Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Prova Especı́fica de Matemática
Exame Especial de Acesso ao Ensino Superior
Duração: 2h30m + 30m tolerância
29/06/2012
Primeira Parte
Nas questões desta parte apresente o seu raciocı́nio de forma clara, indicando todos os cálculos
que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias.
1. Considere o prisma triangular [ABCDEF ]
E
A
D
F
B
C
1.1 Utilizando as letras da figura, dê exemplo de:
1.1.1 dois planos paralelos;
1.1.2 dois planos secantes;
1.1.3 duas retas não complanares;
1.1.4 duas retas estritamente paralelas;
1.1.5 uma reta e um plano perpendiculares.
1.2 Considere o plano γ que contém a aresta [AE] e o vértice C.
1.2.1 Identifique a figura geométrica que resulta da intersecção do plano γ com o prisma dado.
1.2.2 Sabendo que todas as arestas do prisma inicial medem 4 cm, determine a área da figura geométrica obtida.
2. Observou-se o número de horas de sono diárias de alguns habitantes, escolhidos ao acaso, da cidade de Vila Real.
Os valores observados foram resumidos no quadro seguinte:
No de horas
N de habitantes
o
]0,3]
5
]3,6]
10
]6,9]
20
]9,12]
10
]12,15]
5
2.1 Elabore o histograma das frequências absolutas acumuladas e o respectivo polı́gono de frequências.
2.2 Qual a percentagem de habitantes que dormem menos de 4.5 horas por dia?
2.3 Determine a média e o desvio padrão.
3. O João e a Isabel tiveram de ler para se prepararem para a prova de Português dos “Maiores de 23” um livro com
255 páginas numeradas, da página 1 (primeira página do livro) à página 255 (última página do livro). O João e a Isabel
começam a ler o livro no mesmo dia, na página 1. O João lê uma página no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes,
lê o dobro do número de páginas do dia anterior. A Isabel lê três páginas no primeiro dia e, em cada um dos dias seguintes,
lê mais duas páginas do que no dia anterior.
3.1 Complete a tabela abaixo indicando o número de páginas lidas pelo João e pela Isabel em cada dia.
No de páginas
João
Isabel
1o dia
1
3
2o dia
2
5
3o dia
4o dia
5o dia
3.2 Considerando (un )n∈IN e (vn )n∈IN as sucessões do número de páginas que cada um lê por dia, determine os seus
termos gerais.
3.3 Mostre que ao fim de n dias cada um deles leu, respectivamente 2n − 1 e n2 + 2n páginas e determine quantos dias
demorou cada um a ler o livro?
4. Numa amostra de 1000 funcionários de um banco verificou-se que 7% eram mulheres. Das mulheres, 40% eram
magras, 50% tinham o peso ideal e 10% tinham excesso de peso. Dos homens, 10% eram magros, 70% tinham o peso ideal
e 20% tinham excesso de peso.
4.1 Calcule a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso ser mulher sabendo que é magro.
4.2 Os acontecimentos “O funcionário é mulher” e “O funcionário é magro” são independentes?
4.3 Sabendo que um funcionário escolhido ao acaso não é magro, determine a probabilidade de ser mulher.
5. Considere a função f , real de variável real, cujo gráfico está representado na figura seguinte:
Indique:
5.1 o domı́nio e o contradomı́nio da função f ;
5.2 os intervalos onde a função f é crescente;
5.3 o máximo absoluto e o mı́nimo absoluto da função f ;
5.4 lim+ f (x) .
x→1
6. Calcule as derivadas das funções f e g reais de variavel real, definidas por:
f (x) = x5 + 2
!
1 − x2
e
g(x) =
sin x
.
1 + cos x
Segunda Parte
As cinco questões desta parte são de múltipla escolha.
Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para resposta a cada questão.
Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada.
Não apresente cálculos.
7. Um dado perfeito tem três faces verdes, duas azuis e uma preta. O dado vai ser lançado duas vezes ao ar. Qual é a
probabilidade de sair duas vezes a face preta?
(A) 2 .
(C)
1
36
.
(B)
2
36
(D)
1
6
.
.
8. Considere a circunferência de raio r e o triângulo retângulo nela inscrita [ABD] com catetos de medida x e y.
Podemos afirmar que:
(A) sin a > sin b.
(C) sin a =
y
x
(B) tga = xy .
sin b.
(D) cos a = xr .
9. Considere o seguinte subconjunto de IR :
"
U = x ∈ IR : 2 +
#
1
≤ −1 .
1−x
Qual dos seguintes conjuntos é igual a U?
(A) ]−∞, 1[ ∪
$
%
(C) 1 , 43 .
$4
3
%
, +∞ .
(B)
$
1,
4
3
$
.
(D) Nenhum dos anteriores.
10. Considere a função f (x) = xe−x . A expressão f (x) + f $ (x) é igual a:
(A) e−x .
(B) x2 e−x + e−x .
(C) 2xe−x .
(D) Nenhum dos anteriores.
11. A peça da figura seguinte é formada por duas semi esferas ligadas por um tubo cilı́ndrico.
Qual é o volume da peça representada:
(A)
20
3
3 πr .
(B) 12πr3 .
(C)
32
3
3 πr .
(D) Nenhum dos valores anteriores.
Cotações:
Primeira Parte:
1 - ........................................................... 20
2 - ........................................................... 15
3 - ............................................................ 15
4 - ............................................................ 20
5 - ............................................................ 15
6 - ............................................................ 15
Segunda Parte:
Cada resposta certa............................................................ 20
Cada resposta errada.......................................................... -5
Cada resposta anulada ou não respondida............................ 0