3
O Erro de Medição
Fundamentos da Metrologia
Científica e Industrial
www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI
Valor verdadeiro ????
A experiência nos mostra que repetidas medidas do mesmo
mensurando feitas no mesmo laboratório, com o mesmo
operador apresentam valores ligeiramente diferentes entre
si. Da mesma forma se o mesmo mensurando for
transferido para outro laboratório, novamente, outros
valores serão encontrados.
Esta situação no leva às seguintes questões:
1. Existe um valor verdadeiro dentre estas medições?
2. Existe uma forma de estimar o valor verdadeiro de
forma confiável?
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 2/67)
Valor verdadeiro ????
Existem duas abortagems para tratar esta questão. A
abortagem do erro e da incerteza.
Na abordagem do erro o valor verdadeiro é uma constante
desconhecida e o resultado de uma medição é uma variável
aleatória. A estatística clássica é aplicada aos erros
aleatórios e os erros sistemáticos são tratados em
separado.
Esta abordagem também é conhecida como a dos
frequêncistas.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 3/67)
Valor verdadeiro ????
A abordagem da incerteza está descrita na norma ISO GUM
(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement) e
é endossada por toda a comunidade metrológica.
Na abordagem da incerteza assim como na inferência
Bayesiana, o valor verdadeiro é considerado como uma
variável aleatória com valor representado por uma PDF
(probability
density
function)
obtida
através
do
conhecimento disponível. Os valores medidos são
considerados como parte do conhecimento disponível.
Esta abordagem é conhecida com dos Bayesianos.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 4/67)
Valor verdadeiro ????
Os Bayesianos respondem a primeira questão sobre a
existência de um valor verdadeiro assim:
A completa definição de uma quantidade escalar tem um
valor verdadeiro, mas ele não é geralmente conhecido
devido a um conhecimento incompleto.
Os frequêncistas respondem que uma quantidade escalar
tem um valor verdadeiro, mas ele é mascarado pelas
limitações da estatística e por erros sistemáticos
desconhecidos.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 5/67)
Valor verdadeiro ????
A resposta tanto dos Bayesianos como dos Frequêncistas à
segunda questão sobre se existe uma forma de estimar e
expressar o valor verdadeiro de forma confiável é “sim”
embora que a confiabilidade seja definida de formas
diferentes pelas duas abordagens.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 6/67)
Erro de Medição
sistema de
medição
indicação
mensurando

valor verdadeiro
erro de
medição
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 7/67)
Um exemplo de erros...

Teste de precisão de tiro de canhões:





Canhão situado a 500 m de alvo fixo;
Mirar apenas uma vez;
Disparar 20 tiros sem nova chance para
refazer a mira;
Distribuição dos tiros no alvo é usada para
qualificar canhões.
Quatro concorrentes:
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 8/67)
A
B
D
C
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 9/67)
Ea
Ea
Es
Es
A
B
D
C
Ea
Ea
Es
Es
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 10/67)
3.1
Tipos de erros – Terminologia do
VIM 2012 (Inmetro e Instituto
Português da Qualidade)
www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI
Termos do VIM


propriedade qualitativa: não pode ser
expressa quantitativamente. (sexo, cor...)
medição:
processo
de
obtenção
experimental de um ou mais valores que
podem ser razoavelmente, atribuídos a
uma grandeza. Não se aplica a
propriedades qualitativas.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 12/67)
Termos do VIM
2 Medição
2.1 (2.1)
medição measurement mesurage ; mesure medición ; medida
Processo de obtenção experimental dum ou mais valores que podem ser,
razoavelmente, atribuídos a uma grandeza.
NOTA 1
A medição não se aplica a propriedades qualitativas.
NOTA 2
A medição implica a comparação de grandezas ou a contagem de
entidades.
NOTA 3
A medição pressupõe uma descrição da grandeza que seja
compatível com o uso pretendido dum resultado de medição, segundo um
procedimento de medição e com um sistema de medição calibrado
que opera de acordo com o procedimento de medição especificado,
incluindo as condições de medição especificado, incluindo as condições de
medição.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 13/67)
Termos do VIM
2.6 (2.5)
procedimento de medição
measurement procedure
Descrição detalhada duma medição de acordo com um ou mais princípios de
medição e com um dado método de medição, baseada num modelo de
medição e incluindo todo cálculo destinado à obtenção dum resultado de
medição.
NOTA 1 Um procedimento de medição é geralmente documentado em detalhes
suficientes para permitir que um operador realize uma medição.
NOTA 2 Um procedimento de medição pode incluir uma declaração referente à
incerteza- alvo.
NOTA 3 Um procedimento de medição é algumas vezes chamado em inglês
standard operating procedure, abreviado como SOP. A 2ª edição do VIM em
francês usava a expressão“mode opératoire de mesure”. O termo usado no Brasil
é “procedimento operacional padrão”, abreviado como POP. Em Portugal, utiliza-se
o termo “Procedimento Técnico”.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 14/67)
2.9 (3.1)
resultado de medição
Termos do VIM
measurement result ; result of measurement
Conjunto de valores atribuídos a um mensurando, juntamente com toda outra
informação pertinente disponível.
NOTA 1 Um resultado de medição geralmente contém “informação pertinente” sobre
o conjunto de valores, alguns dos quais podem ser mais representativos do
mensurando do que outros. Isto pode ser expresso na forma duma função
densidade de probabilidade (FDP).
NOTA 2 Um resultado de medição é geralmente expresso por um único valor
medido e uma incerteza de medição. Caso a incerteza de medição seja
considerada desprezável para alguma finalidade, o resultado de medição pode ser
expresso como um único valor medido. Em muitos domínios, esta é a maneira mais
comum de expressar um resultado de medição.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 15/67)
Termos do VIM
2.11 (1.19)
valor verdadeiro duma grandeza
valor verdadeiro
true quantity value ; true value of a quantity ; true value
Valor duma grandeza compatível com a definição da grandeza.
NOTA 1 Na Abordagem de Erro para descrever as medições, o valor verdadeiro
duma grandeza é considerado único e, na prática, impossível de ser conhecido. A
Abordagem de Incerteza consiste no reconhecimento de que, devido à
quantidade intrinsecamente incompleta de detalhes na definição duma grandeza,
não existe um valor verdadeiro único, mas sim um conjunto de valores
verdadeiros consistentes com a definição. Entretanto, este conjunto de valores é,
em princípio e na prática, impossível de ser conhecido. Outras abordagens evitam
completamente o conceito de valor verdadeiro duma grandeza e avaliam a
validade dos resultados de medição com auxílio do conceito de
compatibilidade metrológica.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 16/67)
Termos do VIM
2.13 (3.5)
exatidão de medição
exatidão
measurement accuracy ; accuracy of measurement ; accuracy
Grau de concordância entre um valor medido e um valor
verdadeiro dum mensurando.
NOTA 1 A “exatidão de medição” não é uma grandeza e não
lhe é atribuído um valor numérico. Uma medição é dita
mais exata quando fornece um erro de medição menor.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 17/67)
Termos do VIM
2.13 (3.5)
exatidão de medição
Grau de concordância entre um valor medido e um valor
verdadeiro dum mensurando.
NOTA 2 O termo “exatidão de medição” não deve ser
utilizado no lugar de veracidade de medição, assim como o
termo “precisão de medição” não deve ser utilizado para
expressar exatidão de medição, o qual, contudo, está
relacionado a ambos os conceitos.
NOTA 3 A “exatidão de medição” é algumas vezes entendida
como o grau de concordância entre valores medidos que são
atribuídos ao mensurando.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 18/67)
Termos do VIM
2.14
veracidade de medição ; justeza de medição
veracidade ; justeza
15
measurement trueness ; trueness of measurement ; trueness
Grau de concordância entre a média dum número infinito de valores medidos
repetidos e um valor de referência.
NOTA 1 A veracidade de medição não é uma grandeza e, portanto, não pode ser
expressa numericamente. Porém, a norma ISO 5725 apresenta características
para o grau de concordância.
NOTA 2
A veracidade de medição está inversamente relacionada ao erro
sistemático, porém não está relacionada ao erro aleatório.
NOTA 3
Não se deve utilizar o termo “exatidão de medição” no lugar de
“veracidade de medição”.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 19/67)
Termos do VIM
2.15
precisão de medição ; fidelidade ou precisão de medição
precisão ; fidelidade ou precisão measurement precision ;
16
Grau de concordância entre indicações ou valores medidos, obtidos por
medições repetidas, no mesmo objeto ou em objetos similares, sob condições
especificadas.
NOTA 1 A precisão de medição é geralmente expressa numericamente por
características como o desvio-padrão, a variância ou o coeficiente de variação, sob
condições especificadas de medição.
NOTA 2 As “condições especificadas” podem ser, por exemplo, condições de
repetibilidade, condições de precisão intermediária ou condições de
reprodutibilidade (ver ISO 5725–1:1994).
NOTA 3
A precisão de medição é utilizada para definir a repetibilidade de
medição, a precisão intermediária de medição e a reprodutibilidade de
medição.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 20/67)
Termos do VIM
Conceitos importantes:
Exatidão:
- Concordância entre valor medido e um valor verdadeiro;
- Valor verdadeiro é um conceito idealizado;
- Termo “Acurácia” foi retirado do VIM.
Veracidade (justeza):
- Concordância entre valores medidos e um valor de referência;
Precisão (fidelidade):
- Concordância entre valores medidos obtidos por medições repetidas;
- Relacionado a repetibilidade e reprodutibilidade.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 21/67)
Termos do VIM
2.16 (3.10)
erro de medição
erro
measurement error ; error of measurement ;
Diferença entre o valor medido duma grandeza e um valor de referência.
NOTA 1
O conceito de “erro de medição” pode ser utilizado: (a) quando existe
um único valor de referência, o que ocorre se uma calibração for realizada por
meio dum padrão de medição com um valor medido cuja incerteza de medição
é desprezável, ou se um valor convencional for fornecido; nestes casos, o erro
de medição é conhecido; (b) caso se suponha que um mensurando é
representado por um único valor verdadeiro ou um conjunto de valores
verdadeiros de amplitude desprezável; neste caso, o erro de medição é
desconhecido.
NOTA 2
humano.
Não se deve confundir erro de medição com erro de produção ou erro
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 22/67)
Termos do VIM
2.17 (3.14)
erro sistemático
systematic measurement error ; systematic error of measurement ; systematic
error
Componente do erro de medição que, em medições repetidas, permanece
constante ou varia de maneira previsível.
NOTA 1 Um valor de referência para um erro sistemático é um valor
verdadeiro, ou um valor medido dum padrão com incerteza de medição
desprezável, ou um valor convencional.
NOTA 2
O erro sistemático e suas causas podem ser conhecidos ou
desconhecidos. Pode- se aplicar uma correção para compensar um erro
sistemático conhecido.
NOTA 3
O erro sistemático é igual à diferença entre o erro de medição e o
erro aleatório.
Tendência de medição é uma estimativa do erro sistemático.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 23/67)
Termos do VIM
2.19 (3.13)
erro aleatório
random measurement error ; random error of measurement ; random error
Componente do erro de medição que, em medições repetidas, varia de maneira
imprevisível.
NOTA 1 O valor de referência para um erro aleatório é a média que resultaria
dum número infinito de medições repetidas do mesmo mensurando.
NOTA 2 Os erros aleatórios dum conjunto de medições repetidas formam uma
distribuição que pode ser resumida por sua esperança matemática ou valor
esperado, o qual é geralmente assumido como sendo zero, e por sua variância.
NOTA 3
O erro aleatório é igual à diferença entre o erro de medição e o erro
sistemático.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 24/67)
Termos do VIM
2.20 (3.6, NOTAS 1 e 2)
condição de repetibilidade de medição
condição de repetibilidade
repeatability condition of measurement ; repeatability condition
Condição de medição num conjunto de condições, as quais incluem o mesmo
procedimento de medição, os mesmos operadores, o mesmo sistema de
medição, as mesmas condições de operação e o mesmo local, assim como
medições repetidas no mesmo objeto ou em objetos similares durante um curto
período de tempo.
NOTA 1
Uma condição de medição é uma condição de repetibilidade apenas
com respeito a um conjunto especificado de condições de repetibilidade.
NOTA 2 Em química, o termo “condição de precisão intrassérie” é algumas vezes
utilizado para designar este conceito.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 25/67)
Termos do VIM
2.22
condição de precisão intermediária ; condição de fidelidade ou precisão
intermédia
18
intermediate precision condition of measurement ; intermediate precision condition
Condição de medição num conjunto de condições, as quais compreendem o
mesmo procedimento de medição, o mesmo local e medições repetidas no
mesmo objeto ou em objetos similares, ao longo dum período extenso de tempo,
mas pode incluir outras condições submetidas a mudanças.
NOTA 1
As
condições
que
podem
variar
compreendem
novas
calibrações, padrões, operadores e sistemas de medição.
NOTA 2
É conveniente que uma especificação referente às condições
contenha, na medida do possível, as condições que mudaram e aquelas que
não.
NOTA 3
Em química, o termo “condição de precisão intersérie” é algumas
vezes utilizado para designar este conceito.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 26/67)
Termos do VIM
2.24 (3.7, Nota 2)
condição de reprodutibilidade de medição
condição de reprodutibilidade
reproducibility condition of measurement ; reproducibility condition
Condição de medição num conjunto de condições, as quais incluem diferentes
locais, diferentes operadores, diferentes sistemas de medição e medições
repetidas no mesmo objeto ou em objetos similares.
NOTA 1
Os diferentes sistemas de medição podem utilizar procedimentos de
medição diferentes.
NOTA 2
Na medida do possível, é conveniente que sejam especificadas as
condições que mudaram e aquelas que não.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 27/67)
Termos do VIM
2.26 (3.9)
incerteza de medição
incerteza
measurement uncertainty ; uncertainty measurement ; uncertainty
Parâmetro não negativo que caracteriza a dispersão dos valores atribuídos
a um mensurando, com base nas informações utilizadas.
NOTA 1 A incerteza de medição inclui componentes provenientes de efeitos
sistemáticos, tais como componentes associadas a correções e a valores
atribuídos a padrões, assim como a incerteza definicional. Algumas vezes, não
são corrigidos efeitos sistemáticos estimados mas, em vez disso, são
incorporadas componentes de incerteza de medição associadas.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 28/67)
Termos do VIM
incerteza de medição
- Incerteza Tipo A
- Variável aleatória;
- Incerteza Tipo B
- Conhecimento por parte do operador;
- Modelo matemático;
- Outras variáveis (grandezas) de influência;
- Atualmente há diferentes abordagens no cálculo da incerteza de medição
- Incerteza segundo o GUM (método clássico);
- Propagação de distribuições segundo o Método de Monte Carlo;
- Interferência bayesiana no cálculo da incerteza de medição.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 29/67)
Termos do VIM
2.36
intervalo de abrangência ; intervalo expandido
20
Intervalo, baseado na informação disponível, que contém o conjunto de valores
verdadeiros de um mensurando, com uma probabilidade determinada.
NOTA 1
Um intervalo de abrangência não está necessariamente centrado
no valor medido escolhido (ver o Guia ISO/IEC 98-3:2008/Supl.1).
NOTA 2 Não é recomendável que um intervalo de abrangência seja denominado
"intervalo de confiança" para evitar confusão com o conceito estatístico (ver o
Guia ISO/IEC 98-3:2008, 6.2.2).
NOTA 3 Um intervalo de abrangência pode ser deduzido duma incerteza de
medição expandida (ver o Guia ISO/IEC 98-3:2008, 2.3.5).
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 30/67)
Termos do VIM
Valor verdadeiro
(valor ideal)
Valor convencional
ou
Valor de referência (VR)
Exatidão de medição
(de um valor medido, termo qualitativo)
Veracidade de medição (qualitativa)
(grau de concordância de
infinitos valores medidos e um VR )
Inverso de Erro Sistemático
Constante ou varia de maneira previsível
Tendência de medição é uma estimativa do
erro sistemático
Erro aleatório: Componente
imprevisível em medições repetidas
Erro de medição
(uma medição)
Valor medido  VR
Precisão de medição
(pode ser expressa numericamente por
desvio padrão, variância ou coeficiente de variação)
(grau de concordância de medições repetidas)
Relacionado com repetibilidade e reprodutibilidade
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 31/67)
Termos do VIM
Condições de
repetibilidade de
medição
Condições de
precisão
intermediária
Condições de
reprodutibilidade
de medição
Mesmo procedimento de medição;
Mesmos operadores;
Mesmo sistema de medição;
Mesmas condições de operação;
Mesmo local e repetidas em curto período
de tempo.
Mesmo procedimento de medição;
Mesmo local;
Medições repetidas no mesmo objeto
ou similar;
Num período extenso de tempo;
(ou outras condições)
Diferentes locais;
Diferentes operadores;
Diferentes sistemas de medição;
Medições repetidas no mesmo objeto
ou similares;
Pode utilizar procedimentos diferentes.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 32/67)
3.2 e 3.3
Caracterização e componentes do
erro de medição
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Exemplo de erro de medição
(1000,00 ± 0,01) g
E = I - VVC
1
E = 1014 - 1000
1014
g
1014
0g
E = + 14 g
Indica a mais do
que deveria!
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 34/67)
Erros em medições repetidas
111
1014
1015
1017
0g
1010
erro médio
(1000,00
(1000,00
(1000,00
± 0,01)
± 0,01)
± 0,01)
g g g
1014 g
1015 g
1017 g
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
dispersão
1020
1000
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 35/67)
Cálculo do erro sistemático
média de infinitas indicações
condições:
valor verdadeiro conhecido exatamente
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 36/67)
Estimativa do erro sistemático
VVC
tendência
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 37/67)
3.4
Erro sistemático, tendência e
correção
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Algumas definições

Tendência (Td)


Valor Verdadeiro Convencional (VVC)


é uma estimativa do Erro Sistemático
é uma estimativa do valor verdadeiro
Correção (C)


é a constante que, ao ser adicionada à
indicação, compensa os erros sistemáticos
é igual à tendência com sinal trocado
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 39/67)
Correção dos erros sistemáticos
Td
C = -Td
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 40/67)
Indicação corrigida
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
média
I
1014
1015
1017
1012
1015
1018
1014
1015
1016
1013
1016
1015
1015
C
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15
Ic
999
1000
1002
997
1000
1003
999
1000
1001
998
1001
1000
1000
Ea
-1
0
2
-3
0
3
-1
0
1
-2
1
0
0
C = -Td
C = 1000 - 1015
C = -15 g
995
1000
1005
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 41/67)
3.5
Erro aleatório, incerteza padrão e
repetibilidade
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Erro aleatório e repetibilidade
-5
0
5
O valor do erro aleatório é imprevisível.
A repetibilidade define a faixa dentro da qual
espera-se que o erro aleatório esteja contido.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 43/67)
Distribuição de probabilidade
uniforme ou retangular
1.2
Probabilidade (1/6)
probabilidade
1/6
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1 2 3 4 5 6
Lançamento de um dado
1
2
3
4
5
6
Valores
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 44/67)
7
Distribuição de probabilidade
triangular
probabilidade (1/36)
6
4
2
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
Média de dois dados
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 45/67)
Distribuição de probabilidade
triangular
Probabilidade (1/36)
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Média de 2 dados
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 46/67)
Lançamento de um dado
Probabilidade (1/6)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Valores
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 47/67)
Média de dois dados
P rob a b ilid ade (1/36)
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
M é di a d e 2 d a do s
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 48/67)
Média de três dados
Pr o bab ilid ade (1/2 16)
30
25
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
M é di a d e 3 d a do s
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 49/67)
Média de quatro dados
Pro bab ilid a d e (1 /12 96)
16 0
14 0
12 0
10 0
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
M é di a d e 4 d a do s
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 50/67)
Média de seis dados
Pro ba bili dad e ( 1/ 466 56)
50 0 0
45 0 0
40 0 0
35 0 0
30 0 0
25 0 0
20 0 0
15 0 0
10 0 0
50 0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
M é di a d e 6 d a do s
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 51/67)
Média de oito dados
Probabilidade (1/1679616)
160000
140000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Média de 8 dados
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 52/67)
“Teorema do sopão”

Quanto mais
ingredientes diferentes
forem misturados à
mesma sopa, mais e
mais o seu gosto se
aproximará do gosto
único, típico e
inconfundível do
"sopão".
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 53/67)
Teorema central do limite

Quanto mais variáveis aleatórias forem
combinadas, tanto mais o comportamento
da combinação se aproximará do
comportamento de uma distribuição
normal (ou gaussiana).
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 54/67)
Curva normal
pontos de inflexão
s = desvio padrão
m = média
assíntota
s
s
assíntota
m
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 55/67)
Efeito do desvio padrão
s>s>s
m
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 56/67)
Cálculo e estimativa do
desvio padrão
cálculo exato:
(da população)
estimativa:
(da amostra)
n
n
s = lim
n
Ii
I
n
2
(
I

I
)
 i
i =1
n
s=
2
(
I

I
)
 i
i =1
n 1
i-ésima indicação
média das "n" indicações
número de medições repetidas efetuadas
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 57/67)
Incerteza padrão (u)




medida da intensidade da componente
aleatória do erro de medição.
corresponde à estimativa do desvio padrão
da distribuição dos erros de medição.
u=s
Graus de liberdade ():


corresponde ao número de medições
repetidas menos um.
=n-1
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 58/67)
Área sobre a curva normal
95,45%
2s
2s
m
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 59/67)
Estimativa da repetibilidade
(para 95,45 % de probabilidade)
A repetibilidade define a faixa dentro da qual,
para uma dada probabilidade, o erro aleatório é
esperado.
Para amostras infinitas:
Re = 2 . s
Para amostras finitas:
Re = t . u
Sendo “t” o coeficiente de Student para  = n - 1
graus de liberdade.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 60/67)
Coeficiente “t” de Student

1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
13.968
4.527
3.307
2.869
2.649
2.517
2.429
2.366
2.320

10
11
12
13
14
15
16
17
18
t
2.284
2.255
2.231
2.212
2.195
2.181
2.169
2.158
2.149

19
20
25
30
35
40
50
60
70
t
2.140
2.133
2.105
2.087
2.074
2.064
2.051
2.043
2.036

80
90
100
150
200
1000
10000
100000

t
2.032
2.028
2.025
2.017
2.013
2.003
2.000
2.000
2.000
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 61/67)
Exemplo de estimativa da
repetibilidade
(1000,00 ± 0,01) g
1
1014
g
1014
0g
1014 g
1015 g
1017 g
1012 g
1015 g
1018 g
1014 g
1015 g
1016 g
1013 g
1016 g
1015 g
média: 1015 g
12
u=
2
(
I

1015
)
 i
i =1
12  1
u = 1,65 g
 = 12 - 1 = 11
t = 2,255
Re = 2,255 . 1,65
Re = 3,72 g
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 62/67)
Exemplo de estimativa da
repetibilidade
-3,72
1010
1015
1015
+3,72
1020
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 63/67)
Efeitos da média de medições
repetidas sobre o erro de medição

Efeito sobre os erros sistemáticos:

Como o erro sistemático já é o erro médio,
nenhum efeito é observado.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 64/67)
Efeitos da média de medições
repetidas sobre o erro de medição

Efeitos sobre os erros aleatórios

A média reduz a intensidade dos erros
aleatórios, a repetibilidade e a incerteza
padrão na seguinte proporção:
Re I
Re I =
n
uI
uI =
n
sendo:
n o número de medições utilizadas para calcular a média
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 65/67)
Exemplo

No problema anterior, a repetibilidade da
balança foi calculada:
ReI = 3,72 g

Se várias séries de 12 medições fossem
efetuadas, as médias obtidas devem
apresentar repetibilidade da ordem de:
Re I1 2
3,72
=
= 1,07 g
12
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 66/67)
3.6
Curva de erros e erro máximo
www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI
Curva de erros
Td + Re
Td
Td - Re
erro
Emáx
15
1015
- Emáx
indicação
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 68/67)
Algumas definições

Curva de erros:


É o gráfico que representa a distribuição dos
erros sistemáticos e aleatórios ao longo da
faixa de medição.
Erro máximo:

É o maior valor em módulo do erro que pode
ser cometido pelo sistema de medição nas
condições em que foi avaliado.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 69/67)
3.7
Representação gráfica dos erros
de medição
www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI
Sistema de medição “perfeito”
(indicação = VV)
indicação
960
980
1000
1020
1040
960
1000
1020
1040
980
mensurando
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 71/67)
Sistema de medição com erro
sistemático apenas
indicação
960
980
1000
1020
1040
+Es
960
980
1000
1020
1040
mensurando
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 72/67)
Sistema de medição com erros
aleatórios apenas
indicação
960
980
960
980
Re
1000
1020
1040
1000
1020
1040
mensurando
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 73/67)
Sistema de medição com erros
sistemático e aleatório
indicação
960
980
Re
1000
1020
1040
+Es
960
980
1000
1020
1040
mensurando
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 74/67)
3.8
Erro ou incerteza?
www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI
Erro ou incerteza?

Erro de medição:


é o número que resulta da diferença entre a
indicação de um sistema de medição e o valor
verdadeiro do mensurando.
Incerteza de medição:

é o parâmetro, associado ao resultado de
uma medição, que caracteriza a faixa dos
valores que podem fundamentadamente ser
atribuídos ao mensurando.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 76/67)
3.9
Fontes de erros
www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI
Fontes de erros:
fatores externos
sinal de
medição
retroação
mensurando
operador
sistema de medição
indicação
fatores
internos
retroação
fatores externos
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 78/67)
Erros provocados por fatores
internos


Imperfeições dos componentes e
conjuntos (mecânicos, elétricos etc).
Não idealidades dos princípios físicos.
alongamento
região linear
força
região não linear
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 79/67)
Erros provocados por fatores
externos

Condições ambientais





temperatura
pressão atmosférica
umidade
Tensão e freqüência da rede elétrica
Contaminações
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 80/67)
Erros provocados por retroação

A presença do sistema de medição
modifica o mensurando.
65 °C
20 °C
70 °C
65 °C
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 81/67)
Erros induzidos pelo operador





Habilidade
Acuidade visual
Técnica de medição
Cuidados em geral
Força de medição
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 82/67)
Dilatação térmica

Propriedade dos materiais modificarem suas
dimensões em função da variação da
temperatura.
T
b
c
c'
b'
b = b' - b
c = c' - c
b =  . T . b
c =  . T . c
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 83/67)
Temperatura de referência


Por convenção, 20 °C é a temperatura de
referência para a metrologia dimensional.
Os desenhos e especificações sempre se
referem às características que as peças
apresentariam a 20 °C.
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 84/67)
Dilatação térmica:
distintos coeficientes de expansão térmica
I = 44,0
I = 40,0
>
I = 38,0
20°C
40°C
10°C
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 85/67)
Dilatação térmica:
mesmos coeficientes de expansão térmica
I = 40,0
I = 40,0
=
I = 40,0
20°C
40°C
10°C
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 86/67)
Dilatação térmica:
Ce
Sabendo que a 20C
Ci = Ce
α=α
Ci
Qual a resposta certa
a 40C?
(a) Ci < Ce
(b) Ci = Ce
(c) Ci > Ce
(d) NRA
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 87/67)
Dilatação térmica:
(a) Ci < Ce
(b) Ci = Ce
(c) Ci > Ce
(d) NRA
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 88/67)
Micrômetro
Fundamentos da Metrologia Científica e Industrial - Capítulo 3 - (slide 89/67)