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Introdução à Fı́sica Quântica - 2014.2 - Lista de Problemas 3.1
Introdução à Fı́sica Quântica
Lista de Problemas 3.1
Prof. Marco Polo
Questão 01: Números quânticos em coordenadas esféricas
Para um elétron num átomo que tem um número quântico orbital ℓ = 1, encontre
(a) a magnitude do momento angular L e
(b) os valores possı́veis de m.
(c) Desenhe um diagrama vetorial em escala mostrando as orientações possı́veis de
~ en relação a direção +z.
L
Resp: (a) 1, 49 × 10−34 J.s (b) −1, 0, +1
Questão 02: Números quânticos em coordenadas esféricas
Um elétron num átomo tem número quântico principal n = 3.
(a) Quais são os valores possı́veis de ℓ?
(b) Quais são as possı́veis combinações de ℓ e m?
(c) Usando o fato de que existem dois estados quânticos para cada combinação de ℓ
e m devido ao spin do elétron, encontre o número de estados eletrônicos para
n = 3.
Resp: (a) 0, 1, 2 (b) Para ℓ = 0, m = 0. Para ℓ = 1, m = −1, 0, +1. Para ℓ = 2,
m = −2, −2, 0, +1, +2.(c) 18.
Questão 03: Números quânticos em coordenadas esféricas
Encontre o valor mı́nimo do ângulo θ entre L e a direção +z para um elétron num
átomo que tem
(a) ℓ = 3
(b) ℓ = 4
(c) ℓ = 50
Resp: (a) 45o (b) 26, 6o (c) 8, 05o .
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Introdução à Fı́sica Quântica - 2014.2 - Lista de Problemas 3.1
Questão 04: Teoria quântica para o átomo de hidrogênio
Para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, encontre os valores de
(a) ψ(r) em r = a0
(b) ψ 2 (r) em r = a0
(c) A densidade de probabilidade radial P (r) em r = a0 . Dê as respostas em função
de a0 .
Resp: (a) √2e
−1
4πa30
, (b)
e−2
,
πa30
(c) P (r) =
4e−2
a0
Questão 05: Quantização do momento angular e da energia
do átomo de hidrogênio
O elétron de um átomo de hidrogênio se encontra no estado 6f .
(a)
(b)
(c)
(d)
Quais são os valores de n e ℓ?
Calcule a energia do elétron.
~
Calcule o módulo de L.
Determine todos os valores possı́veis de Lz .
Resp: (a) n = 6, ℓ = 3, (b) −0, 38 eV, (c) 3, 65×10−34 J.s, (d) −3ℏ, −2ℏ, −ℏ, 0, 1ℏ, 2ℏ, 3ℏ.
Questão 06: Quantização do momento angular e da energia
do átomo de hidrogênio
O momento de inércia de um CD é aproximadamente 3 × 10−5 kg.m2 .
(a) Determine o momento angular L = Iω quando o disco está girando a uma
velocidade angular ω/2π = 735 rpm.
(b) Determine o valor aproximado do número quântico ℓ.
Resp: (a) 7, 7 × 10−4 kg.m2 /s, (b) 7, 3 × 1030
Questão 07: As funções de onda do átomo de hidrogênio
Para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, determine a probabilidade de
encontrar o elétron em um intervalo ∆r = 0, 03a0
(a) com centro em r = a0
(b) com centro em r = 2a0
Resp: (a) 0,0162 (b) 0,0088
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Introdução à Fı́sica Quântica - 2014.2 - Lista de Problemas 3.1
Questão 08: O efeito spin-órbita e a estrutura fina
O momento angular total do átomo de hidrogênio num certo estado excitado é
caracterizado pelo número quântico j = 3/2. Quais são os valores possı́veis do
número quântico do momento angular orbital ℓ?
Resp: ℓ = 1 ou ℓ = 2.
Questão 09: O efeito spin-órbita e a estrutura fina
Um átomo de hidrogênio está no estado 3D.
(a) Quais são os possı́veis valores de j?
(b) Quais são os valores possı́veis do módulo do momento angular total?
(c) Quais são os valores possı́veis da componente z do momento angular total?
Resp:(a) 3/2 ou 5/2, (b) 1, 94ℏ ou 2, 96ℏ, (c) Para j = 3/2: -3ℏ/2, −ℏ/2, +ℏ/2,
+3ℏ/2. Para j = 5/2: −5ℏ/2, -3ℏ/2, −ℏ/2, +ℏ/2, +3ℏ/2, +5ℏ/2.
Questão 10: As funções de onda do átomo de hidrogênio
Mostre que a densidade de probabilidade radial para o estado n = 2, ℓ = 1, m = 0
de um átomo de hidrogênio pode ser escrita na forma
P (r) = A cos2 θr4 e−r/a0 .
(1)
Questão 11: As funções de onda do átomo de hidrogênio
(a) Mostre que a função de onda de um estado excitado do hidrogênio
r
ψ =A 2−
a0
e−r/2a0 ,
(2)
onde A é uma constante, satisfaz a equação de Schroedinger. Se desejar, use
um software para calcular as derivadas.
(b) Quais são os valores de n, ℓ e m para o elétron nesse estado?
Questão 12: Teoria quântica para o átomo de hidrogênio
Mostre que o número de estados do átomo de hidrogênio para um dado n é 2n2 .
Questão 13: Teoria quântica para o átomo de hidrogênio
Calcule a probabilidade de que o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio esteja numa região 0 < r < a0 .
Resp: 0,323
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