Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites
UEMS - Nova Andradina-Informática
CURSO DE:
SEGUNDA LICENCIATURA EM INFORMÁTICA
DISCIPLINA:
CÁLCULO I
Funções e Limites
Informática
Prof: Marcio Demetrius Martinez
Nova Andradina – 2010
Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites
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O CONCEITO DE UMA FUNÇÃO
1 - FUNÇÃO
1.1 O que é uma função
Uma função matemática é, essencialmente, uma forma especial de se fazer uma correspondência entre
elementos de dois conjuntos.
Definição:
Entendemos por uma função f uma terna
(A, B, a  b )
Em que A e B são dois conjuntos e a  b , uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B.
O conjunto A é o domínio de f e indica-se por D f , assim A= D f . O conjunto B é o contradomínio de f. O único b de B
associado ao elemento a de A é indicado por f(a) (leia: f de a); diremos que f(a) é o valor que f assume em a ou que
f(a) é o valor que f associa a a. Quando x percorre o domínio de f, f(x) descreve um conjunto denominado imagem
de f e que se indica por Im f .
Im f
f ( x) / x
Df
Uma função de f de domímio A e contradomínio B é usualmente indicada por f :
(leia: f de A em B).
Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f :
, onde A e B são subconjuntos de R (reais).
Seja f :
uma função. O conjunto
Gf
( x, f ( x)) / x
A
denomina-se gráfico de f; assim, o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números
reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode então ser pensado como o
lugar geométrico descrito pelo ponto (x,f(x)) quando x percorre o domínio de f.
Tipos particulares de funções
Função Constante
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k não depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 5; b) f(x) = -3; c) Quem é o domínio e o conjunto imagem de f?
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .
Veja o gráfico a seguir:
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2
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FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a
Exemplos :
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
0.
Funções Crescente e Decrescente
Definição:
x1 , x 2
Função crescente: f é uma função crescente quando:
x1
x2
f ( x1 )
x1 , x 2
Função decrescente: f é uma função decrescente quando:
x1
D f se
x2
f ( x1 )
f ( x2 )
D f se
f ( x2 )
Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .
2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b
0 f é dita função afim .
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abcissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.
Exemplos:
1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.
Exercício:
1. A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é
igual a:
a) 2
b) -2
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3
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c) 0
d) 3
e) -3
FUNÇÃO DO 2º GRAU
2
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax + bx + c , com a
2
Exemplos: f(x) = x - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
2
y = - x ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
0.
2
Gráfico da função do 2º grau y = ax + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .
2
Propriedades do gráfico de y = ax + bx + c :
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde:
xv = - b/2a
2
yv = /4a , onde
= b - 4ac
2
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da equação ax + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) ymax = / 4a ( a> 0 )
8) ymin = /4a ( a < 0 )
9) Im(f) = { y R ; y > /4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = { y R ; y < /4a} ( a < 0)
2
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2)
Exemplos
1 - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25
b) o seu valor mínimo é 1,25
c) o seu valor máximo é 0,25
d) o seu valor mínimo é 12,5
*e) o seu valor máximo é 12,5.
SOLUÇÃO:
Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:
y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função.
Portanto, poderemos escrever:
y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3)
Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:
8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)
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8 = a(1)(-4) = - 4.a
Daí vem: a = - 2
A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)
2
y = -2x + 6x - 4x + 12
2
y = -2x + 2x + 12
Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12.
Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.
Isto já elimina as alternativas B e D.
Vamos então, calcular o valor máximo da função.
2
2
 = b - 4ac = 2 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100
Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5
Logo, a alternativa correta é a letra E.
2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
*a) 1/2
b) 2
c) 1
d) 4
e) -1/2
SOLUÇÃO:
Seja x o número procurado.
2
O quadrado de x é x .
2
O número x excede o seu quadrado , logo: x - x .
2
Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x .
Podemos escrever:
2
y = - x + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.
O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função).
Assim,
xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2
Logo, a alternativa correta é a letra A .
Funções Modulares
Chamamos de função modular a função f(x)=|x| definida por:
f ( x)
x, se x
x, se x
0
0
Observe, então, que a função modular é uma função definida por duas sentenças.
 Determinação do domínio
Vamos determinar o domínio de algumas funções utilizando inequações modulares:
Exemplo 1: Determinar o domínio da função
f ( x)
1
|x| 3
1
só é possível em IR se | x | 3
|x| 3
Então : | x | 3 0
|x| 3
x 3 ou x
3
Sabemos que
Resposta : D {x
IR | x
3 ou x
0.
3}
Resolução:
Exemplo 2: Determinar o domínio da função
f ( x)
2 | x 1|
Resolução:
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Sabemos que
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2 | x 1 | só é possível em IR se 2 | x 1 | 0.
Então : 2 | x 1 | 0
2 x 1 2
Resposta : D {x
| x 1|
2
| x 1| 2
2 1 x 2 1
IR | 1 x 3}
1
x
2
x 1 2
3
 Gráfico
Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x|:
x
-1
-2
0
1
2
y=f(x)
1
2
0
1
2
Gráfico da função f(x)=|x|:
1.
2.
3.
Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente angular é –4.
Qual é a equação da reta que passa pelo ponto (-3, -1) e de coeficiente linear igual a 8?
Construa o gráfico das seguintes funções e determine o domínio e a imagem:
a)
f (x )
1
x
2
4
b)
f (x )
2
2x
c)
d)
e)
f (x )
5x
3
2
x , se x 0
f (x )
2
x, se x 0
2x
2
f (x ) 5
f) f ( x )
3
Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com S 2t 3 , em que S indica a posição do corpo (em metros)
4.
no instante t (segundos). Construa o gráfico de S em função de t.
5x
5. Considere a função f :
definida por f ( x )
a) Qual é a figura do gráfico de f?
b) Em que ponto o gráfico de f intersecta o eixo x?
c) Em que ponto o gráfico de f intersecta o eixo y?
d) f é função crescente ou decrescente?
3 ; sem construir o gráfico, responda:
6. Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida.
Sendo x o número de unidades produzidas:
a) Escreva a função que fornece o custo total;
b) Calcule o custo de 100 peças.
7.
Gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo de energia em energia elétrica. Se a potência P (em watts) que um certo
2
gerador lança num circuito elétrico é dada pela relação P(i) = 20i - 5i , em que i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa
o gerador, determine o número de watts que expressa a potência P quando i = 3 ampères.
8. Atribuindo para x os valores –1, 0, 1, 2, 3, 4 e 5, construa o gráfico da função definida por
com base no gráfico ou na lei da função.
a) A concavidade fica para cima ou para baixo?
b) Qual é o vértice dessa parábola?
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f (x)
x2
4x . A seguir, responda
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c) Em que ponto a parábola intersecta o eixo y?
d) Em quantos pontos ela intersecta o eixo x? Quais são esses pontos?
e) Essa função é crescente ou decrescente?
f) Qual é a imagem dessa função?
7
9
,f
, f 19 e f( 3) são maiores, menores ou iguais a zero.
3
7
f (x )
3 ? Em caso positivo, determine x?
f
g) Determine se
h) Existe x tal que
9. Esboce o gráfico da função quadrática f cuja parábola passa pelos pontos (3,-2) e (0, 4) e tem vértice no ponto (2,-4); em seguida,
verifique qual das seguintes sentenças corresponde a essa função:
2x 2
a) f (x)
8x 4
b)
2x 2
f (x )
8x 4
c)
f (x )
2x 2
8x 4
10. A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute,
2
t 6t , determine:
seja dada por h
a) Em que instante a bola atinge a altura máxima?
b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?
11. Determine o vértice, os pontos que interceptam os eixos Ox e Oy, o valor máximo (mínimo), o domínio e a imagem das seguintes
funções:
f (x )
x2
b)
f (x )
2
c)
f (x )
a)
12.
x
d)
2x 1
x2
f:
g:
2x 3
3x 5
x2
f (x)
e)
f (x )
f)
f (x )
6x
x
2
x2
g)
10x 16
f (x )
x2
4x
4x 3
2
4x 1
4
x2
5x
f ( x ) x 2 e seja g : R
R
é a função quadrática definida por
h)
f (x )
f (x )
4.
é a função quadrática cujo gráfico é:
13. Seja
f :R
R
a função dada por:
. Nessas condições,
a) h
Se
(A) 1
(B) 2
(C) 3
a função dada por g ( x )
f(x h)
h
f(x)
, com
h
0
g( x ) é igual a :
b) x
c) 2x
, então
d) 2x + h
e) x + h
é igual a:
(D) 4
(E) 5
14. Se a função
é tal que
então
é
(A)
(D)
(B)
(E)
(C)
15. Na equação
fizemos
(A)
, então o valor de
é
(D)
(B)
(E)
(C)
16. Montar a função que representa:
a) a quantidade de material (área) usada numa caixa sem tampa, de base quadrada, com 2l de volume.
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7
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b) o volume da caixa sem tampa, que se consegue a partir de uma chapa quadrada, com 2m x 2m , recortando os quatro cantos
quadrado e dobrando as bordas.
17. . Uma papelaria cobra R$ 0,10 por cópia em sua máquina de fotocópia, até 100 cópias. De 100 até 250 o valor por cópia cai para R$
0,08 e para um número de cópias superior a 250 é cobrado R$ 0,05 por cópia. Nesta situação podemos perceber que para cada faixa
de quantidade de cópias tiradas tem-se um valor diferente a pagar pela cópia.
Para facilitar a cobrança, o proprietário quer montar uma tabela para saber direto quanto vai receber de em cliente pelas cópias. Monte a
função que representa a situação.
18. .Determinar o domínio das seguintes funções:
a)
y
4 x2
b)
y
3 x
c)
y
d)
y
[-2,2]
4
7
x
[-3,7]
x
x 1
x 2 4, 5
(-oo,-1) U [0,+oo)
x
2
[-5,2]
19. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico
a.
b.
c.
d.
e.
f(x)= -x+2
f(x) = -x/2 + 1
f(x)= -x/2 + 2
f(x)=4x
f(x)= -x
20.. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:
a=0;b=0
a.
b.
c.
d.
a>0;b>0
a<0;b>0
a>0;b=0
a>0;b<0
c.
d.
perpendicular ao eixo das abcissas
que intercepta os dois eixos
21. A representação da função y = -3 é uma reta :
a.
b.
e.
paralela aos eixo das ordenadas
perpendicular ao eixo das ordenadas
nda
22. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando :
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a.
b.
c.
d.
e.
a<2
a<0
a=0
a>0
a=2
a.
b.
c.
d.
e.
y = 2x - 3
y = - 2x + 3
y = 1,5 x + 3
3y = - 2x
y = - 1,5x + 3
23. O gráfico abaixo pode representar qual das expressões ?
24. - Considere a função f: IR
a.
2
IR, definida por f(x) = x - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:
f possui dois zeros reais e
distintos;
c. f atinge um máximo para x = 1;
25. Suponha que o número f(x) de funcionários necessários para
distribuir, em um dia , contas de luz entre x por cento de
moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função
f ( x)
vértice do gráfico de f é o ponto
(1; 4);
300 x
.
150 x
b.
Se o número de funcionários para distribuir,
em um dia, as contas de luz foi 75, qual a porcentagem de
moradores que a receberam?
d.
e.
gráfico de f é tangente ao eixo
das abscissas.
nda
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Limite
Noção intuitiva de limite
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores
menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:
x
y = 2x + 1
1,5
4
1,3
x
y = 2x + 1
3,6
0,5
2
1,1
3,2
0,7
2,4
1,05
3,1
0,9
2,8
1,02
3,04
0,95
2,9
1,01
3,02
0,98
2,96
0,99
2,98
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x
seja:
1), y tende para 3 (y
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x
1).
Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)
3), dizemos que o limite de f(x) quando
possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:
se, quando x se aproxima de a (x
a), f(x) se aproxima de b (f(x)
Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:
b).
x
1 é 3, embora
3), ou
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Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x
1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que
procuramos o comportamento de y quando x
1. E, no caso, y
3. Logo, o limite de f(x) é 3.
Escrevemos:
Se g: IR
IR e g(x) = x + 2, lim g ( x ) = lim x
x
1
x
1
2 = 1 + 2 = 3, embora g(x)
f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.
Exemplos:
1)
Analise da equação f x
x 3 2x 2
3x
6
Ilustração Gráfica
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antes de 2
F(x)
1,20333333
1,32003333
1,33200033
1,33320000
1,33332000
1,33333200
X
1,9
1,99
1,999
1,9999
1,99999
1,999999
depois de 2
X
2,1
2,01
2,001
2,0001
2,00001
2,000001
F(x)
1,47000000
1,34670000
1,33466700
1,33346667
1,33334667
1,33333467
Quanto mais próximo de 2 está x, mais próximo de 1,3333 ou seja, 4 está f(x).
3
Fatorando f(x) teremos f x
x 2 ( x 2) . Se x 2 temos a equação y = 1 2 , sendo o gráfico uma parábola com ponto omitido em
3x
3( x 2)
2,
4 .
3
Então:
limx
2
x 3 2x 2
3x 6
4
3
2)
f (x )
x2
g(x)
3)
limx
4)
lim x
5)
6)
limx
limx
x 2
6
25 6
7)
lim x
1
4
(2x 3)
2
3 (x
limx
1
f (x)
3
x 2
x 1
limx
1
g(x)
3
2(4) 3
( 3)2
1)
7 2
7
x2
2
x
x 2
x 1
8 3
5
1 9 1 10
9
3
( x 1)( x 2)
x 1
3
Então:
Notação
lim f ( x )
x
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a
L
Significação intuitiva
Podemos tornar f(x) tão próximo de L
quanto quisermos, escolhendo x
suficientemente próximo de a e x a
Interpretação gráfica
12
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Exercícios:
Ache o limite:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
lim (3 x
x
lim x
x
4
lim 7
x
100
lim
x
1
x 4
1 2x
1
lim
x
lim x 2
x
7.
2
3
lim ( x )
x
3
8.
lim100
9.
lim( 1)
10.
lim
11.
lim
x
x
16.
17.
x2 4
2 x
2
1
r2
2r
2
r
5r 7
x 2 16
4
x 2
h3 8
2 h
2
lim
h
15.
2
4
lim
x
14.
x
x
5
lim
r
13.
7
x
x
12.
1)
2
lim
z
2
z
z
2
4
2z 8
x 2 2x 3
3 x2
7 x 12
lim
x
lim
x
Prof. Marcio
5
x
2
x 5
10 x 25
13
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1) Propriedades Operatórias dos Limites
Sejam f(x) e g(x) funções limitadas
P1
lim A
x
A
a
onde A
constante
P2
lim [ f ( x)
x
g ( x)
a
lim f ( x) lim g ( x)
x
a
x
a
P3
lim [ f ( x). g ( x)]
x
P4
lim f ( x)
x
a
lim g ( x)
x
a
lim
n
a
n
a
x
f ( x)
a
lim f ( x)
x
lim [ f ( x)] g ( x )
x
a
a
[lim f ( x)] n
x
P8
x
lim [ f ( x)] n
x
P7
x
f ( x)
g ( x)
a
a
A. lim f ( x)
a
lim
x
P6
x
lim A. f ( x)
x
P5
lim f ( x). lim g ( x)
a
a
a
[lim f ( x)]
x
lim g ( x )
x a
a
P9 O Limite da Função Polinomial:
an x n
f ( x)
an 1 x n
1
......a1 x a 0
quando x tende a a é igual a f(a).
2) Calcule o valor dos limites utilizando suas propriedades:
a)
lim
x
b)
lim
x
x4 2
2
x3
x3
1
R:
3x 2 x 1
x 2 2x 4
R: 6
7
4
c)
lim
x
d)
5
lim
x
2
x 5
R:0
3 x
3
2x3
x2
2x 2 8
2x 4
R: 2
Formas Indeterminadas
0
;
0
;
;0. ;0 0 ;1 ;
0
3) No cálculo de limites podem ocorrer indeterminações do tipo 0/0, o que não significa ausência de limites, os quais podem ser
determinados recorrendo à construção de gráficos ou utilizando operações algébricas elementares. Nestas condições, calcule o
valor dos limites, se existirem:
Prof. Marcio
14
Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites
lim
a)
x
b)
lim
h
x
lim
x
e)
0
lim
x
f)
2
lim
x
j)
0
lim
x
i)
3
lim
x
h)
5
lim
x
g)
0
lim
c)
d)
1
4
lim
x
1
5
x2 1
x 2 3x 2
3
x h
x3
h
2
x 25
x 5
x2 x
4x
x 2 5x
x 5
x 2 5x 6
x 3
x 3
3
x
x 2
x 2 2
1 2x 3
x 2
2
6
3
x 1 x 1
UEMS - Nova Andradina-Informática
R: -2
2
R: -3x
R: -10
R:
1
4
R: - 5
R: 1
3
6
R:
R: 4
R:
4
3
R: 2
k)
l)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
Prof. Marcio
15
Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites
UEMS - Nova Andradina-Informática
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
aa)
bb)
Prof. Marcio
16
Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites
Use os teoremas sobre limites
para determinar o limite quando
existir
1. lim 15
x
2.
UEMS - Nova Andradina-Informática
21.
lim (5x 2
x
22.
4
lim ( x 3
x
3
2
lim
23. lim
2
x
1
x 15
3.
lim x
x
4.
lim x
x
5.
6.
7.
8.
9.
3
lim (3 x 4)
25.
lim ( 3 x 1)
26.
x
x
x 5
x
2 4x
3
2x 1
lim
x 4 3x
1
lim ( 2 x 5) 4
lim
x 1
10.
lim (3x 1)
x
11.
lim (4 x 1) 50
x
13.
3
1
2
lim (3x 3
2 x 7)
lim (5x 2
9 x 8)
x
14.
x
15.
2
4
lim ( x
x
2
3)( x 4)
2
16. lim (3 x
x
3
17. lim ( x
x
4)( 7 x 9)
3,1416)
1
11
x
18. lim
x
2
7
6x 1
19. lim
x 4 2x
9
2
4x 6x 3
20. lim
1
16 x 3 8 x 7
x
2
52. lim
x
x4
lim
2 x 2 5x 3
6x 2 7 x 2
x
1
2
28. lim
x
2
29. lim
x
3
2
Prof. Marcio
8 x 3 27
4x 2 9
30.
x2 6
2x 3
lim
2
2
lim (3x 9)100
x
12.
5
27.
39.
2
lim
x
2
3x 6
x 2
x3 8
x2 x 2
x 2
x2
x2
x3
31. lim 4
x
2 x
x
32. lim
x 16
x
(x
33. lim
x
3 (x
8
16
16
4
3)( x 4)
3)( x 1)
( x 1)( x 2 3)
x
1
x 1
2
x 4
35. lim
x 2 x
2
3
2x 6x 2 x 3
36. lim
x 3
x 3
2
x
x
37. lim
2
x 1 2x
5x 7
53. lim
x 1
x 1
x 1
x 2 2x 3
3 x2
7 x 12
2
x 16
4
x
x
40. lim
x 25 x
x3
41. lim
x
2 x
x3
42. lim 2
x 2 x
43.
44.
45.
2
2x 3
5x 6
34. lim
lim
x
2
x 1
2
x
5 x)
lim ( x 1) 9 ( x 2 1)
x
4
2)( x 2
38. lim
x 2
2
x
4x 3
x4
24. lim
x 1 x4
2
2 x 3)
46.
47.
48.
49.
2
5
25
8
2
8
4
x 4
lim 2
x
2 x
2x 8
x 5
lim 2
x 5 x
10 x 25
2
x 49
lim
x 7 x
7
2
x 25
lim
x
5 x
5
2
4x 9
lim
x
3/ 2 2x
3
3x 1
lim
x
1/ 3 9x 2
1
2
3x 8 x 16
lim
x 4 2x 2
9x 4
3x 2 17 x 20
50. lim
x 4 4x 2
25 x 36
51. lim
x
54.
lim
x2
3
x 1
2x
2
9
7x 3
x3 1
x 1
17
Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites
2x 2 x 3
55. lim
x
1 x3
2x 2 6x 5
3
56.
lim
x
4
lim
x
3
60.
lim
x 1
2 x 11x 10 x 8
3x 3 17 x 2 16 x 16
2
2 x 5x 2 x 3
4 x 3 13x 2 4 x 3
lim
x
2
x3
x2
x
2
59.
lim
x 1
2
x
x 1
x 10
3x 2
1
x 16
1
6
63.
64.
x3/ 2
5x 4
x4
4x 4
4
x
2
65. lim
x
3
3
x 1
lim 5
x
x
x
2 5 x 3x 3
x2 1
4
16
x
0
68. lim
4
lim 3 x 2
lim
67. lim
x
x 5
16 x 2 / 3
62. lim
x
84
x4/3
66.
Prof. Marcio
2 x
61. lim
x
58.
x
2
3
57.
UEMS - Nova Andradina-Informática
0
1
x
x
1
1 x
1
x2
x 2
x 1
x 1
2
x 7 x 10
70. lim
x 2
x 6 64
2
3
71. lim x (3x 4)(9 x )
69. lim
x
72.
5
3
lim 3x 2
x
2
4
3
3x 2
x
x
18
Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites
UEMS - Nova Andradina-Informática
Repostas dos exercícios
1. 15
2. 2
3. -2
4. 3
5. 8
6. 7
7.
7
5
7
8.
13
9. 81
10.-16 807
11. 0
12. 1
13. -13
14.36
15. 5 2 20
16. 150
17. -3,1416
11
18.
2 7
19. -23
20. -1
21. 75
22. -174
23.
1
2
4
9
25. -3
26. 10
27. -7
24.
Prof. Marcio
1
12
29. NE
30. NE
28.
3
8
31.
32. 8
7
2
33.
1
9
1
2
54. 3
55. -1
3
56.
4
61.
11
17
72
7
16
3
63. -2
64. 28
65. -2
66. 0
62.
43. NE
44.NE
45. 14
46. -10
47. -6
48. NE
16
7
50. 1
51.
53.
58. -15
59. 2
60. 64
38. -4
39. 32
1
40.
10
41. 12
42. 3
49.
9
2
57.
34. 4
35. 4
36. 19
37.
52.
1
8
67.
68.
69.
1
2
3
5
1
64
71. -81072. 8
70.
6
5
19
Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites
UEMS - Nova Andradina-Informática
LIMITES LATERAIS
Notação
Lim f ( x)
x
Significação intuitiva
Podemos tornar f(x) tão próximo de L
quanto quisermos, escolhendo x
suficientemente próximo de a e x<a
L
a
(limite mínimo)
Lim f ( x)
x
Interpretação gráfica
Podemos tornar f(x) tão próximo de L
quanto quisermos, escolhendo x
suficientemente próximo de a e x>a
L
a
(limite máximo)
TEOREMA DOS LIMITES LATERAIS
Lim f ( x)
x
Lim f ( x)
L
a
x
a
L = Lim f (x)
x
a
O teorema nos diz que o limite de f(x), quando x se aproxima de a, existe se e somente se ambos os limites laterais existem
(direito e esquerdo) e são iguais.
Exemplos:
1) Estude os limites laterais para
ou seja, ache
f ( x)
lim f ( x)
x2
2x 1
x 1
lim f ( x)
x 1
2) Esboce os gráficos da função f definida por: f(x)
ache
lim f ( x)
lim f ( x)
x 1
lim f ( x)
ache
lim f ( x)
x
f ( x)
lim f ( x)
3
x
3
1
4,
se x
1
x2
1, se x
1
4 x 2 , se x 1
2 x 2 , se x 1
lim f ( x)
x 1
4) Esboce os gráficos da função f definida por:
3 x, se x
x 1
lim f ( x)
x 1
x 1
lim f ( x)
x 1
3) Esboce os gráficos da função f definida por:
ache
lim f ( x)
x 1
x 1
f ( x)
2 x 1, se x
3
10 x, se x
3
lim f ( x)
x
3
CONCEITO DE LIMITE INFINITO
Vamos analisar a equação
Prof. Marcio
f x
1
x 2
20
Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites
UEMS - Nova Andradina-Informática
Usando limites laterais, temos:
lim f ( x )
a)
x
2
X
2,1
2,01
2,001
2,0001
2,00001
2,000001
10
100
1000
10000
100000
1000000
1,99999
-100000
1,999999
-1000000
F(x)
Quanto mais x se aproxima de 2 pela direita, f(x) aumenta sem limite.
1
lim
x
1
x-2
ou
x 2
2
2
, quando x
lim f ( x )
b)
x
2
X
1,9
-10
F(x)
1,99
-100
1,999
-1000
1,9999
-10000
Quanto mais x se aproxima de 2 pela esquerda, f(x) aumenta sem limite.
lim
x
2
1
1
x-2
ou
x 2
Vamos analisar a mesma equação
f x
, quando x
1
2
Para
x 2
lim f ( x)
x
2
Pelo TEOREMA DE LIMITES LATERAIS, não existe limite, pois os limites a direita e a esquerda são diferentes.
EXEMPLOS:
Para a f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como + , - ou NE (não existe).
(a) lim - f ( x); (b) lim f ( x); (c) lim f ( x)
x
a
1.
f ( x)
2.
f ( x)
3.
f ( x)
x
x
a
5
a
a=3
x 3
1
a=1
2
x 1
3x
( x 4) 2
a = -4
CONCEITO DE LIMITE NO INFINITO
Vamos analisar a equação
f x
2
1
X
Consideremos agora valores para x que se tornam cada vez mais grande.
X
F(x)
10
2,1
100
2,01
1000
2,001
10000
2,0001
100000
2,00001
1000000
2,000001
Podemos tornar f(x) tão próximo de 2 quanto quisermos escolhendo x suficientemente grande. Denota-se este fato por:
Prof. Marcio
21
Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites
1
x
lim 2
x
2
UEMS - Nova Andradina-Informática
ou
1
x
2
2, quando x
Consideremos agora valores para x que se tornam cada vez mais pequeno para
X
-10
1,9
F(x)
-100
1,99
-1000
1,999
f x
-10000
1,9999
2
1
X
-100000
1,99999
-1000000
1,999999
Podemos tornar f(x) tão próximo de 2 quanto quisermos escolhendo x suficientemente pequeno. Denota-se este fato por:
lim 2
x
Vamos analisar a mesma equação
1
x
f x
2
ou
1
x
2
2, quando x
1
X
2
Para
lim f ( x)
lim f ( x)
x
x
TEOREMA DE LIMITE NO INFINITO
k
Se
é um número racional positivo e C é um número real arbitrário, então:
lim
x
desde que
xk
C
xk
0
lim
e
x
C
xk
0,
seja sempre definido
O teorema é útil para o estudo de limites de funções racionais. Especificamente, para achar
lim f ( x)
x
ou
lim f ( x)
para
x
uma função racional f.
n
Primeiro dividimos numerador e denominador de f (x ) por x , em que n é a mais alta potência de x que aparece no
denominador, e em que seguida aplicamos os teoremas específicos de limites.
EXEMPLOS
a)
lim
1
x2
lim
2
x4
x
b)
x
Prof. Marcio
22
Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites
lim 1
c)
x
UEMS - Nova Andradina-Informática
1
x
d)
2x 2 5
lim 4
x
3x
x 2
e)
lim
2x 2 x 5
4x 3 1
x
1. Para a f(x) dada, expresse cada um dos seguintes limites como + , - ou NE (não existe).
(a) lim- f ( x); (b) lim f ( x); (c) lim f ( x)
x
a
1.
f ( x)
2.
f ( x)
3.
f ( x)
4.
f ( x)
5.
f ( x)
6.
f ( x)
7.
f ( x)
8.
f ( x)
9.
f ( x)
10.
f ( x)
x
x
a
5
x
a=4
4
5
4
a=4
x
x
5
a
a = -5
x
8
3
( 2 x 5)
3x
( x 8) 2
5
x 7
1
x ( x 3) 2
2x
x 6
2x2
x2 x 2
1
2
x 1
5
2
a=
RESPOSTAS nº 1
1. - , + , NE
2. + , - , NE
3. + , - , NE
4. - , + , NE
5. - , - , 6. - , + , NE
7. + , + ,
8. + , - , NE
9. + , - , NE
10. - , - , -
a = -8
a=7
a=3
a = -6
a = -1
a = -1
2. Determine o limite se existir:
1.
lim (3 x 2
x
2.
lim (5 x
x
3.
4 x 8)
4.
3
4x
2
8 x 4)
R: -
lim ( x 4 3 x 3 )
x
Prof. Marcio
lim (3 5 x )
x
R: +
5.
5x2 3x 1
lim
x
2x2 4x 7
R: -
R:
5
2
R: +
23
Segunda Apostila de Cálculo - Funções e Limites
6.
7.
8.
9.
4 7x
x
2 3x
2x2 3
lim
x
4 x3 5 x
2 x2
lim
x
x 3
x2 3x 1
lim
x
4 x2 1
7
3
lim
Calcule o limite, se existir:
x 2 x 12
lim
x
3
x 3
x 2
lim 2
x
2 x
x 6
( h 5)2 25
lim
h 0
h
9 t
lim
t 9
3
t
UEMS - Nova Andradina-Informática
R:
10.
x
11.
R: 0
x3 2 x
2x2 3
3x3 x
lim
x
6 x3 2
lim
R: -
R:
1
2
R: -
R:
1
4
1.
2 t
2
t
x 2 x 12
lim
x
3
x 3
lim
t
0
Prof. Marcio
1 1
x
2
lim
x 2 x
2
1
2
lim
2
x 1 x
1 x 1
lim 5 x 2
x
4
lim
x
1
2x 3
x 2
x 4x 3
2
x2
x 1 x2
x3
lim 2
x 1x
t2
lim 2
t 2 t
x4
lim
x 2 x
x2
lim
x 9
x
lim
x 2
3x 2
1
1
t 6
4
16
2
81
3
24