MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Geometria
Analítica
no Plano:
Ponto, Reta e
Circunferência
2
O emprego de coordenadas cartesianas, tanto
no plano quanto no espaço, servem a pelo menos
dois propósitos que se complementam. O primeiro
é o de atribuir um significado geométrico a fatos de
natureza numérica, como o comportamento de uma
função real, que ganha muito em clareza quando
se olha para seu gráfico. E o segundo propósito é
recorrer–se às coordenadas a fim de resolver problemas de geometria.
O ponto no plano
EM_V_MAT_020
Coordenadas cartesianas
Sejam os eixos Ox e Oy, perpendiculares em O.
Eles determinam um plano (π). Consideremos um
ponto qualquer P ∈ (π) e tracemos por ele as retas
(x’) paralela a Ox e (y’) paralela a Oy. Chamemos P1
e P2, respectivamente, as intersecções de (y’) com o
eixo Ox e de (x’) com o eixo Oy (Figura 1).
1
Figura 1
O e P1 determinam o segmento orientado OP 1
cuja medida algébrica é a abscissa do ponto P.
OP1 = P2P = xp
O e P2 determinam o segmento orientado OP2,
cuja medida algébrica é a ordenada do ponto P.
OP2 = P1P = yp
Os números reais xp e yp constituem um par ordenado que determina a posição do ponto P no plano
(π). São as coordenadas do ponto P. Representado
por (xp, yp).
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1
O plano ( ) é denominado plano cartesiano e os
eixos Ox e Oy que o determinam são os eixos cartesianos, sendo o eixo Ox1 o eixo das abscissas e Oy1
o eixo das ordenadas.
xOy indica o sistema de eixos cartesianos ortogonais (ou retangulares).
O ponto O é a origem do sistema.
Um ponto pertencente ao eixo das abscissas
tem ordenada nula E(4, 0).
Se pertencente ao eixo das ordenadas tem abscissa nula, F(0,– 4) e na origem ambas as coordenadas
são nulas, x = y = 0.
Quadrantes
Os eixos cartesianos determinam quatro regiões distintas no plano cartesiano, os quadrantes
(Figura 2).
Figura 4
Um ponto pertencente à bissetriz do 1.º e 3.º
quadrantes tem coordenadas iguais e quando pertencente à bissetriz dos quadrantes pares tem coordenadas simétricas (Figura 4).
b1,3 = { P(x,x)/x R}
b2,4 = {P(x,–x)/x R}
Distância de dois pontos
Verificamos facilmente que existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos pontos P
do plano e o conjunto dos pares ordenados (xp, yp)
(Figura 3).
Assim, o ponto A tem sua posição definida no
plano cartesiano (π) pelo par ordenado (3, 4) e indicamos por A(3, 4) e lemos ponto A de coordenadas
cartesianas 3 e 4.
Da mesma forma os pontos B, C e D.
B(–4, 1), C(–2, –5) e D(5, –3)
F
Sejam os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) referidos
num sistema de eixos cartesianos ortogonais.
Procuremos a distância d entre dois pontos.
Tracemos por A (Figura 5) a paralela a Ox determinando em B1B o ponto C.
Do triângulo ABC tiramos
d=
(xB – xA)2 +(yB – yA)2
Figura 5
Figura 3
2
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EM_V_MAT_020
Figura 2
Razão de secção
Razão de secção
de um segmento por um ponto
Dado um ponto P do espaço, sua posição fica
determinada plenamente em relação ao sistema
{0, x’x, y’y,z’z},através de suas distâncias PF, PV e
PH aos três panos coordenados ou pelas projeções
destas distâncias sobre os eixos coordenados, respectivamente, OA, OB e OC.
Sejam os pontos A ≠ B ≠ C colineares. Chamamos razão de secção do segmento AB pelo ponto C
ao número real r, razão entre as medidas algébricas
dos segmentos AC e CB.
r = (ABC) = AC
CB
Tomemos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) referidos
aos sistema xOy (Figura 6).
Figura 7
OA = BH = CV = x (abscissa)
OB = AH = CF = PV = y (ordenada)
OC = BF = AV = PH = z (cota)
Octantes
Figura 6
O feixe de paralelas A1A, C1C e B1B determina,
sobre as retas AB e Ox, segmentos proporcionais,
então:
AC A1C1 xC – xA
r=
=
=
1
xB – xC
C1B1
CB
Os planos coordenados dividem o espaço em oito
regiões, denominadas octantes (Figura 2). Os pontos
de cada octante ficam determinados por três números
reais ordenados, isto é, o terno ordenado (x,y,z).
Os octantes anteriores são os ímpares e os posteriores os pares. Os sinais das coordenadas do ponto
dependem do octante em que o ponto está situado.
Ponto médio de um segmento
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB).
O ponto médio desse segmento M tem coordenadas:
xA + xB yA + yB
,
2
2
Figura 8
O ponto no espaço
EM_V_MAT_020
Coordenadas cartesianas
Tracemos por um ponto fixo 0 três eixos perpendiculares entre si (Figura 1). Estes eixos, x’x, eixo das
abscissas; y’y, eixo das ordenadas e z’z, eixos das
cotas determinam, dois a dois, os planos x0y, x0z e
y0z, planos coordenados.
Assim:
1.° Octante – 0xyz
2.° Octante – 0x’yz
3.° Octante – 0xy’z
4.° Octante – 0x’y’z
5.° Octante – 0xyz’
6.° Octante – 0x’yz’
: x > 0, y > 0, z > 0.
: x < 0, y > 0, z > 0.
: x > 0, y < 0, z > 0.
: x < 0, y < 0, z > 0.
: x > 0, y > 0, z < 0.
: x < 0, y > 0, z < 0.
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3
7.° Octante – 0xy’z
: x > 0, y < 0, z < 0.
8.° Octante – 0x’y’z’
: x < 0, y < 0, z < 0.
Dessa forma o ponto A (–3, 2, –1) está situado
no 6.° octante; B (1, 3, –4) no 5.° octante.
tal que v– vo = u, isto é, v= vo + u,
equação vetorial da reta.
Distância de 2 pontos do R3
Se u = (a’, b’) e v =(x, y) obteremos, a partir da
equação vetorial que:
x = xo + a’
,
(x, y) = (xo, yo) + (a’, b’) ou
x = yo + b’
Sejam os pontos A(xA, yA, zA) e B(xB, yB, zB) (Figura 5) referidos num sistema cartesiano ortogonal
{O, x’x, y’y, z’z}. Marquemos os pontos através de
suas coordenadas.
chamada a
Equações paramétricas
que são as equações paramétricas da reta sendo o parâmetro.
Equação simétrica
Se a’ 0 e b’ 0, as equações paramétricas podem
ser escritas na forma:
x – xo y – yo
=
a’
b’
que é a chamada equação simétrica da reta.
Equação geral
Do triângulo retângulo ACB, aplicando a relação
de Pitágoras, resulta em:
d2 = d21 + (zB – zA)2,
(1)
e do triângulo A1PB1, também retângulo, tiramos:
d21 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2
Substituindo em (1), vem
d2 =(xB – xA)2 + (yB – yA)2 + (zB – zA)2
Então a distância d do ponto A ao ponto B nos
é dada por:
d = (xB – xA)2 + (yB – yA)2 + (zB – zA)2
ou
d = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2
Equação vetorial
4
Suponhamos que dados um ponto P0 do plano
e um vetor u, seja pedido para achar a equação da
reta (r) que passa por P0 e tenha a direção de u .
Para resolver o problema, seja P um ponto qualquer
de (r). O vetor v – vo deve ter a direção de u, pois
queremos que (r) tenha a direção de u. Decorre daí
que para cada v– OP da reta existe um número real
Equação reduzida
0 podemos escrever y = – a x – c
b
b
e estabelecer m = – a e p = – c , segue–se que
b
b
y = mx + p, conhecida como equação reduzida da
reta.
Os parâmetros m e p que aparecem na equação
da reduzida da reta possuem um significado geométrico simples. De fato, suponhamos que a reta
passa pelos pontos P e Q com P = (x1, y1) e Q = (x2,
y2) e seja R = (x2, y1). Logo, w– u = (x2 – x1, 0) e v – w
= (0,y2 – y1). Como a reta (r) passa pelos pontos P
e Q tem–se que y1 = mx1 + p e y2 = mx2 + p e daí,
y -y
y2 – y1 = m(x2 – x1) ou seja m = x2 - x1 que é igual à
2
1
Supondo b
tangente do ângulo que a reta (r) faz com o semi–
eixo positivo dos x. O parâmetro m é denominado
coeficiente angular da reta (r) e é uma medida da
inclinação da reta em relação ao eixo dos x.
Se fizermos x = 0 na equação reduzida da reta
obteremos y = p. Logo, o ponto (O, p) é o ponto de
interseção de (r) com o eixo dos y e |p|, e é a distância
deste ponto à origem. O parâmetro p é denominado
coeficiente linear da reta (r).
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EM_V_MAT_020
Figura 9
Da equação simétrica obtém–se:
b’ (x – xo) = a’(y – yo) ou b’x – a’y +(a’yo – b’xo) = 0
fazendo b’= a; –a’ = b e c = a’yo – b’xo resulta que ax +
by + c = 0 denominada equação geral da reta (r).
Vetor normal à uma reta
Suponhamos agora, uma reta (r) que passa pelo
ponto P = (x1, y1) possui direção dada pelo vetor u e
está representada pela sua equação geral ax + by
+ c = 0. Se Q = (x2, y2) é outro ponto qualquer da
reta (r), então claramente PQ = u com PQ = Q – P
= (x2 – x1, y2 – y1). Como P e Q são pontos de (r), temos também ax1 + by1 + c = 0 e ax2 + by2 + c = 0.
Subtraindo membro a membro, a primeira da segunda
tem–se:
a(x2 – x1) + b(y2 – y1) = 0
A expressão acima pode ser identificada com o
produto escalar do vetor PQ = (x2 – x1, y2 – y1) com o vetor n = (a,b) . Fazendo esta identificação obtemos:
n .PQ = a(x2 – x1) +b (y2 – y1) = 0,
qualquer que seja o ponto Q = (x2, y2) da reta.
Concluímos daí que se a reta estiver representada
pela sua equação geral ax + by + c = 0, os números
a e b são as componentes de um vetor n perpendicular à direção de (r), isto é, perpendicular ao vetor
.
u para todo
Suponhamos agora duas retas (r) e (s) representadas por suas equações gerais ax + by + c = 0
e a’x + b’y + c = 0, coeficientes angulares m e m’ e
vetores normais n=(a, b) e n ’=(a’, b’) respectivamente. Logo,
(i) Se (r) // (s) então n // n ’ e daí a = b ou ainda
a’ b’
m = m’.
(s) então n
1
ainda m = –
.
m’
n’ e daí aa’+bb’=0 ou
Distância de ponto à reta
EM_V_MAT_020
Sejam dados a reta (r), representada pela sua
equação geral, ax + by + c = 0 e P0 = (x0, y0) determinemos agora a distância d do ponto à reta. Pelo
que vimos anteriormente, a direção da normal a (r)
é dada por n = n , onde n = (a, b). Considere um
n
ponto P qualquer da reta (r) e seja o ângulo entre
a direção de (u – v ) e n. A distância d procurada é
expressa por:
d = (u – v) |cos | = (u – v)cos
axo + byo + c
a2 + b2
Condição de
alinhamento de 3 pontos
y3).
Sejam os pontos P1(x1, y1)
P2(x2, y2) e P3(x3,
Sabemos que os pontos P1 e P2 determinam a
reta (r) da equação:
y – y1
x – x1
=
x2 – x1
y2 – y1
Para P3 pertencer à reta (r) é necessário e suficiente que suas coordenadas satisfaçam sua equação
x 1 y1 1
y3 – y1
x3 – x1
x2 y2 1 = 0
x2 – x1 = y2 – y1 ou
x3 y3 1
Posições
relativas de duas retas
Paralelismo
e perpendicularismo
(ii) Se (r)
d=
, ou seja, d
= (u – v). n
Em coordenadas a fórmula acima se torna:
Duas retas (r1) e (r2) do plano R2 serão:
a)paralelas distintas: (r1) (r2) =
(r2) = (r1) = (r2)
b)paralelas coincidentes: (r1)
c) concorrentes: (r1)
(r2) = {P}
Ângulo de duas retas
Sejam as retas (r1) A1x + B1y + C1 = 0 e (r2) A2x
+ B2y + C2 = 0 referidas num sistema {0, i, j,} de
vetores diretores V 1 = (–B1, A1) e V 2 = (–B2, A2) e o
ângulo agudo entre elas.
Do produto V 1 . V 2 =| V 1|| V2|cos
(–B1) (–B2) + A1A2
V 1 . V2
cos =
cos =
| V1| | V 2|
A2+ B2 A2+B2
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1
1
2
2
5
cos =
A1A2 + B1B2
2
1
A +B21
2
2
A +B22
a área do triângulo ABC é igual a
Fórmula que nos per-
1
d(A,r).(B,C)
2
Desenvolvendo, obtemos:
(ABC) =
mite calcular o ângulo ou seu suplemento.
O ângulo pode ser calculado através do produto vetorial dos 2 vetores:
A1B2 + A2B1
V | |V2
sen = 1
sen
ou
|V1| |V2|
A21+B21 A22+B22
tg =
sen
cos
=
=
1
2
1
(ABC) =
2
A1B2 – A2B1
ou, dividindo numeA1A2 + B1B2
rador e denominador por B1B2,
A1 A2
–
B1 B2
m2 – m1
=
tg =
1 + m1.m2
A1 . A 2 + 1
B1 B2
x y
x2 y2
x y
– 1 1 + 1 1
x3 y3
x3 y2
x2 y2
x1 y1
x2 y2
x3 y3
x1 y1
=
x y 1
1 1 1
ou
x y 1
2 2 2
x3 y3 1
Logo, a área do triângulo ABC é igual à metade
do valor absoluto do “determinante” acima e pode
ser calculado da seguinte maneira:
m1 e m2 são coeficientes angulares das retas r1
e r2 respectivamente.
Área de um triângulo
C
x y 1
x2 y2 1 = 0 (1)
x3 y3 1
A distância de A à reta r é:
d(A,r) =
ax1 + by1 + c
a2 + b2
onde, de acordo com (1),
a = y2 – y3 ; b = x3 – x2 e c = x2y3 – x3y2 .
Assim,
x y 1
x2 y2 1
d(A,r) =
x3 y3 1
6
(x3 – x2)2 +(y2 – y3)2
= x1y2 + x2y3 + x3y1 – x2y1 – x3y2 – x1y3
Triangularização de polígonos
Dado um polígono P qualquer, uma triangularização de P é uma divisão de P em triângulos,
satisfazendo às seguintes condições:
I. A união de todos os triângulos é igual ao
polígono P.
II. Dados dois triângulos T e T’, se T T’
, estão T T’ é um lado comum a T e T’
ou um vértice comum de T e T’.
``
Exemplo 1:
O exemplo abaixo ilustra a ideia da demonstração:
Dado o polígono P = A 1 A 2 A 3 ...A 7 A 8 , triangularize–o obtendo os triângulos T 1 = A 1 A 2 A 8 ,
T 2 = A 2 A 3 A 4 , T 3 = A 4 A 5 A 6 , T 4 = A 4 A 6 A 7,
T5 = A 2A 4A 7, T6 = A 2A 7A 8 (observe a figura). Temos,
então, A(P) significa área de P:
A(P) = A(T 1 ) + A(T 2) + A(T 3) + A(T 4) + A(T 5)
+ A(T6) =
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EM_V_MAT_020
Dado um triângulo ABC, de vértices A(x1 , y1),
B(x2, y2), C(x3 , y3) , desejamos expressar sua área em
função das coordenadas de A, B e C.
Seja r a reta suporte do seguimento BC, a equação de r é dada por:
(x–m)2 + (y–n)2 = R2 (equação reduzida)
Desenvolvendo e ordenando obtemos:
x2 + y2 – 2mx – 2ny + (m2+n2– R2) = 0
que é a equação normal da circunferência.
``
Condições para que uma
equação do 2.º Grau, com
duas variáveis, represente
uma circunferência
Exemplo 2:
Calcule a área do pentágono ABCDE de vértices: A(3,0),
B(1,2), C(–2,2), D(–8,–7) e E(6,–1).
A
3 0
B
1 2
1 –2 2
1 C
=
Área (ABCDE)
=
2 –8 –7
2 D
E
A
=
6
3
–1
0
1
98
(65+33) =
= 49u.a.
2
2
Circunferência
Circunferência é o lugar geométrico dos pontos
de um plano equidistantes de um único ponto fixo
(centro) do mesmo plano.
A distância de qualquer ponto ao centro é o
raio R.
Equação cartesiana
Seja a circunferência de centro C(m, n) e raio R,
referida num sistema x O y
EM_V_MAT_020
j
Sua equação espontânea é |CP| = R.
Se determinarmos o módulo do vetor CP, obteremos a equação cartesiana na forma reduzida.
(x–m)2 + (y–n)2 = R, ou racionalizando
Seja a circunferência de equação geral:
x2 + y2 – 2mx – 2ny + (m2 + n2 – R2) = 0 (1)
Procuremos as condições a que deve satisfazer
a equação geral do 2.º grau com duas variáveis,
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 (2)
para representar uma circunferência.
É necessário e suficiente que consigamos determinar os valores de m, n e R, finitos e determinados, tais que as duas equações, (1) e (2), tenham as
mesmas soluções.
Confrontando os coeficientes dos termos semelhantes nas equações citadas, levando–se em
conta que B = O, porque não existe o termo em x na
equação (1), e A ≠ 0, condição obrigatória da álgebra,
resulta:
A
C
D
E
F
=
=
=
= 2
1
1
-2m
-2n
m + n2 - R 2
Destas proporções tiramos:
A=C≠0
2Am = – D
2An = – E
A(m2 + n2 – R2) = F
As condições A = C e B = 0, não dependendo
das incógnitas m, n e R, verificam–se por si mesmas,
então, são condições necessárias. E são suficientes,
porque desde que sejam verificadas, permitem determinar os valores de m, n e R.
Concluímos que, dada uma equação do 2.º grau
com duas variáveis, as condições necessárias e suficientes para que a mesma represente uma circunferência, no sistema cartesiano ortogonal, são:
A=C≠0
B=0
Respeitadas estas condições, determinamos:
1. m = – D e n = - E o centro da circunferência
2A
2A
D
E
,
–
–
2A 2A
2. F = Am2 + An2 – AR2 ⇒ R =
Am2 + An2 - F
A
⇒
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7
A.D +A.E -F
4A2
4A2
ou
⇒ R=
A
2
2
R = D + E – 4AF o raio da circunferência.
2A
Se D2 + E2 – 4AF > 0 ⇒ circunferência real de
2
2
centro (m, n) e de raio R;
se D2 + E2 – 4AF = 0 ⇒ circunferência de raio
nulo, reduzindo–se ao ponto (m, n);
se D2 + E2 – 4AF < 0 ⇒ circunferência imaginária.
Equação da reta
tangente à circunferência,
dado o ponto de contato
Seja a circunferência de centro C(m, n) e raio R,
referida num sistema x O y.
y – y1 =
x1
(x – x1) ou y1y + x1x = x21 + y21
y1
Posições relativas entre
ponto e circunferência
Sejam uma circunferência , de centro C (m, n)
e raio R, e um ponto do plano P(x0, y0), entre P e λ são
três as possíveis posições relativas.
1.º)O ponto P é externo à circunferência λ:
P
R
d
C
Nessa situação, tem-se que:
•• A distância de P até o centro C é maior que
o raio R.
2.º)O ponto P pertence à circunferência :
P
R
C
j
Nessa situação, tem-se que:
•• A distância do ponto P ao centro C da circunferência é igual ao raio R.
Seja o vetor diretor de (t) V = (f, g). Sabemos
g
que a =
f
Determinamos f e g no vetor normal de (t) que
é n = (g, – f), então g = x1 – m e –f = y1 – n, o que
nos dá:
x – m Substituindo em (1) ⇒
a =– 1
y1 – n
x –m
(I)
y – y1 =– 1
(x - x1)
y1 – n
Se o centro C(m, n) estiver na origem, m = n = 0,
a equação da tangente assumirá a forma.
•• As coordenadas do ponto P satisfazem a
equação da circunferência .
3.º)O ponto P é interno à circunferência :
R
C
P
d
Nessa situação, tem-se que:
•• A distância de P até o centro C é menor que
o raio R
Chamando de d a distância entre o ponto P e
o centro C da circunferência, resumidamente, temse que:
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EM_V_MAT_020
Procuremos a equação da reta (r) tangente à
circunferência no ponto T(x1, y1).
A reta (t) é reta do feixe de centro T, logo:
y – y1 = a(x – x1)
(1)
8
d
1.º)d(C,P) > R
P é externo à ;
P
2.º)d(C, P) =
3.º)d(C, P) < R
;
P é interno à ;
Podemos também determinar as posições relativas entre a circunferência de equação (x – m)2 +
(y – n)2 = R2 e o ponto P(x0, y0) utilizando a equação
da circunferência e as coordenadas do ponto:
Partindo da equação (x – m)2 + (y – n)2 = R2,
tem-se:
(x – m)2 + (y – n)2 = R2
(x – m)2 + (y – n)2 – R2 = 0
Chamando de N o 1.º membro dessa equação
temos:
Seja N= (x – m)2 + (y – n)2 – R2, substituindo as
coordenadas de P(x0, y0) em N temos:
1.º) Se N > 0
(x0 – m)2 + (y0 – n)2 – R2 > 0,
então P é externo à
2.º) Se N = 0
(x0 – m)2 + (y0 – n)2 – R2 = 0,
então P pertence à
3.º) Se N < 0
(x0 – m)2 + (y0 – n)2 – R2 < 0,
então P é interno à
Posições relativas entre
reta e circunferência
Considerando uma circunferência de centro
C(m,n) e raio R. Existem três posições relativas entre
a circunferência e uma reta t. Sendo d a distância
entre a reta e a circunferência temos:
1.º)A reta t é exterior à circunferência :
t
d
0
d>R
R
A distância entre o centro C e a reta t é maior
que o raio. Nessa situação, a circunferência e a reta
não têm ponto em comum.
2.º)A reta t é tangente à circunferência :
A distância entre o centro C e a reta t é igual
ao raio. Nessa situação, a circunferência e a reta têm
um único ponto em comum, denominado ponto de
tangência.
3.º) A reta t é secante à circunferência :
t
A
M
d
0
d<R
B
R
A distância entre o centro C e a reta t é menor
que o raio. Nessa situação, a circunferência e a reta
têm dois pontos em comum.
Considere o sistema formado pela equação da
circunferência e da reta t:
(x – m)2 + (y – n)2 = R2
ax + by + c = 0
A resolução desse sistema pode apresentar
três situações:
1.º)Não existe par ordenado que solucione o sistema. Isso ocorre quando t for exterior à ;
2.º)O sistema tem uma única solução – isso
ocorre quando t for tangente à . Nesse caso,
a solução é representada pelas coordenadas
do ponto de tangência;
3.º)O sistema tem duas soluções – isso ocorre
quando t for secante à . Nesse caso, as soluções são representadas pelas coordenadas
dos dois pontos de interseção entre t e .
Posições relativas entre
duas circunferências
Considere uma circunferência 1, de raio R1 e
centro C1, e outra 2, de raio R2 e centro C2, e ainda a
distância d entre os centros C1 e C2. Entre essas duas
circunferências 1 e 2 são possíveis as seguintes
posições relativas:
1.º)Externas:
EM_V_MAT_020
t
0
d
=R
C1
R1
R2
d
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C2
9
Nesse caso, não existe ponto de interseção entre
as circunferências.
2.º)Tangentes externas:
C1
R1
R2
d
C2
Nesse caso, as circunferências têm um único
ponto em comum, denominado ponto de tangência.
3.º)Circunferências secantes
C1
R1
R2
C2
d
Nesse caso, existem dois pontos de interseção.
4.º)Tangentes internas
C1 C
2
d R
2
R1
Nesse caso, as circunferências têm um único
ponto em comum, denominado ponto de tangência.
5.º)A circunferência de raio menor é interna à
de raio maior.
Quadro 1
Posição relativa
entre as
circunferências
Relação
Externas
d (C1, C2) > R1 + R2
Tangentes externas
d (C1, C2) = R1 + R2
Secantes
R1– R2 < d (C1, C2) < R1 + R2
Tangentes internas
d(C1, C2) = R1– R2
Uma circunferência
é interna à outra
d (C1, C2) < R1– R2
Quando uma circunferência é interna à outra e
d (C1, C2) = 0, elas são denominadas concêntricas,
ou seja, têm os centros coincidentes.
A determinação dos possíveis pontos em comum entre as circunferências é realizada a partir da
resolução do sistema formado pelas equações das
duas circunferências. A resolução desse sistema
poderá apresentar as seguintes situações:
Quadro 2
Número de soluções do
sistema de equações
Posição relativa entre
as circunferências
Nenhuma
Externas ou internas
Uma
Tangentes externas ou
tangentes internas
Duas
Secantes
Quando o objetivo for determinar a posição relativa entre as circunferências, é mais conveniente
a utilização das relações expostas no quadro 1. No
entanto, quando a intenção for a determinação dos
pontos em comum entre as circunferências, é imprescindível a resolução do sistema formado pelas
equações das duas circunferências.
C1 C
2
R1
Neste caso, não existe ponto de interseção entre
as circunferências.
Logo, duas circunferências podem estar uma
em relação à outra, em cinco posições diferentes:
externas, tangentes externas, secantes, tangentes
internas e internas. A partir da análise dessas cinco
situações, é possível estabelecer as seguintes relações entre d, R1+ R2 e R1– R2 :
10
1. Determine o perímetro do triângulo de vértices A(1, –1),
B(5, 2) e C(–7, –3).
``
Solução:
A medida do perímetro do triângulo é 2p = dAB + dBC + dCA
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EM_V_MAT_020
d R
2
Determinemos as medidas dos lados:
dAB = (5–1) +(2–(–1))
2
2
``
Determinemos as medidas dos lados AB, BC, CD e DA.
= 16 + 9 = 5
dAB = (0+ 2)2 + (2 – 6)2 = 4 + 16 = 20
dBC = (–7 –5)2 +(–3 –2)2 = 144 + 25 = 13
d CA =
= 2 17
(1 + 7)2 +(–1+ 3)2 =
64 + 4 =
dBC = (4 – 0)2 + (0 – 2)2 = 16 + 4 = 20
68
dCD = (2 – 4)2 + (4 – 0)2 = 4 + 16 = 20
Então, 2p = 18 + 2 17.
dDA = (–2 – 2)2 +(6 – 4)2 = 16 + 4 = 20
2. Demonstre analiticamente que as diagonais de um
retângulo são congruentes.
``
Solução:
Os quatro lados são congruentes, podendo o quadrilátero
ser quadrado ou losango. Verifiquemos através das suas
diagonais AC e BD.
Solução:
dAC = (4+ 2)2 + (0 – 6)2 = 36 +36 = 72
Consideremos o retângulo ABCD, sendo os vértices os
pontos A(0, 0), B(b, 0), C(b, c) e D(0, c).
dBD = (2 – 0)2 + (4 – 2)2 = 4 + 4 = 8
O quadrilátero é losango.
5. Ache as coordenadas do ponto de interseção das
medianas do retângulo de vértices A(–1, 4, 7),
B(4, 8, –3) e C(–6, 0, 5).
``
O encontro das medianas do triângulo é seu baricentro,
logo
–1 + 4 – 6
= –1
xG =
3
4+8+0
=4
yG =
3
7–3+5
= 3 G(–1, 4, 3).
zG =
3
Determinemos dAC e dBD:
dAC = (b – 0)2 +(c – 0)2 = b 2 + c 2
1
dBD = (0 – b)2 +(c – 0)2 = b 2 + c 2
2
1
=
2
dAC = dBD
Solução:
méd. (AC) = méd. (BD).
3. Verifique a natureza do triângulo de vértices A(9, 8),
B(1, 4) e C(5, –4).
``
Solução:
Determinemos as medidas dos lados: dAB, dBC e dCA.
(1 – 9)2 + (4 – 8)2 = 64 + 16 =
m(AB) = dAB =
80
Elas se chocam ?
m(BC) = d BC =
= 80
(5–1)2 + (– 4 –4)2 =
16 + 64
m(CA) = d CA =
= 160
(9 – 5)2 + (8 + 4)2 =
16 +144
Triângulo isósceles quanto aos lados, e
d2AB = 80, d2BC= 80 e d2CA= 160 ⇒ CA 2 = AB 2 = BC 2 ,
EM_V_MAT_020
6. Num determinado instante t as posições de duas
partículas P e Q são dadas por (1 + 2t ,1 + t) e (4
+ t, – 3 + 6t).
``
Solução:
xP (t) = (1 + 2t, 1 + t)
xQ (t) = (4 + t, –3 + 6t)
Para P e Q se chocarem, suas posições são iguais,
ou seja, xP (t) = xQ (t) ⇔ (1 + 2t, 1 + t) = (4 + t,
–3 + 6t)
triângulo retângulo quanto aos ângulos.
1 + 2t = 4 + t
t=3
O triângulo é retângulo isósceles.
1 + t = –3 + 6t
5t = 4 ⇒15 = 4 (impossível).
4. Determine a natureza do quadrilátero ABCD, sendo
A(–2, 6), B(0, 2), C(4, 0) e D(2, 4).
Logo, não se chocam!
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11
``
n=0
A,B r: y = 5 – 2x ou r : 2x + y – 5 = 0
Portanto, r : y = x
1 = 5 – 2a
B r
B = (22, b) = (4, b)
b=5–2.4
(4 – 2)2 + (–3 – 1)2 =
x=3–2
y = –1 +
Solução:
,
(r):
x=3–2
,
y = –1 +
R
r: x = 3 – 2(y+1)
s:
4 + 16 = 20
R
s: x = 2 +3(–y – 2)
P=r
s
R e (s):
r:
x=2+3
,
y = –2 -
x=3–2
=y+1
10. Um foguete com ogiva nuclear foi acidentalmente lançado de um ponto da Terra e cairá perigosamente de volta à
Terra. Se a trajetória plana desse foguete segue o gráfico
da equação y= –x2 + 300x, com que inclinação se deve
lançar outro foguete com trajetória retilínea, do mesmo
ponto de lançamento, para que esse último intercepte e
destrua o primeiro, no ponto mais distante da Terra?
``
r: x + 2y –1 = 0
x=2+3
,
y = –2 –
P = (x, y)
s:
s: x + 3y + 4 = 0
x + 2y – 1 = 0
e
x + 3y + 4 = 0
O ponto mais distante da Terra é o ponto P, que corresponde à altura máxima.
22.500
tg = 150 = 150
= arctg150
y = –5
x = 1– 2y = 11
Logo, P = (11, –5)
Solução:
Solução: (11, –5)
= arc tg 150
9. A equação da reta que passa pelos pontos (3,3) e
(6,6) é:
a) y = x;
b) y = 3x;
c) y = 6x;
d) 2y = x;
e) 6y = x;
``
Solução: A
(3, 3) e (6, 6) r.
12
Solução:
y = –x2 + 300x
x=2+3
=–y–2
x = 1 –2y = – 3y – 4
``
3=3+n
–3 = b.
Solução: 2 5
r:
3 = 3m + n
3 = 3m + m = 1
a=2
A r
8. Determine as coordenadas do ponto comum às retas
``
3 = 3m + n
6 = 6m + n
Solução:
A = (a, 1) B = (a2, b)
Logo, dA,B =
=2 5
``
r : y = mx + n
Os pontos A = (a, 1) e B = (a2, b) pertencem à reta de
equação 2x + y – 5 = 0. Determine a distância entre
eles.
11. Calcule a área do triângulo ABC, dados A(1,–1) , B(7,5) e
C(–2,6).
``
Solução:
1 –1
7
5
1
1
Área(ABC)=
= (5 + 42 + 2 + 7 + 10 – 6)
–2
6
2
2
1 –1
1
. 60 = 30 u.a.
=
2
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EM_V_MAT_020
7.
12. Calcular a área do quadrilátero ABCD, dados A(0,–1),
B(6,0), C(4,5) e D(1,7).
``
Determine a área dessa região geográfica.
``
Solução:
y + 4x = 11 (i)
SABCD = SABC + SACD
0 –1
1 60
SABC=
2 45
0 –1
Solução:
5y – 2x = 11 (ii)
= (30 – 4 + 6) = 28 ua D
2
1
(ii)
(i)
B
C
(i)
= (28 – 1 + 4 – 5) = 26 ua
(ii)
a) 6
5(11 – 4x) – 2x = 11
c) 9
x=2
y=3
(ii) = (2, 3)
(iii)
y = 11 – 4x
x = –3y
x = – 3y
y = 11–4(–3y)
y =–1, x = 3
(iii) = (3, -1)
(iii)
5y –2x = 11
x = –3y
x = – 3y
5y –2(–3y) = 11
Logo, (ii)
b) 8
y=1, x = –3
(iii) = (-3, 1)
Área ( ) =
d) 10
2 3
1 3 –1
1
= (– 2 + 3 – 9 – 3 – 2) = 11 u.a.
=
2 –3 1
2
2 3
e) 12
Solução: A
1 2
3 4
1
1
4 –1 =
(4 – 3 + 8 – 6 – 16 + 1)
Área ( )=
2
2
1 2
EM_V_MAT_020
5y – 2x = 11
Logo, (i)
13. (Cesgranrio) A área do triângulo, cujos vértices são (1,2),
(3,4) e (4,–1), é igual a:
=
y = 11 – 4x
–22x = –44
SABCD = 54 ua
``
y = 11 – 4x
Logo, (i)
0 –1
4
5
1
SACD =
2 17
0 –1
x = –3y (iii)
3y + x = 0
A
1
–12 = 6 u.a.
2
14. (UFPE) Em um mapa geográfico, três cidades são
vértices de um triângulo de alta produção agrícola. Se
os vértices desse triângulo num sistema cartesiano
são as intersecções das retas: y+ 4x =11; 5y –2 x
=11 e 3y + x = 0 .
15. Determine a equação da reta tangente à circunferência
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 25, no ponto (–2, 4).
``
Solução:
Aplicando a fórmula temos
y – 4 = – 2 – 2 (x+2) ou 4x – 3y + 20 = 0
4-1
16. Determine a equação da circunferência, sabendo–se que
um de seus diâmetros é o segmento de extremos A(1, 3)
e B(5, – 3).
``
Solução:
O ponto médio de AB é o centro C(3, 0) da circunferência
e R2 = (3 – 1)2 + (0 – 3)2 ⇒ R2 = 13
A equação da circunferência é (x – 3)2 + y2 = 13
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13
17. Determine a equação da circunferência concêntrica à
circunferência x2 + y2 – 4x – 8y – 29 = 0 e que passa
pelo ponto P1(5, 8).
``
As coordenadas do quarto vértice são dadas por:
a) (–b, –b)
b) (2b, –b)
Solução:
c) (4b, –2b)
E
D
isto é,
O centro das circunferências é C – , –
2a 2a
C(2, 4) e o raio da circunferência procurada é:
CP1 = (5 – 2)2 + (8 – 4)2 = 5 , logo
(x–2)2 = (y – 4)2 = 25.
d) (3b, –2b)
e) (2b, –2b)
2. Verifique a natureza do triângulo de vértices A(9, 8),
B(1, 4) e C(5, –4).
3. Determine as coordenadas do ponto equidistante dos
vértices A(–1, 2), B(6, 3) e C(0, –5) do triângulo ABC.
4. Determine a natureza do quadrilátero ABCD, sendo
A(–2, 6), B(0, 2), C(4, 0) e D(2, 4).
18. Em um circo, no qual o picadeiro tem – no plano cartesiano – a forma de um círculo de equação igual a
x2+y2–12x–16y–300 = 0, o palhaço acidentou-se com o
fogo do malabarista e saiu desesperadamente do centro
do picadeiro, em linha reta, em direção a um poço com
água localizado no ponto (24, 32).
Calcule a distância d percorrida pelo palhaço, a partir do
momento em que sai do picadeiro até o momento em
que chega ao poço.
``
Solução:
C: x2 + y2 – 12x – 16y – 300 = 0
C: x2 – 12x + 36 + y2 – 16y + 64 = 300 + 36 + 64
= 300 + 36 + 64
C: (x – 6)2 + (y – 8)2 = 202 ⇔ (x – xC)2 + (y – yC)2
= R2
Centro (6, 8)
Raio = 20m
distância de (6, 8) a (24, 32) =
(24 - 6)2 + (32 - 8)2 = 30m
Como o raio é 20m, ele percorreu 10m depois de sair
do picadeiro.
5. Num triângulo retângulo ABC, A(–4, 1) e B(2, 3). Determine o vértice C do ângulo reto, sabendo–se que
C ∈ Oy.
6. O baricentro de um triângulo é G(4, –1) e dois de seus
vértices são os pontos A(3, –2) e B(–1, –2). Determine o
terceiro vértice C.
7.
Os meios dos lados de um triângulo são P(3, 1), Q(2,
0) e R(1, 2). Determine as coordenadas dos vértices
do triângulo.
8. D
ois vértices consecutivos de um quadrado são os pontos
A(4, 0) e B(0, 6). Determine as coordenadas dos outros
vértices.
9. Determine o ponto do eixo dos x equidistantes dos
pontos A(3, 1) e B(5, –1).
10. No plano cartesiano, considere a reta (r) de equação
2x – y + 3 = 0. Seja (t) a reta perpendicular a (r), passando pelo ponto P(–1, 5).
a) O
bter o ponto de intersecção da reta (t) com o eixo
das abscissas.
b) Qual o ponto da reta (r) mais próximo de P?
1. Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0, 0), (b,
2b) e (5b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo.
14
12. Em um plano cartesiano, considere a reta r, de equação
3x + 4y = 30, e os pontos A = (5, 10) e B = (13, 4), que
estão sobre uma reta paralela à reta r. Considere ainda
que um espelho tenha sido colocado no plano que contém a reta r e é perpendicular ao plano cartesiano dado.
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EM_V_MAT_020
11. Um avião taxia (preparando para decolar) a partir de um
ponto que a torre de controle do aeroporto considera
a origem dos eixos coordenados, com escala em quilômetros. Ele segue em linha reta até o ponto (3, –1),
onde realiza uma curva de 90° no sentido anti–horário,
seguindo, a partir daí, em linha reta. Após algum tempo,
o piloto acusa defeito no avião, relatando a necessidade
de abortar a decolagem. Se, após a mudança de direção,
o avião anda 1 (um) km até parar, para que ponto do
plano a torre deve encaminhar a equipe de resgate?
Suponha que um raio luminoso, partindo do ponto A,
incida sobre o espelho plano no ponto de coordenadas
(a, b) sobre a reta r e, em seguida, passe pelo ponto B.
Nessas condições, calcule a soma a + b, desprezando
a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
13. Seja A a intersecção das retas r, de equação y = 2x, e
s, de equação y = 4x – 2. Se B e C são as intersecções
respectivas dessas retas com o eixo das abscissas, a
área do triângulo ABC é:
Um dos pontos de interseção de r com a parábola de
equação y = x² – 4 tem abscissa 1.
A equação de r é:
a) x + 3y + 8 = 0
b) 3x – y + 6 = 0
c) 3x – y – 6 = 0
d) x – 3y – 10 = 0
17. Considere as retas cujas equações são y = x + 4 e
y = mx, em que m é uma constante positiva.
a) 1/2
b) 1
Nesse caso, a área do triângulo determinado pelas duas
retas e o eixo das abscissas é:
c) 2
a) (4m²)/(2m – 1).
d) 3
b) 4m².
e) 4
c) (8m)/(m – 1).
14. Na figura a seguir, cotg
o ponto médio de AB .
= 4, tg = 2/3 e M (2, 3) é
d) (2m + 10)/(2m + 1).
18. A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida
na reta r:y=5x–13, e um de seus catetos está contido na
reta s:y=x–1. Se o vértice onde está o ângulo reto é um
ponto da forma (k, 5) sobre a reta s, determine:
a) todos os vértices do triângulo.
b) a área do triângulo.
Então o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos
A e B é:
20. Calcule a e b positivos na equação da reta ax+by=6 de
modo que ela passe pelo ponto (3,1) e forme com os
eixos coordenados um triângulo de área igual 6.
a) – 1
b) – 2
21. A área do triângulo cujos vértices são os pontos (1,2),
(3,5) e (4,–1) vale:
c) – 3/5
d) – 4/5
a) 4,5
e) – 5/2.
15. Sejam t e s as retas de equações 2x – y – 3 = 0 e 3x – 2y + 1 = 0,
respectivamente, a reta r contém o ponto A = (5, 1) e o
ponto de interseção de t e s. A equação de r é:
a) 5x – y – 24 = 0
b) 5x + y – 26 = 0
c) x + 5y – 10 = 0
EM_V_MAT_020
19. Num sistema de coordenadas cartesianas retangulares de origem 0, considere os pontos A=(3, 0),
B=(3, 5) e C=(0, 5). Seja ‘r’ a reta pelo ponto
M=(1, 2) e que corta OC e AB em Q e P, respectivamente, de modo que a área do trapézio OQPA seja
metade da do retângulo OCBA. Determine a equação
de ‘r’.
d) x – 5y = 0
16. A reta r é paralela à reta de equação 3x – y –10 = 0.
b) 6
c) 7,5
d) 9
e) 15
22. Considere o triângulo cujos vértices são os pontos
A(0, 0), B(2, 2) e C(2, –2). Se ax + by = c é a equação
cartesiana da reta que contém a altura deste triângulo
relativa ao lado AB, determine 5b/a.
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15
23.
b) x2 + y2 + 12x – 2y + 27 = 0
c) x2 + y2 + 12x +2y + 27 = 0
d) x2 + y2 – 12x +2y + 27 = 0
e) x2 + y2 + 12x +2y – 27 = 0
27. (PUC–SP) Considere os pontos A(0,0), B(2;3) e C
(4;1). O segmento BC é um diâmetro da circunferência
de equação :
a) x2 + y2 + 6x + 4y + 11 = 0.
b) x2 + y2 – 6x – 4y + 11 = 0
c) x2 + y2 – 4x + 9y + 11 = 0
d) x2 + y2 – 6x – 4y + 9 = 0
e) x2 + y2 – 4x – 9y + 9 = 0
Nessa figura, a reta AC intercepta o eixo das abscissas no
ponto (–1/2, 0 ), e a área do triângulo de vértices A, B e
C é 10.
Então, a ordenada do ponto B é:
a) 10
a) 20/11
b) 12
b) 31/11
c) 13
c) 4
d) 15
d) 5
e) 16
29. (PUCRS) O ponto P(–3;b) pertence à circunferência de
centro C(0;3) e raio r = 5. Quais são os valores de b?
e) 6
24. As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas suportes
das diagonais de um paralelogramo. Sabendo que estas diagonais medem 4cm e 6cm, então, a área deste
paralelogramo, em cm2, vale:
a) 36/5
b) –20 e 14
c) 8 e 2
d) –7 e 1
30. (Fuvest) O segmento AB é um diâmetro da circunferência
de equação x2 + y2 = 10y. Se A(3;1), então B é:
c) 44/3
a) (–3;9)
d) 48/3
b) (3;9)
25. (FGV) Seja AB um diâmetro da circunferência l, onde os
pontos A e B são ( –3;4) e (1;–2). A equação de l é:
a) x2 + y2 + 2x – 2y – 50 = 0
b) x2 + y2 + 2x – 2y – 11 = 0
c) x + y + 2x + 2y – 11 = 0
2
d) x2 + y2 –2x – 2y – 50 = 0
e) x2 + y2 – 2x – 2y – 11 = 0
26. (UFPR) Sejam M( 7;–2) e N( 5,4). Se C1 é uma circunferência que tem o segmento MN como um diâmetro,
então, a equação de C1 é:
a) x2 + y2 – 12x – 2y + 27 = 0
c) (0;10)
d) (–3;1)
e) (1;3)
31. (UFRJ) Uma circunferência tem centro no ponto C(2;–1)
e raio igual a 2 . Qual a equação desta circunferência?
a) (x – 2)2 + ( y + 1)2 = 2
b) ( x – 2)2 + ( y + 1)2 = 2
c) (x + 1)2 + ( y – 2)2 = 2
d) (x + 2)2 + ( y – 1)2 = 2
e) ( x – 2)2 + ( y – 1)2 = 2
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EM_V_MAT_020
e) 48/5
2
a) –14 e 20
e) 7 e –1
b) 27/4
16
28. (Mackenzie) O maior valor inteiro de k, para que a
equação x2 + y2 + 4x – 6y + k = 0 represente uma
circunferência é:
32. (Unirio) A equação da circunferência com centro
C(–2,–1) e perímetro 12π é:
a) (x – 2)2 + ( y – 1)2 = 36
5. Dados os vértices A(2, –1, 4), B(3, 2, –6) e C(–5, 0, 2)
do triângulo ABC, calcule o comprimento da mediana
relativa ao lado BC.
c) (x – 2)2 + ( y – 1)2 = 36y
6. Dados os vértices A(3, –4, 7), B(–5, 3, –2), C(1, 2, –3)
do paralelogramo ABCD. Determine as coordenadas do
vértice D.
d) ( x + 2)2 + ( y +1)2 = 6
7.
b) (x – 2)2 + ( y – 1)2 = 6
e) ( x + 2) + ( y + 1) = 36
2
2
33. (Oswaldo Cruz-SP) Escreva a equação geral da circunferência de centro no ponto C (–1, 3) e tangente à reta
s: 6x – y – 28 = 0.
34. (CESESP) Escreva a equação geral da reta s que
passa pelo centro da circunferência de equação:
: x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 e é perpendicular à reta
r : 3x – 2y + 7 = 0
Duas pessoas A e B decidem se encontrar em um determinado local, no período de tempo entre 0h e 1h.
Para cada par ordenado (x, y), pertencente à região
hachurada do gráfico a seguir, x e y representam,
respectivamente, o instante de chegada de A e B ao
local de encontro.
35. (FUVEST) Dadas as circunferências de equações:
: x2 + y2 – 2x – 10y + 22 = 0 e
: x2 + y2 – 8x – 4y + 10 = 0
2
Quais os possíveis pontos de interseção?
36. (UF-ES) Qual a posição relativa entre as circunferências
de equações gerais:
1
: x2 + y2 – 2x – 8y + 8 = 0 e
: x2 + y2 – 2x = 0
2
37. (UFRS) O eixo das abscissas determina na circunferência
x2 + y2 – 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento:
1
a) 2 5
b) 5
a) a chegada de ambas as pessoas ao local de encontro exatamente aos 40 minutos.
b) que a pessoa B tenha chegado ao local de encontro aos 20 minutos e esperado por A durante 10
minutos.
c) 6
d) 7
8. Uma reta faz o ângulo de 45° com o eixo Ox e 135° com
Oz. Determine o ângulo que ela faz com o eixo Oy.
e) 8
1. Num triângulo ABC são dados A(2, 0), M(–1, 4) ponto
médio de AB, medida dos lados AC = 10 e BC =10 2 .
Determine:
EM_V_MAT_020
Determine as coordenadas dos pontos da região hachurada,
os quais indicam:
9. Seja r a reta que corta o eixo y no ponto (0, 2) e forma
ângulo de 45° com o eixo x; s, a reta que corta o eixo x
no ponto (–2, 0) e forma ângulo de 135° com o eixo x;
t, o eixo y. Para que o ponto (1, m) pertença à circunferência que passa pelas interseções das retas r, s e t,
o valor de m é:
a) o perímetro do triângulo;
a) 3 ou –
b) os vértices B e C.
b) 2 ou – 2
3
2. Verifique se o triângulo de vértices A(1, 2, 3), B(2, 3, 1) e
C(3, 1, 2) é equilátero. Dê o seu perímetro.
c) 2 ou –2
3. Verifique a natureza do triângulo ABC, sendo A(3, 5, 0),
B(2, 3, –3) e C(6, 1, –3).
e) π ou – π
4. Determineas
coordenadas dos extremos do segmento

orientado AB dividido em três partes iguais pelos pontos C(2, 0, 2) e D(5, –2, 4).
d) 1 ou –1
10. Determine a equação simétrica da reta que passa pelo
ponto médio do segmento
AB, A(3, –2) e B(1, 4), e cujo

vetor diretor é o vetor V = 3i − 2 j
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17
14. Determine a equação da reta que passa pelo baricentro do triângulo ABC, de vértices A(3, 1), B(–2, 4) e
C(2, –2) e é paralela ao lado BC.
15. Determine a equação da reta perpendicular à reta de
interceptos 4 e 1 que passa pelo ponto A(–3, 4).

16. Dado o vetor normal n = ( 3, 4 ) de uma reta (r), determine a equação da reta que passa por P(–1, 2) e é
perpendicular à (r).
17. Determine a equação da mediatriz do segmento de
extremos A(–3, 1) e B(1, 5).
11. Determine a equação da reta suporte do lado AB e da
mediana relativa ao lado AC do trioângulo ABC de
vértices A(3, 5), B(2, –1) e C(4, 0).
12. Os interceptos de uma reta são, respectivamente, 8 e –4.
Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(2, 3)
1
e pelo ponto B que divide na razão o segmento PQ que
3
os eixos coordenados determinam na reta dada por
seus interceptos.
13. Dados os pontos médios M1(2, 1), M2(5, 3) e M3(3, –4)
dos lados do triângulo ABC, determine as equações dos
lados deste triângulo.
18. O elenco de um filme publicitário é composto por pessoas com cabelos louros ou olhos verdes. Sabe–se que
esse elenco tem, no máximo vinte pessoas, dentre as
quais, pelo menos doze possuem cabelos louros e, no
máximo, cinco possuem olhos verdes.
No gráfico a seguir, pretende–se marcar um ponto
P(L,V), em que L representa o número de pessoas do
elenco que têm cabelos louros e V o número de pessoas
do elenco que têm olhos verdes.
O ponto P deverá ser marcado na região indicada por:
a) R1
b) R2
c) R3
d) R4
e) R5
19. Determine as equações das retas do feixe de centro C(–3,
2) que formam com a reta 3x – y + 5 = 0 ângulos de 45º.
a) x – y = 4
b) x – y = 16
18
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EM_V_MAT_020
20. Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano
cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices são a
origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos 0x e
0y. Se a área desse triângulo é 18, a equação de r é:
a) Q
uais são as coordenadas dos vértices do triângulo
ABC formado por essas retas?
c) x + y = 2
d) x + y = 4
b) Qual é a área do triângulo ABC?
e) x + y = 6
21. Um círculo com centro C = (2, –5) tangencia a reta de
equação x – 2y – 7 = 0. O valor numérico da área da
região limitada pelo círculo é:
a) 4π
b) 5π
25. Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (–1, 3) os vértices
de um triângulo e D = (u, v) um ponto do segmento
BC. Sejam E o ponto de intersecção de AB com a reta
que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto
de intersecção de AC com a reta que passa por D e é
paralela ao eixo dos x.
a) D
etermine, em função de u, a área do quadrilátero
AEDF.
c) 6π
b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima.
d) 7π
e) 8π
26. Determine a equação da reta que passa pelo ponto
P(–1, –2) e forma com os eixos coordenados um triângulo de área 4 u.a.
22.
27. A soma dos interceptos de uma reta é 7 e a área do
triângulo que esta reta determina com os eixos coordenados é 6. Determine a equação da reta.
28. Sabedoria egípcia
A área A do retângulo em função da abscissa x do
ponto R é:
Há mais de 5 000 anos os egípcios observaram que a
sombra no chão provocada pela incidência dos raios
solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de
tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao
meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos
dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um
comprimento máximo, ela recuava até perto da vareta.
As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as
mais curtas, com dias quentes.
(Adaptado de Revista Galileu, jan. 2001.)
a) A = x2 – 3x
b) A = –3x2 + 9x
Sol
c) A = 3x2 – 9x
d) A = –2x2 + 6x
A
23. O valor de x para que os pontos (1, 3), (–2, 4), e (x, 0)
do plano sejam colineares é:
O
a) 8
Início do verão
(sombra mais
curta)
b) 9
c) 11
d) 10
EM_V_MAT_020
Vareta
e) A = 2x2 – 6x
e) 5
24. Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x – 5 e
x – 2y + 5 = 0.
Comprimento da
sombra ao meio-dia
B
Outono ou
primavera
Início do inverno
(sombra mais longa)
Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita
no texto, utilizando uma vareta OA de dois metros de
comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento
da sombra OB, encontrando oito metros.
Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de
coordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas
(y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente,
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os segmentos de reta que representavam a vareta e a
sombra que ela determinava no chão.
Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação
da reta que contém o segmento AB:
32. (Ulbra) Sabe–se que a reta de equação 4x + 3y = 0
é tangente a uma circunferência λ, de centro no ponto
(–1;3). A equação de λ é:
a) x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0
a) y = 8 – 4x
b) x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0
b) x = 6 – 3y
c) x2 + y2 – 2x + 6y + 6 = 0
c) x = 8 – 4y
d) x2 + y2 + 2x – 6y + 9 = 0
d) y = 6 – 3x
e) x2 + y2 – 2x + 6y + 12 = 0
29. Dois lados de um triângulo têm por suportes as retas
(r1) 3x + 4y – 2 = 0 e (r2) 4x + 3y – 5 = 0. Determine
a equação do suporte do 3.º lado para que o triângulo
tenha 7/4 unidades de área e o outro vértice pertencente
à reta (r2) seja o ponto (–1, 3).
33. (Vunesp) Considere uma circunferência de raio r < 4,
com centro na origem de um sistema de coordenadas
cartesianas. Se uma das tangentes à circunferência pelo
ponto (4;0) forma com o eixo x um ângulo de 30°, então
o ponto de tangência correspondente é:
a) (1;–
3 )
b) (1; – 2)
3)
c) (1/2 ; –
d) (1/2; – 2)
e) (1/2;
3
2
)
34. (UFES) Uma circunferência de raio 2, localizada no 1.°
quadrante, tangencia o eixo OX e a reta de equação
4x – 3y = 0. Então, a abscissa do centro dessa circunferência é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
a) (x – 3) + ( y–4) = 16
2
2
b) (x – 3)2 + ( y+4)2 = 9
c) (x + 3)2 + ( y + 4)2 = 16
d) (x + 3)2 + ( y – 4)2 = 9
e) ( x+ 3)2 + ( y– 4 )2 = 16
31. (PUCPR) Sejam λ, a circunferência de equação
x2 + y2 – 2y – 4 = 0 e r,a reta tangente a λ no ponto P.
Se a equação de r é 2x – y – 4 = 0, o ponto P é:
a) (2;0)
b) (2;1)
c) (1;2)
d) (0;2)
20
e) (–1;2)
e) 5
35. (UFRRJ) A reta y = mx ( m > 0 ) é tangente à circunferência (x – 4)2 + y2 = 4. Determine o seno do ângulo
que a reta forma com o eixo OX.
a) 1/5
b) 1/2
c)
d)
e)
3
2
2
2
5
36. (UERJ) O ponto de coordenadas (0;0) pertence às retas
r e s, que são tangentes à circunferência de equação
x2 + y2 – 12x – 16y + 75 = 0.
a) Determine as coordenadas do centro e a medida
do raio da circunferência.
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EM_V_MAT_020
30. (Cesgranrio) Uma equação da circunferência de centro
(–3;4) e que tangencia o eixo OX é:
b) Calcule a medida do menor ângulo formado entre
r e s.
37. (Fuvest) Sendo C a circunferência x2 + y2 = 4 e s a reta
x + y = 8:
a) Determine uma equação da reta perpendicular a s
e que passa pelo centro de C.
b) Dentre os pontos equidistantes de C e s, determine
aquele que está mais próximo de s.
38. Os ciclistas A e B partem do ponto P(–1;1) no mesmo
instante e com velocidade de módulos constantes.
O ciclista A segue a trajetória descrita pela equação
4x – 3y – 7 = 0 e o ciclista B, a trajetória descrita pela
equação x2 + y2 –6x – 8y = 0. As trajetórias estão no
mesmo plano e a unidade de medida de comprimento
é o km. Pergunta–se:
Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde
haverá cruzamento das duas trajetórias?
39. Mostre que as equações paramétricas
x=
2t
1+ t
2
, t ∈ R; y =
1-t
2
1+ t
2
,
onde t é um número real qualquer, representam uma
circunferência.
40. (FEI-SP) Determine a equação da reta s, tangente à
circunferência de equação : x2 + y2 + 4x + 2y – 8 = 0
e que passa pelo ponto P(1, 1).
41. (FUVEST) A reta s : x – y – 2 = 0 intercepta a circunferência : x2 + y2 – 8x – 2y + 12 = 0 nos ponto A e B.
Determine a equação da mediatriz da corda AB.
42. (OSEC-SP) Uma circunferência de centro C(2, 0), passa
pelo ponto de interseção das retas r: x + y – 6 = 0 e
s: x – y – 2 = 0. Determine a equação geral dessa
circunferência.
43. Determine as equações das retas que passam pelo
ponto P(3, 2) e tangenciam a circunferência de equação
: x2 + y2 + 6x – 4y + 4 = 0.
44. Obter as equações das circunferências concêntricas de
centro O(1, – 1) que tangenciam a circunferência de
equação : (x + 5)2 + (y – 7)2 = 36.
EM_V_MAT_020
45. (FUVEST-SP) Seja M(8,1) o ponto médio de uma
corda AB da circunferência x2 + y2 – 4x + 2y – 45 = 0.
Determine os pontos da circunferência onde as retas
tangentes são paralelas à reta AB.
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21

10
3 10 
, −1+
11. P =  3 +

10
10 

12. 9 = 6 + 3
1. C
13. A
2. O triângulo é retângulo isósceles.
14. A
3. P(3, –1).
15. A
4. O quadrilátero é losango.
16. C
5. C(0, 5) e C’(0, –1).
17. C
6. C(10, 1).
18.
x A + xB + x C
3 − 1+ x C
⇒4=
⇒ x C = 10
3
3
c(10,1)
y + yB + y C
−2 − 2 + y C
yG = A
⇒ −1 =
⇒ yC = 1
3
3
xG =
22



7.
(2, 3), (4, –1) e (0, 1).
a) (3; 2); (6; 5); (4; 7).
b) SD = 6 u.a.
19. x – y +1 = 0
20. a = 1 e b = 3
8. C(6, 10) e D(10, 4); C(–6, 2) e D(–2, –4).
21. C
9. (4, 0)
22. 5
10.
23. D
a) (9; 0)
b) (3/5; 21/5)
24. E
25. B
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EM_V_MAT_020
Sabemos que:
26. A
12.
1) B(6, –1)
2) ( r) x + y – 5 = 0
27. B
28. B
29. E
13. 5x + y – 28 = 0 , 7x – 2y – 12 = 0 e 3x – 5y – 16 = 0
30. A
14. 3x + 2y – 5 = 0
31. B
15. 4x – y + 16 = 0
32. E
16. 4x – 3y + 10 = 0
33. x2 + y2 + 2x – 6y – 27 = 0
17. x + y – 2 = 0
34. s : 2x + 3y + 4 = 0
18. D
35. P1 (1,3) e P2 (3,5)
19. 2x + y + 4 = 0 e x – 2y + 7 = 0
36. Tangentes externas.
20. E
37. E
21. B
22. D
23. D
24.
a) (3; 1), (–3; 1) e (5; 5)
1.
a) 10(2 +
b) 12 u.a.
2)
b) B(–4, 8) e C(10, 6) ou C(–6, –6).
25.
a) (17u + 8) . (8 – u)/54
2. Sim, 2p = 3 6 3. Retângulo.
b) 64/17
4. A(8, –4, 6) e B(–1, 2, 0)
26. A reta que passa pelo ponto P(–1, –2) determina os
interceptos p e q ⇒ y + 2x + 4 = 0.
5. 7
27. 4x + 3y – 12 = 0 ou 3x + 4y – 12 = 0
28. C
6. D(9, –5, 6)
29. Determinemos o vértice (r1)∩(r2) = A(2; –1)
7.
( )
C 0; 1 ⇒ (r 3): 5x + 2y – 1 = 0.
2
30. E
a) (2/3, 2/3)
b) (1/2, 1/3)
31. A
8.
32. D
Vimos que cos2a + cos2b + cos2g = 1.
33. A
No problema são dados a = 45º e g = 135º, logo
34. D
cos 45º + cos b + cos 135º = 1
35. B
2
1
2
+ cos2 b +
2
2
1
= 1 ⇒ cos2 b = 1 ⇒ b = 90 .
2
36.
a) C(6;8) e R = 5
9. A
b) 60
EM_V_MAT_020
x − 2 y −1
=
10. r :
3
−2
37.
a) y = x
11.
1) 6x – y + 8 = 0
2) 7x – 3y – 17 = 0
æ 4 + 2 4 + 2 ö÷
÷÷
,
b) M = ççç
÷
çè
2
2
÷ø
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23
38. Q (7;7)
39. Eleve ao quadrado as duas equações e depois some.
40. s : 3x + 2y – 5 = 0
41. y = –x + 5
42. x2 + y2 – 4x – 4 = 0
3 x–y 3 +2=0e– 3 x+y 3 +2=0
3
3
2
2
44. 1 : (x – 1) + (y + 1) = 16 e
43.
: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 256
45. (2 + 3 5 , –1 +
24
5 ) e (2 – 3 5 , –1 – 5 )
EM_V_MAT_020
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