UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Primeira Lista de Exercı́cios de Cálculo Diferencial e Integral I - MTM122
Prof. Júlio César do Espı́rito Santo
1 de Novembro de 2013
(1) Determine o número natural x tal que:
q
q
√
√
(a) x = 7 + 4 3 + 7 − 4 3.
(b) x = 5120,555···.
3
.
0, 2222 · · ·
2
3
(2) Encontre o conjunto solução das seguintes equações:
(c) x =
0, 0666 · · ·
+ 0, 1
0, 0606060 · · ·
(a) |7x − 1| = |2x + 5|
(b) |x| = 2x − 8
(c) |x2 − 5| = 4
(d) |x + 1| = |x − 2|
(3) Dê exemplos de cinco números reais entre
1
3
e 23 .
(4) Identifique se as funções p : A ⊂ R → B ⊂ R são funções polinomiais, ou
não.
√
(a) p2 (x) = 2x + 3x2 − 2
(b) p3 (x) = −7x + π
(c) p3 (x) = x−7 + π
√
(d) p5 (x) = 3x
√
(e) p6 (x) = 3 x
(5) Seja f (x) = x3 − 4x2 + 6x − 4. Calcule o valor de f nos pontos x = 1,
x = 12 , x = 0 e x = 2.
(6) Determine r na função p(x) = x3 − rx2 + 2, sabendo-se que f (1) = 0.
(7) Seja f (x) = 2x2 − 3x + 5. Determine f (x + 1) e f (1 − x).
(8) Fatore y = x5 − 6x3 + 9x, em seguida encontre os valores de x para que
y = 0.
(9) Determine o (maior) domı́nio das seguintes funções (reais de variável real).
(a) f (x) = x2 + 2x.
(b) f (x) =
x
.
2x − 7
1
2
(c)
(d)
(e)
(f)
√
x−2
f (x) = √
.
3
4−x
2x + 1
.
f (x) = 2
x −9
p
7
f (x) = x2 − 9.
√
√
f (x) = x − 1 + x − 2.
√
x+1
x−2+
.
x−3
x+1
(h) f (x) = √
.
x2 + 4
(10) Determine o domı́nio e a Imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(g) f (x) =
(a) y = f (x) = − 47
(b) y = f (x) = 9
(c) y = f (x) = π
(11) Represente no plano cartesiano os seguintes conjuntos:
(a) A = {(x, y) − 2 < y < 3};
(b) B = {(x, y) − 1 < y < 2};
(c) C = {(x, y) f (x) < y < g(x)}, onde f (x) = 3 e g(x) = x;
(d) D = {(x, y) f (x) < h(x) < g(x)}, onde f (x) = −4 e g(x) = 3 e
h(x) = x;
(e) E = {(x, y) x ∈ [n, n + 1] e y ∈ [n, n + 1], para algumn ∈ N}
(f) F = {(x, y) 0 ≤ x − y ≤ 1}
(12) Determine o domı́nio e a Imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) f (x) =
x
3
x
3
(c) f (x) = 2x − 1
(b) f (x) = −
(d) f (x) = 2x + 1
(e) f (x) = −2x + 1
(f) f (x) = −2x − 1
√
(13) Dada a função f (x) = 5x − 6, determine f (0), f (−3/5), f ( 2),
f (3x − 4).
(14) Seja f (3x − 4) = 2x + 7. Determine f (0), f (−16), f (x), f (5x + 1).
(15) Determinar a equação da reta
(a) que passa por (−1, 3) e tem coeficiente angular −5.
(b) que passa por (−3/8, −1) e tem coeficiente angular −1/2.
3
x
+ 1.
3
(17) Determinar o ponto (x, y) em que o gráfico da função f (x) =
secta o eixo das abscissas.
(16) Calcule o zero da função f (x) =
2x
9
+ 73 inter-
(18) Determine a equação da reta abaixo e trace o gráfico.
(a) que passa pelos pontos (−3, 1) e (4, 0)
(b) que passa pelos pontos (5, −2) e (−1, −1)
(c) que tem coeficiente angular m = −3 e passa por (3, 2)
(d) que tem coeficiente angular m = − 52 e passa por (2, −1)
(19) Determine a equação da reta perpendicular a reta dada, que passe pelo
ponto dado e esboce o gráfico.
(a) x − 2y = 3; (0, −1)
(b)
2x
5
(c)
x
3
+
−
3y
4
y
3
− 2 = 0; (−1, 1)
= 0; (0, 1)
(20) Determine p para que a função f (x) = (7p − 5)x − 2p seja crescente.
(21) Faça o gráfico das seguintes hipérboles:
1
x
2
(b) y =
x
(a) y =
2
x
(22) (Assı́ntotas) Chamamos as retas x = h e y = k de assı́ntotas da hipérbole
de equação (x − h)(y − k) = c, com c 6= 0. Esboce o gráfico das seguintes
hipérboles e inclua, no mesmo desenho, suas assı́ntotas.
(c) y = −
(a) (x + 2)(y − 1) = 4
(b) y =
x+6
x+2
(c) (x + 2)(y − 1) = −4
(d) y =
x−2
x+2
(e) y =
7
x−6
(23) Se na expressão (x − h)(y − k) = c, tivermos c = 0, estaremos diante de
uma ”hipérbole degenerada”. Esboce o gráfico de (x + 2)(y − 2) = 0. Esta
equação representa uma função y = f (x)?
(24) Determine se a função f (x) = −4x2 − 20x− 25 tem ponto de máximo ou de
mı́nimo e calcule suas coordenadas. Esboce o gráfico desta função e faça
o estudo de sinal.
(25) Resolva as inequações
4
(a) x2 − x − 2 > 0
(b)
x2 − 1
>0
2x − x2
(c) −x ≤ x2 − 6 < −x2 + 6x − 6 (d) (x2 − x − 6)(x2 − x + 1) < 0
(26) Construa os gráficos das seguintes funções
(
−x − 1, se x ≤ −2;
1,
se − 2 < x ≤ 0
(a) f (x) =
x + 1,
se x > 0.
(c) f (x) = |4x + 4| − |3x − 4|
−x2 + 2x + 8, x ∈ (−2, 4);
(e) f (x) =
x2 − 2x − 8,
x∈
6 (−2, 4).
(b) f (x) = |2x2 + 3x − 2| + 3x + 2
(d) f (x) = ||x2 − 4| − 6|
(27) O sı́mbolo [x] (lê-se colchete de x)é usado para indicar o maior inteiro que
é menor ou igual a um número real x. Por exemplo, [1] = 1, [2, 2] = 2,
[π] = 3 e [−1, 7] = −2. Esboce os gráficos das seguintes funções
(a) [x]
p
(d) x − [x]
(b) [2x]
(e) [x] +
(c) x − [x]
p
x − [x]
(f)
√
√
x − [ x], 0 ≤ x ≤ 9
(28) Exprima o número de quadrados perfeitos menores ou iguais a um número
positivo x em termos da função colchete definida no exercı́cio anterior.
Faça o mesmo para o número de cubos perfeitos menores ou iguais a x.
(29) Se o sı́mbolo {x} (leia-se chave de x) denota a distância de un número real
x ao inteiro mais próximo, esboce o gráfico das seguintes funções
(a) {x}
(b) {2x}
1
{4x}
4
(30) Das funções abaixo, diga quais representam funções pares e quais representam funções ı́mpares (ou nem par nem ı́mpar).
(c) {4x}
(d)
(a) f (x) = x3
(b) f (x) = |x|
(c) f (x) = |[x]|
(d)
x3 + x
x2 + 1
(31) Verifique que se f (x) = ax + b, então
x + x f (x ) + f (x )
1
2
1
2
f
=
.
2
2
Isto é verdade para f (x) = x2 ?
(32) Encontre f (f (x)), onde f (x) = (1 + x)/(1 − x).
(33) Observando estes mesmos gráficos, diga quais funções são injetivas, sobrejetivas ou bijetivas. Dê exemplos de funções injetivas que não são sobrejetivas e de funções sobrejetivas que não são injetivas.
(34) Defina função crescente e função decrescente (considere o domı́nio e o
contra-domı́nio o conjunto R).
(35) Esboce o gráfico das funções de R em R abaixo e, segundo seu comportamento em todo seu domı́nio, classifique as funções em (I)injetora,
(S)sobrejetora,(B)bijetora, (P)par, (IM)ı́mpar, (C)crescente, (D)decrescente,
5
(PE)periódica ou (NP)não periódica.
(b) y = x2
(a) y = x
(c) y = x3
(d) y = |x|
(e) y = cos(x)
(36) Expresse os ângulos 15◦ , 120◦ e 630◦ em radianos.
(f) y = ex
(37) A base de um triângulo isósceles é 10. Expresse sua área A como função
do ângulo do vértice θ.
(38) ⋆ Utilize as identidades trigonométricas já estabelecidas para provar as seguintes.
(a) cos3 θ = cosθ − sin2 θ cos θ
1
1
(b) sin4 θ = (1 − 2 cos 2θ + (1 + cos 4θ))
4
2
sec2 θ + sec θ tan θ
= sec θ
(c)
sec θ + tan θ
1
(d) sin 4θ cos 5θ = (sin 9θ − sin θ)
2
(e) cossec6 θ = cotg4 θcossec2 θ + 2cotg2 θcossec2 θ + cossec2 θ.
(39) Demonstre a Lei dos Cossenos
c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ,
que dá o valor do terceiro lado de um triângulo [ver figura] em termos de
dois lados dados, a e b e do ângulo por eles formado θ.
(acos θ, a sin θ)
c
a
θ
(b,0)
b
(40) Neste problema esboçamos um método para provar as identidades
sin(θ + φ) = sin θ cos φ + sin φ cos θ e
cos(θ + φ) = cos θ cos φ − sin θ sin φ
(0.1)
(0.2)
cos(θ − φ) = cos θ cos φ + sin θ sin φ.
(0.3)
estabelecendo primeiro
A figura a seguir mostra a circunferência de raio unitário com dois ângulos
arbitrários θ e φ e seus correspondentes pontos Pθ = (cos θ, sin θ) e Pφ =
(cos φ, sin φ).
(a) Calcule o quadrado da distância entre esses pontos de duas maneiras:
usando a fórmula da distância e a lei dos cossenos, provando assim a
expressão (0.3) acima.
(b) Use a parte (a) para provar (0.2).
6
Pφ
Pθ
θ−φ
θ
φ
(1,0)
(c) Use a parte (a) para provar que cos( π2 − φ) = sin φ.
(d) Use a parte (c) para mostrar que sin( π2 − φ) = cos φ.
[Dica: Substitua φ por
π
2
− φ].
(e) Use as partes (a), (c) e (d) para provar a identidade (0.1).
[Hint: sin(θ + φ) = cos[ π2 − (θ + φ)] = cos[( π2 − θ) − φ] = · · · ]
(41) Deduza fórmulas para sin 3θ e cos 3θ em termos de sin θ e cos θ.
(42) Use o binômio de Newton para expandir a expressão cos8 θ.
(43) (a) Disponha no ciclo trigonométrico os pontos Pθ = (cos θ, sin θ), para
cada um dos ângulos θ a seguir
0,
π π π π π π π
π π π π π π
π
, , , , 2 , 3 , 5 , π, 7 , 5 , 4 , 3 , 5 , 7 , 11 , 2π.
6 4 3 2 3 4 6
6 4 3 2 3 4
6
(b) Construa uma tabela que contenha os valores de seno, cosseno e
tangente dos ângulos abaixo.
0,
π
π π π π π π π
, , , , 2 , 3 , 5 , π, 3 , 2π.
6 4 3 2 3 4 6
2
(44) Esboce o gráfico de sin(2θ), cos(2θ) e 3 cos(2θ).
√
(45) Sendo x = 3 sin θ, calcule y = 9 − x2 .
(46) Mostre que a função
y = f (x) =
x+2
2x − 1
satisfaz f (f (x)) = x ou x = f (y).
[Isto significa que a função f concide com a a sua inversa f −1 .]
(47) Se f é periódica de perı́odo T , mostre que 3T também é um perı́odo de f .
nπx .
(48) Encontre um perı́odo para a função f (x) = cos
L
(49) Se a função f é uma função polinomial do primeiro grau, com f (−1) = 2
e f (2) = 3, escreva a função f .
Bom Estudo!