Sumário
Trabalho e energia
1 Trabalho e energia
1.1 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Tipos de energia . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Transformação e conservação da energia . . .
1.5 Unidades de energia e trabalho . . . . . . . .
1.6 Energia cinética . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Energia potencial gravitacional . . . . . . . .
1.8 Lei de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Energia potencial elástica . . . . . . . . . . .
1.10 Teorema trabalho-energia . . . . . . . . . . .
1.11 Forças conservativas e dissipativas . . . . . . .
1.12 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Exercícios adicionais sobre trabalho e energia .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
3
3
3
4
5
7
8
10
11
12
13
i
ii
Capı́tulo
1
Trabalho e energia
1.1
Trabalho
Nem sempre se consegue mover um objeto na direção e no sentido da força aplicada. Se
um caminhoneiro se esquece de puxar o freio de mão do caminhão e ele desce uma ladeira,
uma pessoa no meio da rua não conseguirá pará-lo aplicando uma força com os seus braços
no sentido contrário a menos que tenha superpoderes.
Quando uma força aplicada num objeto não pode movê-lo, diz-se que o trabalho realizado é nulo. Quando o objeto se move num sentido de até 90◦ com o sentido da aplicada,
diz-se que a força contribui para o movimento do objeto e o trabalho é positivo. Se esse
ângulo é maior que 90◦ , além da força aplicada não estar contribuindo para o movimento
do objeto, ela está “atrapalhando” o movimento, que está ocorrendo por inércia ou por
outras forças.
Todas essas situações são
W = ~F · ~d = Fd cos α
(1.1)
onde ~F é a força aplicada, ~d é o deslocamento e α é o ângulo entre os vetores ~F e ~d.
A unidade de trabalho no SI é o joule (J), que é definida por 1 J = N·m = kg·m2 /s2 .
1
Exercício 1.1
Quando se muda a força aplicada para abrir uma porta da direção perpendicular à superfície da porta para uma direção de 30◦ com a superfície da
porta, o trabalho necessário para fechar a porta a partir de uma determinada
posição
a aumenta para 1/sen30◦ do valor original.
b diminui em tan30◦ .
c permanece o mesmo.
d diminui para sen30◦ do valor original.
e aumenta em sen30◦ em relação ao valor original.
Exercício 1.2
Um vagão de mineração tem seu movimento restrito ao longo de um trilho.
Embora o trilho esteja sobre um solo inclinado a 30◦ , o vagão está inicialmente parado, pois um pedaço de madeira calçado numa das rodas o impede
de descer. Uma engenheira agrônoma amarra uma corda ao vagão e começa
a puxá-lo para a região mais elevada, através de um sistema de roldanas
que multiplica o efeito de sua força. Ela puxa o vagão até uma região mais
elevada, mas, a partir de um certo ponto, ferrugens no trilho causam atrito
que prendem as rodas do vagão e ela não mais consegue puxar o vagão, que
fica parado a partir de então. Durante todo o processo descrito, o trabalho
total exercido pela engenheira no vagão através da corda e das roldanas é
a positivo.
b nulo.
c nulo ou positivo, dependendo do ângulo não especificado.
d negativo ou positivo, dependendo do ângulo não especificado.
e negativo.
1.2
Energia
Como muitos conceitos físicos, “energia” é difícil de ser definida em palavras. Historicamente, vem do conceito de “força vital” (vis viva), e, cientificamente, unifica várias
grandezas calculadas de forma distinta em diversas áreas da Física. De forma simples
mas suficiente neste curso, definamos que energia é um tipo de grandeza conservada
em um sistema isolado. Em 1918, a física alemã Emmy Nöther publicou um teorema
2
que justifica a conservação da energia através de sua relação com a simetria temporal,
ou seja, o fato de que as leis da Física não se modificam com o passar do tempo. O
teorema de Nöther também relaciona a conservação de outras grandezas, como momento
linear e momento angular, com outras simetrias, como a simetria espacial e rotacional.
No entanto, este teorema é assunto de física avançada e não é estudado neste curso.
1.3
Tipos de energia
Existem vários tipos de energia, e a classificação depende do contexto. Por exemplo,
o que se chama energia eólica (do vento) num contexto pode ser considerado a energia
cinética das moléculas do ar em outro, o que se chama energia química num contexto
pode ser considerado energia potencial de ligação em outro e a energia térmica também
tem relação com a energia cinética de moléculas no nível microscópico. A classificação
depende da área de estudo, do grau de observação (microscópico ou macroscópico), da
ordem de grandeza considerada, etc. Quando se estuda Mecânica (uma parte da Física),
considera-se principalmente as energias apresentadas a seguir:
1.4
Transformação e conservação da energia
Se há tantos tipos tão diferentes de energia, por que são todas consideradas energia?
Por que não se dão nomes distintos a essas grandezas? A resposta é que um tipo de
energia pode ser transformada em outra, de modo que a quantidade total se conserva,
pelo que podemos concluir que elas são, na verdade, manifestações diferentes de um
mesmo princípio.
Quando se leva em conta todos os tipos de energia, tem-se que energia não pode ser
gerada ou perdida, apenas transformada. Quando se fala em geração de energia, fala-se
de transformação de um tipo de energia em outro, na verdade. A energia total de um
sistema isolado permanece constante. Num sistema não isolado, a variação da energia é
igual à energia transferida do sistema ou para o sistema.
1.5
Unidades de energia e trabalho
Trabalho e energia possuem as mesmas unidades. No SI, usa-se o joule (J). A caloria (cal)
é uma unidade originariamente utilizada para medir calor, que hoje sabe-se ser energia
térmica transferida, e foi definida como a quantidade de calor necessária para elevar a
temperatura de 1 g de água em 1 ◦ C. Atualmente, usa-se muito a caloria quando se fala
de energia alimentar, embora frequentemente o que se chama “caloria” nesse contexto é
de fato a quilocaloria (kcal), mil vezes a caloria. O quilowatt-hora (kWh) é uma outra
unidade de energia (ou de trabalho), muito conhecida por ser utilizada na medição do
consumo de energia de residências.
3
Unidade
joule
caloria
quilowatt-hora
Símbolo
J
cal
kWh
Equivalência
N·m = kg·m2 /s2
4, 18 J
103 W·h
Tabela 1.1: Unidades comuns de energia.
Exercício 1.3
Expresse a energia de 2000 kcal (duas mil quilocalorias) em joules e em
quilowatts-hora.
1.6
Energia cinética
Energia cinética é a energia associada ao movimento de um corpo e é definida como
1
K = mv2 ,
2
(1.2)
onde m é a massa e v é a velocidade do objeto (em módulo), considerado uma partícula
pontual neste contexto.
4
Exercício 1.4
Calcule a energia cinética de um carro de massa igual a 1000 kg movendo-se
a 20 km/h, 40 km/h, 80 km/h, 100 km/h e 120 km/h. Esboce um gráfico.
1.7
Energia potencial gravitacional
Qualquer energia associada ao poder latente de geração de movimento é denominada
energia potencial. A energia potencial gravitacional está associada ao poder latente que
a gravidade tem de gerar movimento de um corpo em direção ao outro. Um corpo seguro
a uma certa altura do solo cairá quando for solto, adquirindo uma certa velocidade.
5
A energia associada a esse potencial de movimento causado pela gravidade é a energia
potencial gravitacional, definida como
Ug = mgh,
(1.3)
onde m é a massa, g é a aceleração da gravidade e h é a altura do objeto em relação ao
solo ou a outro nível tomado como referência. A aceleração da gravidade na Terra é igual
a 9, 8 m/s2 , variando ligeiramente com a latitude, devido à rotação, e com a distância ao
centro da Terra, que varia devido à sua forma irregular.
6
Exercício 1.5
Se um corpo de 60 kg for solto de uma altura de 5 m, com que velocidade
chegará ao chão, se pudermos desprezar a resistência do ar?
1.8
Lei de Hooke
Quando se estica uma mola e depois se a solta, ela deve voltar a sua configuração original.
Se ela não voltar, diz-se popularmente que foi “relaxada”. Em linguagem científica, diz-se
que ela está no regime elástico quando retorna ao estado original e no regime plástico
quando a deformação não é naturalmente revertida.
7
O mesmo pode ser dito de uma superfície qualquer. Considere a superfície metálica
de um automóvel. Se uma força pouco intensa for aplicada a ela, a superfície voltará ao
estado original, mas, se a força tiver uma intensidade acima de um certo valor, o automóvel
ficará “amassado”. Esses também são os regimes elástico e plástico da superfície.
O comprimento pelo qual se deforma uma mola ou uma superfície na direção perpendicular a ela é uma grandeza ao qual se dá o nome de deformação linear. No regime
elástico, a deformação linear é proporcional à intensidade da força aplicada, ou seja,
~F = k~x,
(1.4)
onde ~F é o vetor força, k é a constante elástica e ~x é o vetor deformação linear. Essa
é a chamada lei de Hooke.
Quando se trata de uma mola, a constante elástica é também comumemente chamada
de “constante de mola”. Seu valor é próprio de cada mola (ou superfície) específica, e
quando maior o seu valor, maior é a resistência à deformação e a tendência de voltar ao
estado anterior quando a deformação é retirada.
1.9
Energia potencial elástica
No regime elástico, a energia associada à deformação de uma mola ou superfície é
1
Uk = kx2 ,
2
onde k é a constante elástica e x é a deformação linear (em módulo).
8
(1.5)
Exercício 1.6
Um objeto de 4, 0 kg colide com uma mola com velocidade de 10 cm/s. Se essa
mola tem uma constante elástica de 36, 86 N/cm, em quantos centímetros a
mola se contrairá se toda a energia cinética do objeto for transformada em
energia potencial elástica da mola.
9
1.10
Teorema trabalho-energia
Define-se como energia mecânica a soma das energias cinética e potencial, o que significa
que ela se associa tanto a movimento efetivo quanto a potencial de movimento. Pode-se
expressá-la da seguinte forma:
E = K + U,
(1.6)
onde K é a energia cinética e U é a energia potencial. O valor de U é a soma de todas
as energias potenciais consideradas no problema, como, por exemplo, energia potencial
gravitacional, energia potencial elástica e energia potencial elétrica.
O teorema trabalho-energia estabelece que o trabalho total realizado sobre um
corpo num determinado período é igual à sua variação de energia mecânica. Isso é expresso
matematicamente da seguinte forma:
w = ∆E,
onde W é o trabalho total e ∆E é a variação da energia mecânica.
10
(1.7)
Exercício 1.7
Se um jogador de hóquei imprimir uma força de 50 N a um disco de massa
100 g ao longo de um metro e, por alguma restrição ao movimento, o disco
se mover de modo que o seu deslocamento forme um ângulo α com essa
força, qual será a velocidade que o disco adquirirá, se estava inicialmente em
repouso? Desconsidere atrito e resistência do ar.
1.11
Forças conservativas e dissipativas
São consideradas conservativas as forças que não alteram a energia mecânica de um
sistema. Um exemplo de força conservativa é a força da gravidade, que apenas transforma
energia potencial gravitacional em energia cinética. Para cada tipo de energia potencial,
existe uma força conservativa correspondente.
Por outro lado, forças dissipativas são aquelas que transformam a energia mecânica de
um sistema em outros tipos de energia. A resistência do ar, a força de atrito e a força de
viscosidade são exemplos de forças dissipativas. Essas forças são assim chamadas porque
dissipam energia mecânica, ou seja, faz com que ela seja perdida de maneira irreversível.
Se uma bola é solta de uma certa altura e colide elasticamente com o chão, ela volta
à mesma altura. Nesse processo, sua energia potencial gravitacional foi transformada em
energia cinética até o momento da colisão e, depois dela, a energia cinética foi transfor11
mada em energia potencial gravitacional novamente.
Durante a colisão elástica, as forças atuantes na bola também são conservativas: são
forças elásticas, associadas à energia potencial elástica. Toda a energia cinética da bola
é transformada em energia potencial elástica e depois em energia cinética novamente,
quando a bola volta no sentido oposto. Essa energia potencial elástica é armazenada na
superfície da bola que se deforma e depois volta à forma original.
Como o solo também pode ser deformável, energia potencial também pode ser armazenado nele. Por outro lado, energia também pode ser dissipada nela, através de vibrações
ou movimentos aleatórios gerados em seus átomos, respectivamente relacionados a ondas
sonoras se propagando em solo e ao aumento da temperatura. Além disso, energia pode
ser dissipada também no ar que circunda a colisão pelos mesmos fenômenos. Se houver quaisquer forças dissipativas atuando numa colisão, ela não poderá ser perfeitamente
elástica, sendo então considerada uma colisão inelástica.
1.12
Potência
É um fato conhecido pela maioria das pessoas que o consumo de energia de um aparelho
elétrico está relacionada à quantidade de watts dele. Essa quantidade medida em watts é
a potência, que mede a quantidade de energia consumida por unidade de tempo.
Naturalmente, não se pode dizer o quanto uma lâmpada gastará de energia ao fabricála porque isso dependerá da intensidade com que ela será utilizada. Tudo o que se pode
medir é a sua potência. O watt é uma unidade do SI cujo símbolo é W e que equivale a
um joule por segundo, ou seja, 1 W = 1 J/s.
Devido a essa primazia que a potência de um aparelho eletrodoméstico tem sobre
sua energia gasta, a energia mensal consumida numa residência é geralmente medida
em quilowatts-hora (kWh) em vez de joules. Um quilowatt-hora é a energia que um
aparelho de potência igual a 1 W gasta em uma hora, ou seja, 1 kWh = (1 kW)×(1 h) =
(1000 W)×(1 h).
12
1.13
Exercícios adicionais sobre trabalho e energia
Exercício 1.8
Se uma lâmpada de 40 W ficar ligada durante 8 horas por dia durante 33
dias, qual será a energia total gasta?
Exercício 1.9
Quando uma criança está sobre uma cama elástica e, então, com um movimento gerado por reações em seus músculos, deforma a superfície elástica
sob seus pés e sobe até uma altura de meio metro, qual das sequências abaixo
expressa transformações de energia envolvidas nesse processo até o momento
descrito, na sequência temporal correta?
a térmica → sonora → energia qì.
b química → gravitacional → cinética → elástica.
c gravitacional → elástica → gravitacional → química.
d química → cinética → elástica → cinética → gravitacional.
e química → cinética → gravitacional → térmica → elétrica.
13
Exercício 1.10
Um trator Agrale M 93 tem 885 kg de massa. Considere que, durante o
transporte de um trator desses por meio de guindaste, ele seja levantado
a uma altura de 10 m em relação ao solo. Em relação a essa questão, e
considerando a aceleração da gravidade como 10 m/s2, responda aos itens
abaixo:
(a) Qual é a energia potencial gravitacional desse trator em relação ao solo,
depois de suspenso pelo guindaste?
(b) Se o trator for acidentalmente solto dessa altura, com que energia cinética
chegará ao solo? Desconsidere a resistência do ar.
(c) Que velocidade ele terá imediatamente antes de se chocar com o solo?
14
Exercício 1.11
Uma certa mola, de 1 m de comprimento, é fabricada para que suporte uma
deformação máxima de 20 cm, sem que saía do regime elástico. Quando se
suspende um objeto de 10 kg por essa mola, a sua deformação é de apenas
7 cm. A respeito dessa situação, e considerando a aceleração da gravidade
como 10 m/s2 , responda aos itens abaixo:
(a) Qual é a constante de mola dessa mola?
(b) Se um objeto de 20 kg for suspenso por essa mola, ela sairá do regime
elástico?
(c) Se um objeto de 30 kg for suspenso por essa mola, ela sairá do regime
elástico?
(d) Se essa mola estiver em posição vertical e um objeto de 10 kg for largado
de uma altura de 3 m acima dela, a mola sairá do regime elástico quando o
objeto cair sobre ela?
(e) Se essa mola estiver em posição horizontal e um objeto de 10 kg for
atirado com velocidade de 13 m/s2 em direção a ela, ela sairá do regime
elástico?
15
16
Referências Bibliográficas
17
18