CURVAS DE NÍVEL
Uma forma de se visualizar funções de duas variáveis é um método
semelhante ao da representação de uma paisagem tridimensional por meio de
um mapa topográfico bidimensional.
z
Seja z = f ( x, y ) . Consideremos a intersecção do
gráfico de f com o plano z = k . A projeção desta
intersecção no plano xy é chamada de curva de
nível de altura k .
x
Um conjunto de curvas de nível para z = f ( x, y ) é chamado mapa de contorno
de f .
Exemplo 11. Seja f ( x, y ) = 9 − x 2 − y 2 com domínio D = {( x, y ); x 2 + y 2 ≤ 9} .
Esboce o gráfico de f e as curvas de nível para z = 0,2,4,6,8,9 .
Exemplo 12. Seja f(x, y) = 4x 2 + y 2 . Esboce algumas curvas de nível de f .
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y
Observação 1. As curvas de nível além de utilizadas na elaboração de mapas
topográfico ou mapas de contorno, também são importantes na representação
de curvas isotérmicas (temperatura constante), curvas isobáricas (pressão
constante)etc.
SUPERFÍCIES DE NÍVEL
Não é possível esboçar o gráfico de uma função de mais de duas variáveis. O
gráfico
de
uma
função
( x, y,z,f(x,y,z)) no espaço
f(x, y,z)
consistiria
no
conjunto
de
pontos
ℝ 4 . Contudo é possível esboçar as superfícies de
nível de f que são os gráficos de f ( x, y , z ) = k para valores convenientes de
k.
Exemplo 13. Determine as superfícies de nível de f(x, y,z) = x 2 + y 2 + z 2 .
Exemplo 14. Descreva as superfícies de nível de g(x,y,z) = x 2 + y 2 − z 2 .
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2. LIMITE E CONTINUIDADE.
Nosso objetivo aqui é estender os conceitos básicos de limites e continuidade
ao contexto de várias variáveis.
Definição 3. Se D for um conjunto de pontos no espaço bi-dimensional então
a) um ponto (x 0 ,y 0 ) será denominado ponto interior de D se houver algum
disco circular de raio positivo, centrado em (x 0 ,y 0 ) e contendo somente
os pontos de D.
b) um ponto (x 0 ,y 0 ) será denominado ponto de fronteira de D se todo
disco circular de raio positivo, centrado em (x 0 ,y 0 ) contem pontos de D
e pontos que estão fora de D.
Valem definições análogas se D for um conjunto no espaço 3-D.
Definição 4. Para um conjunto D no espaço 2-D ou 3-D, o conjunto de todos os
pontos de fronteira de D é chamado de fronteira de D e o conjunto de todos os
pontos interiores é chamado interior de D.
Definição 5. Um conjunto D no espaço 2-D ou 3-D é chamado de aberto seno
contiver seus pontos de fronteira e fechado se contiver todos os seus pontos
de fronteira.
Exemplo 15. Considere D o conjunto de todos os pontos no plano xy que estão
dentro ou sob um círculo de raio 1. Determine D, seu interior I e sua fronteira B.
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Vamos agora, verificar o comportamento da função f(x, y) =
sen(x 2 + y 2 )
x2 + y2
quando x e y se aproximam de zero.
x
y
-1
-0,5
-0,2
0
0,2
0,5
1
-1
-0,5
- 0,2
0
0,2
0,5
1
Observação 2.
Definição 6. Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D contém
pontos arbitrariamente próximos de ( x 0 , y 0 ) . Dizemos que o limite de
z = f ( x, y ) quando ( x 0 , y 0 ) .tende a L e escrevemos
lim
( x , y )→( x 0 , y 0 )
f ( x, y ) = L ,
se dado qualquer número ε > 0 , podemos encontrar um número
δ > 0 de
modo que f(x,y) satisfaça f ( x, y ) − L < ε sempre que (x,y) ∈ D e a distancia
entre (x, y) e (x 0 ,y 0 ) satisfizer 0 < ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ .
Observação 3.
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Exemplo 16. Mostre que
Exemplo 17. Se f ( x,y ) =
x2 − y2
não existe.
( x,y )→(0,0) x 2 + y 2
lim
xy
, verifique se
x + y2
2
lim
( x,y )→(0,0)
f ( x,y ) existe.
Observação 4. As propriedades padrão de limites são válidas para limites ao
longo de curvas e para limites gerais de funções de duas variáveis , assim
sendo os cálculos envolvidos em tais limites podem ser efetuados de maneira
usual.
Exemplo 18. Calcule os limites:
a)
b)
lim
9 − x2 − y2
lim
x2 + y 2
( x , y ) →(1,2 )
( x , y )→( 2,0 )
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