Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
PROPOSTA DE PLANEJAMENTO E CONTROLE DE TRAJETÓRIA PARA
MANIPULADORES INDUSTRIAIS
JOSÉ L. N. SILVA¹, JOSIAS G. BATISTA¹, JONAS P. REGES¹, GEORGE A. P. THɲ.
1. Instituto Federal de Ciência e Tecnologia do Ceará, Depto de Tecnologia Da Indústria.
Campus Limoeiro do Norte, Rua Estevem Remígio 1145 CEP 62930-000, Limoeiro do Norte-CE.
E-MAILS: [email protected]
2. Universidade Federal do Ceará, Depto de Eng. De Teleinformática.
Campus do Pici, Caixa Postal 6007 CEP 60755-640, Fortaleza-CE.
E-MAILS:[email protected]
Abstract - This work is a proposal that includes a solution for trajectory generation based on artificial
potential fields and a solution to the trajectory control based on Jacobian Matrix Inverse manipulators .
The paper presents the technique of field potential as an alternative to planning the trajectory of a
manipulator, considering the presence of obstacles in the workspace and control points . It also presents a
numerical example illustrating the applicability of the methodology , presenting a trajectory to be
followed by the robot , established by analyzing the gradient of the objective function . This work also set
the trajectory control of manipulators in Cartesian space and joint space . Presented the pseudo - inverse
of Moore - Peronse as a solution to calculate the inverse Jacobian matrix of manipulators with varying
number of degrees of freedom. In these cases the concept of the pseudo- inverse matrix to the left and
right are applied . It is presented a solution for the trajectory control using the inverse of the Jacobian
matrix. It also includes simulations for trajectory generation and control of a planar manipulator using the
concepts developed in this work.
Keywords – Trajectory planning, Artificial Potential Field, Trajectory Control, Inverse Jacobian.
Resumo - Este trabalho consiste numa proposta que inclui uma solução para geração de trajetória baseada
em Campos Potenciais Artificiais e uma solução para o controle de trajetória baseada na Matriz Jacobiana
Inversa de robôs manipuladores. O trabalho apresenta a técnica de campo potencial como alternativa para
planejamento da trajetória de um manipulador, considerando a presença de obstáculos no espaço de
trabalho e pontos de controle. Este trabalho Também apresenta um exemplo numérico que ilustra a
aplicabilidade da metodologia, apresentando uma trajetória a ser seguida pelo robô, estabelecido pela
análise do gradiente da função objetivo. Também é definido o controle de trajetória de manipuladores no
espaço cartesiano e espaço das juntas. Apresentada a matriz pseudo-inversa de Moore-Peronse como uma
solução o cálculo da matriz Jacobiana inversa de manipuladores com numero de graus de liberdade
variados. Nestes casos são aplicados os conceitos da matriz pseudo-inversa à esquerda e à direita. È
apresentada uma solução para o controle de trajetória usando a inversa da matriz Jacobiana. É também
inclui simulações para geração e controle de trajetória de um manipulador planar usando os conceitos
desenvolvidos neste trabalho.
Palavras-chave – Planejamento Trajetória, Campo Potencial Artificial, Controle de Trajetória, Jacobiano
Inverso.
problema de navegação robô consiste em
realizar, em uma única etapa, as seguintes
tarefas (siciliano, 2009):
1. Introdução
O problema da geração de trajetória
consiste em levar o manipulador robótico para
a posição especificada, independentemente da
posição inicial e das variáveis do ambiente.
•
•
•
Este problema está incluso no quadro mais
geral da chamada navegação de robôs. O
3954
Planejamento de trajetória;
Geração de trajetória;
Controle de trajetória.
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
nome ao fato de o campo (vetorial) de forças
F(x) ser derivado do campo (escalar) potencial
U(x).
A função potencial U(x) é típicamente
definida no espaço livre como a combinação
linear de um campo atrativo, Uatr(x), que atrai o
robô para a posição alvo, e de um potencial
repulsivo, Urep(x), que o repele para longe dos
obstáculos
(Latombe,
1991).
Assim,
considerando a presença de um único obstáculo,
definindo as coordenadas da posição do
obstáculo como sendo Xobs = (xobs, yobs), a
posição do alvo por Xalvo = (xalvo, yalvo), e a
posição do centro do robô por X = (x, y) (no
caso de um robô móvel) ou origem do sistema
de coordenadas da ferramenta (no caso de um
manipulador), a trajetória gerada é função do
seguinte campo de potencial artificial:
Planejamento de trajetória consiste em
determinar uma curva no espaço de trabalho,
ligando a posição desejada inicial e final do
atuador, evitando qualquer obstáculo. A união
das posições no espaço cartesiano define dois
tipos de perfis para deslocamentos lineares e
circulares. Neste trabalho será usada a técnica
de campo potencial artificial para realizar o
planejamento da trajetória (Craig, 2005).
A trajetória parametrizada em tempo
resultante, que é comumente chamado de
trajetória de referência, é obtida principalmente
em termos das coordenadas e perfis definidos no
espaço de trabalho. Então, usando o método da
cinemática inversa podemos obter uma trajetória
parametrizada no tempo para as coordenadas no
espaço das juntas.
O controle de trajetória consiste em
resolver o problema de rastreamento da
trajetoria de referência. Nesta etapa será
implemtado um algoritmo baseado na matriz
inversa do Jacobiano da cinemática do robô.
Neste trabalho são realizadas simulações
para verificar a aplicação dos conceitos
apresentados em um manipulador planar de dois
graus de liberdade, além de uma discusão sobre
o cálculo da matriz pseudo-inverva para
manipuladores com vários graus de liberdade
(Romano, 2002).
Também são adotadas duas premissas
importantes para a geração e o planejamento de
trajetórias são a completude e a otimalidade.
Um planejamento completo garante que, caso
exista uma trajetória no espaço de trabalho, ela
será encontrada. Enquanto um planejamento
ótimo encontra o caminho de menor custo de
acordo com alguma métrica especificada, neste
trabalho a métrica adotada é distância mínima
(Aguirre, 2007).
U ( x ) = U atr ( x ) + U rep (x ) .
(1)
Em que U(x) é o potencial resultante do campo
artificial, Uatr (x) é o potencial atrativo
produzido pela posição do alvo, Xalvo, no
centro do robô, x, e Urep (x) é o potencial
repulsivo induzido pelo obstáculo em x. O vetor
que representa a força que deve aplicada no
centro do robô móvel ou ferramenta de um
manipulador é dado por:
F ( x ) = Fatr ( x ) + Frep ( x ) .
(2)
Onde
Fatr ( x) = −∇[U atr ( x )] .
[
]
Frep ( x ) = −∇ U rep ( x ) .
(3)
(4)
Em que F(x) é a força resultante, Fatr(x) é uma
força atrativa que guia o centro do robô ao alvo,
e Frep(x) é uma força que induz uma repulsão
artificial da superfície do obstáculo produzida
por Urep(x) (siciliano, 2009).
A geração de trajetória usando campos de
potencial é um método que pode ser utilizado
para planejamento global off-line, quando o
ambiente do robô é conhecido à priori, ou em
planejamento local on-line quando o ambiente é
desconhecido e a presença dos obstáculos vai
sendo detectada pelos sensores montados no
robô.
Sob a influência do campo potencial
artificial, o robô move-se na direção do
simétrico do gradiente, de zonas de potencial
mais elevado para a zona de menor potencial
(na posição do alvo - mínimo global), onde o
gradiente é nulo. No entanto, o campo potencial
pode possuir outros mínimos locais. Este é um
problema comum para todas as técnicas de
otimização que usam o gradiente de uma
função.
2. Planejamento de Trajetória Usando
Campos Potenciais Artificiais
O planejamento de trajetória com Campos
de Potencial Artificiais foi introduzido por
Oussama Khatib (Khatib, 1985) neste método,
considera-se x como uma posição de um ponto
que se move num campo de forças. O alvo
fornece uma força atrativa e os obstáculos,
forças repulsivas. Khatib descreve a filosofia do
método de campos de potencial artificiais como:
”The manipulator moves in a field of forces.
The position to be reached is an attractive pole
for the end effector and obstacles are repulsive
surfaces.”
Embora este método tenha sido
inicialmente introduzido para manipuladores, à
maioria das aplicações é no campo da robótica
móvel (Silva, 2005), (Tilove,1990). O método
de campos de potencial artificiais deve o seu
3955
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
mapeamento não linear entre o espaço das
juntas e o espaço cartesiano, realizado pelo
modelo cinemático direto (equação 5). Onde
T(q) é uma matriz de transformação homogênea
que resolve o problema da cinemática direta dos
manipuladores.
Em (Volpe, 1990) os campos de potencial
repulsivos em vez de tenderem para infinito à
medida que o robô se aproxima da superfície do
obstáculo, tendem suavemente para um valor
finito. Este método não elimina a existência de
mínimo local, mas reduz a sua existência
quando em presença de obstáculos convexos.
Apresentam como vantagem a possibilidades de
serem empregadas em tempo real.
Outra ferramenta para tratar mínimos
locais são as funções harmônicas que obedecem
à equação de Laplace. Em (Connolly,1990) é
utilizada a equação de Laplace onde as
fronteiras dos obstáculos são condições de
fronteira, daqui resulta uma função harmônica
que não tem mínimos locais e que pode ser
utilizada como função potencial para o
planeamento da trajetória do robô. Além de
requerer total conhecimento à priori da
geometria do mundo, portanto, não poder ser
utilizado para planejamento em tempo real, tem
um custo computacional muito elevado (Silva,
2005).
Para manipuladores outro ponto é o fato da
definição do campo de repulsão somente para a
origem do sistema de coordenadas da junta não
garante que o robô evitará a colisão com o
obstáculo. Portanto é necessária a definição dos
chamados pontos de controle. Os pontos de
controle são definidos como pontos nos elos do
robô que são sensíveis aos obstáculos. Um
exemplo de ponto de controle é o centro de
massa do elo (Spong, 2006). Há algumas
aplicações deste método para ambientes móveis
de geometria complexa, funcionando para
controle de trajetórias de manipuladores
robotizados (Harden, 1997).
A técnica de campos potenciais artificiais,
permite uma implementação em tempo real (on
line), gerando um caminho contínuo e
geralmente suave. Sua principal desvantagem
está na aparição de mínimos locais que chegam
a produzir uma parada no algoritmo empregado
(Latombe, 1991).
Outra desvantagem é determinar o número
de pontos de controle sobre o manipulador. Se
não houver números suficientes de pontos existe
o risco de colisão de partes do manipulador com
obstáculos (Harden, 1997), (Krogh, 1984). Para
robôs móveis este problema não existe porque
se trata o robô móvel como um ponto no espaço.
O centro geométrico é o único ponto de
controle.
X = T ( q) q .
(5)
O mapeamento dos pontos gerados é feito ponto
a ponto utilizando-se o modelo cinemático
inverso (equação 6).
q = T ( q ) −1 X
.
(6)
Ou seja, para cada ponto da trajetória
cartesiana são computados, através do modelo
cinemático inverso, os valores das variáveis de
junta correspondentes, que podem então ser
utilizados como referência para os controladores
de junta (siciliano, 2009).
No entanto, devido ao mapeamento nãolinear realizado pelo modelo cinemático
inverso, podem ocorrer problemas de
singularidades. Isto é, pode ocorrer que para
alguns pontos da trajetória espacial não seja
possível obter o ponto mapeado no espaço das
juntas, significando que a trajetória espacial
desejada, gerada com o campo potencial
artificial, não seja executável (Craig, 2005).
A cinemática diferencial estabelece a
relação entre as velocidades das juntas e as
correspondentes velocidades linear e angular do
efetuador. Este mapeamento é descrito através
da matriz Jacobiana que em geral depende da
configuração do manipulador (siciliano, 2009).
Portanto o controlador do robô deve
estabelecer que velocidades sejam aplicadas em
cada junta para conseguir que o atuador do robô
desenvolva uma trajetória, por exemplo, seguir
a trajetória de referência gerada pelo método de
campo potencial artificial.
Para este e outros fins, é de grande
utilidade dispor da relação entre as velocidades
das coordenadas angulares e a posição do
extremo do robô. A relação entre ambos os
vetores de velocidade se obtém através da
denominada matriz Jacobiana J. A matriz
Jacobiana direta permitir conhecer as
velocidades do extremo do robô a partir das
velocidades de cada junta:
.
.
X = J (q) q .
(7)
Assim, a matriz jacobiana inversa permitir
conhecer as velocidades necessárias em cada
junta para obter uma determinada velocidade no
extremo do robô:
3. Controle de Trajetória de Manipuladores
Quando a trajetória é gerada no espaço de
trabalho (espaço cartesiano) pelo método do
campo potencial não são facilmente convertidos
os pontos para o espaço das juntas q, devido ao
.
.
q = J (q) −1 X .
3956
(8)
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
implementação em uma linguagem de
programação. Tais técnicas não são apenas
rápidas, mas também, retornam respostas
precisas (Malajovich, 2010).
Para manipuladores redundantes, aqueles
que dispõem de uma quantidade de graus de
liberdade maior do que a quantidade de
variáveis necessárias para cumprir uma
determinada tarefa ou manipuladores com n < 6,
o Jacobiano não pode ser invertido, pelo fato da
matriz Jacobiana não ser quadrada. Para estes
casos lança-se mão da denominada pseudoinversa de Moore-Penrose. A mesma existe para
qualquer matriz que satisfaz as quatro condições
que definem uma matriz pseudo-inversa abaixo.
4. Definição do Jacobiano Inverso
Para executar tarefas complexas, definida
no espaço de trabalho (cartesiano) de um
manipulador industrial, são necessários no
mínimo seis graus de liberdade. Três para
posição e três para orientação do atuador.
Denotando-se por m o número de graus de
liberdade necessários à execução de uma tarefa
e por n os graus de liberdade do manipulador, a
matriz Jacobiana é uma matriz m x n, pode-se
encontrar relação ao sistema linear associado ao
Jacobiano inverso, três situações para os
manipuladores robóticos:
1.TT +T = T
• Se n < m: não existe solução.
• Se n = m pode ocorrer dois casos: primeiro
existe um número finito de soluções fora
das configurações singulares; segundo
existe um numero infinito de soluções nas
configurações singulares.
• Se n > m, tem-se uma redundancia e existe
um numero infinito de soluções. Para obter
uma solução
única, introduzem-se
restrições no espaço de trabalho, ou usa-se
um método que minimize determinado
critério de desempenho.
2.T +TT + = T +
3.T +T = [T +T ]T
(9)
4.TT + = [TT + ]T
[.]T
Onde
denota a matriz transporta. A
pseudo-inversa de Moore-Penrose pode ser
obtida por decomposição (Malajovich, 2010). A
inversa de Moore-Penrose reduz-se à chamada
pseudo-inversa à direita se m ≤ n . Aplicando
as propriedades obtemos a expressão para
pseudo-inversa a direita.
Estes casos occorrem para a maioria dos
manipuladores industriais, mas existem casos
particulares em que não são aplicáveis
(Siciliano, 2009). Para o controle de trajetória
em tempo real é necessário à solução do
problema da cinemática inversa e da matriz
jacobiana inversa. A matriz Jacobiana inversa
pode ser obtida através de dois métodos:
Inversão simbólica: se deixarmos a matriz
Jacobiana em sua forma original, forma
simbólica, pode-se encontrar a inversa usando a
álgebra linear. Exemplo método de Gauss. Mas
a complexidade do Jacobiano inverso obtido
torna este procedimento muito difícil ou até
mesmo impossível. Esta solução é um caso
específico que ocorre quando a quantidade de
graus de liberdade (n) igual à quantidade de
variáveis necessárias (m) para executar uma
tarefa.
Inversão numérica: para cada instante, a
configuração do robô define um conjunto de
variáveis no espaço das juntas, deste modo
então a matriz Jacobiana, em cada instante, é
uma matriz numérica diferente. A literatura em
análise numérica apresenta diversas técnicas
para a inversão de matrizes. Exemplos são o
método da pseudo-inversa de Greville e o
método da pseudo-inversa de Moore-Penrose.
Este último é adotado neste trabalho por ser
mais simples sua definição e fácil à
TR+ = T T (TT T ) −1 .
(10)
A inversa de Moore-Penrose reduz-se à
chamada pseudo-inversa à esquerda se m ≥ n .
Aplicando as propriedades obtemos a expressão
para pseudo-inversa à esquerda.
TL+ = (T T T ) −1T T .
Aplicando estas definições para
manipuladores industriais segue que:
(11)
os
Para o manipulador com n > m: manipulador
redundante, utilizamos o conceito da pseudoinversa à direita para determinar do Jacobiano
inverso
J −1 .
J ∈ R mxn , se m < n e o
( JJ T ) −1 existe (Malajovich,
rank J = m, então
( JJ T ) ∈ R mxm e tem rank
2010). E neste caso
Proposição 1: Para
m. usando este resultado obtemos:
( JJ T )( JJ T ) −1 = I
J [ J T ( JJ T ) −1 ] = I
JJ + = I
3957
(12)
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
Onde
+
T
5. Simulação da geração de trajetória usando
campo potencial artificial para manipulador
T −1
J = J ( JJ )
(13)
Nesta parte do trabalho é feita a geração de
trajetória para um robô planar com dois graus de
liberdade. O caminho gerado deve evitar a
colisão com os obstáculos. Os mesmo são
representados por círculos azuis com raio igual
a duas unidades. O centro destes círculos são os
pontos de coordenadas (1,0) e (-1,0). O cenário
para simulação é formado pela posição inicial,
posição alvo e a posição do centro geométrico
do obstáculo. A posição inicial é dada pela
seguinte coordenada no plano:
A equação (13) é chamado de matriz
pseudo-inversa à direita da matriz Jacobiana J
do manipulador. Substituindo a (13) na (8)
encontramos a solução do mapeamento das
velocidades para o manipulador com n > m:
.
.
q = J T ( JJ T ) −1 X
(14)
Para o manipulador com n < m: utilizamos o
conceito da pseudo-inversa à esquerda para
determinar do Jacobiano inverso.
x0 = ( x0 , y0 ) = (0,4)
J ∈ R nxm , se m > n e o
T
−1
rank J = n, então ( J J ) existe (Malajovich,
A posição alvo é dada pela seguinte
coordenada:
Proposição 2: Para
2010). E neste caso
(18)
xT = ( xT , yT ) = (0,−4)
( J T J ) ∈ R nxn e tem rank
(19)
n. usando este resultado obtemos:
Com a definição da posição inicial, uma
força de repulsão pode ser gerada na mesma. É
uma maneira de garantir que a inércia do
movimento será vencida e também que não
haverá um mínimo local na posição inicial. A
função adotada para representar a repulsão da
posição inicial foi (Lavalle, 2006):
( J T J ) −1 ( J T J ) = I
[( J T J ) −1 J T ]J = I
(15)
J +J = I
Onde
J + = ( J T J ) −1 J T
(16)
Vr ( x, y ) =
A equação (16) é chamado de matriz
pseudo-inversa à esquerda da matriz Jacobiana
J do manipulador. Substituindo esta equação
na equação (8) encontramos uma solução para
cinemática
inversa
da
velocidade
de
manipuladores com n < m.
.
(x − x0 )2 + ( y − y0 )2
.
(20)
Onde Kr é um parâmetro que controla a
intensidade desta repulsão na posição inicial, ou
seja, Kr é o parâmetro que define a intensidade
do campo de repulsão para a posição inicial. Em
seguida, para calcular as forças devido à ação
deste campo usando o conceito do gradiente nas
direções x e y da equação (20).
.
q = ( J T J ) −1 J T X .
Kr
(17)
A utilização de robôs em tarefas
complexas como montagem, e o aumento da
velocidade, implicará na utilização de
mecanismos de controle mais complexos do que
os atualmente utilizados na prática. Estas
técnicas de controle certamente estarão baseadas
numa
maior
utilização
dos
modelos
matemáticos que usarão a inversa da matriz
Jacobiana. Portanto as equações (14) e (17)
poderão ser utilizadas não só neste trabalho,
mas também no desenvolvimento de
manipuladores industriais.
∂Vr
.
∂x
∂V
f yr ( x, y ) = − r .
∂y
f xr ( x, y ) = −
(21)
(22)
Com a definição da posição alvo, uma
força de atração pode ser gerada na própria
posição inicial. A função adotada que representa
a atração para posição alvo foi adotada como
(Langer, 2007):
Va ( x, y ) =
3958
1
2
2
K a ( x − xT ) + ( y − yT ) . (23)
2
[
]
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
Para geração de trajetória usando Campo
Potencial Artificial, foram selecionadas
intensidades para os parâmetros conforme
mostrados na Tabela 1. Estes valores
apresentaram os melhores resultados na
simulação, adotando como critérios atingir a
posição sem colisão com obstáculos e a
manutenção da distância mínima dos obstáculos
para trajetória não ser demasiadamente longa.
Considere que a trajetória gerada é a
trajetória
executada
pelo
atuador
do
manipulador planar no espaço de trabalho. O
campo potencial gerado com estes parâmetros
esta representado na Figura 1.
O campo vetorial de forças gerado pelo
gradiente, ou as linhas do campo artificial, são
representadas com espaçamento (distancia entre
as linhas de campo) de 0,4 milímetros entre
linhas. As simulações foram realizadas com os
parâmetros Ka e Kr constantes. Os valores para
o parâmetro Ko foram variados no intervalo de
1 até 10.
Na figura 2 é apresentada a trajetória
gerada com os parâmetros da Tabela 1. A
trajetória gerada atende aos dois critérios de
completude e otimalidade. Na figura 3 é
apresentada a trajetória gerada com parâmetros
da Tabela 2. A trajetória gerada não atende aos
dois critérios adotados, pois, com o parâmetro
Ko no menor valor adotado, a presença dos
obstáculos é praticamente ignorada e a colisão é
certa. Portanto, essa configuração propicia o
pior o desempenho como planejador de
trajetória.
Na figura 4 é apresentada a trajetória
gerada com os parâmetros da Tabela 3. A
trajetória gerada também não atende aos dois
critérios adotados, pois, com o parâmetro Ko no
maior valor adotado, a presença dos obstáculos
causa um desvio muito grande e a posição alvo
nunca será atingida. No entanto o desempenho é
melhor a simulação com Ko=1, pois não houve
colisão com os obstáculos.
Onde Ka é um parâmetro que controla a
intensidade da atração ao alvo, ou seja, Ka é o
parâmetro que define a intensidade do campo de
atração para posição alvo. Em, seguida, para
calcular as forças devido à ação deste campo, é
utilizado o conceito do gradiente nas direções x
e y da equação (23).
∂Va
= − K a ( x − xT ) .
∂x
∂V
f ya ( x, y ) = − a = − K a ( y − yT ) .
∂y
f xa ( x, y ) = −
(24)
(25)
Com a definição dos obstáculos, ou seja, as
coordenadas que representam a localização dos
centros dos obstáculos (Xoi, Yoi), são geradas
as forcas de repulsão. A função que representa a
repulsão devido à presença de um obstáculo foi
adotada como (Langer, 2007):
Vo ( x, y ) =
Ko
2
(x − xoi ) + ( y − yoi )2
.
(26)
Onde Ko é um parâmetro que controla a
intensidade da repulsão aos obstáculos, ou seja,
Ko é o parâmetro que define a intensidade deste
campo de repulsão. No entanto na presença de
vários obstáculos foi realizada a integração dos
campos gerados por cada obstáculo. Em,
seguida, para calcular as forças devido à ação
deste campo, é utilizado o conceito do gradiente
nas direções x e y da equação (26).
∂Vo
.
∂x
∂V
f yo ( x, y ) = − o .
∂y
f xo ( x, y ) = −
(27)
(28)
A ação total do campo potencial é obtida
pela soma de cada força em sua respectiva
direção, conforme equações (29) e (30). Outro
ponto importante da simulação é o fato desta
metodologia ter sido aplicada inicialmente para
o sistema de coordenadas localizado no atuador.
Posteriormente foram adotados pontos de
controle localizados nos centros de massa de
cada elo do manipulador planar de dois graus de
liberdade.
6. Simulação do Controle de trajetória
usando o Jacobiano inverso
Nesta simulação foi usada equação (18) na
solução do problema de controle de trajetória
contínua tendo como entrada as variáveis no
espaço de trabalho (cartesiano), geradas no
planejamento de trajetória pelo campo potencial
artificial. Após o mapeamento destas
coordenadas temos a posição definida no espaço
das juntas que será o sinal de referência a ser
seguido.
f x ( x, y) = f xa ( x, y ) + f xr (x, y ) + f xo (x, y) . (29)
f y (x, y ) = f ya (x, y ) + f yr (x, y ) + f yo (x, y) . (30)
3959
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
O controle de trajetória no espaço
cartesiano da garra pode gerar posições
intermediárias nas juntas que estejam fora do
espaço de trabalho das mesmas ou que resultem
em configurações singulares para o robô. Todas
estas razões fazem com que normalmente seja
utilizada a interpolação no espaço das juntas.
Os dados inseridos para a simulação foram
a posição inicial das juntas 10º e 15º para juntas
1 e 2, considerando o manipulador planar. A
posição final é 75º para primeira junta e 45º para
a segunda. Esta trajetória foi definida com
tempo de execução de três segundos (Figura 5).
A trajetória gerada no espaço das juntas é
mostrada na Figura 6.
Figura 3. Caminho gerado Ko=1
Tabela 1. Parâmetros e intensidades.
Parâmetro
Intensidade
Ka
25
Kr
30
Ko
5
Tabela 2. Parâmetros e intensidades.
Parâmetro
Intensidade
Ka
25
Kr
30
Ko
1
Tabela 3. Parâmetros e intensidades.
Parâmetro
Intensidade
Ka
25
Kr
30
Figura 4. Caminho gerado Ko=10
Ko
10
Figura 5. Espaço para inserir dados da
simulação.
Figura 1. Campo potencial resultante
Figura 2. Caminho gerado
Figura 6. Resultado das simulações para
manipulador de dois de liberdade
3960
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
Harden (1997), T.A.The Implementation of
Artificial Potential Field Based Obstacle
Avoidance for a Redundant Manipulator. Ph.D.
Thesis, University of Texas, Austin, USA.
Khatib (1985), O. Real-time obstacle
avoidance for manipulators and mobile robots.
In: IEEE Conference on Robotics and
Automation. Vol. 2. pp. 500–505.
Krogh, (1984) B. H., A generalized potential
field approach to obstacle avoidance control.
Robotics Research: The Next Five Years and
Beyond.
Langer (2007), R. A. Estudo e
Implementação de métodos para planejamento
de trajetória e controle de robôs móveis não
homonômicos. Dissertação de mestrado.
Pontifícia Universidade Católica do Paraná.
LaValle (2006), Steven M., PLANNING
ALGORITHMS, University of Illinois.
Latombe (1991), J. C.. Robot Motion
Planning. Kluwer Academic Publishers.
Leite (2012), Antônio C., Algoritmos de
Controle Cinemático Com Desvio de obstáculos
Aplicados A Robôs do Tipo Pórtico. Anais do
XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA
2012.
Romano (2002), V. R., “Robótica
Industrial”. 1ª ed. São Paulo: Ed. Edgard
Blücher LTDA.
Silva (2005), E. O. Geração de trajetória em
tempo real: um estudo comparativo. Dissertação
de mestrado. Universidade do Minho.
Siciliano (2009), B., Sciavicco, L., Villani,
L. & Oriolo, G. , Robotics: Modelling, Planning
and Control, Springer Publishing Company,
Inc.
Spong (2006), M.W., Hutchinson, S., and
Vidyasagar, M., Robot Modeling and Control,
John Wiley and Sons.
Tilove (1990), R.B., Local obstacle
avoidance for mobile robots based on the
method of artificial potentials. In: IEEE Int.
Conf. Robotics and Automation. Vol. 2.
Cincinnati, OH. pp. 566–571.
Vargas (2012), Lucas V., Cinemática
Inversa de Robôs Manipuladores Utilizando
Inversa Filtrada. Anais do XIX Congresso
Brasileiro de Automática, CBA 2012.
Volpe (1990), R. and P. Khosla. Manipulator
control with superquadratic artificial potential
functions: Theory and experiments. IEEE
Transactions on Systems, Man, and Cybernetics
20(6), 1423–1436.
7. Conclusão
Nas simulações observa-se que a principal
vantagem do método de campo potencial
artificial é o baixo custo computacional do
algoritmo, permitindo aplicações em ambientes
dinâmicos. Este custo pode ser ainda menor se o
espaço de trabalho for pré-processado, como em
ambientes estáticos. Como desvantagem, podese ressaltar o problema dos mínimos locais. Para
escapar deste problema adotamos as soluções
apresentadas em (Volpe, 1990).
Portanto o método de Campo potencial
artificial requer ajustar vários parâmetros para
que a trajetória gerada seja satisfatória. Como
mostrado neste trabalho, através da seleção
adequada dos parâmetros Ka, Kr e Ko pode-se
atingir a posição e otimizar o caminho
percorrendo a distância mínima. Os resultados
das simulações foram satisfatórios, visto que a
solução proposta, quando aplicada a um
manipulador planar de dois graus de liberdade,
apresentou completude e a otimalidade.
Também foi possível verificar que
manipuladores industriais com o número de
graus de liberdade n < 6 podem ter a inversa da
sua matriz jacobiana obtida através da pseudoinversa à esquerda. Portanto é possível
implementar um algoritmo para o controle de
trajetória em tempo real nestes manipuladores.
Este trabalho representa uma contribuição
pelo fato de aplicar uma técnica consagrada na
literatura, Campo Potencial Artificial, para
geração de trajetória de manipuladores
industriais,
pois
através
de
pesquisa
bibliográfica verifica-se sua aplicação restrita a
robótica móvel (Langer, 2007) (Silva, 2005).
Outra contribuição é a solução do problema da
cinemática inversa usando o Jacobiano inverso.
9. Referencias bibliográficas
Aguirre (2007), L. A. (Ed.). Enciclopédia de
Automática: Controle e Automação. 1. ed. São
Paulo: Blutcher, v. III, 2007.
Craig (2005), John J., “Introduction to
Robotics,” 3rd Edition, Pearson Education, Inc.
Connolly (1990), C.I., J.B. Burns and R.
Weiss. Path planning using Laplace’s equation.
IEEE Conference on Robotics and Automation
pp. 2102–2106.
Malajovich (2010), Gregório. “Álgebra
Linear.”
Departamento
de
Matemática
Aplicada, Universidade Federal do Rio de
Janeiro.
3961