Biomatemática
Folha de exercícios nº1
1- Esboce o gráfico da função definida por:
y = t4 −6 t2 +5
sabendo que –1 e 1 são zeros do polinómio x 4 − 6 x 2 + 5 .
2- Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas justificando:
i)
A equação anterior pode traduzir o número de elementos de uma população.
ii) A equação anterior pode traduzir a velocidade de crescimento de uma
população.
3- Considere uma célula esférica cujo raio aumenta segundo a seguinte equação:
r ( t ) = 0,1 + 6 t
Determine a que ritmo cresce:
i)
o volume
ii) a área
4- A Joana sofreu uma picada de insecto e, t horas a partir desse momento, a região
cutânea afectada era circular, com o raio r, em cm, dada pelo seguinte modelo:
r (t ) = 4 t e−0,5t
i)
(cm)
Qual a área infectada após 30 minutos da picada?
ii) Mostre que r ' ( 1 ) > 0 e r ' ( 3 ) < 0 . O que pode concluir quanto à área infectada
após uma hora e após três horas da instante em que ocorre a picada?
5- Numa vila com 12000 habitantes, foi detectado o primeiro caso de uma doença
contagiosa. Suponha que, num dia, cada pessoa contamina duas, ficando assim, ao fim
do primeiro dia, três pessoas afectadas pela doença.
i)
Quantas pessoas estão doentes ao fim de dois dias? E ao fim de quatro?
ii) Indique uma expressão que traduza o número D de doentes em função do
número t de dias decorridos após a detecção do primeiro caso.
iii) Determine ao fim de quanto tempo toda a vila ficará contagiada se não forem
tomadas medidas urgentes para controlar a propagação da doença.
Biomatemática
Folha de exercícios nº2
1- Considere os seguintes vectores:
r
v = 6iˆ − 10 jˆ
r
u = 3iˆ + 5 jˆ
Determine:
r r
i) v + u ;
r r
ii) v ⋅ u ;
r
r
iii) v e u ;
iv) o ângulo entre os dois vectores;
r r
v) v × u
2- Considere a seguinte figura onde se representa um objecto sujeito a três forças
diferentes.
r
F3
10 cm
y
r
F1
O
12 cm
x
r
F1 = 5 N
r
F2 = 5 N
r
F3 = 10 N
r
F2
r r
r
i) Calcule os momentos provocados pelas forças F1 , F2 e F3 , relativamente ao
ponto O.
ii) Interprete o resultado obtido.
3- Determine um valor aproximado de
3
21 usando o Teorema dos Valores
Intermédios. (Nota: utilize a seguinte função f ( x ) = x 3 − 21 )
4- Determine a primeira derivada das seguintes funções:
f ( x ) = −2 x 3 +
x2
− 3 x + 1;
2
 x3

f ( x) = (2 x − 3)  − x  ;
2

2
x

f ( x) =  3 x 2 −  ;
3

2 x3
f ( x) =
;
3x + 1
f ( x) = x 2 + x −
2
;
3x
f ( x) = e 2 x − 3 x ;
1
f ( x) = xe − x − ;
x
f ( x) =
x − e2 x
;
x2 + 1
f ( x) = ln(3 x − 1);

x2 − 4 x
2
+

2
f ( x) = 
2
2 − x − 4 x

2
x
2

f ( x) =  0
 − x 2 +7


se x ≥ 4
;
se x < 4
se x < 2
se x = 2
se x > 2
Biomatemática
Folha de exercícios nº3
1- Considere a seguinte função:
−
Sh = e
D
Dl
D
 
−
1 −  1 − e D
 
 
h




h




Determine a derivada da função em ordem a D para D = 0.
2- A velocidade de crescimento de uma população de bactérias é dada pela função:
t
v ( t ) = 4 ×103 e 4
(indivíduos por hora)
Determine a taxa de variação da velocidade de crescimento no instante t = 4 h e
interprete o seu significado.
3- Estima-se em 10 cm o lado de um quadrado, com um erro máximo de 0.5 cm. Use
diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo da área.
4- Aproxime através do uso de diferenciais,
N = ( 2.01 ) − 3 × ( 2.01 ) + 4 × ( 2.01 ) − 5
4
3
2
5- Determine os extremos locais de f. Indique os intervalos em que f é crescente ou
decrescente.
f ( x ) = x 4 − 8x 2 + 1
4
1
g ( x ) = x3 + 4x3
h ( x ) = x2 3 x2 − 4
6- Considere a equação
n ( t ) = 120 − 9 t 2 + t 3 (células)
que traduz o número de células de uma população celular em função do
tempo.
i)
Calcule a variação do número de células por unidade de tempo para os
instantes t = 2 s e t = 10 s.
ii) Tendo em conta os valores obtidos na alínea anterior discuta o seu
significado.
iii) Calcule, justificando, o número mínimo de células da população.
7- Determine dois números reais cuja diferença seja 40 e cujo produto seja mínimo.
Biomatemática
Folha de exercícios nº4
1- O número de aves jovens que sobrevivem numa determinada colónia depende da
densidade dos ninhos. Uma possível relação entre o número de aves jovens que
sobrevivem e a densidade dos ninhos é:
N = A ρ (B−ρ )
em que A e B são constantes. Determine a densidade óptima de ninhos se A = 1000 e
B= 4.
2- A eficiência de um determinado produto é dada por E = f D , em que E representa a
eficiência em unidades arbitrárias, f é um factor de eficiência e D a dose do produto.
Num determinado caso verificou-se que para doses superiores a 20 (f = 6), por cada
aumento de 5 unidades de dose o factor f diminuía de 1. Qual a dose que aumenta a
eficiência?
3- Expanda em série de Mac Laurin até ao 4º termo as funções
i)
2 cos(a x )
ii)
12e −ax
4-Determine uma aproximação de
10 usando quer a aproximação linear de
Mac Laurin quer a aproximação quadrática. (Nota: use a função
9 + x ).
5-Duas populações, P1 e P2, cada uma em milhões de elementos, são dadas por:
P1 = 4 − 2 cos ( 0.1 t )
P2 =
6
1 + 5 e− 0.2 t
Utilizando o método de Newton indique em que instante estas duas populações tem o
mesmo número de elementos.
6-Determine as primeiras derivadas parciais das seguintes funções:
f ( x, y ) = 2 x 4 y 3 − x y 2 + 3 y + 1
g ( r, s ) = r 2 + s 2
s
t
t +v
i ( t , v ) = ln
t−v
j ( x, y , z ) = x 2 e 2 y cos z
h ( s, t ) = s cos
Biomatemática
Folha de exercícios nº5
1- Nas funções seguintes verifique
∂2 f
∂2 f
=
:
∂x ∂y ∂y ∂x
f ( x, y ) = x y 4 − 2 x 2 y 3 + 4 x 2 − 3 y
f ( x, y ) = x 3 e − 2 y + y − 2 cos x
f ( x, y ) = y 2 e x +
1
x y3
2
2- Determine os seguintes integrais indefinidos:
∫ 5 a x dx
∫ x ( x + a )( x + b ) dx
∫ 2 p x dx
2
6
x
dx
+ 10
 x 
∫ cos  2  dx
∫x
2
∫ sen ( 6x ) cos ( 6 x ) dx
3
∫ sen
2
 x
  dx
2
∫ sen xdx
∫ a e dx
∫ x e dx
∫ ln xdx
3
−mx
2x
3- Determine os seguintes integrais definidos:
∫
10
2
8
dx
x2
3
∫ 116 y
0
∫
10
∫
∞
0
0
9 − y 2 dy
t
dt
t + 10
2
106 e
−
ln2
t
21600
dt
Biomatemática
Folha de exercícios nº6
1- A força necessária para distender uma mola de x unidades é dada pela lei de Hooke
que pode ser expressa por F = k x (k é a constante elástica da mola). Sabendo que o
trabalho exercido é dado por W = ∫ F dx quando a força e o deslocamento tem a mesma
direcção, determine a energia necessária para distender a mola desde o equilíbrio até à
posição x = d.
2- A Lei da Gravitação Universal afirma que a força F de atracção entre duas partículas
de massas m1 e m2 é dada por F = G
m1 m2
, em que G é uma constante e r é a distância
r2
entre os dois corpos. Determine uma expressão que defina o trabalho que se deve
executar para trazer uma massa desde o infinito até à distância d da outra massa.
3- Uma população celular apresenta uma velocidade de crescimento dada por:
t
v ( t ) = 10e 2
( cel/s )
A população inicial era de 1000 células. Determine:
i)
O número de células ao fim de 10 s.
ii)
O tempo decorrido até a população apresentar 2000 cel.
4- A actividade de uma determinada amostra de uma fonte radioactiva em função do
tempo é dada pela seguinte expressão:
A(t ) = 500 × 10 6 e −3 , 2×10
−5
t
(desintegrações/s)
Considere que a amostra em causa emite radiação gama com energia igual a 140 keV.
Para esta amostra determine:
i)
O número total de desintegrações ocorridas.
ii)
A energia total emitida.
4- No modelo de vários alvos e um só toque a sobrevivência de uma população sujeita a
um campo de radiação ionizante é dada por
D

−
Sh = 1 −  1 − e D


h




h
onde D é a dose absorvida pela população celular e Dh a dose letal média para cada uma
das h zonas sensíveis subletais. Mostre que para este modelo não existe efeito biológico
da radiação para pequenas doses.