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COORDENAÇÃO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO – CPPG
PROJETO: TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO NO PROCESSO DE ENSINO
E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
Software Graphmática
\.
(Graphmática não é um programa gratuito, mas seus responsáveis disponibilizam uma versão
avaliativa, totalmente funcional. Em http://www107.pair.com/cammsoft/graphmatica.html é possível
obter diversas informações sobre esse software, assim como fazer o download do mesmo.)
1ª Parte – Consulta Rápida
Esta parte da apostila contém informações, extraídas do ajuda do próprio software
(versão 2003 p), sobre operadores, funções, variáveis, constantes e gráficos de famílias de
funções.
• Operadores
Operador
Significado
+
adição
-
subtração
*
multiplicação
/
divisão
^
exponenciação
( ) ou [ ]
o programa não faz distinção entre colchetes e parênteses. Usa-se
um ou outro de forma equivalente.
; (ponto e vírgula)
‘ ' (aspas simples)
{m, n}
separa as partes independentes de uma equação paramétrica.
o que for digitado entre as aspas simples fica como comentário,
não fazendo parte da equação.
especifica o domínio, m é o início do domínio e n é o fim. É
possível colocar somente um deles, mas deve-se manter as
chaves e a vírgula.
• Funções
Abaixo listamos algumas funções do Graphmática e sua correspondência com as
funções matemáticas. A listagem completa das funções pode ser encontrada no ajuda
do software.
Funções
abs
valor absoluto
sec
secante
sin
seno
cos
cosseno
ln
log
logaritmo de base e
logaritmo de base 10
tan
tangente
cot
cotangente
csc
cossecante
exp ou e^x
sqrt
int
potência na base e
raiz quadrada
o maior número inteiro
2
• Variáveis
Abaixo apresentamos algumas variáveis e suas respectivas utilizações. A
listagem completa de variáveis pode ser encontrada no ajuda do software.
Variáveis
Utilização
x, y
coordenadas retangulares
r, t
r e θ nas coordenadas polares
x, y, t
a, b, c
x e y como funções de t nas funções paramétricas
variáveis livres parametrizáveis
• Constantes
Constante
Valor ou Propósito
e
Número de Nepper = 2.718...
pi (ou p)
p = 3.14159...
• Gráficos de Famílias de Funções
Podemos especificar para a variável livre parametrizável “a” uma gama de
possíveis valores. Isto permite desenhar o gráfico de famílias de funções. Por exemplo,
y = a*cos(x) desenha o gráfico da função cosseno com várias amplitudes; x^2+y^2 = a
desenha uma classe de curvas de superfície f(x,y) = x^2+y^2.
O Graphmática acrescenta às equações valores para o “a”. Estes valores
pertencem ao intervalo especificado no Painel de Variáveis (menu VER). O primeiro
valor no Painel de Variáveis é para o início do intervalo, o segundo, para o fim do
intervalo, e o terceiro é o incremento. O programa começa a desenhar os gráficos com o
valor do início do intervalo, e depois incrementa o valor e desenha outro gráfico até
exceder o fim do seu intervalo.
Por exemplo, digitando y = a*cos(x) e apertando “enter” aparecerá na linha de
comando, por exemplo, {a: 1, 3, 1} (1 é o valor inicial intervalo no qual o “a” irá variar, 3
é o valor final e 1 é o incremento). Na tela aparecerão os gráficos das seguintes funções:
y = cosx (a = 1) ; y = 2cosx (a = 1 + 1) e y = 3cosx (a = 2 + 1).
Você poderá alterar os valores utilizados para o “a” no Painel de Variáveis. Trocar
os valores no referido painel e clicar em “actualizar” provoca mudança em todos os
gráficos que foram construídos utilizando o “a”. Se quiser alterar esses valores apenas
para um gráfico específico, acrescente {a: iniciar, fim, incremento} após a equação do
gráfico, digitada na linha de comandos, substituindo “iniciar”, “fim” e “incremento” por
números específicos.
O programa não estabelece qualquer limite para o número de curvas da "família",
porém, desenhar um número excessivo de funções irá requerer do computador muita
memória. De qualquer forma, a tela poderá ficar muito confusa se forem desenhadas
3
mais de dez funções. Considere isso ao especificar os limites do intervalo e o
incremento.
É possível ainda fazer uso das variáveis livres parametrizáveis “b” e “c”. Por
exemplo, podemos solicitar o gráfico da função y = a*cos(x + b) + c . Se não
especificarmos valores para “a”, “b” e “c”, o programa trabalhará com os valores que
estão no Painel de Variáveis. Se desejarmos, poderemos especificar, na linha de
comandos, os valores para “a”, “b” e “c”, por exemplo:
y = a*cos(x + b) + c { a: -1, 2, 1} {b: 2} {c: 1}
2ª Parte – Atividades
A segunda parte desta apostila contém atividades, elaboradas por Gilmara Teixeira
Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista, com a finalidade de mostrar algumas das inúmeras
formas de aplicação do software Graphmática como recurso didático.
FUNÇÃO DO 1º GRAU – POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO
1. Construa, no mesmo plano cartesiano, os gráficos das duas funções do 1º grau de
cada item (a lei de cada função será determinada por você, de acordo com os
critérios apresentados abaixo). Analisando as retas construídas em cada item,
determine a posição relativas das mesmas:
•
nos itens a e b as duas funções deverão ter coeficientes angulares iguais e
coeficientes lineares distintos.
•
no item c as duas funções deverão ter coeficientes angulares iguais e, também,
coeficientes lineares iguais.
•
nos itens d e e as funções deverão ter coeficientes angulares diferentes e
coeficientes lineares quaisquer (iguais ou diferentes).
•
nos itens f e g o coeficiente angular da primeira função deverá ser qualquer número
real diferente de zero e o coeficiente angular da segunda função deverá ser o oposto
do inverso do valor escolhido para a primeira. Em ambas as funções o coeficiente
linear pode ser qualquer número real.
a) f1(x) =
g1(x) =
posição relativa das retas: _____________________________
b) f2(x) =
g2(x) =
posição relativa das retas: _____________________________
c) f3(x) =
g3(x) =
posição relativa das retas:______________________________
d) f4(x) =
g4(x) =
posição relativa das retas:______________________________
e) f5(x) =
g5(x)=
posição relativa das retas: ___________________________________
4
f) f6(x) =
g6(x) =
posição relativa das retas: ___________________________________
g) f7(x) =
g7(x) =
posição relativa das retas: ___________________________________
2. É possível provar que o que foi observado na questão 1, para alguns exemplos, vale
de maneira geral. Assim, gráficos de duas funções do 1º grau serão retas:
a. paralelas quando ____________________________________________
b. coincidentes quando _________________________________________
c. concorrentes quando _________________________________________
d. concorrentes perpendiculares quando ____________________________
3. Escreva a equação da reta que é paralela a y = 4x + 3 e passa pelo ponto (1,5)
(verifique sua resposta utilizando o software).
4. Escreva a equação da reta que é perpendicular a y = 2x + 1 e passa pelo ponto
(2, 4) (verifique sua resposta utilizando o software).
FUNÇÃO MODULAR - TRANSFORMAÇÕES GRÁFICAS
1. Comparação da função y = |x| com as
funções da forma y = |x| + p , sendo
p ∈ IR*+ .
a. Atribua três valores distintos a p e,
utilizando o Graphmática, esboce o
gráfico de cada uma das funções em
um mesmo plano cartesiano.
1.1
y = |x|
1.2
y=
1.3
y=
1.4
y=
b. Determine o conjunto imagem de cada
uma das funções.
1.1
______________
1.2
______________
1.3
______________
1.4
______________
c. Compare o gráfico das funções da
forma y = |x| + p (p ∈ IR*+) com o
gráfico da função y = |x|. Que
transformação a constante p causa
sobre o gráfico da função y = |x|?
__________________________________
__________________________________
__________________________________
______________________________________________________________
d.
Utilizando o Graphmática, esboce o
gráfico dessa família de funções.
Explicite o intervalo escolhido para a
constante e o incremento.
2. Comparação da função y = |x| com as
funções da forma y = |x| + p , sendo
p ∈ IR*- .
a. Atribua três valores distintos a p e,
utilizando o Graphmática, esboce o
gráfico de cada uma das funções em
um mesmo plano cartesiano.
2.1 y = |x|
2.2 y =
2.3 y =
2.4 y =
5
b. Determine o conjunto imagem de cada
uma das funções.
2.1______________
2.2______________
2.3______________
2.4______________
c.
Compare o gráfico das funções da
forma y = |x + m| (m ∈ IR*+) com o
gráfico da função y = |x|. Que
transformação a constante m causa
sobre o gráfico da função y = |x|?
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
c. Compare o gráfico das funções da
forma y = |x| + p (p ∈ IR*-) com o
gráfico da função y = |x|. Que
transformação a constante p causa
sobre o gráfico da função y = |x|?
d.
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
4. Comparação da função y = |x| com as
funções do tipo y = |x + m| , sendo
m ∈ IR*- .
d.
Utilizando o Graphmática, esboce o
gráfico dessa família de funções.
Explicite o intervalo escolhido para a
constante e o incremento.
a. Atribua três valores distintos a i e,
utilizando o Graphmática, esboce o
gráfico de cada uma das funções num
mesmo plano cartesiano.
4.1 y = |x|
4.2 y =
3. Comparação da função y = |x| com as
funções do tipo y = |x + m|, sendo
m ∈ IR*+ .
a. Atribua três valores distintos a m e,
utilizando o Graphmática, esboce o
gráfico de cada uma das funções em
um mesmo plano cartesiano.
Utilizando o Graphmática, esboce o
gráfico dessa família de funções.
Explicite o intervalo escolhido para a
constante e o incremento.
4.2 y =
4.4 y =
b. Determine o conjunto imagem de cada
uma das funções.
4.1______________
3.1 y = |x|
4.2______________
3.2 y =
4.3______________
3.3 y =
4.4 ______________
3.4 y =
b. Determine o conjunto imagem de
cada uma das funções.
3.1______________
3.2______________
3.3______________
3.4 ______________
c. Compare o gráfico das funções da
forma y = |x + m| (m ∈ IR*-) com o
gráfico da função y = |x|. Que
transformação a constante m causa
sobre o gráfico da função y = |x|?
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
d.
Utilizando o Graphmática, esboce o
gráfico dessa família de funções.
Explicite o intervalo escolhido para a
constante e o incremento.
6
5. Comparação da função y = |x| com as
funções do tipo y = a|x|, sendo a ∈ IR*+.
6.1 y = |x|
a. Atribua quatro valores distintos a a
(dois valores entre 0 e 1 e dois valores
maiores do que 1) e, utilizando o
Graphmática, esboce o gráfico de
cada uma das funções em um mesmo
plano cartesiano.
6.3 y =
5.1 y = |x|
6.2 y =
6.4 y =
6.5 y =
b. Determine o conjunto imagem de
cada uma das funções.
5.2 y =
6.1______________
5.3 y =
6.2______________
5.4 y =
6.3______________
5.5 y =
6.4 ______________
b. Determine o conjunto imagem de cada
uma das funções.
5.1______________
5.2______________
5.3______________
5.4 _____________
5.5 _____________
c. Compare o gráfico das funções da
forma y = a|x| (a ∈ IR*+) com o gráfico
da função y = |x|. Que transformação o
coeficiente a causa sobre o gráfico da
função y = |x|?
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
d.
Utilizando o Graphmática, esboce o
gráfico dessa família de funções.
Explicite o intervalo escolhido para a
constante e o incremento
6. Comparação da função y = |x| com as
funções do tipo y = a|x|, sendo a ∈ IR*-.
a.
Atribua quatro valores distintos a a
(dois valores entre -1 e 0 e dois
valores menores do que -1) e
utilizando o Graphmática, esboce o
gráfico de cada uma das funções num
mesmo plano cartesiano.
6.5 ______________
c. Compare o gráfico das funções da
forma y = a|x| (a ∈ IR*-) com o gráfico
da função y = |x|. Que transformação
o coeficiente a causa sobre o gráfico
da função y = |x|?
__________________________________
__________________________________
__________________________________
_________________________________
d.
Utilizando o Graphmática, esboce o
gráfico dessa família de funções.
Explicite o intervalo escolhido para a
constante e o incremento.