Placas e Cascas
Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior
Cascas
Cascas
Placas e Cascas – 7641
3º Ano da Licenciatura em Engenharia Aeronáutica
Pedro V. Gamboa - 2009
Placas e Cascas
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1. Tensões de Membrana em Cascas
• Uma casca é um corpo tridimensional com:
– uma das suas dimensões muito menor do que as outras duas;
– a curvatura da sua superfície média na configuração inicial não é nula.
Cascas
• Exemplos de cascas:
–
–
–
–
–
–
Reservatórios de pressão;
Asas de avião;
Tubos;
Exterior de foguetes;
Pneus;
Lâmpadas.
superfície média
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1.1. Introdução
• Consideram-se cascas finas quando a razão da sua espessura pelo
raio de curvatura é inferior a 1/20;
• Cascas finas de interesse prático têm esta razão inferior a 1/1000;
• A análise de cascas inclui, normalmente, duas teorias distintas:
– Teoria de membra:
Cascas
• Usualmente, aplica-se uma grande área da casca;
• Uma membrana não resiste a momentos ou forças de corte;
• Uma membrana suporta esforços de tracção ou compressão.
– Teoria de flexão:
• Inclui os efeitos da flexão;
• Permite ter em conta descontinuidades na distribuição de tensão numa área
limitada da placa;
• Esta teoria, geralmente, engloba uma solução de membrana corrigida nas
áreas com efeitos de descontinuidade pronunciados e, por isso, permite ter
em conta forças nas arestas e forças concentradas.
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1.2. Comportamento Geral de Cascas
É importante notar que as forças de membrana são independentes da flexão e
são totalmente definidas pelas condições de equilíbrio estático.
Na derivação da teoria de membrana as propriedades do material não são usadas
e, por isso, ela é válida para todas as cascas independentemente do material
utilizado.
Cascas
No caso da teoria de flexão isto já não é verdade.
É necessário coinsiderar alguns pressupostos cinemáticos básicos associados à
deformação de cascas finas usados na análise de pequenas deflexões.
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1.2. Comportamento Geral de Cascas
Pressupostos:
1.
2.
Cascas
3.
4.
A razão da espessura da casca pelo raio de curvatura da superfície
média é pequena comparada com a unidade.
A deflexão da superfície média é pequena comparada com a
espessura da casca.
Secções planas inicialmente normais à superfície média permanecem
planas e ficam normais à superfície deformada após a flexão. Isto
indica que as extensões de corte verticais, γxz e γyz, são desprezáveis.
Conclui-se que a extensão normal εz resultante do carregamento
transversal pode ser omitido.
A tensão normal ao plano médio, σz, é pequena comparada com as
outras componentes e pode ser desprezada.
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1.3. Resistência da Casca ao Carregamento
O mecanismo de suporte de cargas das cascas não é igual ao das vigas ou das
placas finas.
Por exemplo, uma casca de ovo ou uma lâmpada incandescente suportam
elevadas forças normais apesar da sua fragilidade (um ovo de galinha tem um
raio r=20mm e uma espessura t=0,4mm – t/r=1/50).
Cascas
Este comportamento contrasta com o de materiais idênticos na forma de viga ou
placa.
Uma casca é curva e, assim, pode desenvolver forças no plano que formam a
acção primária de resistência para além das forças que que existem numa viga
ou numa casca.
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1.3. Resistência da Casca ao Carregamento
Para descrever o fenómeno, considere-se parte de uma casca esférica de raio r e
espessura t sujeita a uma pressão uniforme p.
A condição das forças verticais ser igual a zero é
2πr0 N sin φ − pπr02 = 0
ou
Cascas
N=
pr0
pr
=
2 sin φ 2
onde N é a força no plano por unidade de circunferência.
Esta relação é válida em qualquer posição na casca, uma vez que N não varia
com φ.
Ao contrário das placas, nas cascas o carregamento é suportado pela superfície
média.
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1.4. Geometria de Cascas de Revolução
Considere um tipo de casca particular descrito por uma superfície de revolução:
por exemplo a esfera, o cilindro ou o cone.
A superfície média de uma casca de revolução é gerada pela rotação do
meridiano em torno de um eixo no seu plano.
Cascas
Um ponto na placa é localizado pelas coordenadas θ, φ e r0 e a superfície
elementar ABCD é definida por dois meridianos e dois paralelos.
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1.4. Geometria de Cascas de Revolução
Os planos associados com os raios de curvatura principais r1 e r2 em qualquer
ponto na superfície média da casca são o plano meridiano e o plano paralelo no
ponto em questão, respectivamente.
Os raios de curvatura r1 e r2 estão, assim, relacionados com os lados CD e AC.
O raio principal r2 gera a superfície da casca na direcção perpendicular à
direcção da tangente da curva meridiana.
Cascas
Os dois raios r0 e r2 estão relacionados por
r0 = r2 sin φ
Daqui vê-se que os comprimentos do elemento curvilíneo da casca são
LAC = r0 dθ = r2 sin φdθ
LCD = r1dφ
Nesta descrição assume-se que os raios de curvatura principais r1 e r2 são
constantes conhecidas. No caso de os raios de cuvatura não serem constantes
usa-se a equação que define a forma da casca.
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1.5. Carregamentos Simétricos (Cascas
(Cascas de
de Revolução)
Revolução)
Nos problemas axi-simétricos com cascas de revolução não existem forças de
corte e existem apenas duas forças de membrana por unidade comprimento, Nθ
e Nφ.
Cascas
As equações que governam estas forças são derivadas a partir de duas condições
de equilíbrio.
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1.5. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)
Devido à condição de simetria tanto o carregamento como as forças de
membrana não variam com θ.
As forças externas por unidade de área são representadas pelas componentes py
e pz nas direcções y e z, respectivamente.
O equilíbrio na direcção z requer que se considerem as componentes em z do
carregamento e as forças que actuam em cada aresta do elemento.
Cascas
O carregamento distribuído na direcção z na área do elemento é
p z r0 r1dθdφ
A força que actua na aresta superior do elemento é Nφr0dθ.
Desprezando os termos de ordem superior, a força na aresta inferior é também
Nφr0dθ.
A componente destas forças na direcção z é, assim, Nφr0dθsin(dφ/2).
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1.5. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)
Esta força é quase igual a Nφr0dθdφ/2, dando a força seguinte para a resultante
das duas arestas
Nφ r0 dθdφ
A força em cada um dos lados do elemento é Nθr1dφ.
A resultante na direcção do raio do plano paralelo para as duas forças é
Nθr1dφdθ que produz na direcção z
Cascas
Nθ r1dφdθ sin φ
Destas três forças, com
∑F
z
=0
tem-se
Nφ r0 + Nθ r1 sin φ + p z r0 r1 = 0
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1.5. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)
Esta expressão pode ser simplificada dividindo por r0r1 e substituindo r0 por
r2sinφ.
Desta forma, uma das relações básicas para cascas com carregamentos axisimétricos é
Nφ
Cascas
r1
+
Nθ
= − pz
r2
O equilíbrio de forças na direcção da tangente meridional, na direcção y, é
d
(Nφ r0 )dφdθ − Nθ r1dφdθ cosφ + p y r1dφr0 dθ = 0
dφ
O primeiro termo representa a soma das forças normais nas arestas AC e BD.
O segundo termo é a componente, na direcção y, da força radial resultante
Nθr1dφdθ que actua nas faces AB e CD.
O terceiro termo é a componente do carregamento.
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1.5. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)
Dividindo esta equação por dθdφ, a equação do equilíbrio das forças em y fica
d
(Nφ r0 ) − Nθ r1 cosφ = − p y r1r0
dφ
Cascas
Pode notar-se que outra equação de equilíbrio pode ser usada em vez desta
isolando a parte da casca interceptada pelo ângulo φ.
Substituindo a resultante de todas as forças externas aplicadas neste corpo livre
por F e lembrando que da simetria as forças Nφ são constantes em redor da
aresta, o equilibrio das forças verticais é
2πr0 Nφ sin φ + F = 0
ou
Nφ = −
F
2πr0 sin φ
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1.5. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)
Estas equações são suficientes para determinar a força de hoop Nθ e a força
meridional Nφ.
A partir destas forças as tensões são obtidas directamente.
Cascas
Valores negativos indicam tensões de compressão.
Devido à liberdade de movimento na direcção z, para a casca de revolução com
carregamente axi-simétrico considerada, são produzidas extensões que garantem
a consistência com o campo de tensões e a compatibilidade entre as extensões e
as tensões.
Esta é a diferença base entre um problema de membrana da casca e um de
tensão plana. Neste último é preciso aplicar a equação de compatibilidade.
Também é claro que quanto a casca está sujeita a carregamentos de superfície
concentrados ou tem as extremidades constrangidas a teoria da membrana não
cumpre as condições de deformação em todos os lados.
A solução completa precisa da teoria de flexão.
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1.6. Casos Típicos (Cascas
(Cascas de
de Revolução)
Revolução)
As tensões de membrana em qualquer casca de revolução com um carregamento
axi-simétrico pode ser determinado pelas equações de equilíbrio obtidas
anteriormente.
Cascas
Em seguida alguns elementos estruturais comuns são apresentados.
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1.6. Casos Típicos (Cascas de Revolução)
Casca Esférica
Nas cascas esféricas pode considerar-se o raio médio a=r1=r2.
Assim, as equações de equilíbrio ficam
N φ + Nθ = − p z a
Cascas
Nφ = −
F
2πa sin 2 φ
O caso mais simples é uma casca esférica sujeita a uma pressão interna
constante p, como um balão.
Temos p=-pz, φ=90º e F=-πa2p.
Como qualquer que seja a secção considerada obtém-se um corpo livre idêntico,
Nφ=Nθ=N.
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1.6. Casos Típicos (Cascas de Revolução)
A tensão fica
σ=
N
pa
− πa 2 p
=−
=
2
t
2tπa sin (π / 2 ) 2t
Cascas
onde t é a espessura da casca.
A expansão da esfera, aplicando a Lei de Hook,
1
ε x = (σ x −νσ y )
E
é
a N
N
pa 2
(1 −ν )
δ s = ⎛⎜ −ν ⎟⎞ =
E⎝ t
t ⎠ 2 Et
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1.6. Casos Típicos (Cascas de Revolução)
Casca Cónica
Neste caso típico o ângulo φ é constante (r1=∞) e, por isso, não pode ser usado
como coordenada do meridiano.
Cascas
Assim, introduz-se a coordenada s que é a distância de um ponto na superfície
média, normalmente medida desde o vértice, ao longo da geratriz.
Desta forma, o comprimento de um elemento meridional é ds=r1dφ e
d
d
= r1
dφ
ds
Também se tem
r0 = s cos φ
r2 = s cot φ
Nφ = N s
Introduzindo estas relações nas equações de equilíbrio
obtém-se
d
( N s s ) − Nθ = − p y s
ds
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1.6. Casos Típicos (Cascas de Revolução)
e
0
Ns
Nθ
pr
+
= − p z ⇔ Nθ = − p z s cot φ = − z 0
r1 s cot φ
sin φ
onde r0 é o raio médio na base.
Cascas
As cargas py e pz estão nas direcções s e radial, respectivamente.
A soma das duas equações anteriores dá
d
( N s s ) = −( p y + p z cot φ )s
ds
A força meridional, depois da integração desta expressão, é
1
N s = − ∫ ( p y + p z cot φ )sds
s
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1.6. Casos Típicos (Cascas de Revolução)
Uma forma alternativa da primeira equação pode ser obtida usando a segunda
forma da segunda equação de equilíbrio.
As forças de membrana ficam
Ns = −
F
2πr0 sin φ
Cascas
Nθ = −
p z r0
sin φ
Pode ver-se que, dada uma distribuição de carregamento exterior, as tensões de
hoop e meridional podem ser calculadas independentemente.
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1.6. Casos Típicos (Cascas de Revolução)
Casca Cilíndrica Circular
Para obter as tensões resultantes num cilindro circular pode começar-se com as
equações da casca cónica colocando φ=π/2, pz=pr e o raio médio
a=r0=constante.
Assim, as equações acima ficam
Cascas
Ns = Nx = −
F
2πa
Nθ = − p r a
Para um cilindro com as extremidades fechadas sujeito a uma pressão interna
constante tem-se p=-pr e F=-πa2p.
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1.6. Casos Típicos (Cascas de Revolução)
As tensões axial e de hoop ficam
σx =
pa
2t
pa
t
Da Lei de Hooke, a extensão do raio do cilindro sujeito a estas tensões é
Cascas
σθ =
2
a
(σ θ −νσ x ) = pa (2 −ν )
E
2 Et
Soluções para outros casos de interesse podem ser derivadas usando um
procedimento idêntico.
δc =
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1.7. Deformação Axi-Simétrica
Vamos ver os deslocamentos numa casca de revolução com carregamento
simétrico considerando um elemento AB com comprimento r1dφ no meridiano
duma casca sem extensão.
Consideremos os deslocamentos na direcção tangente ao meridiano v e os
deslocamentos na direcção normal à superfície média w.
Cascas
Depois de sofrer extensão, AB desloca-se para A’B’.
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1.7. Deformação Axi-Simétrica
Nesta análise vamos utilizar a aproximação de deformações pequenas e
desprezar termos infinitesimais de ordem superior.
A deformação sofrida por um elemento de comprimento infinitesimal r1dφ pode
ser considerada como sendo composta de um aumento de comprimento
(dv/dφ)dφ devido aos deslocamentos tangenciais e uma redução do
comprimento wdφ produzido pelo deslocamento radial.
Cascas
A extensão meridional εφ, a deformação total por unidade de comprimento do
elemento AB, é assim
εφ =
1 dv w
−
r1 dφ r1
A deformação de um elemento de um círculo paralelo pode ser obtida de forma
similar.
Pode ser mostrado que o aumento no raio r0 do círculo, produzido pelos
deslocamentos v e w é vcosφ-wsinφ.
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1.7. Deformação Axi-Simétrica
Como a circunferência do paralelo expande em proporção directa com o raio,
então
1
ε θ = (v cos φ − w sin φ )
r0
Cascas
Relembrando que r0=r2sinφ, a extensão de hoop é
1
ε θ = (v cot φ − w)
r2
Eliminando w destas equações ficamos com a equação diferencial em v
dv
− v cot φ = r1ε φ − r2ε θ
dφ
As extensões estão relacionadas com as tensões de membrana pela lei de
Hooke
1
1
ε φ = (σ φ −νσ θ )
ε θ = (σ θ −νσ φ )
E
E
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1.7. Deformação Axi-Simétrica
Usando estas relações na equação diferencial obtém-se
dv
1
− v cot φ = [σ φ (r1 + νr2 ) − σ θ (r2 + νr1 )]
dφ
E
Pode observar-se que as deformações simétricas da casca de revolução podem
ser obtidas integrando esta expressão quando as tensões de membrana são
conhecidas.
Colocamos
Cascas
dv
− v cot φ = f (φ )
dφ
Esta equação tem a solução
⎡ f (φ )
⎤
v = ⎢∫
dφ + c ⎥ sin φ
sin
φ
⎣
⎦
onde a constante de integração c se obtém das condições de fronteira.
Conhecendo v, w pode ser facilmente calculado.
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1.7. Deformação Axi-Simétrica
Exemplo 3.1
Considere um telhado semi-esférico com apoios simples, raio a, espessura t e
sujeito ao seu peso p por unidade de área.
Cascas
a) Determine as tensões no telhado;
b) Assumindo que o telhado é feito em betão de 70mm de espessura, com
densidade de 23KN/m3, e um diâmetro de 56m determine a capacidade do
telhado resistir à fractura. A tensão de ruptura à compressão é σu=21Mpa e o
módulo de elasticidade é E=20GPa.
c) Verifique a existência de instabilidade.
d) Determine os deslocamentos no telhado.
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1.7. Deformação Axi-Simétrica
1.0
0.8
tensão normal / (pa/t)
Cascas
0.6
51,1º
0.4
θ
0.2
0.0
-0.2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
-0.4
-0.6
φ
-0.8
-1.0
φ , graus
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1.8. Carregamentos Assimétricos (Cascas
(Cascas de
de Revolução)
Revolução)
Na flexão de cascas de revolução com carregamentos não simétricos, não estão
presentes apenas as forças normais Nφ e Nθ nos lados de um elemento mas
também as forças de corte Nφθ e Nθφ.
O equilíbrio de momentos implica que Nθφ=Nφθ, o que acontece sempre numa
casca fina.
Cascas
O carregamento na superfície tem componentes px, py e pz.
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1.8. Carregamentos Assimétricos (Cascas de Revolução)
Vamos ver as forças na direcção x.
A força
∂Nθ
r1dθdφ
∂θ
deve-se à variação de Nθ.
Cascas
A componente horizontal das forças Nθφr1dφ que actuam nas faces AB e CD do
elemento faz um ângulo dθ e, por isso, têm a seguinte resultante em x
Nφθ r1dφ cos φdθ
A diferença das forças de corte que actuam nas faces AC e BD do elemento são
∂N
⎛
⎞⎛
dr
⎞
⎜ Nθφ + θφ dθ ⎟⎜ r0 + 0 dφ ⎟ − Nθφ r0 dθ
∂
φ
d
φ
⎠
⎝
⎠⎝
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1.8. Carregamentos Assimétricos (Cascas de Revolução)
ou
Nθφ
∂N
dr0
∂
(r0 Nθφ )dθdφ
dφdθ + θφ r0 dφdθ =
∂φ
dφ
∂φ
A componente da força externa é
p x r0 r1dθdφ
Cascas
Logo, o equilíbrio na direcção x fica
∂
(r0 Nθφ )dθdφ + ∂Nθ r1 + Nθφ r1 cosφ + px r0 r1 = 0
∂φ
∂φ
À expressão do equilíbrio em y obtida na secção 1.5 é necessário adicionar a
força
∂Nθφ
r1dθdφ
∂φ
devido à diferença das forças de corte nas faces AB e CD.
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1.8. Carregamentos Assimétricos (Cascas de Revolução)
Uma vez que a projecção das forças de corte no eixo z desaparece, as equações
de equilíbrio em y e z ficam, respectivamente,
d
(Nφ r0 ) + ∂Nθφ r1 − Nθ r1 cosφ + p y r1r0 = 0
dφ
∂θ
Nφ
Cascas
r1
+
Nθ
= − pz
r2
Estas equações permitem determinar as forças de membrana numa casca de
revolução com carregamento não simétrico que pode, em geral, variar com θ e
φ.
Da mesma forma que para os carregamentos axi-simétricos se obteram
expressões para o equilíbrio de cascas esféricas, cónicas e cilíndricas, também
se podem obter expressões para carregamentos não simétricos.
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1.9. Cascas Cilíndricas
Uma casca cilíndrica é formada por um linha recta, a geratriz, que se desloca ao
longo de uma trajetória fechada paralela.
Um elemento de uma casca cilíndrica está compreendido por duas geratrizes e
dois planos normais ao eixo axial x, distanciadas de dx.
Cascas
Este elemento é posicionado pelas coordenadas x e θ.
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1.9. Cascas Cilíndricas
Vamos assumir que um carregamento não uniforme actua nesta casca cilíndrica.
Neste caso, um corpo livre de um elemento da membrana contém as forças
aplicadas (figura anterior).
As componentes em x e θ das forças externas são px e pθ com sentido positivo
no sentido positivo dos respectivos eixos.
Cascas
A componente normal ou radial do carregamento, pr, actua no sentido positivo
para dentro.
O equilíbrio de forças nas direcções x, θ e r são, respectivamente,
∂N
∂N x
dxrdθ + xθ dθdx + p x dxrdθ = 0
∂θ
∂x
∂N xθ
∂Nθ
dθdx +
dxrdθ + pθ dxrdθ = 0
∂θ
∂θ
Nθ dxdθ + pr dxrdθ = 0
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1.9. Cascas Cilíndricas
Dividindo estas expressões por dxrdθ obtêm-se as equações de equilíbrio para
cascas cilíndricas.
Assim,
Nθ = − pr r
Cascas
∂N xθ 1 ∂Nθ
+
= − pθ
∂x
r ∂θ
∂N x 1 ∂N xθ
+
= − px
∂x r ∂θ
Estas equações também podiam ser obtidas a partir das equações gerais.
Pode ver-se que estas equações são simples e que podem ser resolvidas uma de
cada vez.
Para um dado carregamento, Nθ é obtido da primeira equação.
Nxθ e Nx são, depois, obtidas integrando as outras duas.
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1.9. Cascas Cilíndricas
Então,
Nθ = − pr r
1 ∂Nθ ⎞
⎛
N xθ = − ∫ ⎜ pθ +
⎟dx + f1 (θ )
r ∂θ ⎠
⎝
Cascas
1 ∂N xθ ⎞
⎛
N x = −∫ ⎜ px +
⎟dx + f 2 (θ )
r ∂θ ⎠
⎝
onde f1(θ) e f2(θ) são funções de integração arbitrárias que dependem das
condições nas arestas.
Estas funções resultam da integração das derivadas parciais.
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1.9. Cascas Cilíndricas
Exemplo 3.2
Uma tubagem longa e cilíndrica está apoiada como mostra a figura e contém um
líquido com peso específico γ.
Determinar as forças de membrana nas seguintes condições:
a) existem juntas de expansão nas duas extremidades;
Cascas
b) ambas as extremidades estão rigidamente fixas.
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Cascas
Placas e Cascas
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2. Tensões de Flexão em Cascas
2.1. Introdução
• Foi visto anteriormente que a teoria de membrana não consegue
fornecer soluções compatíveis com as condições reais de
deformação em todas as situações.
• Também nas fronteiras e em certas partes da casca esta teoria não
consegue prever o estado de tensões.
• Estas limitações são ultrapassadas pela introdução da teoria de
flexão que tem em conta forças de membrana, forças de corte e
momentos que actuam na estrutura da casca.
• Para desenvolver as equações diferenciais para os deslocamentos da
superfície média u,v e w que definem a geometria e a cinemática da
deformação procede-se da mesma forma que para as placas.
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2.1. Introdução
• Primeiro derivam-se as relações básicas entre as tensões e as
deformações de cascas de geometria genérica.
• A teoria de flexão completa é matematicamente intrincada e as
primeiras soluções de tensões de flexão de cascas datam de 1920.
Cascas
Placas e Cascas
Departamento de Ciências Aeroespaciais - Universidade da Beira Interior
Pedro V. Gamboa - 2009
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2.2. Resultantes das Tensões na Casca
Para derivar uma expressão para as resultantes das tensões, isto é, as forças e
momentos resultantes que representam as tensões internas, considera-se um
elemento infinitesimal.
Este elemento é definido por dois pares de planos normais à superfície média da
casca.
Cascas
A origem do sistema de eixos coordenados é localizada num canto do elemento
com os eixos x e y tangentes às linhas de curvatura principal e o z perpendicular
à superfície média.
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2.2. Resultantes das Tensões na Casca
Devido à curvatura da casca, os comprimentos dos arcos afastados de uma
distância z da superfície média não são apenas dsx e dsy, os comprimentos
medidos na superfície média, mas sim
ds y (ry − z ) ⎛
z⎞
= ⎜⎜1 − ⎟⎟ds y
ry
r
y ⎠
⎝
onde rx e ry são os raios de curvatura principais nos planos xz e yz,
respectivamente.
Cascas
ds x (rx − z ) ⎛
z⎞
= ⎜⎜1 − ⎟⎟ds x
rx
r
⎝
x ⎠
As tensões que actuam nas faces planas do elemento são σx, σy, τxy, τxz e τyz.
Se Nx representar a força normal resultante que actua na face yz por unidade de
comprimento tem-se, usando o arco real,
⎛
t 2
z⎞
N x ds y = ∫ σ x ⎜⎜1 − ⎟⎟ds y dz
−t 2
⎝ ry ⎠
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2.2. Resultantes das Tensões na Casca
Dividindo pela distância arbitrária dsy tem-se
⎛
t 2
t 2
z⎞
N x = ∫ σ x ⎜⎜1 − ⎟⎟dz = ∫ σ x (1 − zk y )dz
−t 2
−t 2
r
y ⎠
⎝
Da mesma forma, podem derivar-se expressões para as outras resultantes de
tensão.
Cascas
Assim,
⎧ Nx ⎫
⎧σ x (1 − zk y )⎫
⎪N ⎪
⎪σ (1 − zk )⎪
x
⎪ y⎪
⎪ y
⎪
⎪ N xy ⎪ t 2 ⎪τ xy (1 − zk y )⎪
⎨
⎬ = ∫−t 2 ⎨
⎬dz
⎪ N yx ⎪
⎪τ yx (1 − zk x )⎪
⎪ Qx ⎪
⎪τ xz (1 − zk y )⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ Qy ⎭
⎩τ yz (1 − zk x )⎭
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2.2. Resultantes das Tensões na Casca
e
Cascas
⎧Mx ⎫
⎧σ x (1 − zk y )⎫
⎪ M ⎪ t 2 ⎪σ (1 − zk )⎪
⎪ y⎪
⎪ y
x ⎪
⎨
⎬ = ∫−t 2 ⎨
⎬ zdz
(
−
τ
1
zk
M
y )⎪
⎪ xy ⎪
⎪ xy
⎪⎩M yx ⎪⎭
⎪⎩τ yx (1 − zk x )⎪⎭
A convenção dos sinais é a mesma das placas.
Destas equações pode conclui-se que, apesar de τxy=τyx, as forças de corte Nxy e
Nyx e os momentos torsores Mxy e Myx não são, geralmente, iguais.
Isto ocorre porque rx≠ry.
No entanto, para cascas finas (são estas que nos interessam) t é pequeno em
comparação com rx e ry e, por isso, z/rx e z/ry podem ser desprezados em
comparação com a unidade.
Neste caso Nxy=Nyx e Mxy=Myx.
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2.2. Resultantes das Tensões na Casca
Assim, as resultantes de tensão são descritas com as mesmas expressões das
placas, isto é
⎧σ x ⎫
⎧ Nx ⎫
⎪N ⎪
⎪σ ⎪
⎪⎪ y ⎪⎪ t 2 ⎪⎪ y ⎪⎪
⎨ N xy ⎬ = ∫−t 2 ⎨τ xy ⎬dz
⎪Q ⎪
⎪τ ⎪
⎪ xz ⎪
⎪ x⎪
⎪⎩ Q y ⎪⎭
⎪⎩τ yz ⎪⎭
Cascas
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⎧Mx ⎫
⎧σ x ⎫
⎪
⎪ t2⎪ ⎪
⎨ M y ⎬ = ∫−t 2 ⎨σ y ⎬ zdz
⎪M ⎪
⎪τ ⎪
⎩ xy ⎭
⎩ xy ⎭
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
Para relacionar as resultantes de tensão com as deformações da casca, as tensões
σx, σy e τxy têm que ser calculadas em termos das extensões.
De acordo com os pressupostos, a tensão na direcção z é desprezada, σz=0.
A lei de Hooke fica, então,
σx =
E
(ε x −νε y ) ; σ y = E 2 (ε y −νε x ) ; τ xy = Gγ xy
1 −ν 2
1 −ν
Cascas
Temos que determinar as extensões que aparecem nestas expressões.
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
O elemento deformado da casca da figura, tem os lados mn e m’n’ rectos de
acordo com o pressuposto 3.
A superfície média está esticada e o lado mn está rodado em relação à
configuração original.
O alongamento unitário εx de uma fibra lf, posicionada no plano xz a uma
distância z da superfície média, é dado por
Cascas
εx =
Δl f
lf
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
Aqui, Δlf é o alongamento sofrido por lf.
Assim,
⎛
z⎞
Δl f = ds x (1 + ε x 0 )⎜⎜1 − ⎟⎟ − l f
⎝ rx′ ⎠
l f = ds x (1 − zκ x )
Cascas
onde εx0 representa a deformação unitária na superfície média, r’x é o raio de
curvatura depois da deformação e dsx é o comprimento da fibra na superfície
média.
Substituindo estas equação na equação da extensão tem-se
εx =
ε x0
−
z
⎡
1
−
1⎤
(1 − z rx ) (1 − z rx ) ⎢⎣ (1 − ε x 0 )rx′ rx ⎥⎦
onde rx é a curvatura antes da deformação.
Uma vez que temos t«rx, z/rx pode ser omitido.
Por outro lado a influência de εx0 na curvatura é desprezável.
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
Desta forma, a expressão acima fica
⎛1 1⎞
− ⎟⎟ = ε x 0 − zχ x
⎝ rx′ rx ⎠
ε x = ε x 0 − z ⎜⎜
onde χx representa a variação da curvatura da superfície média.
Cascas
O alongamento unitário em qualquer distância normal à superfície média está,
assim, relacionado com o esticar da superfície média e a mudança da curvatura
associada à deformação.
Para a direcção y obtém-se uma expressão idêntica
⎛1 1⎞
ε y = ε y 0 − z⎜⎜ − ⎟⎟ = ε y 0 − zχ y
⎝ ry′ ry ⎠
Falta determinar a distribuição da extensão de corte γxy.
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
Considera-se γxy0 a extensão de corte na superfície média.
Devido à rotação da aresta AB em torno do eixo x e γxy0, e referindo à equação
das placas
γ xy = −2 zκ xy
tem-se
Cascas
γ xy = γ xy 0 − 2 zχ xy
Aqui, χxy designa a torção da superfície média.
Isto representa o efeito da rotação dos elementos da casca em torno da normal à
superfície média.
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
Substituindo estes resultados nas equações das tensões tem-se
E
[ε x0 +νε y 0 − z (χ x −νχ y )]
σx =
1 −ν 2
E
[ε y 0 +νε x 0 − z (χ y −νχ x )]
σy =
1 −ν 2
Cascas
τ xy = G (γ xy 0 − 2 zχ xy )
Finalmente, desprezando os termos z/rx e z/ry, como anteriormente, e
substituindo as tensões nas expressões das resultantes de tensão obtém-se
Et
(ε x 0 +νε y 0 )
1 −ν 2
Et
(ε y 0 +νε x 0 )
Ny =
1 −ν 2
Et
N xy = N yx =
γ xy 0
2(1 + ν )
Nx =
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2.3. Força, Momento e Deslocamento
e
M x = − D(χ x −νχ y )
M y = − D (χ y −νχ x )
M xy = M yx = − D(1 −ν )χ xy
Cascas
D=Et3/[12(1-ν2)] define a rigidez de flexão da casca, à semelhança do obtido
para a placa.
Estas equações são as equações constitutivas para cascas.
Nas condições em que a flexão pode ser desprezada, a análise das tensões
simplifica-se bastante uma vez que Mx, My e Mxy=Myx desaparecem.
O que sobra são as forças de membrana Nx, Ny e Nxy=Nyx.
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2.4. Tensões Compostas nas Cascas
Estamos, agora, em condições para escrever as tensões compostas numa casca
produzidas por forças e momentos.
Para isso, substitui-se as extensões e deformações obtidas das equações das
resultantes de tensão nas equações das tensões, o que dá
N x 12 M x z
+
t
t3
N 12 M y z
σx = y +
t
t3
N
12 M xy z
τ xy = xy +
t
t3
Os primeiros termos nestas expressões representam as tensões de membrana e
os segundos as tensões de flexão.
Cascas
σx =
Pode observar-se que a distribuição das componentes da tensão σx, σy e τxy na
espessura é linear.
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2.4. Tensões Compostas nas Cascas
Também pode ser verificado, à semelhança das placas, que as tensões de corte
vertical têm uma distribuição parabólica.
τ xz =
3Qx ⎛ 4 z 2 ⎞
⎜1 − 2 ⎟⎟
2t ⎜⎝
t ⎠
3Q y ⎛ 4 z 2 ⎞
⎜1 − 2 ⎟⎟
2t ⎜⎝
t ⎠
Estes valores são pequenos quando comparados com as outras tensões planas,
tal como eram no caso da placa.
Cascas
τ yz =
Pode concluir-se que as relações de tensão fundamentais são idênticas para as
vigas, as placas e as cascas.
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2.5. Carregamentos Simétricos (Cascas
(Cascas Cilíndricas)
Cilíndricas)
Tubos, tanques e outros contentores sugeitos a pressão interna são alguns
exemplos de cascas cilíndricas com carregamentos axi-simétricos.
Devido à simetria, um elemento cortado de um cilindro de raio a terá as
resultantes de tensão Nθ, Mθ, Nx e Qx.
A força e o momento em torno da circunferência, Nθ e Mθ, não variam com θ.
Cascas
Assim, o deslocamento na circunferência v desaparece e só é necessário
considerar os deslocamentos em x e y, u e w, respectivamente.
Desta forma, apenas três das seis equações de equilíbrio do elemento da casca
têm que ser satisfeitas.
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2.5. Carregamentos Simétricos (Cascas Cilíndricas)
Supondo que o carregamento externo é como mostrado na figura, os equilíbrios
nas direcções x e z resultam em
dN x
dx ⋅ adθ + p x ⋅ adθ ⋅ dx = 0
dx
Cascas
dQx
dx ⋅ adθ + Nθ dx ⋅ dθ + pr ⋅ dx ⋅ adθ = 0
dx
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2.5. Carregamentos Simétricos (Cascas Cilíndricas)
O equilíbrio de momentos em torno de y é dado por
dM x
dx ⋅ adθ − Qx ⋅ adθ ⋅ dx = 0
dx
Dividindo todas as equações por dx.adθ obtém-se
dN x
+ px = 0
dx
dQx 1
+ Nθ + pr = 0
dx a
dM x
− Qx = 0
dx
É interessante notar que a última equação é a relação básica das vigas: a força
de corte é a primeira derivada do momento flector.
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2.5. Carregamentos Simétricos (Cascas Cilíndricas)
Da primeira equação a força axial Nx é
N x = − ∫ p x dx + c
onde c é uma constante de integração.
Cascas
Pode ver-se que as incógnitas Qx, Nθ e Mx não podem ser determinadas das duas
últimas equações e, por isso, é necessário examinar os deslocamentos da
superfície média.
Uma vez que v=0, as relações extensão-deslocamento são, da simetria,
du
dx
(a − w)dθ − adθ
w
εθ =
=−
adθ
a
εx =
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2.5. Carregamentos Simétricos (Cascas Cilíndricas)
Aplicando a lei de Hooke, tem-se
Et
(ε x +νε θ ) = Et 2 ⎛⎜ du −ν w ⎞⎟
Nx =
2
a⎠
1 −ν
1 −ν ⎝ dx
de onde se tira
du 1 −ν 2
w
=
N x +ν
dx
Et
a
Cascas
Logo, da lei de Hooke
Nθ =
Et
(ε θ +νε x ) = − Et 2 ⎛⎜ w −ν du ⎞⎟
dx ⎠
1 −ν 2
1 −ν ⎝ a
As relações entre momento flector e deslocamentos são as mesmas que para um
plano dobrado numa superfície cilíndrica.
Assim, como,
d 2w
=0
dy 2
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2.5. Carregamentos Simétricos (Cascas Cilíndricas)
tem-se
d 2w
dx 2
onde D é a rigidez de flexão da casca.
Cascas
M x = −D
M θ = νM x
Usando as duas últimas equações de equilíbrio e eliminando Qx obtém-se
d 2M x 1
+ Nθ + p r = 0
a
dx 2
Finalmente, quando esta expressão é combinada com as equações anteriores,
tem-se
d2 ⎛
d 2 w ⎞ 1 ⎧ Et ⎡ w ⎛ 1 −ν 2
w ⎞⎤ ⎫
⎜
⎟ + ⎨−
D
−
−ν ⎜⎜
N x + ν ⎟⎟⎥ ⎬ + pr = 0
2⎜
2 ⎟
2 ⎢
a ⎠⎦ ⎭
dx ⎝
dx ⎠ a ⎩ 1 −ν ⎣ a
⎝ Et
D
d 4 w Et
ν
+ w − N x − pr = 0
a
dx 4 a 2
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2.5. Carregamentos Simétricos (Cascas Cilíndricas)
Uma forma mais conveniente desta expressão é
νN
d 4w
p
+ 4β 4 w − x = r
aD D
dx 4
onde
Et
3(1 −ν 2 )
=
a 2t 2
4a 2 D
e o parâmetro geométrico β tem dimensão L-1.
Cascas
β4 =
Esta equação juntamente com a equação de du/dx representam as condições de
deslocamento que governam uma casca cilíndrica com carregamento simétrico.
Quando não existe carga axial, Nx=0, estas equações ficam
du
w
=ν
dx
a
d 4w
p
4
+ 4β w = r
D
dx 4
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2.5. Carregamentos Simétricos (Cascas Cilíndricas)
A primeira equação dá u depois da integração.
A segunda é uma equação diferencial ordinária com coeficientes constantes.
Ela também representa a equação de uma viga com rigidez de flexão D, sobre
apoios elásticos e sujeita a um carregamento pr.
A solução homogénia desta equação é dada por
Cascas
wh = c1e m1x + c2 e m2 x + c3e m3 x + c4e m4 x
em que c1, c2, c3 e c4 são constantes e m1, m2, m3 e m4 são raízes da expressão
m 4 + 4β 4 = 0
Esta expressão pode ser escrita, somando e subtraindo 4m2β2, como
(m
2
+ 2 β 2 ) − 4m 2 β 2 = 0
2
Daqui
m 2 + 2 β 2 = ±2mβ
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2.5. Carregamentos Simétricos (Cascas Cilíndricas)
cuja solução é
m = ± β (1 ± i )
Daqui segue-se que
wh = e − βx (c1eiβx + c2 e −iβx ) + e βx (c3eiβx + c4 e −iβx )
Cascas
Se f(x) representar a solução particular wp, a solução geral da equação em causa
é
w = e − βx (C1 cos βx + C2 sin β x ) + e βx (C3 cos βx + C4 sin β x ) + f ( x )
onde C1, C2, C3 e C4 são constantes de integração arbitrárias, obtidas com base
nas condições de fronteira.
Pode notar-se que os resultados da teoria de membrana podem ser sempre
considerados como as soluções particulares das equações da teoria de flexão.
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2.6. Casos Típicos (Carregamentos
(Carregamentos Simétricos
Simétricos em
em Cascas
Cascas Cilíndricas)
Cilíndricas)
Consideremos um problema de flexão de um cilindro com o comprimento muito
grande comparado com o diâmetro, um cilindro infinito, sujeito a uma carga P
uniformemente distribuída ao longo da secção circular.
Uma vez que não existe pressão pr distribuída sobre a superfície da casca Nx=0 e
f(x)=0.
A solução deste problema fica
Cascas
w = e − βx (C1 cos βx + C2 sin βx ) + e βx (C3 cos βx + C4 sin βx )
Devido à simetria da casca, as condições de fronteira para a metade direita são
deduzidas do facto de quando x→∞, a deflexão e todas as derivadas de w com
respeito a x desaparecem.
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2.6. Casos Típicos (Carregamentos Simétricos em Cascas Cilíndricas)
Estas condições são cumpridas quando C3=C4=0.
Assim
w = e − βx (C1 cos βx + C2 sin βx )
Como Nx=0
Nθ = −
Etw
a
Cascas
e
dM x
d 2w
d 2w
d 3w
= −D 3
M θ = −νD 2
Qx =
2
dx
dx
dx
dx
As condições aplicáveis imediatamente à direita da carga são
M x = −D
Qx = − D
d 3w
p
=−
3
2
dx
dw
=0
dx
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2.6. Casos Típicos (Carregamentos Simétricos em Cascas Cilíndricas)
A primeira condição indica que cada metade do cilindro suporta metade da
carga externa.
A segunda condição indica que o declive do deslocamento é zero ao centro do
cilindro devido à simetria.
Cascas
Introduzindo estas condições na equação do deslocamento, com x=0, obtém-se
p
C1 = C2 = 3
8β D
O deslocamento fica
w=
pe − βx
(sin βx + cos βx )
8β 3 D
Ou, noutra forma,
w=
π ⎞⎤
pe − βx ⎡
⎛
2 sin ⎜ βx + ⎟⎥
8β 3 D ⎢⎣
4 ⎠⎦
⎝
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2.6. Casos Típicos (Carregamentos Simétricos em Cascas Cilíndricas)
Pode observar-se que a defleção atenua com a distância como uma onda
sinusoidal amortecida exponencialmente.
As funções seguintes são usadas para representar de uma forma mais
conveniente as expressões da deflexão e resultantes de tensão:
f1 (βx ) = e − βx (cos β x + sin β x )
Cascas
f 2 (β x ) = e − βx sin βx = −
1 ′
f1
2β
1 ″
′
f 2 = − 2 f1
2β
1 ′
1
1
'''
″
f 4 (β x ) = e − βx cos β x =
f3 = − 2 f 2 =
f1
2β
2β
4β 3
1 ′
f1 (βx ) = − f 4
f 3 (βx ) = e − βx (cos βx − sin β x ) =
1
β
β
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2.6. Casos Típicos (Carregamentos Simétricos em Cascas Cilíndricas)
A tabela mostra valores numéricos destas funções para vários valores de βx.
Cascas
O termo βx é adimensional.
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Cascas
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2.6. Casos Típicos (Carregamentos Simétricos em Cascas Cilíndricas)
Substituindo a equação de w nas equações das resultantes de tensão tem-se
P
w = 3 f1 (βx )
8β D
EtP
Nθ = − 3
f1 (βx )
8β Da
P
Mx =
f 3 (β x )
4β
νP
Mθ =
f 3 (β x )
4β
P
Qx = − f 4 ( β x )
2
As expressões são válidas para x≥0.
Para a metade esquerda do cilindro, toma-se o x na direcção oposta à da figura.
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2.6. Casos Típicos (Carregamentos Simétricos em Cascas Cilíndricas)
A deflexão máxima e momento máximo ocorrem em x=0:
Cascas
wmax =
P
=
Pa 2 β
eEt
8β 3 D
P
M max =
4β
Os valores máximos das tensões ocorrem em x=0 e z=t/2:
3P
σ x ,max =
2βt 2
σ θ ,max =
Pβ ⎛ a 3ν ⎞
⎜− +
⎟
4 ⎝ t β 2t 2 ⎠
que são as tensões máximas axiais e da circunferência, respectivamente.
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2.6. Casos Típicos (Carregamentos Simétricos em Cascas Cilíndricas)
Da tabela anterior pode ver-se que cada função diminui à medida que βx
aumenta.
Assim, na maior parte das aplicações de engenharia, o efeito de cargas
concentradas pode ser desprezado em posições em que x>π/β.
Conclui-se, desta forma, que a flexão tem um carácter local.
Cascas
Uma casca com comprimento L=2π/β, carregada ao meio, sofre uma deflexão
máxima e um momento máximo quase iguais aos existentes numa casca longa.
As equações anteriores usadas com o princípio da superposição permitem
determinar a deflexão e tensões em cilindros longos sujeitos a outros tipos de
carregamentos.
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2.6. Casos Típicos (Carregamentos Simétricos em Cascas Cilíndricas)
Exemplo 3.3
Um cilindro muito longo de raio a está sujeito a um carregamento uniforme p ao
longo de uma distância L.
Cascas
Derive uma expressão para a deflexão para um ponto arbitrário O dentro da
distância L.
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2.7. Carregamentos Simétricos (Cascas
(Cascas de
de Revolução)
Revolução)
Considere-se um corpo na forma geral de uma casca de revolução sujeito a
cargas rotacionais simétricas.
A esfera, o cone e o cilindro circular são geometrias simples nesta categoria.
Cascas
Primeiro, é necessário definir o estado de tensão num ponto destas cascas,
representado pelo elemento infinitesimal da figura.
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2.7. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)
As condições de simetria indicam que apenas as resultantes Qφ, Mθ, Mφ, Nθ e Nφ
existem e que as forças normais Nθ e os momentos flectores Mθ não variam com
θ.
A notação para os raios de curvatura é igual à usada na teoria de membrana.
Cascas
A derivação das equações de equilíbrio num elemento ABCD da casca é
idêntica à realizada anteriormente.
A condição de que a soma das forças na direcção y é igual a zero é dada por
d
(Nφ r0 dθ )dφ − Nθ r1dθdφ cosφ − Qφ r0 dθdφ + p y r1dφr0 dθ = 0
dφ
O primeiro, segundo e quarto termos são os mesmos do caso da membrana.
O terceiro termo deve-se à força de corte Qφr0dθ nas faces AC e BD do
elemento.
Estas faces formam um ângulo dφ entre elas.
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Placas e Cascas
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2.7. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)
A condição de equilíbrio na direcção z obtém-se da equação da membrana e
adicionando a força de corte Qφr0dθ.
Assim,
Cascas
Nφ r0 dθdφ + Nθ r1dφdθ sin φ +
d
(Qφ r0 dθ )dφ + pz r1dφr0 dθ = 0
dφ
A equação do equilíbrio de momentos em torno de x é
d
(M φ r0 dθ )dφ − Qφ r0 dθr1dφ − M θ r1dφ cosφdθ = 0
dφ
Os termos desta equação são:
O primeiro é o incremento do momento Mφr0dφ:
O segundo representa o momento da força de corte Qφr0dφ;
O terceiro é a resultante dos momentos Mθr1dφ.
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2.7. Carregamentos Simétricos (Cascas de Revolução)
Os dois momentos Mθr1dφ que actuam nas faces AB e CD do elemento não são
paralelos.
As suas componentes horizontais Mθr1dφcosφ formam uma ângulo dθ entre eles
resultando no último termo.
Cascas
Dividinto todos os termos por dθdφ obtêm-se as equações de equilíbrio.
d
(Nφ r0 ) − Nθ r1 cosφ − Qφ r0 + p y r1r0 = 0
dφ
d
Nφ r0 + Nθ r1 sin φ + (Qφ r0 ) + p z r1r0 = 0
dφ
d
(M φ r0 ) − Qφ r0 r1 − M θ r1 cosφ = 0
dφ
As equações que governam as cascas de revolução comuns sujeitas a
carregamentos axi-simétricos podem ser derivadas a partir destas expressões.
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2.8. Casos Típicos (Cascas
(Cascas de
de Revolução)
Revolução)
Casca Esférica
Cascas
Nas cascas esféricas pode considerar-se que o raio da superfície média é a=r1=r2
e que r0=a.sinφ.
Assim, as equações de equilíbrio ficam
d
(Nφ sin φ ) − Nθ cosφ − Qφ sin φ = − p y a sin φ
dφ
d
Nφ sin φ + Nθ sin φ + (Qφ sin φ ) = − p z a sin φ
dφ
d
(M φ sin φ ) − M θ cosφ − Qφ a sin φ = 0
dφ
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2.8. Casos Típicos (Cascas de Revolução)
Casca Cónica
Neste caso o ângulo φ é constante (r1=∞) e, por isso, não pode ser usado como
coordenada do meridiano.
Assim, introduz-se a coordenada s que é a distância de um ponto na superfície
média, normalmente medida desde o vértice, ao longo da geratriz.
Desta forma,
Cascas
r2 = s cot φ
r1dφ = ds
Nφ = N s
As equações de equilíbrio ficam
d
( N s s ) − Nθ = − p y s
ds
d
Nθ + (Qs s ) cot φ = − p z s cot φ
ds
d
(M s s ) − Qs s + M θ = 0
ds
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Mφ = M s
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2.8. Casos Típicos (Cascas de Revolução)
Casca Cilíndrica
Cascas
Para obter as tensões resultantes num cilindro circular pode começar-se com as
equações da casca cónica colocando s=x=r2tanφ, φ=π/2 e o raio médio
a=r2=constante.
Fazendo isto as equações ficam iguais a
dN x
+ px = 0
dx
dQx 1
+ Nθ + pr = 0
dx a
dM x
− Qx = 0
dx
Se nestas equações retirarmos os termos com forças de corte e momentos, elas
ficam iguais às equações obtidas pela teoria de membrana.
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2.9. Elementos Finitos em Cascas
Os factores que complicam a análise de problemas de cascas podem,
geralmente, ser reduzidos a irregularidades na forma ou espessura da casca e
não uniformidade na carga aplicada.
Substituindo a geometria real da estrutura e a configuração da carga por
aproximações de elementos finitos apropriados não se perde muito na precisão
do resultado.
Cascas
Considere-se o caso de uma casca com espessura variável e forma arbitrária.
Existem várias formas de obter uma casca equivalente que não comprometa
significativamente a resposta elástica.
Por exemplo, pode substituir-se a casca por uma série de elementos triangulares
curvos ou planos, ou elementos finitos de outra forma, ligados nas suas arestas e
cantos.
Independentemente da configuração do carregamento, este é reduzido a uma
série de forças concentradas ou distribuídas aplicadas a cada elemento finito.
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Placas e Cascas
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2.9. Elementos Finitos em Cascas
Quando uma casca de revolução é sujeita a uma carga não uniforme, a forma de
elemento finito usual é substituir um elemento da casca por dois elementos
planos, um sujeito às resultantes de forças directas e o outro sujeito às
resultantes de momentos.
A carga aplicada pode ser convertida em forças uniformes ou concentradas que
também actuam nos elementos.
Cascas
Os efeitos no plano e os de flexão podem, assim, ser analisados em separado e
sobrepostos.
Desta forma, um elemento de casca pode ser desenvolvido como uma
combinação de um elemento de membrana e um elemento de placa com a
mesma forma.
A casca fica, assim, idealizada como uma montagem de elementos planos.
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2.9. Elementos Finitos em Cascas
Já foram propostos elementos curvos para se obterem aproximações melhoradas
das cascas mas a análise na sua aplicação é mais complexa que no caso da
utilização de elementos planos.
Cascas
No tratamento geral de cascas com carregamentos axi-simétricos que se
descreverá em seguida vão ser usados elementos planos.
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2.10. Elementos Finitos (Cascas
(Cascas c/
c/ Carregamento
Carregamento Axi-Simétrico)
Axi-Simétrico)
Uma casca com carregamento axi-simétrico pode ser representada por uma série
de troncos de cone.
Cada elemento é um anel gerado pelo segmento de recta compreendido entre
dois círculos paralelos ou “nós”, i e j.
Cascas
A espessura pode variar de elemento para elemento.
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Como anteriormente, o deslocamento de um ponto na superfície média é
especificado por duas componentes v e w na direcção meridional e normal,
respectivamente.
Cascas
As relações extensão-deslocamento são dadas por
dv ds
⎧ε s ⎫ ⎧
⎫
⎪ ε ⎪ ⎪(w cos φ + v sin φ ) r ⎪
⎪
{ε } = ⎪⎨ θ ⎪⎬ = ⎪⎨
⎬
2
2
χ
−
d
w
ds
⎪
⎪ s⎪ ⎪
⎪⎩ χθ ⎪⎭ ⎪⎩ − (dw ds )sin φ r ⎪⎭
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
As relações tensão-extensão são
⎧ Ns ⎫
⎡1
⎪N ⎪
⎢
Et ⎢ν
⎪ θ⎪
⎨ ⎬=
2
⎪ M s ⎪ 1 −ν ⎢ 0
⎢0
⎪⎩M θ ⎪⎭
⎣
0 ⎤⎧ ε s ⎫
1
0
0 ⎥ ⎪⎪ ε θ ⎪⎪
⎥⎨ ⎬
0 t 2 2 νt 2 12⎥ ⎪ χ s ⎪
0 νt 2 12 t 2 12 ⎥⎦ ⎪⎩ χθ ⎪⎭
ν
0
Cascas
ou
⎧ Ns ⎫
⎪N ⎪
⎪ θ⎪
⎨ ⎬ = [D ]{ε }
⎪M s ⎪
⎪⎩M θ ⎪⎭
onde [D] é a matriz de elasticidade da casca com carregamento axi-simétrico.
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Para cada nó são escolhidos três deslocamentos.
Assim, os deslocamentos nodais são
⎧δ ⎫
{δ }e = ⎨ i ⎬ = {vi wi
⎩δ j ⎭
βi v j
wj
β j }T
Onde v, w e β representam o movimento axial, o movimento radial e a rotação,
respectivamente.
Cascas
Os deslocamentos dentro do elemento, expressos na forma padrão, são
⎧v ⎫
{ f } = ⎨ ⎬ = [N ]{δ }e
w
⎩ ⎭
Estes são determinados a partir de {δ}e e a posição s.
O declive e o deslocamento são mantidos ao longo de todo o elemento.
A matriz [N] é uma função da posição a definir mais à frente.
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Quando se avaliam v e w nos nós i e j, podemos relacioná-los com {δ}e através
de uma matriz de transformação.
Por exemplo, no nó i tem-se
⎧ vi ⎫ ⎡ cos φ
⎪
⎪ ⎢
⎨ wi ⎬ = ⎢− sin φ
⎪(dw ds ) ⎪ ⎢ 0
⎣
⎩
i⎭
sin φ
cos φ
0
0⎤ ⎧ vi ⎫
⎪ ⎪
0⎥ ⎨wi ⎬ = [λ ]{δ i }
⎥
1⎥⎦ ⎪⎩ β i ⎪⎭
Cascas
As expressões seguintes para {f} contêm seis constantes
Os deslocamentos dentro do elemento, expressos na forma padrão, são
v = α1 + α 2 s
w = α3 + α 4 s + α5s 2 + α 6 s3
Para determinar os valores destas constantes, a coordenada s dos pontos nodais
é substituída nas funções do deslocamento.
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Cascas
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Isto vai gerar seis equações em que as únicas incógnitas são os coeficientes.
Assim, pode resolver-se para α1 até α6 em termos dos deslocamentos vi, ..., wi e
obter-se finalmente
⎧ vi
⎫
⎪ w
⎪
i
⎪
⎪
s1
0
0
0
0
⎤ ⎪ (dw ds )i ⎪
⎧ v ⎫ ⎡1 − s1
⎨ ⎬=⎢
⎨
⎬
1 − 3s12 + 2s13 s1 (1 − 2 s1 + s12 )h 0 s12 (3 − 2 s1 ) s12 (− 1 + s1 )h ⎥⎦ ⎪ v j ⎪
⎩ w⎭ ⎣ 0
⎪ wj ⎪
⎪
⎪
⎩(dw ds ) j ⎭
onde
s1 =
s
h
(0 ≤ s1 ≤ 1)
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Representando a matriz de 2x6 como [P] pode escrever-se
⎧v ⎫
⎡[λ ]
⎨ ⎬ = [P ]⎢
⎩ w⎭
⎣0
0⎤
{δ } = [[Pi ][λ ]
[λ ]⎥⎦ e
[P ][λ ]]{δ } = [P]{δ }
j
e
e
A equação das extensões fica
Os deslocamentos dentro do elemento, expressos na forma padrão, são
Cascas
{ε } = [B]{ε }e = [[Bi ][λ ] [B j ][λ ]]{δ }e
onde
−1 h
⎡
⎢(1 − s )sin φ r
[Bi ] = ⎢ 1
0
⎢
⎢
0
⎣
⎤
+ 2 s )cos φ r hs1 (1 − 3s1 + s12 )cos φ r ⎥
⎥
6(1 − 2 s1 ) h 2
2(2 − 3s1 ) h
⎥
2
(− 1 + 4s1 − 3s1 )sin φ r ⎥⎦
6 s1 (1 − s1 )sin φ r h
0
(1 − 3s
2
1
0
3
1
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
e
0
0
⎡ 1h
⎤
⎢ s sin φ r s 2 (3 − 2 s )cos φ r hs 2 (− 1 + s )cos φ r ⎥
1
1
1
1
⎥
[B j ] = ⎢ 1 0
6(− 1 + 2 s1 ) h 2
2(1 − 3s1 ) h
⎢
⎥
⎢
⎥
(
)
(
)
−
+
−
s
s
r
h
s
s
r
0
6
1
sin
φ
2
3
sin
φ
⎣
⎦
1
1
1
1
Cascas
A matriz de rigidez para o elemento é dada por
[k ]e = ∫ [B]T [D ][B]dA
A
Aqui a área do elemento é
dA = 2πrds = 2πrhds1
E a matriz de rigidez fica
[k ]e = 2πh ∫0 [B]T [D][B]rds1
1
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Placas e Cascas
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2.10. Elementos Finitos (Cascas c/ Carregamento Axi-Simétrico)
Nesta equação, r tem que ser expresso em função de s antes de se proceder à
integração.
Os passos 1 até 3 do processo geral da solução dos elementos finitos descrito
nas placas pode ser aplicado para se obterem os deslocamentos nodais da casca.
Cascas
Depois determinam-se as extensões, as resultantes de tensão e as tensões com as
equações descritas acima.
Nas cascas de revolução com carregamento axi-simétrico, as forças
“concentradas” ou “nodais” são, de facto, cargas daxi-simétricas distribuídas em
torno da casca.
Pode observar-se que, se apenas for desejada a solução de membrana, as
grandezas χs, χθ, β, Ms e Mθ são ignoradas e as expressões aqui descritas ficam
mais simplificadas.
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