Universidade do Algarve
Departamento de Fı́sica
Problemas
de Termodinâmica
Orlando Camargo Rodrı́guez
Faro, 15 de Fevereiro de 2005
Capa:
Reptielen
(Répteis)
por:
M.C. Escher
§1.
Temperatura
Problema 1. Um termómetro de gás a volume constante é calibrado em gelo seco (dióxido
de carbono no estado sólido, temperatura de -80◦ C) e em álcool etı́lico em ebulição (temperatura de 78◦ C). Os valores das duas pressões são 0,9 atm e 1,635 atm, respectivamente.
Determine:
(a) o valor do zero absoluto fornecido pela calibração; (b) o valor da pressão no ponto de
congelação da água; (c) o valor da pressão no ponto de ebulição da água.
Problema 2. No termómetro de resistência a propriedade usada para medir a temperatura é a resistência eléctrica de um condutor. As temperaturas medidas por este
termómetro (em graus Kelvin ou em graus Celsius) podem ser directamente relacionadas
com a resistência R, medida em ohms. Um certo termómetro de resistência possui uma
resistência R = 90,35 Ω quando o seu bulbo é colocado em água, à temperatura do ponto
triplo (273,16 K). Determine a temperatura indicada pelo termómetro quando o seu bulbo
for colocado num meio tal que a sua resistência seja igual a (a) 105 Ω, (b) 96,28 Ω.
Problema 3. Os objectos quentes e frios arrefecem ou aquecem, respectivamente, até
atingir a temperatura do meio que os rodeia. Se não for grande a diferença de temperatura
∆T entre um objecto e a sua vizinhança, a taxa de arrefecimento ou de aquecimento é
directamente proporcional à diferença de temperatura entre o objecto e a vizinhança:
d∆T
= −k∆T ,
dt
sendo k uma constante. O sinal negativo é devido ao facto de ∆T diminuir com o tempo
se ∆T for positivo e vice-versa. Esta relação é conhecida como lei do arrefecimento de
Newton. (a) Quais são os factores de que depende k? quais são as suas dimensões? (b)
sendo ∆T0 a diferença de temperatura num certo instante, demonstre que
∆T = ∆T0 e−kt ,
após o intervalo de tempo t.
Problema 4. Um gás ideal está à pressão p0 e a uma temperatura T0 (em graus Kelvin).
O gás é mantido no interior dum recipiente rı́gido e indeformável. Em virtude do aquecimento do recipiente, a pressão do gás cresce isocoricamente (a volume constante) até
atingir um valor p. Obtenha a expressão da temperatura T do gás, em graus Kelvin para
esta pressão.
Problema 5. A pressão do gás dum termómetro de gás a volume constante é de 380
mmHg, quando o seu reservatório é colocado num padrão de ponto triplo. Qual será
o valor da temperatura registada pelo termómetro se estiver num ambiente tal que a
diferença de alturas entre as colunas esquerda e direita do manómetro de mercúrio é de
76 mm?
Problema 6. A temperatura na superfı́cie do Sol é aproximadamente igual a 6000 K.
Expresse esta temperatura em ◦ C e em ◦ F.
1
Problema 7. (a) Exprima a temperatura média do corpo humano (36◦ C) em K e em
◦
F; (b) exprima a temperatura normal do ponto de ebulição do oxigénio (-183◦ C) em ◦ F.
Problema 8. Converta para ◦ C as seguintes temperaturas: (a) 223 K; (b) -20◦ F; (c) 523 K;
(d) 235◦ F.
Problema 9. Converta para graus Kelvin as seguintes temperaturas: (a) 27◦ C; (b) -23◦ C;
(c) -200◦ C; (d) 20◦ F; (e) 120◦ F; (f) -200◦ F.
Problema 10. A que temperatura os seguintes pares de escalas fornecem a mesma
leitura? (a) Fahrenheit e Celsius. (b) Fahrenheit e Kelvin. (c) Celsius e Kelvin.
Problema 11. No intervalo de 0 a 660◦ C usa-se, para interpolar temperaturas na Escala
Internacional Prática, um termómetro de resistência de platina, de caracterı́sticas especificadas. A temperatura T é calculada através de uma equação que exprime a variação da
resistência em função da temperatura,
R = R0 1 + AT + BT 2
,
em que R0 , A e B são constantes determinadas nos pontos de congelação e de ebulição
da água e de fusão do enxofre (T3 = 115◦ C).
(a) Se R = 10000 Ω, no ponto de congelação, R = 13946 Ω no ponto de ebulição e R =
24817 Ω no ponto de fusão do enxofre, determine R0 , A e B. (b) Represente graficamente
R em função de T , entre 0 e 660◦ C.
§2.
Calorimetria
Problema 12. Qual é a quantidade de calor que é necessário fornecer a um cubo de gelo
de 1 g à temperatura de -30◦ C para obter vapor de água a 128◦ C? Dados: cg = 2090
J/(kg◦ C), λf = 333 kJ/kg, ca = 4186 J/(kg◦ C), λe = 2260 kJ/kg, cv = 2010 J/(kg◦ C).
Problema 13. Nas máquinas de café expresso utiliza-se vapor de água para aquecer o
café. Qual a massa de vapor de água à temperatura de 130◦ C necessária para aquecer
uma chávena de café (mc = 100 g) de Ti = 20◦ C até Tf = 50◦ C? considere que ca = cc .
Problema 14. Por vezes, utiliza-se um aparelho constituido por uma resistência eléctrica em forma de serpentina para aquecer água. Se o aparelho tiver uma potência de 10
W, quanto tempo é necessário esperar para que 1 kg de água à temperatura de 100◦ C se
evapore completamente?
Problema 15. No topo das cataratas do Niágara a temperatura da água é 5◦ C. Sabendo
que a altura da catarata é 50 m e assumindo que toda a energia potencial é utilizada para
o aquecimento da água, calcule a temperatura da água na base das cataratas.
Problema 16. 10 g de leite a 10◦ C são adicionados a 160 g de café a 90◦ C. Determine a
temperatura final de equilı́brio da mistura. Considere que cl = cc = ca .
2
Problema 17. Um recipiente metálico de 4,0 kg contém 14,0 kg de água e ambos estão
a 15◦ C. Um bloco de 2,0 kg feito do mesmo metal, que estava inicialmente a 160◦ C, é
mergulhado na água. Após o equilı́brio térmico, o sistema total encontra-se à temperatura
de 18◦ C. Determine o calor especı́fico do metal.
Problema 18. Dois cubos de gelo de 40 g são colocados num copo com 150 g de água.
A temperatura inicial da água era de 20◦ C e a temperatura inicial dos cubos de gelo era
de -10◦ C. Calcule a temperatura final de equilı́brio (cg = 0,50 cal/g◦ C e λf = 80 cal/g).
Problema 19. Um termómetro de massa 0,055 kg e calor especı́fico 0,20 kcal/kg◦ C marca
15◦ C. O termómetro é mergulhado em 0,3 kg de água e, após atingirem o equilı́brio
térmico, vai marcar 44,4◦ C. Calcule a temperatura inicial da água, isto é, antes da imersão
do termómetro, desprezando outras perdas possı́veis de calor.
Problema 20. A temperatura do ar nas regiões costeiras é influenciada pelo elevado
valor do calor especı́fico da água (4,186 kJ/(kg◦ C)). Uma das razões está relacionada com
o facto de que o calor libertado por 1 m3 de água quando arrefece 1◦ C, aumenta em
1◦ C a temperatura dum grande volume de ar. Calcule este volume, sabendo que o calor
especı́fico do ar é 1 kJ/kg◦ C e a densidade do ar é 1,3 kg/m3 .
Problema 21. O calor fornecido a um corpo desde uma temperatura inicial Ti até uma
temperatura final T é dado por
Q = A (T − Ti )2 ,
onde A = 20 cal/K2 .
(a) Determine a expressão da capacidade calorı́fica em função de T . (b) Sabendo que Ti
= 200 K, calcule a capacidade calorı́fica para T1 = 300 K.
Problema 22. Considere que o calor especı́fico de um corpo varia com a temperatura
de acordo com a relação
c = c0 + c1 T 2 ,
em que c0 e c1 são constantes e T é a temperatura, medida em graus Celsius. Compare o
calor especı́fico médio do corpo no intervalo [0, T0 ] com o calor especı́fico do mesmo corpo
à temperatura T0 /2.
Problema 23. Um bloco de gelo cuja massa inicial é de 50 kg a 0◦ C, desliza sobre uma
superfı́cie horizontal. A sua velocidade inicial é de 5,38 m/s e ele pára após percorrer
28,3 m. (a) Calcule a massa de gelo fundida como consequência do atrito entre o gelo e o
bloco. (b) Resolva o problema considerando que a temperatura inicial do bloco era -1◦ C.
(c) Determine a variação da temperatura do bloco nas condições da alı́nea anterior.
Problema 24. Um projéctil de chumbo de 2 g de massa move-se com velocidade de
200 m/s quando penetra num bloco de madeira dum pêndulo balı́stico de 2 kg de massa.
Calcule a variação da temperatura do projéctil, supondo que todo o calor libertado devido
ao atrito foi gasto para aquecê-lo.
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Problema 25. Numa experiência de Joule, um corpo de massa 6 kg cai duma altura de
50 m e faz rodar um conjunto de pás que agitam 0,6 kg de água. Calcule:
(a) a variação da temperatura da água; (b) a temperatura final da água, sabendo que a
mesma tinha uma temperatura inicial de 15◦ C.
Problema 26. Em torno de uma cratera formada por um meteorito, 75 kg de rocha
fundiram devido ao impacto. A temperatura do solo antes do impacto era de 0◦ C. Supondo
que o meteorito atingiu o solo enquanto se movia a uma velocidade de 600 m/s, determine
a massa inicial do meteorito considerando que durante o impacto não houve perdas de
calor para a rocha circundante, nem para a atmosfera. Considere crocha = 0,8 kcal/(kg◦ C),
Tf = 500◦ C, λf = 48 kcal/kg.
Problema 27. Num calorı́metro misturaram-se 100 g de alumı́nio à temperatura de
100◦ C com 50 g de água à temperatura de 20◦ C. Determine a temperatura final do conjunto. Considere cAl = 0,251 cal/(gK).
Problema 28. Num recipiente isolado, 250 g de gelo a 0◦ C são adicionados a 600 g de
água a 18◦ C. (a) Determine a temperatura final do sistema; (b) determine a quantidade
de gelo que permanece no sistema quando este atinge o estado de equilı́brio.
Problema 29. Um atleta dissipa toda a energia da sua dieta, que é de 4000 kcal/dia.
Compare este valor, supondo que ele fosse dissipado a uma taxa constante, com a produção
de energia duma lâmpada de 100 W.
§3.
Expansão térmica
Problema 30. Partindo da relação ∆l = αl∆T , obtenha uma expressão para o coeficiente de dilatação linear em função da taxa de variação do comprimento com a temperatura, dl/dT .
Problema 31. Mostre que se α for considerado função da temperatura então,


ZT

l = l0 exp 
 α(T )dT  ,
T0
em que l0 é o comprimento à temperatura de referência T0 .
Problema 32. A densidade, ρ, é definida como sendo o quociente entre a massa e o
volume de um corpo. Como o volume depende da temperatura, o mesmo acontece com a
densidade. Prove que a variação da densidade, ∆ρ, quando a temperatura varia de ∆T ,
é expressa por
∆ρ = −βρ2 ∆T ,
em que β é o coeficiente de dilatação volumétrica.
Problema 33. O espelho telescópico do observatório da Serra da Piedade, em Minas
Gerais, tem um diâmetro de 60 cm e o seu coeficiente de dilatação linear é, aproximadamente, de 3×10−6◦ C−1 . A temperatura na Serra da Piedade varia entre 3 e 30◦ C.
Determine a variação máxima do diâmetro do espelho.
4
Problema 34. Num balão de vidro são introduzidos 100 g de mercúrio, através de um
pequeno orifı́cio. O balão e o mercúrio encontram-se inicialmente à temperatura de 0◦ C.
Quando a temperatura do conjunto aumenta para 20◦ C, verifica-se que 0,3 g de mercúrio
transbordam. Sabendo que o coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é β =
1,82×10−4◦ C−1 , determine o coeficiente de expansão linear do vidro.
Problema 35. Um relógio de pêndulo adianta-se 5 segundos por dia quando a temperatura é igual a 15◦ C e atrasa-se 10 segundos por dia se a temperatura for de 30◦ C.
Determine o coeficiente de expansão linear do pêndulo, sabendo que o perı́odo de oscilação
dum pêndulo é dado por
s
l
T = 2π
,
g
onde l é o comprimento do pêndulo e g representa a aceleração da gravidade.
Problema 36. A densidade do mercúrio a 0◦ C é 13600 kg/m3 . Calcule a densidade do
mercúrio a 50◦ C, sabendo que o seu coeficiente de dilatação linear vale α = 0,61×10−4◦ C−1 .
Problema 37. Se tentarmos determinar o coeficiente de expansão volumétrica, β, dum
lı́quido contido num vaso, o valor obtido vai depender do coeficiente de dilatação do
material do vaso. Na Figura No.1 está representado um aparelho que permite calcular o
valor do coeficiente de dilatação volumétrica do lı́quido, sem necessidade de conhecer o
valor do β do vaso. Calcule o valor do β do lı́quido sabendo que ht - h0 = 1 cm, h0 = 100
cm e T = 20◦ C. A mistura de água-gelo encontra-se à temperatura de 0◦ C.
Figura No.1
Problema 38. Um termómetro de mercúrio é constituido por um reservatório esférico
e um tubo capilar. O tubo capilar e o reservatório têm diâmetros 0,004 cm e 0,25 cm,
respectivamente. Determine a altura a que o mercúrio sobe no tubo capilar para um
aumento de temperatura de 30◦ C sabendo que à temperatura inicial o mercúrio preenche
apenas todo o reservatório esférico. Considere αHg = 6,07×10−5 K−1 ; despreze a expansão
térmica do vidro.
5
Problema 39. As placas de cimento de uma certa autoestrada têm um comprimento de
25 m à temperatura de 10◦ C. Qual deve ser o espaçamento mı́nimo entre as placas se o
cimento puder atingir uma temperatura de 50◦ C? (considere αcimento = 1,2×10−5 K−1 ).
Problema 40. O gradiente de temperatura, dT /dx, através duma barra é dado pela
expressão
dT
= a + bx ,
dx
onde a = 200 K/m e b = 100 K/m2 . Suponha que a temperatura da barra no ponto x =
0 seja igual a 280 K. Calcule a temperatura da barra no ponto x = 0,4 m.
Problema 41. Suponha que a condutividade térmica do cobre é duas vezes a do alumı́nio
e quatro vezes a do latão. Três barras metálicas, feitas de cobre, alumı́nio e latão, respectivamente, têm 15,0 cm de comprimento e 2,5 cm de diâmetro cada uma. As barras são
colocadas em fila, de modo a que a de alumı́nio fique entre as outras duas. Os extremos
livres das barras de cobre e latão são mantidos a 100◦ C e a 0◦ C, respectivamente. Determine as temperaturas de equilı́brio nas superfı́cies de separação das barras de cobre e de
alumı́nio e nas de alumı́nio e de latão.
Problema 42. Duas barras de metal quadradas, idênticas, são soldadas ponta com ponta
como ilustra a Figura No.2(a). Suponha que 10 cal de calor fluem através das barras em 2
minutos. Quanto tempo levaria para que 10 cal fluissem, se as barras estivessem soldadas
como mostra a Figura No.2(b)?.
(c)
Figura No.2
Problema 43. Numa região de inverno rigoroso, é deixado um tanque ao ar livre até
que se forme sobre a superfı́cie da água uma camada de gelo com espessura igual a 5,0
cm, conforme a ilustrado na Figura No.2(c). O ar acima do gelo está a -10◦ C. Calcule
a taxa de formação de gelo, em cm/h, sob a superfı́cie inferior do gelo. Considere a
condutividade térmica, a densidade e o calor de fusão do gelo como sendo iguais a 0,004
cal/s.cm.◦ C, 0,92 g/cm3 e 80 cal/g, respectivamente. Considere que nenhuma quantidade
de calor atravessa a água através das paredes do tanque.
6
§4.
Gases ideais
Problema 44. Um gás ideal encontra-se num recipiente à pressão p1 e temperatura T1 .
Outro gás ideal encontra-se noutro recipiente de volume V2 (diferente de V1 ) e pressão
p2 (diferente de p1 ). A temperatura T é a mesma nos dois recipientes. Obtenha uma
expressão para a determinação da pressão de equilı́brio quando os dois recipientes forem
ligados.
Problema 45. Um recipiente de 20 litros, mantido à temperatura de 127◦ C, contém 3,2
g de oxigénio, 2,8 g de de azoto e 0,2 g de hidrogénio. As massas moleculares valem 32
para o oxigénio, 28 para o azoto e 2 para o hidrogénio. Determine a pressão parcial:
(a) do oxigénio; (b) do azoto; (c) do hidrogénio.
Problema 46. A massa da molécula de hidrogénio (H2 ) é 3,32×10−24 g. Se 1023 moléculas
de hidrogénio chocarem, durante um segundo, contra 2,0 cm2 de uma parede inclinada
de 45◦ em relação à direcção da velocidade, que vale 105 cm/s, qual a pressão que elas
exercem sobre a parede?
Problema 47. Uma sala de 80 m3 de volume contém ar com uma massa molar média
de 20 g/mol. a temperatura ambiente é de 18◦ C. Se se aumentar a temperatura ambiente
para 25◦ C, qual é a variação da massa de ar na sala?
Problema 48. Qual o volume ocupado por uma mole de um gás ideal nas condições
normais de pressão e temperatura? Mostre que o número de moléculas por cm3 nestas
condições (conhecido como “número de Loschmidt”) corresponde a 2,687×1019 .
Problema 49. Uma bolha de ar de 20 cm3 de volume, encontra-se no fundo de um lago
a 40 m de profundidade e à temperatura de 4◦ C. A bolha sobe a superfı́cie que está a
temperatura de 20◦ C. Supondo que a temperatura da bolha é igual à temperatura da
água na sua vizinhança, calcule o seu volume imediatamente antes de chegar à superfı́cie
do lago.
Problema 50. Um litro de oxigênio gasoso, à temperatura de 40◦ C e pressão de 76 cmHg, expande-se até o volume de 1,5 litros e pressão de 80 cm-Hg. Determine: (a) a massa
do sistema em moles; (b) a sua temperatura final.
Problema 51. A 273◦ F e 1,0×10−2 atm a densidade de um gás é 1,24×10−5 g/cm3 .
(a) Determine a velocidade quadrática média das moléculas do gás. (b) Determine a
massa molecular do gás e identifique-o.
Problema 52. (a) Calcule a velocidade quadrática média de um átomo de árgon à temperatura ambiente (20◦ C). (b) A que temperatura a velocidade quadrática média do átomo
será reduzida à metade desse valor? E a que temperatura ela valerá o dobro?
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§5.
Primeiro princı́pio da Termodinâmica; ciclos
Problema 53. Um sistema recebe 2 kcal de calor e realiza um trabalho igual a 3,35 kJ.
O correspondente aumento de energia interna do sistema é igual a 5030 J. Determine o
equivalente mecânico do calor.
Problema 54. Um cilindro provido de um êmbolo móvel contém gás no seu interior e
acha-se imerso numa mistura de gelo e água, como está ilustrado na Figura No.3. O
gás é comprimido rapidamente, levando-se o êmbolo da posição (1) à posição (2), onde é
mantido até que atinja a temperatura de 0◦ C. Em seguida é levado muito lentamente até
á posição (1). Se se fundirem 100 g de gelo durante um ciclo, qual o trabalho realizado
sobre o gás? (λf = 333 kJ/kg).
Figura No.3
Problema 55. Um sistema termodinâmico é levado do estado inicial A até ao estado B e
trazido de volta a A através do estado C, conforme o diagrama p − V da Figura No.4(a).
(a) Complete a tabela da Figura No.4(b), atribuindo os sinais + ou − às grandezas
termodinâmicas associadas a cada processo.
(b) Calcule o trabalho realizado pelo sistema para o ciclo completo A − B − C − A.
Figura No.4
Problema 56. Considere a Figura No.5. Suponha que a variação de energia interna do
sistema seja igual a 230 J para o percurso iaf . Calcule a variação de energia interna para
os percursos (a) if ; (b) ibf e (c) f i.
8
Figura No.5
Problema 57. Considere a mesma figura do problema anterior. Quando um sistema é
levado do estado i para o estado f , ao longo do caminho iaf , Q = 50 cal e W = 20
cal. Ao longo do caminho ibf , verifica-se que Q = 36 cal. (a) Qual o valor de W para o
percurso ibf ?. (b) Se W = -13 cal para o caminho f i, qual o valor de Q?. (c) Se Ui =
10 cal, quanto vale Uf ?. (d) Se Ub = 22 cal, quanto vale Q, para o processo ib? e para o
processo bf ?
Problema 58. Deixa-se cair uma bola de ferro de uma altura de 10 m, sobre um chão
de cimento. Após o primeiro choque, a bola sobe até altura de 0,5 m. Supondo que toda
a energia mecânica macroscópica perdida pela bola, após o primeiro choque com o chão,
tenha sido absorvida pela própria bola, pergunta-se: (a) foi fornecido calor à bola? (b) foi
realizado trabalho sobre a bola? (c) a sua energia interna mudou? Em caso afirmativo,
de quanto? (d) qual foi a variação de temperatura da bola após a primeira colisão? (CF e
= 0,12 cal/g◦ C).
Problema 59. O melhor vácuo que se consegue obter em laboratório corresponde à
pressão de aproximadamente 10−14 atm (cerca de 10−10 mmHg). Quantas moléculas por
centı́metro cúbico existem neste vácuo, à temperatura ambiente?
Problema 60. Responda às seguintes perguntas: (a) a energia interna de um gás ideal
depende do volume?; (b) a energia interna de um gás ideal depende da sua pressão?
(c) calcule a energia interna de uma mole de um gás ideal monoatómico a 273 K.
Problema 61. A massa da molécula de um gás pode ser calculada a partir do calor
especı́fico a volume constante. Considere cv = 0,075 kcal/(kgK) para o árgon. Calcule:
(a) a massa de um átomo de árgon; (b) o peso atómico do árgon.
Problema 62. Obtenha uma expressão para a velocidade de propagação do som num
gás ideal, em função de γ, de R, de T e da massa molecular, M .
Problema 63. Obtenha a equação que relaciona a temperatura com o volume de um gás
ideal que sofre uma transformação adiabática reversı́vel. Suponha que o calor especı́fico
molar a volume constante do gás, cv , é constante.
Problema 64. Uma mole de oxigénio é aquecido a pressão constante, a partir de 0◦ C.
Qual é a quantidade de calor que deve ser adicionada ao gás para que o seu volume
aumente para o dobro?
9
Problema 65. Numa máquina térmica reversı́vel, uma mole de um gás ideal monoatómico sofre uma transformação cı́clica representada no diagrama da Figura No.6. O processo 1–2 é isocórico, o processo 2–3 é adiabático e o processo 3–1 isobárico. (a) Calcule o
calor Q, a variação de energia interna U e o trabalho W para cada um dos três processos
e para o ciclo completo. (b) Se a pressão no ponto 1 for igual a 1,0 atm, qual será a
pressão e o volume nos pontos 2 e 3?
Figura No.6
Problema 66. Dez gramas de oxigénio são aquecidos desde 27◦ C até 127◦ C à pressão
atmosférica, considerada constante. (a) Qual a quantidade de calor transmitida para
o oxigénio?. (b) Que fracção desse calor é usada para aumentar a energia interna do
oxigénio?
Problema 67. (a) Um gás ideal monoatómico, inicialmente a 27◦ C, é comprimido bruscamente até um décimo do seu volume inicial. Qual será a sua temperatura após a
compressão?; (b) faça o mesmo cálculo para um gás diatómico.
§6.
Segundo princı́pio da Termodinâmica; ciclos de
Carnot
Problema 68. Uma máquina de Carnot utiliza um gás ideal como substância de trabalho e funciona entre as temperaturas 227◦ C e 127◦ C. Ela absorve 6,0×104 calorias à
temperatura mais elevada. (a) Qual é o trabalho realizado pela máquina em cada ciclo?
(b) determine o rendimento da máquina.
Problema 69. Num ciclo de Carnot, a expansão isotérmica do gás ocorre a 500 K e a
compressão isotérmica ocorre a 300 K. Durante a expansão são transferidas 700 calorias
de energia térmica para o gás. Determine: (a) o trabalho realizado pelo gás durante a
expansão isotérmica; (b) o calor cedido pelo gás durante a compressão isotérmica; (c) o
trabalho realizado sobre o gás durante a compressão isotérmica.
Problema 70. Invertendo o ciclo de Carnot obtém-se um frigorı́fico ideal. Ele absorve
uma quantidade de calor Q2 à temperatura T2 e cede uma quantidade de calor Q1 à
10
temperatura superior T1 . Sabendo que a diferença entre o calor recebido e o cedido o
trabalho W que deve ser fornecido para que o frigorı́fico funcione, mostre que
W = Q2
T1 − T2
.
T2
Problema 71. Num frigorı́fico, a câmara de baixa temperatura encontra-se a -15◦ C e o
gás no compressor está a uma temperatura de 37◦ C. (a) Calcule o rendimento deste ciclo.
(b) Se a quantidade de calor fornecida ao frigorı́fico for igual a 30 J, qual será o trabalho
fornecido ao mesmo?
Problema 72. Uma máquina de Carnot funciona entre um reservatório quente à temperatura de 320 K e um reservatório frio a 260 K. (a) Se ela absorver 500 J de calor do
reservatório quente, que trabalho irá produzir esta máquina num ciclo? (b) Se ela funcionar ao contrário, como um frigorı́fico, que trabalho deve ser fornecido à máquina para
extrair 1000 J de calor do reservatório frio?
Problema 73. O motor de um frigorı́fico tem uma potência de 200 W. Suponha que
a temperatura dentro do frigorı́fico é 270 K e a temperatura exterior 300 K. Qual a
quantidade máxima de calor que pode ser retirada do frigorı́fico em 10 minutos?
Problema 74. O perpetuum mobile de primeira espécie (ou motor contı́nuo de primeira
espécie) é um dispositivo que viola o Primeiro Princı́pio da Termodinâmica. O perpetuum mobile de segunda espécie é um dispositivo que viola o Segundo Princı́pio da
Termodinâmica. Um engenheiro diz que inventou uma máquina térmica tal que, operando
por ciclos, consome uma quantidade de calor igual a 1,06×108 J de uma fonte a 480 K
e fornece uma quantidade de calor igual a 4,2×107 J a uma fonte a 240 K. Ele diz que
esta máquina produz um trabalho de 16 kWh. Verifique se esta máquina viola: (a) o 1o.
princı́pio da termodinâmica; (b) o 2o. princı́pio da termodinâmica.
Problema 75. Uma máquina térmica de dois estágios, no primeiro estágio absorve uma
quantidade de calor Q1 à temperatura T1 , realiza o trabalho W1 e cede a quantidade de
calor Q2 à temperatura T2 . No segundo estágio absorve o calor cedido no primeiro, realiza
o trabalho W2 e cede a quantidade de calor Q3 à temperatura mais baixa T3 . Prove que
o rendimento do conjunto é
T1 − T3
η=
.
T1
Problema 76. Uma turbina combinada tem uma primeira turbina, que usa como substância
de trabalho mercúrio, e uma segunda turbina que usa vapor de água. A primeira turbina
absorve vapor saturado de mercúrio de uma caldeira à temperatura de 470◦ C e descarregao para uma caldeira que produz vapor de água à temperatura de 238◦ C. A segunda turbina
recebe este vapor e lança-o para um condensador que está a temperatura de 38◦ C. Qual
o rendimento máximo da combinação?
Problema 77. Um motor de combustão interna a gasolina pode ser aproximado pelo
ciclo Otto mostrado na Figura No.7. O processo 1–2 representa a explosão (faı́sca), os
processos 2–3 e 4–1 representam a expansão e compressão, respectivamente, e o processo
3–4 representa a admissão da mistura inicial (a expansão seguida do escape). Neste
11
problema considere um gás ideal. Considere ainda uma razão de compressão V4 /V1 = 4 e
suponha que p2 = 3p1 . (a) Calcule a temperatura em cada um dos vértices do diagrama
p − V , em função de p1 , T1 e da razão γ = cp /cv . (b) Calcule o rendimento deste ciclo.
(c) Concretize a alı́nea anterior, considerando um gás ideal diatómico, p1 = 1,013×105 Pa
e T1 = 293 K e compare o resultado obtido com o rendimento de uma máquina de Carnot
que funciona entre as temperaturas T2 e T4 do ciclo analisado.
Figura No.7
Problema 78. O ciclo Diesel é o ciclo ideal das máquinas de combustão interna nas
quais, em vez da explosão ser provocada por uma faı́sca, é provocada por uma compressão adiabática. Em relação às duas transformações adiabáticas (uma compressão e
uma expansão) o ciclo Diesel e o ciclo Otto são análogos. Além disso, em ambos ocorre
igualmente um arrefecimento isocórico. Entretanto, no ciclo diesel, em vez do aquecimento
isocórico que ocorre no ciclo Otto, verifica-se um aquecimento isobárico. (a) Represente o
ciclo Diesel num diagrama p − V . (b) Determine o rendimento do ciclo Diesel em função
da razão de compressão e em função da razão entre os calores especı́ficos, considerando
um gás ideal.
Problema 79. Uma mole de um gás ideal monoatómico passa do estado inicial, com
pressão pi e volume Vi , para o estado final, de pressão 2pi e volume 2Vi . O gás atinge
o estado final através de dois processos diferentes: I) expansão isotérmica seguida de
um aumento de pressão isocórico, até atingir o estado final; II) compressão isotérmica e
expansão isobárica até atingir o estado final. (a) Desenhe o caminho de cada processo
num diagrama p − V . (b) Para cada processo calcule a variação de entropia do gás.
Problema 80. Num calorı́metro misturam-se 100 g de alumı́nio (cp = 0,215 cal/gK) à
temperatura de 100◦ C com 50 g de água a 20◦ C. Calcule a diferença de entropia entre o
estado final e o estado inicial da mistura (ca = 1 cal/(g·◦ C).
Problema 81. Um cubo de gelo de 8 g à temperatura de -10◦ C é lançado numa garrafa
térmica que contém 100 cm3 de água à temperatura de 20◦ C. Qual é a variação de entropia
do sistema quando se atinge o estado final de equilı́brio? (cg = 0,52 cal/(g·K), λf = 333
kJ/kg).
12
Problema 82. Um cubo de gelo de 10 g, à temperatura de -10◦ C, é colocado num lago
cuja temperatura é de 15◦ C. Calcule a variação de entropia do sistema quando o cubo de
gelo atinge o equilı́brio térmico no lago.
§7.
Gás de Van der Waals
Problema 83. A constante a da equação de Van der Waals é 0,37 Nm4 /mol2 para o CO2
e 0,025 Nm4 /mol2 para o H. Calcule a pressão interna desses gases (ou seja, a razão a/V 2 )
para valores de V /V0 iguais a 1, 0,01, 0,001 e V0 = 22,4 l/mol.
Problema 84. A constante b da equação de Van der Waals é 43 cm3 /mol. Usando o
valor de a do problema anterior calcule a pressão a 0◦ C para o volume especı́fico de 0,55
l/mol. Qual seria o valor da pressão usando a equação de estado?
Problema 85. Supondo que o Hélio seja um gás de Van der Waals, calcule a pressão do
mesmo para T = 353 K e V = 0,5 l/mol. Considere a = 3,44 Jm3 /Kmol2 e b = 0,0234
m3 /Kmol.
Problema 86. Calcule o trabalho realizado por uma mole de um gás de Van der Waals,
cujo volume muda de V1 para V2 .
Problema 87. Mostre que, para um gás de Van der Waals, é válido que:
∂cv
∂V
!
=0,
T
V2 − b
(s2 − s1 )T = R ln
V1 − b
cp − cv =
!
, e
R
.
1 − 2a (V − b)2 / (RT V 3 )
Problema 88. Demonstre que, para um gás de Van der Waals, é válido que:
a) Num processo adiabático:T (V − b)γ−1 = constante ;
b) numa expansão livre (∆U = 0, ∆V = V2 − V1 > 0):∆T =
a V1 − V2
.
cv V1 V2
Problema 89. Determine o trabalho realizado numa expansão isotérmica por um gás de
Beattie-Bridgeman (1928), para o qual é válida a seguinte equação de estado:
nRT
n2 β n3 γ n4 δ
+ 2 + 3 + 4 .
p=
V
V
V
V
Problema 90. Determine o trabalho realizado numa expansão isotérmica por um gás de
Redlich-Kwong (1949), para o qual é válida a seguinte equação de estado:
p=
nRT
a
√ .
−
V − nb V (V + nb) T
13
§8.
Livre percurso médio
Problema 91. O livre percurso médio das moléculas de azoto a 0C e à pressão p = 1
atm é 0,8×10−7 m. Nestas condições há 2,7×1019 moléculas por cm3 . Calcule o diâmetro
de uma molécula.
Problema 92. A 2500 km de altitude, acima do nı́vel do mar, a densidade do ar é de
aproximadamente 1 molécula por cm3 . Qual é o livre percurso médio de uma molécula?
considere d = 2×10−8 cm.
Problema 93. Uma molécula de hidrogénio (diâmetro d =10−10 m) sai de um forno
(T = 400 K) com uma dada velocidade média quadrática (vqm ). Em seguida entra numa
cavidade cheia de átomos de Árgon frio (de diâmetro molecular 3×10−10 m) cuja densidade
é 4×1019 moléculas/cm3 . (a) Determine o valor de vqm ; (b) qual é a distância mı́nima
entre os centros da molécula de hidrogénio e um átomo de Árgon?; (c) qual é o número
inicial de colisões entre a molécula de hidrogénio e os átomos de Árgon?.
Problema 94. Calcule o livre percurso médio e a frequência de colisão para moléculas
de ar à pressão de 1 atm. Considere d = 2×10−8 cm.
14
§9.
O sistema SI de unidades
Unidades básicas
Quantidade
Comprimento
Massa
Tempo
Temperatura
Corrente eléctrica
Intensidade luminosa
Quantidade de substância
Unidade
metro
quilograma
segundo
kelvin
ampere
candela
mol
Sı́mbolo
m
kg
s
K
A
cd
mol
radiano
esteradiano
rad
sr
Unidades adicionais
Ângulo plano
Ângulo sólido
Unidades derivadas com nome próprio
Quantidade
Frequência
Força
Pressão
Energia
Potência
Carga
Potencial eléctrico
Capacidade eléctrica
Resistência
Conductância eléctrica
Fluxo magnético
Densidade do fluxo magnético
Inductância
Fluxo luminoso
Iluminância
Actividade
Dose absorbida
Dose equivalente
§10.
Unidade
hertz
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
farad
ohm
siemens
weber
tesla
henry
lumen
lux
becquerel
gray
sievert
Sı́mbolo
Hz
N
Pa
J
W
C
V
F
Ω
S
Wb
T
H
lm
lx
Bq
Gy
Sv
Derivação
s−1
kg×m×s−2
N×m−2
N×m
J×s−1
A×s
W×A−1
C×V−1
V×A−1
A×V−1
V×s
Wb×m−2
Wb×A−1
cd×sr
lm×m−2
s−1
J×kg−1
J×kg−1
Prefixos
yotta
zetta
exa
peta
tera
Y
Z
E
P
T
1024
1021
1018
1015
1012
giga
G
mega M
quilo k
hecto h
deca da
109
106
103
102
10
deci
centi
milli
micro
nano
15
d 10−1
c 10−2
m 10−3
µ 10−6
n 10−9
pico
p
femto f
ato
a
zepto z
yocto y
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
§11.
Constantes fı́sicas
Aceleração da gravidade
Const. gravı́tica
Velocidade da luz no vácuo
Carga elementar
Constante de Coulomb
Constante eléctrica
Constante magnética
(4πε0 )−1
Const. da estructura fina
Const. de Planck
Const. de Dirac
Magnetão de Bohr
Ráio de Bohr
Const. de Rydberg
Magnetão nuclear
Momento magn. do electrão
Momento magn. do protão
c.d.o de Compton
c.d.o de Compton
para o protão
c.d.o de Compton
para o neutrão
Const. de
Stefan-Boltzmann
Const. de Wien
Const. universal
dos gases
Const. de Avogadro
Const. de Boltzmann
Volume dum gás em
condições normais
Raio do electrão
Massa do electrão
Massa do protão
Massa do neutrão
Unid. elementar de massa
(ou unid. de massa
atómica, u.m.a.)
m/s2
m3 kg−1 s−2
m/s (def)
C
Nm2 /C2
F/m
α = e2 /2hcε0
h
h̄ = h/2π
µB = eh̄/2me
a0
Ry
µN
µe
µp
λCe = h/ (me c)
λCp = h/ (mp c)
9,80665
6, 67259 × 10−11
2, 99792458 × 108
1, 6021892 × 10−19
9 × 109
8, 85418782 × 10−12
4π × 10−7 =
= 12, 5663706144 × 10−7
8, 9876 × 109
≈ 1/137
6, 6260755 × 10−34
1, 0545727 × 10−34
9, 2741 × 10−24
0, 52918
13,595
5, 0508 × 10−27
9, 2847701 × 10−24
1, 41060761 × 10−26
2, 2463 × 10−12
1, 3214 × 10−15
λCn = h/ (mn c)
1, 3195909 × 10−15
m
σ
5, 67032 × 10−8
Wm2 K−4
kW
R
2, 8978 × 10−3
8,314472
mK
J/mol
NA
k = R/NA
Vm
6, 02214199 × 1023
1, 3806503 × 10−23
22, 41383 × 10−3
mol−1
J/K
m3 /mol
re
me
mp
mn
mu =
2, 817938 × 10−15
9, 109534 × 10−31
1, 6726485 × 10−27
1, 674954 × 10−27
1, 6605656 × 10−27
m
kg
kg
kg
kg
g
G, γ
c
e
K
ε0
µ0
µ0
1
m(126 C)
12
16
H/m
Nm2 C−2
Js
Js
Am2
Å
eV
J/T
A·m2
A·m2
m
m
Diâmetro do Sol
Massa do Sol
Perı́odo rot. do Sol
Raio da Terra
Massa da Terra
Perı́odo rot. da Terra
Perı́odo orb. da Terra
D
M
T
RT
MT
TT
Ano tropical
Unidade astronómica
Ano-luz
Parsec
Unidade Astronómica
Const. de Hubble
AU
ly
pc
AU
H
1392 × 106
1, 989 × 1030
25,38
6, 378 × 106
5, 976 × 1024
23,96
365,24219879
31556926
1, 4959787066 × 1011
9, 4605 × 1015
3, 0857 × 1016
149597870000
≈ (75 ± 25)
c.d.o = comprimento de onda
§12.
Escalas de temperaturas
K =
◦
C =
◦
C =
◦
F =
◦
C + 273,15,
K - 273,15,
5/9(◦ F 32),
◦
9/5 C +
32.
17
m
kg
dias
m
kg
horas
dias
s
m
m
m
m
km×s−1 ×Mpc−1
§13.
Relações úteis
Unidades angulares
57,29577951308232◦ =
1 rad
1◦
=
0,01745329251 rad
10
= 2,90888208666×10−4 rad
100
= 4,8481368111×10−6 rad
1 gradiano
=
0,01570796326795 rad
(ângulo recto/100)
Unidades de comprimento
1 amstrong
=
1×10−10 m
1 polegada
=
0,0254 m
1 pé
=
0,3048 m
1 pé (USA)
=
1200/3937 m
1 jarda
=
0,9144 m
1 jarda (USA)
=
3600/3937 m
1 milha naútica
=
1852 m
1 milha terrestre
=
1609,344 m
1 milha terrestre
=
6336000/3937 m
(USA)
Unidades de área
1 acre
=
4046,8564224 m2
1 are
=
1×102 m2
1 hectare
=
1×104 m2
Unidades de volume
1 litro
=
1×10−3 m3
1 barril de petróleo =
0,15898729492 m3
1 galão (USA)
=
3,785411784×10−3 m3
1 galão (UK)
= 4,54609929488×10−3 m3
18
Unidades de massa
1 libra
=
0,45359237 kg
1 onça
= 0,02834952312 kg
1 slug
= 14,5939029372 kg
Unidades de velocidade
1 nó
=
1852/3600 m/s
1 milha por hora
=
0,44704 m/s
Unidades de pressão
1 atm
=
101325 Pa
1 atmosfera técnica
=
98066,5 Pa
1 metro de água
=
9806,65 Pa
1 milimetro de mercúrio
=
101325/760 Pa
1 torr
=
101325/760 Pa
1 pé de água
=
2989,06692 Pa
1 polegada de água
=
249,08891 Pa
1 polegada de mercúrio
= 3386,38815789 Pa
1 libra por polegada quadrada = 6894,75729317 Pa
Unidades de força
1 dine
=
1×10−5 N
1 quilograma-força
=
9,80665 N
1 libra-força
= 4,44822161526 N
Unidades de potência
1 cavalo-força métrico
=
735,49875 W
1 BTU por hora
= 0,29307107017 W
Unidades de energia
1 cal
=
4,186 J
1 eV
=
1,602×10−19 J
1 pé libra-força
=
1,35581794833 J
1 cavalo-força
=
745,699871582 J
1 BTU
=
1055,05585262 J
(British thermal unit)
19
§14.
Propriedades fı́sicas de algumas substâncias
§14.1
Densidade
3
Substância
Água∗
Água de mar∗
Gelo
Alumı́nio
Ar
Betão
Bronze
Cobre
Duralumı́nio
Glicerina∗
Granito
Eter∗
Ferro
Invar
Irı́dio
Latão
Mercúrio∗
Óleo
Ouro
Petróleo
Prata
Volfrâmio
Zinco
kg/m
1 ×103
1,02×103
9,2 ×102
2,71×103
1,29
2,2 ×103
8,8 ×103
8,92×103
2,79×103
1,26×103
2,8 ×103
7,1×102
7,8×103
8,7×103
2,24×104
8,4×103
1,36×104
9,2 ×102
1,93×104
8,5 ×102
1,05×104
1,91×104
7,14×103
∗
ρ
kg/dm3 ou g/cm3
1
1,02
0,92
2,71
1,29×10−3
2,2
8,8
8,92
2,79
1,26
2,8
0,71
7,8
8,7
22,4
8,4
13,6
0,92
19,3
0,85
10,5
19,1
7,14
A 20◦ C/293 K.
20
§14.2
Calor especı́fico
c
◦
Substância
J/(kg· C) cal/(g·◦ C)
Água
4186
1
Gelo
2090
0,5
Vapor de água
2010
0,4802
Alumı́nio
880
0,210
Ar
1000
0,24
Árgon
314
0,075
Chumbo
129
0,031
Cobre
385
0,091
Estanho
250
0,06
Ferro
461
0,11
Mercúrio
125
0,03
Vidro
840
0,2
§14.3
Calor latente
Calor latente de fusão λf :
λf
Substância
J/kg
cal/g
3
Água
333×10
80
Calor latente de evaporação λe :
λe
Substância
J/kg
cal/g
3
Água
2260×10
539
21
§14.4
Condutividade térmica
Substância
Água
Gelo
Neve seca
Alumı́nio
Ár a temperatura ambiente
Ár a 0◦ C
Asbesto
Chumbo
Cobre
Concreto
Cortiça
Ferro
Fibra de vidro
Hélio a 0◦ C
Hidrogénio a 0◦ C
Lã
Lexan
Madeira (Carvalho)
Prata
Vidro
22
W/(m·K)
0,596
0,017
0,11
209,0
0,03
0,024
0,17
35,0
400,0
8,4
0,046
68,0
0,063
0,13
0,17
0,042
0,19-0,22
0,17
423
0,84
k
cal/(s·cm·◦ C)
0,1424
0,004
0,026
50,0
0,0072
0,0057
0,04
8,3
95,56
2,0
0,011
16,3
0,015
0,03
0,04
0,01
0,0454-0,0525
0,04
101,0
0,25
§14.5
Constantes de van der Waals
Gás
He
Ne
Ar
Kr
Xe
H2
N2
O2
Cl2
H2 O
CH4
CO2
CCl4
§14.6
a (l2 atm/mol2 ) b (l/mol)
0,0341
0,02370
0,211
0,0171
1,34
0,0322
2,32
0,0398
4,19
0,0510
0,244
0,0266
1,39
0,0391
1,36
0,0318
6,49
0,0562
5,46
0,0305
2,25
0,0428
3,59
0,0427
20,4
0,1383
Resistividade a 20◦ C
Metal
Resistividade (Ω·m)
Alumı́nio
2,826×10−8
Borracha sólida
1-100×1013
Chumbo
2,2×10−7
Cobre
1,724×10−8
Constantan
49×10−8
Cromonı́quel
100×10−8
Ferro
9,71×10−8
Germânio
1-500×10−3
Grafite
3-60×10−5
Manganina
48,2×10−8
Mercúrio
98×10−8
Platina
10,6×10−8
Prata
1,59×10−8
Quartzo fundido
7,5×1017
Silı́cio
0,1-60
Tungsténio
5,6×10−8
Vidro
1-10000×109
23
24
(227)
88
Ra
226,03
Fr
(223)
**Actinı́deos
*Lantanı́deos
Ac**
137,34
87
73
91
Pa
231,04
90
Th
232,04
Metais
140,91
140,11
61
(263)
Sg
106
183,85
W
74
95,94
Mo
42
52,00
Cr
62
(262)
Bh
107
186,21
Re
75
(98)
Tc
43
54,94
Mn
238,03
U
92
144,24
Metalóides
237,05
Np
93
(145)
95
151,96
Eu
63
(265)
Hs
108
190,2
Os
76
101,07
Ru
44
55,85
Fe
96
157,25
Gd
64
(266)
Mt
109
192,22
Ir
77
102,91
Rh
45
58,93
Co
(244)
(243)
(247)
Bk
97
158,92
Tb
65
(269)
Uun
110
195,09
Pt
78
106,4
Pd
46
58,71
Ni
Metais de transição
(247)
Pu Am Cm
94
150,36
Nd Pm Sm
60
59
Pr
58
(262)
(261)
Db
105
104
Rf
180,95
178,49
Ta
72
Hf
92,91
Nb
41
50,94
V
91,22
Zr
40
47,90
Ti
Ce
89
138,91
La*
57
88,91
132,91
87,62
85,47
Y
56
Sr
Rb
39
44,96
Ba
38
37
55
40,08
39,10
Sc
Cs
20
Ca
19
24,31
K
22,99
29
(251)
Cf
98
162,50
Dy
66
(272)
Uuu
111
196,97
Au
79
107,87
Ag
47
63,55
Cu
30
31
Si
(257)
N
70
208,96
Bi
83
121,75
Sb
51
74,92
As
33
30,97
P
15
14,01
101
168,93
(258)
(259)
No
102
173,04
Tm Yb
69
207,2
Pb
82
118,69
Sn
50
72,59
Ge
32
28,09
Fm Md
100
167,26
Er
68
(282)
Uut
113
204,37
Tl
81
114,82
In
49
69,72
Ga
Não-metais
(252)
Es
99
164,93
Ho
67
(277)
Uub
112
200,59
Hg
80
112,40
Cd
48
65,38
Zn
26,98
Al
14
13
C
12,01
10,81
B
F
(210)
At
85
126,90
I
53
79,90
Br
35
35,45
Cl
17
19,00
Gases nobres
(260)
Lr
103
174,97
Lu
71
(209)
Po
84
127,60
Te
52
78,96
Se
34
32,06
S
16
16,00
O
(222)
Rn
86
131,30
Xe
54
83,80
Kr
36
39,95
Ar
18
20,18
Ne
Mg
28
18
VIIIA
Na
9
17
VIIA
12
8
16
VIA
11
7
15
VA
9,01
6
14
IVA
Be
5
13
IIIA
6,94
27
12
IIB
Li
26
11
IB
10
25
10
4,00
24
8
4
23
7
VIIB
3
22
6
VIB
1,01
21
5
VB
He
4
IVB
H
3
IIIB
2
2
IIA
1
1
IA
Grupo
9
VIIIB
§15.
Tabela periódica dos elementos