Fundação Centro de Ciências e Educação
Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
EP 03
2012/1
Met. Det. II
Semana 3 – aula 3
Versão Tutor
Exercícios:
1. Esboce o gráfico das funções a seguir através de translações e/ou reflexões.
a. y = 1 − x 2
e. y = 4 − x
b. y =
1
x−4
f.
y = x 2 − 3x + 2
g. y = 4 − x
c. y = x − 3
d. y = ( x − 4) + 3
2
Solução:
a. O gráfico da função y = 1 − x 2 é obtido a
partir do gráfico de y = x , refletindo-o em
2
torno do eixo x e, a seguir, transladando
uma unidade para cima.
b. O
gráfico
y=
de
1
x−4
é
transladando o gráfico de y =
obtido
1
quatro
x
unidades para a direita.
y
8
7
6
y
4
5
4
3
3
2
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
−3
−4
−5
2
3
4
1
x
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−2
5
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
c. O gráfico da função y =
x − 3 é obtido
transladando o gráfico de y =
x três
e. O gráfico da função y = 4 − x
refletindo
em
torno
do
é obtido
eixo
x
e
transladando quatro unidades para cima o
gráfico de y = x .
unidades para a direita.
y
7
6
y
5
5
4
4
3
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
2
x
1
2
3
4
5
6
7
8
1
9
−2
−5
−3
−4
−3
−2
−1
2
3
4
5
−2
−5
−6
−3
−7
−4
y = ( x − 4) + 3 é obtido a
gráfico da função y = x 2 ,
−5
2
d. O gráfico de
do
1
−1
−4
partir
x
transladando-o quatro unidades para a
é obtido
refletindo
a
parte
negativa
y = x − 3x + 2 em torno do eixo x.
direita e três unidades para cima.
12
y = x 2 − 3x + 2
f. O gráfico de
2
y
11
10
9
3
8
7
6
5
4
3
2
1
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
−5
−6
y
2
1
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
−2
−1
1
−1
−2
2
3
de
g. O gráfico da função y =
4 − x é obtido a partir do gráfico de y = x , refletindo-o em torno do
eixo Y e transladando-o quatro unidades para a direita.
y
4
3
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
2. Determine o domínio das funções a seguir.
5x + 4
a. h( x) = 2
x + 3x + 2
b. f (t ) =
d. g (t ) =
1
1 − et
(
)
t −1
e. g ( x) = ln x 2 − 9
3
f. h( x) = log x x 2 + 2 x + 5
(
t
)
c. f ( x) = 4 − x 2
Solução:
a. h( x) =
5x + 4
x + 3x + 2
2
Por ser um quociente de funções polinomiais, o domínio de h( x ) =
5x + 4
é o conjunto de
x + 3x + 2
2
todos os valores de x que não zeram o denominador x 2 + 3x + 2 .
Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos:
Assim,
concluímos
que
o
domínio
 x1 = −1

.
 x 2 = −2
da
função
D(h) = {x ∈ IR | x ≠ −1 e x ≠ −2} = (− ∞ ;−2 ) ∪ (− 2 ; − 1) ∪ (−1;+∞) .
b.
f (t ) =
h(x)
é
dado
por
t −1
3
t
Primeiramente devemos observar que t − 1 ≥ 0 , isto é, t ≥ 1 . Por outro lado, o denominador da
fração não pode ser igual a zero. Assim, t ≠ 0 .
O domínio de f (t ) é a interseção dessas duas condições: D ( f ) = {t ∈ IR | t ≥ 1} = [1;+∞ ) .
c.
f ( x) = 4 − x 2
Para determinar o domínio de
f (x) precisamos nos ater à condição 4 − x 2 ≥ 0 . Assim,
4 ≥ x 2 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2 .
Logo, D( f ) = {x ∈ IR | −2 ≤ x ≤ 2} = [− 2;2] .
d. g (t ) =
1
1 − et
Como a função e está definida para qualquer t ∈ IR , devemos nos preocupar apenas com o
t
valor de t tal que e = 1, já que 1 − e deve ser diferente de zero.
t
t
1 − et ≠ 0 ⇒ 1 ≠ et ⇒ t ≠ 0
Portanto, D( g ) = {t ∈ IR | t ≠ 0} = IR − {0} = (− ∞;0 ) ∪ (0;+∞ ) .
(
e. g ( x) = ln x 2 − 9
)
A condição de existência de g (x ) é que x 2 − 9 seja maior do que zero.
x 2 − 9 > 0 ⇒ x 2 > 9 ⇒ x < −3 ou x > 3
Assim, D( g ) = {x ∈ IR | x < −3 ou x > 3} = (− ∞;−3) ∪ (3;+∞ )
(
f. h( x) = log x x 2 + 2 x + 5
)
Para determinar o domínio de h(x ) devemos nos ater às condições de existência do logaritmo,
que consistem em: logaritmando maior do que zero e base maior do que zero e diferente de um.
• x>0
• x ≠1
• x 2 + 2x + 5 > 0
A equação do 2º grau não possui raízes reais por ser sempre positiva em todo o seu domínio.
Assim, temos que o domínio de h(x ) é:
D(h) = {x ∈ IR | x > 0 e x ≠ 1} = (0;1) ∪ (1;+∞ ) .
3. Calcule os limites:
2x 2 + 1
a. lim 2
x→ 2 x + 6 x − 4
5x 2 − 4
b. lim
4
x → 1 (3 x − 5)
1 + 3x


c. lim 
2
4 
x→ 1  1 + 4 x + 3x 
3
x 2 − 25
d. lim
x−5
x→ 5
Solução:
a.
2x 2 + 1
2 ⋅ 22 + 1
2 ⋅ 4 +1
8 +1 9 3
=
=
=
=
=
lim
2
2
12
12 4
2 + 6 ⋅ 2 − 4 4 + 12 − 4
x→ 2 x + 6 x − 4
e.
x 2 − 4x
lim
2
x→ 4 x − 3x − 4
f.
− 2x 2 + 6x − 4
lim
x−2
x→ 2
g.
x 3 − 2x 2 − x + 2
lim
x +1
x → −1
h.
lim
x→ 3
(x − 2)3 − 1
x−3
b.
5x 2 − 4
lim (3x − 5)
x→ 1
4
=
5 ⋅ 12 − 4
(3 ⋅1 − 5)
4
=
5−4
(3 − 5)
4
=
1
(− 2)
4
=
1
=
16
c.
1 + 3x
1 + 3 ⋅1
1




 1+ 3 
4
1
=
=

 =  =  =
lim
2
4 
2
4 
8
 1 + 4 ⋅1 + 3 ⋅1 
1 + 4 + 3 
8
2
x→ 1  1 + 4 x + 3x 
d.
x 2 − 25
lim
x−5
x→ 5
3
3
3
3
3
0
. Logo, não podemos resolver por
0
substituição direta. Observe que x 2 − 25 é uma diferença de quadrados ( x 2 − 5 2 ). Logo, podemos
reescrever esta expressão da seguinte forma: x 2 − 25 = ( x − 5)( x + 5) . Assim,
Se substituirmos x por 5 teremos uma indeterminação do tipo
lim
x→ 5
x 2 − 25
(x − 5)(x + 5) =
= lim
(x + 5) = 5 + 5 = 10
lim
x−5
x−5
x→ 5
x→ 5
e.
x 2 − 4x
x(x − 4)
x
4
4
= lim
= lim
=
=
lim
2
4 +1 5
x→ 4 x − 3x − 4
x → 4 ( x + 1)( x − 4 )
x→ 4 x + 1
f.
− 2x 2 + 6x − 4
− 2( x − 2)( x − 1)
= lim
= lim − 2( x − 1) = −2 ⋅ (2 − 1) = −2
lim
x−2
x−2
x→ 2
x→ 2
x→ 2
g.
x3 − 2x 2 − x + 2
( x + 1)( x 2 − 3 x + 2)
2
=
= lim x 2 − 3 x + 2 = (− 1) − 3 ⋅ (− 1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6
lim
lim
x
+
1
x
+
1
x → −1
x → −1
x → −1
h.
(
lim
x→ 3
(x − 2)3 − 1 =
x−3
lim
x→ 3
)
( x − 3)( x 2 − 3x + 3)
= lim x 2 − 3 x + 3 = 3 2 − 3 ⋅ 3 + 3 = 9 − 9 + 3 = 3
x−3
x→ 3
(
)
Para fazer esta simplificação o numerador foi reescrito da seguinte maneira:
(x − 2)3 − 1 = (x − 2)3 − 13
= (( x − 2) − 1)(( x − 2) 2 + ( x − 2).1 + 12 )
= ( x − 3)(x 2 − 4 x + 4 + x − 2 + 1)
= ( x − 3)(x 2 − 3 x + 3)
 x 2 − 9 se x ≠ −3
 x − 3 se x ≠ 4
4. Considere as funções f ( x ) = 
e g (x ) = 
.
5 se x = 4
4 se x = −3
a. Determine
lim f (x ) e lim g (x )
x→ 4
x → −3
b. Esboce os gráficos f e g .
c. Compare os limites obtidos no item a com os valores das funções nos pontos
( x = 4 para f e x = −3 para g ) e observe o que isso implica no comportamento
do gráfico das funções.
Solução:
a. Lembre que o limite está associado ao comportamento da função na vizinhança
do ponto e não ao valor da função nesse ponto, a função, inclusive, pode não
estar definida nesse ponto.
lim f (x ) = lim (x − 3) = 4 − 3 = 1
x→ 4
x→ 4
lim g (x ) = lim (x
x → −3
2
x→ −3
)
− 9 = (− 3) − 9 = 9 − 9 = 0
2
b.
y
5
5
4
4
3
3
1
2
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
2
x
−1
1
2
3
4
5
6
7
−1
2
3
4
5
6
7
8
−3
−4
−5
−6
−7
−2
−8
−9
−3
−10
−11
−4
f(x)
c.
x
1
−2
1
−2
y
Para a função f ,
g(x)
lim f (x ) = 1 , entretanto, f (4) = 5 . Graficamente, observamos que a
x→ 4
função dá um salto em x = 4 (ponto (4 ; 1) aberto).
Da mesma forma,
lim g (x ) = 0 ≠ 4 = g (− 3). No gráfico da função
g também podemos
x → −3
observar um salto em x = −3 (ponto (− 3; 0 ) aberto).
Mais a frente veremos que funções que apresentam este tipo de comportamento são
chamadas de descontínuas.
5. É feita uma aplicação financeira, e o rendimento, em anos (t), é dado por
r (t ) = 16t 2 − 20t
a. Encontre o rendimento médio para o período de tempo que começa quando
t = 2 e dura:
i. 0,5 ano
ii. 0,1ano
iii. 0,05ano
iv. 0,01ano
b. Encontre o rendimento “instantâneo” quando t = 2 .
c. O que acontece com o rendimento médio em relação ao rendimento
instantâneo à medida que a duração do intervalo no item a diminui?
Solução:
a.
i. Para o intervalo de duração 0,5
0,5 ano:
ano
r (2,5) − r (2,0) (16.(2,5) 2 − 20.2,5) − (16.(2,0) 2 − 20.(2,0))
=
2,5 − 2,0
0,5
(100 − 50) − (64 − 40)
=
0,5
50 − 24
=
= 52
0,5
rm = 52
ii. 0,1 ano
r (2,1) − r (2,0) (16.(2,1) 2 − 20.2,1) − (16.(2,0) 2 − 20.(2,0))
=
2,1 − 2,0
0,1
(70,56 − 42) − (64 − 40)
=
0,1
28,56 − 24
=
= 45,6
0,1
rm = 45,6
iii. 0,05 ano
r (2,05) − r (2,0) (16.(2,05) 2 − 20.2,05) − (16.(2,0) 2 − 20.(2,0))
=
2,05 − 2,0
0,05
(67,24 − 41) − (64 − 40)
=
0,05
26,24 − 24
=
= 44,8
0,05
rm = 44,8
iv. 0,01ano
r (2,01) − r (2,0) (16.(2,01) 2 − 20.2,01) − (16.(2,0) 2 − 20.(2,0))
=
2,01 − 2,0
0,01
(64,6416 − 40,2) − (64 − 40)
=
0,01
24,4416 − 24
=
= 44,16
0,01
rm = 44,16
b. Para determinar a rendimento instantâneo
(16t 2 − 20t ) − 24
lim
t−2
t→ 2
quando
t=2
devemos calcular
(16t 2 − 20t ) − 24
16t 2 − 20t − 24
=
lim
lim
t−2
t−2
t→ 2
t→ 2
= lim
(16t + 12)(t − 2)
t→ 2
t−2
= lim 16t + 12 = 32 + 12 = 44
t→ 2
Assim, o rendimento instantâneo é ri = 44
c. O rendimento médio está se aproximando do rendimento instantâneo à medida que a
duração do intervalo diminui.