Lista 8: Análise do comportamento de funções - Cálculo Diferencial e Integral I - Turma D
Professora: Elisandra Bär de Figueiredo
1. Seja f (x) = x5 + x + 1. Justique a armação: f tem pelo menos uma raiz no intervalo [−1, 0]. Determine
um intervalo de amplitude 0,25 que contenha a raiz.
1
2. Prove que a equação x3 − 4
= 0 admite ao menos uma raiz real. Determine um intervalo de amplitude
x +1
0,25 que contenha a raiz.
3. Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite máximo e mínimo absolutos.
{
(a) A =
{
(b) A =
x
/ −2≤x≤2
x2 + 1
}
x2 + x
/ −1≤x≤1
x2 + 1
}
4. Prove a seguinte Proposição: Sejam f (x) uma função denida em um intervalo aberto (a, b) e c ∈ (a, b)
um ponto extremo relativo de f (x). Se f ′ (x) existe para todo x ∈ (a, b), então f ′ (c) = 0.
5. Seja f : [−1, 1] → R dada por f (x) =
x2 + x
.
x2 + 1
(a) Prove que f (1) é o valor máximo de f.
(b) Prove que existe c ∈ (−1, 0) tal que f (c) seja o valor de mínimo absoluto de f.
√
6. Considere a função f (x) = 2x3 − x2 + 3x.
(a) Verique que f (x) é contínua em [0, +∞).
(b) Determine todas as raízes de f.
(c) Determine os intervalos em que f (x) > 0 e f (x) < 0.
7. Prove que a equação x3 − 3x2 + 6 = 0 admite uma única raiz real. Determine o intervalo de amplitude 1
que contenha a raiz.
8. Prove que a equação x3 +x2 −5x+1 = 0 admite três raízes reais distintas. Localize intervalos de amplitude
1 que contenham tais raízes.
9. Determine condições sobre a ∈ R para que a equação x3 + 3x2 − 9x + a = 0 admita:
(a) uma única raiz real.
(b) duas raízes reais distintas.
(c) três raízes reais distintas.
10. Considere f (x) =
x3
x
. Existe c ∈ [−2, −1] tal que f (c) = 0? Justique.
−x+1
11. Considere f (x) = x−2 . Podemos usar o Teorema de Rolle para concluir que existe c ∈ [−2, 2] tal que
f ′ (c) = 0? Justique.
12. Em cada caso, examine se as funções satisfazem as condições e vericam o Teorema de Rolle e justique
sua resposta.
(a) f (x) = 2x2 + x sobre o intervalo
[1
]
2, 1
;
√
(b) f (x) = 1 − 3 x2 sobre o intervalo [−1, 1];
1
(c) f (x) = tan (x) sobre o intervalo [0, π];
(d) f (x) = (x − 1) (x − 2) (x − 3) sobre o intervalo [1, 3];
(e) f (x) = sin2 (x) sobre o intervalo [0, π].
13. Sabendo que f (x) = 4x3 − 4x + x2 − 1 tem raízes −1 e 1, pelo teorema de Rolle é possível armar que a
derivada tem alguma raiz entre −1 e 1? Justique.
14. Em cada caso, examine se as funções satisfazem as condições e vericam o Teorema do Valor Médio (de
Lagrange). Justique.
√
(a) f (x) = 3 x2 − 5x + 6 sobre o intervalo [−3, 4];
√
(b) f (x) = 1 − 5 x4 sobre o intervalo [0, 2];
4
(c) f (x) = x 3 sobre o intervalo [−1, 1];
(d) f (x) = sin
( πx )
2
sobre o intervalo [0, 1];
1
sobre o intervalo [−1, 1];
x
1
(f) f (x) =
sobre o intervalo [0, 1].
(x − 2)2
(e) f (x) =
15. Através do teorema de Rolle é possível armar que a função f (x) = 2 − |3 − x| possui um ponto crítico
no intervalo [1, 5]? Justique.
16. Use algum dos teoremas estudados para determinar em que ponto da curva f (x) = x3 − 2x2 − 1 a reta
normal a esta curva é perpendicular a reta que passa pelos pontos A (1, −2) e B (0, −1).
17. Utilize o Teorema de Lagrange para demonstrar as desigualdades:
(a)
(b)
(c)
(d)
ex ≥ 1 + x, para x ≥ 0;
arctan (x) < x, para x > 0;
bn − an < nbn−1 (b − a), para b > a, n ∈ N;
|sin θ − sin α| ≤ |θ − α|, para α e θ ∈ R.

 3, se x = 0
−x2 + 3x + a, 0 < x < 1 satisfaz o teorema do Valor
18. Para que valores de a, m e b a função f (x) =

mx + b, se 1 ≤ x ≤ 2
Médio no intervalo [0, 2]? Justique.
19. Em que ponto da curva f (x) = xn a tangente a curva é paralela a corda que une os pontos A (0, 0) e
B (a, an )?
20. Seja g a função denida por g (x) =
√
4 − x2 .
(a) Usando um dos teoremas estudados, determine o ponto em que a reta normal à curva y = g (x)
também é normal a reta que passa pelos pontos A (−2, 0) e B (0, 2).
√
(b) A função y = f (x) = 16 − x4 .g ′ (x), verica o teorema de Rolle entre as raízes da função g ?
Justique.
21. Seja p (x) = Ax2 + Bx + C , onde A, B e C são constante reais e A ̸= 0. Mostre que para qualquer
intervalo [a, b], o valor de c cuja existência é garantida pelo Teorema de Lagrange, é o ponto médio do
intervalo.
22. Arma-se que f (0) = −3 e f ′ (x) ≤ 5, para todo x real, então pelo Teorema do Valor Médio (ou de
Lagrange) o maior valor possível para f (2) é 7. Pergunta-se: é verdade? Justique.
2
23. Em cada caso, determine os intervalos onde f (x) é crescente e decrescente bem como todos os pontos de
máximo e mínimo:
16
x
(e) f (x) =
(a) f (x) =
2
x (4 − x )
(x − 2) (8 − x)
(f) f (x) =
x2
2
x
(g) f (x) = √ 2
x −1
(x − 8)(x + 2)
(b) f (x) = x + sin x
(c) f (x) = x ln x
(d) f (x) = xe−x
24. Em cada caso, determine todos os intervalos de concavidade para baixo e para cima bem como os pontos
de inexão.
16
x
(c) f (x) =
(a) f (x) =
x (4 − x2 )
(x − 8)(x + 2)
x2
x2 − 1
(b) f (x) = xe−x
(d) f (x) = √
25. Em cada caso, determine a equação de todas as assíntotas.
16
x (4 − x2 )
x2
(b) f (x) = √ 2
x −1
sin x
x2
cos(x2 − 1)
− 2x
(d) f (x) =
x−1
(a) f (x) =
(c) f (x) =
26. Faça a análise e construa o gráco de cada uma das funções:
ln x
x
6x2 − x4
f (x) =
9
x
f (x) = 4
x −4
√
f (x) = 3 2x − x3
1
f (x) =
1 − ex
2
f (x) = e−x + 2
(a) f (x) =
(i) f (x) = xex
(b)
(j) f (x) = x +
(r) f (x) =
(k)
(l)
(s)
(c)
(d)
(e)
−2
(m)
(n)
(f)
1
(g) f (x) = e x
(h) f (x) =
1
(x − 2)2
(o)
(p)
(
1
x
f (x) = 2x + 1 + e−x
f (x) = x2 e1−x
1
f (x) = 2x + 2
√ x
f (x) = 2 x − x
x2 − 1
f (x) = 2
x +1
16x3
1
f (x) =
+
3
x
(q) f (x) = (x − 1) ex
(t)
(u)
(v)
(w)
(x)
(y)
√
√
2
x+ √ −2 2
x
1
f (x) = x −
x
f (x) = x ln(x2 )
f (x) = xe−x
f (x) = x + ln x
f (x) = cot (x) , ∀x ∈ (−π, π)
f (x) = sec (x) ∀x ∈ (−2π, 2π)
f (x) = ln (cos (2x)) , ∀x ∈ (0, 2π)
)
27. Dada a função f (x) = ln x2 + 1 , explique, usando o Teorema de Rolle, porque é[ possível
armar que
]
existe um possível ponto de inexão no gráco da curva de y = f (x), no intervalo 21 , 2 .
28. Seja f (x) = 2ax3 + bx2 − cx + d uma função.
(a) Determine uma relação entre as constantes a, b, c e d para que f (x) tenha pontos críticos em x = 0
e x = 1.
(b) Se a > 0 em qual dos pontos críticos a função terá máximo e/ou mínimo?
29. Considere a função f (x) = x8 + 2x7 − 8x6 + x5 − 2x4 + 2x3 + 4x2 . Arma-se que no intervalo (0, 1) esta
função tem pelo menos um ponto crítico. Pergunta-se: é verdade ? Justique sua resposta.
30. Determinar os coecientes a e b de forma que a função f (x) = x3 + ax2 + b tenha um extremo relativo
no ponto (−2, 1).
31. Esboce o gráco da função f (x) que satisfaz as seguintes condições:
i. f (0) = 1;
ii. y = 1 é uma assíntota horizontal de f ;
3
iii.
iv.
v.
vi.
f não possui assíntota vertical.
f ′ (x) > 0 para todo x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) ;
f ′ (x) < 0 para todo x ∈ (−1, 1) ;
√ ) ( √ )
(
f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ −∞, − 3 ∪ 0, 3 ;
( √ ) (√
)
vii. f ′′ (x) < 0 para todo x ∈ − 3, 0 ∪ 3, +∞ .
Determine os pontos de máximo(s) e/ou mínimo(s) e o(s) ponto(s) de inexão. Justique cada um desses
itens.
32. Construa o gráco de uma função que satisfaz as seguintes condições: f ′ (−1) = f ′ (1) = 0; f ′ (x) < 0 se
|x| < 1; f ′ (x) > 0 se 1 < |x| < 2; f ′ (x) = −1 se |x| > 2; f ′′ (x) < 0 se −2 < x < 0; o ponto P (0, 1) é um
ponto de inexão.
33. Construa o gráco de uma função contínua em R que satisfaz as seguintes condições:
i. f ′ (x) > 0 se |x| < 2; f ′ (x) < 0 se |x| > 2; f ′ (2) = 0;
ii. lim f (x) = 1 e f (−x) = −f (x) ;
x→+∞
f ′′ (x)
iii.
< 0 se 0 < x < 3;
iv. P (3, f (3)) é ponto de inexão.
34. Seja f a função cujo gráco está representado na gura a seguir.
y
x
Faça a análise gráca de f , observando, se existir(em), assíntota(s) vertical(is) e assíntota(s) horizontal(is),
os intervalos em que f ′ (x) > 0 e f ′ (x) < 0 , os intervalos em que f ′′ (x) > 0 e f ′′ (x) < 0 , pontos
de máximo(s) e/ ou mínimo(s) relativos, o(s) ponto(s) de inexão, descontinuidades e raízes. Justique
cada item.
35. Sabe-se que f é uma função contínua em R. Construa o gráco de f de tal forma que sua primeira
derivada apresente o comportamento abaixo ilustrado. Além disso, descreva o que pode ser concluído
sobre o gráco de f ′′ (x). Justique suas conclusões.
4
y
x
36. Esboce o gráco da função f,, contínua em R, sabendo que o gráco da primeira derivada de f está
representado na gura a seguir e as raízes de f estão em x = −2, x = 0 e x = 2.
y
x
Respostas:
1. Use o TVM ou o Teorema Bolzano; c ∈ (−1, −0.75)
2. Use o TVM ou o Teorema Bolzano; c ∈ (0.75, 1)
3. Use o Teorema de Weiertrass.
4. Dica: Suponha que x = c é um ponto de mínimo local, use a denição de ponto de mínimo e a denição
de derivadas laterais para concluir que f−′ (c) ≤ 0 e f+′ (c) ≥ 0, logo f ′ (c) = 0.
5. Use o Exercício 4 e o Teorema de Weiertrass.
6.
7. Use o Teorema de Bolzano e o Exercício 4; [−2, −1]
8. Use o Teorema de Bolzano ou o Exercício 4; [−3, −2], [0, 1], [1, 2]
9. .
(a) a < −27 ou a > 5.
(b) a = −27 ou a = 5.
(c) −27 < a < 5.
10. Não.
5
11. Não.
12. (a) não; (b) não; (c) não; (d) sim; (e) sim.
13. Sim.
14. (a) não; (b) sim; (c) sim; (d) sim; (e) não; (f) sim.
15. Não. f ′ não existe em x = 3.
16.
(1
32
3 , − 27
)
17. Dica: Primeiro encontre a função e o intervalo para aplicar o TVM.
18. a = 3,
(
b=4
e
m = 1.
)
an
a
√
√
,
n−1
n n−1 nn
( √ √ )
20. (a) − 2, 2 ; (b) não.
19.
21.
22. A armação é verdadeira.
23. .
(a)
(b)
(c)
(d)
Decrescente no domínio
Crescente no domínio
Decrescente em (0, e−1 ] e crescente em [e−1 , +∞)
Decrescente em [1, +∞) e crescente em (−∞, 1]
(
)
(e) Crescente em −∞, − √23 ∪
(
√2 , +∞
3
)
(
e decrescente em − √23 , √23
)
(f) Decrescente em (−∞, 0) ∪ [3.2, +∞) e crescente em (0, 3.2)
√
√
√
√
(g) Decrescente em (−∞, − 2) ∪ (1, 2) e crescente em (− 2, −1) ∪ ( 2, +∞).
24. .
(a)
(b)
(c)
(d)
Côncava para cima em (−2, 0] ∪ (8, +∞) e côncava para baixo em (−∞, −2) ∪ (0, 8)
Côncava para baixo em (−∞, 2] e côncava para cima em [2, +∞)
Côncava para cima em (−∞, −2) ∪ (0, 2) e côncava para baixo em (−2, 0) ∪ (2, +∞)
Côncava para cima em todo seu domínio
(a)
(b)
(c)
(d)
y = 0, x = −2, x = 0 e x = 2
25. .
y = x, y = −x, x = −1 e x = 1
y=0 e x=0
y = −2x e x = 1
26. Estão no nal.
27. Sugestão: Aplique o Teorema de Rolle para a função g (x) = f ′ (x) .
28. (a) b = −3a, c = 0 e d ∈ R.
(b) P1 (0, f (0)) e P2 (1, f (1)) são pontos de máximo e mínimo relativo, respectivamente.
29. Armação verdadeira.
6
30. a = 3 e b = −3.
31.
32.
33.
34. .
ˆ Assíntotas verticais: x = −1 e x = 0
ˆ Assíntotas Horizontais: não tem
ˆ f ′ (x) < 0 ⇒ x ∈ (−∞, −2] ∪ [− 12 , 0)
ˆ f ′ (x) > 0 ⇒ x ∈ [−2, −1) ∪ (−1, − 12 ] ∪ (0, +∞)
ˆ f ′′ (x) < 0 ⇒ x ∈ (−∞, −3.1] ∪ [−2, 0) ∪ (0, +∞)
ˆ f ′′ (x) > 0 ⇒ x ∈ [−3.1, −2)
ˆ Ponto de mínimo: (−2, f (−2))
ˆ Ponto de máximo: (−1/2, f (−1/2))
ˆ Ponto de inexão: (−3.1, f (−3.1))
ˆ Descontinuidades: x = −1 e x = 0
ˆ Raiz: x = 5/4
35. Pelo gráco de f ′ (x) pode-se concluir que f (x) tem um mínimo em x = 0 e pontos de inexão em
(−1, f (−1)) e (1, f (1)). Sendo côncava para baixo em (−∞, −1] ∪ [1, +∞) e côncava para cima em
[−1, 1]. Também podemos concluir que as únicas raízes de f ′′ (x) são x = −1 e x = 1, sendo f ′′ (x) < 0 se
x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) e f ′′ (x) > 0 se x ∈ (−1, 1).
36. Temos que
ˆ f (−2) = f (0) = f (−2) = 0
ˆ f (x) < 0 se x ∈ (−∞, −2) ∪ (0, 2)
ˆ f (x) > 0 se x ∈ (−2, 0) ∪ (2, +∞)
ˆ f (x) é crescente se x ∈ (−∞, −1] ∪ [1.5, +∞)
ˆ f (x) é decrescente se x ∈ [−1, 1.5]
ˆ Ponto de mínimo: (1.5, f (1.5))
ˆ Ponto de máximo: (−1, f (−1))
ˆ Pontos de inexão: (0, 0), (2, 0) e (3, f (3))
ˆ f (x) tem um "pico"em x = 0 e uma tangente vertical em x = 2
26.
7
(a)
(b)
y
y
x
x
y
(c )
y
(d)
x
x
y
(f)
(e)
y
x
x
y
(g)
x
8
y
(h)
y
(i)
x
x
y
(j)
y
(k)
x
x
y
(l)
y
(m)
x
x
(n)
(o)
y
x
y
x
9
(p)
y
y
(q)
x
x
(r)
y
y
(s)
x
x
y
(t)
(u)
y
x
x
10
y
y
(w)
(v)
x
x
(x)
x
x
(y)
y
x
11