Departamento de Estatística - UFSCar
Introdução à Estatística e Probabilidade – 26/10/2015
Exercícios Extras - B
1. Seja t o tempo de cura, em semanas, de pacientes acometidos de uma doença e que foram submetidos e
um novo tratamento, t  0. Sejam, ainda, os eventos:
A = tempos cujos pacientes se curaram antes da 5a semana.
B = tempos cujos pacientes se curaram após a 3a semana.
C = tempos cujos pacientes se curaram entre a 4a e a 8a semanas.
a) Identifique , A, B e C.
b) Represente graficamente (A  B), (A  B), (C  Bc ) e (A  B  C ).
2. Sejam A, B e C eventos de um mesmo espaço amostral, tais que:
P(B) = 0,5; P(C) = 0,3; P(B|C) = 0,4 e P[A|(B∩C)] = 0,5.
Calcule P(A∩B∩C).
3. Para dois eventos A e B, mostre que:
P(Ac ∩ Bc) = 1 – P(A) – P(B) + P(A∩B).
4. Considere o alvo circular constituído por um quadrado com um círculo inscrito (de raio r) e um
circunscrito (de raio R), conforme a figura.
a) Qual a probabilidade de que um atirador, atirando a esmo, acerte na região entre as duas
circunferências?
b) Considere o alvo circular maior de raio R. Seja um tiro do mesmo anterior, ainda atirando a esmo. Qual
a probabilidade de que o tiro caia mais perto da borda do que do centro do círculo?
5. Quatro cartas são selecionadas ao acaso de um baralho comum com 52 cartas. Sejam os eventos
B = duas das cartas escolhidas são ases;
AE = o ás de espada é escolhido;
A = pelo menos um ás é escolhido.
Determine
a) P(B | AE);
b) P(B | A);
c) P(AE | B);
6. Na empresa M&B, 53% dos empregados são homens e 47%, mulheres. Dos homens, 22% são maiores
de 40 anos.
a) Se 38% dos empregados dessa empresa são maiores de 40 anos, qual é o percentual de mulheres nesta
faixa de idade.
b) Se um empregado escolhido ao acaso tiver mais de 40 anos, qual é a probabilidade de ser homem? E
mulher?
7. Sejam A e B eventos quaisquer, A e B, mostre que:
a) B = (B  A)  (B  Ac ).
b) (B  A)  (B  Ac ) = .
c) A  (B  Ac ) = B  A.
8. Um número é escolhido aleatoriamente entre os números inteiros de 1 a 20. Considere os eventos
A = o número escolhido é múltiplo de 3;
B = o número escolhido é par.
Descreva os eventos (A∩B), (AB), (A∩Bc) e calcule suas probabilidades.
9. Considere uma circunferência de raio R inscrita num alvo quadrado de lado L. Uma pessoa atirando a
esmo, a 5m de distância, acerta o alvo 75% das vezes.
Qual a probabilidade de que um tiro dado por essa pessoa acerte a região delimitada pelo quadrado, mas
não pela circunferência? (obs: dê um valor numérico como resposta)
10. Duas lâmpadas queimadas foram misturadas acidentalmente com 6 lâmpadas boas. Se vamos testando
uma-a-uma, até encontrar as duas queimadas, qual é a probabilidade de que a última defeituosa seja
encontrada no quarto teste?
11. Uma caixa contém etiquetas numeradas de 1 a n. Duas etiquetas são escolhidas ao acaso. Determine a
probabilidade de que os números sejam consecutivos se:
a) As etiquetas forem escolhidas com reposição.
b) As etiquetas forem escolhidas sem reposição.
12. Numa classe de português para estrangeiros, 8 alunos têm nacionalidade americana, 5 são alemães e 4
são franceses. Se três alunos são selecionados ao acaso para uma comissão, determine:
a) O total de comissões que podem ser formadas
b) A probabilidade de que os três alunos da comissão sejam de nacionalidades diferentes.
c) A probabilidade de os três alunos sejam americanos.
d) A probabilidade de que nenhum aluno seja americano.
13. Numa onde existiam 8 bolas brancas e 6 azuis, foi perdida uma bola de cor desconhecida. Após o
ocorrido, uma bola foi retirada da urna dentre as bolas restantes. Qual a probabilidade de que a bola
perdida seja branca dado que:
a) A bola retirada é branca?
b) A bola retirada é azul?
14. Na figura temos um sistema em paralelo, sendo que o sistema funciona se uma corrente elétrica passa
do ponto A ao ponto B. Supondo que todos os componentes trabalhem de forma independente e que
tenham a mesma probabilidade p de estarem funcionando, obtenha a probabilidade do sistema todo
estar funcionando e calcule o seu valor para p = 0.95. (PS: esta probabilidade é chamada de
confiabilidade do sistema)
15. Em uma população, a proporção de homens é de 54%. Sabe-se, ainda, que 6% dos homens são
daltônicos e que 0,25% das mulheres são daltônicas. Se uma pessoa é escolhida, ao acaso, e verifica-se
que é daltônica:
a) Qual é a probabilidade de que ela seja do sexo feminino?
b) E do sexo masculino?
16. Um produto da empresa M&B, pintado nas cores vermelho e verde para servir como brinde é
produzido em duas filiais K1 e K2. A filial K1 fabrica 64% da produção e a filial K2 o restante. Da
produção da filial K1 25% são pintados de vermelho.
a) Sabendo que da produção total das duas filiais 34% é pintada de vermelho, qual é a proporção da filial
K2 que é pintada de vermelho?
b) Se uma peça produzida pela empresa M&B, escolhida ao acaso for verde, qual é a probabilidade de ser
da filial K1? E da filial K2?
Desafio 1) Uma urna identificada pela letra A contem a bolas verdes e (10 – a) bolas amarelas. Uma
segunda urna, identificada por B, contem b bolas verdes e (9 – b) bolas amarelas. Uma bola é retirada da
urna A, sua cor anotada e em seguida é colocada na urna B. Uma bola é, então, extraída da urna B.
Determine:
a) Qual a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam verdes?
b) Qual a probabilidade de que seja uma bola de cada cor?
Desafio 2) O pôquer de dados é jogado com o lançamento simultâneo de 5 dados. As combinações
formadas serão:
Par = dois dados iguais;
Trinca = três dados iguais;
Quadra = quatro dados iguais;
Quina = cinco dados iguais.
Mostre que:
a) P(um par) = 0,46296;
b) P(dois pares) = 0,23148;
c) P(trinca) = 0,15432;
d) P(uma trinca e um par) = 0,03858;
e) P(quadra) = 0,01929;
f) P(quina) = 0,00077.
Desafio 3) Mostre que:
n
a)
n
  k   2n ;
k 0
 
b)
n
n
k 0
 
  k  (1)k
 0.