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Aula-10
Mais Ondas de Matéria II
Física Geral F-428
1
Partícula em uma “Caixa”(=“poço”)
Vamos resolver a equação de Schrödinger para uma partícula
confinada a uma caixa de paredes “impenetráveis”. Isto é, partícula
sujeita a um potencial de forma:
U(x) = 0, para 0 < x < L
U(x) = ∞, para x < 0 ou x > L
U(x)
1D
0
L
• Como o potencial é infinito, a partícula deve se encontrar
rigorosamente no interior da caixa, portanto, devemos ter:
(x) = 0 , para x = 0 e x = L (condição de contorno) 2
x


2 2 
  ( r )  E  U ( r ) ( r ) = 0
2m
U(x)
0
L
x
No interior da caixa:
ou:
 2 d 2 ( x )

= E ( x )
2
2m dx
d 2 ( x )
2mE
2
(
)
=


x
=

k
 (x )
2
2
dx

2mE
; k=
2
A solução geral desta equação pode ser escrita como:
 (x ) = A sen(kx )  B cos(kx )
 ( x ) = A sen k x
A condição de contorno:  (0) = 0
A condição de contorno:  (L) = 0 :
(L)= Asen(kL) = 0
k L = n
n
kn =
L
3
Escrita em termos dos comprimentos de onda:
kn =
2
n
=n

L
2L
n =
; n = 1, 2, ...
n
que corresponde à condição de formação de ondas estacionárias
(L=nn/2).
As funções de onda serão dadas por:
 n x 
 n ( x ) = An sen (k n x ) = An sen 

 L 
• Para cada n, temos uma ψn(x) e n é um número quântico que
caracteriza o estado.
• Como temos um sistema unidimensional, ψ(x) é completamente
4
determinada por apenas um número quântico.
Funções de onda
 n x 
 n ( x ) = An sen (k n x ) = An sen 
 ; n = 1, 2 , 3,....
 L 
n =1
n=2
x
0
n=5
n=3
n=4
L
n=6
n=7
2L
n =
n
5
As energias (cinéticas) associadas a
estas funções são dadas por:
2
2
n
p
E=
=
2m
(k )
kn =
2m
2

 k
h  2
n
En =
= 
2 
2m  8mL 
2
L
5
25E1
4
16E1
3
9E1
2
4E1
E1
2
n
1
6
• O sistema pode passar de um estado n para um n’, de energia
menor, emitindo um fóton de frequência  :
 2 k n2  h 2  2
n
En =
= 
2 
2m  8mL 
h  =  E = E n  E n'
E
E
4
E4
3
E3
2
E2
E1
1
Pode também
sofrer uma
transição para
um estado de
energia maior, p.
ex., absorvendo
um fóton.
O estado de energia mais baixa é
chamado de estado fundamental.
4
E4
3
E3
2
E2
E1
1
7
Normalização da Função de Onda
• A probabilidade de encontrarmos uma partícula, descrita por
 (x ) , em um ponto qualquer do espaço (com x entre - e
+) deve ser igual a 1. Portanto, devemos ter:



2
dx  ( x ) = 1
Esta é a condição de normalização da função de onda.
• No caso de uma partícula no interior de uma “caixa” em 1D,
por exemplo, obtivemos:
 n x 
 n ( x ) = An sen (k n x ) = An sen 

 L 
A condição de normalização nos permitirá determinar An.
8
Devemos ter:



2
dx  ( x ) = A
2
n
2

L
0
 nx 
sen 
 dx = 1
 L 
U(x)
0
x
L
Portanto, obtemos:
An =
2
L
 n (x ) =
2
 nx 
sen 

L  L 
9
 e  para o Potencial Infinito
2
 n (x ) =
2
 nx 
sen 

L  L 
Poço quadrado
10
Princípio da Correspondência de Bohr:
No limite de números quânticos muito elevados, os resultados da
física quântica tendem para os resultados da física clássica.
11
Energia de ponto zero
• Para a partícula numa caixa, a energia do estado
fundamental acontece para n = 1:
2

 k
h  2
n
En =
= 
2 
2m  8mL 
2
2
n
 h2 

E1 = 
2 
 8mL 
• Estados confinados não podem ter n = 0 pois isto
daria n(x) = 0 (ausência de elétrons dentro do poço!)
• Sistemas confinados não podem ter energia zero,
existe sempre uma energia mínima, chamada energia
de ponto zero (= E1 , para partícula numa caixa).
12
Partícula em um Poço Finito
Considere agora uma partícula
aprisionada em um poço de
potencial, com profundidade
finita U0 :
U0
U(x)
0
L
x
 2 d 2 ( x )
 E  U ( x ) ( x ) = 0
2
2 m dx
• As funções de onda não se anulam mais em x = 0 ou x = L.
13
Partícula em um Poço Finito
• As funções densidade de
probabilidade terão as formas
plotadas ao lado
U0
U(x)
0
L
x
14
Partícula em um Poço Finito: exemplo
E
não quantizada
450 eV ( = U0 )
E3=280 eV
E2= 109 eV
E1= 24 eV
Energias em um poço com
L = 100 pm e U0 = 450 eV.
(Linhas tracejadas: Poço infinito,
com energias um pouco maiores )
15
Equação de Schrödinger em 3D
• A generalização da equação de Schrödinger, de uma
para três dimensões é direta:
2
2
2 

   
 2  2  2   E  U (x , y , z ) = 0
2m  x
y
z 
2
Caixa “Cúbica”
• Se tivermos uma caixa cúbica com potenciais infinitos, a
solução da equação de Schrödinger, no interior da caixa, pode
ser escrita como:
 ( x , y , z ) = A sen (k 1 x ) sen (k 2 y ) sen (k 3 z )
16
z
As condições de contorno :
k1 = n1
k2 = n2
k3 = n3

Lx

Lz
Ly

Lz
y
Lx
x
Ly
Assim, teremos a solução:
 y
 x
 z 
 sen  n3 
 sen  n2
 n1 ,n2 ,n3 ( x , y , z ) = A sen  n1
 L 
 L 
L
x 
y 
z 



• Observe que agora temos um sistema tridimensional; portanto são
necessários três números quânticos para definir cada estado:  n1 , n2 , n3
17
• O níveis de energia serão dados por:
ni 
 k
h
2
2
2
E = Ek =
= 2 k1  k 2  k 3 ; k i =
Li
2m
8 m
2
2
(
2
)
(U = 0 !)
2
2
2

h n1 n2 n3 
 2  2  2 
=
8m  L1 L2 L3 
2
E n1, n2 , n3
Se
L1 = L2 = L3 = L
:
h
2
2
2
(
=
n1  n 2  n 3 )
2
8mL
2
E n1,n2 ,n3
18
• O níveis de energia
serão dados por:
E n1, n2 , n3
h 2  n12 n22 n32 
 2  2  2 
=
8m  L1 L2 L3 
Quebra da Degenerescência
Estados Degenerados
 h2 

E1  
2 
 8mL 
19
• Várias formas de poço de
potencial são construídas em
laboratório, para se estudar
propriedades quânticas da
matéria.
20
Aplicações de Poços Quânticos
• Poços quânticos foram primeiro
apresentados (1970) pelos físicos
L. Esaki e R. Tsu.
Leo Esaki (1925- )
Prêmio Nobel em 1973
• Equipamentos de MBE (Molecular Beam Epitaxy) ou
MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor Deposition)
produzem nanoestruturas, depositando camadas com
espessuras em escala atômica (controle de monocamada).
• Usando técnicas como MBE ou MOCVD podemos produzir
heteroestruturas de cristais (ex.: AlxGa(1-x)As - GaAs) que se
comportam como poços quânticos.
21
Manipulação de átomos
35 átomos de Xenônio em superfície de Ni
[ D. Eigler et al., IBM, Nature 344, 524 (1990) ]
22
Exemplo: AlxGa(1-x)As - GaAs
(Poço Quântico)
GaAs
AlxGa(1-x)As
AlxGa(1-x)As
Aplicações: leitores de
CD e DVD
U0
U(x)
0
L
x
23
Outras Armadilhas: nanoestruturas
• Pontos Quânticos (0-D)
• Fios Quânticos (1-D)
• Currais Quânticos
24
Pontos Quânticos
25
Microscopia de
Tunelamento (STM)
G. Medeiros-Ribeiro - LNLS
26
Átomo de Hidrogênio
27
Estudo do espectro emitido por gases:
fenda
Parte visível do
espectro do gás
prisma
Tubo contendo gás em
que ocorre descarga
Descargas elétricas em um tubo contendo gás a baixa pressão
são fontes de luz, que colimada pela fenda, sobre refração no prisma.
No anteparo vemos as linhas o espectro do gás.
28
O espectro do átomo de hidrogênio
4 linhas no visível
Johann Balmer - 1885
Posteriormente: mais séries (UV/IV): Lyman (1906-1914);
Paschen (1908); Brackett (1922), Pfund (1924), etc...
29
Curiosamente, todas as linhas observadas tinham um  satisfazendo:
 1
1 
= R 
 
2
2

n 
m
1
onde m e n são números inteiros, e R é denominada constante
de Rydberg, que vale R = 1,097373  107 m -1 (empírico).
Hoje: R é uma das constantes físicas conhecida com maior precisão:
R =1,0973731568525(73) 107 m-1 (7 partes em um trilhão!)
30
O átomo na “Antiga” Mecânica Quântica
• Por volta de 1910, foram-se acumulando muitas evidências
experimentais de que os átomos continham elétrons (partículas
que compunham os raios catódicos e conduziam a eletricidade).
• Mas sabia-se que os átomos eram neutros. Portanto, deviam
possuir uma quantidade igual de carga positiva...
Modelo de Thomson (1910)
Os átomos seriam compostos
por elétrons pontuais,
distribuídos numa massa de
carga positiva uniforme:
Modelo do “pudim de passas”.
Modelo de Thomson: previa uma
deflexão pequena das partículas a
31
Modelo de Rutherford:
• Ernest Rutherford (1911): descobriu a estrutura
nuclear do átomo. Primeiro experimento de colisão
de partículas sub-atômicas.
Ernest Rutherford
(1871 -1937)
Nobel de Química: 1908
Rutherford observou grandes deflexões,
sugerindo um núcleo duro e pequeno
32
O átomo na “Antiga” Mecânica Quântica
• Rutherford então propôs um modelo no qual toda a carga positiva
dos átomos estaria concentrada numa pequena região do seu centro:
o núcleo.
Os elétrons, ficariam orbitando em torno deste núcleo: Modelo
“planetário”.
• Entretanto, estes elétrons em
órbita estariam acelerados
(aceleração centrípeta). Assim,
segundo o eletromagnetismo,
deveriam emitir energia na forma
de radiação eletromagnética, até
colapsarem para o núcleo!
33
O modelo atômico de Bohr (1913)
Motivação experimental:
Experimentos de espectroscopia
de átomos de H apresentavam
linhas (raias) espectrais discretas:
p. ex. Série de Balmer
Niels H. D. Bohr
(1885 -1962)
Prêmio Nobel de Física:
1922
410 434
486
656
(nm)
1
 1 1 
= RH  2  2 

2 n 
n=3, 4, 5, ...
RH =109737,3 cm-1
34
O modelo atômico de Bohr (1913)
Considerando o experimento de espalhamento de Rutherford e
as ideias de “quantização” e da existência dos fótons, Bohr
introduziu o seu modelo para o átomo de hidrogênio, baseado
em quatro postulados:
1. Um elétron se move em uma órbita circular em torno do
núcleo sob influência da atração coulombiana do núcleo,
(mecânica clássica).
2. O elétron só pode se mover em órbitas que apresentem
momentos angulares L “quantizados”:
L = n
n = 1,2 ,3 ,....
35
O modelo atômico de Bohr (1913)
3. O elétron fica em órbitas “estacionárias” e não emite
radiação eletromagnética. Portanto, a sua energia total E
permanece constante.
4. Radiação é emitida se um elétron, que se move inicialmente
numa órbita de energia Ea , muda para uma órbita de energia
menor Eb. A freqüência f da radiação emitida é dada por:
Ea  Eb
f =
h
Em outras palavras, na transição do estado a para o
estado b o átomo emite um fóton de frequência f.
36
O modelo atômico de Bohr (1913)
v
Considerando o núcleo em repouso, a força
elétrica no elétron é dada por
e
-e, m
2
1
F =
40 r 2
+e
Para uma órbita circular:
e
2
2
1
v
=m
2
40 r
r
Se
e
L = rmv
L = n
h 0 2
rn =
n
2
 me
2
n
v=
rm
Quantização das órbitas!
37
O modelo atômico de Bohr (1913)
Portanto, Bohr prevê que as órbitas têm raios:
h 0 2
rn =
n
2
 me
2
ou
rn = r0 n 2
h 0
r0 =
= 0,5291 Å (raio de Bohr)
2
 me
v
2
com
2
2
2


mv
e
e
Mas: E = K  U =
 = 
  
2
80 r
 40 r 
-e, m
+e
e2
1
v2
=m
2
40 r
r
Assim, a energia total das diferentes órbitas será dada por:
me 4 1
13,6
En =  2 2 2 =  2 eV
8 0 h n
n
38
O modelo atômico de Bohr (1913)
As freqüências emitidas nas transições seriam:
E n  E n´
me  1
1 
=
= 2 3 2  2
h
8 0 h  n n´ 
4
f nn'
1
n  n '
me4 1
En =  2 2 2
8 0 h n
me 4  1
1 
1 
 1
=  2 3  2  2  = RH  2  2 
8 0 h c  n
n´ 
n 
 n´
Portanto, Bohr prevê que:
me4
RH = 2 3  109737 cm 1 (constante de Rydberg)
8 0 h c
sendo um êxito para a sua teoria!
39
O modelo de Bohr explicou as raias espectrais conhecidas
para o átomo de hidrogênio e mostrou que deveriam existir
outras, fora do espectro visível.
Balmer
 
40
Resumo da aula:
•
Partícula confinada em um poço de potencial
infinito em uma dimensão (1D)  energias discretas;
•
Partícula confinada em um poço de potencial
finito em uma dimensão (1D)  energias discretas e contínuas;
•
Partícula confinada em um poço de potencial infinito
em três dimensões (3D)  energias discretas/ estados
degenerados;
• Átomo de Hidrogênio pré-Mecânica Quântica: Átomo de Bohr
com seus níveis de energias, descrição do espectro do H.
41
Na próxima aula...
Veremos o que a Mecânica Quântica
nos diz sobre o átomo de hidrogênio...
42