ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES PROBABILIDADE E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS LISTA DE EXERCÍCIOS N.1 Capitulo I. 1-11- Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento. Exprima em notações de conjuntos , as seguintes afirmações verbais. A- Ao menos um dos eventos ocorre. B- Exatamente um dos eventos ocorre. C- Exatamente dois dos eventos ocorrem. D- Não mais de dois eventos ocorrem simultaneamente. 1-16- Suponha que A e B sejam eventos tais que P.( A) = x , P.( B ) = Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z.. A- P.( A ∪ B ) B- P.( A ∩ B ) C- P.( A ∪ B ) D- P.( A ∩ B ) y , e P.( A ∩ B ) = z . 1-18- Uma instalação é construída de duas caldeiras e uma maquina. Admita que o evento A seja que a maquina esteja em boas condições de funcionamento, enquanto os eventos Bk .(k = 1,2 ) são os eventos de que a k-ésima caldeira esteja em boas condições. O evento C é que a instalação possa funcionar. Se a instalação puder funcionar sempre que a maquina e pelo menos uma das caldeiras funcionar, expresse os eventos C e C , em termos de A e dos Bk 2.2 . Em uma sala , 10 pessoas estão usando emblemas numerados de 1 até 10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas a saírem da sala simultaneamente. O número de seu emblema é anotado. a- Qual é a probabilidade de que o menor número de emblema seja 5. b- Qual é a probabilidade de que o maior número de emblema seja 5? 2-4- Uma rremessa de 1500 arruelas contém 400 peças defeituosas e 1100 perfeitas. Duzentas arruelas são escolhidas ao acaso ( sem reposição ) e classificadas. a- Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 90 peças defeituosas. b- Qual a probabilidade de que se encontram ao menos 2 peças defeituosas.? 2-6.- Um lote é formado de 10 artigos bons. 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Um artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que. a- Ele não tenha defeitos. b- Ele não tenha defeitos graves. c- Ele ou seja perfeito ou tenha defeitos graves. 1 ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES PROBABILIDADE E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 2-8 – Um produto é montado em três estágios. No primeiro estágio, existem 5 linhas de montagem, no segundo estágio, existem 4 linhas de montagem e no terceiro estágio, existem 6 linhas de montagem. De quantas maneiras diferentes poderá o produto se deslocar durante o processo de montagem ? 2-11- Existem 12 categorias de defeitos menores de uma peça manufaturada, e 10 tipos de defeitos graves. De quantas maneiras poderão ocorrer 1 defeito menor e 1 grave ? E 2 defeitos menores e 2 graves ? 2-14- Com as seis letras A, B, C, D e F quantas palavras-código de 4 letras poderão ser formadas se. A- Nenhuma letra puder ser repetida. B- Qualquer letra puder ser repetida qualquer numero de vezes ? 2-16- Uma caixa contem etiquetas numeradas 1,2, ..., n . Duas etiquetas são escolhidas ao acaso. Determine a probabilidade de que os números das etiquetas sejam inteiros consecutivos se. A- As etiquetas forem escolhidas sem reposição. B- As etiquetas forem escolhidas com reposição. 2-19- Dentre 6 números positivos e 8 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números ( sem reposição ) e multiplicam-se esses números. Qual será a probabilidade de que o produto seja um numero positivo. .Capitulo III. 3-2- Uma caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas válvulas são extraídas juntas. Uma delas é ensaiada e se verifica ser perfeita. Qual a probabilidade de que a outra válvula também seja perfeita. 3-3- No problema anterior, as válvulas são verificadas extraindo-se uma válvula ao acaso, ensaiando-a e repetindo-se o procedimento até que todas as 4 válvulas defeituosas sejam encontradas. Qual será a probabilidade de que a quarta válvula defeituosa seja encontrada. A- No quinto Ensaio ? B- No décimo Ensaio ? 3-6- Vinte peças, 12 das quais são defeituosas e 8 perfeitas, são inspecionadas uma após a outra. Se essas peças forem extraídas ao acaso, qual será a probabilidade de que. A- As duas primeiras peças sejam defeituosas ? B- As duas primeiras peças sejam perfeitas ? C- Das duas primeiras peças inspecionadas , uma seja perfeita e a outra defeituosa ? 3-8- Um saco contem três moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto as duas outras moedas são normais e não viciadas. Uma moeda é tirada ao acaso do saco e jogada quatro vezes, em seqüência .Se sair cara toda vez, qual será a probabilidade de que seja a moeda de duas caras ? 2 ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES PROBABILIDADE E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 3-10- Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P.( A) = 0,4 enquanto P.( A ∪ B ) = 0,7 . Seja P.(B ) = . p A- Para que valor de p, A e B serão mutuamente excludentes ? B- Para que valor de p, A e B serão independentes ? 3-20-A- Na figura abaixo, suponha que a probabilidade de que cada relé esteja fechado seja p, e que cada relé seja aberto ou fechado independentemente um do outro. Em cada caso, determine a probabilidade de que a corrente passe de L para R. 2 1 R 3 L 5 4 3-20-A- Na figura abaixo, suponha que a probabilidade de que cada relé esteja fechado seja p, e que cada relé seja aberto ou fechado independentemente um do outro. Em cada caso, determine a probabilidade de que a corrente passe de L para R. 1 3 2 L R 4 5 6 3 ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES PROBABILIDADE E VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 3-30- Uma válvula a vácuo pode provir de três fabricantes, com probabilidade P.1 = 0,25 , P.2 = 0,50 e P.3 = 0,25 . As probabilidades de que, durante determinado período de tempo, a válvula funcione bem são, respectivamente, 0,1; 0,2 e 0,4 para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de que uma válvula escolhida ao acaso funcione bem durante o período de tempo especificado. 4