CÔNICAS
Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não-perpendiculares. Mantendo-se fixa a reta e e girando 360◦ a g conservando-se
constante o ângulo entre as retas, obtemos uma superfı́cie cônica circular formada por duas folhas. Seção cônica, ou simplesmente
cônica, é o conjunto de pontos que formam a interseção de um plano π com a superfı́cie cônica. Se π não passa por O, podemos
ter:
a) uma parábola, se π for paralelo a g;
b) uma elipese, se π não for paralelo a g e intercepta apenas uma das folhas da superfı́cie;
c) uma hipérbole, se não for paralelo a g e intercepta as duas folhas.
Algebricamente, uma cônica é o lugar geométrico dos pontos P (x, y) que satisfazem uma equação da forma ax2 + bxy + cy 2 +
dx + ey + f = 0.
ax2 + bxy + cy 2 +
{z
}
|
termos quadráticos
dx + ey
| {z }
termos lineares
+
f
|{z}
=0
termo independente
PARÁBOLA
Parábola é o conjunto de todos os pontos P (x, y) de um plano equidistantes de um ponto fixo F e de uma reta fixa d.
Caso 1: o eixo da parábola é paralelo ao eixo Oy
2
equação na forma padrão: (x − h) = 2p (y − k)
p>0
p<0
x0 = x − h
2
equação reduzida: (x0) = 2py0, onde
y0 = y − k

 x0 = t
t2 , porque (x0)2 = t2 = 2py0
equações paramétricas:
 y0 =
2p
equação geral: ax2 + cx + dy + f = 0 (a 6= 0)
equação explı́cita: y = ax2 + bx + c
Caso 2: o eixo da parábola é paralelo ao eixo Ox
2
equação na forma padrão: (y − k) = 2p (x − h)
p>0
p<0
x0 = x − h
2
equação reduzida: (y0) = 2px0, onde
y0 = y − k
x0 = t2 /2p
2
equações paramétricas:
, porque (y0) = t2 = 2px0 ⇒ x0 = t2 /2p
y0 = t
equação geral: by 2 + cx + dy + f = 0 (a =
6 0)
equação explı́cita: x = ay 2 + by + c
Exemplo 1 Determinar uma equação da parábola de vértice V (3, −2), eixo paralelo ao dos y e parâmetro p = 1.
2
equação na forma padrão: (x − 3) =2 (y + 2)
x0 = x − 3
2
equação reduzida: (x0) = 2y0, onde
y0 = y + 2
2
(x0) = 2t
equações paramétricas:
y0 = t
2
(x0) = 2y0
equação geral:
2
(x − 3) = 2 (y + 2) ⇒ x2 − 6x + 9 = 2y + 4 ⇒ x2 − 6x − 2y + 5 = 0
equação explı́cita:
x2
5
x2 − 6x − 2y + 5 = 0 ⇒ −2y = −x2 + 6x − 5 ⇒ y =
− 3x +
2
2
Exemplo 2 Dada a parábola de equação y 2 + 6y − 8x + 17 = 0, determinar:
a) sua equação reduzida;
2
y 2 + 6y − 8x + 17 = 0 ⇒ (y + 3) − 9 − 8x + 17 = 0
2
2
⇒ (y + 3) − 8x + 8 = 0 ⇒ (y + 3) = 8 (x − 1)
x0 = x − 1
2
⇒ (y0) = 2x0, onde
y0 = y + 3
b) o vértice;
V (1, −3)
c) um esboço do gráfico;
d) o foco e uma equação da diretriz;
2
(y0) = 2x0 = 2px0 ⇒ 2p = 8 ⇒ p = 4 ⇒ F (xV + p/2, yV ) = F (3, −3)
xV − p/2 = 1 − 2 = −1 ⇒ x = −1 é equação da diretriz
e) uma equação do eixo.
y = yV = −3
Exercı́cio 1 (Página 172) Para cada uma das parábolas, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz.
1) x2 = −4y
7) x2 − 10y = 0
8) 2y 2 − 9x = 0
10) x = −
y2
8
Exercı́cio 2 (Página 173 - Nos problemas de 11 a 26) Traçar um esboço do gráfico e obter uma equação (geral) da parábola que
satisfaça as condições:
18) vértice V (−2, 3); foco F (−2, 1)
20) vértice V (4, 1); diretriz y + 3 = 0
23) foco F (−7, 3); diretriz x + 3 = 0
26) vértice V (−2, 3); eixo: x + 2 = 0, passando pelo ponto P (2, 0)
Exercı́cio 3 (Página 173 - Em cada um dos problemas de 27 a 36) Determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação
da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equação dada.
27) x2 + 4x + 8y + 12 = 0
29) y 2 + 4y + 16x − 44 = 0
31) y =
x2
− 2x − 1
4
Exercı́cio 4 (Pág. 174 - Ex. 37) Encontrar a equação explı́cita da parábola que satisfaça as condições: eixo de simetria paralelo
ao eixo dos y e passando pelos pontos A (−2, 0), B (0, 4) e C (4, 0).
Exercı́cio 5 (Pág. 174 - Ex. 40) Dada a parábola de equação y = −x2 + 4x + 5, determinar:
a) o vértice;
c) o gráfico
b) as interseções com os eixos coordenados;
d) o foco;
e) uma equação da diretriz.
Exercı́cio 6 (Pág. 174 - Nos problemas de 41 a 44, obter equações paramétricas da parábola de equação dada.
41) y 2 = −4x
42) x2 = 2y
2
43) (x + 4) = −2 (y − 1)
44) y 2 − 4y + x + 1 = 0
Exercı́cio 7 (Pág. 174 - Nos problemas 45 e 46, obter uma equação geral da parábola dada por equações paramétricas.
(
(
x=t+1
t2
x=
+4
2
45)
46)
t
4
y=
−2
y=t
3
Exercı́cio 8 (Pág. 174 - Ex. 47) Em que pontos a parábola de vértice V (−2, 0) e foco F (0, 0) intercepta o eixo dos y?
Exercı́cio 9 (Pág. 174 - Ex. 50) Determinar uma equação (geral) da curva gerada por um ponto que se move de modo que sua
distância ao ponto A (−1, 3) seja igual à distância à reta y + 3 = 0.