Justifique. 12 2 R.: Em x = − Em x = 289π 2 17 π a série de Fourier converge para 12 576 ( ) 2+ 6 . 619π π2 a série de Fourier converge para . 2 4 15. Seja 0, - π < x < 0 f (x ) = , f (x + 2 π ) = f (x ) . cos(x ), 0 < x < π a) Esboce o gráfico de f (x ) com pelo menos três períodos. b) Determine a série de Fourier de f (x ) . 1 1 R.: f (x ) = cos(x ) + π 2 ∞ ∑ [ ] n n (− 1) + 1 sen (nx ) n2 −1 n =2 c) Plote simultaneamente os gráficos de f (x ) e da série de Fourier de f (x ) truncada. Empregue diferentes harmônicos. 425π ? d) Para quanto converge a série de Fourier de f (x ) se x = 15π ? E se x = 4 Justifique. R.: − 1 2 π ; cos = 2 2 4 e) Use a série de Fourier de f (x ) para determinar para quanto converge a série ∞ ∑( n =1 R.: n2 4n 2 − 1) 2 π2 64 89 . 90 3. A INTEGRAL DE FOURIER / TRANSFORMADAS DE FOURIER Usamos a série de Fourier para representar uma função f(x) definida em um intervalo (− L, L) ou (0, L) . Quando f (x ) e f ' (x ) são seccionalmente contínuas nesse intervalo, uma série de Fourier representa a função no intervalo e converge para um prolongamento periódico de f (x ) fora do intervalo. Estabeleceremos agora (de forma não rigorosa) uma maneira de representar certos tipos de funções não-periódicas definidas em um intervalo infinito (− ∞, ∞ ) ou (0, ∞ ) (expansão de f(x) em uma integral de Fourier). Da série de Fourier à integral de Fourier Suponhamos uma função f(x) definida em (− L, L ) que satisfaça as condições de Dirichlet. Assim a f (x ) = 0 + 2 1 f (x ) = 2L ∞ ∑ n =1 ∫ nπ x nπ x a n cos L + b n sen L ; L 1 f (u )du + L −L Considerando α n = 1 f (x ) = 2π ∫ ∞ ∑ n =1 L nπ u nπ x f (u ) cos du cos + −L L L . L nπ u nπ x f (u )sen du sen + L L − L ∫ ∫ (n + 1)π − nπ = π , reescrevemos (3.1) como nπ , ∆α = α n +1 − α n = L L L L 1 f (u )du ∆α + π −L L ∞ ∑ n =1 L f (u ) cos(α n u )du cos(α n x ) + −L ∆α . L f (u )sen (α n u )du sen (α n x ) + −L ∫ ∫ Como L → ∞ ⇒ ∆α → 0 , temos que 1 lim ∆α → 0 2π ∫ (3.1) f (u )du ∆α = 0 . −L L Logo, o restante de (3.2) toma a forma 91 (3.2) ∞ f (x ) = lim ∆α → 0 ∑( ∞ F α n )∆α = lim ∆α → 0 n =1 ∑( F n∆α )∆α (3.3) n =1 Em (3.3) temos uma soma de Riemann, o que nos leva à integral ∫ ∞ F(α )dα . 0 Dessa forma, podemos escrever o limite de (3.2), quando L → ∞ ⇒ ∆α → 0 , como f (x ) = 1 π ∞ ∞ ∞ f (u ) cos(α u )du cos(α x ) + f (u )sen (α u )du sen (α x )dα . 1−4 ∞ 4 ∞ 4 42444 3 1−4 42444 3 A (α ) B ( α ) ∫ ∫ 0 ∫ 3.1 – A integral de Fourier A integral de Fourier de uma função f(x) definida no intervalo (− ∞, ∞ ) é dada por f (x ) = 1 π ∫ ∞ [A(α ) cos(α x ) + B(α )sen (α x )] dα 0 onde A(α ) = ∫ ∞ f (x ) cos(α x )dx −∞ e B(α ) = ∫ ∞ f (x )sen (α x )dx . −∞ 3.2 – Convergência da integral de Fourier Se (1) f(x) e f’(x) são seccionalmente contínuas em qualquer intervalo finito e (2) ∫ ∞ f (x )dx converge, isto é, f(x) é absolutamente integrável em (− ∞, ∞ ) , −∞ então a integral de Fourier converge para f(x) em um ponto de continuidade e converge para f (x + ) + f (x − ) (média dos limites laterais) em um ponto de descontinuidade. 2 92 Demonstração SPIEGEL, Murray R.; WREDE, Robert C. Cálculo avançado. Porto Alegre: Bookman. Observação: as condições de convergência da integral de Fourier são suficientes, porém não necessárias. 3.2.1 – Convergência absoluta e condicional ∫ ∞ f (x )dx é dita absolutamente convergente se a ∫ convergir mas Teorema: Se ∫ ∞ f (x ) dx divergir, então a ∞ f (x ) dx convergir, então a ∫ ∫ ∞ ∫ f (x ) dx convergir. Se a ∞ f (x )dx a ∞ f (x )dx é dita condicionalmente convergente. a ∫ ∞ f (x )dx converge. a Exemplos ∫ o 1) ∫ o ∞ cos(x ) dx x2 +1 0 ∞ 0 2) cos(x ) dx ≤ x2 +1 ∫ ∫ ∞ 0 ∞ é absolutamente 1 dx e 2 x +1 sen (x ) dx = π , mas x −∞ ∫ ∫ ∞ convergente e, portanto, ∫ 0 ∞ -∞ sen (x ) dx diverge. Assim, x 1 dx converge. x +1 2 0 porque 1 dx converge. x +1 Exercício Mostre que isto 2 convergente. ∞ convergente, 3.3 – A integral cosseno de Fourier Se f(x) é uma função par no intervalo (− ∞, ∞ ) , temos que: 93 ∫ ∞ -∞ sen (x ) dx é condicionalmente x ∞ A(α ) = ∫ () ( ) ∫ ∫ () ( ) ∫ () ( ) f (x ) cos(α x )dx ; f x cos α x dx = 2 −∞ ∞ B(α ) = ∞ 0 f x sen α x dx = 0 ; −∞ f (x ) = ∞ 1 π A α cos α x dα . Integral cosseno de Fourier 0 3.4 – A integral seno de Fourier Se f(x) é uma função ímpar no intervalo (− ∞, ∞ ) , temos que: ∞ A(α ) = ∫ () ( ) ∫ () ( ) ∫ ∫ () ( ) f x cos α x dx = 0 ; −∞ ∞ B(α ) = f (x )sen (α x )dx ; f x sen α x dx = 2 −∞ f (x ) = ∞ ∞ 1 π 0 B α sen α x dα . Integral seno de Fourier 0 Exercícios 0, se x < 0 Seja f (x ) = 1, se 0 < x < 2 . 0, se x > 2 01. Determine a integral de Fourier de f(x). R.: f (x ) = ∫ 2 π ∫ ∞ 0 sen (α ) cos[(x − 1)α ] dα α 0, x < 0 ou x > 2 ∞ sen (α ) cos[(x − 1)α ] π dα = , 0 < x < 2 α 2 0 π 4 , x = 0 ou x = 2 02. Para quanto a integral de Fourier converge em x = 0 e x = 2 ? 94 ∫ 03. Prove que ∞ sen (α ) α 0 dα = π e 2 ∫ ∞ −∞ sen(α ) dα = π . α 3.5 – Formas equivalentes da integral de Fourier (1) f (x ) = ∞ ∫[() ∫ () ( ∫ () ( 1 π A(α ) = A α cos(α x ) + B(α )sen (α x )] dα 0 ∞ f x cos α x )dx −∞ ∞ B(α ) = f x sen α x )dx −∞ (2) 1 f (x ) = π 1 f (x ) = π f (x ) = 1 π ∞ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 ∞ 0 ∞ f (u ) cos(α u )du cos(α x ) + −∞ ∞ ∫ f (u )sen (α u )du sen (α x )dα −∞ ∞ f (u )[cos(α u ) cos(α x ) + sen (α u )sen (α x )]du dα −∞ ∞ f (u ) cos[(u − x )α ]du dα −∞ ∞ (3) Forma complexa f (x ) = 1 π ∞ ∫ ∫ 0 f (u ) cos[(u − x )α ]du dα −∞ ∞ Como f (u ) cos[(u − x )α ] é uma função par em α, temos que 1 f (x ) = 2π -∞ ∞ ∫ ∫ f (u ) cos[(u − x )α ]du dα . −∞ ∞ (3.5.1) Uma vez que f (u )sen[(u − x )α ] é uma função ímpar em α, o que implica que -∞ ∞ ∫ ∫ f (u )sen[(u − x )α ]du dα = 0 , podemos escrever (3.5.1) como −∞ ∞ 95 1 f (x ) = 2π 1 f (x ) = 2π f (x ) = 1 2π -∞ −∞ -∞ ∞ -∞ f (u ){cos[(u − x )α ] + i sen[(u − x )α ]}du dα −∞ ∞ f (u ) ei (u − x )α du dα −∞ ∞ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ f (u ) e iα u e −iα x du dα −∞ -∞ ∞ ∞ f (u ) e iα u du e −iα x dα -∞ ∞ 42443 1−4 F (α ) ∫ ∫ 1 2π ∫ ∫ 1 f (x ) = 2π {f (u ) cos[(u − x )α ] + i f (u )sen[(u − x )α ]}du dα ∞ 1 f (x ) = 2π f (x ) = ∞ ∫ ∞ F(α ) e − iα x dα onde F(α ) = -∞ ∫ ∞ f (x ) e iα x dx . -∞ Observação: Se em (3.5.1) considerássemos cos[(x − u )α ] , teríamos 1 f (x ) = 2π ∫ ∞ F(α ) e iα x dα com F(α ) = -∞ ∫ ∞ f (x ) e −iα x dx . -∞ Exercícios 01. Determine a integral de Fourier que representa a função pulso 1, se x < a . f (x ) = 0, se x > a R.: f (x ) = 2 π ∫ ∞ 0 (3.5.2) sen (aα ) cos(α x ) dα α 96 ∫ π 2 , x < a ∞ sen (aα ) cos(α x ) dα = 0, x > a α π 0 , x =a 4 Observação: Se a = 1 , a função (3.5.2) é chamada pulso unitário. 02. Represente por uma integral de Fourier as funções a seguir. e − x , se x > 0 a) f (x ) = x e , se x < 0 R.: f (x ) = e − x , se x > 0 b) f (x ) = x - e , se x < 0 R.: f (x ) = 2 π 2 π ∫ ∫ ∞ 0 ∞ 0 cos(α x ) dα α 2 +1 α sen (α x ) dα α 2 +1 03. Usando a representação integral de Fourier, mostre que: π sen (πα )sen (αx ) sen (x ), se x < π d = ; α 2 2 1 − α 0 0 , se x > π πα π π ∞ cos cos(αx ) cos(x ), se x < 2 2 . 2 dα = 2 π 1−α 0 0, se x > 2 a) ∫ b) ∫ ∞ 3.6 – Definição da transformada de Fourier e da transformada inversa de Fourier Integral de Fourier: 1 f (x ) = 2π f (x ) = 1 2π ∫ ∞ F(α ) e − iα x dα onde F(α ) = -∞ ∞ ∫ ∞ f (x ) e iα x dx -∞ ∞ f (u ) e iα u du e −iα x dα ∞ 42443 1-4 F (α ) ∫ ∫ -∞ 97 Transformada de Fourier: ℑ{f (x )} = F(α ) = = ∫ ∫ ∞ f (x ) e iα x dx -∞ (3.6.1) ∞ f (x )[cos(α x ) + i sen (α x )]dx -∞ Transformada inversa de Fourier: 1 ℑ {F(α )} = f (x ) = 2π −1 ∫ f (x ) ∞ F(α ) e −iα x dα (3.6.2) -∞ F(α ) f (x ) ℑ ℑ −1 Figura 45: Transformadas de Fourier. ^ Definimos a transformada de Fourier de f como sendo a função F(α) ou f que associa a cada ^ função absolutamente integrável f : R → C a função F(α ) : R → C ou f : R → C definida pela expressão (3.6.1); a sua inversa, chamada transformada inversa de Fourier, é a função que associa a ^ cada função F(α ) : R → C ou f : R → C pertencente ao conjunto imagem de ℑ{f (x )} a função absolutamente integrável f : R → C definida pela expressão (3.6.2). f (x Se f(x) é função par ⇒ ℑ{f (x )} = F(α ) = ) →← F(α ) ∫ ∞ f (x ) cos(αx )dx . (real puro) -∞ Se f(x) é função ímpar ⇒ ℑ{f (x )} = F(α ) = i ∫ 98 ∞ f (x ) sen (αx )dx . (imaginário puro) -∞ Observações: 1a) A literatura não é unânime quanto à forma para as transformadas (3.6.1) e (3.6.2). Você também encontrará os pares de transformadas abaixo. ℑ{f (x )} = F(α ) = 1. ∫ ∞ f (x ) e −iα x dx -∞ 1 ℑ {F(α )} = f (x ) = 2π −1 ℑ{f (x )} = F(α ) = 2. 1 2π 3. ℑ −1 {F(α )} = f (x ) = ∫ 1 ℑ −1 {F(α )} = f (x ) = ℑ{f (x )} = F(α ) = ∫ 2π 1 2π ∫ 1 2π ∞ F(α ) e iα x dα -∞ ∞ f (x ) e iα x dx -∞ ∫ ∞ F(α ) e −iα x dα -∞ ∞ f (x ) e −iα x dx -∞ ∫ ∞ F(α ) e iα x dα -∞ 2a) Os pares 2 e 3 constituem a forma simétrica. 3a) Quanto às constantes que multiplicam as integrais nos pares de transformadas, o produto das 1 mesmas deve sempre ser igual a . 2π 4a) A transformada de Fourier é convergente somente para um conjunto muito limitado de funções f (x ) , isto porque as condições de existência (suficientes, não necessárias) da integral de Fourier são bastante restritivas. 3.7 – Transformada cosseno de Fourier e transformada cosseno de Fourier inversa f(x) é uma função par no intervalo (− ∞, ∞ ) Integral cosseno de Fourier: 99 ∞ A(α ) = 2 ∫ () ( ∫ () ( ∫ ∫ () f x cos α x )dx 0 f (x ) = f (x ) = 1 π 2 π ∞ A α cos α x )dα 0 ∞ 0 ∞ 0 f u cos(α u )du cos(α x )dα Transformada cosseno de Fourier: ℑC {f (x )} = FC (α ) = ∫ ∞ f (x ) cos(α x )dx 0 Transformada cosseno de Fourier inversa: ℑ −1 C {FC (α )} = f (x ) = ∫ 2 π ∞ FC (α ) cos(α x )dα 0 3.8 – Transformada seno de Fourier e transformada seno de Fourier inversa f(x) é uma função ímpar no intervalo (− ∞, ∞ ) Integral seno de Fourier: ∞ B(α ) = 2 ∫ () ( ∫ () ( ∫ ∫ () f x sen α x )dx 0 f (x ) = f (x ) = 1 π 2 π ∞ B α sen α x )dα 0 ∞ 0 ∞ 0 f u sen (α u )du sen (α x )dα Transformada seno de Fourier: ℑS {f (x )} = FS (α ) = ∫ ∞ f (x ) sen (α x )dx 0 Transformada seno de Fourier inversa: 100 ℑ −1 S {FS (α )} = f (x ) = 2 π ∫ ∞ FS (α ) sen (α x )dα 0 Exercícios 01. Seja f (x ) = 1 . Calcule ℑ{f (x )} . R.: ℑ{f (x )} diverge 1, se x < a 02. a) Determine a transformada de Fourier de f (x ) = . 0, se x > a 2sen (aα ) R.: F(α ) = = 2a sinc(aα ), α ≠ 0 α α = 0 ⇒ F(0 ) = 2a b) Esboce o gráfico de f(x) e de sua transformada de Fourier para a = 3 . (a) (b) Figura 46: (a) Gráfico de f(x) para a = 3 ; (b) gráfico de ℑ{f (x )} para a = 3 (função par). c) Calcule R.: ∫ ∞ -∞ ∫ ∞ -∞ sen (aα ) cos(α x ) dα . α π , se x < a sen (aα ) cos(α x ) π dα = , se x = a α 2 0, se x > a 101 03. Solucione a equação integral R.: ∫ e −α cos(αx )dα = f (x ) = ∫ ∞ f (x ) cos(α x )dx = e −α . 0 x 2 e −α sen (αx ) e −α cos(αx ) − +C x x2 +1 x2 2 π (x 2 + 1) 04. A transformada de Fourier preserva paridade? 1 − x 2 , se x < 1 05. a) Determine a transformada cosseno de Fourier de f (x ) = . se x > 1 0, sen (α ) − α cos(α ) R.: FC (α ) = 2 ,α ≠ 0 3 α b) Mostre que ∫ ∞ 0 3π sen (x ) − x cos(x ) x . cos dx = 3 16 x 2 Sugestão: Considere x = 1 em f (x ) = ℑ −1 {F(α )} . 2 3.9 – Função de Heaviside Oliver Heaviside (1850-1925): engenheiro eletrônico inglês. A função de Heaviside (ou função unitária de Heaviside) é definida como H : R − {0} → R 1, x > 0 x→ . 0, x < 0 (3.9.1) 102 Figura 47: Função de Heaviside. A função de Heaviside (3.9.1), também chamada função salto unitário ou função degrau unitário, não é definida em x = 0 (desnecessário). Alguns autores definem 1 H(0) = . 2 Na literatura também é comum encontrar a notação u (x ) para H(x ) . A função degrau unitário transladada é definida como 1, x > c u (x − c ) = . 0, x < c (3.9.2) 1, x > 2 Figura 48: Função degrau unitário transladada u (x − 2) = . 0, x < 2 Quando multiplicada por outra função definida em (− ∞, ∞ ) , a função degrau unitário (3.9.2) cancela uma porção do gráfico da função. Exemplo Mostre que ℑ { e − ax u (x ) } = 1, x > 0 1 é a função unitária de , a > 0 , onde u (x ) = a − iα 0, x < 0 Heaviside. 103 ℑ{e − ax u (x ) } = ∫ ∞ e − ax u (x )e iα x dx = −∞ ∫ ∞ e − ax iα x e 0 b dx = ∫ ∞ e(−a +iα ) x dx 0 b b e ( − a + iα ) x e − ax eiα x e − ax [cos(α x ) + i sen (α x )] = lim = lim = lim b→ ∞ − a + iα − a + iα 0 b→∞ − a + iα 0 b→∞ 0 −ab 1 1 1 e [cos(α b ) + i sen (α b )] = lim − = =− b→∞ a2 +4 iα4443 − a + iα − a + iα a − iα 1444−4 → 0 se a > 0 Observação: Se a ∈ C , então ℑ { e − ax u (x ) } = 1 , Re(a ) > 0 . a − iα 3.10 – Espectro, amplitude e fase da transformada de Fourier Denomina-se conjunto dos números complexos (C) o conjunto de pares ordenados de números reais para os quais estão definidas as seguintes propriedades: 1. igualdade: (a , b ) = (c, d ) ⇔ a = c e b = d ; 2. adição: (a , b ) + (c, d ) = (a + b, c + d ) ; . c, d ) = (ac − bd, ad + bc ) . 3. multiplicação: (a , b )( z ∈ C ⇔ z = (x, y ), x, y ∈ R Exemplos: 2i + 3 = (2,3) , i = (0,1) (imaginário puro), 1 = (1,0 ) (real puro) Forma algébrica: z = x + i y, i = - 1 i 2 = i.i = (0,1)( . 0,1) = (0 − 1,0 + 0 ) = (− 1,0) = −1 Conjugado: z = x + i y = x − i y Plano de Argand-Gauss: Im(z) y z |z| θ x Re(z) 104 Módulo: z = x 2 + y 2 = Re 2 (z ) + Im 2 (z ) z.z = (x + i y )(x − i y ) = x 2 + y 2 = (x 2 + y2 ) =z 2 2 Forma polar ou trigonométrica: cos θ = x ⇒ x = z cos θ z senθ = y ⇒ y = z senθ z z = x + i y = z cos θ + i z senθ = z [cos θ + i senθ] = z e i θ Im(z ) y y ⇒ θ = arctg = arctg x x Re(z ) Argumento: tgθ = Sabemos que ℑ{f (x )} = F(α ) , onde f : R → C e F : R → C . Assim, podemos considerar a transformada de Fourier F(α ) como sendo F(α ) = FR (α ) + i FI (α ) (3.10.1) F(α ) = F(α ) e iθ , (3.10.2) ou onde i = − 1 , FR (α ) é a parte real de F(α ) , FI (α ) é a parte imaginária de F(α ) , 2 2 F(α ) = FR (α ) + FI (α ) (3.10.3) e FI (α ) . FR (α ) θ = arctg (3.10.4) A forma (3.10.2) é a forma polar da transformada de Fourier, (3.10.3) é a amplitude da transformada de Fourier ou o espectro de amplitude do sinal f (x ) , (3.10.4) é o ângulo de fase da transformada de Fourier ou o espectro de fase do sinal f (x ) e 2 2 2 P (α ) = F(α ) = FR (α ) + FI (α ) (3.10.5) é o espectro de potência do sinal f (x ) . 105 Exercícios 1, x > 0 é a função unitária de Heaviside e a > 0 . Determine: Seja f (x ) = e -ax u (x ) , onde u (x ) = 0, x < 0 a a +α 2 01. a parte real de ℑ{f (x )} = F(α ) ; R.: FR (α ) = 02. a parte imaginária de ℑ{f (x )} = F(α ) ; R.: FI (α ) = 03. o ângulo de fase de ℑ{f (x )} = F(α ) ; α R.: θ = arctg a 04. a amplitude de ℑ{f (x )} = F(α ) ; R.: F(α ) = 05. o espectro de potência de f (x ) . R.: P(α ) = 2 α 2 a +α 2 a2 +α 2 a2 +α 2 1 a +α 2 2 3.11 – Propriedades operacionais das transformadas de Fourier Funções de decrescimento rápido Uma função f : R → C é de decrescimento rápido se ela for infinitamente diferenciável (f é C ) e se lim x m D n f (x ) = 0 , ∞ x →∞ ou seja, f(x) e suas derivadas vão mais rapidamente para zero do que as potências x m vão para infinito quando x → ∞ . Exemplo f (x ) = e − x 2 106 (a) (b) (c) 2 2 Figura 49: (a) Gráfico de f (x ) = x 3 ; (b) gráfico de g (x ) = e − x ; (c) gráfico de D 3 g (x ) = −8x 3 e − x . O conjunto das funções f de classe C ∞ (R ) tais que, tanto f como todas as suas derivadas tendem a zero quando x → ∞ , constituem o espaço de Schwarz, denotado por S(R ) . 2 1. A função Gaussiana f (x ) = e − ax , com a > 0 , pertence a S(R ) . 2. O produto de uma função polinomial p = p(x ) pela função Gaussiana é uma função 2 h (x ) = p(x ) e − ax pertencente a S(R ) . 3. S(R ) é um espaço vetorial de funções. 4. Se uma função f (x ) pertence a S(R ) , então sua derivada também pertence a S(R ) . 5. Se uma função f (x ) pertence a S(R ) , então a transformada de Fourier de f (x ) também pertence a S(R ) . 3.11.1 – Comportamento de F(α) quando |α|→∞ A transformada de Fourier F(α ) de uma função f(x) absolutamente integrável é uma função contínua e que se anula no infinito, isto é, lim F(α ) = 0 . α → ±∞ Exemplo 1, se x ≤ 1 A função pulso unitário u (x ) = , cuja transformada de Fourier é 0, se x > 1 ℑ{u (x )} = U(α ) = 2 sen (α ) α , α ≠ 0, α = 0 ⇒ U(0 ) = 2 . 107 Figura 50: Gráfico de ℑ{u (x )} = U(α ) = 2 sen (α ) α , α ≠ 0, α = 0 ⇒ U(0 ) = 2 . Teorema Se f : R → C é uma função absolutamente integrável, então sua transformada de Fourier ^ ^ F(α ) : R → C (ou f : R → C ) é uma função contínua e limitada. Se, além disso, F(α ) (ou f ) for absolutamente integrável, então f é contínua. 3.11.2 – Linearidade Se f , g : R → C são funções absolutamente integráveis e a , b ∈ R , então ℑ{af (x ) + bg(x )} = aℑ{f (x )} + bℑ{g(x )} = aF(α ) + bG (α ) . Prova: Segue da definição de transformada de Fourier e da propriedade de linearidade da integral. ℑ{af (x ) + bg(x )} = ∫ ∫ ∞ [af (x ) + bg(x )]e iαx dx −∞ ∞ f (x )e dx + b iα x =a −∞ ∫ ∞ g (x )e iαx dx = aF(α ) + bG (α ) −∞ 3.11.3 – Simetria (ou dualidade) Se ℑ{f (x )} = F(α ) , então ℑ{F(x )} = 2π f (− α ) . Prova: 1 ℑ {F(α )} = f (x ) = 2π −1 ∫ ∞ F(α ) e −∞ - iα x dα ⇒ ∫ ∞ F(α ) e -iα x dα = 2π f (x ) −∞ Efetuando as substituições α ← x e x ← −α em (3.11.3.1), tem-se que 108 (3.11.3.1) ∫ ∫ ∞ F(x ) e -i x (-α ) dx = 2π f (− α ) ; −∞ ∞ F(x ) e iα x dx = 2π f (− α ) ; −∞ ℑ{F(x )} = 2π f (− α ) . Exemplo { ℑe −2 x } x2 = 8 4 − 3α 2 (α 2 +4 ) 3 4 − 3x 2 1 π −2 α −2 α ℑ = 2πe α 2 = α 2 e 3 2 4 (x + 4 ) 8 3.11.4 – Conjugado Se f : R → C é uma função absolutamente integrável, então { } ℑ f (x ) = F(− α ) , onde F(α ) = ℑ{f (x )} e é o conjugado complexo. Prova: { } ℑ f (x ) = = ∫ ∫ ∞ f (x ) e −∞ iαx dx = ∫ ∞ f (x ) [cos(α x ) + i sen (α x )]dx −∞ ∞ f (x ) e -i α x dx = F(− α ) −∞ Observação: f .g = f .g e f + g = f + g . 3.11.5 – Translação (no tempo) Se f : R → C é uma função absolutamente integrável, então ℑ{f (x − a )} = e iaα F(α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )} . Prova: x − a = u 109 ℑ{f (x − a )} = = ∫ ∫ ∞ f (x - a )e iα x dx = −∞ ∫ ∞ f (u )e iα (u +a )du −∞ ∞ f (u )e iα a iα u e du = e iα a −∞ ∫ ∞ f (u )e iαu du = e iaα F(α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )} −∞ Observação: Se ℑ{f (x )} = ∫ ∞ f (x )e −iα x dx , então ℑ{f (x − a )} = e − iaα F(α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )}. −∞ 3.11.6 – Translação (na frequência) Se f : R → C é uma função absolutamente integrável, então ℑ{e iax f (x )} = F(α + a ), onde F(α ) = ℑ{f (x )}. Prova: α + a = u { ℑe ia x } f (x ) = = ∫ ∫ ∞ e ia x f (x )e iα x dx = −∞ ∫ ∞ f (x )e i (α +a )x dx −∞ ∞ f (x )e iux dx = F(u ) = F(α + a ) −∞ Observação: Se ℑ{f (x )} = ∫ ∞ { } f (x )e −iα x dx , então ℑ e iaα f (x ) = F(α − a ) . −∞ 3.11.7 – Similaridade (ou mudança de escala) e inversão de tempo Se f : R → C é uma função absolutamente integrável e a ≠ 0 , então ℑ{f (ax )} = 1 α F , onde F(α ) = ℑ{f (x )}. a a (3.11.7.1) Prova: (1) a > 0, ax = u , x = u du , dx = , x → ∞ ⇒ u → ∞ , x → −∞ ⇒ u → −∞ a a 110 ℑ{f (ax )} = = ∫ ∞ = ∫ du = 1 a −∞ ∫ 1 a ∞ f (u )e ∫ iu a f (ax )e iα x −∞ ∫ ∞ f (u )e iα u a du −∞ α F a u du , dx = , x → ∞ ⇒ u → −∞ , x → −∞ ⇒ u → ∞ a a ∞ 1 a α −∞ (2) a < 0, ax = u , x = ℑ{f (ax )} = 1 a f (ax )e iα x dx = 1 dx = a ∞ f (u )e iu α a du = −∞ ∫ -∞ f (u )e iα u a ∞ 1 du = − a ∫ ∞ f (u )e iα u a du −∞ 1 α F a a Observação: Considerando em (3.11.7.1) a = −1 , obtemos ℑ{f (− x )} = F(− α ) . Esta última igualdade é conhecida como propriedade da inversão de tempo. Exercícios Sabendo que ℑ{g (x )} = G (α ) = iα , calcule: − α + 5iα + 6 2 1 α iα G = 2 2 2 − α + 10iα + 24 01. ℑ{g (2 x )}; R.: ℑ{g (2 x )} = 02. ℑ{g (x − 2 )} ; R.: ℑ{g (x − 2 )} = e 2iα G (α ) = e 2iα { } 03. ℑ e −100ix g(x ) . { } R.: ℑ e −100ix g (x ) = G (α − 100) = iα − α + 5iα + 6 2 i(α − 100) 2 − (α − 100) + 5i(α − 100) + 6 3.11.8 – Convolução A convolução (ou produto de convolução) de duas funções absolutamente integráveis f e g é definida como sendo a função (f ∗ g )(x ) = ∫ ∞ f (x − u )g(u )du = −∞ ∫ ∞ f (u )g(x − u )du . −∞ A integral imprópria que define a convolução converge para todo x se as funções f e g, além de serem absolutamente integráveis, são também quadrado-integráveis, isto é, seus quadrados também são absolutamente integráveis: 111 ∫ ∞ 2 f (u ) du < ∞, −∞ ∫ ∞ 2 g(u ) du < ∞ . −∞ A afirmativa anterior pode ser comprovada com o emprego da desigualdade de Schwarz ab ≤ a 2 b2 , + 2 2 válida para todo a , b ∈ R . ∫ ∞ f (x − u )g(u )du ≤ −∞ ∫ ∞ 1 f (x − u )g(u ) du ≤ 2 −∞ ∫ ∞ 1 f (x − u ) du + 2 −∞ 2 ∫ ∞ 2 g(u ) du < ∞ −∞ A convolução de funções absolutamente integráveis, quando está definida, é também uma função absolutamente integrável. Transformada de Fourier de uma convolução Se f , g : R → C são funções absolutamente integráveis, então ℑ{(f ∗ g )(x )} = F(α )G (α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )} e G (α ) = ℑ{g(x )}. Prova: ℑ{f ∗ g} = ∫ ∞ −∞ ∞ (f ∗ g )e iα x dx = −∞ ∫ ∫ f (u )g (x − u )du e iα x dx −∞ ∞ Como e iα x = e iα u e iα ( x −u ) : −∞ ∞ ℑ{f ∗ g} = ∫ ∫ f (u )g(x − u )du e iα u e iα ( x −u ) dx −∞ ∞ Mudando a ordem de integração: ℑ{f ∗ g} = ∫ f (u ) −∞ ∞ ∫ g(x − u )e iα ( x − u )dx e iα u du −∞ ∞ Considerando x − u = v ⇒ x = u + v ⇒ dx = dv : 112 ℑ{f ∗ g} = ℑ{f ∗ g} = ∫ ∫ f (u ) −∞ ∞ ∫ g(v )e iα v dve iα u du −∞ ∞ ∞ f (u )ℑ{g}e iα u du −∞ ∫ ∞ ℑ{f ∗ g} = ℑ{g} f (u )e iα u du −∞ ℑ{f ∗ g} = ℑ{g}ℑ{f } ℑ{f ∗ g} = F(α )G (α ) Propriedades da convolução 1a) Comutativa f ∗g = g ∗f 2a) Associativa f ∗ (g ∗ h ) = (f ∗ g ) ∗ h 3a) Distributiva f ∗ (g + h ) = (f ∗ g ) + (f ∗ h ) 4a) Elemento nulo f ∗0 = 0 5a) Elemento identidade δ∗f = f δ : delta de Dirac (distribuição) Modelos matemáticos que envolvem a convolução estão presentes em diferentes ramos do conhecimento. A convolução modela distorções em ondas sonoras e luminosas, surge no processamento de sinais e na detecção de ondas eletromagnéticas e/ou mecânicas e é também base de alguns sistemas de redes neurais de auto-aprendizagem. Na Matemática, a convolução é empregada na solução de sistemas lineares de equações diferenciais e na solução de alguns tipos de equações integrais. Na Estatística, é usada para calcular funções de densidade de probabilidade. Exemplo Solucione a equação integral y (x ) = g (x ) + ∫ ∞ y(u )r (x − u )du , −∞ onde g(x) e r(x) são conhecidas. 113 y (x ) = g (x ) + ∫ ∞ y(u )r (x − u )du −∞ y (x ) = g (x ) + ( y ∗ r ) ℑ{y(x )} = ℑ{g(x ) + (y ∗ r )} ℑ{y(x )} = ℑ{g(x )} + ℑ{y ∗ r} Y(α ) = G (α ) + Y (α )R (α ) Y(α ) − Y (α )R (α ) = G (α ) [1 − R (α )]Y(α ) = G (α ) G (α ) Y(α ) = 1 − R (α ) G (α ) ℑ −1 {Y(α )} = ℑ −1 1 − R (α ) ∞ G (α ) −iα x 1 y (x ) = e dα 2π −∞ 1 − R (α ) ∫ Exercícios 01. Mostre que: a) ∫ ∞ 2 e − u du = π ; −∞ b) x ∗ e −x2 = ∫ ∞ (x − u )e −u 2 du = x π . −∞ 02. Mostre que f (x ) ∗ u (x ) = ∫ x 1, se x > 0 . f (κ )dκ , sendo u (x ) = 0, se x < 0 −∞ 3.11.9 – Multiplicação (Convolução na frequência) Se f , g : R → C são funções absolutamente integráveis, então ℑ{f (x ).g(x )} = 1 F(α ) ∗ G (α ) , onde F(α ) = ℑ{f (x )} e G (α ) = ℑ{g (x )} . 2π Prova: ℑ{f (x ).g(x )} = ∫ ∞ f (x )g(x )e i α x dx −∞ 114 ∫ = 1 2π −∞ ∞ 1 = 2π 1 = 2π ∫ ∫ ∫ F(κ )e −i x κ dκ g(x )e i α x dx −∞ ∞ F(κ ) −∞ ∞ ∫ g(x )e i (α − κ ) x dx dκ −∞ ∞ ∞ F(κ )G (α − κ )dκ −∞ 1 F(α ) ∗ G (α ) 2π = 3.11.10 – Transformada de Fourier de derivadas Sejam f : R → C uma função diferenciável absolutamente integrável e f ' uma função absolutamente integrável. Como f (x ) → 0 quando x → ±∞ , então { } ℑ f ' (x ) = −iα F(α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )}. Sejam f : R → C uma função duas vezes diferenciável absolutamente integrável e f ' e f ' ' funções absolutamente integráveis. Como f ' (x ) → 0 quando x → ±∞ , então { } ℑ f " (x ) = −α 2 F(α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )}. Generalizando, sejam f : R → C uma função n vezes diferenciável absolutamente integrável e as derivadas até ordem n de f funções absolutamente integráveis. Como f ' (x ), f " (x ), K, f (n −1) (x ) → 0 quando x → ±∞ , então ℑ{f (n ) (x )} = (− iα ) F(α ), onde n ∈ Z, n ≥ 1, F(α ) = ℑ{f (x )} . n Prova: { } ℑ f (x ) = { ' } ∫ ∞ f ' (x )eiα x dx −∞ ℑ f (x ) = lim ' a → −∞ ∫ 0 f (x )e ' iα x dx + lim a b →∞ ∫ b f ' (x )e iα x dx 0 Usando integração por partes: u = e iα x ⇒ du = iα e iα x dx dv = f ' (x )dx ⇒ v = f (x ) 115 (3.11.10.1) ∫ f ' (x )e iα x dx = f (x ) e iα x − iα ∫() f x e iα x dx (3.11.10.2) Empregando (3.11.10.2) em (3.11.10.1): 0 b iα x 0 iα x iα x b ℑ f (x ) = lim f (x )e f (x )e dx + lim f (x )e f (x )eiα x dx a − iα 0 − iα a → −∞ b→∞ a 0 0 b ' iα a iα x iα b ℑ f (x ) = lim f (0 ) − f (a )e − iα f (x )e dx + lim f (b )e − f (0 ) − iα f (x )eiα x dx a → −∞ b→∞ a 0 { ' { [ } ] ∫ { { ' ] ∫ } ' [ } ℑ f (x ) = −iα ∫ ∫ ∫ ∞ f (x )e iα x dx -∞ } ℑ f (x ) = −iαℑ{f (x )} = −iα F(α ) Por recursividade: { } { } ℑ f " (x ) = −iα ℑ f ' (x ) = (− iα )(− iα )ℑ{f (x )} = −α 2 ℑ{f (x )} = −α 2 F(α ) Exercícios 01. Sejam f : R → C uma função diferenciável absolutamente integrável e f ' uma função absolutamente integrável. Como f (x ) → 0 quando x → ±∞ , mostre que: { } { } a) ℑC f ' (x ) = α ℑS {f (x )} − f (0 ) = α FS (α ) − f (0) ; b) ℑS f ' (x ) = −α ℑ C {f (x )} = −α FC (α ) . Observação: As transformadas seno e cosseno de Fourier não são adequadas para transformar a derivada primeira (ou qualquer derivada de ordem ímpar), isto porque a transformada seno (ou cosseno) da derivada de f não é expressa em termos da transformada seno (ou cosseno) da função f. 02. Sejam f : R → C uma função duas vezes diferenciável absolutamente integrável e f ' e f ' ' funções absolutamente integráveis. Como f ' (x ) → 0 quando x → ±∞ , mostre que: { } b) ℑ {f (x )} = −α a) ℑC f " (x ) = −α 2 ℑ C {f (x )} − f ' (0 ) = − α 2 FC (α ) − f ' (0 ) ; " S 2 ℑS {f (x )} + α f (0 ) = − α 2 FS (α ) + α f (0 ) . 3.11.11 – Derivadas de transformadas de Fourier Se f : R → C é uma função absolutamente integrável e x f (x ) também é uma função absolutamente integrável, então ℑ{xf (x )} = −i F ' (α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )} . 116 Se f : R → C é uma função absolutamente integrável e x 2 f (x ) também é uma função absolutamente integrável, então { } ℑ x 2 f (x ) = −F " (α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )}. Se f : R → C é uma função absolutamente integrável e x n f (x ) também é uma função absolutamente integrável, então { } n ℑ x n f (x ) = (− i ) F (n ) (α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )}. Prova: d d F(α ) = dα dα d F(α ) = i dα ∫ ∫ ∞ f (x )e iα x −∞ dx = ∫ ∞ ∂ f (x )e iα x dx = ∂α [ ] −∞ ∫ ∞ ix f (x )e iα x dx −∞ ∞ [x f (x )]e iα x dx = iℑ{xf (x )} −∞ 1 ℑ{xf (x )} = F ' (α ) i ℑ{xf (x )} = −i F ' (α ) d2 d2 F ( ) = α dα 2 dα 2 d2 F(α ) = − dα 2 { ∫ } " ) } ∫ ∞ f (x )e iα x dx = −∞ ∫ ∞ ∂2 f (x )e iα x dx = ∂α 2 [ −∞ ] ∞ [x 2 ] { } f (x ) e iα x dx = −ℑ x 2 f (x ) −∞ ℑ x f (x ) = −F (α ) 2 Exemplos {( { } { } ℑ 2 x − x 2 + 3x 3 f (x ) = 2ℑ{x f (x )} − ℑ x 2 f (x ) + 3ℑ x 3 f (x ) = −2 i F ' (α ) + F " (α ) + 3 i F ''' (α ) ℑ { xe − ax u (x ) } = (− i ) d 1 − (− i ) 1 = −i = 2 dα a − iα (a − iα ) (a − iα )2 1, x > 0 Re(a ) > 0 e u (x ) = 0, x < 0 117 ∫ ∞ i 2 x 2 f (x )e iα x dx −∞ ℑ { x 2 e −ax u (x ) } = (− i ) 2 d2 dα 2 d 1 − 2(a − iα )(− i ) 2 1 = a − iα = −i dα (a − iα )2 = −i (a − iα )4 (a − iα )3 1, x > 0 Re(a ) > 0 e u (x ) = 0, x < 0 ℑ { x 3 e − ax u (x ) } = (− i ) 3 d3 1 d2 1 6 = − = 3 2 2 dα a − iα dα (a − iα ) (a − iα )4 1, x > 0 Re(a ) > 0 e u (x ) = 0, x < 0 ℑ { x n e − ax u (x ) } = n! (a − iα )n +1 1, x > 0 Re(a ) > 0 e u (x ) = 0, x < 0 Exercícios 1, x > 0 é a função unitária de Heaviside e a > 0 . Determine: 01. Seja f (x ) = x e -ax u (x ) , onde u (x ) = 0, x < 0 a2 −α 2 a) a parte real de ℑ{f (x )} = F(α ) ; R.: FR (α ) = b) a parte imaginária de ℑ{f (x )} = F(α ) ; R.: FI (α ) = c) o ângulo de fase de ℑ{f (x )} = F(α ) ; 2aα R.: θ = arctg 2 2 a −α d) a amplitude de ℑ{f (x )} = F(α ) ; R.: F(α ) = e) o espectro de potência de f (x ) . R.: P(α ) = (a +α 2 ) 2 2aα (a 2 +α 2 ) 2 1 a +α 2 2 1 (a 02. Prove a propriedade da diferenciação na frequência ℑ{i x f (x )} = 118 2 2 +α 2 ) 2 d F(α ) . dα 3.12 – Resumo: Propriedades operacionais das transformadas de Fourier 1. Linearidade ℑ{af (x ) + bg(x )} = aℑ{f (x )} + bℑ{g(x )} = aF(α ) + bG (α ) 2. Simetria Se F(α ) = ℑ{f (x )} , então ℑ{F(x )} = 2π f (− α ) . 3. Conjugado Se F(α ) = ℑ{f (x )} , então ℑ f (x ) = F(− α ) . 4. Translação (no tempo) ℑ{f (x − a )} = e iaα F(α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )} 5. Translação (na freqüência) ℑ e iax f (x ) = F(α + a ), onde F(α ) = ℑ{f (x )} 6. Dilatação (ou similaridade) 1 α ℑ{f (ax )} = F , onde F(α ) = ℑ{f (x )} a a 7. Inversão de tempo ℑ{f (− x )} = F(− α ) , onde F(α ) = ℑ{f (x )} 8. Convolução ℑ{(f ∗ g )(x )} = F(α )G (α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )} e G (α ) = ℑ{g(x )} 9. Multiplicação (convolução na frequência) 1 Se F(α ) = ℑ{f (x )} e G (α ) = ℑ{g (x )} , então ℑ{f (x ).g(x )} = F(α ) ∗ G (α ) . 2π 10. Transformada da derivada primeira ℑ f ' (x ) = −iα F(α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )} { } { } { } { } ℑ {f (x )} = −α ℑ {f (x )} = −α F (α ) ℑC f (x ) = α ℑS {f (x )} − f (0) = α FS (α ) − f (0) ' ' S C C 11. Transformada da derivada segunda ℑ f " (x ) = −α 2 F(α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )} { } { } ℑ {f (x )} = −α ℑC f (x ) = −α 2 ℑC {f (x )} − f ' (0 ) = − α 2 FC (α ) − f ' (0 ) " ℑS {f (x )} + α f (0 ) = − α 2 FS (α ) + α f (0 ) 12. Transformada de derivadas n ℑ f (n ) (x ) = (− iα ) F(α ), onde n ∈ Z, n ≥ 1, F(α ) = ℑ{f (x )} 13. Derivadas de transformadas de Fourier ℑ{xf (x )} = −i F ' (α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )} " 2 S { } { } ℑ{x f (x )} = (− i ) ℑ x 2 f (x ) = −F " (α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )} n F (n ) (α ), onde F(α ) = ℑ{f (x )} 14. Diferenciação na frequência d ℑ{i x f (x )} = F(α ) dα n Tabela 1: Propriedades das transformadas de Fourier. 119 3.13 – Delta de Dirac Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984): físico, matemático e engenheiro britânico. Partilhou o Nobel de Física de 1933 com Erwin Schrödinger. Função impulso unitário: x < x0 − a 0, 1 δ a (x − x 0 ) = , x 0 - a ≤ x < x 0 + a 2a x ≥ x0 + a 0, a>0 (3.13.1) 1 2a A= 1 (2a ) = 1 2a x x0 − a x0 x0 + a Figura 51: Função impulso unitário. A função (3.13.1) pode ser compactada usando-se a função degrau unitário. Assim, δ a (x − x 0 ) = 1 {u [x − (x 0 − a )] − u [x − (x 0 + a )]}, 2a onde 1, x > x 0 − a 1, x > x 0 + a u [x − (x 0 − a )] = e u [x − (x 0 + a )] = . 0, x < x 0 − a 0, x < x 0 + a Considerando δ(x − x 0 ) = lim δ a (x − x 0 ) , a →0 temos a distribuição delta de Dirac ∞, se x = x 0 δ (x − x 0 ) = . 0, se x ≠ x 0 (3.13.2) 120 ∞, se x = c A distribuição (3.13.2) pode ser escrita como δ c (x ) = δ(x − c ) = . 0, se x ≠ c ∞, se x = 0 . Quando c = 0 , temos que δ(x ) = 0, se x ≠ 0 Fisicamente, o delta de Dirac pode ser interpretado como um impulso de energia em um sistema, razão pela qual recebe o nome de função impulso de Dirac. 3.13.1 – Propriedades do delta de Dirac A distribuição delta de Dirac δ = δ(x ) apresenta as seguintes propriedades: 1. δ(x ) = 0, se x ≠ 0 ; 2. δ(x ) = δ(− x ), ∀x ∈ R ; 3. δ(0 ) = ∞ ; 4. f (x )δ(x ) = f (0)δ(x ) se f (x ) for contínua em x = 0 ; 5. f (x )δ(x − x 0 ) = f (x 0 )δ(x − x 0 ) se f (x ) for contínua em x = x 0 ; 6. 7. 8. 9. ∫ ∞ δ(x )dx = 1 ; −∞ (f ∗ δ)(x ) = f (x ) , se f (x ) é contínua; ∫ ∞ f (x )δ(x )dx = f (0 ) , se f (x ) é contínua em x = 0 ; −∞ (f ∗ δ c )(x ) = f (c) , se f (x ) é contínua em 10. δ(x ) = u ' (x ) = 11. δ(ax ) = x = c; d u (x ) , onde u (x ) é a função degrau unitário; dx 1 δ (x ) . a Observação: Mais informações a respeito do delta de Dirac podem ser obtidas em HSU, H.P. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman. 121 3.13.2 – Transformada de Fourier do delta de Dirac Aplicando a transformada de Fourier à propriedade 7, temos que: (f ∗ δ )(x ) = f (x ) ℑ{(f ∗ δ )(x )} = ℑ{f (x )} ℑ{f (x )}ℑ{δ(x )} = ℑ{f (x )} ℑ{δ(x )} = 1 ℑ −1 {1} = δ(x ) Dessa maneira, podemos escrever o par de transformadas δ(x ) → ← 1. 3.14 – Métodos para obter a transformada de Fourier 3.14.1 – Uso da definição { }= α 2+a a Mostre que ℑ e e −a x 2 2 , Re(a ) > 0 . e − ax , x > 0 = ax e , x < 0 { }= ℑe −a x −a x ∫ 0 ax e e iα x dx + −∞ ∫ ∞ e − ax e iα x dx = 0 0 ∫ 0 e −∞ ( a + iα ) x dx + ∫ ∞ e (− a +iα ) x dx 0 k2 e ( a + iα ) x e ( − a + iα ) x = lim + klim k1 → −∞ a + iα k 1 2 → ∞ − a + iα 0 0 k2 e ax [cos(α x ) + i sen (α x )] e − ax [cos(α x ) + i sen (α x )] = lim + lim k1 → −∞ a + iα − a + iα k1 k 2 → ∞ 0 122 1 e ak1 [cos(α k 1 ) + i sen (α k 1 )] = lim − + k1 → −∞ a + iα a2 + i4 α 4444 14444 4 3 →0 se Re (a ) > 0 − ak e 2 [cos(α k 2 ) + i sen (α k 2 )] 1 + lim − k 2 →∞ −4 a2 +4 iα4444 3 − a + iα 14444 →0 se Re (a ) > 0 = 1 1 − a + iα − (a + iα ) − 2a 2a − = = = 2 2 2 2 2 a + iα − a + iα α + a2 −α − a (iα ) − a Exemplo 1 ∫ { }| ∞ e −3 x + 2 i x dx = ℑ e −3 x = α=2 −∞ 2(3) 6 = 2 13 2 +3 2 Exemplo 2 Seja f : R → R / f (x ) = x 6 e −a x . 1. Determine F(α ) = ℑ{f (x )} . { } { }= α 2+a a n Lembrando que ℑ x n f (x ) = (− i ) F (n ) (α ), F(α ) = ℑ{f (x )} e que ℑ e que: { ℑ x 6e −a x } = F(α ) = (− i) 6 −a x 2 2 d 6 2a d6 1 = − 2 a dα 6 α 2 + a 2 dα 6 α 2 + a 2 = −2a d5 dα 5 − 2α d5 4 a = 2 2 dα 5 (α + a 2 ) α 2 2 (α + a 2 ) 2 d 4 (α 2 + a 2 ) − 2α(α 2 + a 2 )2α d 4 α 2 + a 2 − 4α 2 = 4a 4 = 4a 4 dα dα (α 2 + a 2 )3 (α 2 + a 2 )4 3 2 d 4 a 2 − 3α 2 d 3 − 6α (α 2 + a 2 ) − (a 2 − 3α 2 )3(α 2 + a 2 ) 2α = 4a 4 = 4a 3 dα (α 2 + a 2 )3 dα (α 2 + a 2 )6 d 3 − 6α(α 2 + a 2 ) − (a 2 − 3α 2 )6α d 3 12α 3 − 12a 2 α = 4a 3 = 4a 3 dα dα (α 2 + a 2 )4 (α 2 + a 2 )4 = 48a d3 dα 3 α3 − a 2α 2 4 (α + a 2 ) 123 , a > 0 , temos ( )( ) ( )( ( ) )(α + a ) − (α − a α)8α (α + a ) ) 4 3 d 2 3α 2 − a 2 α 2 + a 2 − α 3 − a 2 α 4 α 2 + a 2 2α = 48a 2 8 dα α2 + a 2 2 3 2 (3α 2 − a 2 2 2 2 5 d 2 3α 4 + 3a 2 α 2 − a 2 α 2 − a 4 − 8α 4 + 8a 2 α 2 = 48a 2 dα (α 2 + a 2 )5 = 48a d2 dα 2 10a 2 α 2 − 5α 4 − a 4 (α 2 + a 2 )5 d 2 10a 2 α 2 − 5α 4 − a 4 = 48a 2 dα (α 2 + a 2 )5 = 48a d2 dα 2 ( )( ) − (10a α − 5α − a )5(α (α + a ) )(α + a ) − (10a α − 5α − a )10α (α + a ) d 20a 2 α − 20α 3 α 2 + a 2 = 48a dα ( 5 2 2 4 4 2 10 2 2 ) + a 2 2α 4 = 48a d 20a 2 α − 20α 3 dα = 48a d 20a 2 α 3 + 20a 4 α − 20α 5 − 20a 2 α 3 − 100a 2 α 3 + 50α 5 + 10a 4 α 6 dα α2 + a 2 2 2 2 2 4 4 2 6 2 ( ) d 30α 5 − 100a 2 α 3 + 30a 4 α d 3α 5 − 10a 2 α 3 + 3a 4 α = 48a = 480a 6 6 dα dα α2 + a 2 α2 + a 2 ( ) ( ) (15α 4 − 30a 2 α 2 + 3a 4 )(α 2 + a ) − (3α 5 − 10a 2 α 3 + 3a 4 α )6(α 2 + a 2 )5 2α = 480a (α 2 + a 2 )12 (15α 4 − 30a 2 α 2 + 3a 4 )(α 2 + a 2 ) − (3α 5 − 10a 2 α 3 + 3a 4 α )12α = 480a (α 2 + a 2 )7 2 6 − 21α 6 + 105a 2 α 4 − 63a 4 α 2 + 3a 6 = 480a 7 α2 + a2 ( ) a 6 − 21a 4 α 2 + 35a 2 α 4 − 7α 6 = 1440a (α 2 + a 2 )7 { 6 ℑx e −a x } a 6 − 21a 4 α 2 + 35a 2 α 4 − 7α 6 = 1440a , a > 0 (α 2 + a 2 )7 (3.14.1.1) 124 2. Plote os gráficos de f (x ) e de F(α ) = ℑ{f (x )} para a = 2 e comente-os. f (x ) = x 6 e −2 x 64 − 336α 2 + 140α 4 − 7α 6 F(α ) = 2880 7 α2 + 4 ( ) y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 x −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 64 − 336α 2 + 140α 4 − 7α 6 6 −2 x (vermelho). Figura 52: Gráfico de F(α ) = 2880 (azul) e de f (x ) = x e 7 2 α + 4 ( ) Comentários: f (x ) e F(α ) são funções 1. que se anulam no infinito; 2. pares; 3. limitadas; 4. contínuas; 5. absolutamente integráveis; 6. pertencentes ao espaço de Schwarz. 1 − 21x 2 + 35x 4 − 7 x 6 3. Calcule ℑ . 7 x2 +1 ( ) Considerando a = 1 em (3.14.1.1), temos que 125 f (x ) = x 6 e −x 1 − 21α 2 + 35α 4 − 7α 6 e F(α ) = 1440 . 7 α2 +1 ( ) Propriedade da simetria (dualidade): ℑ{F(x )} = 2πf (− α ), ℑ{f (x )} = F(α ) 1 − 21x 2 + 35x 4 − 7 x 6 2π ℑ (− α )6 e − −α = π α 6 e − α = 7 2 720 1440 (x + 1) π 6 −α 720 α e , se α > 0 = π α 6 e α , se α < 0 720 3.14.2 – Uso de equações diferenciais α − ax 2π − 2 a Mostre que ℑe 2 = e a 2 f (x ) = e − ax a função gaussiana e a > 0 . 2 Seja f (x ) = e − ax 2 2 2 − x ℑe 2 2 e, conseqüentemente, α − 2 , sendo = π 2 e . Então, f (x ) satisfaz à equação diferencial ordinária de primeira ordem f ' (x ) + axf (x ) = 0 . (3.14.2.1) Aplicando a transformada de Fourier a ambos os lados de (3.14.2.1), obtemos: { } ℑ f ' (x ) + aℑ{x f (x )} = ℑ{0} − iα F(α ) + a (− i ) ai d F(α ) = 0 dα d F(α ) = −iα F(α ) dα 1 dF(α ) α d =− ⇒ [ln F(α ) ] = − α F(α ) dα a dα a ∫ d [ln F(α ) ]dα = dα ln F(α ) = − 2 ∫ − α dα a 1 α2 + C1 a 2 126 F(α ) = Ce − α2 (3.14.2.2) 2a Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.14.2.2), chegamos a 1 f (x ) = ℑ {F(α )} = 2π −1 ∫ ∞ F(α )e − iα x −∞ 1 dα = 2π ∫ ∞ Ce − α2 2a e − iα x dα . (3.14.2.3) −∞ Considerando x = 0 em (3.14.2.3), temos que C f (0 ) = 1 = 2π ∫ ∞ e − α2 2a dα ⇒ −∞ ∫ ∞ e − α2 2a 2π dα = ⇒ C −∞ ∫ ∞ e 0 − α2 2a dα = π . C (3.14.2.4) Calculando a integral em (3.14.2.4): α2 = u 2 ⇒ α = 2a u , dα = 2a du 2a α → 0 ⇒ u → 0, α → ∞ ⇒ u → ∞, a > 0 ∫ ∞ e − α2 2a ∫ dα = 0 ∞ e −u 2 2a du = 2a 0 ∫ ∞ 2 e − u du = 0 π C (3.14.2.5) Calculando a integral em (3.14.2.5): 1 1 u 2 = w ⇒ u = w = w 2 , du = 1 −2 w dw 2 u → 0 ⇒ w → 0, u → ∞ ⇒ w → ∞ ∫ ∞ e −u 2 du = 0 ∫ ∞ 1 e −w 0 1 −2 1 w dw = 2 2 ∫ ∞ − 1 w 2 e − w dw = 0 1 1 π Γ = 2 2 2 (3.14.2.6) Substituindo (3.14.2.6) em (3.14.2.5), obtemos 2a π 2 = π C ⇒C= 2π 2π a = 2π a . (3.14.2.7) Substituindo (3.14.2.7) em (3.14.2.2), temos que F(α ) = 2π a e − α2 2a . (3.14.2.8) 127 − x Considerando a = 1 em (3.14.2.8), concluímos que ℑe 2 Exemplo 2 ∫ { }| ∞ e − x 2 + 3i x dx = ℑ e −x 2 2π = 2 α =3 −∞ e − 32 2 α − = 2π e 2 . 2 π = e 9 4 3.14.3 – Decomposição em frações parciais Seja F(α ) = 10(4 − iα ) . Determine ℑ −1 {F(α )}. 2 α + 8iα − 6 α 2 + 8 iα − 6 = 0 ⇒ α = F(α ) = − 8i ± − 40 = −4i ± 10i = − 4 ± 10 i 2 ( 40 − 10 iα [α − (− 4 + ) ][ ( ) (3.14.3.1) )] 10 i α − − 4 − 10 i Decompondo (3.14.3.1) em frações parciais, temos que: F(α ) = 40 − 10 iα [α − (− 4 + ) ][ ( )] 10 i α − − 4 − 10 i [ ( = A ( ) α − − 4 + 10 i )] [ ( + ( B ) α − − 4 − 10 i (3.14.3.2) )] 40 − 10 iα = A α − − 4 − 10 i + B α − − 4 + 10 i [( ) ) ] ( 40 − 10 iα = 4 + 10 i A + 4 − 10 i B + (A + B)α A+ B = −10 i ⇒ A = −5 i, B = -5 i 4 + 10 i A + 4 − 10 i B = 40 ( ) ( ) Substituindo (3.14.3.3) em (3.14.3.2), obtemos: F(α ) = − F(α ) = − F(α ) = 5i ( ) − 5i ( ) α − − 4 + 10 i α − − 4 − 10 i 5i ( α − −4+ (− 4 + 5 ) (i ) − 5i 10 ) i (i ) α − (− 4 − 10 + i α + (− 4 − 5 (i ) 10 ) i (i ) ) 10 + i α 128 (3.14.3.3) F(α ) = − 5 (4 − − ) 10 − i α 5 (4 + (3.14.3.4) ) 10 − i α Sabemos que ℑ { e − ax u (x ) } = 1, x > 0 1 . , Re(a ) > 0, u (x ) = a −iα 0, x < 0 (3.14.3.5) Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.14.3.4) e empregando (3.14.3.5), chegamos a 1 1 −1 f (x ) = ℑ −1 {F(α )} = −5ℑ −1 − 5ℑ 4 − 10 − i α 4 + 10 − i α 1 1 4 2 4 3 4 2 4 3 >0 >0 ( = −5e − (4− ) ) u (x ) − 5e − (4+ 10 x [ = −5 u (x ) e − (4− 10 x ) + e − (4+ [ 10 x = −5 u (x )e −4 x e + e− ( ( ) ) u (x ) 10 x ) 10 x ] ] 10 x ) = −10e −4 x cosh 10 x u (x ) . Exercícios sen (x ), x ≤ π . Determine ℑ{f (x )} . 01. Seja f (x ) = 0, x > π R.: ℑ{f (x )} = 2i sen (πα ) 1−α 2 02. Use uma transformada de Fourier conhecida e as propriedades operacionais para calcular { ℑ x 2e −x }. { R.: ℑ x 2 e −x }= − 4(3α (α { 2 03. Calcule ℑ (1 − x ) e { 2 R.: ℑ (1 − x ) e −x 2 −x 2 ) −1 ) +1 3 }. }= α 2+ 1 − 2 8iα (α 2 ) +1 2 − ( (α ) 4 3α 2 − 1 2 ) +1 3 129 04. Seja f : R → C / f (x ) = 1 , Re(a ) > 0 . x + a2 2 ∫ a) A função f (x ) é absolutamente integrável? Calcule, se possível, R.: ∞ 1 dx . x + a2 2 −∞ π , Re(a ) > 0 a 1 π −a α b) Mostre que ℑ 2 = e , Re(a ) > 0 . 2 x + a a 3.15 – Transformada de Fourier de algumas funções Discutiremos também a transformada de Fourier de algumas funções que não são absolutamente integráveis. 3.15.1 – A função constante unitária A função constante unitária pode ser vista como o caso limite da função pulso. 1, x < a Função pulso: f (x ) = 0, x > a 1 lim f (x ) = 1 a →∞ -a { } a 2sen (aα ) a →∞ α y ℑ{1} = ℑ lim f (x ) = lim ℑ{f (x )} = lim a →∞ a →∞ x 8 1 sen (aα ) = 2π lim a →∞ π α = 2πδ(α ) 7 6 5 4 3 ℑ −1 {2πδ(α )} = 1 sen (4α ) α 2 1 x 1 → ← 2πδ(α ) −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 −1 −2 −3 130 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.15.2 – A função sinal 1, x > 0 Função sinal: sgn (x ) = − 1, x < 0 1 x -1 A função sinal pode ser expressa pelo limite sgn (x ) = lim [ e − ax u (x ) - e ax u (− x ) ], a →0 1, x > 0 1, x < 0 onde u (x ) = e u (− x ) = . 0, x < 0 0, x > 0 Assim: ℑ{sgn (x )} = ℑ { lim [ e − ax u (x ) - e ax u (− x ) ]} a →0 = lim ℑ {[ e − ax u (x ) - e ax u (− x ) ]} a →0 1 1 = lim − a →0 a − iα a + iα 2iα = lim 2 a →0 a + α 2 2i = α 2i ℑ −1 = sgn (x ) α sgn (x ) → ← 2i α Observação: Se ℑ{f (x )} = ∫ ∞ f (x )e −iα x dx , então ℑ{sgn (x )} = − −∞ 2i . α Exercício Mostre que ℑ { e ax u (− x ) } = 1, x < 0 1 . , Re(a ) > 0 , onde u (− x ) = a + iα 0, x > 0 131 3.15.3 – A função degrau 1, x > 0 Função degrau unitário: u (x ) = 0, x < 0 1 x A função degrau unitário pode ser reescrita como u (x ) = 1 [1 + sgn (x )] . 2 Logo: 1 1 1 1 ℑ {u (x ) } = ℑ + sgn (x ) = ℑ{1} + ℑ{sgn (x )} 2 2 2 2 i 1 1 2i = 2πδ(α ) + = πδ(α ) + 2 2α α i ℑ −1 πδ(α ) + = u (x ) α u (x ) → ← πδ(α ) + i α Observação: Se ℑ{f (x )} = ∫ ∞ f (x )e −iα x dx , então ℑ {u(x)} = πδ(α ) − −∞ i 1 = πδ(α ) + . α iα 3.15.4 – Exponencial Se f (x ) = T T sen (Tx ) T sen (Tx ) , então lim f (x ) = lim sinc(Tx ) = = δ (x ) . T →∞ T→∞ π π π Tx Tx ∞, x = 0 δ (x ) = 0, x ≠ 0 132 { }= ℑe ia x ∫ ∞ e ia x e iα x dx = −∞ = lim T →∞ = lim T →∞ ∫ ∫ ∫ ∞ e i (a + α )x dx −∞ T {cos[(a + α )x ] + isen[(a + α )x ]}dx −T T −T | sen[(a + α )x ] cos[(a + α )x ]dx = lim T →∞ a+α T −T sen[(a + α )T ] sen[(a + α )(− T )] sen[(a + α )T ] = lim − = 2 Tlim T →∞ → ∞ a+α a+α a+α T sen[(a + α )T ] T = 2π lim sinc[(a + α )T ] = 2πδ(α + a ) T →∞ π T →∞ π (a + α )T = 2π lim ℑ −1 {2πδ(α + a )} = e ia x e ia x 2πδ(α + a ) → ← Observação: Se ℑ{f (x )} = ∫ ∞ { } f (x )e −iα x dx , então ℑ e ia x = 2πδ(α − a ) . −∞ Exercício { } Mostre que ℑ e − ia x = 2πδ(α − a ) . 3.15.5 – Função cosseno ℑ{cos(ax )} = ∫ ∞ cos(ax ) e iα x dx = lim T →∞ −∞ = lim T →∞ ∫ T −T e ia x +e 2 −ia x ∫ T cos(ax ) e iα x dx −T e iα x dx 133 1 = lim 2 T →∞ = ∫ T e i (a + α )x dx + −T ∫ T −T e i (-a + α )x dx 1 {2πδ(α + a ) + 2πδ(α − a )} 2 = πδ(α + a ) + πδ(α − a ) = π[δ(α + a ) + δ(α − a )] ℑ −1 {π[δ(α + a ) + δ(α − a )]} = cos(ax ) cos(ax ) → ← π[δ(α + a ) + δ(α − a )] Exercícios Mostre que: 01. ℑ{sen (ax )} = iπ[δ(α − a ) − δ(α + a )] ; 02. ℑ { cos(ax ) u (x ) } = π [δ(α + a ) + δ(α − a )] + 2 iα 2 ; 2 α −a 03. ℑ { sen (ax ) u (x ) } = iπ [δ(α − a ) − δ(α + a )] − 2 a 2 ; 2 α −a 04. ℑ ∫ 1, se x > 0 i F(α ) f (κ )dκ = πF(0 )δ(α ) + , onde F(α ) = ℑ{f (x )} e u (x ) = . 0 , se x < 0 α −∞ x Sugestão: Use f (x ) ∗ u (x ) = ∫ x f (κ )dκ e f (x )δ(x ) = f (0)δ(x ) se f (x ) for contínua em x = 0 . −∞ 3.16 – Resumo: Transformadas de Fourier de algumas funções f (x ) F(α ) 2sen (aα ) ,α ≠ 0 1, x < a f (x ) = 0, x > a e −a x α F(0) = 2a 2a 2 α + a2 π −a α e a , Re(a ) > 0 1 , Re(a ) > 0 x + a2 2 134 e −x e e − ax 2 2 FC (α ) = 1 α +1 x2 − 2 FS (α ) = 2 2π e 2π ,a > 0 a e − α +1 α2 − 1, x > c e − ax u (x ), Re(a ) > 0, u (x − c ) = 0, x < c 1 a − iα 1, x > c x n e − ax u (x ), Re(a ) > 0, u (x − c ) = 0, x < c n! 2 α2 2a (a − iα )n +1 ∞, x = 0 0, x ≠ 0 δ (x ) = 1 1, x ≤ a 1 = lim f (x ), f (x ) = a →∞ 0, x > a 1, x > 0 sgn (x ) = − 1, x < 0 2πδ(α ) 2i α 1, x > 0 u (x ) = 0, x < 0 πδ(α ) + i α 2πδ(α + a ) π[δ(α + a ) + δ(α − a )] iπ[δ(α − a ) − δ(α + a )] π [δ(α + a ) + δ(α − a )] + 2 iα 2 2 α −a iπ [δ(α − a ) − δ(α + a )] − 2 a 2 2 α −a e ia x cos(ax ) sen (ax ) cos(ax ) u (x ) sen (ax ) u (x ) ∫ α 2 x f (κ )dκ πF(0 )δ(α ) + −∞ i F(α ) α Tabela 2: Transformadas de Fourier de algumas funções e distribuições. 3.17 – Identidade de Parseval para as integrais de Fourier ∫ ∞ 1 f (x ) dx = 2π −∞ 2 ∫ ∞ 2 F(α ) dα , onde F(α ) = ℑ{f (x )} −∞ 135 Prova: f = u + iv, u = u (x, y ), v = v(x, y ) f = u − iv ff = f 2 f (x ) = f (x ) ℑ{f (x )g(x )} = ∫ 1 F(α ) ∗ G (α ) 2π ∞ f (x )g(x ) e iα x −∞ 1 dx = 2π ∫ ∞ F(u )G (α − u )du (3.17.1) −∞ Considerando α = 0 em (3.17.1), obtemos ∫ ∞ ∫ 1 f (x )g(x )dx = 2π −∞ ∞ F(u )G (− u )du . (3.17.2) −∞ { } Assumindo em (3.17.2) g (x ) = f (x ) e lembrando que ℑ f (x ) = F(− α ) , temos que g (x ) = f (x ) { } ℑ{g (x )} = ℑ f (x ) G (α ) = F(− α ) α ← −α : G (− α ) = F(α ) G (− u ) = F(u ) ∞ ∫ 1 f (x )f (x )dx = 2π −∞ ∫ ∞ 1 f (x ) dx = 2π −∞ 2 ∞ ∫ ∫ F(α )F(α )dα −∞ ∞ 2 F(α ) dα . (3.17.3) −∞ Se f e g são funções pares, podemos reescrever (3.17.1) como ∫ ∞ f (x )g(x )dx = 0 2 π ∫ ∞ FC (α )G C (α )dα . (3.17.4) 0 136 Da mesma forma, quando f e g são funções ímpares reescrevemos (3.17.1) como ∫ ∞ 2 f (x )g (x )dx = π 0 ∫ ∞ FS (α )G S (α )dα . (3.17.5) 0 Quando f (x ) = g (x ) , (3.17.4) e (3.17.5) tornam-se, respectivamente, ∫ ∞ 2 [f (x )] dx = 0 2 π ∫ ∞ 2 [FC (α )] dα e 0 ∫ ∞ 2 [f (x )] dx = 0 2 π ∫ ∞ [FS (α )]2 dα . 0 3.18 – Cálculo de integrais impróprias Podemos empregar as transformadas de Fourier ou a Identidade de Parseval para calcular para quanto convergem determinadas integrais impróprias. Exemplo x 2 , x ≤ 1 Seja f : R → R / f (x ) = . 0, x > 1 1. Plote o gráfico de f (x ) . y 1 x −3 −2 −1 1 −1 2 3 4 x 2 , x ≤ 1 Figura 53: Gráfico de f : R → R / f (x ) = . 0, x > 1 2. Determine F(α ) = ℑ{f (x )} . 137 F(α ) = ℑ{f (x )} = ∫ ∞ f (x )e iα x dx −∞ 1 = ∫ ∫ 2 iα x x e dx = −1 ∫ 1 x 2 [cos(αx ) + i sen (αx )]dx −1 1 x 2 cos(αx )dx =2 0 Calculando a integral indefinida (integração por partes): u = x , du = dx u = x 2 , du = 2xdx dv = cos(ax )dx , v = ∫ x 2 cos(ax )dx = sen (ax ) a dv = sen (ax )dx, v = − x 2 sen (ax ) 2 − a a ∫ cos(ax ) a x sen (ax )dx cos(ax )dx 2 x sen (ax ) 2 x cos(ax ) 2sen (ax ) = + − +C a a2 a3 = x 2 sen (ax ) 2 x cos(ax ) 1 − − + a a a a ∫ 1 x 2 sen (αx ) 2x cos(αx ) 2sen (αx ) F(α ) = 2 + − α α2 α3 0 sen (α ) 2 cos(α ) 2sen (α ) = 2 + − α2 α 3 α α 2 sen (α ) + 2α cos(α ) − 2sen (α ) α3 α 2 − 2 sen (α ) + 2α cos(α ) =2 , α≠0 α3 =2 ( F(0) = 2 ∫ ) 1 x cos(0.x )dx = 2 2 0 ∫ 1 x 2 dx = 2 0 F(α ) = 2 3. Calcule ∫ ∞ −∞ [(x 2 (α | 1 0 = 2 3 ) − 2 sen (α ) + 2α cos(α ) , α≠0 α3 2 ] x3 3 − 2)sen (x ) + 2 x cos(x ) dx . x6 2 138 ∫ Identidade de Parseval: ∫ 1 -1 2x 5 5 ∫ ∫ | ∫ [(α ∞ 1 2 = π 0 [(α 2 −∞ ∞ 1 f (x ) dx = 2π −∞ ( ∞ 1 x dx = 2π 4 ∞ 2 ∫ ∞ 2 F(α ) dα −∞ 2 ) α 2 − 2 sen (α ) + 2α cos(α ) 2 dα 3 α −∞ ] ) 2 − 2 sen (α ) + 2α cos(α ) dα α6 2 −∞ ] ) 2 − 2 sen (α ) + 2α cos(α ) π2 π dα = = 6 25 5 α ∫ ∞ [(x −∞ 2 ] − 2)sen (x ) + 2 x cos(x ) π dx = 6 5 x Exercícios 1, 0 ≤ x < 1 01. Seja f (x ) = . 0, x ≥ 1 a) Determine a transformada cosseno de Fourier de f(x). R.: FC (α ) = sen (α ) α ,α ≠0 b) Determine a transformada seno de Fourier de f(x). R.: FS (α ) = c) Mostre que d) Mostre que 02. Calcular ∫ ∞ 0 1 − cos(α ) α ∫ ∞ 0 ∫ 2 π 1 − cos(x ) dx = . x 2 ∞ sen 2 (x ) π dx = . 2 2 x 0 dx (x 2 ,α ≠0 ) +1 2 . 139 2 ∫ ∞ f (x ) cos(α x )dx = e −α ⇒ f (x ) = ℑ C−1 {e −α } = 0 R.: ∫ ∞ dx (x 0 = ) 2 2 +1 4 1 α +1 2 03. Solucione a equação integral { } R.: ∫ ∞ 0 ∫ ∞ f (x )sen (α x )dx = e −α . 0 2x π (x 2 + 1) Decorrência: ℑS e − x = 04. Calcular π (x 2 + 1) π Decorrência: ℑC {e − x } = R.: f (x ) = 2 ∫ ∞ x 2 dx (x 0 2 x 2 dx (x 2 ) +1 2 ) +1 = 2 α 2 α +1 . π 4 1, x < 1 05. Sejam f : R → R / f (x ) = x p(x ) e p : R → R / p(x ) = . 0, x > 1 a) Calcule F(α ) = ℑ{f (x )}. R.: F(α ) = 2i sen (α ) − α cos(α ) , F(0 ) = 0 α2 b) Determine para quanto convergem as integrais ∫ ∞ [sen(x ) − x cos(x )]2 dx . x4 -∞ R.: iπ π e 2 3 140 ∫ ∞ sen (x ) − x cos(x ) i x 2 e dx e 2 x -∞ 3.19 – Solução de equações diferenciais 3.19.1 – Equações diferenciais ordinárias Solucionar a equação diferencial ordinária 3 y " (x ) + 5 y ' (x ) + 2 y (x ) = f (x ) . (3.19.1.1) Seja ℑ{y(x )} = Y(α ) . Aplicando a transformada de Fourier a cada lado de (3.19.1.1), temos que: { } 3ℑ{y (x )}+ 5ℑ{y (x )}+ 2ℑ{y(x )} = ℑ{f (x )} ℑ 3y " (x ) + 5 y ' (x ) + 2 y(x ) = ℑ{f (x )} " ' − 3α 2 Y(α ) − 5iαY(α ) + 2Y(α ) = F(α ) (− 3α ) − 5iα + 2 Y(α ) = F(α ) F(α ) Y(α ) = 2 − 3α − 5iα + 2 F(α ) ℑ −1 {Y(α )} = ℑ −1 2 − 3α − 5iα + 2 2 1 y (x ) = 2π ∫ ∞ F(α ) e −iα x dα − 3α − 5iα + 2 −∞ 2 Questão E se em (3.19.1.1) f (x ) fosse um polinômio definido em (− ∞, ∞ ) ? Exemplo Solucione a EDO de segunda ordem −D d2 ϕ (x ) + κ 2 Dϕ (x ) = Qδ (x ) , 2 dx (3.19.1.2) onde D, κ 2 , κ > 0 e Q são constantes. ℑ{ϕ (x )} = Ψ (α ) Aplicando a transformada de Fourier a (3.19.1.2), obtemos: d2 − Dℑ 2 ϕ (x ) + κ 2 Dℑ{ϕ (x )} = Qℑ{δ (x )} dx Dα 2 Ψ (α ) + κ 2 DΨ (α ) = Q 141 (Dα 2 ) + κ 2 D Ψ (α ) = Q Q D(α + κ 2 ) Q 2κ Q 2κ Ψ (α ) = = . 2 2 2 D α + κ 2κ 2κD α + κ 2 Ψ (α ) = 2 ( (3.19.1.3) ) Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.19.1.3), temos que ϕ (x ) = ℑ −1 {Ψ (α )} = Q −1 2κ . ℑ 2 2 2κD α + κ { }= α 2+κκ Lembrando que ℑ e ϕ (x ) = ℑ −1 {Ψ (α )} = −κ x 2 2 (3.19.1.4) , κ > 0 , podemos escrever (3.19.1.4) como Q −κ x . e 2κD 3.19.2 – Equações diferenciais parciais Derivação sob o sinal de integração – Regra de Leibniz Wilhelm Gottfried Leibniz (1646-1716): matemático e filósofo alemão, considerado, juntamente com o físico e matemático britânico Isaac Newton (1642-1727), fundador (pai) do cálculo diferencial e integral. ∫ ∫ u2 Seja φ (α ) = d φ (α ) = dα f (x , α )dx , a ≤ α ≤ b , u 1 e u 2 dependentes de α . Então u1 u2 u1 ∂ d d f (x , α ) dx + f (u 2 , α ) u 2 − f (u 1 , α ) u1 , ∂α dα dα (3.19.2.1) ∂ f (x , α ) são contínuas em x e α em alguma região do plano xα incluindo ∂α u 1 ≤ x ≤ u 2 e a ≤ α ≤ b , e se u 1 e u 2 forem contínuas com derivadas contínuas para a ≤ α ≤ b . se f (x , α ) e Quando u 1 e u 2 independem de α , podemos reescrever (3.19.2.1) como d φ (α ) = dα ∫ u2 u1 ∂ f (x, α ) dx . ∂α 142 u (x , t ) : função das variáveis x , t ∈ R , t ≥ 0 . Fixando a variável temporal t, u (x , t ) torna-se uma função apenas da variável espacial x, definida na reta. Assim, podemos determinar a transformada de Fourier de u (x , t ) com relação à variável x. ℑ{u (x, t )} = ∫ ∞ ^ u (x , t )e iα x dx = U(α , t ) = u (α , t ) −∞ d ℑ{u x (x , t )} = ℑ u (x , t ) = dx ∫ d2 ℑ{u xx (x , t )} = ℑ 2 u (x , t ) = dx ∂ ℑ{u t (x , t )} = ℑ u (x , t ) = ∂t ∫ ∞ d u (x, t )e iα x dx = −iαU(α , t ) dx −∞ ∫ ∞ −∞ (3.19.2.2) d2 u (x , t )e iα x dx = −α 2 U(α , t ) 2 dx ∞ ∂ d u (x, t )e iα x dx = ∂t dt −∞ ∫ ∞ u (x , t )e iα x dx = −∞ d U(α , t ) dt (3.19.2.3) Em (3.19.2.2) aplicamos as propriedades da transformada de Fourier sobre derivadas; em (3.19.2.3), a derivada temporal é preservada pela transformada de Fourier (derivamos sob o sinal de integração utilizando a regra de Leibniz). Dessa forma, quando aplicamos a transformada de Fourier a uma equação diferencial parcial em duas variáveis (x e t), as derivadas parciais espaciais (u x , u xx ) desaparecem e apenas as derivadas temporais (u t , u tt ) permanecem, ou seja, a transformada de Fourier transforma a equação diferencial parcial em uma equação diferencial ordinária em t. A resolução de uma equação diferencial parcial pelas transformadas de Fourier pode ser resumida às seguintes etapas: 1a) Obtenha a transformada de Fourier das condições iniciais e das condições de contorno (se estas existirem); 2a) Aplique a transformada de Fourier à equação diferencial parcial, transformando-a em uma equação diferencial ordinária; 3a) Solucione a equação diferencial ordinária, obtendo U(α , t ) ; 4a) Determine as constantes presentes em U(α , t ) usando as condições iniciais e as condições de contorno; 5a) Aplique a transformada de Fourier inversa a U(α , t ) para obter a solução u (x , t ) da equação diferencial parcial. 143 3.19.2.1 – Equação do calor (EDP parabólica) Solucione a equação do calor ∂u ∂ 2u = , - ∞ < x < ∞, t > 0 κ ∂x 2 ∂t u (x ,0 ) = f (x ), - ∞ < x < ∞ (3.19.2.1.1) 1, se x ≤ 1 onde κ é a constante de difusibilidade térmica e f (x ) = (função pulso unitário). 0, se x > 1 Solucionar (3.19.2.1.1) é resolver o problema de condução de calor em uma barra homogênea, isolada termicamente e infinita. O problema de valor inicial (3.19.2.1.1) é o problema de Cauchy. Em (3.19.2.1.1), assumimos que a função f(x) é limitada e absolutamente integrável e que u (x , t ) < M (a solução é limitada para t ≥ 0 ). Augustin-Louis Cauchy (1789-1857): matemático francês, um dos maiores matemá-ticos do século XIX. Solução: u (x , t ) ℑ{u (x, t )} = ∫ ∞ u (x , t )e iα x dx = U(α , t ) −∞ ℑ{f (x )} = ℑ{u (x,0)} = U(α ,0) = 2sen (α ) α ,α ≠ 0 (3.19.2.1.2) Aplicando a transformada de Fourier em (3.19.2.1.1), obtemos ∂2 ∂ ℑ u (x, t ) = ℑκ 2 u (x , t ) ∂t ∂x dU(α , t ) = −κα 2 U(α , t ) . dt (3.19.2.1.3) Separando as variáveis em (3.19.2.1.3), chegamos a 144 1 dU(α, t ) = − κα 2 U(α, t ) dt d [ln U(α, t ) ] = − κα 2 dt ∫ d [ln U(α, t ) ]dt = dt ∫ − κα 2 dt ln U(α, t ) = − κα 2 t + C1 U(α , t ) = Ce − κα 2 t . (3.19.2.1.4) Para determinar a constante C em (3.19.2.1.4), usamos a condição inicial (3.19.2.1.2) ( t = 0 ) 2sen (α ) U(α ,0 ) = C = α . (3.19.2.1.5) Substituindo (3.19.2.1.5) em (3.19.2.1.4), temos que U(α , t ) = 2sen (α ) α e −κα 2 t . (3.19.2.1.6) Aplicando a transformada inversa de Fourier em (3.19.2.1.6), obtemos a solução procurada. 2sen (α ) −κα 2 t ℑ −1 {U(α , t )} = ℑ −1 e α ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 u (x , t ) = 2π u (x , t ) = u (x , t ) = u (x , t ) = u (x , t ) = 1 π 1 π 1 π 2 π ∞ α −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ 0 2sen (α ) sen (α ) α sen (α ) α e e e − κα 2 t − κα 2 t − κα 2 t e −iα x dα e − iα x d α [cos(αx ) − i sen(αx )]dα sen (α ) cos(αx ) α sen (α ) cos(αx ) α e e − κα 2 t − κα 2 t dα dα 145 Exercícios 01. Resolva o problema de Cauchy - ∞ < x < ∞, t > 0 u t = κu xx , . u (x ,0 ) = f (x ), - ∞ < x < ∞ 1 R.: u (x, t ) = 2π ∫ ∞ F(α )e − κα 2 t e −iα x dα −∞ Observação: A solução anterior não é conveniente em certas aplicações práticas, pois a mesma depende de F(α ) = ℑ{f (x )}. Podemos expressar essa solução em função de f(x) usando a propriedade da convolução em (6). SPIEGEL, Murray R. Theory and problems of Fourier analysis, p. 93, problem 5.22. 02. Solucione o problema - ∞ < x < ∞, t > 0 u t = κu xx , . u (x ,0 ) = e − x , - ∞ < x < ∞ R.: u (x, t ) = 1 π ∫ ∞ cos(α x ) −κα 2 t 2 e dα ou u (x, t ) = 2 π α +1 −∞ ∫ ∞ 0 cos(α x ) −κα 2 t e dα α 2 +1 3.19.2.2 – Equação da onda (EDP hiperbólica) Solucione a equação da onda ∂ 2u ∂2u 2 = c2 2 , - ∞ < x < ∞, t > 0 ∂x ∂t -∞ < x < ∞ u (x ,0 ) = f (x ), ∂u = u t (x ,0 ) = g (x ), - ∞ < x < ∞ ∂t t =0 (3.19.2.2.1) | onde c 2 é a constante relacionada à velocidade de propagação da onda. Solucionar (3.19.2.2.1) é resolver o problema das vibrações transversais de uma corda infinita, homogênea e de peso desprezível. Em (3.19.2.2.1), assumimos que as funções f(x) e g(x) são limitadas e absolutamente integráveis e que u (x , t ) < M (a solução é limitada para t ≥ 0 ). Solução: u (x , t ) 146 ℑ{u (x, t )} = ∫ ∞ u (x , t )e iα x dx = U(α , t ) −∞ ℑ{f (x )} = F(α ) = ℑ{u (x,0)} = U(α ,0) ℑ{g (x )} = G (α ) = ℑ{u t (x,0 )} = (3.19.2.2.2) dU(α ,0 ) dt (3.19.2.2.3) Aplicando a transformada de Fourier em (3.19.2.2.1), obtemos ∂2 ∂2 ℑ 2 u (x , t ) = ℑc 2 2 u (x, t ) ∂t ∂x 2 d U(α , t ) = −c 2α 2 U(α , t ) 2 dt 2 d U(α , t ) 2 2 + c α U(α , t ) = 0 . dt 2 (3.19.2.2.4) Família de soluções a dois parâmetros para (3.19.2.2.4): U(α , t ) = C1 cos(cα t ) + C 2 sen (cα t ) (3.19.2.2.5) -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. Exercício Verifique que (3.19.2.2.5) é solução de (3.19.2.2.4). -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. d U(α , t ) = −C1cα sen (cα t ) + C 2 cα cos(cα t ) dt (3.19.2.2.6) Para determinar as constantes C1 e C 2 em (3.19.2.2.5), usamos as condições iniciais (3.19.2.2.2) e (3.19.2.2.3). Considerando t = 0 em (3.19.2.2.5) e usando (3.19.2.2.2), obtemos U(α ,0) = C1 = F(α ) . (3.19.2.2.7) Considerando t = 0 em (3.19.2.2.6) e usando (3.19.2.2.3), obtemos d G (α ) . U(α ,0 ) = C 2 cα = G (α ) ⇒ C 2 = dt cα (3.19.2.2.8) Substituindo (3.19.2.2.7) e (3.19.2.2.8) em (3.19.2.2.5), temos que 147 U(α , t ) = F(α ) cos(cα t ) + G (α ) sen (cα t ) . cα (3.19.2.2.9) Aplicando a transformada inversa de Fourier em (3.19.2.2.9), obtemos a solução procurada. G (α ) ℑ −1 {U(α , t )} = ℑ −1 F(α ) cos(cα t ) + sen (cα cα 1 u (x , t ) = 2π ∫ ∞ G (α ) F(α ) cos(cα t ) + cα sen (cα −∞ t ) t ) e −iα x dα (3.19.2.2.10) Observação: Utilizando a integral de Fourier, podemos mostrar que (3.19.2.2.10) é equivalente a u (x , t ) = 1 [f (x + ct ) + f (x − ct )] quando g(x ) = 0 ⇒ ℑ{g(x )} = G(α ) = 0 . 2 SPIEGEL, Murray R. Theory and problems of Fourier analysis, p. 93, problem 5.23. Exercício Resolva o problema - ∞ < x < ∞, t > 0 u tt = u xx , 1 , -∞ < x < ∞ . u (x ,0 ) = 2 x + 1 -∞ < x < ∞ u t (x,0 ) = 0, R.: u (x, t ) = 1 1 1 + 2 2 2 (x + t ) + 1 (x − t ) + 1 3.19.2.3 – Equação de Laplace (EDP elíptica) A temperatura de estado estacionário em uma chapa semi-infinita é determinada por ∂ 2u ∂ 2u 0 < x < π, y > 0 2 + 2 = 0, ∂y ∂x -y cc de Dirichlet . u (0, y ) = 0, u (π , y ) = e , y > 0 ∂u = u y (x ,0 ) = 0, 0< x <π cc de Neumann ∂y y =0 | Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859): matemático alemão. John von Neumann (1903-1957): matemático húngaro. 148 (3.19.2.3.1) O domínio da variável y e a condição estabelecida em y = 0 indicam que a transformada cosseno de Fourier é adequada para o problema, uma vez que ℑC {f " (x )} = −α 2 FC (α ) − f ' (0) . Figura 54: Condições de contorno para a equação de Laplace. Solução: u (x, y ) Fixando a variável x, temos que: ℑC {u (x, y )} = ∫ ∞ u (x, y ) cos(α y )dy = U(x, α ) 0 ℑC {u (0, y )} = ℑC {0} = U(0, α ) = 0 { } ℑC {u (π , y )} = ℑ c e − y = U(π , α ) = (3.19.2.3.2) 1 α +1 (3.19.2.3.3) 2 Aplicando a transformada cosseno de Fourier em (3.19.2.3.1), obtemos ∂2 ∂2 ℑC 2 u (x , y ) + 2 u (x , y ) = ℑ C {0} ∂y ∂x 2 2 ∂ ∂ ℑC 2 u (x , y ) + ℑ C 2 u (x , y ) = 0 ∂x ∂y d 2 U (x , α ) d − α 2 U(x , α ) − u (x ,0 ) = 0 2 dy dx d 2 U (x , α ) − α 2 U (x , α ) = 0 . 2 dx (3.19.2.3.4) Família de soluções (a dois parâmetros) para (3.19.2.3.4): U(x , α ) = C1 cosh (α x ) + C 2 senh (α x ) (3.19.2.3.5) ou U(x , α ) = C1eα x + C 2 e −α x 149 -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. Exercício Verifique que (3.19.2.3.5) é solução de (3.19.2.3.4). eα x − e −α x e α x + e −α x , cosh (αx ) = 2 2 Observação: d d senh (x ) = cosh (x ) cosh (x ) = senh (x ), dx dx senh (αx ) = -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-. Para determinar as constantes C1 e C 2 em (3.19.2.3.5), usamos as condições de contorno (3.19.2.3.2) e (3.19.2.3.3). Considerando x = 0 em (3.19.2.3.5) e usando (3.19.2.3.2), obtemos U(0, α ) = C1 = 0 . (3.19.2.3.6) Considerando x = π em (3.19.2.3.5) e usando (3.19.2.3.3) e (3.19.2.3.6), obtemos U(π , α ) = C 2 senh (απ ) = 1 1 . ⇒ C2 = 2 α +1 α + 1 senh (απ ) 2 ( ) (3.19.2.3.7) Substituindo (3.19.2.3.6) e (3.19.2.3.7) em (3.19.2.3.5), temos que U (x , α ) = senh (α x ) . α + 1 senh (απ ) ( (3.19.2.3.8) ) 2 Aplicando a transformada cosseno de Fourier inversa em (3.19.2.3.8), obtemos a solução procurada. senh (α x ) ℑC−1 {U(x , α )} = ℑ C−1 2 (α + 1) senh (απ ) u (x , y ) = 2 π ∫ ∞ senh (α x ) cos(α y )dα (α + 1)senh(απ ) 2 0 Exercícios 01. Solucione o problema de valor de contorno u xx + u yy = 0, x > 0, 0 < y < π 0 < y <π . u x (0, y) = 0, −x u(x,0) = 0, u y (x, π ) = e , x > 0 150 R.: u (x, y ) = 2 π ∫ ∞ senh (αy ) cos(α x )dα α (α + 1)cosh (απ ) 2 0 02. Usando o método das transformadas de Fourier, mostre que a solução da equação de Laplace no semiplano superior (problema de Dirichlet) u xx + u yy = 0, u(x,0) = f (x), - ∞ < x < ∞, y > 0 -∞ < x < ∞ é dada por u (x , y ) = y π ∫ ∞ F(α ) dα . (fórmula integral de Poisson) 2 2 - ∞ (x − α ) + y Siméon-Denis Poisson (1781-1840): matemático francês. 3.20 – Solução de equações integrais e de equações íntegro-diferenciais Solucione a equação integral f (x ) = f (x − 3) + xe −3 x ∫ + ∞ g(u )f (x − u )du , −∞ 1, x ≤ 3 onde g (x ) = . 0, x , > 3 Notação: ℑ{f (x )} = F{α} ℑ{g (x )} = 2sen (3α ) α Aplicando a transformada de Fourier a (3.20.1), temos que { ℑ{f (x )} = ℑ{f (x − 3)} + ℑ xe F(α ) = e 3i α F(α ) − i F(α ) = e 3i α F(α ) + −3 x }+ ℑ{(g ∗ f )(x )} d 6 + G (α )F(α ) dα α 2 + 9 12i α (α 2 +9 ) 2 + 2sen (3α ) F(α ) α 151 (3.20.1) 2sen (3α ) 12i α 3i α 1 − e − F(α ) = 2 α (α + 9)2 F(α ) = F(α ) = 12i α (α 2 + 9 ) α − αe 2 α − 2sen (3α ) 3i α 12i α 2 (α 2 [ ] + 9) α − αe 3i α − 2sen (3α ) 2 . (3.20.2) Aplicando a transformada inversa de Fourier a (3.20.2), obtemos a solução procurada. 1 f (x ) = ℑ {F(α )} = 2π −1 6i f (x ) = ℑ {F(α )} = π −1 ∫ ∫ ∞ −∞ 12i α 2 (α 2 [ + 9 ) α − αe 2 ∞ −∞ 3i α ] − 2sen (3α ) α 2 e − iα x (α 2 )[ ] 2 + 9 α − αe 3i α − 2sen (3α ) e − iα x d α dα Exercícios 01. Considere um sistema estável invariante no tempo, caracterizado pela equação diferencial y ' (x ) + 2 y (x ) = f (x ) , (1) onde f (x ) = 3e − x u (x ) . Solucione a equação diferencial (1) empregando a transformada de Fourier e suas propriedades. ( ) R.: y(x ) = 3 e − x − e −2 x u (x ) 02. Utilizando a transformada de Fourier e suas propriedades, solucione a equação diferencial u t (x, t ) = t 2 u xx (x, t ) - ∞ < x < ∞, t > 0 , -∞ < x < ∞ u (x ,0 ) = g (x ) 1, x < 2 onde g (x ) = . 0, x > 2 2 R.: u (x, t ) = π ∫ ∞ 0 sen (2α ) cos(αx ) − e α α2t 3 3 dα 03. Use as transformadas de Fourier para resolver a equação integral 152 f (x ) = e R.: −x ∫ 1 + (1 − a 2 ) 2 ∞ e − x−u f (u )du , Re(a ) > 0 . −∞ 1 −a x e a 04. Utilizando a transformada de Fourier e suas propriedades, solucione a equação integral 3xe −4 x h (x ) + f (x ) = ∫ ∞ e −4 u h (u )f (x − u )du , −∞ ( ) R.: f (x ) = 3 e −4 x − e −3 x h (x ) 153 1, x > 0 h (x ) = . 0, x < 0 3.21 – Exercícios resolvidos 01. Seja f : R → R / f (x ) = x 3e −x . a) Calcule F(α ) = ℑ{f (x )} . { } { }= α 2+a a n Lembrando que ℑ x n f (x ) = (− i ) F (n ) (α ), F(α ) = ℑ{f (x )} e que ℑ e que: { ℑ x 3e −x } = (− i) 3 d3 dα 3 d3 2 = 2 i α 2 + 1 dα 3 −a x 2 1 α 2 + 1 d 2 − 2α d2 α = 2i 2 = − 4 i dα α 2 + 1 2 dα 2 α 2 + 1 2 ( (α d = −4i dα 2 ) + 1) ( 2 ( ) ) ) − 2α α 2 + 1 2α d α 2 + 1 − 4α 2 = − 4 i 4 dα α 2 + 1 3 α2 +1 ( ( ( ) ( ( ) )( ) − 6α α 2 + 1 3 − 1 − 3α 2 3 α 2 + 1 2 2α d 1 − 3α 2 = −4i = −4i 6 dα α 2 + 1 3 α2 +1 ( ) ( ) ( ) ) − 6α α 2 + 1 − 6α 1 − 3α 2 − 6α 3 − 6α − 6α + 18α 3 = −4i = − 4 i 4 4 α2 +1 α2 +1 α3 − α 12α 3 − 12α = −4i = − 48 i 4 4 α2 +1 α2 +1 ( ( ℑ{f (x )} = F(α ) = −48i ) ( ) ( ) ) α3 − α (α 2 ) +1 4 b) Determine para quanto converge a integral ∫ ∞ -∞ x3 − x (x 2 ) +1 4 e 2 i x dx . Propriedade da simetria (dualidade): ℑ{F(x )} = 2πf (− α ), ℑ{f (x )} = F(α ) ∫ ∞ − 48i -∞ − 48i ∫ ∞ -∞ x3 − x (x 2 ) +1 3 4 e iα x dx = 2π(− α ) e 4 e iα x dx = −2πα 3 e x3 − x (x 2 ) +1 − −α −α 154 2 , a > 0 , tem-se ∫ ∫ ∞ -∞ ∞ -∞ x3 − x (x 2 ) +1 4 x3 − x (x 2 ) +1 4 e iα x dx = π 3 −α iπ −α α e = − α 3e 24i 24 | x 3 − x iπ iπ iπ −2 e 2 i x dx = ℑ = − 2 3 e = − e −2 = − 2 4 24 3 3e x 2 + 1 α = 2 ( ) c) Calcule para quanto converge a integral ∫ Propriedade da similaridade: ℑ{f (ax )} = ∫ ∫ ∫ ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ 8x 3 − 2 x (4x 2 ) +1 4 8x 3 − 2 x (4x 2 ) +1 4 8x 3 − 2 x (4x 2 ) +1 4 e iπx e iπx 1 a ∞ -∞ 8x 3 − 2 x (4x 2 ) +1 4 e i π x dx . α F , ℑ{f (x )} = F(α ) a (2 x )3 − (2 x ) dx = ℑ 4 (2x )2 + 1 α = π [ | ] 3 π 1 iπ π − 2 dx = − e 2 24 2 π e i π x dx = − iπ 4 − 2 iπ 4 e =− π 384 384e 2 02. Utilizando a transformada de Fourier e suas propriedades, solucione a equação diferencial a seguir. y ' ' (x ) − 5 y (x ) = e −3 x Notação: ℑ{y(x )} = Y(α ) } { { ℑ y ' ' (x ) − 5 y (x ) = ℑ e (− iα )2 Y(α ) − 5Y(α ) = Y(α ) = − −3 x }⇒ ℑ{y (x )}− 5ℑ{y(x )} = ℑ{e } −3 x '' 6 6 6 ⇒ −α 2 Y(α ) − 5Y(α ) = 2 ⇒ −(α 2 + 5)Y(α ) = 2 α +9 α +9 α +9 2 6 Aα + B Cα + D = 2 2 (α + 9)(α + 5) α + 9 + α 2 + 5 2 155 ( ) ( − 6 = (Aα + B) α 2 + 5 + (Cα + D ) α 2 + 9 ) − 6 = Aα 3 + 5Aα + Bα 2 + 5B + Cα 3 + 9Cα + Dα 2 + 9D − 6 = (A + C )α 3 + (B + D )α 2 + (5A + 9C )α + (5B + 9D ) A+ C=0 ⇒A=C=0 5A + 9C = 0 Y(α ) = 3 1 3 1 − 2 2 α + 9 2 α2 + 5 Y(α ) = 31 6 3 1 2 5 − 2 2 6 α + 9 2 2 5 α2 + 5 { }= α 2+a a Como ℑ e −a x 2 y(x ) = ℑ −1 {Y(α )} = 2 B+ D = 0 3 3 ⇒B= e D=− 2 2 5B + 9D = −6 , a > 0 , tem-se que: 1 −3 x 3 5 − e − e 4 20 5x 156 3.22 – Exercícios complementares 01. Determine as seguintes integrais impróprias: a) ∞ ∫ ∫ e -∞ ∞ b) e -3 x - x2 2 e ix dx R.: e 2ix dx R.: -∞ 3 5 2π e2 02. Calcule: − x a) ℑxe 2 2 R.: − x −2 x b) ℑ3e 2 + 2e 2 R.: 3 2π e { }= α 2+a a 03. Sabendo que ℑ e a) ∫ −a x 2 2 e − iε x dx ; x2 + 9 −∞ { −4 x R.: (2x − x )}. 2 - α2 2 α2 2 + 8 α +4 R.: π 3 e −3 ε 32iα (α 2 + 16 ) 2 + 04. Calcule as seguintes integrais: a) b) c) ∫ ∞ R.: 3π 6e 3 cos(2x ) dx x2 + 9 R.: π 6e 6 x 10 e (2i −3) x dx R.: 10! (3 + 2i )11 1311 0 ∫ ∫ e -3x cos(6 x )dx 2 ∞ 0 ∞ 0 2 , Re(a ) > 0 , calcule: ∞ b) ℑ e 2π iα e - 157 48α 2 − 256 (α 2 + 16 ) 3 05. Calcule: { a) ℑ e −3 x x 2 } R.: 3 − x 2 b) ℑ 3 x 2 + 9 ( 108 − 36α 2 R.: ) 06. Seja f : R → R / f (x ) = 2e −3 x (α 2 +9 ) 3 π 2 −3 α α e 18 1, x > 0 a função degrau unitário. + x 2 e −3 x u (x ) , sendo u (x ) = 0, x < 0 a) Calcule F(α ) = ℑ{f (x )}. 12 2 R.: 2 + α + 9 (3 − iα )3 b) Determine FR (α ) . R.: ( ) 6 2α 4 + 33α 2 + 171 (α 2 +9 ) 3 c) Determine FI (α ) . R.: ( 2α 27 − α 2 (α 2 +9 ) ) 3 54 + 54ix − 18x 2 − 2ix 3 d) Calcule ℑ . 3 x2 + 9 0, α > 0 R.: 2πα 2 e 3α u (− α ) = 2 3α 2πα e , α < 0 ( ) 07. Determine as seguintes transformadas: a) ℑ{δ(x − 4)} { R.: e 4iα } R.: c) ℑ { 5 u (x ) − u (x − 5) } R.: b) ℑ e { − ( x −1)2 d) ℑ x 2 e 2i x −3 x } πe α i − α 4 (5 − e )πδ(α ) + αi R.: 36 5 iα 3 − (α + 2 ) [(α + 2) 158 2 2 +9 ] 3 3 − (x + 2 )2 e) ℑ 3 (x + 2 )2 + 9 [ R.: ] π 2 − 2 iα − 3 α α e 18 α , determine 08. Sabendo que ℑS {e } = 1+ α 2 −x R.: π 2 ∫ ∞ 0 xsen(ax ) dx . x2 +1 e −a cos(x ), se x < π 09. Seja f (x ) = . Determine ℑ{f (x )} . caso contrário 0, R.: ℑ{f (x )} = 2α sen (πα ) 1−α 2 π sen (x ), se x < 10. Seja f (x ) = . Determine ℑ{f (x )} . 3 0, caso contrário R.: ℑ{f (x )} = i απ 3α cos 2 1−α 3 11. Resolva a equação integral R.: ∫ 0 1, 0 < α < 1 f (x ) cos (α x )dx = . 0, α > 1 2sen (x ) πx 12. Solucione a equação integral R.: ∞ απ − sen 3 ∫ ∞ 0 1, 0 ≤ α < 1 f (x )sen (αx )dx = 2, 1 ≤ α < 2 . 0, α ≥ 2 2 [1 + cos(x ) − 2 cos(2x )] πx 159 1 , x ≤ε 13. Seja f (x ) = 2ε . 0, x > ε a) Determine a transformada de Fourier de f(x). R.: F(α ) = sen (αε ) αε , F(0 ) = 1 b) Calcule o limite dessa transformada quando ε → 0 + . R.: 1 1 0, x > 2 1 1 14. Duas funções muito usadas no estudo de sinais são as funções rect (x ) = , x = (função 2 2 1 1, x < 2 sen (x ) α retangular) e sinc(x ) = . Mostre que ℑ{rect (x )} = sinc . x 2 x , x < 1 15. Seja f (x ) = . 0, x > 1 a) Esboce o gráfico de f (x ) . b) Calcule ℑ{f (x )} . R.: ℑ{f (x )} = 2i [sen(α ) − α cos(α )] α2 c) Use (b) para calcular R.: ∫ ∞ −∞ [x cos(x ) − sen (x )]2 dx . x4 π 3 x , x ≤ 4π 16. Seja f (x ) = 4 . 0, x > 4π a) Calcule ∫ ∞ f (x ) dx . −∞ R.: 4π 2 160 b) A função f (x ) pode ser representada na forma integral? Justifique. c) Em caso afirmativo, para quanto converge a integral de Fourier de f (x ) ? d) Calcule ℑ{f (x )} . R.: ℑ{f (x )} = i [sen(4πα ) − 4πα cos(4πα )] 2α 2 x 1 − , x ≤ a 17. Seja f (x ) = , a > 0. a 0, x > a a) Esboce o gráfico de f (x ) . b) A função f (x ) é absolutamente integrável? Justifique. c) Calcule ℑ{f (x )} . R.: ℑ{f (x )} = 2 [1 − cos(aα )] aα 2 d) Use (c) para calcular R.: ∫ ∞ −∞ [1 − cos(2x )]2 dx . x4 8π 3 18. Seja f (x ) = e − x cos(x ) , x > 0 . Calcule ℑC {f (x )} . R.: ℑC {f (x )} = 19. Calcule R.: ∫ ∞ 0 (x α2 + 2 α4 + 4 2 ) + 2 cos(ax ) dx , a ∈ R + , R + = {w ∈ R ; w > 0}. 4 x +4 π −a e cos(a ), a > 0 2 20. Considere um sistema estável invariante no tempo, caracterizado pela equação diferencial 3y " (x ) + 24 y ' (x ) + 45 y(x ) = f (x ) , (1) 161 onde f (x ) = 4e −4 x u (x ) . Solucione a equação diferencial (1) empregando as transformadas de Fourier e suas propriedades. R.: 2 −5 x (e − 2e −4 x + e −3x )u (x ) 3 21. Usando as transformadas de Fourier, solucione a equação diferencial parcial u t = 2u xx , x > 0, t > 0 , u (0, t ) = 0 ( ) −x u x ,0 = e com u (x , t ) limitada. R.: u (x, t ) = 22. ∫ 2 π α sen (α x ) − 2α t e dα α 2 +1 2 0 diferencial parcial 1, x < 2 ∂ u ∂ u , sujeita às condições iniciais u ( x , 0 ) = 0 e ( ) . = 9 , ∞ < x < ∞ , t > 0 u x , 0 = t ∂t 2 ∂x 2 0, x > 2 2 Utilizando ∞ as transformadas 1 ∞ de Fourier, solucione a equação 2 R.: u (x, t ) = π ∫ sen (2α ) cos(3α t ) α -∞ e − iα x dα = 2 π ∫ ∞ sen (2α ) cos(3α t ) cos(α x ) 0 α dα 23. Empregando as transformadas de Fourier e suas propriedades, solucione o seguinte problema de valor inicial: u t = 4u xx + 2u x , u (x ,0 ) = e − 2 x , R.: u (x, t ) = 2 π ∫ ∞ e (-4α 2 -∞ 2 ) − 2 iα t α +4 - ∞ < x < ∞, t > 0 -∞ < x < ∞ . e − iα x d α 24. Empregando as transformadas de Fourier, solucione o problema de vibração na viga infinita. u tt (x, t ) = c 2 u xxxx (x , t ) - ∞ < x < ∞, t > 0 -∞ < x < ∞ u (x ,0 ) = f (x ) u (x,0 ) = g(x ) -∞ < x < ∞ t 162 G (α ) R.: U(α, t ) = F(α ) cosh cα t + senh cα 2 t cα 2 ( 2 ) ( ) 1 u (x , t ) = 2π ∫ ∞ U(α, t )e −iα x dα −∞ 25. Empregando a transformada de Fourier e suas propriedades, solucione o problema de valor inicial abaixo. ∂2 ∂6 u x , t = 2 u (x , t ) - ∞ < x < ∞, t > 0 ( ) ∂t 2 ∂x 6 −x 2 -∞ < x < ∞ u (x ,0 ) = e u (x,0) = 0 -∞ < x < ∞ t π R.: u (x, t ) = π ∫ ∞ e - α2 4 ( ) cos 2α 3 t cos(αx )dα 0 163 164 4. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749-1827): matemático, físico e astrônomo francês. Embora Laplace tenha usado a transformada integral que recebeu seu nome, é mais provável que essa integral tenha sido descoberta por Euler (função gama: Γ(n ) = ∫ ∞ x n −1e − x dx ). 0 4.1 – Definição da transformada de Laplace 4.1.1 – Motivação Solução de equações íntegro-diferenciais, como d 1 L i(t ) + Ri(t ) + dt C ∫ t i(τ )dτ = E(t ) , (4.1) 0 e de equações diferenciais ordinárias, tais como L d2 d 1 q (t ) + R q (t ) + q (t ) = E (t ) . 2 dt C dt (4.2) Nas equações (4.1) e (4.2) temos que i(t ) é a corrente, q (t ) é a carga instantânea no capacitor e E(t ) é a força eletromotriz (f.e.m) em um circuito elétrico em série L-R-C, como o representado na Figura 55. Figura 55: Circuito em série L-R-C – [13]. A força eletromotriz é muitas vezes seccionalmente contínua, como ilustra a Figura 56. 165 (a) (b) Figura 56: (a) Dente de serra; (b) onda quadrada. – [17] 4.1.2 – Função de Heaviside No estudo da transformada de Laplace, definimos u (t − a ) para t ≥ 0 como 0, se 0 ≤ t < a u (t − a ) = , 1, se t ≥ a (4.1.2.1) onde a é uma constante positiva. Quando multiplicada por outra função definida para t ≥ 0 , a função degrau unitário (4.1.2.1) cancela uma porção do gráfico da função. Exemplo se 0 ≤ t < 2π 0, 0, se 0 ≤ t < 2π , uma vez que u (t − 2π ) = . f (t ) = sen (t ) u (t − 2π ) = sen (t ), se t ≥ 2π 1, se t ≥ 2π (a) (b) Figura 57: (a) Gráfico de f (t ) = sen (t ) ; (b) gráfico de f (t ) = sen (t ) u (t − 2π ) . 166 A função degrau unitário (4.1.2.1) pode ser usada para escrever funções definidas por várias sentenças em uma forma compacta. Exemplo A voltagem em um circuito é dada por 20t , se 0 ≤ t < 5 . E (t ) = 0, se t ≥ 5 (4.1.2.2) 0, se 0 ≤ t < 5 Lembrando que u (t − 5) = , podemos expressar (4.1.2.2) como 1, se t ≥ 5 E(t ) = 20t − 20 t u (t - 5) . Exercício t, 0 ≤ t < 2 Seja f (t ) = . Escreva f (t ) de forma compacta usando a função degrau unitário. 1 − 2 t , t ≥ 2 R.: f (t ) = t + (1 − 3t ) u (t − 2) 4.1.2.1 - Generalização g(t ), se 0 ≤ t < a 1. Se f (t ) = , então f (t ) = g (t ) − g(t ) u (t - a ) + h (t ) u (t - a ) . h (t ), se t ≥ a 0, se 0 ≤ t < a 2. Se f (t ) = g(t ), se a ≤ t < b, então f (t ) = g(t ) [u (t - a ) − u (t - b ) ]. 0, se t ≥ b Exercício Seja f (t ) a função representada graficamente abaixo. 167 f(t) 4 2 2 5 t Expresse f (t ) de forma compacta usando a função degrau unitário. 2 2 R.: f (t ) = t + [u (t − 2 ) − u (t − 5) ] 3 3 4.1.3 – Transformada de Laplace L {f (t )} = F(s ) = ∫ ∞ H(t ) f (t ) e e dt = xt iyt −∞ ∫ ∞ H(t ) f (t ) e −st dt , onde s = −(x + iy ) (4.1.3.1) −∞ f (t ) : função original F(s ) : função transformada e −st : núcleo da transformação f :R →C F:C → C Como H(t ) é a função de Heaviside, podemos escrever (4.1.3.1) como L {f (t )} = F(s ) = ∫ ∞ f (t ) e −st dt . (4.1.3.2) 0 A expressão (4.1.3.2) é chamada transformada de Laplace unilateral1 de f (t ) . A transformada existe se a integral imprópria em (4.1.3.2) converge para algum valor de s. Notação L {f (t )} = F(s) 1 L {g(t )} = G(s) A transformada de Laplace bilateral é definida como L {y(t )} = Y(s ) ∫ ∞ f (t )e −st dt . −∞ 168 Se L {f (t )} = F(s ) = ∫ ∞ f (t ) e −st dt , então L −1 {F(s )} = f (t ) = 0 1 2π i ∫ F(s ) e st ds é a transformada de C Laplace unilateral inversa. f (t ) F(s ) f (t ) L L −1 Figura 58: Transformadas de Laplace. Podemos estabelecer uma relação entre as transformadas de Fourier e de Laplace. Se na transformada de Laplace de f (t ) , ∫ ∫ ∞ H(t ) f (t ) e xt e iyt dt , considerarmos g (t ) = H(t ) f (t ) e xt , teremos −∞ ∞ g(t ) e iyt dt , que nada mais é do que a transformada de Fourier de g (t ) . −∞ A transformada de Laplace unilateral de uma função f : R → C é uma função F : C → C que N(s ) , onde N(s ) e D(s ) são polinômios com coeficientes associa a f (t ) uma função complexa F(s ) = D(s ) reais. Os valores de s tais que N(s ) = 0 são os zeros da transformada F(s ) ; os valores de s tais que D(s ) = 0 são os polos da transformada F(s ) . Exemplo Como veremos posteriormente, a transformada de Laplace da função f (t ) = 1 + 3e 2 t , t ≥ 0 , é a 2(2s − 1) função complexa F(s ) = , Re(s ) > 2 . s(s − 2) 1 Zeros de F(s ) : s = 2 Polos de F(s ) : s = 0 , s = 2 169 Im(s) 2 Re(s) Figura 59: Polos e região de convergência de F(s ) = 2(2s − 1) . s(s − 2) Observações 1a) No exemplo, cada polo de F(s ) está associado à uma exponencial da função f (t ) (os polos são os coeficientes nos expoentes). 2a) Se D(s ) = (s − a ) , com k inteiro e positivo, s = a é um polo de ordem k de F(s ) . No exemplo, s = 0 e s = 2 são polos de ordem um (ou polos simples). k Exemplo 1 Calcular L {1} . L {1} = ∫ ∞ − st e dt = lim b →∞ 0 ∫ b b e −st e −sb 1 1 e dt = lim − + = , Re(s ) > 0 = lim − b →∞ s s s 0 b →∞ s −st 0 Im(s) Re(s) 0 1 Figura 60: Polos e região de convergência de F(s ) = . s 170 Exemplo 2 1 As transformadas L e t ∫ L {e t2 } não existem, ou seja, as integrais impróprias ∫ ∞ 0 e − st dt e t ∞ et 2 − st dt são divergentes. 0 Exemplo 3 L {Me ct }= ∫ ∞ ct −st Me e dt = M 0 (c −s )t b ∫ ∞ e ( c −s ) t dt = M lim b →∞ 0 ∫ b e (c −s )t dt 0 ( c − s )b e e 1 M = lim = lim − = , Re(s ) > c b →∞ c − s 0 b →∞ c − s c − s s − c 4.2 – Funções de ordem exponencial Uma função f (t ) é de ordem exponencial c quando t → ∞ se existem constantes reais c, M > 0 e N > 0 tais que e − ct f (t ) < M, ∀t > N ou f (t ) < Me ct , ∀t > N . Exemplos 1. A função f (t ) = t é de ordem exponencial para t > 0 . t < et , t > 0 c = 1, M = 1, N = 0 171 Figura 61: Gráfico de f (t ) = e t e de f (t ) = t . 2. A função f (t ) = e − t é de ordem exponencial para t > 0 . e −t < e t , t > 0 c = 1, M = 1, N = 0 Figura 62: Gráfico de f (t ) = e t e de f (t ) = e − t . 3. A função f (t ) = 2 cos(t ) é de ordem exponencial para t > 0 . 2 cos(t ) < 2e t , t > 0 c = 1, M = 2, N = 0 172 Figura 63: Gráfico de f (t ) = 2e t e de f (t ) = 2 cos(t ) . 2 4. A função f (t ) = e t não é de ordem exponencial. 2 Figura 64: Gráfico de f (t ) = e t e de f (t ) = e 2 t . 5. Todo polinômio é uma função de ordem exponencial. 173 4.3 – Convergência da transformada de Laplace unilateral 4.3.1 – Convergência absoluta e condicional ∫ mas ∫ ∞ f (t )dt é dita absolutamente convergente se a ∞ f (t ) dt divergir, então a Teorema: Se ∫ ∫ ∫ ∞ f (t ) dt convergir. Se a ∫ ∞ f (t )dt convergir a ∞ f (t )dt é dita condicionalmente convergente. a ∞ ∫ f (t ) dt convergir, então a ∞ f (t )dt converge. a 4.3.2 - Condições suficientes para a convergência Seja f (t ) uma função seccionalmente contínua em todo intervalo finito 0 ≤ t ≤ N e de ordem exponencial c para t > N . Então, a transformada de Laplace unilateral F(s ) de f (t ) existe para todo Re(s ) > c . Prova L {f (t )} = = ∫ ∫ ∞ f (t )e −st dt 0 N f (t )e dt + − st ∫ ∞ f (t )e −st dt 104 4244 3 1N42 4 43 4 I II I : integral própria (ou uma soma de integrais próprias) II: integral imprópria ∫ ∞ f (t )e dt ≤ −st N ∫ ∞ f (t )e − st dt ≤ N =M ∫ ∫ ∞ f (t ) e − xt e e dt = M N dt ≤ N ∞ ct − st ∫ ∫ ∞ ct − xt Me e dt {{ N (1) ∞ e −( x −c ) t dt = M lim b →∞ N ∫ (2) b b e N −(x −c ) t e −( x − c ) t dt = M lim − b →∞ x − c N e −( x −c ) b e −( x −c )N e − ( x −c ) N = M lim − + , se x = Re(s ) > c =M b →∞ x −c x−c x −c (1): f(t) é de ordem exponencial c (2): s = x + iy 174 e −st = e − ( x +iy ) t = e − xt e −iyt = e − xt [cos(yt ) − isen (yt )] = e − xt cos(yt ) − ie − xt sen (yt ) [e = − xt ] [ ] 2 2 cos(yt ) + e − xt sen (yt ) = e −2 xt cos 2 (yt ) + e − 2 xt sen 2 (yt ) [ ] = e −2 xt cos 2 (yt ) + sen 2 (yt ) = e − 2 xt = (e ) − xt 2 = e − xt Como II converge, L {f (t )} converge (se Re(s ) > c ). 4.4 – Transformada de Laplace unilateral das funções elementares 4.4.1 – f(t) = tn L {t n }= ∫ ∞ n t e dt = lim b →∞ 0 Integrando L {t n } − st ∫ ∫ b t n e −st dt 0 t n e −st dt por partes, temos que: t n e −st n b = lim − 0 + b →∞ s s − sb b n e{ n * = lim − + b→∞ s s t e dt 0 b n −1 − st t e dt 0 ∫ ∫ n = s ∫ ∞ t n −1e −st dt = 0 b n −1 − st n L t n −1 , Re(s ) > 0 s { } *: função de decrescimento rápido para Re(s ) > 0 L {t k } = k L {t k −1 } s k =1⇒ L {t} = 1 L {1} = 1 1 = k =2⇒ L {t 2 } = 2 L {t} = 2 k =3⇒ L {t 3 } = 3 L {t 2 } = 3 23! = s ss s s 1 , Re(s ) > 0 s2 1 2! = 3 , Re(s ) > 0 2 ss s ss 3! , Re(s ) > 0 s4 175 L {t 4 } = 4 L {t 3 } = 4 k =4⇒ 3! 4! = , Re(s ) > 0 s s4 s5 s M L {t n } = n L {t n −1 } = n (n −n 1)! = k=n⇒ L {t n } = s n! s n +1 = s s n! s n +1 , Re(s ) > 0 Γ(n + 1) , Re(s ) > 0 s n +1 A função gama Γ(n ) = ∫ ∞ t n −1e − t dt 0 Γ(n ) = L {t n −1 } s=1 Γ(2 ) = L {t} s=1 = 12 = 1 1 Γ(4 ) = L {t 3 } s=1 = 34! = 6 1 Γ(n + 1) = nΓ(n ) = n! Γ(p )Γ(1 − p ) = π , 0 < p <1 sen (pπ ) 1 Γ = π 2 Referências: SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Cálculo avançado. 2a ed. Porto Alegre: Bookman, 2004. Exercícios Calcule as integrais: 01. ∫ ∞ t100e− t dt R.: 100! 0 176 02. ∫ ∞ t 3 e − 2 t dt 3 8 R.: 0 4.4.2 – f(t) = eat L {e at }= ∫ ∞ at − st e e dt = 0 ∫ ∞ e (a −s )t dt = 0 1 , Re(s ) > a, a ∈ R s−a 4.4.3 – Transformada de algumas funções elementares F(s ) f (t ) 1 e at tn cos(at ) sen (at ) 1 , Re(s ) > 0 s 1 , Re(s ) > a s−a n! Γ(n + 1) = , Re(s ) > 0 n +1 s s n +1 s , Re(s ) > 0 2 s + a2 a , Re(s ) > 0 2 s + a2 Tabela 3: Transformada de Laplace unilateral de algumas funções elementares. Exercícios 01. Calcule as integrais: a) ∫ ∞ ∫ ∞ sen (10t )e −3t dt R.: 10 109 R.: 2 5 0 b) cos(t )e − 2 t dt 0 2 t , se 0 ≤ t ≤ 5 02. Seja f (t ) = . Determine L {f (t )} . 1, se t > 5 R.: L {f (t )} = 2 9 1 − e −5s − e −5s 2 s s ( ) 177 03. Empregando a definição de transformada de Laplace unilateral, mostre que: a) L {cos(at )} = s , a ∈ R , Re(s ) > 0 ; s + a2 b) L {sen (at )} = a , a ∈ R , Re(s ) > 0 . s + a2 2 2 4.5 – Propriedades da transformada de Laplace unilateral 4.5.1 – Comportamento da transformada de Laplace F(s) quando s→∞ Se f (t ) é uma função seccionalmente contínua para t ∈ [0, N ] e de ordem exponencial para t > N , então lim F(s ) = 0 s →∞ 4.5.2 – Linearidade A transformada de Laplace é um operador linear. Assim, se a e b são constantes quaisquer, então L {a f (t ) + b g(t )} = a L {f ( t )} + bL {g(t )} = aF(s ) + bG(s ) . Prova Segue da definição de transformada de Laplace e da propriedade de linearidade da integral. ∞ L {af (t ) + bg(t )} = ∫ ∫ [af (t ) + bg(t )] e −st dt 0 ∞ f (t ) e dt + b −st =a 0 ∫ ∞ g(t ) e −st dt = aF(s ) + bG (s ) 0 Exemplos { } { } { } 1. L 4t 2 − 3 cos(t ) + 5e − t = 4L t 2 − 3L {cos(t )} + 5L e − t =4 2! s 1 −3 2 +5 3 s +1 s s 2+31 { { 1 Re (s )> 0 = Re (s )> 0 Re (s )> −1 8 3s 5 − 2 + , Re(s ) > 0 3 s s +1 s +1 178 1 1 − cos(2 t ) 1 2. L sen 2 (t ) = L = L {1} − L {cos(2 t )} 2 2 2 1 1 1 s = − 2 {s 21 s 22 +3 4 { } Re (s )> 0 = Re (s )> 0 1 s s2 + 4 − s2 2 − = = 2 , Re(s ) > 0 2 2 2s 2 s + 4 2s s + 4 ss +4 ( ) ( ) ( ) e at − e − at 1 1 at − at 3. L {senh (at )} = L = L e − L e 2 2 2 1 1 1 1 = − 2{ s-a 2 { s+a { } Re (s )> a = { } Re (s )> − a s + a − (s − a ) 2a a = = 2 , Re(s ) > a 2 2 2 2 2(s − a ) 2(s − a ) s − a 2 e at + e − at 1 1 at − at 4. L {cosh (at )} = L = L e + L e 2 2 2 1 1 1 1 = + 2{ s-a 2 { s+a { } Re (s )> a = Re (s )> − a s + a + (s − a ) 2s s = = 2 , Re(s ) > a 2 2 2 2 2 s −a 2 s −a s − a2 ( ) { } ( 5. L e iat = L {cos(at ) + i sen (at )} = s a = 2 +i 2 2 s 2 + a3 1 s 2 + a32 1 Re (s )> 0 = { } ) L {cos(at )} + i L {sen (at )} Re (s )> 0 s + ia s + ia 1 = = , Re(s ) > 0 2 2 (s + ia )(s − ia ) s − ia s +a Com os últimos exemplos, podemos ampliar a tabela de transformadas de Laplace. 179 f (t ) F(s ) 1 1 , Re(s ) > 0 s 1 , Re(s ) > a s−a n! Γ(n + 1) = , Re(s ) > 0 n +1 s s n +1 s , Re(s ) > 0 2 s + a2 a , Re(s ) > 0 2 s + a2 s , Re(s ) > a 2 s − a2 a , Re(s ) > a 2 s − a2 1 , Re(s ) > 0 s − ia e at tn cos(at ) sen (at ) cosh (at ) senh (at ) e iat Tabela 4: Transformada de Laplace unilateral das funções elementares. Exercícios Calcule as integrais: 01. ∫ ∞ ∫ ∞ ∫ ∞ ∫ ∞ sen 2 (t )e − 2 t dt R.: 1 8 R.: 3 5 R.: 4 9 0 02. cosh(2t )e −3 t dt 0 03. senh(4t )e −5 t dt 0 04. 0 cos (t )e 2 −10 t dt 51 R.: , 520 s2 + 2 cos (t ) = 2 , Re(s ) > 0 ss +4 L{ 2 } 180 ( ) 4.5.3 – Primeira propriedade de translação ou deslocamento { } Teorema: Se L {f (t )} = F(s ) , então L e at f (t ) = F(s − a ) . Prova ∫ L {e f (t )} = at ∞ e f (t ) e dt = at −st 0 ∫ ∞ f (t ) e −(s −a ) t dt = F(s − a ) 0 Exemplo L {e − t cos(2t )} f (t ) = cos(2 t ) L {f (t )} = F(s ) = s , Re(s ) > 0 s +4 2 L {e −t cos(2t )} = F(s + 1) = s +1 (s + 1) 2 +4 = s +1 s + 2s + 5 2 4.5.4 – Segunda propriedade de translação ou deslocamento f (t − a ), t ≥ a = f (t − a ) u (t - a ) , sendo u (t - a ) a função e g (t ) = 0, t < a 0, 0 ≤ t < a , então L {g(t )} = e − as F(s ) . degrau unitário dada por u (t − a ) = 1, t ≥ a L {f (t )} = F(s) Teorema: Se Prova t − a = u ⇒ t = u + a , dt = du, t → a ⇒ u → 0, t → ∞ ⇒ u → ∞ L {g(t )} = = ∫ ∫ ∞ g(t ) e dt = − st 0 ∞ ∫ ∞ f (t − a ) e −s t dt a f (u ) e −s (u +a )du = 0 ∫ ∞ f (u ) e −su e −sa du = e −as 0 ∫ ∞ f (u ) e −su du = e −as F(s ) 0 Exemplo (t − 2 )3 , t ≥ 2 0, 0 ≤ t < 2 3 g (t ) = = (t − 2 ) u ( t - 2 ) , u (t − 2 ) = 0, 0 ≤ t < 2 1, t ≥ 2 f (t ) = t 3 , a = 2 181 L {t 3 } = 3! 6 = , Re(s ) > 0 s4 s4 6 6e −2s = 4 s4 s L {g(t )} = e −2s Exercício Mostre que L{u (t − a ) } = 0, 0 ≤ t < a e − as , Re(s ) > 0 , onde u (t − a ) = . s 1, t ≥ a 4.5.5 – Similaridade (ou mudança de escala) Teorema: Se L {f (t )} = F(s ) , então L {f (at )} = 1 s F , a > 0 . a a Prova at = u ⇒ t = L {f (at )} = = ∫ ∫ u du , dt = , t → 0 ⇒ u → 0, t → ∞ ⇒ u → ∞ a a ∞ f (at ) e −st dt 0 ∞ f (u ) e 0 −s u a du 1 = a a ∫ ∞ f (u ) e s − u a du = 0 1 s F a a Exemplo L {sen (3t )} f (t ) = sen (t ) L {f (t )} = F(s ) = 1 , Re(s ) > 0 s +1 2 L {sen (3t )} = 1 F s = 1 3 3 1 2 3s +1 3 = 1 9 3 = 2 2 3s +9 s +9 Exercícios Determine a transformada de Laplace das funções a seguir, especificando para quais valores de s a transformada existe. 182 { } 01. L 2e 4 t { 02. L (t 2 + 1) 2 } { 2 03. L [sen (t ) − cos(t )] R.: F(s ) = 2 , Re(s ) > 4 s−4 R.: F(s ) = s 4 + 4s 2 + 24 , Re(s ) > 0 s5 s 2 − 2s + 4 R.: F(s ) = , Re(s ) > 0 s(s 2 + 4 ) } { } 04. L e 2 t [3senh (2 t ) − 5 cosh (2 t )] R.: F(s ) = 16 − 5s , Re(s ) > 4 s(s − 4 ) 4.5.6 – Transformada de Laplace unilateral de derivadas Teorema 1: Seja L {f (t )} = F(s ) . Então L {f ' (t )} = sF(s ) − f (0) , s > 0 se f (t ) é contínua para 0 ≤ t ≤ N e de ordem exponencial para t > N , enquanto f ' (t ) é seccionalmente contínua para 0 ≤ t ≤ N . Prova L {f (t )} = ' ∫ ∞ f (t ) e dt = lim ' −st b →∞ 0 ∫ b f ' (t ) e −st dt (4.5.6.1) 0 Empregando integração por partes em (4.5.6.1), temos que: | ∫ b − st f (t ) = lim e f (t ) + s b →∞ 0 L{ ' } b 0 f (t )e −st dt = lim e −sb f (b ) − f (0) + s 424 3 b→∞ 1 →0 se Re (s )>0 ∫ b 0 f (t )e −st dt = sF(s ) − f (0) Teorema 2: Se no Teorema 1 f (t ) deixa de ser contínua em t = 0 mas lim+ f (t ) = f (0 + ) existe t →0 (mas não é igual a f (0) , que pode ou não existir), então 183 L {f ' (t )} = sF(s ) − f (0 + ) . Teorema 3: Se no Teorema 1 f (t ) é descontínua em t = a , então L {f ' (t )} = sF(s ) − f (0) − e −as [f (a + ) − f (a − )] , onde f (a + ) − f (a − ) é chamado salto na descontinuidade t = a . Para mais de uma descontinuidade, podemos fazer modificações apropriadas. Teorema 4: Seja L {f (t )} = F(s ) . Então L {f " (t )} = s 2 F(s ) − sf (0) − f ' (0) se f (t ) e f ' (t ) são contínuas para 0 ≤ t ≤ N e de ordem exponencial para t > N , enquanto f " (t ) é seccionalmente contínua para 0 ≤ t ≤ N . Prova L {f " (t )} = s L {f ' (t )}− f ' (0) = s[sF(s ) − f (0 )] − f ' (0 ) = s 2 F(s ) − sf (0 ) − f ' (0) Exercício Mostre, por recursividade, que L {f ''' (t )} = s 3 F(s ) − s 2 f (0) − sf ' (0) − f '' (0) . Teorema 5 (generalização): Seja L {f (t )} = F(s ) . Então L {f (n ) (t )} = s n F(s ) − s n −1f (0) − s n −2 f ' (0) − s n −3 f " (0) − L − s f (n −2 ) (0) − f (n −1) (0) se f (t ), f ' (t ), f" (t ), K, f (n -1) (t ) enquanto f (n ) são contínuas para 0 ≤ t ≤ N e de ordem exponencial para t > N , (t ) é seccionalmente contínua para 0 ≤ t ≤ N . Exemplo Mostrar que L {sen (at )} = f (t ) = sen (at ) a , Re(s ) > 0 . s + a2 2 f ' (t ) = a cos(at ) f " (t ) = −a 2 sen (at ) 184 L {f " (t )} = L {− a 2 sen(at )} s 2 F(s ) − sf (0) − f ' (0) = L {− a 2 sen (at )}, Re(s ) > 0 s 2 L {sen (at )} − s(0) − a = L {− a 2 sen (at )} s 2 L {sen (at )} − a = − a 2 L {sen (at )} (s 2 + a 2 ) L {sen(at )} = a L {sen (at )} = a s + a2 2 Exercício Empregando a transformada da derivada, mostre que L {cos(at )} = s , Re(s ) > 0 . s + a2 2 4.5.7 – Transformada de Laplace unilateral de integrais Teorema: Seja L {f (t )} = F(s ) . Então L ∫ t 0 F(s ) f (u )du = . s Prova g (t ) = ∫ t f (u )du ⇒ g ' (t ) = f (t ) 0 g (0) = 0 L {g ' (t )} = L {f (t )} s L {g(t )} − g(0 ) = F(s ) s L {g(t )} = F(s ) L {g(t )} = F(s ) ⇒ s L ∫ t 0 F(s ) f (u )du = s Exemplo L ∫ t 0 2 2 2 = L sen 2 (t ) sen (2u )du = L {sen (2u )} ÷ s = s + 4 = 2 s s s + 4 ( 185 ) { } 4.5.8 – Derivadas de transformadas de Laplace unilaterais (multiplicação por tn) Teorema: Se L {f (t )} = F(s ) , então dn n F(s ) = (− 1) F (n ) (s ) . ds n L {t n f (t )} = (− 1)n Prova ∫ F(s ) = ∞ f (t ) e −st dt 0 Derivando sob o sinal de integração (regra de Leibniz), obtemos: d d F(s ) = F ' (s ) = ds ds = ∫ ∫ ∞ ∞ f (t ) e dt = − st 0 ∫ [ ∫ [ ( )] ∂ f (t ) e −st dt ∂s 0 ∞ ] ∞ - t f (t ) e dt = − −st 0 t f t e −st dt = - L {t f (t )} 0 L {t f (t )} = − d F(s ) = −F ' (s ) ds Demonstramos até aqui o teorema para n = 1 . Para prová-lo integralmente, usaremos indução matemática. Suponha que o teorema é verdadeiro para n = k , isto é, ∫ ∞ [t k ] k f (t ) e −st dt = (− 1) F (k ) (s ) . 0 Logo: d ds ∫ d ds ∫ ∫ ∞ ∞ [t d (− 1)k F (k ) (s ) ds [ ] f (t ) e −st dt = k f (t ) e −st dt = (− 1) F (k +1) (s ) 0 ∞ [t ] k 0 ∂ k k t f (t ) e −st dt = (− 1) F (k +1) (s ) ∂s [ 0 ] k ] 186 − ∫ ∫ ∞ [t k +1 ] k f (t ) e −st dt = (− 1) F (k +1) (s ) 0 ∞ [t k +1 ] f (t ) e −st dt = (− 1) k +1 F (k +1) (s ) 0 Assim, mostramos que o teorema também é válido para n = k + 1 . Como o teorema é válido para n = 1 , também o é para n = 2 , n = 3 e para qualquer valor inteiro positivo de n. Exemplo L {t 2 e 2 t } f (t ) = e 2 t L {f (t )} = F(s ) = 1 , Re(s ) > 2 s−2 d 1 1 te 2 t = − = ds s − 2 (s − 2 )2 d2 1 d 1 2 2 2t t e = 2 = − = 2 ds s − 2 ds (s − 2 ) (s − 2 )3 L{ L{ } } 4.5.9 – Integrais de transformadas de Laplace unilaterais (divisão por t) Teorema: Se L {f (t )} = F(s ) , então L f (t ) = t ∫ ∞ F(u )du desde que lim+ t →0 s Prova f (t ) ⇒ f (t ) = t g (t ) t L {f (t )} = L {t g(t )} L {f (t )} = − d G (s ) ds d F(s ) = − G (s ) ds d G (s ) = − F(s ) ds Seja g (t ) = Integrando a igualdade anterior, obtemos: 187 f (t ) exista. t ∫ ∞ d G (u )du = − du s | ∫ b ∫ s F(u )du s ∞ lim G (u ) = − b →∞ ∞ F(u )du s lim[G (b ) − G (s )] = − b →∞ ∫ ∞ F(u )du s Como lim G (b ) = 0 : b →∞ − G (s ) = − G (s ) = ∫ ∫ ∞ F(u )du s ∞ F(u )du s L {g(t )} = L f (t ) = t ∫ ∞ F(u )du s Exemplo L sen (t ) t Como L {sen (t )} = ∫ L sen (t ) = t ∞ s 1 sen (t ) , Re(s ) > 0, lim+ =1 e t →0 t s +1 2 1 du = lim b →∞ u +1 2 ∫ b 1 du u + 1 s 2 = lim[arctg(u )] sb = lim[arctg(b ) − arctg(s )] b →∞ = b →∞ 1 − arctg(s ) = arctg 2 s π Exemplo Provar que 1 − arctg(s ) = arctg . 2 s π 188 ∫ dz 1 z = arctg : 2 a z +a a 2 1 π arctg(s ) + arctg = s 2 1 1 Como arctg(s ) = α ⇒ tg(α ) = s e arctg = β ⇒ tg (β ) = , temos que: s s α +β = π 2 π cos(α + β ) = cos 2 cos(α ) cos(β ) − sen (α )sen (β ) = 0 cos(α ) cos(β ) = sen (α )sen (β ) cos(α ) sen (β ) = sen (α ) cos(β ) 1 1 1 = tg (β ) ⇒ = tg (α ) s s 4.5.10 – Convolução Teorema: Sejam f (t ) e g (t ) funções seccionalmente contínuas em [0, ∞) e de ordem exponencial. Então L {(f ∗ g )(t )} = L {f (t )}L {g(t )} = F(s)G(s ) . Prova Aqui definimos a convolução como (f ∗ g )(t ) = Sejam F(s ) = L {f (t )} = ∫ ∫ t f (u )g (t − u )du = 0 ∫ t f (t − u )g(u )du . 0 ∞ f (τ )e dτ e G (s ) = L {g(t )} = − sτ 0 Assim: 189 ∫ ∞ g(β)e −sβ dβ . 0 F(s )G (s ) = ∫ ∫∫ f (τ )e −sτ 0 ∞ = dτ ∞ 0 ∫ g(β )e −sβ dβ 0 ∞ ∞ e -s (τ + β )f (τ )g(β )dτ dβ 0 Fixando τ e considerando t = τ + β ⇒ β = t − τ e dt = dβ , temos que F(s )G (s ) = ∫ ∞ 0 f (τ ) ∫ ∞ 0 e -st g(t − τ ) dt dτ . Como f (t ) e g (t ) são funções seccionalmente contínuas em [0, ∞) e de ordem exponencial, podemos inverter a ordem de integração. Dessa forma ∞ F(s )G (s ) = e t ∫ ∫ ∫ ( ) −st 0 0 f (τ )g (t − τ ) dτdt ∞ = e −st f ∗ g dt 0 = L {f ∗ g} . Exemplo L ∫ t e sen (t − u )du = L e t ∗ sen (t ) = L e t { u 0 } { }L {sen(t )} = s 1− 1 1 1 = s + 1 (s − 1)(s 2 + 1) 2 4.5.11 – Valor inicial Teorema: Se os limites indicados existem, então lim f (t ) = lim sF(s ) . t →0 s →∞ Prova L {f (t )} = ' ∫ ∞ f ' (t )e −st dt = sF(s ) − f (0 ) (4.5.11.1) 0 Sabemos que, se f ' (t ) é seccionalmente contínua e de ordem exponencial, então 190 { } lim L f ' (t ) = 0 . s →∞ Tomando o limite quando s → ∞ em (4.5.11.1) e supondo que f (t ) é contínua em t = 0 , encontramos { } lim L f ' (t ) = lim[sF(s ) − f (0)] s →∞ s→∞ 0 = lim sF(s ) − f (0 ) s →∞ lim sF(s ) = f (0) s→∞ lim sF(s ) = lim f (t ). s→∞ t →0 Exemplo f (t ) = 5e −2 t ⇒ L {f (t )} = 5 s+2 5s =5 s→∞ s + 2 lim 5e −2 t = lim t →0 4.5.12 – Valor final Teorema: Se os limites indicados existem, então lim f (t ) = lim sF(s ) . t →∞ s→0 Prova L {f (t )} = ' ∫ ∞ f ' (t )e −st dt = sF(s ) − f (0 ) (4.5.12.1) 0 O limite do lado esquerdo de (4.5.12.1) quando s → 0 é: lim s→0 ∫ ∞ f ' (t )e −st dt = 0 ∫ ∞ f ' (t )dt = lim 0 b →∞ ∫ b f ' (t )dt = lim[f (t )] 0b = lim[f (b ) − f (0 )] b →∞ 0 = lim[f (t ) − f (0 )] t →∞ = lim[f (t )] − f (0 ) t →∞ O limite do lado direito de (4.5.12.1) quando s → 0 é: lim[sF(s ) − f (0 )] = lim[sF(s )] − f (0 ) s→0 s→0 Logo: 191 b →∞ lim[f (t )] − f (0 ) = lim[sF(s )] − f (0 ) t →∞ s →0 lim[f (t )] = lim[sF(s )] t →∞ s→0 Exemplo f (t ) = 5e −2 t ⇒ L {f (t )} = lim 5e −2 t = lim t →∞ s→0 5 s+2 5s =0 s+2 4.6 – Transformada de Laplace unilateral de funções periódicas Teorema: Suponha que f (t ) tem um período T > 0 de modo que f (t + T ) = f (t ) ( f (t ) é periódica de período fundamental T). Então, L {f (t )} = 1 1 − e −sT ∫ ∫ T f (t )e −st dt = T f (t )e −st dt 0 1 − e −sT 0 . Prova L {f (t )} = ∞ ∫ f (t ) e dt = −st 0 ∫ T f (t ) e dt + − st 0 ∫ 2T f (t ) e dt + − st T ∫ 3T f (t ) e −st dt + K 2T Substituições: 1a integral 2a integral 3a integral t=u t = u+T t = u + 2T M ⇒ u = t−T ⇒ u = t − 2T Em todas as substituições temos que du = dt . Logo: L {f (t )} = L {f (t )} = ∫ ∫ T f (u ) e − su 0 du + ∫ T f (u + T ) e f (u ) e 0 du + e du + 0 T −su −s ( u + T ) − sT ∫ ∫ T f (u ) e −su du + e 0 192 − 2 sT T f (u + 2T ) e −s (u + 2T ) du + K 0 ∫ T f (u ) e −su du + K 0 L {f (t )} = (1 + e L {f (t )} = [1 + e −sT − sT +e − 2sT +e ∫ T ) +L f (u ) e −su du 0 ∫ T ( ) + (e ) + L] + e − sT 2 − sT 3 Como 1 + r + r 2 + r 3 + L = L {f (t )} = 1 −sT 1− e − 3sT ∫ f (u ) e −su du 0 1 , se r < 1, então 1− r T f (u ) e −su du . 0 Exemplo sen (t ), 0 ≤ t < π uma função 2π-periódica. Determine L {f (t )} . Seja f (t ) = 0, π ≤ t < 2π Figura 65: Curva senoidal com meia onda retificada – [13]. L {f (t )} = 1−s 2π 1− e ∫ π sen (t ) e −st dt (4.6.1) 0 Integrando (4.6.1) por partes duas vezes, obtemos: L {f (t )} = 1−2π s 1− e = | 1 − e −st cos(t ) − se −st sen (t ) 2 s + 1 [ ] 1 1 e −sπ + 1 −2 π s 2 1− e s +1 ( ) 193 π 0 = 1 + e - πs 1 − e −2 πs s 2 + 1 ( )( ) 1 + e -πs 1 + e -πs 1 − e - πs s 2 + 1 1 = - πs 1− e s2 +1 = ( )( ( )( )( ) ) 4.7 – Cálculo de integrais impróprias Exemplos o 1) o 2) ∫ ∞ ∫ ∫ ∫ 3) ∫ ∞ te -3t sen (t )dt 0 1 s +1 2 ∞ tsen (t )e -st dt = L {tsen (t )} = (− 1) 0 ∞ tsen (t )e -3t dt = 0 ∞ 0 lim+ t →0 2(3) (3 2 ) +1 2 = d d 1 2s F(s ) = − 2 = 2 ds ds s + 1 s + 1 2 ( 6 3 = 100 50 e -t − e −3 t dt t L {e −t − e −3t } = ∫ 2 0 L {sen (t )} = o 3 3 = 2 25 3 +4 cos(4 x ) e −3 x dx = 1 1 − s +1 s + 3 L 'H e − t − e −3 t } = lim+ − e − t + 3e −3 t = 2 t →0 t [ ] dz = ln z + a + C z+a 194 ) ∫ ∞ e − t − e −3t −st e dt = t 0 ∫ ∞ 1 1 u + 1 − u + 3 du = lim b →∞ s ∫ b s 1 1 u + 1 − u + 3 du b = lim[ln u + 1 − ln u + 3 ]s b b →∞ u +1 = lim ln b →∞ u + 3 s 1 1+ b +1 s +1 b − ln s + 1 = lim ln − ln = lim ln b→∞ 3 s + 3 b→∞ s+3 b+3 1+ b = − ln ∫ ∞ 0 e − t − e −3 t −st e dt → t Assim, ∫ ∞ 0 ∫ s +1 s+3 ∞ 0 e − t − e −3 t dt quando s → 0 + t e − t − e −3 t 1 dt = − ln = − ln (1) + ln (3) = ln (3) t 3 Exercícios Nos exercícios a seguir, calcule a transformada de Laplace. 01. L {t[3sen (2 t ) − 2 cos(2t )]} { R.: } 02. L t cos(t ) 3 R.: 8 + 12s − 2s 2 (s 2 +4 ) 2 6s 4 − 36s 2 + 6 (s 2 ) +1 4 03. L {f (t )} onde f (t ) é a função periódica representada graficamente abaixo. Figura 66: Onda quadrada – [17]. 195 R.: L {f (t )} = 04. ∫ ∞ 0 R.: 1 s(1 + e −as ) e − t sen (t ) dt t π 4 4.8 – Métodos para determinar a transformada de Laplace unilateral 4.8.1 – Uso da definição L {f (t )} = F(s ) = ∫ ∞ f (t ) e −st dt 0 4.8.2 – Expansão em série de potências Se f (t ) tem expansão em série de potências dada por ∞ f (t ) = a 0 + a 1 t + a 2 t + a 3 t + K = 2 3 ∑ antn , n =0 então L {f (t )} = F(s ) = a 0 + a21 + a 232! + a 343! + K = s s s s ∞ ∑ n!a n . s n +1 n =0 A série (4.8.2.1) deve ser convergente para Re(s ) > 0 . Exemplo 1 Mostre que (1 + x ) f (x ) = (1 + x ) f (1) (x ) = − − − 1 2 =1− 1 1.3 2 1.3.5 3 1.3.5.7 4 x+ x − x + x − K, x < 1 . 2 2.4 2.4.6 2.4.6.8 1 2 3 1 (1 + x )− 2 2 196 (4.8.2.1) f ( 2 ) (x ) = 5 1.3 (1 + x )− 2 2.2 f ( 3 ) (x ) = − f ( 4 ) (x ) = 7 1.3.5 (1 + x )− 2 2.2.2 9 1.3.5.7 (1 + x )− 2 2.2.2.2 M ∞ Série de Taylor de f (x ) : f (x ) = ∑ ∞ n a n (x − c ) = n =0 ∑ n =0 f (n ) (c ) (x − c ) n n! (4.8.2.2) Observação: A série (4.8.2.2) é extensível para uma função de variável complexa. f (0 ) f (1) (0 ) f (2 ) (0 ) 2 f (3 ) (0 ) 3 f (4 ) (0) 4 + x+ x + x + x +K 0! 1! 2! 3! 4! f (x ) = (1 + x ) − 1 2 = f (x ) = (1 + x ) − 1 2 = 1− 1 1.3 2 1.3.5 3 1.3.5.7 4 x+ x − x + x −K 2 2!.2.2 3!.2.2.2 4!.2.2.2.2 f (x ) = (1 + x ) − 1 2 = 1− 1 1.3 2 1.3.5 3 1.3.5.7 4 x+ x − x + x −K 2 2.4 2.4.6 2.4.6.8 Região de convergência da série (4.8.2.3): R = lim n →∞ an a n +1 f (n ) (c ) (n + 1)! f (n ) (c ) = lim n +1 n →∞ n! f (n +1) (c ) n →∞ f (n +1) (c ) = lim 1 3 5 1 1 − . − . − K − − n + 1 − − n 2 2 2 2 2 n +1 R = lim n →∞ 1 3 5 1 1 − . − . − K − − n − − n − 1 2 2 2 2 2 1 1+ 1 n +1 n =1 R = lim n + 1 = lim = lim n →∞ n →∞ n →∞ 3 3 3 − −n − −n − _1 2 2 2n x − c < R ⇒ x < 1 ⇒ −1 < x < 1 197 (4.8.2.3) Exemplo 2 Sabendo que a função erro (probabilidade) é definida por erf (t ) = 2 π ∫ { ( t )}; t 2 e − u du 0 a) calcule L erf 2 t =L π L {erf ( )} 2 t =L π L {erf ( )} ∫ ∫ t 2 e − u du t u 2 u 4 u6 u8 1 − + − + − Kdu 1! 2! 3! 4! 0 0 3 5 7 9 1 2 2 2 2 2 t t t t 2 − + − K t =L t − + 3 5.2! 7.3! 9.4! π L {erf ( )} Como L {t n } = n! s n +1 , Re(s ) > 0 : 3 5 7 9 11 Γ Γ Γ Γ Γ 2 2 2 2 2 2 t = − + − + − K, se Re(s ) > 0 3 5 7 9 11 π s2 3.s 2 5.2!.s 2 7.3!.s 2 9.4!.s 2 L {erf ( )} 1 Lembrando que Γ(n + 1) = nΓ(n ) e Γ = π , podemos calcular (4.8.2.4). 2 π 3 1 1 1 Γ = Γ 1 + = Γ = 2 2 2 2 2 5 Γ = Γ 1 + 2 3 3 3 3 π = Γ = 2 2 2 2 2 7 5 5 5 3.5 π Γ = Γ 1 + = Γ = 23 2 2 2 2 9 7 7 7 3.5.7 π Γ = Γ 1 + = Γ = 24 2 2 2 2 198 (4.8.2.4) 11 9 9 9 3.5.7.9 π Γ = Γ 1 + = Γ = 25 2 2 2 2 2 π 3. π 3.5 π 3.5.7 π 3.5.7.9 π t = − + − + − K 3 5 7 9 11 π 2 3.2 2.s 2 5.2 3.2!.s 2 7.2 4.3!.s 2 9.2 5.4!.s 2 2.s L {erf ( )} 1 = s 1 = s = 3 2 3 2 3 − 3.2.s − 1 2.s 5 2 2 5.2 .2!.s 1.3 + 5 2 3.5 + 2.4.s 3.5.7 − 3 7.2 .3!.s 1.3.5 − 7 2 7 2 2.4.6.s 3.5.7.9 + 4 9.2 .4!.s 1.3.5.7 + 9 2 9 2 2.4.6.8.s 11 2 11 2 −K −K 1 1 1 1.3 1 1.3.5 1 1.3.5.7 1 1− + − + − K 3 2 3 4 2.4.6 s 2.4.6.8 s 2 s 2.4 s s2 F(s ) = (1 + s −1 ) − 1 2 = 1− (4.8.2.5) 1 1 1.3 1 1.3.5 1 1.3.5.7 1 1 + − + − K, < 1 ⇒ s > 1 2 3 4 2 s 2.4 s 2.4.6 s 2.4.6.8 s s Utilizando (4.8.2.6) em (4.8.2.5), temos que 1 1 t = 3 1 + s s2 L {erf ( )} L {erf ( t )} = 1 s s +1 − 1 2 1 1 s 2 1 = 3 = s s +1 s +1 s2 , se s ∈ (Re(s ) > 0 ∩ s > 1) . 1 t b) mostre que L −1 = e erf s (s − 1) 1 t Se L −1 = e erf s (s − 1) ( t ). ( t ) , então L {e erf ( t )}= t { ( t )}= s Como L {e at f (t )} = F(s − a ) e L erf L {e erf ( t )} = 1 t (s − 1) s −1+1 = 1 s (s − 1) 1 s +1 . 199 1 s (s − 1) , temos . (4.8.2.6) 4.8.3 – Uso de equações diferenciais Uso de uma equação diferencial ordinária satisfeita por f (t ) e da transformada de Laplace de derivadas. 4.8.4 – Outros métodos Uso das propriedades da transformada de Laplace. 4.8.5 – Uso de tabelas de transformadas 4.9 – Transformada de Laplace unilateral de algumas funções 4.9.1 – Função nula Se ∫ t N(u )du = 0 para t > 0 , então N(t ) é chamada função nula. 0 Exemplo 1 1, t = 2 é uma função nula. f (t ) = − 1, t = 1 0, caso contrário Transformada de Laplace da função nula: L {N(t )} = 0 4.9.2 – Função degrau unitário 0, 0 ≤ t < a u (t − a ) = 1, t ≥ a Transformada de Laplace da função degrau unitário: L{u (t − a ) } = Prova e − as , Re(s ) > 0 . s Sabemos que L{ f (t − a ) u (t − a ) } = e − as F(s ) (teorema de translação). 200 (4.9.2.1) Se em (4.9.2.1) considerarmos L{u (t − a ) } = e f (t ) = 1 ⇒ f (t − a ) = 1 , então temos que L {1} = 1 s e − as . s 4.9.3 – Função impulso unitário Usada para representar forças externas de grande amplitude que agem por um curto período de tempo. 0, 0 ≤ t < t 0 − a 1 δ a (t − t 0 ) = , t 0 - a ≤ t < t 0 + a , t 0 > 0, a > 0 2a 0, t ≥ t 0 + a 1 2a 1 (2a ) = 1 2a A= t t0 − a t0 t0 + a Figura 67: Função impulso unitário. δ a (t − t 0 ) = 1 2a {u [t − (t 0 − a )] − u [t − (t 0 + a )] } Considerando δ (t − t 0 ) = lim δ a (t − t 0 ) , temos o delta de Dirac: a →0 ∞, t = t 0 0, t ≠ t 0 δ (t − t 0 ) = Propriedade do delta de Dirac: ∫ ∞ δ (t − t 0 )dt = 1 0 Transformada de Laplace do delta de Dirac: L {δ(t − t 0 )} = e −st 0 ou L {δ(t − a )} = e −as . 201 Prova δ a (t − t 0 ) = 1 2a L {δ a (t − t 0 )} = {u [t − (t 0 − a )] − u [t − (t 0 + a )] } 1 L{u [t − (t 0 − a )] } − 1 2a 2a L{u [t − (t 0 + a )] } as 1 e − (t 0 −a )s e −( t 0 +a )s − e −as − st 0 e L {δ a (t − t 0 )} = − = e 2a s s 2as e −st 0 = senh (as ) as (4.9.3.1) Tomando o limite de (1) quando a → 0 , obtemos: LH e as − e − as } −st 0 se as + se −as −st 0 = e lim = e lim L {δ a (t − t 0 )} = L {δ(t − t 0 )} = e −st 0 lim a →0 a →0 a →0 2s 2as (4.9.3.2) Quando em (4.9.3.2) t 0 = 0 , temos que L {δ{t}} = 1 . (4.9.3.3) É importante ressaltar que (4.9.3.3) não satisfaz lim F(s ) = 0 . s →∞ 4.9.4 – Algumas funções periódicas F(s ) f (t ) 1 − e − as s(1 + e −as ) 1 s(1 + e −as ) 202 a 1 1 − sb s bs e − 1 1 − e −s s 2 (1 + e −s ) −π s 1+ e s + 1 1 − e −π s ( 2 )( ) πs cot gh 2 = 2 s +1 1 s + 1 1 − e -π s ( 2 )( ) Tabela 5: Transformada de Laplace de algumas funções periódicas – [17]. Exercício Prove as transformadas de Laplace das funções periódicas presentes na Tabela 5. 203 4.10 – Métodos para determinar a transformada de Laplace unilateral inversa 4.10.1 – Completando quadrados Exemplo s+5 s + 6s + 13 L −1 (4.10.1.1) 2 Polos de ordem um: s = −3 − 2i , s = −3 + 2i Completando quadrados em (4.10.1.1), temos que: s +3+ 2 2 (s + 3) + 4 s+3 2 −1 = L −1 + L 2 2 (s + 3) + 4 (s + 3) + 4 = e -3t cos(2t ) + e −3t sen (2 t ) s+5 = s + 6s + 13 L −1 2 L −1 = e -3t [cos(2 t ) + sen (2t )] No exemplo acima, empregamos a propriedade de linearidade e a propriedade de translação da transformada de Laplace unilateral inversa L −1 {F(s − a )} = e at f (t ) . 4.10.2 – Decomposição em frações parciais P(s ) , onde P(s) e Q(s) são polinômios, com o grau de P(s) menor do Q(s ) que o grau de Q(s), pode ser escrita como uma soma de funções racionais (chamadas frações parciais), tendo a forma Qualquer função racional A (as + b ) r , As + B (as 2 + bs + c ) r , r = 1,2,3,K As constantes A, B, C, ..., podem ser determinadas de várias maneiras, como veremos nas P(s ) questões a seguir. Decompondo o quociente em uma soma de frações parciais, determinamos a Q(s ) P(s ) transformada inversa de Laplace de cada uma dessas frações obtendo L −1 . Q(s ) 1. 3s 2 − 4s + 2 (s 2 + 2s + 4 = ) (s − 5) (s 2 As + B 2 + 2s + 4 ) 2 + Cs + D E + s + 2s + 4 s − 5 2 204 2. 2s − 5 A B C D = + + + 3 3 2 (3s − 4)(2s + 1) 3s − 4 (2s + 1) (2s + 1) 2s + 1 Exemplo 1 3s + 7 s − 2s − 3 L −1 2 Polos de ordem um: s = −1 , s = 3 Primeiro método (completando quadrados) 3s + 7 −1 3(s − 1) + 10 =L 2 s − 2s − 3 (s − 1) − 4 L −1 2 s −1 2 −1 = 3L −1 +5L 2 2 (s − 1) − 4 (s − 1) − 4 = 3e t cosh (2 t ) + 5e t senh (2t ) e 2 t + e −2 t = 3e t 2 = e 2 t − e −2 t + 5e t 2 3 3t 3 − t 5 3t 5 − t e + e + e − e 2 2 2 2 = 4e 3 t − e − t Segundo método (decompondo em frações parciais e solucionando o sistema) 3s + 7 3s + 7 A B = = + s − 2s − 3 (s − 3)(s + 1) s − 3 s + 1 2 3s + 7 A(s + 1) + B(s − 3) = (s − 3)(s + 1) (s − 3)(s + 1) 3s + 7 = A(s + 1) + B(s − 3) 3s + 7 = (A + B) s + (A − 3B) A + B = 3 A − 3B = 7 × (- 1) 4B = -4 ⇒ B = -1 ⇒ A = 4 205 3s + 7 3s + 7 4 1 = = − s − 2s − 3 (s − 3)(s + 1) s − 3 s + 1 2 3s + 7 3s + 7 1 −1 −1 4 − =L =L s − 2s − 3 s − 3 s + 1 (s − 3)(s + 1) L −1 2 1 −1 1 = 4 L −1 −L s − 3 s + 1 = 4e 3 t − e − t Terceiro método (decompondo em frações parciais e calculando os limites; pode ser usado sempre que o denominador tem fatores lineares distintos) 3s + 7 A B = + (s − 3)(s + 1) s − 3 s + 1 3s + 7 A B lim ( s − 3) = lim ( s − 3) + lim (s − 3) s →3 (s − 3)(s + 1) s →3 s − 3 s →3 s + 1 16 = A+0⇒ A = 4 4 3s + 7 A B (s + 1) = slim (s + 1) + slim (s + 1) lim s → −1 (s − 3)(s + 1) → −1 s − 3 → −1 s + 1 4 = 0 + B ⇒ B = −1 −4 Exemplo 2 3s + 1 2 s − s + s − 1 L −1 3 Fatorando o denominador: 1 1 -1 1 -1 1 0 1 0 ( ) s 3 − s 2 + s − 1 = (s − 1) s 2 + 1 Polos de ordem um: s = 1 , s = i , s = −i 206 3s + 1 3s + 1 A Bs + C A Bs C = = + 2 = + 2 + 2 2 2 s − s + s − 1 (s − 1) s + 1 s − 1 s + 1 s − 1 s + 1 s + 1 ( 3 ( ) ) 3s + 1 A s + 1 + Bs(s − 1) + C(s − 1) = 2 (s − 1) s 2 + 1 (s − 1) s + 1 ( ( 3s + 1 = A(s ) 2 ) + 1) + B(s ( ) 3s + 1 = A s + 1 + Bs(s − 1) + C(s − 1) 2 2 2 ) − s + C(s − 1) 3s + 1 = (A + B) s + (− B + C ) s + (A − C ) 2 =0 A + B −B+C = 3 A −C =1 − B + C = 3 A + B = 0 ⇒ A = −B ⇒ ⇒ −2B = 4 ⇒ B = −2 ⇒ C = 1 e A = 2 − B − C = 1 3s + 1 3s + 1 2 2s 1 = = − 2 + 2 2 2 s − s + s − 1 (s − 1) s + 1 s − 1 s + 1 s + 1 ( 3 ) 3s + 1 2s 1 3s + 1 −1 −1 2 − 2 + 2 =L =L 2 2 s − 1 s + 1 s + 1 s − s + s − 1 (s − 1)(s + 1) L −1 3 s 1 −1 −1 1 = 2 L -1 − 2L 2 +L 2 s − 1 s + 1 s + 1 = 2e t − 2 cos(t ) + sen (t ) Exemplo 3 5s 2 − 15s − 11 4 3 2 s − 5s + 6s + 4s − 8 L −1 Fatorando o denominador: -1 2 2 2 1 -5 6 4 -8 1 1 1 1 -6 12 -8 -4 4 0 -2 0 0 0 3 s 4 − 5s 3 + 6s 2 + 4s − 8 = (s + 1)(s − 2 ) Polos de ordem um: s = −1 207 Polos de ordem três: s = 2 5s 2 − 15s − 11 5s 2 − 15s − 11 A B C D = = + + + 4 3 2 3 3 2 s + 1 (s − 2 ) (s − 2 ) s−2 s − 5s + 6s + 4s − 8 (s + 1)(s − 2 ) 5s 2 − 15s − 11 A B C (s + 1) = slim (s + 1) + slim (s + 1) + slim (s + 1) + s → −1 (s + 1)(s − 2 )3 → −1 s + 1 → −1 (s − 2 )3 → −1 (s − 2 )2 D + lim (s + 1) s → −1 s − 2 9 1 = A+0+0+0⇒ A = − − 27 3 lim 5s 2 − 15s − 11 A B C (s − 2)3 = lim (s − 2)3 + lim (s − 2)3 + lim (s − 2)3 + s → 2 (s + 1)(s − 2 )3 s→ 2 s + 1 s → 2 (s − 2 )3 s → 2 (s − 2 )2 D (s − 2)3 + lim s →2 s − 2 20 − 30 − 11 21 = 0 + B + 0 + 0 ⇒ B = − = −7 3 3 lim 1 5s 2 − 15s − 11 − 3 7 C D = − + + 3 3 2 (s + 1)(s − 2) s + 1 (s − 2) (s − 2) s − 2 3 2 1 5s 2 − 15s − 11 − 3 (s − 2 ) − 7(s + 1) + C(s + 1)(s − 2 ) + D(s + 1)(s − 2) = (s + 1)(s − 2)3 (s + 1)(s − 2)3 1 5s 2 − 15s − 11 = − s 3 − 6s 2 + 12s − 8 − 7(s + 1) + C s 2 − s − 2 + D(s + 1) s 2 − 4s + 4 3 1 5s 2 − 15s − 11 = − s 3 − 6s 2 + 12s − 8 − 7(s + 1) + C s 2 − s − 2 + D s 3 − 3s 2 + 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 1 8 5s 2 − 15s − 11 = D − s 3 + (C − 3D + 2 ) s 2 + (− C − 4 − 7 ) s + − 2C+ 4D + − 7 3 3 1 1 D− =0⇒ D = 3 3 1 C − 3D + 2 = 5 ⇒ C − 3 + 2 = 5 ⇒ C = 4 3 − C − 4 − 7 = −15 ⇒ C = 4 − 2C+ 4D + 8 1 8 − 7 = −11 ⇒ −2(4) + 4 + − 7 = −11 ⇒ −11 = −11 3 3 3 2 5s 2 − 15s − 11 −1 5s − 15s − 11 = L 3 4 3 2 s − 5s + 6s + 4s − 8 (s + 1)(s − 2 ) L −1 208 ) 1 1 7 4 1 1 − + + = L −1 − 3 2 3 s + 1 (s − 2) (s − 2 ) 3 s − 2 Como d 1 1 d2 1 2 temos que e = =− 2 2 ds s − 2 (s − 2) ds s − 2 (s − 2)3 5s 2 − 15s − 11 1 −t 7 2 2t 1 2t 2t = − e − t e + 4te + e . 4 3 2 3 2 3 s − 5s + 6s + 4s − 8 L −1 4.10.3 – Expansão em série de potências Se F(s ) tem um desenvolvimento em série de potências negativas de s dado por a a a a F(s ) = 0 + 21 + 32 + 43 + K = s s s s ∞ ∑ n =0 an , s n +1 então podemos inverter termo a termo para obter 3 2 L −1 {F(s )} = f (t ) = a 0 + a 1 t + a 2 t + a 3 t + K = 2! 3! ∞ ∑ antn . n! n =0 Exemplo A função de Bessel de ordem zero é definida pela série ∞ J 0 (at ) = ∑ n =0 Mostre que L −1 e s 1 − s 2n (− 1)n (at2) 2n (n!) 2 = J0 2 t . ( ) 1 − − 1s s e e Se L −1 , então L . = J 2 t J 2 t = 0 0 s s ( ) { ( )} 209 . ∞ J 0 (at ) = ∑ n =0 2 1 a = 1- t 2 + (2!)2 2 ∞ ( ) J0 2 t = ∞ 2n (− 1) (at2) 2n (n!) 2 n ∑ (− 1)n = 1- t + { } ∑ n =0 1 a 4 t − (3!)2 2 ∞ (2 t ) 1 (2!) n! s n +1 2 (n!) t2 − 2 2n = ∑ n =0 1 (3!) 2 t3 + 1 a 2n t (n!)2 2 6 1 a 6 t + (4!)2 2 (− 1)n 1 2 2 (n!) 2 1 (4!) 2 t4 − 1 (5!) 2 8 1 a 8 t − (5!)2 2 ∞ 2n t 2n = ∑ n =0 10 a 10 t +K 2 (− 1)n 1 (n!) 2 tn t5 +K , Re(s ) > 0 , temos que: L {J (2 t )} = L 1 - t + 0 2 2n (− 1)n 4 2n n =0 Como L t n = = 1 (2!) 2 t2 − 1 (3!) 2 t3 + 1 (4!) 2 t4 − t 5 + K (5!) 1 2 1 1 1 2! 1 3! 1 4! 1 5! = − 2 + − + − +K 2 3 2 4 2 5 s s (2!) s (3!) s (4!) s (5!)2 s 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − 2 + − + − +K s s 2! s 3 3! s 4 4! s 5 5! s 6 ∞ = ∑ n =0 Expandindo e ∞ e − s −1 = ∑ n =0 − 1 s (− 1)n n!s n +1 , Re(s ) > 0 −1 = e −s em série de potências: (− s ) −1 n n! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1− + − + − +K s 2! s 2 3! s 3 4! s 4 5! s 5 Raio de convergência da série (4.10.3.1): a R = lim n = lim n →∞ a n →∞ n +1 1 n! = lim (n + 1)! = lim n + 1 = ∞ n →∞ n →∞ 1 n! (n + 1)! Assim: 210 (4.10.3.1) e − 1 s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 − + − + − + K 2 3 4 5 s s s 2! s 3! s 4! s 5! s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − 2+ − + − +K s s 2! s 3 3! s 4 4! s 5 5! s 6 ∞ = ∑ n =0 s = 0 : singularidade essencial (− 1)n (4.10.3.2) n!s n +1 { ( )} Comparando (4.10.3.1) e (4.10.3.2), concluímos que L J 0 2 t = e − s 1 s . 4.10.4 – Uso de tabelas de transformadas de Laplace 4.10.5 – A fórmula de Heaviside Sejam P(s) e Q(s) polinômios onde P(s) tem grau menor do que o de Q(s). Suponha que Q(s) tem n zeros distintos α k , k = 1,2,K , n . Então L −1 P(s ) = Q(s ) n ∑ k =1 P(α k ) α k t e = Q ' (α k ) n ∑ k =1 Exemplo 3s + 7 s − 2s − 3 L −1 2 P(s ) = 3s + 7 Q(s ) = s 2 − 2s − 3 = (s − 3)(s + 1) ⇒ α1 = 3 e α 2 = −1 d Q(s ) = 2s − 2 ds L −1 2 3s + 7 = s − 2s − 3 2 ∑ k =1 = 3(α k ) + 7 α k t e 2(α k ) − 2 3(3) + 7 3t 3(− 1) + 7 − t e + e 2(3) − 2 2(− 1) − 2 = 4e 3t − e − t 211 P(α k ) α k t e . d Q(α k ) ds 4.10.6 – A fórmula geral (ou complexa) de inversão Também conhecia como fórmula de Bromwich ou fórmula integral de Bromwich. Se L {f (t )} = F(s ) , então L −1 {F(s )} = f (t ) = 1 2π i ∫ γ +i ∞ F(s ) e st ds , t > 0 e f (t ) = 0 para t < 0 (4.10.6.1) γ −i ∞ ou f (t ) = 1 2π i ∫ F(s ) e st ds . C A integração em (4.10.6.1) deve ser efetuada ao longo de uma reta s = γ no plano complexo, onde s = x + iy . O número real γ é escolhido de tal forma que s = γ esteja à direita de todas as singularidades de F(s ) . Referência SPIEGEL, M.R. Transformadas de Laplace. São Paulo: McGraw-Hill. Capítulo 7. Exercícios 01. L −1 s2 − 3 4 3 2 s + s − 3s − 17s − 30 R.: f (t ) = 3 3t 1 −2t 9 −t 1 e − e + e sen (2 t ) − e − t cos(2 t ) 50 25 25 50 3s 3 − 3s 2 − 40s + 36 02. L −1 4 2 s − 8s + 16 R.: f (t ) = (3 + 5t )e −2 t − 2 te 2 t 212 4.11 – Solução de equações diferenciais 4.11.1 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes Exemplo 1 y " (t ) − 3 y ' (t ) + 2 y (t ) = 4 e 2 t y(0 ) = −3 '( ) y 0 = 5 (4.11.1.1) L {y(t )} = Y(s ) Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária de segunda ordem: L {y " (t )}− 3 L {y ' (t )}+ 2 L {y(t )} = 4 L {e 2 t } s 2 Y(s ) − sy(0 ) − y ' (0 ) − 3sY(s ) + 3y(0 ) + 2Y(s ) = (s 2 − 3s + 2)Y(s ) + 3s − 5 − 9 = 4 s−2 4 s−2 4 − 3s + 14 s−2 (s − 1)(s − 2)Y(s ) = 4 − 3s + 14 s−2 2 2 (s − 1)(s − 2)Y(s ) = 4 − 3s + 6s + 14s − 28 = − 3s + 20s − 24 s−2 s−2 (s 2 − 3s + 2 )Y(s ) = Y(s ) = − 3s 2 + 20s − 24 (s − 1)(s − 2)2 (4.11.1.2) Polos de ordem um: s = 1 Polos de ordem dois: s = 2 Decompondo (4.11.1.2) em frações parciais: − 3s 2 + 20s − 24 A B C = + + 2 2 s − 1 (s − 2 ) s−2 (s − 1)(s − 2) (4.11.1.3) 2 − 3s 2 + 20s − 24 = A (s − 2 ) + B(s − 1) + C(s − 1)(s − 2) ( ) ( − 3s 2 + 20s − 24 = A s 2 − 4s + 4 + B(s − 1) + C s 2 − 3s + 2 ) − 3s + 20s − 24 = (A + C ) s + (− 4A + B − 3C ) s + (4A − B + 2C ) 2 2 213 C = −3 A+ − 4A + B − 3C = 20 4A − B + 2C = −24 (4.11.1.4) Calculando limites em (4.11.1.3): − 3s 2 + 20s − 24 A B C = + + 2 2 s − 1 (s − 2) s−2 (s − 1)(s − 2) lim s →1 − 3s 2 + 20s − 24 (s − 1)(s − 2) 2 (s − 1) = lim s →1 A B C (s − 1) + lim (s − 1) +slim (s − 1) 2 → → s 1 1 s −1 s−2 (s − 2) − 7 = A + 0 + 0 ⇒ A = −7 − 3s 2 + 20s − 24 A B C 2 2 2 2 ( s − 2 ) = lim ( s − 2 ) + lim ( s − 2 ) + lim ( s − 2) 2 2 s →2 s→ 2 s − 1 s → 2 (s − 2 ) s→ 2 s − 2 (s − 1)(s − 2) 4 = 0+B+0⇒ B = 4 lim Substituindo os valores de A e B na primeira equação de (4.11.1.4): A + C = −3 ⇒ −7 + C = −3 ⇒ C = 4 Assim: Y(s ) = − 3s 2 + 20s − 24 7 4 4 =− + + 2 2 s − 1 (s − 2 ) s−2 (s − 1)(s − 2) (4.11.1.5) Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.1.5): 1 1 1 −1 + 4 L −1 + 4L 2 s − 1 s − 2 (s − 2 ) L −1 {Y(s )} = −7 L −1 1 1 −1 −1 1 + 4L − 4 L − 2 s − 1 s − 2 (s − 2) L −1 {Y(s )} = −7 L −1 d 1 1 1 =− ou L e 2 t t = e 2 ds s − 2 (s − 2) (s − 2)2 solução da equação diferencial ordinária de segunda ordem Como { } y(t ) = −7e t + 4e 2 t + 4te 2 t . L −1 {F (n ) (s )} = (− 1)n t n f (t ) , temos como (4.11.1.6) Exercício Verifique que (4.11.1.6) é solução de (4.11.1.1). 214 Exemplo 2 y ' (t ) + 2 y (t ) = f (t ) y(0 ) = 0 (4.11.1.7) t , 0 ≤ t < 1 f (t ) = 0, t ≥ 1 (4.11.1.8) L {y(t )} = Y(s ) Escrevendo (4.11.1.8) de forma compacta: 0, 0 ≤ t < 1 f (t ) = t − t u (t − 1), u (t − 1) = 1, t ≥ 1 Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária de primeira ordem: L {y ' (t )}+ 2 L {y(t )} = L{ t − t u (t − 1) } L {y ' (t )}+ 2 L {y(t )} = L {t} − L{ t u (t − 1) } Lembrando que L {t n f (t )} = (− 1)n temos que: dn F(s ) , onde F(s ) = L {f (t )} , e que ds n sY(s ) − y(0 ) + 2Y(s ) = 1 d e −s − − 1 ( ) ds s s2 sY(s ) − y(0 ) + 2Y(2 ) = 1 d e −s − ( − 1 ) ds s s2 (s + 2)Y(s ) = Y(s ) = L{u (t − a ) } = e − as s , 1 (s + 1)e −s − s2 s2 1 s + 1 −s e − 2 s (s + 2 ) s (s + 2) (4.11.1.9) 2 Polos de ordem um: s = −2 Polos de ordem dois: s = 0 Decompondo (4.11.1.9) em frações parciais: 215 1 As + B C 1 1 1 = + ⇒ A = − ,B = ,C = 2 s+2 4 2 4 s (s + 2 ) s 2 s +1 As + B C 1 1 1 + ⇒ A = ,B = ,C = − = 2 s+2 4 2 4 s (s + 2 ) s 2 Y(s ) = − 1 s 1 1 1 1 1 s 1 1 1 1 −s + + − 2 + − e 2 2 4s 2s 4 s + 2 4 s 2 s 2 4 s + 2 Y(s ) = − 11 1 1 1 1 1 1 - s 1 1 −s 1 1 −s + 2+ − e − 2e + e 4s 2s 4 s+2 4 s 2s 4 s+2 (4.11.1.10) Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.1.10): 1 + s + 2 L −1 {Y(s )} = − 1 L −1 1 + 1 L −1 12 + 1 L −1 4 − s 2 s 4 1 −1 1 -s 1 −1 1 −s 1 −1 1 −s L e − L 2 e + L e 4 s 2 s 4 s + 2 { (4.11.1.11) } Lembrando que L −1 e − as F(s ) = f (t − a ) u (t − a ) , obtemos de (4.11.1.11) a solução da equação diferencial ordinária de primeira ordem. 1 1 1 1 1 1 y(t ) = − + t + e −2 t − u (t − 1) − (t − 1) u (t − 1) + e − 2( t −1) u (t − 1) 4 2 4 4 2 4 1 1 1 1 1 1 y(t ) = − + t + e −2 t − u (t − 1) + t − 1 − e −2 (t −1) 4 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 y(t ) = − + t + e −2 t − u (t − 1) − + t − e −2( t −1) 4 2 4 2 2 2 1 −2t 1 1 − 4 + 2 t + 4 e , 0 ≤ t < 1 y (t ) = 1 e − 2 t + 1 e −2 t + 2 , t ≥1 4 4 Exercício Verifique que (4.11.1.12) é solução de (4.11.1.7). 216 (4.11.1.12) Exemplo 3 A equação diferencial para a carga q (t ) em um capacitor em um circuito em série R-C é R d 1 q (t ) + q (t ) = E (t ) , dt C onde R é a resistência, C é a capacitância e E(t ) é a força eletromotriz (f.e.m). Use as transformadas de Laplace para determinar a carga no capacitor em um circuito em série R-C se q (0) = 0, R = 2,5 ohms, C = 0,08 farad e E(t ) é dada pelo gráfico da Figura 68. Figura 68: Força eletromotriz – [17]. L {q(t )} = Q(s) Escrevendo E(t ) de uma maneira compacta: 0, 0 ≤ t < 3 E (t ) = 5, t ≥ 3 0, 0 ≤ t < 3 u (t − 3 ) = 1, t ≥ 3 E(t ) = 5 u (t − 3) Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária de primeira ordem: 0 2,5 d 25 q (t ) + q (t ) = 5 u (t − 3) dt 2 (4.11.1.13) L 2,5 d q(t ) + 12,5q(t ) = L{5u (t − 3) } dt 217 d 2,5 L q (t ) + 12,5 L {q(t )} = 5 L{u (t − 3) } dt e −3s 2,5sQ(s ) − 2,5q(0 ) + 12,5Q(s ) = 5 s −3s (2,5s + 12,5)Q(s ) = 5 e s 5e −3s 5e −3s 2e −3s Q(s ) = = = s(2,5s + 12,5) 2,5s(s + 5) s(s + 5) (4.11.1.14) Polos de ordem um: s = −5 , s = 0 Decompondo (4.11.1.14) em frações parciais: 1 A B 1 1 = + ⇒ A = ,B = s(s + 5) s s + 5 5 5 1 1 1 1 -3s Q(s ) = 2 − e 5 s 5 s + 5 (4.11.1.15) Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.1.15): L −1 {Q(s )} = L −1 2 1 1 − 1 5 s 1 -3s e 5 s + 5 L −1 {Q(s )} = 2 L −1 1 e -3s − 2 L −1 5 s 5 1 -3s e s + 5 { (4.11.1.16) } Usando em (4.11.1.16) a propriedade L −1 e − as F(s ) = f (t − a ) u (t − a ) , obtemos a solução da equação diferencial ordinária de primeira ordem. 2 2 u (t − 3) − u (t − 3)e −5(t −3 ) 5 5 2 q (t ) = u (t − 3) 1 − e −5( t −3) 5 q (t ) = [ (4.11.1.17) ] 0, 0 ≤ t < 3 q (t ) = 2 −5( t −3 ) , t≥3 5 1 − e [ ] Exercício Verifique que (4.11.1.17) é solução de (4.11.1.13). 218 4.11.2 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis Exemplo ty " (t ) + (1 − 2t )y ' (t ) − 2 y(t ) = 0 y(0 ) = 1 '( ) y 0 = 2 (4.11.2.1) L {y(t )} = Y(s ) Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária de segunda ordem, obtemos: L {ty " (t )}+ L {y ' (t )}− 2 L {ty ' (t )}− 2 L {y(t )} = L {0} (4.11.2.2) Devemos lembrar que: L {tf (t )} = − d F(s ) ds L {y " (t )} = s 2 Y(s ) − sy(0) − y ' (0) = s 2 Y(s ) − s − 2 L {ty " (t )} = − d [s 2 Y(s ) − s − 2] = −2sY(s ) + s 2 ds d d Y(s ) − 1 = −2sY(s ) − s 2 Y(s ) + 1 ds ds L {y ' (t )} = sY(s ) − y(0) = sY(s ) − 1 L {ty ' (t )} = − d [sY(s ) − 1] = − Y(s ) + s d Y(s ) = −Y(s ) − s ds ds d Y(s ) ds Voltando a (4.11.2.2): − 2sY(s ) − s 2 (− s 2 + 2s − s(s − 2 ) s(s − 2 ) d d Y(s ) + 1 + sY(s ) − 1 + 2Y(s ) + 2s Y(s ) − 2Y(s ) = 0 ds ds ) dsd Y(s) − sY(s ) = 0 d Y(s ) − sY(s ) = 0 ds d Y(s ) + sY(s ) = 0 EDO linear de primeira ordem homogênea ds Separando variáveis em (4.11.2.3), chegamos a: 219 (4.11.2.3) dY(s ) sY(s ) 1 dY(s ) 1 =− ⇒ =− ds s(s − 2 ) Y(s ) ds s−2 d [ln Y(s) ] = − 1 ds s−2 (4.11.2.4) Integrando (4.11.2.4), temos que: ln Y(s ) = − ln (s − 2 ) + C1 Y(s ) = e − ln (s −2 )+C1 −1 −1 Y(s ) = e C1 e ln (s −2 ) = C(s − 2 ) = C s−2 (4.11.2.5) Polos de ordem um: s = 2 Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.2.5): C s − 2 L −1 {Y(s )} = L −1 1 2t y(t ) = C L −1 = Ce s − 2 (4.11.2.6) Para determinar a constante C em (4.11.2.6) usamos a condição inicial y(0 ) = 1 : y(0) = Ce 2(0 ) = 1 ⇒ C = 1 (4.11.2.7) Substituindo (4.11.2.7) em (4.11.2.6), obtemos a solução da equação diferencial ordinária. y(t ) = e 2 t (4.11.2.8) Exercício Verifique que (4.11.2.8) é solução de (4.11.2.1). 220 4.11.3 – Equações diferenciais ordinárias simultâneas Exemplo x ' (t ) + y ' (t ) = t " −t x (t ) − y (t ) = e x (0 ) = 3 x ' (0 ) = −2 y(0 ) = 0 (4.11.3.1) L {x (t )} = X(s ) , L {y(t )} = Y(s ) Aplicando a transformada de Laplace unilateral à primeira equação diferencial ordinária: L {x ' (t )}+ L {y ' (t )} = L {t} sX(s ) − x (0 ) + sY(s ) − y(0 ) = sX(s ) − 3 + sY(s ) = sX(s ) + sY(s ) = 1 s2 1 s2 1 +3 s2 (4.11.3.2) Aplicando a transformada de Laplace unilateral à segunda equação diferencial ordinária: L {x " (t )}− L {y(t )} = L {e − t } s 2 X(s ) − sx (0) − x ' (0 ) − Y(s ) = s 2 X(s ) − 3s + 2 − Y(s ) = s 2 X(s ) − Y(s ) = 1 s +1 1 s +1 1 + 3s − 2 s +1 (4.11.3.3) Solucionando o sistema composto pelas equações (4.11.3.2) e (4.11.3.3): 1 sX(s ) + sY(s ) = s 2 + 3 s 2 X(s ) − Y(s ) = 1 + 3s − 2 s +1 Multiplicando (4.11.3.2) por (-s) e somando o produto a (4.11.3.3): 221 ( ) − s 2 + 1 Y(s ) = Y(s ) = 1 1 + 3s − 2 − − 3s s +1 s 1 1 2 − + 2 2 s s + 1 (s + 1) s + 1 s + 1 ( 2 ) ( (4.11.3.4) ) Polos de ordem um: s = −1 , s = 0 , s = i , s = −i Decompondo (4.11.3.4) em frações parciais: 1 A Bs + C = + 2 ⇒ A = 1, B = -1, C = 0 s s s +1 s +1 ( 2 ) 1 D Es + F 1 1 1 = + 2 ⇒ D = − ,E = ,F= − 2 2 2 2 (s + 1)(s + 1) s + 1 s + 1 1 s 1 1 1 s 1 1 2 Y(s ) = − 2 − + − + 2 2 2 s s +1 2 s +1 2 s +1 2 s +1 s +1 − 1 1 1 3 1 1 s Y(s ) = − + − 2 s 2 s +1 2 s +1 2 s2 +1 (4.11.3.5) Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.3.5): L −1 {Y(s )} = L −1 1 − 1 s 1 3 1 1 s + 2 − 2 2 s + 1 2 s + 1 2 s + 1 L −1 {Y(s )} = L −1 1 − 1 L −1 s 2 1 3 −1 1 1 −1 s + L 2 − L 2 s + 1 2 s + 1 2 s + 1 1 3 1 y(t ) = 1 − e − t + sen (t ) − cos(t ) 2 2 2 Usando as equações (4.11.3.2) e (4.11.3.5) para determinar X(s ) : 1 +3 s2 1 3 X(s ) = −Y(s ) + 3 + s s sX(s ) = −sY(s ) + 1 1 1 3 1 1 s 1 3 X(s ) = − + − + + 3+ 2 2 s 2 s +1 2 s +1 2 s +1 s s X(s ) = 2 1 1 1 3 1 1 s + 3+ − + 2 s s 2 s +1 2 s +1 2 s2 +1 Polos de ordem um: s = −1 , s = i , s = −i 222 (4.11.3.6) Polos de ordem três: s = 0 Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.3.6): L −1 {X(s )} = L −1 2 + 13 + 1 s 1 3 1 1 s − 2 + 2 2 s + 1 2 s + 1 2 s + 1 s L −1 {X(s )} = 2 L −1 1 + L −1 13 + 1 L −1 s s 2 1 3 −1 1 1 −1 s − L 2 + L 2 s + 1 s + 1 2 s + 1 2 1 1 3 1 x (t ) = 2 + t 2 + e − t − sen (t ) + cos(t ) 2 2 2 2 Assim, a solução do sistema de equações diferenciais ordinárias é dada por: x (t ) = 2 + 1 2 1 −t 3 1 t + e − sen (t ) + cos(t ) 2 2 2 2 (4.11.3.7) 1 3 1 y(t ) = 1 − e − t + sen (t ) − cos(t ) 2 2 2 (4.11.3.8) Exercício Verifique que (4.11.3.7) e (4.11.3.8) satisfazem (4.11.3.1). 4.11.4 – Equações diferenciais parciais Dada u (x , t ) , fixamos a variável x e deixamos a variável t livre. Dessa forma: L {u (x, t )} = ∫ ∞ u (x , t ) e -st dt = U(x , s ) 0 L ∂ u (x, t ) = L d u (x, t ) = sU(x, s ) − u (x,0) ∂t 2 dt dt 2 L ∂ 2 u (x, t ) = L d 2 u (x, t ) = s 2 U(x, s ) − su (x,0) − u t (x,0) ∂t L ∂ u (x, t ) = ∂x d U (x , s ) dx (4.11.4.1) 223 2 ∂x L ∂ 2 u (x, t ) = d2 U (x , s ) dx 2 (4.11.4.2) Obtemos (4.11.4.1) e (4.11.4.2) derivando sob o sinal de integração (regra de Leibniz). Exemplo 1 u t = u xx ( ) u x,0 = 3sen (2π x ) u (0, t ) = 0 u (1, t ) = 0 0 < x < 1, t > 0 0 < x <1 t>0 t>0 (4.11.4.3) L {u (x, t )} = U(x, s ) L {u (0, t )} = U(0, s ) = 0 L {u (1, t )} = U(1, s ) = 0 Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial parcial (equação do calor): L {u t (x, t )} = L {u xx (x, t )} sU(x , s ) − u (x ,0 ) = d 2 U (x , s ) dx 2 sU(x , s ) − 3sen (2π x ) = d 2 U (x , s ) dx 2 d 2 U (x , s ) − sU(x , s ) = −3sen (2π x ) dx 2 EDO linear de segunda ordem não homogênea (4.11.4.4) Família de soluções a dois parâmetros para a edo (4.11.4.4): U(x , s ) = C1e sx + C 2 e − sx + C 3sen (2π x ) 1442443 14243 hom ogênea d U ( x , s ) = C1 s e dx d2 U(x , s ) = C1se dx 2 sx sx (4.11.4.5) particular − C 2 se − + C 2 se − sx sx + 2πC 3 cos(2π x ) − 4π 2 C 3sen (2π x ) 224 (4.11.4.6) Substituindo (4.11.4.5) e (4.11.4.6) em (4.11.4.4), obtemos: − 4π 2 C 3 sen (2π x ) − sC 3 sen (2π x ) = −3sen (2π x ) (− 4π 2 ) C3 = 3 s + 4π 2 − s C 3 = −3 Logo: U (x , s ) = C 1 e sx sx + C2e− + 3 sen (2π x ) s + 4π 2 (4.11.4.7) Determinando as constantes C1 e C 2 por intermédio das condições de contorno: x = 0 em (5) ⇒ U(0, s ) = C1 + C 2 = 0 ⇒ C1 = −C 2 (4.11.4.8) x = 1 em (5) ⇒ U(1, s ) = C1e (4.11.4.9) s + C 2e − s =0 Substituindo (4.11.4.8) em (4.11.4.9), obtemos: s − C2e + C2e− s =0 1 − e2 = 0 ⇒ 2 e s C 2 = 0 ⇒ C1 = 0 123 (− e s + e− s )C s C 2 = 0 s ≠0 Assim: U (x , s ) = 3 sen (2π x ) s + 4π 2 (4.11.4.10) Polos de ordem um: s = −4π 2 Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.11.4.10): 3 2 s + 4π L −1 {U(x, s )} = sen (2π x ) L −1 L −1 {U(x, s )} = 3sen (2π x ) L −1 1 2 s − − 4π ( ) 2 u (x, t ) = 3sen (2π x )e −4 π t (4.11.4.11) 225 Exercício Verifique que (4.11.4.11) é solução de (4.11.4.3). Exemplo 2 u tt (x, t ) = 4u xx (x , t ) u (0, t ) = u (2, t ) = 0 u (x,0) = 8sen (4πx ) − 12sen (6πx ) u t (x,0) = 0 0 < x < 2, t > 0 t >0 0<x<2 0<x<2 Condições de contorno: L {u(0, t )} = U(0, s ) = L {0} = 0 L {u(2, t )} = U(2, s ) = L {0} = 0 (4.11.4.12) (4.11.4.13) Equação diferencial parcial: L {u (x, t )} = L {4u (x, t )} tt xx s 2 U(x , s ) − su (x,0) − u t (x ,0 ) = 4 4 d U (x , s ) dx 2 d U(x, s ) − s 2 U(x , s ) = −s[8sen (4πx ) − 12sen (6πx )] 2 dx d s2 U(x , s ) − U(x, s ) = −2s sen (4πx ) + 3s sen (6πx ) 4 dx 2 (4.11.4.14) Família de soluções da equação diferencial ordinária (4.11.4.14): s s − x x U(x , s ) = C1e 2 + C 2 e 2 + C 3sen (4πx ) + C 4 sen (6πx ) 1442443 14444244443 solução homogênea s (4.11.4.15) solução particular s x − x d s s U(x, s ) = C1e 2 − C 2 e 2 + 4πC 3 cos(4πx ) + 6πC 4 cos(6πx ) dx 2 2 s s x − x d2 s2 s2 2 ( ) U x , s = C e + C 2 e 2 − 16π 2 C 3 sen (4πx ) − 36π 2 C 4 sen (6πx ) 1 2 4 4 dx Substituindo (4.11.4.15) e (4.11.4.16) em (4.11.4.14), temos que: 226 (4.11.4.16) − 16π 2 C 3 sen (4πx ) − 36π 2 C 4 sen (6πx ) − C 3 − C4 s2 sen (4πx ) + 4 s2 sen (6πx ) = −2s sen (4πx ) + 3s sen (6πx ) 4 s2 s2 − 16π 2 − C 3 sen (4πx ) + − 36π 2 − C 4 sen (6πx ) = −2s sen (4πx ) + 3s sen (6πx ) (4.11.4.17) 4 4 Comparando os “lados” de (4.11.4.17), concluímos que: s2 8s − 16π 2 − C 3 = −2s ⇒ C 3 = 2 4 s + 64π 2 (4.11.4.18) s2 12s − 36π 2 − C 4 = 3s ⇒ C 4 = − 2 4 s + 144π 2 (4.11.4.19) Substituindo (4.11.4.18) e (4.11.4.19) em (4.11.4.15): s x U (x , s ) = C 1 e 2 + C 2 e s − x 2 + 8s 12s sen (4πx ) − 2 sen (6πx ) 2 s + 64π s + 144π 2 2 (4.11.4.20) Calculando as constantes C1 e C 2 : 1. Considerando x = 0 em (4.11.4.20) e utilizando (4.11.4.12): U(0, s ) = C1 + C 2 = 0 ⇒ C1 = −C 2 (4.11.4.21) 2. Considerando x = 2 em (4.11.4.20) e utilizando (4.11.4.13): U(2, s ) = C1e s + C 2 e −s = 0 (4.11.4.22) Substituindo (4.11.4.21) em (4.11.4.22): 1 − C 2 e s + C 2 e −s = 0 ⇒ C 2 s − e s = 0 ⇒ C 2 1 − e 2s = 0 ⇒ C 2 = 0 (s ≠ 0 ) e ( ) C 2 = 0 ⇒ C1 = 0 (4.11.4.23) Substituindo (4.11.4.23) em (4.11.4.20), temos a solução da EDO. U (x , s ) = 8s 12s sen (4πx ) − 2 sen (6πx ) 2 s + 64π s + 144π 2 2 L {U(x, s )} = u(x, t ) −1 227 s s u (x, t ) = 8sen (4πx ) L −1 2 − 12sen (6πx ) L −1 2 2 2 s + 64π s + 144π u (x, t ) = 8sen (4πx ) cos(8π t ) − 12sen (6πx ) cos(12π t ) (4.11.4.24) Verificando que a solução (4.11.4.24) satisfaz de fato o problema de valor inicial e de contorno: Equação diferencial parcial: u t (x , t ) = −64πsen (4πx )sen (8π t ) + 144πsen (6πx )sen (12π t ) u tt (x , t ) = −512π 2 sen (4πx ) cos(8π t ) + 1728π 2 sen (6πx ) cos(12π t ) u x (x , t ) = 32π cos(4πx ) cos(8π t ) − 72π cos(6πx ) cos(12π t ) u xx (x, t ) = −128π 2 sen (4πx ) cos(8π t ) + 432π 2 sen (6πx ) cos(12π t ) 4u xx (x , t ) = −512π 2 sen (4πx ) cos(8π t ) + 1728π 2 sen (6πx ) cos(12π t ) Logo, u tt (x , t ) = 4u xx (x, t ) . Condições de contorno: Considerando x = 0 e x = 2 em (4.11.4.24): u (0, t ) = u (2, t ) = 0 Condições iniciais: Considerando t = 0 em (4.11.4.24) e (4.11.4.25): u (x,0) = 8sen (4πx ) − 12sen (6πx ) u t (x ,0 ) = 0 Gráfico da superfície que define a solução (4.11.4.24): 228 (4.11.4.25) Figura 69: Gráfico de f (x ) = 8sen(4πx ) cos(8π t ) − 12sen(6πx ) cos(12π t ) , 0 < x < 2 , 0 < t < 10 . 4.12 – Solução de equações íntegro-diferenciais Exemplo t 4 y(u ) du + y ' (t ) = 0 y(0 ) = 1 ∫ ∫ t y(u ) cos(t − u ) du 0 (4.12.1) L {y(t )} = Y(s ) 4 ∫ t y(u ) du + y ' (t ) = y(t ) ∗ cos(t ) (4.12.2) 0 Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação íntegro-diferencial (4.12.2): L 4 4L 4 ∫ ∫ t y(u ) du + y ' (t ) = L {y(t ) ∗ cos(t )} t y(u ) du + L y ' (t ) = L {y(t ) ∗ cos(t )} 0 { } 0 Y(s ) s + sY(s ) − y(0 ) = Y(s ) 2 s s +1 229 s 4 +s− 2 Y(s ) = 1 s +1 s 4s 2 + 4 + s 4 + s 2 − s 2 Y(s ) = 1 s s2 +1 ( ) (s + 2) Y(s ) = 1 s(s + 1) 2 2 2 Y(s ) = s(s 2 + 1) (s (4.12.3) + 2) 2 2 Polos de ordem dois: s = − 2 i , s = 2 i Decompondo (4.12.3) em frações parciais: Y(s ) s2 +1 As + B Cs + D = = + 2 2 2 s s +2 s2 + 2 s2 + 2 ( ) ( (4.12.4) ) s 2 + 1 = As + B + C(s 3 + 2s ) + D(s 2 + 2 ) s 2 + 1 = Cs 3 + Ds 2 + (A + 2C )s + (B + 2D ) C = 0 D = 1 A + 2C = 0 ⇒ A = 0 B + 2D = 1 ⇒ B = -1 Voltando a (4.12.4): Y(s ) 1 =− s s2 + 2 ( Y(s ) = − 2 + 1 s +2 2 + s s +2 ) s (s 2 +2 ) 2 (4.12.5) 2 Aplicando a transformada de Laplace unilateral inversa a (4.12.5): L −1 {Y(s )} = L −1 − Como s + L −1 2 s + 2 s 2 + 2 s ( ) 2 d 1 2s , =− 2 2 2 ds s + 2 s +2 ( ) L {cos( )} 2t = s , s +2 2 L {sen ( L −1 {F (n ) (s )} = (− 1)n t n f (t ) , temos como solução da equação íntegro-diferencial 230 )} 2t = 2 s +2 2 e y (t ) = − 1 2 2 ( ) ( ) t sen 2 t + cos 2 t ( ) y(t ) = cos 2 t − 2 t sen 2 t . 4 ( ) (4.12.6) Exercícios 01. Verifique que (4.12.6) é solução de (4.12.1). 02. Empregando as transformadas de Laplace, solucione o seguinte problema de valor inicial: y " (t ) − 3y ' (t ) + 2 y(t ) = 4 t + 12e − t y(0 ) = 6 '( ) y 0 = −1 R.: y(t ) = 3e t − 2e 2 t + 2 t + 3 + 2e − t 03. Usando as transformadas de Laplace, solucione o sistema de equações diferenciais x ' (t ) − y ' (t ) − 2 x + 2 y = sen (t ) " x (t ) + 2 y ' (t ) + x = 0 sujeitas às condições iniciais x (0 ) = x ' (0) = y(0 ) = 0 . R.: x (t ) = 1 −t 4 2t 1 −t 2 1 1 1 1 e + e + te − sen (t ) − cos(t ) e y(t ) = te − t + e − t − e 2 t 9 45 3 5 5 3 9 9 04. A carga instantânea q (t ) no capacitor em um circuito em série L-C-R (indutor-capacitor-resistor) é dada pela equação diferencial ordinária de segunda ordem d 2 q (t ) dq (t ) 1 L +R + q (t ) = E (t ) , 2 dt C dt onde E(t ) é força eletromotriz. Use as transformadas de Laplace para determinar a carga q (t ) e a corrente i(t ) em um circuito em série no qual L = 1henry , R = 20ohms , C = 0,01farad , E(t ) = 120sen (10t ) , q (0) = 0 e i(0 ) = 0 . Qual é a corrente estacionária? 3 3 R.: q (t ) = e −10 t + 6te −10 t − cos(10t ) 5 5 −10 t i(t ) = −60 te + 6sen (10 t ) corrente estacionária: 6sen (10t ) 231 4.13 – Exercícios resolvidos 01. Um determinado sistema é regido pela equação diferencial y '' (t ) − 3y ' (t ) + 4 y(t ) = g (t ) , sujeita às condições iniciais y(0) = 1 e y ' (0 ) = 5 . Empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades, determine a resposta y(t ) desse sistema quando g (t ) = t , t > 0 . Notação: L {y(t )} = Y(s ) Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária, linear, de segunda ordem, não homogênea: s 2 Y(s ) − sy(0) − y ' (0) − 3sY(s ) + 3y(0 ) + 4Y(s ) = (s 2 ) − 3s + 4 Y(s ) = Y(s ) = 1 1 + s 3 + 2s 2 + s + 5 − 3 = s2 s2 s 3 + 2s 2 + 1 A B Cs + D = 2 + + 2 2 2 s s − 3s + 4 s (s − 3s + 4 ) s ( ) lim(4.13.1) s 2 ⇒ A = s→0 1 s2 (4.13.1) 1 4 1 2 ( s − 3s + 4) + Bs(s 2 − 3s + 4) + (Cs + D )s 2 s 3 + 2s 2 + 1 1 1 B Cs + D = + + = 4 s 2 (s 2 − 3s + 4 ) 4 s 2 s s 2 − 3s + 4 s 2 (s 2 − 3s + 4 ) s 3 + 2s 2 + 1 = 1 2 ( s − 3s + 4 ) + B(s 3 − 3s 2 + 4s ) + (Cs 3 + Ds 2 ) 4 1 3 s 3 + 2s 2 + 1 = (B + C )s 3 + − 3B + D s 2 + − + 4B s + 1 4 4 − 3 3 3 + 4 B = 0 ⇒ 4B = ⇒ B = 4 4 16 1 1 9 32 − 4 + 9 37 − 3B + D = 2 ⇒ D = 2 − + ⇒ D = ⇒D= 4 4 16 16 16 B + C = 1 ⇒ C = 1− 3 13 ⇒C= 16 16 232 Retornando a (4.13.1): Y(s ) = 1 1 3 1 13 s 37 1 + + + 2 2 2 4s 16 s 16 s − 3s + 4 16 s − 3s + 4 (4.13.2) Completando quadrados na equação (4.13.2) tem-se que: 3 3 s− + 1 1 3 1 13 1 2 2 + 37 Y(s ) = + + 2 2 2 4s 16 s 16 3 7 16 3 7 s − + s − + 2 4 2 4 Y(s ) = s− 3 2 1 1 3 1 13 37 1 39 1 + + + + 2 2 2 2 4s 16 s 16 3 7 16 3 7 32 3 7 s − + s − + s − + 2 4 2 4 2 4 7 1 1 3 1 13 113 2 2 Y(s ) = + + + 2 2 2 4s 16 s 16 32 7 3 7 3 7 s − + s − + 2 4 2 4 s− 3 2 { } Como y(t ) = L −1 {Y(s )} e L e at y(t ) = e − as Y(s ) , tem-se que: y (t ) = 3 7 113 7 32 t 7 3 1 13 t + t + e 2 cos t + e sen t 16 4 16 2 112 2 02. Solucione a equação integral de Volterra abaixo empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades. y(t ) = 1 − senh (t ) + ∫ t (θ + 1)y(t − θ)dθ 0 Notação: L {y(t )} = Y(s ) y(t ) = 1 − senh (t ) + (t + 1) ∗ y(t ) Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação integral: 1 1 1 1 Y(s ) = − 2 + 2 + Y(s ) s s −1 s s 233 1 1 1 1 1 − 2 − Y(s ) = − 2 s s s −1 s s2 −1− s s2 −1− s Y(s ) = s2 s s2 −1 ( ) s2 −1 − s s2 s Y(s ) = = 2 2 2 s s −1 s −1− s s −1 ( ) Como y(t ) = L −1 {Y(s )} , tem-se que: y(t ) = cosh (t ) 03. Solucione a equação integral abaixo empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades. y(t ) = cos(2t ) + t + 1 + ∫ t y(θ )(t − θ)dθ 0 Notação: L {y(t )} = Y(s ) y(t ) = cos(2t ) + t + 1 + y(t ) ∗ t Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação integral: Y(s ) = s 1 1 1 + 2 + + Y(s ) 2 s s +4 s s 2 1 s 1 1 + 2+ 1 − 2 Y(s ) = 2 s +4 s s s s2 −1 s 1 1 Y(s ) = 2 + 2 + 2 s s s +4 s Y(s ) = s3 1 s + 2 + 2 2 2 s −1 s + 4 s −1 s −1 ( )( (4.13.3) ) Decompondo em frações parciais: s3 As + B Cs + D = 2 + 2 2 2 s −1 s + 4 s −1 s +4 ( )( ) 234 ( ) ( ) s 3 = (As + B) s 2 + 4 + (Cs + D ) s 2 − 1 s 3 = As 3 + 4As + Bs 2 + 4B + Cs 3 − Cs + Ds 2 − D s 3 = (A + C )s 3 + (B + D )s 2 + (4A − C )s + (4B − D ) A + C =1 1 4 ⇒A= ⇒C= 5 5 4A − C = 0 B+D = 0 ⇒B=0⇒D=0 4B − D = 0 Retornando à equação (4.13.3): Y(s ) = 1 s 4 s 1 s + + 2 + 2 2 2 5 s −1 5 s + 4 s −1 s −1 Y(s ) = 6 s 4 s 1 + + 2 2 2 5 s −1 5 s + 4 s −1 Como y(t ) = L −1 {Y(s )} , tem-se que: y (t ) = 6 4 cosh (t ) + cos(2 t ) + senh (t ) 5 5 04. Uma partícula se move ao longo de uma linha de modo que seu afastamento x de um ponto fixo 0 em um tempo qualquer t seja dado por x " (t ) + 3x ' (t ) + 3x (t ) = 30sen (2 t ) . a) Se em t = 0 a partícula está em repouso em x = 0 , determine seu afastamento x (t ) em um tempo qualquer t > 0 empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades. x " (t ) + 3x ' (t ) + 3x (t ) = 30sen (2t ) x (0 ) = 0 '( ) x 0 = 0 Aplicando a transformada de Laplace unilateral à equação diferencial ordinária tem-se que: L {x " (t ) + 3x ' (t ) + 3x (t )} = L {30sen (2t )} 235 Notação: L {x (t )} = X(s ) 2 s +4 s 2 X(s ) − sx (0) − x ' (0 ) + 3sX(s ) − 3x (0) + 3X(s ) = 30 (s 2 + 3s + 3)X(s ) = X(s ) = 2 60 s +4 2 60 As + B Cs + D = 2 + 2 2 s + 4 s + 3s + 3 s + 4 s + 3s + 3 ( )( 2 (4.13.4) ) 60 = (As + B)(s 2 + 3s + 3) + (Cs + D )(s 2 + 4 ) 60 = As 3 + 3As 2 + 3As + Bs 2 + 3Bs + 3B + Cs 3 + 4Cs + Ds 2 + 4D 60 = (A + C )s 3 + (3A + B + D ) s 2 + (3A + 3B + 4C )s + (3B + 4D ) + C A 3A + B + D 3A + 3B + 4C 3B + 4D = 0 = 0 = 0 = 60 1 3 3 0 0 1 3 3 0 1 1 −3 3 1 3 0 1 0 0 0 0 1 1 −3 1 0 4 0 0 1 0 9 0 1 0 4 | 0 | 0 ~ | 0 | 60 0 1 3 − 10 1 | | 1 0 0 0 0 0 ~ | 0 | 60 1 0 0 0 0 1 0 4 0 1 1 −3 0 1 0 0 | 0 | 0 ~ | 0 | 60 0 1 3 − 10 37 10 1 0 0 0 | | 0 0 | 0 | 60 37 600 D = 60 ⇒ D = 10 37 C− 3 3 600 180 D =0⇒C− =0⇒C= 10 10 37 37 B − 3C + D = 0 ⇒ B − 3 0 1 0 1 −3 1 0 10 − 3 0 9 1 180 600 60 + =0⇒B=− 37 37 37 236 | 0 | 0 | 0 | 60 A+C=0⇒ A+ 180 180 =0⇒A=− 37 37 Voltando a (4.13.4): X(s ) = − 180 s 60 1 180 s 600 1 − + + 2 2 2 2 37 s + 4 37 s + 4 37 s + 3s + 3 37 s + 3s + 3 Completando quadrados: s + 3s + 3 = s + 2 X(s ) = − 180 s 30 2 180 − + 2 2 37 s + 4 37 s + 4 37 s + 2 3 3 + 2 4 s 2 3 3 + 2 4 + 600 37 s + 3 3 − 180 s 30 2 180 2 2 + 600 X(s ) = − − + 2 2 2 37 s + 4 37 s + 4 37 3 3 37 s + + s + 2 4 s+ 3 s+ 180 s 30 2 180 270 2 X(s ) = − − + − 2 2 2 37 s + 4 37 s + 4 37 3 3 37 s + + s + 2 4 600 1 + 2 37 3 3 s + + 2 4 X(s ) = − s+ 1 2 3 3 + 2 4 1 2 3 3 + 2 4 1 2 3 3 + 2 4 + 3 2 180 s 30 2 180 330 1 − + + 2 2 2 2 37 s + 4 37 s + 4 37 3 3 37 3 3 s + + s + + 2 4 2 4 3 3 s+ 180 s 30 2 180 330 2 2 2 X(s ) = − − + + 2 2 37 s 2 + 4 37 s 2 + 4 37 37 3 3 3 3 3 s + + s + + 2 4 2 4 237 3 180 s 30 2 180 220 3 2 − + + X(s ) = − 2 2 2 2 37 s + 4 37 s + 4 37 37 3 3 3 3 s + + s + + 2 4 2 4 s+ { 3 2 } Lembrando que L e at x (t ) = X(s − a ) , tem-se que: L −1 {X(s )} = − 180 cos(2t ) − 30 sen(2t ) + 180 e 37 37 3 − t 2 37 3 220 3 − 32 t 3 cos t + e sen t 2 37 2 3 3 3 30 20 − 2 t x (t ) = − [6 cos(2 t ) + sen (2 t )] + e 9 cos t + 11 3sen t 37 37 2 2 b) Plote o gráfico da função x (t ) , identificando o termo transitório e o termo de regime permanente. Faça comentários pertinentes. y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Figura 70: Gráfico de x (t ) = − 3 − t 30 [6 cos(2t ) + sen (2t )] + 20 e 2 9 cos 3 t + 11 3sen 3 t , t ∈ [0,20] . 37 37 2 2 3 3 3 20 − 2 t Termo transiente: e 9 cos t + 11 3sen t 37 2 2 Termo de regime permanente: − 30 [6 cos(2t ) + sen (2t )] 37 238 y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3 3 3 20 − 2 t Figura 71: Gráfico do termo transiente e 9 cos t + 11 3sen t , t ∈ [0,20] . 37 2 2 y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Figura 72: Gráfico do termo de regime permanente − 14 15 16 17 18 19 20 30 [6 cos(2t ) + sen (2t )] , t ∈ [0,20] . 37 Comentários: Percebe-se, pela Figura 71, que o termo transiente “contribui” para a solução até t ≈ 3 . Após, a solução é dada pelo termo de regime permanente, como ilustram as Figuras 70 e 72. 239 4.14 – Exercícios complementares 01. Determine o valor das seguintes integrais impróprias: a) ∫ ∞ 4 x e −2 x dx b) 0 R.: 3 4 ∫ ∞ e 7 − x 2 senh (3x ) dx c) 0 R.: 12 13 ∫ ∞ 0 e −2 t − e −10 t dt t R.: ln (5) 02. Calcule as seguintes integrais impróprias: a) ∫ ∞ 0 e −3 t − e −6 t dt t b) ∫ ∞ 0 cos(6 t ) − cos(4t ) dt t 2 R.: ln 3 R.: ln (2 ) 03. Empregando a transformada de Laplace e suas propriedades, calcule a integral abaixo. ∫ ∞ 0 sen 3 (t ) − e 5t 3t dt π 120 R.: 04. Empregando a transformada de Laplace e suas propriedades, mostre que ∫ ∞ 0 e− 2t senh (t )sen (t ) π dt = . t 8 05. Calcular: { } s+4 s + 8s + 12 a) L e −4 t cosh (2 t ) R.: F(s ) = 2s − 5 b) L −1 2 s + 9 5 R.: f (t ) = 2 cos(3t ) − sen (3t ) 3 se −2s c) L −1 2 s + 3s + 2 R.: f (t ) = 2e −2( t − 2 ) − e − ( t −2 ) u (t − 2) 2 { 240 } 06. Calcule a transformada de Laplace da função representada graficamente abaixo. f(t) 2 1 t 2 R.: L {f (t )} = 4 1 1 e −2s 2 + − − 4e −4s 2s s s 07. Calcule a transformada de Laplace da função representada graficamente abaixo. f(t) 2 t 2 R.: L {f (t )} = 1 −4s e − e − 2s + 2s 2 s ( 4 ) 08. Determine a transformada de Laplace da função representada graficamente na Figura 73. Figura 73: Função periódica – [13]. 1 − e − as − ase − as R.: L {f (t )} = tg (θ 0 ) s 2 1 − e −as ( ) 241 09. Seja f (t ) a função representada graficamente abaixo. f(t) 5 2 3 7 t a) Expresse f (t ) de forma compacta usando a função degrau unitário. 29 3 R.: f (t ) = − t + [u (t − 3) − u (t − 7 ) ] 4 4 b) Usando o item anterior, calcule L {f (t )}. 1 3 1 3 R.: L 5 − e −3s − 2 − e −7s s 4s s 4s 10. Seja f (t ) = e −2 t sen 2 (t ) cos(t ), t > 0 . a) Determine F(s ) = L {f (t )} e identifique as singularidades de F(s ) . R.: F(s ) = 1 s+2 1 s+2 − 2 4 (s + 2 ) + 1 4 (S + 2 )2 + 9 Singularidades: − 2 ± i, − 2 ± 3i { } b) Represente geometricamente a região de convergência de F(s ) = L sen 2 (t ) cos(t ) . ∞ 11. Sabendo que cos(t ) = ∑ n =0 (− 1)n t 2 n (2n )! 1 , Γ(n + 1) = nΓ(n ) = n! e Γ = π , determine 2 sua respectiva região de convergência. 1 R.: π − 4s e , Re(s ) > 0 s 242 L cos( ) t e t ∞ 12. Sabendo que sen (t ) = ∑ n =0 (− 1)n t 2 n+1 , Γ(n + 1) = nΓ(n ) = n! e (2n + 1)! 1 Γ = π , determine 2 sua respectiva região de convergência. π R.: 2s 3 e − 1 4s , Re(s ) > 0 2 11s 3 − 47s 2 + 56s + 4 13. Calcule L −1 4 . 3 s − 4s + 16s − 16 ( ) R.: f (t ) = e 2 t 2t 2 − t + 5 + 6e −2 t s 3 + s 2 + 13s + 9 14. Determine L −1 4 . 3 2 s + 4s + 10s − 12s − 39 ( ) R.: f (t ) = cosh 3t − e −2 t sen (3t ) 15. Use as transformadas de Laplace para solucionar as seguintes equações: y " (t ) + y(t ) = 8 cos(t ) a) y(0 ) = 1 '( ) y 0 = −1 ' y (t ) = 1 − sen (t ) − b) y(0 ) = 0 ∫ ∂u ∂ 2u =2 2 ∂x ∂t c) u (0, t ) = 0 u (5, t ) = 0 u (x,0) = 10sen (4πx ) R.: U (x , s ) = C 1 e s x 2 R.: y(t ) = cos(t ) − sen (t ) + 4tsen (t ) t y(u )du R.: y(t ) = sen (t ) − o 0 < x < 5, t > 0 t>0 t>0 0<x<5 + C2e s x 2 − u (x, t ) = 10sen (4πx )e −32π 2 + 10 sen (4π x ) s + 32π 2 t 243 1 tsen (t ) 2 L {sen ( t )} e 16. Usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, determine a solução do seguinte problema de valor inicial: y " (t ) − y ' (t ) − 2 y (t ) = t e t y(0 ) = 1 '( ) y 0 = 2 R.: y(t ) = 4 2t 1 −t 1 t 1 t e − e − te − e 3 12 2 4 17. Empregando as transformadas de Laplace, determine a solução do seguinte problema de valor inicial: y " (t ) + 6 y ' (t ) − y(t ) = cosh (4t )e −3 t y(0 ) = 0 '( ) y 0 = 3 1 1 3 10 R.: y(t ) = e −3t cosh (4 t ) − cosh 10t + senh 10 t 6 10 6 ( ) ( ) 18. Usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, resolva o seguinte problema de valor inicial (PVI): y " (t ) + 4 y ' (t ) + 13y(t ) = 2 t + 3e − 2 t cos(3t ) y(0 ) = 0 '( ) y 0 = −1 R.: y(t ) = − 8 2 8 −2t 179 − 2 t 1 + t+ e cos(3t ) − e sen (3t ) + te − 2 t sen (3t ) 169 13 169 507 2 19. Empregando as transformadas de Laplace e suas propriedades, solucione a equação íntegrodiferencial 1 ' y (t ) + 4 y(t ) + 40 10 ∫ t y(u ) du = f (t ) , 0 sendo f (t ) a função representada graficamente abaixo e y(0 ) = 0 . 244 f(t) 10 t 10 R.: y(t ) = 100te −20 t + 100(t − 10 )e −20( t −10 ) u (t − 10) 20. Usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, determine a solução do problema de valor inicial y " (t ) + y ' (t ) − 2 y (t ) = f (t ) , sendo f (t ) a função representada graficamente abaixo. y(0 ) = 1 '( ) y 0 = 2 f(t) 4 t 2 8 1 4 2 R.: y(t ) = −2 + e t + e − 2 t + 2 u (t − 2) − e t − 2 u (t − 2 ) − e − 2( t − 2 ) u (t − 2) 3 3 3 3 21. Empregando as transformadas de Laplace e suas propriedades, determine a solução geral da equação diferencial ordinária com coeficientes variáveis t y " (t ) − (t + 2) y ' (t ) + 3y(t ) = t − 1 , sujeita à condição inicial y(0) = 0 . R.: y(t ) = Ct 3 + 1 t 2 22. Empregando as transformadas de Laplace e suas propriedades, solucione a equação íntegrodiferencial 245 y (t ) + " ∫ t y(u ) e 2( t − u )du = e t cosh (t ) , 0 sujeita às condições iniciais y(0 ) = 3 e y ' (0 ) = −3 . t t 5 5 R.: y(t ) = −1 + 4e 2 cosh t − 2 5e 2 senh t 2 2 23. Usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, solucione e equação diferencial parcial: u t (x, t ) = u xx (x , t ) − 4u (x , t ) u (x ,0 ) = 6sen (x ) − 4sen (2 x ) u (0, t ) = u (π , t ) = 0 0 < x < π, t > 0 0< x <π . t>0 R.: u (x, t ) = 6e −5 t sen (x ) − 4e −8 t sen (2 x ) 24. Empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades, solucione a equação diferencial parcial a seguir. u x (x , t ) − u t (x , t ) = 1 − e − t 0 < x < 1, t > 0 u (x , 0 ) = x 0 < x <1 R.: u (x, t ) = x + 1 − e − t 25. Um indutor de 3 henrys está em série com um resistor de 30 ohms e com uma f.e.m. dada por 150sen (20t ) . Supondo que em t = 0 a corrente é nula, use as transformadas de Laplace para determinar a corrente num tempo t > 0 qualquer. R.: i(t ) = sen (20 t ) − 2 cos(20 t ) + 2e −10 t 26. Um determinado sistema é regido pela equação diferencial y " (t ) + 8 y ' (t ) + 14 y(t ) = g(t ) , onde as condições iniciais são y(0 ) = 1 e y ' (0 ) = −4 . Empregando as transformadas de Laplace, determine a resposta y(t ) desse sistema quando o mesmo é excitado por um degrau de amplitude sete, ou seja, g (t ) = 7 u (t ) . R.: y(t ) = 1 1 −4t + e cosh 2 t − 2 2senh 2 t 2 2 [ ( ) ( )] 246 27. Uma partícula se move ao longo de uma linha de modo que seu afastamento x de um ponto fixo 0 em um tempo qualquer t seja dado por x " (t ) + 4 x ' (t ) + 5x (t ) = 80sen (5t ) . a) Se em t = 0 a partícula está em repouso em x = 0 , determine seu afastamento em um tempo qualquer t > 0 usando as transformadas de Laplace e suas propriedades. R.: x (t ) = 2e −2 t [cos(t ) + 7sen (t )] − 2[cos(5t ) + sen (5t )] b) Determine a amplitude, o período e a freqüência do movimento após um longo tempo. 2π 1 5 π R.: Período: P = Amplitude: 2 2 (quando t = Freqüência: ) = 5 P 2π 20 c) No resultado obtido no item (a), qual é o termo de regime transitório e qual é o termo de regime permanente? R.: Regime transitório: 2e −2 t [cos(t ) + 7sen (t )] Regime permanente: − 2[cos(5t ) + sen (5t )] 28. Em engenharia, um problema importante é determinar a deflexão estática de uma viga elástica causada por seu peso ou por uma carga externa. Essa deformação (deflexão) y(x ) é descrita pela equação diferencial ordinária de quarta ordem EI d4 y (x ) = W (x ) , dx 4 (1) onde E é o módulo de elasticidade de Young relacionado com o material da viga, I é o momento de inércia de uma secção transversal da viga (em relação a um eixo conhecido como eixo neutro ou linha neutra), o produto EI é a rigidez defletora da viga e W (x ) é a carga por unidade de comprimento. Uma viga engastada (fixa) em uma extremidade e solta na outra é chamada de cantiléver ou viga em balanço ou viga cantoneira. Um trampolim, um braço estendido, a asa de um avião e um arranha-céu são exemplos de tais vigas. Para uma viga de comprimento l em balanço engastada à esquerda, além de satisfazer (1), a deflexão y(x ) deve satisfazer as seguintes condições nas extremidades da viga (condições de contorno): • y(0) = 0 , pois não há deflexão no extremo esquerdo engastado; • y ' (0 ) = 0 , pois a curva de deflexão é tangente ao eixo x na extremidade esquerda; y " (l ) = 0 , pois o momento defletor (fletor) é nulo no extremo livre; • y "' (l ) = 0 , pois a força de espoliação (cisalhamento) é zero na extremidade livre. A força de • d3 espoliação é dada pela função F(x ) = EI 3 y(x ) . dx 247 Assim, mostre que a deflexão em uma viga cantoneira, engastada em x = 0 e livre em x = l e que suporta uma carga uniforme W0 por unidade de comprimento, é dada por y (x ) = W0 2 2 x x − 4lx + 6l 2 . 24EI ( ) 29. Em um circuito elétrico simples em série L-C-R (indutor-capacitor-resistor), a corrente i satisfaz a equação íntegro-diferencial di 1 L + Ri + dt C ∫ t i(τ )dτ = E(t ) , 0 onde L é a indutância, R é a resistência, C é a capacitância e E(t ) é a força eletromotriz (f.e.m). Para o mesmo circuito, a carga instantânea q (t ) no capacitor satisfaz a equação diferencial ordinária de segunda ordem L d2 d 1 q (t ) + R q (t ) + q (t ) = E (t ) . 2 dt dt C Dessa forma, use as transformadas de Laplace e suas propriedades para determinar a carga q (t ) no capacitor e a corrente i(t ) em um circuito em série L-C-R no qual 1 L = 1 henry , R = 20 ohms , C = 0,01 farad , q (0) = 0 , i(0 ) = 0 e E(t ) é dada pela Figura 18. Figura 74: Força eletromotriz – [17]. R.: E(t ) = 120t − 120(t − 1) u (t − 1) − 120 u (t − 1) q (t ) = 120 [ − 5001 + 1001 t + 5001 e + −10 t + 1 −10 t 1 1 u (t − 1) − (t − 1) u (t −1) + te − 100 125 100 1 −10( t −1) 9 u (t − 1) + (t − 1)e −10(t −1) u (t − 1) e 125 100 248 ] i (t ) = d q(t ) = 120 dt [ 1001 − 1001 e − −10 t − 1 −10 t 1 1 −10( t −1) te − u (t − 1) + e u (t −1) + 10 100 100 9 (t − 1)e −10(t −1) u (t − 1) 10 ] 30. Um resistor de R ohms e um capacitor de C farads são ligados em série com um gerador fornecendo E volts, como ilustra a Figura 19. Figura 75: Circuito em série R-C – [13]. a) Seja Q 0 a carga inicial no capacitor e E = E 0 sen (wt ) . Mostre, usando as transformadas de Laplace e suas propriedades, que a carga no capacitor em um tempo t > 0 qualquer é dada por t wE 0 - RC E 0 1 q (t ) = Q 0 + − w cos(wt ) − sen (wt ) , e aR aR RC 1 sendo a = w 2 + 2 2 . R C b) Determine a corrente i(t ) . t wE 0 - RC wE 0 1 R.: i(t ) = − − Q0 + e RC aR aR 1 w sen (wt ) + RC cos(wt ) 31. No circuito elétrico representado na figura abaixo 249 temos que E = 500sen (10 t ) , R 1 = 10 ohms , R 2 = 10 ohms , L = 1 henry e C = 0,01 farad . Empregando as transformadas de Laplace e suas propriedades, determine: 1. a carga no capacitor em um tempo t > 0 qualquer; R.: q (t ) = sen (10t ) − 2 cos(10t ) + e −10 t [sen (10t ) + 2 cos(10t )] 2. as correntes I1 e I 2 em um tempo t > 0 qualquer. R.: I1 (t ) = 30sen (10 t ) − 10 cos(10 t ) − 10e −10 t [2sen (10 t ) − cos(10 t )] I 2 (t ) = 10sen (10 t ) − 20 cos(10t ) + 10e −10 t [2 cos(10 t ) + sen (10t )] Sabemos que a carga no capacitor e as correntes I1 e I 2 são nulas em t = 0 . Esboce o gráfico simultâneo da carga e das correntes para t > 0 . q d E − C − L dt I − R 1 I1 = 0 Observação: Equacionamento: q − R I = 0 2 2 C 1 32. Prove que L {ln (t )} = Γ ' (1) − ln (s ) , onde Γ(n ) = s [ ] ∫ ∞ t n −1e − t dt é a função gama. 0 1 π 1 1 33. Prove que L {Si(t )} = − arctg(s ) = arctg , onde Si(t ) = s 2 s s ∫ t 0 sen (u ) du é a integral seno. u 34. Empregando a transformada de Laplace unilateral e suas propriedades, calcule a integral a seguir. ∫ ∞ ( ) sen x 2 dx 0 R.: 2π 4 Sugestão: Considere g (t ) = ∫ ∞ ( ) sen t x 2 dx e calcule a transformada de Laplace de g (t ) . 0 250 5. TRANSFORMADAS Z f(t) h(t) S Figura 76: “Ação” da transformada. f(t): sinal de entrada h(t): sinal de saída S: sistema que transforma o sinal de entrada no sinal de saída SINAIS a) Contínuos Funções de uma variável contínua. ∞ ∫ ∫ () ℑ{f (x )} = F(α ) = Transformada de Fourier f (x )e iα x dx −∞ ∞ Transformada de Laplace unilateral L {f (t )} = F(s ) = f t e −st dt 0 b) Discretos Funções de uma variável discreta – sequências. Transformada discreta de Fourier Transformada discreta de Laplace Transformada Z 251 (a) (b) Figura 77: (a) Função contínua: f (t ) = e − t , t ∈ [0,10] ; (b) Função discreta: f (n ) = e − n , n = 0,1,2,K ,10 . Um sinal discreto é descrito por uma sequência. {f n } = {K, f −2 , f −1 , f 0 , f1 , f 2 ,K} f n : n-ésimo termo da sequência 5.1 – Definição da transformada Z unilateral ∞ Z {f n } = F(z ) = ∑ f n z −n = f 0 + f1 z −1 + f 2 z −2 + f 3 z −3 + f 4 z −4 + K n =0 = f0 + f1 f 2 f 3 f 4 + + + +K z z 2 z3 z 4 (5.1.1) onde z = a + ib (ou z = x + iy ou z = α + jβ ) é um número complexo e f 0 , f1 , f 2 , f 3 ,K são os coeficientes da série, os quais representam os valores que o sinal assume nos diversos instantes discretos de tempo. Uma seqüência f n é complexo z. Z transformável se a série (5.1.1) é convergente para pelos menos um Outras notações empregadas na definição da transformada Z unilateral: ∞ Z [x (kT )] = X(z ) = ∑ x (kT )z − k = x (0) + x (T )z −1 + x (2T )z − 2 + x (3T )z −3 + K k =0 252 ∞ Z [x (n )] = X(z ) = ∑() x n z −n = x (0 ) + x (1)z −1 + x (2 )z −2 + x (3)z −3 + x (4)z −4 + K n =0 Exemplo 2, - 1, 1, Seja o sinal dado por x (n ) = - 2, 3, - 3, 0, n=0 n =1 n=2 n=3 . n=4 n=5 caso contrário ∞ Z [x (n )] = X(z ) = ∑() x n z −n = x (0 ) + x (1)z −1 + x (2 )z −2 + x (3)z −3 + x (4)z −4 + K n =0 = 2 - z −1 + z −2 − 2z −3 + 3z −4 − 3z −5 1 1 2 3 3 = 2- + 2 − 3 + 4 − 5 z z z z z 5.2 – Transformada Z unilateral de algumas sequências 5.2.1 – Versão discreta da função delta de Dirac 1, n = 0 1, n = 0 ou δ(n ) = fn = 0, n ≠ 0 0, n ≠ 0 Z {f n } =f 0= 1 Z {δ(n )} = δ(0) = 1 ou 5.2.2 – Sequência unitária ou passo discreto unitário f n= 1 ∀n ≥ 0 ∞ Z {f n } = Z {1} = ∑ 1 1 1 z −n = 1 + + 2 + 3 + K z z z n =0 A série (5.2.2.1) é uma série geométrica. Esta série converge se: 253 (5.2.2.1) 1 < 1 ⇒ z > 1 ⇒ x + iy = x 2 + y 2 > 1 ⇒ x 2 + y 2 > 1 z y=Im(z) x=Re(z) 1 Figura 78: z > 1 ⇒ x 2 + y 2 > 1 . ∞ Logo, Z {1} = ∑ 1 z −n = 1− n =0 1 z = z , z > 1. z −1 5.2.3 – Exponencial f n = e an , a constante e n ≥ 0 ∞ Z {e an }= ∑ n =0 ∞ an e z −n = ∑ n =0 ea z n e a e 2 a e 3a e 4 a = 1 + + 2 + 3 + 4 +K z z z z A série (5.2.3.1) é uma série geométrica. Esta série converge se: 2 ea < 1 ⇒ z > e a ⇒ x + iy = x 2 + y 2 > e a ⇒ x 2 + y 2 > e a . z 254 (5.2.3.1) y=Im(z) a |e | x=Re(z) 2 Figura 79: z > e a ⇒ x 2 + y 2 > e a . ∞ { }= Assim, Z e an ∑ n =0 ea z n 1 z = = , z > ea . a a e z−e 1− z 5.2.4 – Potência f n = a n , a constante e n ≥ 0 ∞ Z {a n }= ∑ n =0 ∞ n a z −n = ∑ n a a2 a3 a4 a = 1+ + 2 + 3 + 4 +K z z z z z n =0 A série (5.2.4.1) é uma série geométrica. Esta série converge se: a 2 < 1 ⇒ z > a ⇒ x + iy = x 2 + y 2 > a ⇒ x 2 + y 2 > a . z 255 (5.2.4.1) y=Im(z) x=Re(z) |a| 2 Figura 80: z > a ⇒ x 2 + y 2 > a . ∞ { }= Dessa forma, Z a n ∑ n =0 n 1 z a = ,z >a. = a z−a z 1− z Resumo F(z ) fn 1, n = 0 δ(n ) = 0, n ≠ 0 1 e an an 1 z , z >1 z −1 z , z > ea a z−e z ,z >a z−a Tabela 6: Algumas transformadas Z unilaterais. 5.3 – Séries de potências: definição, raio de convergência ∞ ∑ a (z − c) n n 2 3 4 = a 0 + a 1 (z − c ) + a 2 (z − c ) + a 3 (z − c ) + a 4 (z − c ) + K n =0 z: variável complexa a 0 , a 1 , a 2 ,K : coeficientes da série c: centro da série (número complexo) 256 raio de convergência da série (0 ≤ R ≤ ∞ ) R: R = lim n →∞ an a n +1 1 ou R = lim n →∞ an 1 n Convergência da série de potências de (z-c) (Teorema de Cauchy-Hadamard) 1. R = 0 A série converge somente para z = c . 2. 0 < R < ∞ A série converge absolutamente para todo z ∈ z − c < R e diverge para todo z ∈ z − c > R . z = x + iy c + a + ib z − c = x + iy − (a + ib ) = (x − a ) + i(y − b ) = (x − a )2 + ( y − b ) 2 3. R = ∞ A série converge absolutamente para todo z. Exemplo zn z2 z3 z4 z5 = z + + + + +K ∑ 2 3 4 5 n =1 n ∞ R = lim n →∞ an a n +1 1 = lim n →∞ 1 n (n + 1) (5.3.1) n +1 1 = lim1 + = 1 n →∞ n n →∞ n = lim A série converge em z < 1 e diverge em z > 1 . z = 1 : testar a convergência absoluta ∞ ∑ n =1 n ∞ z ∞ zn 1 1 1 1 1 =∑ = ∑ = 1+ + + + +K n 2 3 4 5 n =1 n n =1 n A série (5.3.2) é a série harmônica, uma série divergente. Logo, podemos afirmar que a série (5.3.1) converge em z < 1 ⇒ x 2 + y 2 < 1 . 257 (5.3.2) y=Im(z) x=Re(z) 1 Figura 81: z < 1 ⇒ x 2 + y 2 < 1 . 5.4 – Existência e domínio de definição da transformada Z unilateral ∞ Z {f n } = F(z ) = ∑ ∞ fnz −n = ∑ n =0 n 1 fn = z ∞ ∑ n =0 n =0 1 1 <R⇒ z > z R A série converge em z > A série diverge em z < 1 . R 1 . R Exemplo f n = a n , a constante e n ≥ 0 R = lim n →∞ an a n +1 = lim n →∞ Convergência: z > an a n +1 = lim a −1 = lim a n →∞ n →∞ −1 = 1 ⇒z >a R 258 1 a 1 f n − 0 z n Teorema 1 ∞ Seja a série F(z ) = ∑ f n z − n , convergente em todo ponto z o ≠ 0 . Então, a série converge n =0 absolutamente em z > z o e converge uniformemente em toda região z o < R ' ≤ z . Definição Uma sequência é do tipo exponencial se existem M > 0 , s 0 ≥ 0 e n 0 ≥ 0 tais que f n < Me s0 n para todo n ≥ n 0 . Teorema 2 Toda sequência do tipo exponencial é Z transformável. Teorema 3 Para que uma sequência exponencial. {f n } seja Z transformável é necessário que ela seja do tipo Teorema 4 1 , então F(z ) é uma função analítica (ou regular R n =0 ou holomorfa) nessa região e é a única transformada da sequência {f n } . ∞ Se a série F(z ) = ∑ f n z − n converge em z > Teorema 5 Seja F(z ) uma função analítica na região z > 1 . Então existe uma seqüência {f n } para a qual R Z {f n } = F(z ) . Demonstrações: VICH, R. Z transform theory and applications. Dordrecht: SNTL – Publishers of Technical Literature. Funções analíticas Se a derivada f ' (z ) existe em todos os pontos z de uma região R ' do plano complexo, então f (z ) é dita analítica (ou regular ou holomorfa) em R ' . Uma função f (z ) é dita inteira quando for analítica em C . 259 Uma função f (z ) é analítica em um ponto z o se existir δ > 0 tal que f ' (z ) exista para todo z em z − z 0 < δ . Equações de Cauchy-Riemann Uma condição necessária para que w = f (z ) = u (x , y ) + i v(x, y ) seja analítica em uma região R do plano complexo é que u e v satisfaçam em R ' as equações de Cauchy-Riemann: ' ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x (5.4.1) Se as derivadas parciais de f (z ) são contínuas em R ' , então as equações de Cauchy-Riemann (5.4.1) são condições necessárias e suficientes para garantir a analiticidade de f (z ) em R ' . Demonstração: SPIEGEL, Murray R. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw-Hill. Problema 5, página 107. 5.5 – Propriedades da transformada Z unilateral 5.5.1 – Linearidade Teorema: Sejam c i , i = 0,1,2,K, l , números complexos dados. Se as transformadas Z {f i,n } = Fi (z ) existem, com raio de convergência R i > 0 para i = 0,1,2,K, l ( l finito), então também existe a transformada Z l ∑ i =0 c i f i,n = l ∑ c i Fi (z ) . i =0 Exemplos 1o) Z {sen (βn )}, onde β é uma constante (real puro). Lembrar que sen (z ) = Z {sen (βn )} = Z e iβ n e iz − e −iz z e Z {e an } = , z > ea . a 2i z−e − e − iβ n 2i 1 z z = − iβ 2i z − e z − e −iβ 260 1 2i 1 = 2i = z(z − e −iβ ) − z(z − e iβ ) z 2 − ze −iβ − ze iβ + 1 z 2 − ze −iβ − z 2 + ze iβ z 2 − z(e iβ + e −iβ ) + 1 1 z(e iβ − e −iβ ) 2i z 2 − 2z cos(β) + 1 1 2izsen (β) = 2 2i z − 2z cos(β) + 1 zsen (β) = 2 z − 2z cos(β) + 1 = f n = sen (βn ) é Z transformável para z > e iβ = cos(β) + i sen (β) = cos 2 (β) + sen 2 (β) = 1 . F(z ) = Z {sen (βn )}é analítica em todo plano complexo, exceto em z = e iβ e z = e −iβ . 2o) Z {cos(βn )}, onde β é uma constante (real puro). Lembrar que cos(z ) = Z {cos(βn )} = Z e iβ n e iz + e −iz z e Z {e an } = , z > ea . a 2 z−e + e − iβ n 2 1 z z = + iβ 2 z − e z − e −iβ 1 z(z − e −iβ ) + z(z − e iβ ) 2 z 2 − ze −iβ − ze iβ + 1 1 z 2 − ze −iβ + z 2 − ze iβ = 2 z 2 − z(e iβ + e −iβ ) + 1 = = 1 2z 2 − z(e iβ + e −iβ ) 2 z 2 − 2z cos(β ) + 1 1 2z 2 − 2z cos(β ) 2 z 2 − 2z cos(β) + 1 1 2z[z − cos(β)] = 2 z 2 − 2z cos(β) + 1 z[z − cos(β)] = 2 z − 2z cos(β ) + 1 = 261 f n = cos(β n ) é Z transformável para z > e iβ = cos(β) + i sen (β) = cos 2 (β) + sen 2 (β) = 1 . F(z ) = Z {cos(βn )}é analítica em todo plano complexo, exceto em z = e iβ e z = e −iβ . 3o) Z {senh (βn )}, onde β é uma constante (real puro). Lembrar que senh (z ) = Z {senh (βn )} = Z e βn e z − e −z z e Z {e an } = , z > ea . a 2 z−e − e − βn 2 1 z z = − β 2 z − e z − e −β 1 z(z − e −β ) − z(z − eβ ) 2 z 2 − ze −β − zeβ + 1 1 z 2 − ze −β − z 2 + zeβ = 2 z 2 − z(eβ + e −β ) + 1 = 1 z(eβ − e −β ) 2 z 2 − 2z cosh (β) + 1 1 2zsenh (β ) = 2 2 z − 2z cos(β) + 1 zsenh(β) = 2 z − 2z cosh (β ) + 1 = f n = senh (βn ) Z é transformável para todo z > max (e β , e −β ) . F(z ) = Z {senh (βn )}é analítica em todo plano complexo, exceto em z = e β e z = e −β . 4o) Z {cosh(βn )} , onde β é uma constante (real puro). Lembrar que cosh (z ) = e z + e −z z e Z {e an } = , z > ea . 2 z − ea eβn + e −βn Z {cosh(βn )} = Z 2 262 = 1 z z + β 2 z − e z − e −β 1 z(z − e −β ) + z(z − eβ ) 2 z 2 − ze −β − zeβ + 1 1 z 2 − ze −β + z 2 − zeβ = 2 z 2 − z(eβ + e −β ) + 1 = = 1 2z 2 − z(e β + e −β ) 2 z 2 − 2z cosh (β ) + 1 1 2z 2 − 2z cosh (β) 2 z 2 − 2z cosh (β ) + 1 1 2z[z − cosh (β)] = 2 z 2 − 2z cosh (β ) + 1 z[z − cosh (β)] = 2 z − 2z cosh (β ) + 1 = f n = cosh (β n ) Z é transformável para todo z > max (e β , e −β ) . F(z ) = Z {cosh (βn )} é analítica em todo plano complexo, exceto em z = e β e z = e −β . Resumo F(z ) fn 1, n = 0 δ(n ) = 0, n ≠ 0 1 e an an sen (βn ) cos(β n ) senh(βn ) cosh (βn ) 1 z , z >1 z −1 z , z > ea a z−e z ,z >a z−a z sen (β) , z >1 2 z − 2z cos(β) + 1 z[z − cos(β)] , z >1 2 z − 2z cos(β) + 1 zsenh (β) , z > max e β , e −β 2 z − 2z cosh (β ) + 1 z[z − cosh (β)] , z > max (e β , e −β ) 2 z − 2z cosh (β) + 1 ( ) Tabela 7: Transformada Z unilateral de algumas funções discretas elementares. 263 5.5.2 – Translação (ou deslocamento) Teorema: Seja k um inteiro positivo. Se a transformada Z {f n } = F(z ) existe para z > Z {f n +k } e Z {f n −k } (esta para também existem as transformadas Z {f n + k } = z F(z ) − k k −1 ∑ n =0 f n z −n e n ≥ k ). Para z > Z {f n −k } = z −k F(z ) = F(kz ) . z Prova ∞ ∑ 1. Considerando F(z ) = fnz = ∑ n =0 ∑ f n ' + k z −n − k + ∑ f n z −n e n = n ' + k : n =0 f n z −n n =0 k −1 ∞ F(z ) = z + n =k ∑ ' n ' + k =k −k fnz −n k −1 ∞ F(z ) = k −1 ∞ −n ∑ f n' +k z −n ' + n ' =0 ∑ f n z −n n =0 k −1 F(z ) = z Z {f n + k } + −k ∑ f n z −n n =0 k Z {f n + k } = z F(z ) − k −1 ∑ n =0 fnz −n ∞ 2. Considerando F(z ) = ∑ fnz n =0 ∑ ∑ f n −k z ( − n ' −k ' )− n' −k=−k ∞ F(z ) = z k = ∑ fnz −n n =− k ∑ ∑ f n z −n n =−k −1 f n ' −k z −n ' n ' =0 − − ∑ n =− k −1 ∞ F(z ) = −1 ∞ −n f n z −n n=−k Como f n = 0 ∀n < 0 : 264 f n z −n e n = n ' − k : 1 , então R 1 temos que R F(z ) = z k Z {f n −k } Z {f n −k } = F(kz ) z Exemplo Z {e α n } = z z − eα Z {e α (n + 2 ) } = z 2 z α − z − e 1 ∑ n =0 f z f n z −n = z 2 − f0 − 1 α z z − e ( ) ( 2 α z eα − eα z − eα 2 z −z z−e = z2 − 1 − = z α z z z − eα z − e z 2 − z 2 + ze α − ze α + e 2α =z z − eα e 2α z = z − eα Z {e α (n −2 ) } = z −2 z 1 = α z−e z z − eα ( ( ) ) ) 5.5.3 – Similaridade Teorema: Se a transformada 1 e se λ ≠ 0 é uma constante R λ também existe e, para z > , temos que R Z {f n } = F(z ) { } complexa, então a transformada Z λn f n existe para z > Z {λn f n } = F z . λ Prova ∞ Z {λ f n } = n ∑ n =0 ∞ n λ fnz −n = ∑ n =0 n λ fn = z ∞ ∑ n =0 265 z fn λ −n z = F λ Exemplo z sen (β) ze α sen (β) eα = e α n sen (β n ) = 2 z 2 − 2e α z cos(β) + e 2α z z α − 2 α cos(β) + 1 e e Z{ } 5.5.4 – Convolução n {f n }∗ {g n } = {f n ∗ g n } = ∑ n f k g n −k = ∑ k =0 k =0 Teorema: Se as transformadas z > f n −k g k Z {f n } = F(z ) e Z {g n } = G(z ) existem, respectivamente, para 1 1 1 1 e z > , então a transformada Z {f n ∗ g n } também existe e, para z > max , temos R1 R2 R1 R 2 que Z {f n ∗ g n } = F(z )G(z ) . Prova ∞ F(z )G (z ) = ∞ ∑ ∑ fnz −n n =0 g n z −n n =0 Empregando a fórmula de Cauchy para o produto de séries absolutamente convergentes, temos que: ∞ F(z )G (z ) = n ∑∑ n =0 k =0 f n −k g k z −n = ∞ ∑( f n ∗ g n )z −n n =0 Exemplo F(z ) = z2 z z = ⋅ = α1 α2 α1 α2 z−e z−e z −2e3 1 z −2e3 1 ( )( ) F1 ( z ) F1 (z )F2 (z ) = Z n ∑ k =0 e α1k e α 2 (n − k ) Z {e α n }Z {eα n } 1 2 F2 ( z ) α 2n Z = e n ∑ k =0 266 e α1k e −α 2k n {f n } = e α2n ∑ e α1k e −α 2k k =0 5.5.5 – Diferenciação da transformada de uma sequência Teorema: Se a transformada também existe e, para z > Z {n f n } = −z Z {f n } = F(z ) existe para z > 1 , então a transformada R Z {n f n } 1 , temos que R d F(z ) . dz Prova Como a série que define a transformada Z converge uniformemente na região pode ser diferenciada termo a termo. Assim: ∞ ∑ ∑ d d F(z ) = dz dz ∞ fnz −n n =0 ∞ d F(z ) = − dz = ∑ ∑ ( ) n =0 z −n 1 nf =− z z n n =0 ∞ ∑ d f n z −n = − dz n =0 ∞ n f n z −n n =0 d 1 F(z ) = − Z {n f n } dz z Z {n f n } = −z d F(z ) dz Exemplos 1. Z {n} = Z {n.1} = −z R = lim n →∞ z > an a n +1 d z z −1− z z = −z = 2 dz z − 1 (z − 1) (z − 1)2 n =1 n →∞ n + 1 = lim 1 ⇒ z >1 R 267 n f n z − n −1 1 < R ' ≤ z , ela R d z (z − 1)2 − z.2(z − 1) = − z dz (z − 1)2 (z − 1)4 { } 2. Z n 2 = Z {n.n} = −z (z − 1)(z − 1 − 2z ) (z − 1)4 z(z + 1) = (z − 1)3 = −z R = lim n →∞ z > an a n +1 = lim n →∞ n2 (n + 1)2 =1 1 ⇒ z >1 R { } { } 3. Z n 3 = Z n.n 2 = −z d z(z + 1) d z2 + z = − z dz (z − 1)3 dz (z − 1)3 3 2 ( 2z + 1)(z − 1) − (z 2 + z )3(z − 1) = −z (z − 1)6 2 ( z − 1) [(2z + 1)(z − 1) − 3z(z + 1)] = −z (z − 1)6 = −z = -z = R = lim n →∞ z > an a n +1 2z 2 − z − 1 − 3z 2 − 3z (z − 1)4 − z 2 − 4z − 1 (z − 1)4 ( ) z z 2 + 4z + 1 (z − 1) = lim n →∞ n3 (n + 1)3 4 =1 1 ⇒ z >1 R 4. Generalizando: Z {n k −1 } = N k (z ) (z − 1)k , k = 1,2,3,K , z > 1 N k (z ) é um polinômio de variável complexa. 268 Exercício Calcule Z {n sen (βn )}. R.: ( sen (β ) z 3 − z [z 2 ) ] 2 − 2z cos(β) + 1 5.5.6 – Integração da transformada de uma sequência Teorema: Seja f 0 = 0 . Se a transformada Z {f n } = F(z ) existe para z > 1 , então a R 1 f transformada Z n também existe e, para z > , temos que R n Z f n = n ∫ ∞ F(u ) du . u z Prova ∞ F(u ) = ∑ f n u −n , u > n =0 1 R (5.5.6.1) Multiplicando (5.5.6.1) por u −1 e integrando de z a z 0 , obtemos: ∫ ∫ ∫ z0 u F(u )du = z z ∞ z0 u F(u )du = −1 z n =0 z0 F(u ) du = u z ∫ z0 z ∞ ∫ ∑ ∑∫ ∑ z0 −1 ∞ n =0 F(u ) du = u ∞ z0 z f n u − n −1du z0 u −n − f n n z ∑ n =0 n =0 f n u −n −1 du fn −n −n − n z 0 − z ( ) (5.5.6.2) Considerando z 0 → ∞ em (5.5.6.2), temos que: ∫ z ∞ F(u ) du = u ∞ ∑ f n −n z n n =0 269 ∫ ∞ z F(u ) f du = Z n , f 0 = 0 u n Exemplo {f n } = {(− 1)n −1 }, n ≥ 1, f 0 = 0 ∞ Z {(− 1)n −1 } = ∑( − 1) n −1 z −n 1 1 1 1 = − 2 + 3 − 4 +K = z z z z n =0 − 1 1 z = 1 z +1 1− − z 1 <1⇒ z >1 z (− 1)n −1 Z = n ∫ z ∞ du = lim u (u + 1) z 0 →∞ ∫ z z0 z0 u du = lim ln z → ∞ u (u + 1) 0 u + 1 z z z = lim ln 0 − ln z 0 →∞ z + 1 z0 + 1 1 z = lim ln − ln z 0 →∞ 1+ 1 z + 1 z0 z z +1 1 = − ln = ln = ln1 + z +1 z z 5.5.7 – Valor inicial Teorema: Se a transformada Z {f n } = F(z ) existe para z > lim F(z ) = f 0 . z →∞ Prova ∞ F(z ) = ∑ f n z −n = f 0 + n =0 f1 f 2 f 3 + + +K z z2 z3 lim F(z ) = f 0 z →∞ 270 1 , então R Exemplos (1 − z ) 1. F(z ) = −1 2 1 − 0,5z −1 2. F(z ) = (z − 1)2 lim F(z ) = 1 ⇒ f 0 = 1 z →∞ lim F(z ) = ∞ ⇒ F(z) não é a transformada Z de uma sequência {f n } z − 0,5 z →∞ 5.5.8 – Valor final Teorema: Seja Z {f n } = F(z ) para z > 1 . Se lim f n existe, então lim(z − 1)F(z ) também existe n →∞ z →1 R e temos que lim(z − 1)F(z ) = lim f n . z →1 n →∞ Prova ∞ Z {f n } = ∑ f n z −n n =0 Z {f n +1 } = z F(z ) − 0 ∑ n =0 f n z = zF(z ) − z f 0 −n ∞ Z {f n +1 − f n } = ∑( f n +1 − f n )z − n = zF(z ) − z f 0 − F(z ) = (z − 1)F(z ) − z f 0 n =0 Considerando o limite de (5.5.8.1) quando z → 1 : ∞ lim z →1 ∑( f n +1 − f n )z −n = lim(z − 1)F(z ) − lim z f 0 z →1 z →1 n =0 ∞ ∑( f n +1 − f n ) = lim(z − 1)F(z ) − f 0 z →1 n =0 (f1 − f 0 ) + (f 2 − f1 ) + (f 3 − f 2 ) + K = lim (z − 1)F(z ) − f 0 z →1 lim f n = lim(z − 1)F(z ) n →∞ z →1 271 (5.5.8.1) 5.6 – Resumo: Transformada Z unilateral das funções discretas elementares F(z ) fn 1, n = 0 δ(n ) = 0, n ≠ 0 1 e an an sen (βn ) cos(β n ) senh(βn ) cosh (βn ) n n2 1 z , z >1 z −1 z , z > ea a z−e z ,z >a z−a z sen (β) , z >1 2 z − 2z cos(β) + 1 z[z − cos(β)] , z >1 2 z − 2z cos(β) + 1 zsenh (β) , z > max e β , e −β 2 z − 2z cosh (β ) + 1 z[z − cosh (β)] , z > max e β , e −β 2 z − 2z cosh (β) + 1 z , z >1 (z − 1)2 z(z + 1) , z >1 (z − 1)3 ( n3 ( ) ( ) ), z > 1 z z 2 + 4z + 1 (z − 1) 4 Tabela 8: Transformada Z unilateral das funções discretas elementares. 5.7 – Transformada Z unilateral inversa ∞ Z {f n } = F(z ) = ∑ f n z −n n =0 Z −1 {F(z )} = {f n } = 1 2π i 272 ∫ C F(z )z n −1dz 5.8 – Métodos para determinar a transformada Z unilateral inversa 5.8.1 – Uso da transformada Z unilateral e de suas propriedades Exemplos 1o) F(z ) = 3 + 2z −1 + 6z −4 = 3 + 2 6 + z z4 Zeros: raízes de 3z 4 + 2z 3 + 6 = 0 Singularidade: z = 0 (polo de ordem 4) Z −1 {F(z )} = 3 Z −1 {1} + 2 Z −1 1 + 6 Z −1 14 z Pela propriedade de translação (5.8.1.1) z Z {f n −k } = F(kz ) , k ∈ Z + , Z {f n −1 } = F(z ) z z e Z {f n −4 } = F(z4 ) . z 1, n = 0 , Z {δ(n )} = 1 e Z −1 {1} = δ(n ) , obtemos em (5.8.1.1): Lembrando que δ (n ) = 0, n ≠ 0 {f n } = Z −1{F(z )} = 3δ(n ) + 2δ(n − 1) + 6δ(n − 4), n ≥ 0 1, n = 1 1, n = 4 Como δ (n − 1) = e δ (n − 4 ) = , temos que {f n } = {3,2,0,0,6,0,0,0,K}. 0, n ≠ 1 0, n ≠ 4 2o) F(z ) = 2 − 3z z−4 Zeros: z = −8 Singularidade: z = 4 (polo de ordem 1) z z − 4 Z −1 {F(z )} = 2 Z −1 {1} − 3 Z −1 (5.8.1.2) Lembrando que Z a n = z , obtemos em (5.8.1.2): z−a {f n } = 2δ (n ) − 3.4 n , n ≥ 0 ⇒ {f n } = {− 1,−12,−48,−192,−768,K} { } 273 5.8.2 – Decomposição em frações parciais Exemplos z −1 (z + 1)(z − 0,5) Zeros: z = 1 1o) F(z ) = Singularidades: z = −1, z = 0,5 (polos de ordem 1) z −1 A B = + (z + 1)(z − 0,5) z + 1 z − 0,5 z − 1 = A(z − 0,5) + B(z + 1) z − 1 = (A + B) z + (− 0,5A + B) A+B= 1 4 1 ⇒A= e B= 3 3 − 0,5A + B = −1 F(z ) = z −1 4 1 1 1 = − (z + 1)(z − 0,5) 3 z + 1 3 z − 0,5 1 1 −1 1 4 −1 1 z 1 −1 1 z − Z = Z − Z z + 1 3 z z + 1 3 z z − 0,5 z − 0,5 3 {f n } = Z −1 {F(z )} = 4 Z −1 3 Lembrando que Z {f n − k } = F(z ) , podemos escrever (5.8.2.1) como: zk {f n } = 4 (− 1)n −1 − 1 (0,5)n −1 , 3 3 Como f 0 = lim F(z ) = lim z →∞ z →∞ n ≥1 z −1 = 0 , temos que (z + 1)(z − 0,5) 0, n = 0 3 5 11 21 {f n } = 4 n −1 1 ⇒ {f n } = 0,1,− , ,− , ,K n −1 2 4 8 16 3 (− 1) − 3 (0,5) , n ≥ 1 2o) F(z ) = z(z − 1) (z + 1)(z − 0,5) Zeros: z = 0, z = 1 Singularidades: z = −1, z = 0,5 (polos de ordem 1) 274 (5.8.2.1) F(z ) z −1 A B 4 1 = = + ⇒A= e B=z (z + 1)(z − 0,5) z + 1 z − 0,5 3 3 F(z ) 4 1 1 1 = − z 3 z + 1 3 z − 0,5 F(z ) = 4 z 1 z − 3 z + 1 3 z − 0,5 z 1 −1 z − Z z + 1 3 z − 0,5 Z −1 {F(z )} = 4 Z −1 3 (5.8.2.2) Lembrando que Z a n = z , reescrevemos (5.8.2.2) como: z−a {f n } = 4 (− 1)n − 1 (0,5)n , 3 5 11 21 n ≥ 0 ⇒ {f n } = 1,− , ,− , ,K 2 4 8 16 { } 3 3 z(z − 1) = 1. z → ∞ (z + 1)(z − 0,5) Observe que n = 0 ⇒ f 0 = 1 e que f 0 = lim F(z ) = lim z →∞ 3o) F(z ) = 2z 2 − 7 z + 7 2z 2 − 7 z + 7 = z 3 − 4z 2 + 5z − 2 (z − 1)2 (z − 2 ) Zeros: z = 7 7 ± i 4 4 Singularidades: z = 1 (polo de ordem 2), z = 2 (polo de ordem 1) 2z 2 − 7 z + 7 2 = A 2 + B C + z −1 z − 2 (z − 1) (z − 2) (z − 1) 2 2z 2 − 7 z + 7 = A(z − 2) + B(z − 1)(z − 2 ) + C(z − 1) 2z 2 − 7 z + 7 = A(z − 2) + B(z 2 − 3z + 2 ) + C(z 2 − 2z + 1) 2z 2 − 7 z + 7 = (B + C ) z 2 + (A − 3B − 2C ) z + (− 2A + 2B + C ) B+ C = 2 A − 3B − 2C = −7 − 2A + 2B + C = 7 (5.8.2.3) 275 lim z →1 2z 2 − 7 z + 7 2 (z − 1) (z − 2) (z − 1)2 = lim z →1 A (z − 1) 2 (z − 1)2 + lim z →1 B C 2 (z − 1)2 + lim ( z − 1) z →1 z − 2 z −1 2−7+7 = A + 0 + 0 ⇒ A = −2 −1 lim z→2 2z 2 − 7 z + 7 2 (z − 1) (z − 2) (z − 2) = lim z→2 A (z − 1) 2 (z − 2) + lim z →2 B C (z − 2) + lim (z − 2) z → 2 z −1 z−2 8 − 14 + 7 = 0+0+C ⇒ C =1 1 (5.8.2.4) (5.8.2.5) Usando os valores obtidos em (5.8.2.4) e (5.8.2.5) em uma das equações de (5.8.2.3), temos que: A − 3B − 2C = −7 ⇒ −2 − 3B − 2(1) = −7 ⇒ −3B = −3 ⇒ B = 1 Assim: F(z ) = 2z 2 − 7 z + 7 2 = A (z − 1) (z − 2) (z − 1) 2 + B C 2 1 1 + =− + + 2 z −1 z − 2 (z − 1) z − 1 z − 2 −1 1 −1 1 +Z +Z z − 1 z − 2 (z − 1) 1 {f n } = Z −1 {F(z )} = −2 Z −1 2 1 z z 1 z −1 1 + Z −1 = −2 Z −1 +Z 2 z z − 2 z z − 1 z (z − 1) Lembrando que Z {n} = z , (z − 1)2 Z {f n −k } = F(kz ) z e Z {a n } = z , podemos reescrever (5.8.2.6) z−a como: {f n } = −2(n − 1) + (1)n −1 + (2)n −1 n −1 = -2n + 2 + 1 + (2 ) n −1 = 3 - 2n + (2) , n ≥ 1 2 1 1 Como f 0 = lim F(z ) = lim − + + = 0 , temos que: 2 z →∞ z →∞ z −1 z − 2 (z − 1) {f n } = 3 − 2n + (2 ) 0, n = 0 n −1 , n ≥1 ⇒ {f n } = {0,2,1,1,3,9,23,K} 276 (5.8.2.6) 5.8.3 – Expansão em série de potências Exemplos 1o) F(z ) = 10z 10z 10z −1 = 2 = (z − 1)(z − 2) z − 3z + 2 1 − 3z −1 + 2z − 2 Zeros: z = 0 Singularidades: z = 1, z = 2 (polos de ordem 1) 10z-1 1-3z-1+2z-2 -10z-1+30z-2-20z-3 10z-1+30z-2+70z-3+150z-4+310z-5+... 30z-2-20z-3 -30z-2+90z-3 - 60z-4 70z-3 - 60z-4 -70z-3+210z-4-140z-5 150z-4-140z-5 -150z-4+450z-5-300z-6 310z-5-300z-6 -310z-5+930z-6-620z-7 630z-6-620z-7 F(z ) = 10z −1 + 30z −2 + 70z −3 + 150z −4 + 310z −5 + K ∞ Como F(z ) = ∑ f n z −n = f 0 + f1 z −1 + f 2 z − 2 + f 3 z −3 + f 4 z − 4 + f 5 z −5 + K , temos que: n =0 Z −1 {F(z )} = {f n } = {0,10,30,70,150,310,K} {f n } = 10.2 n − 10 = 10(2 n − 1), n≥0 *********************************************************************************** Observações: 1a) O método pode não conduzir a uma expressão fechada para f n ; 2a) O método pode ser vantajoso quando F(z ) não é uma razão de polinômios de z. 1 2o) F(z ) = e z = e z 2 −2 277 ∞ z e = ∑ zn n! n =0 ∞ e z−2 = ∑ (z ) −2 n = 1 + z −2 + n! n =0 z − 4 z −6 z −8 z −10 + + + +K 2! 3! 4! 5! ∞ Como F(z ) = ∑ f n z −n = f 0 + f1 z −1 + f 2 z − 2 + f 3 z −3 + f 4 z − 4 + f 5 z −5 + K e n =0 {f n } = Z −1 {e z −2 }, temos que 0, n > 0 e n é ímpar 1 1 1 1 {f n } = 1 ⇒ {f n } = 1,0,1,0, ,0, ,0, ,0, ,0,K 2 6 24 120 (n 2)! , caso contrário ou n ( − 1) + 1 {f n } = , ( ) 2n ! 2 n ≥ 0. Algumas séries de potências ∞ ez = ∑ n z n! R = lim n →∞ n =0 ∞ sen (z ) = ∑ n =0 ∞ cos(z ) = ∑ n =0 ∞ senh (z ) = a n +1 (− 1)n z 2n +1 , R = ∞ (2n + 1)! (− 1)n z 2n , R = ∞ (2n )! ∑ n =0 an 1 (n + 1)! = lim(n + 1) = ∞ n! = lim = lim n →∞ n →∞ n →∞ n! 1 (n + 1)! z 2 n +1 ,R = ∞ (2n + 1)! 278 ∞ cosh (z ) = ∑ n =0 z 2n ,R =∞ (2n )! Exercício Usando séries, mostre que e ± iθ = cos(θ) ± i sen (θ) . 5.8.4 – Estratégia geral de inversão Aplica-se o teorema integral de Cauchy para determinar os coeficientes da expansão em série de Laurent. f n = Z −1{F(z )} = 1 2π i ∫ F(z ) z n −1dz, n = 0,1,2,3,K (5.8.4.1) C f n = 0, n < 0 C : z = ρ e iϕ , ρ > 1 , 0 ≤ ϕ ≤ 2π R Se F(z ) é uma função racional, o teorema dos resíduos pode ser aplicado com vantagens no cálculo da integral (5.8.4.1). Exercícios { } { } 01. Seja {f n } = a n −1 , f 0 = 0 . Mostre que Z a n −1 = 1 , z >a. z−a 02. Determine a transformada Z dos seguintes sinais discretos: 1 nπ a) x (n ) = sen 2 2 1 −1 z R.: X(z ) = 2 1 1 + z −2 4 b) x (n ) = δ (n − 4 ) − n u (n ), onde u (n ) = 1 ∀n ≥ 0 R.: X(z ) = z − 4 − n 03. Calcule a transformada Z unilateral inversa de X(z ) = 279 z (z − 1)2 6 . 1 −1 1 −1 1 + z 1 + z 4 2 n n 1 1 R.: x (n ) = −6 − + 12 − , n ≥ 0 4 2 5.9 – Transformada Z bilateral 5.9.1 - Série de Laurent ∞ ∑ c −3 n c n (z − c ) = K + n = −∞ 3 (z − c) + c −2 (z − c ) 2 + c −1 + z−c (5.9.1.1) 2 3 + c 0 + c1 (z − c ) + c 2 (z − c ) + c 3 (z − c ) + K K+ c −3 c−2 c + + −1 : 3 2 (z − c ) (z − c) z − c 2 parte principal 3 c 0 + c1 (z − c ) + c 2 (z − c ) + c3 (z − c ) + K : parte analítica Se a parte principal de (5.9.1.1) é nula, a série de Laurent se reduz à série de Taylor. 5.8.1.1 - Singularidades Um ponto z 0 é uma singularidade de uma função f (z ) se f (z ) não é analítica em z 0 , enquanto toda vizinhança de z 0 contém pelo menos um ponto no qual f (z ) é analítica. Vizinhança Denomina-se δ vizinhança de um ponto z 0 ao conjunto de todos os pontos z do plano complexo tais que z − z 0 < δ , com δ>0. Notação: N(z 0 , δ ) é o disco de raio δ centrado em z 0 . Existem dois tipos de singularidades: singularidades não isoladas e singularidades isoladas. Um ponto z 0 é uma singularidade não isolada de uma função f (z ) se e somente se z 0 é uma singularidade de f (z ) e toda vizinhança de z 0 contém pelo menos uma singularidade de f (z ) que não seja z 0 . Um ponto z 0 é uma singularidade isolada de uma função f (z ) se e somente se f (z ) é analítica ( ) em uma δ-vizinhança perfurada 0 < z − z 0 < δ ou N ∗ (z 0 , δ ) de z 0 . Se z 0 é uma singularidade isolada de uma função f (z ) , então f (z ) é analítica no anel 0 < z − z 0 < δ e, portanto, pode ser expandida em série de Laurent. 280 As singularidades isoladas podem ser de três tipos: 1. Singularidades removíveis Um ponto z0 é uma singularidade removível de f (z ) se a parte principal de ∞ f (z ) = ∑ n c n (z − z 0 ) é nula, ou seja, a expansão em série de Laurent de f (z ) tem apenas parte n = −∞ analítica. Exemplo f (z ) = sen (z ) z2 z4 z6 = 1− + − +K z 3! 5! 7! z = 0 é uma singularidade removível de f (z ) lim z →0 sen (z ) = 1 ⇒ f (0 ) = 1 z 2. Polos ∞ Um ponto z 0 é um polo de f (z ) se a parte principal de f (z ) = ∑ n c n (z − z 0 ) tem um número n = −∞ finito de potências negativas de (z − z 0 ) , com coeficientes não nulos. Assim ∞ ∑ c −N n c n (z − z 0 ) = n =− N (z − z 0 ) N + c − N +1 (z − z 0 ) 2 N −1 onde N é um número inteiro positivo e z 0 é um polo de ordem N. Exemplo f (z ) = e z − (z + 1) = z − 3 e z − z − 1 = − z − 3 − z − 2 + z −3 e z 3 z z2 z3 z4 z5 z6 = − z −3 − z − 2 + z −3 1 + z + + + + + + K 2! 3! 4! 5! 6! ( ) 1 1 1 1 1 1 z z 2 z3 − + + + + + + + +K z 3 z 2 z 3 z 2 2!z 3! 4! 5! 6! 1 1 z z 2 z3 = + + + + +K 2!z 3! 4! 5! 6! =− ∞ = ∑ n =0 3 + K + c 0 + c1 (z − z 0 ) + c 2 (z − z 0 ) + c 3 (z − z 0 ) + K z n −1 (n + 2)! 281 tem um polo de ordem 1 em z = 0 . 3. Singularidades essenciais Um ponto z0 é uma singularidade essencial de f (z ) se a parte principal de ∞ f (z ) = ∑ n c n (z − z 0 ) tem um número infinito de potências negativas de (z − z 0 ) , com coeficientes n = −∞ não nulos. Exemplo 1 f (z ) = sen = z ∞ ∑ n =0 (− 1)n z −(2 n +1) (2n + 1)! = 1 1 1 1 − + − +K 3 5 z 3!z 5!z 7!z 7 essencial em z = 0 . 5.9.2 – Definição ∞ Transformada Z unilateral: Z {f n } = F(z ) = ∑ f n z −n n =0 Região de convergência da transformada Z unilateral: z > y=Im(z) x=Re(z) 1/R Figura 82: z > 1 1 ⇒ x 2 + y2 > 2 . R R 282 1 R tem uma singula-ridade ∞ Transformada Z bilateral: Z II {f n } = FII (z ) = ∑ f n z −n n = −∞ = K + f − 2 z 2 + f −1 z + f 0 + f1 f 2 + +K z z2 A série (5.8.2.1) é uma série de Laurent onde K + f −3z 3 + f − 2 z 2 + f −1z é a parte analítica (ou parte regular) e f0 + f1 f 2 f 3 + + + K é a parte principal (transformada Z unilateral). z z 2 z3 −1 ∞ FII (z ) = ∑ f n z −n = n = −∞ ∑ ∞ f n z −n + n = −∞ ∑ ∞ fnz −n + n = −1 1 4243 F− ( z ) ∞ = ∑ f n z −n n =0 −∞ = ∑ ∑ f n z −n 0 1n =4 243 F+ ( z ) ∞ f −n z n + n =1 ∑ f n z −n n =0 FII (z ) = F− (z ) + F+ (z ) Z II {f n } = Z − {f n } + Z + {f n } Região de convergência de F− (z ) : z < R− Região de convergência de F+ (z ) : z > Região de convergência de FII (z ) : 1 R+ 1 < z < R− R+ 283 (5.9.2.1) y=Im(z) R- 1/R+ x=Re(z) Figura 83: Anel de convergência de FII (z ) = F− (z ) + F+ (z ) : 1 < z < R− R+ Exemplo 1, n ≥ 0 {f n } = αn e , n < 0, α > 0 −∞ FII (z ) = ∑ ∞ αn e z −n + n = −1 ∑ z −n = n =0 z , z >1 z −1 −∞ F− (z ) = ∑ z −n n =0 ∞ F+ (z ) = ∑ e αn z − n = n = −1 z z2 z3 z4 + + + +K e α e 2α e 3α e 4α z eα = z = − z , z < 1 ⇒ z < e α α z − eα eα 1− z α e − z e z z − z(z − 1) + z z − eα − z 2 + z + z 2 − zeα z 1 − eα FII (z ) = − + = = = z − eα z − 1 (z − 1) z − eα (z − 1) z − eα (z − 1) z − eα = ( ( ) ) Polos de ordem 1: z = 1, z = e α Região de convergência de FII (z ) : 1 < z < eα 284 ( ) ( ( ) ) y=Im(z) 1 eα x=Re(z) Figura 84: Anel de convergência de FII (z ) = F− (z ) + F+ (z ) : 1 < z < e α . Exercícios 1 n − , n < 0 2 . 01. Seja {y n } uma seqüência definida por {y n } = n 1 2 4 , n ≥ 0 Determine: a) Z {y n }; R.: Z {y n } = − 2z 8z + =− 2z + 1 4z − 1 z z+ 1 2 + 2z 1 z− 4 b) os polos de F(z ) = Z {y n } e a ordem dos mesmos; 1 1 R.: Polos de ordem 1: z = − , z = 2 4 c) a região de convergência de F(z ) = Z {y n }. R.: 1 1 < z< 4 2 n − 2.3 n , n ≥ 0 02. Seja {y n } uma seqüência definida por {y n } = . 3(- 4 )n , n < 0 Determine: a) Z {y n } ; R.: Z {y n } = − 3z z 2z + − 2 z + 4 (z − 1) z−3 b) a região de convergência de F(z ) = Z {y n }; 285 R.: 3 < z < 4 c) os polos de F(z ) = Z {y n } e a ordem dos mesmos. R.: Polos de ordem 1: z = −4 , z = 3 Polos de ordem 2: z = 1 5.10 – Equações de diferenças 5.10.1 – Definição Uma equação de diferenças ou a diferenças (ou uma fórmula de recorrência) é uma relação entre os termos de uma sucessão {y n } = {y 0 , y1 , y 2 , y 3 ,K}. Exemplo (n + 2 )y n +1 − 3y n = n 2 + 2 y 0 = 0 (5.10.1.1) Em (5.10.1.1) temos uma equação de diferenças linear, não homogênea, com um coeficiente variável e outro constante, sujeita à condição inicial y 0 = 0 . n = 0 ⇒ 2 y 1 − 3y 0 = 2 ⇒ y 1 = 1 n = 1 ⇒ 3y 2 − 3y 1 = 3 ⇒ y 2 = 2 n = 2 ⇒ 4 y 3 − 3y 2 = 6 ⇒ y 3 = 3 n = 3 ⇒ 5 y 4 − 3y 3 = 11 ⇒ y 4 = 4 n = 4 ⇒ 6 y 5 − 3y 4 = 18 ⇒ y 5 = 5 n = 5 ⇒ 7 y 6 − 3y 5 = 27 ⇒ y 6 = 6 M {y n } = n (5.10.1.2) Em (5.10.1.2) temos uma solução particular de (5.10.1.1). A solução geral de (5.10.1.1) é dada por {y n } = n + y 0 3n . (n + 1)! (5.10.1.3) 2 Observação 1: Podemos reescrever (5.10.1.1) como (n + 1)y n − 3y n −1 = (n − 1) + 2 . Questão Como determinar a solução (5.10.1.2) ou a solução (5.10.1.3)? 286 Observação 2: A estratégia usada para determinar (5.10.1.2) não nos dá garantias acerca do comportamento dos termos da sequência. 5.10.2 – Equações de diferenças lineares 1a ordem: a n y n +1 + b n y n = f n 2a ordem: a n y n + 2 + b n y n +1 + c n y n = f n 3a ordem: a n y n +3 + b n y n + 2 + c n y n +1 + d n y n = f n M Se f n = 0 ∀n ≥ 0 , a equação de diferenças linear é homogênea. Caso contrário, é não homogênea. 5.10.3 – Solução de equações de diferenças lineares Empregaremos a transformada equações de diferenças lineares. Z unilateral e suas propriedades de translação para solucionar k Propriedade da translação: Z {f n + k } = z F(z ) − Exemplos k −1 ∑ y n + 2 + 3y n +1 + 2 y n = 3 n 1o) y 0 = 1 y = 0 1 n =0 fnz e −n Z {f n −k } = F(kz ) . z (5.10.3.1) Notação: Z {y n } = Y(z ) Aplicando a transformada Z unilateral à equação de diferenças lineares de segunda ordem em (5.10.3.1) e usando as condições iniciais, temos que: Z {y n +2 } + 3 Z {y n +1 } + 2 Z {y n } = Z {3n } y z z 2 Y(z ) − y 0 − 1 + 3z[Y(z ) − y 0 ] + 2Y(z ) = z z −3 287 z 2 Y(z ) − z 2 + 3zY(z ) − 3z + 2Y(z ) = z z−3 z + z 2 + 3z z−3 (z + 1)(z + 2)Y(z ) = z + z 2 + 3z z−3 z z 2 + 3z Y(z ) = + (z + 1)(z + 2)(z − 3) (z + 1)(z + 2) z z(z + 3) Y(z ) = + (z + 1)(z + 2)(z − 3) (z + 1)(z + 2) (z 2 ) + 3z + 2 Y(z ) = Y(z ) 1 z+3 = + z (z + 1)(z + 2)(z − 3) (z + 1)(z + 2) (5.10.3.2) Decompondo (5.10.3.2) em frações parciais: 1 A B C = + + (z + 1)(z + 2)(z − 3) z + 1 z + 2 z − 3 1 A B C ( ( ( (z + 1) z + 1) = lim z + 1) + lim z + 1) + lim z → −1 (z + 1)(z + 2 )(z − 3) z → −1 z + 1 z → −1 z + 2 z → −1 z − 3 1 1 = A+0+0⇒ A = − −4 4 lim 1 A B C (z + 2) = zlim (z + 2) + zlim (z + 2) + zlim (z + 2) → − 2 → − 2 → − 2 (z + 1)(z + 2)(z − 3) z +1 z+2 z−3 1 1 = 0+B+0⇒ B= 5 5 lim z → −2 1 A B C ( z − 3) = lim ( z − 3) + lim ( z − 3) + lim (z − 3) z →3 (z + 1)(z + 2 )(z − 3) z →3 z + 1 z →3 z + 2 z →3 z − 3 1 1 =0+0+C⇒ C = 20 20 lim 1 1 1 1 1 1 1 =− + + (z + 1)(z + 2)(z − 3) 4 z + 1 5 z + 2 20 z − 3 z+3 D E = + (z + 1)(z + 2) z + 1 z + 2 288 lim z → −1 z+3 D E (z + 1) = zlim (z + 1) + zlim (z + 1) → − 1 → − 1 (z + 1)(z + 2) z +1 z+2 2 = D+0⇒ D= 2 1 z+3 D E ( ( (z + 2) z + 2) = lim z + 2 ) + lim z → −2 (z + 1)(z + 2 ) z → −2 z + 1 z → −2 z + 2 1 = 0 + E ⇒ E = −1 −1 lim z+3 2 1 = − (z + 1)(z + 2) z + 1 z + 2 Y(z ) 1 z+3 = + (z + 1)(z + 2)(z − 3) (z + 1)(z + 2) z 1 1 1 1 1 1 2 1 =− + + + − 4 z + 1 5 z + 2 20 z − 3 z + 1 z + 2 Y(z ) = − Y(z ) = 1 z 1 z 1 z z z + + +2 − 4 z + 1 5 z + 2 20 z − 3 z +1 z + 2 7 z 4 z 1 z − + 4 z + 1 5 z + 2 20 z − 3 (5.10.3.3) z = −1 , z = −2 e z = 3 são polos de ordem 1 de Y(z ) . Aplicando a transformada Z unilateral inversa a (5.10.3.3), obtemos: Z −1 {Y(z )} = 7 Z −1 4 z 4 −1 z 1 Z −1 z − Z + z + 1 5 z + 2 20 z − 3 { } Lembrando que Z a n = z , podemos reescrever (5.10.3.4) como: z−a {y n } = Z −1{Y(z )} = 7 (− 1)n − 4 (− 2)n + 4 5 1 n 3 , n≥0 20 {y n } = {1,0,−1,6,K} 289 (5.10.3.4) 2o) y n − 3 1 y n −1 + y n −2 = δ (n ) 4 8 (5.10.3.5) Observação: Não temos em (5.10.3.5) um problema de valor inicial. Notação: Z {y n } = Y(z ) Aplicando a transformada (5.10.3.5), temos que: Z unilateral à equação de diferenças lineares de segunda ordem em Z {y n } − 3 Z {y n −1 } + 1 Z {y n −2 } = Z {δ(n )} 4 8 3 Y(z ) 1 Y(z ) + =1 4 z 8 z2 8z 2 Y(z ) − 6zY(z ) + Y(z ) = 8z 2 Y(z ) − 1 1 8 z − z − Y(z ) = 8z 2 2 4 z2 Y(z ) = 1 1 z − z − 2 4 Y(z ) z = 1 1 z z − z − 2 4 (5.10.3.6) Decompondo (5.10.3.6) em frações parciais: z A B = + 1 1 1 1 z− z − z − z − 2 4 2 4 lim 1 z→ 2 1 2 z 1 A 1 B 1 z − = lim1 z − + lim1 z − 1 1 1 1 2 z→ 2 z→ 2 2 z − 2 z − z − z − 2 4 2 4 1 1 − 2 4 = A+0⇒A = 2 290 lim 1 z→ 4 1 4 z 1 A 1 B 1 z − = lim1 z − + lim1 z − 1 1 1 1 4 z→ 4 z→ 4 4 z − 4 z − z − z − 2 4 2 4 1 1 − 4 2 = 0 + B ⇒ B = −1 z 2 1 = − 1 1 1 1 z− z − z − z − 2 4 2 4 Y (z ) z 2 1 = = − 1 1 1 1 z z− z − z − z − 2 4 2 4 Y(z ) = 2 z= z 1 z− 2 z − z− (5.10.3.7) 1 4 1 1 e z = são polos de ordem 1 de Y(z ) . 2 4 Aplicando a transformada Z unilateral inversa a (5.10.3.7), obtemos: Z {Y(z )} = 2 Z −1 Lembrando que −1 z −1 z −Z z − 1 z − 1 4 2 Z {a n } = {y n } = Z −1 {Y(z )} = 2 1 n (5.10.3.8) z , podemos reescrever (5.10.3.8) como: z−a n 1 − ,n ≥ 2 2 4 z z y 0 = lim Y(z ) = lim 2 − = 2 −1 = 1 z →∞ z →∞ 1 1 z− z− 2 4 1 1 7 y2 = − = 2 16 16 291 Usando n = 2 , y 0 = 1 e y 2 = 7 3 em (5.10.3.5), obtemos y1 = . 16 4 Observação: Basta lembrar que y n = 0 para n < 0 . {y n } = 1, 3 , 7 , 15 , 31 ,K 4 16 64 256 u n +3 − u n + 2 − u n +1 + u n = 0 u = 0 3o) 0 u 1 = 1 u 2 = 2 (5.10.3.9) Notação: Z {u n } = U(z ) Aplicando a transformada Z unilateral à equação de diferenças lineares de terceira ordem em (5.10.3.9) e usando as condições iniciais, temos que: Z {u n +3 } − Z {u n +2 } − Z {u n +1 } + Z {u n } = Z {0} z U(z ) − 1 0 2 − n −n unz − z U(z ) − unz − z U(z ) − unz + U(z ) = 0 n =0 n =0 n =0 u u u z 3 U(z ) − u 0 − 1 − 22 − z 2 U(z ) − u 0 − 1 − z[U(z ) − u 0 ] + U(z ) = 0 z z z 3 2 2 z U(z ) − z − 2z − z U(z ) + z − zU(z ) + U(z ) = 0 3 (z 3 2 ∑ −n ∑ ∑ ) − z 2 − z + 1 U(z ) = z 2 + z (z − 1)(z 2 − 1)U(z ) = z(z + 1) z(z + 1) U(z ) = (z − 1)(z − 1)(z + 1) U(z ) = z (z − 1)2 (5.10.3.10) z = 1 é um polo de ordem 2 de U(z ) . Aplicando a transformada Z unilateral inversa a (5.10.3.10), obtemos: z 2 (z − 1) Z −1 {U(z )} = Z −1 292 {u n } = Z −1{U(z )} = n, n≥0 {u n } = {0,1,2,3,4,5,K} Exercícios 01. Usando transformadas Z, solucione a equação de diferenças y n + 2 − 6 y n +1 + 5y n = 3 sujeita às condições iniciais y 0 = 0 e y1 = 1 . Escreva os cinco primeiros termos da sequência. R.: {y n } = Z −1{Y(z )} = 7 n 3 7 5 − n− , n≥0 16 4 16 02. Utilizando as transformadas Z, solucione a equação de diferenças y n − 4 y n −1 + 3y n − 2 = 2 n . 1 1 n R.: {y n } = Z −1{Y(z )} = 3n + 2 − 4(2 ) + , n ≥ 0 2 2 03. Utilizando as transformadas Z, solucione a equação de diferenças y n + 2 − y n +1 − 12 y n = δ (n − 1) . y 0 = 0 y = 2 1 R.: {y n } = Z −1{Y(z )} = − 1 33 19 n −1 δ(n − 1) + 4 n −1 + (− 3) , n ≥ 1 12 28 21 04. Utilizando as transformadas Z, solucione a equação de diferenças 3y n + 27 y n −2 = 3 n . R.: 1 n 1− i (3i )n + 1 + i (− 3i )n 3 + 6 12 12 293 5.11 – Exercícios resolvidos 4 − n − , n < 0 . 01. Seja {y n } = 5 n4, n ≥ 0 a) Determine F(z ) = Z {y n }. ∞ ∞ ∑ ∞ ∑ ∑ n ∞ ∑ 4 n Z {y n } = y −n z + ynz = n 4 z −n − z + 5 n =4 1 24 n =0 n =4 1 4244 n =0 1 3 1 3 1 4243 1 4243 n I −n II I II I: série geométrica ∞ ∑ n =1 ∞ ∑ n 4 n − z = 5 n =1 4 n − z 4z 4 5 4 5 =− se − z < 1 ⇒ z < (RDC) − z = 4z + 5 5 4 4 5 1− − z 5 RDC: região de convergência II: transformada Z unilateral ∞ ∑ n 4 z −n = Z n.n{ = −z d n =0 = −z 3 fn (3z 2 (3z = -z 2 z 3 + 4z 2 + z dz (z − 1)4 + 8z + 1)(z − 1) − (z 3 + 4z 2 + z )4(z − 1) (1) (z − 1)8 4 3 + 8z + 1)(z − 1) − (4z 3 + 16z 2 + 4z ) (z − 1)5 3z 3 − 3z 2 + 8z 2 − 8z + z − 1 − 4z 3 − 16z 2 − 4z = −z (z − 1)5 z(z 3 + 11z 2 + 11z + 1) = (z − 1)5 RDC: z > 1 uma vez que lim n →∞ n4 (n + 1)4 =1 Retornando a (5.11.1): Z {y } = F(z ) = − n 4z z(z 3 + 11z 2 + 11z + 1) 5 + se 1 < z < 5 4z + 5 4 (z − 1) 294 (5.11.1) b) Represente algebricamente e geometricamente a região de convergência de F(z ) . Im(z) 5 1< z < 4 R 1 = 1, R 2 = 5 4 R1 R2 Re(z) c) Identifique e classifique as singularidades de F (z ) . z=− 5 polo simples (polo de ordem 1) 4 z = 1 polo de ordem 5 5 − n − , n < 0 6 . 02. Seja {y n } = n 2 3 n - 4 , n ≥ 0 a) Determine F(z ) = Z {y n }. ∞ ∞ ∑ ∞ ∑ ∑ n ∞ ∑ n 3 5 n Z {y n } = y −n z + ynz = n 2 − z −n − z + 6 4 n =4 1 4244 n =0 n =4 1 24 n =0 1 3 1 3 1 4243 1 44 42444 3 n I −n II I II I: série geométrica ∞ ∑ n =1 n 5 n − z = 6 ∞ ∑ n =1 n 5 − z = 6 5 − z 5z 5 6 6 se − z < 1 ⇒ z < (RDC) =− 5z + 6 6 5 5 1− − z 6 RDC: região de convergência II: transformada Z unilateral ∞ ∑ n =0 n 3 n 2 − z −n 4 3 n z + − z d d z d 3 4 −z = Z n.n − = − z − z = −z 2 3 4 dz dz dz 24 3 1 4 3 z + z + fn 4 4 295 (5.11.2) 2 3 3 3 3 3 − z + − − z 2 z + − z d 4 4 4 4 = −z 4 = -z 2 4 dz 3 3 z + z + 4 4 3 9 6 3 9 z − z− + z − z2 + 4 16 4 4 16 = -z = 3 3 3 3 z + z + 4 4 RDC: z > 3 uma vez que lim n →∞ 4 3 n2− 4 n (n + 1)2 − 3 n +1 = 4 3 4 Retornando a (5.11.2): Z {y } = F(z ) = − n 3 6 5z 3 4z 2 − 3z se < z< − 3 4 5 5z + 6 16 3 z + 4 b) Represente algebricamente e geometricamente a região de convergência de F(z ) . Im(z) 3 6 < z< 4 5 3 6 R1 = ,R 2 = 4 5 R1 R2 Re(z) c) Identifique e classifique as singularidades de F (z ) . z=− 6 polo simples (polo de ordem 1) 5 z=− 3 polo triplo (polo de ordem 3) 4 03. Um sistema é descrito pela equação recursiva y n +3 + 3y n +2 + 4 y n +1 + 12 y n = g n , sujeita às condições iniciais y 0 = y1 = 0 e y 2 = 2 . 296 a) Utilizando a transformada Z unilateral e suas propriedades, determine a resposta {y n } do n sistema quando g n = (− 2 ) . Notação: Z {y n } = Y(z ) Aplicando a transformada Z unilateral à equação de diferenças: z 3 Y(z ) − y 2 z + 3z 2 Y(z ) + 4zY(z ) + 12Y(z ) = z z+2 z z + 2z + 4z 2z + 5z z(2z + 5) (1z 4+4 3z + 4z + 12)Y(z ) = + 2z = = = 42444 3 z+2 z+2 z+2 z+2 3 2 2 2 P (z ) Como P(− 3) = 0 ⇒ P(z ) = (z + 3)(z 2 + 4) = (z + 2 )(z + 2i )(z − 2i ) . Assim: (z + 3)(z + 2i )(z − 2i )Y(z ) = z(2z + 5) ⇒ Y(z ) = z+2 z(2z + 5) (z + 2)(z + 3)(z + 2i )(z − 2i ) Y(z ) 2z + 5 A B C D = + + + = z (z + 2)(z + 3)(z + 2i )(z − 2i ) z + 2 z + 3 z + 2i z − 2i lim (5.11.3)(z + 2) ⇒ A = 1 1 1 = = (1)(− 2 + 2i )(− 2 − 2i ) 4 + 4 8 lim (5.11.3)(z + 3) ⇒ B = 1 1 −1 = = (− 1)(− 3 + 2i )(− 3 − 2i ) 9 + 3 13 z → −2 z → −3 − 4i + 5 − 4i + 5 − 4i + 5 = = (− 2i + 2)(− 2i + 3)(− 4i ) 8(i − 1)(2 + 3i ) 8(2i − 3 − 2 − 3i ) − 4i + 5 (− 5 + i ) 20i + 4 − 25 + 5i − 21 + 25i = = = 8(− 5 − i ) (− 5 + i ) 8(25 + 1) 208 lim (5.11.3)(z + 2i ) ⇒ C = z → −2 i 4i + 5 4i + 5 4i + 5 = = (2i + 2)(2i + 3)(4i ) 8(i + 1)(− 2 + 3i ) 8(− 2i − 3 − 2 + 3i ) 4i + 5 (− 5 − i ) − 20i + 4 − 25 − 5i − 21 − 25i = = = 8(− 5 + i ) (− 5 − i ) 8(25 + 1) 208 lim (5.11.3)(z − 2i ) ⇒ D = z →2 i Retornando à equação (5.11.3): Y(z ) 1 1 1 1 − 21 + 25i 1 − 21 − 25i 1 = + + + z 8 z + 2 13 z + 3 208 z + 2i 208 z − 2i 297 (5.11.3) Y(z ) = 1 z 1 z − 21 + 25i z − 21 − 25i z + + + 8 z + 2 13 z + 3 208 z + 2i 208 z − 2i Como {y n } = Z −1 {Y(z )} , tem-se que: {y n } = 1 (− 2)n + 8 1 (− 3)n + − 21 + 25i (− 2i )n + − 21 − 25i (2i )n , n ≥ 0 13 208 208 b) Calcule o elemento y 5 da sucessão {y n }. n = 0 ⇒ y 3 + 3y 2 + 4 y1 + 12 y 0 = 1 ⇒ y 3 + 3(2) = 1 ⇒ y 3 = −5 n = 1 ⇒ y 4 + 3y 3 + 4 y 2 + 12 y1 = −2 ⇒ y 4 + 3(− 5) + 4(2) = −2 ⇒ y 4 = 5 n = 2 ⇒ y 5 + 3y 4 + 4 y 3 + 12 y 2 = 4 ⇒ y 5 + 3(5) + 4(− 5) + 12(2 ) = 4 ⇒ y 5 = −15 y 5 = −15 04. Um sistema é descrito pela equação recursiva y n +3 + 2 y n +2 + 9 y n +1 + 18y n = g n , sujeita às condições iniciais y 0 = y1 = 0 e y 2 = 2 . a) Utilizando a transformada Z unilateral e suas propriedades, determine a resposta {y n } do n sistema quando g n = (− 1) . Notação: Z {y n } = Y(z ) Aplicando a transformada Z unilateral à equação de diferenças: z 3 Y(z ) − y 2 z + 2z 2 Y(z ) + 9zY(z ) + 18Y(z ) = z z +1 z z + 2z + 2z 2z + 3z z(2z + 3) (1z 4+424 z + 9z + 18)Y(z ) = + 2z = = = 2444 3 z +1 z +1 z +1 z +1 3 2 2 2 P (z ) Como P(− 2 ) = 0 ⇒ P(z ) = (z + 2 )(z 2 + 9 ) = (z + 2)(z + 3i )(z − 3i ) . Assim: 298 (z + 2)(z + 3i )(z − 3i )Y(z ) = z(2z + 3) ⇒ Y(z ) = z +1 z(2z + 3) (z + 2)(z + 1)(z + 3i )(z − 3i ) Y(z ) 2z + 3 A B C D = = + + + (z + 2)(z + 1)(z + 3i )(z − 3i ) z + 2 z + 1 z + 3i z − 3i z −1 1 1 = = (− 1)(− 2 + 3i )(− 2 − 3i ) 4 + 9 13 lim (5.11.4 )(z + 2) ⇒ A = z → −2 lim (5.11.4)(z + 1) ⇒ B = z → −1 1 1 1 = = (1)(− 1 + 3i )(− 1 − 3i ) 1 + 9 10 2i − 1 − 6i + 3 − 3(2i − 1) = = (− 3i + 2)(− 3i + 1)(− 6i ) − 6(− 3i + 2)(3 + i ) 2(− 9i + 3 + 6 + 2i ) 2i − 1 (9 + 7i ) 18i − 14 − 9 − 7i − 23 + 11i = = = 2(9 − 7i ) (9 + 7i ) 2(81 + 49) 260 lim (5.11.4)(z + 3i ) ⇒ C = z → −3i 6i + 3 3(2i + 1) 2i + 1 = = (3i + 2)(3i + 1)(6i ) 6(3i + 2)(− 3 + i ) 2(− 9i − 3 − 6 + 2i ) 2i + 1 (− 9 + 7i ) − 18i − 14 − 9 + 7i − 23 − 11i = = = 2(− 9 − 7i ) (− 9 + 7i ) 2(81 + 49 ) 260 lim (5.11.4 )(z − 3i ) ⇒ D = z →3 i Retornando à equação (5.11.4): Y(z ) 1 1 1 1 − 23 + 11i 1 − 23 − 11i 1 = + + + z 13 z + 2 10 z + 1 260 z + 3i 260 z − 3i Y(z ) = 1 z 1 z − 23 + 11i z − 23 − 11i z + + + 13 z + 2 10 z + 1 260 z + 3i 260 z − 3i Como {y n } = Z −1 {Y(z )} , tem-se que: {y n } = 1 (− 2)n + 1 (− 1)n + − 23 + 11i (− 3i )n + − 23 − 11i (3i )n , n ≥ 0 13 10 260 260 b) Calcule o elemento y 5 da sucessão {y n }. n = 0 ⇒ y 3 + 2 y 2 + 9 y1 + 18 y 0 = 1 ⇒ y 3 + 2(2 ) = 1 ⇒ y 3 = −3 299 (5.11.4) n = 1 ⇒ y 4 + 2 y 3 + 9 y 2 + 18 y1 = −1 ⇒ y 4 + 2(− 3) + 9(2) = −1 ⇒ y 4 = −13 n = 2 ⇒ y 5 + 2 y 4 + 9 y 3 + 18 y 2 = 1 ⇒ y 5 + 2(− 13) + 9(− 3) + 18(2 ) = 1 ⇒ y 5 = 18 y 5 = 18 300 5.12 – Exercícios complementares 01. Calcular: a) Z {2e − n + 3e −0.5 n } { n b) Z 5(0,8) − 4(1,1) R.: F(z ) = n } R.: F(z ) = 2z 3z + z− 1 z− 1 e e 5z 4z − z − 0,8 z − 1,1 c) Z −1 {5 + 3z −2 − z −3 + 2z −5 } R.: f n = 5δ (n ) + 3δ (n − 2 ) − δ (n − 3) + 2δ (n − 5), n ≥ 0 8z + 4 d) Z −1 2 z − 2z − 3 0, n = 0 R.: f n = n −1 n −1 (- 1) + 7(3) , n > 0 4 n − , n < 0 02. Seja {y n } uma seqüência definida por {y n } = 3 . 2 −n n − n + 2 + 1, n ≥ 0 Determine: a) Z {y n } ; R.: Z {y n } = − 3z z(z + 1) z z + − + + 3 2 3z + 4 (z − 1) (z − 1) z −1 b) os polos de F(z ) = Z {y n } e a ordem dos mesmos; 4 1 R.: Polos de ordem 1: z = − , z = 3 2 Polos de ordem 3: z = 1 c) a região de convergência de F(z ) = Z {y n }. R.: 1 < z < 4 3 2− n 3 − , n < 0 5 03. Seja {y n } = . −n 2 n +1 (- 1) − 1 3 , n ≥ 0 [ ] 301 z z− 1 2 Determine F(z ) = Z {y n } , identifique as singularidades de F(z ) e represente algebricamente e geometricamente a região de convergência de F(z ) . 2z 2 5 3 3 z+ z + z − 3 2 2 5 3 3 Polos simples (de ordem 1): z = − , z = − , z = 3 2 2 R.: Z {y n } = F(z ) = − 9 25 Anel de convergência: z − 3 5 < z< 2 3 −n 04. Seja o sinal discreto x[n ] = n e −2 n ∗ (− 7 ) . Determine: a) Z {x[n ]}; R.: 1 z2 2 e2 1 1 z − 2 z + 7 e b) os polos de F(z ) = Z {x[n ]} e a ordem dos mesmos; R.: Polo de ordem 1: z = − Polo de ordem 2: z = 1 7 1 e2 c) a região de convergência de F(z ) = Z {x[n ]}. R.: z > 1 7 1− n 3 ,n < 0 2 05. Seja {y n } = . -n 5 nπ 3 sen 2 , n ≥ 0 a) Determine F(z ) = Z {y n }; 302 R.: Z {y n } = F(z ) = − 9z 15z 9z 3z + =− + 2 3 3 2(3z − 2 ) 25z + 9 2(3z − 2 ) 5 z − i z + i 5 5 b) Identifique as singularidades de F(z ) e represente geometricamente a região de convergência de F(z ) . 2 3 3 R.: Polos de ordem 1: z = , z = − i , z = i 3 5 5 Região de convergência: 3 2 < z< 5 3 06. Solucionar a equação de diferenças utilizando a transformada Z unilateral. y n + 2 − 3y n +1 − 4 y n = 1 y o = 0 y = 2 1 1 7 3 n n R.: {y n } = − + (4 ) − (− 1) , n ≥ 0 6 15 10 07. Utilizando as transformadas Z, solucione a equação de diferenças y n + 2 − y n +1 − 6 y n = δ (n − 1) . y 0 = 0 y = 2 1 1 19 9 n −1 R.: {y n } = − δ (n − 1) + 3 n −1 + (− 2 ) , n ≥ 1 6 15 10 08. Utilizando as transformadas Z e suas propriedades, solucione a equação de diferenças y n + 2 y n −1 − 24 y n − 2 = 3 n −2 . Calcule os três primeiros termos da sequência {y n }. 1 1 1 n R.: {y n } = − 3 n + 4 n + (− 6 ) , n ≥ 0 ⇒ {y n } = {0,0,1,K} 9 10 90 09. Utilizando as transformadas Z e suas propriedades, solucione a equação de diferenças 303 y n − 2 y n −1 + y n −2 = 2 n −2 . Calcule os cinco primeiros termos da seqüência {y n } . R.: {y n } = 2 n − n − 1, n ≥ 0 ⇒ {y n } = {0,0,1,4,11,K} 10. Utilizando a transformada Z unilateral e suas propriedades, determine a resposta {y n } do sistema descrito pela equação recursiva 5 2 y n + y n −1 − y n −2 = g n , 3 3 quando o mesmo é excitado por g n = 2 − n . Calcule o primeiro termo da sucessão {y n } . n n 31 21 24 n R.: {y n } = − + (− 2) 52 7 3 35 y 0 = lim Y(z ) = 1 z →∞ 11. Utilizando a transformada Z unilateral e suas propriedades, determine a resposta {y n } do sistema descrito pela equação recursiva 3y n + 27 y n −2 = g n , −n 1 quando o mesmo é excitado por g n = . 3 Calcule os três primeiros termos da sucessão {y n } . R.: {y n } = 1 n 1− i (3) + (3i )n + i + 1 (− 3i )n , {y n } = 1 ,1,0,K 6 12 12 3 n n 2 (- 2 ) , n ≥ 0 12. Seja {y n } = 1 −n . − cos(nπ) , n < 0 4 a) Determine F(z ) = Z {y n }. 304 R.: Z {y n } = F(z ) = − z 2z(2 − z ) + , 2< z <4 z − 4 (z + 2 )3 b) Identifique, classifique e represente no plano de Argand-Gauss as singularidades de F (z ) . R.: z = 4 z = −2 polo simples polo triplo c) Represente algebricamente e geometricamente a região de convergência de F(z ) . R.: 2 < z < 4 (algebricamente) 13. Um sistema é descrito pela equação recursiva y n +3 + y n + 2 + 9 y n +1 + 9 y n = g n , sujeita às condições iniciais y 0 = 0 , y1 = 1 e y 2 = −1 . a) Utilizando a transformada Z unilateral e suas propriedades, determine a resposta {y n } do sistema quando g n = 0 . R.: {y n } = 1 − 3i (3i )n + 1 + 3i (− 3i )n − 1 (− 1)n 20 20 10 b) Calcule o elemento y 6 da sucessão {y n }. R.: y 6 = −73 14. A sequência de Fibonacci tem as seguintes características: y n + 2 = y n +1 + y n y0 = 1 . y1 = 1 Empregando a transformada Z unilateral e suas propriedades, determine o n-ésimo termo dessa sucessão e calcule alguns termos da mesma. n n 5 + 5 1 + 5 5 − 5 1− 5 + , n≥0 R.: {y n } = 10 2 10 2 {y n } = {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,K} 305 306 6. FORMULÁRIO 1. Série de Fourier/Coeficientes de Fourier a f (x ) = 0 + 2 ∞ ∑ n =1 1 a0 = L ∫ nπ x nπ x a n cos L + b n sen L L 1 an = L f (x )dx −L ∫ L −L nπ x f (x ) cos dx L L ∫ 1 bn = L −L nπ x f (x )sen dx L 2. A forma exponencial (ou complexa) da série de Fourier ∞ f (x ) = ∑ cne i nπ x L 1 cn = 2L n = −∞ ∫ L f (x )e −i nπ x L dx −L 3. Identidade de Parseval para séries de Fourier 1 L ∫ L 2 [f (x )] 2 −L a dx = 0 + 2 ∞ ∑( 2 a n + bn 2 ) n =1 4. Integral de Fourier 1 f (x ) = 2π ∞ ∫ ∫ −∞ ∞ f (x ) e iαx dx e −iαx dα −∞ 5. Transformadas de Fourier ℑ{f (x )} = F(α ) = ∫ ∞ f (x ) e iα x 1 ℑ {F(α )} = f (x ) = 2π −1 dx −∞ ℑC {f (x )} = FC (α ) = ℑS {f (x )} = FS (α ) = ∫ ∫ ∞ f (x ) cos(αx )dx ℑC −1 {FC (α )} = f (x ) = 0 ∞ f (x ) sen (αx )dx ℑS −1 {FS (α )} = f (x ) = 0 Tabela 1: Transformadas de Fourier. 307 ∞ ∫ ∫ ∫ F(α ) e -iα x dα −∞ ∞ 2 π FC (α ) cos(αx )dα 0 ∞ 2 π FS (α ) sen (αx )dα 0 6. Algumas propriedades das transformadas de Fourier 6.1 - Comportamento de F(α ) quando α → ±∞ lim F(α ) = 0 α → ±∞ 6.2 - Linearidade ℑ{a f (x ) + b g(x )} = a ℑ{f (x )} + b ℑ{g(x )} = a F(α ) + bG (α ) 6.3 - Simetria (dualidade) ℑ{F(x )} = 2π f (− α ) , se F(α ) = ℑ{f (x )} 6.4 - Conjugado { } ℑ f (x ) = F(− α ) , onde F(α ) = ℑ{f (x )} 6.5 - Translação (no tempo) ℑ{f (x − a )} = e iaα F(α ) , onde F(α ) = ℑ{f (x )} 6.6 - Translação (na freqüência) ℑ{e iax f (x )} = F(α + a ) , onde F(α ) = ℑ{f (x )} 6.7 - Similaridade (ou dilatação ou mudança de escala) ℑ{f (ax )} = 1 a α F , onde F(α ) = ℑ{f (x )} a 6.8 - Inversão de tempo ℑ{f (− x )} = F(− α ) , onde F(α ) = ℑ{f (x )} 6.9 - Convolução (f ∗ g )(x ) = ∫ ∞ f (x − u )g(u )du = −∞ ∫ ∞ f (u )g(x − u )du −∞ ℑ{f ∗ g} = ℑ{f (x )} ℑ{g(x )} = F(α ) G (α ) 6.10 - Multiplicação (convolução na frequência) ℑ{f (x ).g(x )} = 1 F(α ) ∗ G (α ) , onde F(α ) = ℑ{f (x )} e G (α ) = ℑ{g (x )} 2π 308 6.11 - Transformadas de Fourier de derivadas { } n n ℑ f (n ) (x ) = (− iα ) ℑ{f (x )} = (− iα ) F(α ) { } { } ℑC f " (x ) = −α 2 ℑ C {f (x )} − f ' (0 ) = −α 2 FC (α ) − f ' (0) ℑS f " (x ) = −α 2 ℑS {f (x )} + α f (0) = −α 2 FS (α ) + α f (0 ) 6.12 - Derivadas de transformadas de Fourier ℑ{x n f (x )} = (− i ) F (n ) (α ) , onde F(α ) = ℑ{f (x )} n 6.13 - Diferenciação na frequência ℑ{i x f (x )} = d F(α ) , onde F(α ) = ℑ{f (x )} dα 7. Identidade de Parseval para integrais de Fourier ∫ ∞ ∫ ∞ 1 f (x ) dx = 2π 2 −∞ 2 [f (x )] dx = 0 2 π ∫ ∫ ∞ 2 F(α ) dα −∞ ∞ 2 [FC (α )] dα 0 ∫ ∞ 2 [f (x )] dx = 0 8. Algumas identidades trigonométricas sen (u ) cos(v ) = 1 [sen (u + v ) + sen (u − v )] 2 cos(u ) cos(v ) = 1 [cos(u + v ) + cos(u − v )] 2 sen (u )sen (v ) = 1 [cos(u − v ) − cos(u + v )] 2 309 2 π ∫ ∞ [FS (α )]2 dα 0 9. Transformadas de Fourier de algumas funções e distribuições f (x ) F(α ) 2sen (aα ) ,α ≠ 0 1, x < a f (x ) = 0, x > a e −a x α F(0) = 2a 2a 2 α + a2 π −a α e a 1 α FC (α ) = 2 FS (α ) = 2 α +1 α +1 , Re(a ) > 0 1 , Re(a ) > 0 x + a2 e −x 2 e e − ax 2 − x2 2 2π e 2 2π ,a > 0 a 1, x > c e − ax u (x ), Re(a ) > 0, u (x − c ) = 0, x < c 1, x > c x n e − ax u (x ), Re(a ) > 0, u (x − c ) = 0, x < c ∞, x = 0 δ (x ) = 0, x ≠ 0 1, x ≤ a 1 = lim f (x ), f (x ) = a →∞ 0, x > a 1, x > 0 sgn (x ) = − 1, x < 0 1, x > 0 u (x ) = 0, x < 0 e ia x cos(ax ) sen (ax ) cos(ax ) u (x ) sen (ax ) u (x ) ∫ e − α2 − 2 α2 2a 1 a − iα n! (a − iα )n +1 1 2πδ(α ) 2i α πδ(α ) + i α 2πδ(α + a ) π[δ(α + a ) + δ(α − a )] iπ[δ(α − a ) − δ(α + a )] π [δ(α + a ) + δ(α − a )] + 2 iα 2 2 α −a iπ [δ(α − a ) − δ(α + a )] − 2 a 2 2 α −a x f (κ )dκ πF(0 )δ(α ) + −∞ i F(α ) α Tabela 2: Transformadas de Fourier de algumas funções e distribuições. 310 10. Transformada de Laplace unilateral L {f (t )} = F(s ) = L −1 ∫ ∞ f (t )e −st dt 0 {F(s )} = f (t ) = 1 2π i ∫ γ +i ∞ F(s ) e st ds = γ −i ∞ 1 2π i ∫ F(s ) e st ds C 11. Algumas propriedades da transformada de Laplace unilateral 11.1 - Comportamento de F(s ) quando s → ∞ lim F(s ) = 0 s →∞ 11.2 - Linearidade L {a f (t ) + b g(t )} = aL {f ( t )} + bL {g(t )} = aF(s ) + bG(s) 11.3 - Primeira propriedade de translação L {e f (t )} = F(s − a ) , onde F(s) = L {f (t )} at 11.4 - Segunda propriedade de translação L {f (t − a )u(t − a )} = e − as 0, 0 ≤ t < a e F(s ) = L {f (t )} F(s ), com u (t - a ) = 1, t ≥ a 11.5 - Similaridade (ou mudança de escala) L {f (at )} = 1 F s , onde F(s) = L {f (t )} a a 11.6 - Transformada de Laplace de derivadas L {f (t )} = sF(s ) − f (0 ) L {f (t )} = s 2 F(s ) − sf (0 ) − f ' (0 ) ' " L {f ( ) (t )} = s F(s) − s n n n −1 f (0 ) − s n − 2 f ' (0 ) − s n −3 f " (0) − K − s f (n -2 ) (0) − f (n −1) (0) 11.7 - Transformada de Laplace de integrais 311 L ∫ t o F(s ) , onde F(s ) = L {f (t )} f (u ) du = s 11.8 - Derivadas de transformadas de Laplace (multiplicação por t n ) dn L {t f (t )} = (− 1) n F(s) = (− 1)n F (n ) (s ) , onde F(s) = L {f (t )} ds n n 11.9 - Integrais de transformadas de Laplace (divisão por t ) ∞ ∫ L f (t ) = t F(u ) du, desde que lim+ t →0 s f (t ) exista t 11.10 - Convolução (f ∗ g )(t ) = ∫ t f (u )g (t − u ) du = o ∫ t f (t - u )g(u ) du o L {f ∗ g} = F(s )G(s ) , onde F(s) = L {f (t )} e G(s) = L {g(t )} 11.11 - Valor inicial lim f (t ) = lim sF(s ) t →0 s →∞ 11.12 - Valor final lim f (t ) = lim sF(s ) t →∞ s→0 11.13 - Transformada de Laplace de funções periódicas L {f (t )} = 1 −sT 1− e ∫ T e −st f (t ) dt , com f(t) periódica de período fundamental T 0 11.14 - Fórmula de desenvolvimento de Heaviside L −1 P(s ) = Q(s ) n ∑ k =1 P(α k ) α k t e d Q(α k ) ds 312 12. Transformada de Laplace unilateral de algumas funções e distribuições f (t ) 1 F(s ) 1 , Re(s ) > 0 s 1 , Re(s ) > a s−a n! , Re(s ) > 0 s n +1 s , Re(s ) > 0 2 s + a2 a , Re(s ) > 0 2 s + a2 s , Re(s ) > a 2 s − a2 a , Re(s ) > a 2 s − a2 1 s - ia e at tn cos(at ) sen (at ) cosh (at ) senh (at ) e iat 1 ' Γ (1) − ln(s ) , Γ(n ) = s [ ln (t ) Si (t ) = ∫ t 0 ] ∫ ∞ t n -1e − t dt 0 1 π 1 1 − arctg(s ) = arctg s 2 s s sen (u ) du u N (t ) 0, 0 ≤ t < a u (t − a ) = 1, t ≥ a 0 e − as s ∞, t = a 0, t ≠ a δ (t − a ) = e − as Tabela 3: Transformada de Laplace unilateral de algumas funções e distribuições. 13. Transformadas Z unilateral e bilateral ∞ Z {f } = F(z ) = n ∑ ∞ fnz −n Z {f } = F (z ) = II n II n =0 ∑ f n z −n n = −∞ ∞ Raio de convergência R de uma série de potências ∑ n =0 313 n a n (z − c ) : R = lim n →∞ an 1 ou R = lim a n +1 n →∞ an 1 n Região de convergência da transformada Z unilateral: z > 1 2π i Z {F(z )} = {f } = −1 n ∫ 1 R F(z ) z n −1dz C 14. Algumas propriedades da transformada Z unilateral 14.1 - Linearidade Z l ∑ i =0 c i f i ,n = l ∑ c i Fi (z ) i=0 14.2 - Translação (ou deslocamento) Z {f n + k } = z F(z ) − k k −1 ∑ n =0 fnz −n Z {f } = z F(z ) = F(z ) , onde F(z ) = Z {f } −k n−k n zk 14.3 - Similaridade Z {λ f } = F z , onde F(z ) = Z {f } n n n λ 14.4 - Convolução n {f n }∗ {g n } = {f n ∗ g n } = ∑ f k g n−k k =0 Z {f n ∗ g n } = F(z )G (z ) , onde F(z ) = Z {f n } e G (z ) = Z {g n } 14.5 - Diferenciação da transformada de uma sequência Z {n f } = −z d F(z ) , onde F(z ) = Z {f } n n dz 314 14.6 - Integração da transformada de uma sequência Z f n = n ∫ ∞ z F(u ) du , f 0 = 0 u 14.7 - Valor inicial lim F(z ) = f 0 z →∞ 14.8 - Valor final lim(z − 1)F(z ) = lim f n z →1 n →∞ 15. Transformada Z unilateral de algumas sequências fn 1, n = 0 δ (n ) = 0, n ≠ 0 1 e an an sen (βn ) cos(β n ) senh (β n ) cosh (βn ) n n2 F(z ) 1 z , z >1 z −1 z , z > ea a z−e z , z >a z−a z sen (β ) , z >1 2 z − 2z cos(β ) + 1 z[z − cos(β )] , z >1 2 z − 2z cos(β ) + 1 z senh (β) , z > max e β , e −β 2 z − 2z cosh (β ) + 1 z[z − cosh (β )] , z > max e β , e −β 2 z − 2z cosh (β) + 1 z , z >1 (z − 1)2 z(z + 1) , z >1 (z − 1)3 ( n3 ( ) ( ) ), z > 1 z z 2 + 4z + 1 (z − 1) 4 Tabela 4: Transformada Z unilateral de algumas sequências. 315 316 REFERÊNCIAS [1] ÁVILA, G. Variáveis complexas e aplicações. 3a ed. Rio de Janeiro: LTC. [2] BOYCE, W.E.; DIPRIMA, R.C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Rio de Janeiro: LTC. [3] FIGUEIREDO, D.G. Análise de Fourier e equações diferenciais parciais. Rio de Janeiro: IMPA. [4] HAYKIN, S.; VEEN, B. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman. [5] HSU, H.P. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman. [6] IÓRIO, V. EDP Um curso de graduação. Rio de Janeiro: IMPA. [7] KAPLAN, W. Cálculo avançado. Vol. 2. São Paulo: Edgard Blücher. [8] KREYSZIG, E. Matemática superior. Vol. 3. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos. [9] OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A.S.; NAWAB, S.H. Signals & systems. Upper Saddle River: Prentice Hall. [10] PALIOURAS, J.D. Complex variables for scientists and engineers. New York: Macmillan Publishing Co. [11] SPIEGEL, M.R.; WREDE, R.C. Cálculo avançado. Porto Alegre: Bookman. [12] SPIEGEL, M.R. Schaum’s outline of theory and problems of Fourier analysis with applications to boundary value problems. [13] SPIEGEL, M.R. Schaum’s outline of theory and problems of Laplace transforms. [14] SPIEGEL, M.R. Variáveis complexas. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil. [15] STEWART, J. Cálculo. Vol. 1 e 2. São Paulo: Cengage Learning. [16] TROFINO, A. Sistemas lineares. http://www.das.ufsc.br/~trofino [17] ZILL, D.G.; CULLEN, M.R. Equações diferenciais. Vol. 1 e 2. São Paulo: Makron Books. Observação: Os gráficos presentes nestas notas foram construídos empregando-se os aplicativos winplot, mathgv e maple. 317
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