UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL
PROGRAMA DE PÓS - GRADUAÇÃO EM FÍSICA
C ONEXÃO ENTRE AS R EDES C OMPLEXAS E A
E STATÍSTICA DE K ANIADAKIS E B USCA E FICIENTE
DAS P ROPRIEDADES C RÍTICAS DO P ROCESSO
E PIDÊMICO D IFUSIVO 1D
A NTONIO DE M ACEDO F ILHO
NATAL - RN
FEVEREIRO -2011
A NTONIO DE M ACEDO F ILHO
C ONEXÃO ENTRE AS R EDES C OMPLEXAS E A
E STATÍSTICA DE K ANIADAKIS E B USCA E FICIENTE
DAS P ROPRIEDADES C RÍTICAS DO P ROCESSO
E PIDÊMICO D IFUSIVO 1D
Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de doutor em Física.
Orientador: Prof. Dr. Luciano Rodrigues da Silva
NATAL - RN
FEVEREIRO -2011
Para Pessoas Especiais:
À minha família. Especial à milha esposa Josélia e a
meus filhos Guilherme Laurent e Rafael Lorenzo.
i
A GRADECIMENTOS
À Deus.
Ao meu orientador, professor Dr. Luciano Rodrigues da Silva, pela orientação
e pelo apoio logístico, intelectual e pelas discussões que tanto ajudaram durante todo o
período do doutorado.
Ao professor Dr. Umberto Laino Fulco pelos conselhos e ajuda em momentos
difíceis, incluse financeiros, e pela colaboração, em parte deste trabalho, juntamente com
o professor Dr. Marcelo Leite Lyra e o professor Dr. Gilberto Corso.
Ao professor Dr. Darlan de Araújo Moreira e ao professor Dr. Raimundo Silva
pelo zelo, pelas discussões, pelos conselhos e colaboração em um dos trabalhos que constituem esta tese.
Ao professor Dr. Eudenilson Lins de Albuquerque e ao professor Dr. Liacir dos
Santos Lucena pelo incentivo e contribuição intelectual que adquiri por meio de todas as
disciplinas ministradas por eles.
Ao Dr. Leonardo Mafra do Departamento de Ciência e Tecnologia da UFRN,
pelas discussões e conselhos durante o desenvolvimento desta tese.
Às professoras Maria Lúcia Aguiar Teixira, Silvia Carvalho e Íris Maria Rodrigues Melo pela confiança e incentivo que tanto contribuíram para a realização deste projeto.
À minha esposa Josélia, pelas orações, pela paciência e dedicação à família.
À minha mãe, Raimunda de Araújo Macedo, pelos cuidados maternos e pelos
incentivos.
Aos meus irmãos, Erasmo Carlos, Francisca e Espírito Santo, pela confiança.
Aos amigos do grupo de pesquisa Dr. Sharon Dantas, Dr. Paulo Cavalcante,
MSc. Antonio Marques, aos mestrandos Tiago Medeiros e Thiago Crisóstomo e, especialmente, ao Dr. Gabriel Mendes e o MSc. Maurício Lopes pelas discussões e ajudas
durante o desenvolvimento desta tese.
Aos amigos do Departamento de Física Teórica e Experimental - DFTE, especialmente aqueles que contribuíram com discussões e sugestões como a mestranda Eliângela
ii
Paulino, o MSc Marcelo Brito, o MSc Paulo Alisson, aos demais amigos que, de certa
forma, contribuíram direta ou indiretamente para a realização deste trabalho.
À todos os professores do DFTE, especialmente aqueles que contribuíram através
das disciplinas ministradas por eles.
À todos os funcionários deste departamento, especialmente à Celina Pinheiro e à
Adeilda Maria, pelo zelo e seus serviços prestados.
À CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro.
iii
“A maior necessidade do mundo é de homens - homens que
se não comprem nem se vendam; (...) homens cuja consciência seja tão fiel ao dever como a bússola o é ao pólo; homens
que permaneçam firmes pelo que é reto, ainda que caiam os
céus.”
(Ellen G. White, Educação, pag 57.)
iv
R ESUMO
Neste trabalho, estudamos a conexão entre uma estatística não Gaussiana, a estatística de Kaniadakis, e as redes complexas. Nós mostramos que a distribuição de conectividades P (k), de uma rede livre de escala, pode ser determinada usando a maximização
da entropia de informação no contexto de estatísticas não Gaussianas. Como exemplo,
discutimos uma análise numérica baseada no modelo de crescimento com ligação preferencial e comparamos o comportamento numérico da distribuição de conectividade entre
as estatísticas de Kaniadakis e a de Tsallis. Analisamos, ainda, o processo de propagação
de epidemia em uma rede regular unidimensional. O sistema que compõe o modelo é
composto de espécies A (sadios) e espécies B (doentes) que se difundem, independentemente na rede, com taxas DA e DB e seguem a regra dinâmica probabilística A + B → 2B e
B → A. Este modelo, pertence à categoria de sistemas de não equilíbrio com um estado absorvente e uma transição de fase entre os estados ativo-inativo do sistema. Investigamos
o comportamento crítico, usando um algoritmo auto-adaptativo para encontrar pontos
críticos: o método de busca automática para pontos críticos (MBA). Comparamos nossos resultados com os correspondentes da literatura científica e encontramos que o MBA
determina, com sucesso, os expoentes críticos 1/ν e 1/zν em todos os casos DA = DB ,
DA < DB e DA > DB . As simulações mostraram que o processo epidêmico difusivo tem
os mesmos expoentes críticos encontrados no contexto da Teoria de Campo. Além disso,
encontramos que, ao contrário das predições de Grupo de Renormalização, o sistema não
mostra uma transição de fase descontínua para o regime DA > DB .
v
A BSTRACT
In this work we study a connection between a non-Gaussian statistics, the Kaniadakis statistics, and Complex Networks. We show that the degree distribution P (k) of
a scale free-network, can be calculated using a maximization of information entropy in
the context of non-gaussian statistics. As an example, a numerical analysis based on the
preferential attachment growth model is discussed, as well as a numerical behavior of
the Kaniadakis and Tsallis degree distribution is compared. We also analyze the diffusive
epidemic process (DEP ) on a regular lattice one-dimensional. The model is composed
of A (healthy) and B (sick) species that independently diffusive on lattice with diffusion
rates DA and DB for which the probabilistic dynamical rule A + B → 2B and B → A. This
model belongs to the category of non-equilibrium systems with an absorbing state and a
phase transition between active an inactive states. We investigate the critical behavior of
the DEP using an auto-adaptive algorithm to find critical points: the method of automatic
searching for critical points (MASCP). We compare our results with the literature and we
find that the MASCP successfully finds the critical exponents 1/ν and 1/zν in all the cases
DA = DB , DA < DB and DA > DB . The simulations show that the DEP has the same critical
exponents as are expected from field-theoretical arguments. Moreover, we find that, contrary to a renormalization group prediction, the system does not show a discontinuous
phase transition in the regime o DA > DB .
vi
LISTA DE FIGURAS
2.1
a) Representação das pontes de Königsberg. b) Grafo de Euler para o problema
das pontes de Königsberg. As pontes são representadas pelas ligações e as porções de terra pelos nós. Euler provou em 1935, que era impossível atravessar
as sete pontes, passando sobre cada uma delas uma única vez e retornar, em seguinda, ao ponto de partida. A figura 2.1(a) está disponível no endereço eletrônico
http://idm09.wordpress.com/2009/11/01/ its-a-small-world-after-all/. . . . . . .
6
2.2
Representação esquemática de uma rede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Respresentação esquemática da forma estrutural de algumas redes regulares. a)
Rede quadrada, b) Rede hexagonal e c) Rede triangular. Muitas dessas estruturas, são úteis na modelagem de muitos fenômenos da Natureza. Por exemplo,
propagação de informação, propagação de epidemia, etc. Figuras provenientes da
referência [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
8
a) Representação da rede de Bethe. Esse é um exemplo de uma rede tipo árvore.
b) Exemplo de uma rede com presença de circuito de ordem n = 3, representado
pelos nós em vermelho e pelas ligações em azul. Essa rede possui número de nós
N = 8 e número de ligações L = 8. Com esses dados, usando a relação I = L + 1 − N ,
podemos determinar o número de circuitos presentes na rede. Nesse caso, temos
I = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
9
Conectividades de entrada e saída, kin e kout , de um nó. A conectividade k =
kin + kout é número total de ligações do nó. Figura adaptada da referência [9]. . . . . 11
2.6
Vizinhança de i com zi = 6, ki = 5 e Ci (zi ) = 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
vii
2.7
a) Mapa dos Estados Unidos. Os estados de Nebraska e Kansas são os estados
de onde partiam as correspondências com destino a Massachusetts. A figura original está disponìvel em http://www.prodeathpenalty.com/UnitedStates.htm. b)
Como Stanley Milgram mapeou um conjunto de conhecidos nos Estados Unidos.
Algumas sequências de conexão foram quebradas. Figura adaptada da referência [8]. 15
2.8
Modelo de Gilbert de um grafo aleatório para N = 3 com todas as configurações
possíveis representadas. Para um grafo que contenha N nós e L ligações, podemos
expressar a probabilidade de ligação entre os pares por pL (1 − p)M −L , onde M =
N (N −1)/2 é o número máximo de ligações. As figuras (b),(d) e (f), e (c), (e) e (g) são
isomórfas, isto é, uma configuração pode ser transformada em outra re-rotulando
seus nós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.9
Grafo aleatório de Erdös-Rényi de 3 nós e 1 ligação, ou seja, GN =3,L=1 . Todas os
seis grafos têm o mesmo peso estatístico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.10 Distribuição de conectividade do modelo de Erdös-Rényi para N = 104 , p = 0.0006
(círculo), p = 0.001 (quadrado) e p = 0.0015 (diamante). Figura retirada da referência [48]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.11 Comparação entre os menores caminhos médios de redes reais (símbolos) e gráfos
aleatórias. A linha tracejada representa a previsão da equação (2.6). Figura retirada
da referência [10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.12 Comparação entre os coeficientes de agregação de redes reais e gráfos aleatórios. A
linha tracejada representa a previsão da equação (2.7). Figura retirada da referência
[10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.13 A figura mostra o modelo de Watts-Strogatz para três valores de p. Inicialmente temos uma rede regular, p = 0, com alto coeficiente de agregação. Em seguida, temos
uma rede formada a partir de um valor intermediário de p com característica de
mundo pequeno. Esta característica é em função das distâncias pequenas entre os
nós e do alto coeficiente de agregação. A rede mais à direita é uma rede totalmente
aleatória, p = 1, onde todas as ligações foram aleatoriamente reconectadas. Neste
exemplo, temos uma rede com N = 20 nós e k = 4. Figura retirada da referência [49]. 24
viii
2.14 A figura representa o coeficiente de agregação C(p) e o menor caminho médio l(p)
para o modelo de Watts-Strogatz, em um mesmo gráfico, ambos normalizados por
C(0) e l(0), respectivamente. Notemos o rápido decaimento de l(p) e a constância
de C(p) para pequenos valores de p, caracterizando o efeito de mundo pequeno
na rede. Figura retirada da referência [49]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.15 a) Rede das ligações aéreas entre cidades dos Estados Unidos (rede livre de escala), com os pólos representados pelos símbolos em vermelho. b) Rede das autoestradas interestaduais dos Estados Unidos (rede aleatória clássica), modelado por
um grafo com uma distribuição de conectividade homogênea. c) Distribuição de
conectividade para a rede livre de escala, mostrando o decaimento lento, caracterizando o comportamento do tipo lei de potência. d) Gráfico da distribuição de conectividade em escala log-log, enfatizando o comportamento tipo lei de potência.
e) Distribuição de conectividade para a rede aleatória clássica, mostrando o comportamento da distribuição tipo Poisson com um pico bem definido em torno de
um valor característico. Figuras disponíveis em http://cftc.cii.fc.ul.pt/divulga.htm. 27
2.16 Crescimento de uma rede livre de escala. A rede inicia com dois nós, m0 = 2. Em
cada passo de tempo, adicionamos um nó que se liga preferencialmente a outros
dois nós pré-existentes de acordo com a equação 2.9. De acordo com a expressão
N = m0 + t em t = 7, temos N = 9 nós e 28 ligações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.17 a) Distribuição de conectividade para o modelo de Barabási e Albert, com N =
3 × 105 e m0 = m = 1 (círculos), m0 = m = 3 (quadrados), m0 = m = 5 (diamantes) e
m0 = m = 7 (triângulos). A inclinação da linha tracejada é γ = 2.9 (o valor para o
limite termodinâmico é γ = 3). A inserção no gráfico representa a distribuição de
conectividade re-escalada, P (k)/2m2 , para os mesmos valores de m. A inclinação
da linha tracejada é γ = 3. b) Distribuição de conectividade para m0 = m = 5 e redes
de tamanho N = 1 × 105 (círculos), N = 1.5 × 105 (quadrados) e N = 2 × 105 (diamantes). A inserção no gráfico mostra a evolução temporal para a conectividade
de dois nós adicionados à rede no tempo t1 = 5 e no tempo t2 = 95. Para este caso,
temos m0 = m = 5. A linha tracejada tem inclinação 0.5 como predito pela equação
(2.13). Figura retirada da referência [62]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
ix
2.18 Gráfico do menor caminho médio ¯l versus o tamanho da rede N para o modelo de
Barabási e Albert com ⟨k⟩ = 4. Este gráfico, compara o modelo de Barabási e Albert (círculos) com um grafo aleatório de mesmo tamanho e mesma conectividade
média (quadrados). A linha tracejada segue a equação (2.17). Figura retirada da
referência [10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.19 Gráfico do coeficiente de agregação C versus o tamanho da rede N para o modelo
e Barabási e Albert com ⟨k⟩ = 4. O gráfico compara o modelo de Barabási e Albert
(círculos) com um grafo aleatório (linha cheia) com Crand ≃ ⟨k⟩/N . Figura retirada
da referência [10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.20 a) Robustez a ataques acidentais aos nós em uma rede aleatória clássica b) Robustez a ataques acidentais aos nós em uma rede livre de escala. Para facilidade de
comparação foram removidos os mesmos nós em ambas as redes. c) Robustez a
ataques intencionais aos pólos de uma rede livre de escala. Figuras disponíveis em
http://cftc.cii.fc.ul.pt/divulga.htm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1
Esta figura mostra o comportamento da q-exponencial expq (−x) versus x para diversos valores de q. A cauda da distribuição segue um comportamento tipo lei
de potência. Quando q = 1, a distribuição recai na exponencial padrão. Figura
proveniente da referência [85]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2
Modelo de crescimento com ligação preferencial. A probabilidade de ligação é proporcional a 1/riαA , onde ri é a distância geográfica do nó que chega ao nó i do aglomerado pré-existente. a) Distribuição de conectividade para valores típicos de αG ,
mostrando que essa distribuição independe desse parâmetro. b) Distribuição de
conectividade para valores típicos de αA . Os pontos são os resultados simulacionais e as linhas sólidas os melhores ajustes com expq (−k/ηq ). Figuras provenientes
da referência [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3
As figuras a) e b) mostram a dependência de q e ηq com respeito a αA . Em a), q segue um comportamento exponecial dado por q = 1 + (1/3)exp(−0.526)αA (∀(αG )).
Quando αA = 0, temos q = 4/3, recuperando a classe de universalidade de Barabási
e Albert com γ = 3. Em b), ηq comporta-se linearmente com αA como mostra a
função ηA = 0.083 + 0.092αA (∀(αG )). Figuras provenientes da referência [18]. . . . . 48
x
3.4
a) κ-exponencial exp{κ} (−x) (linha cheia) versus x para κ = 0.3. Esta função é comparada com a exponencial ordinária (linha pontilhada) e com uma lei de potência
pura (linha tracejada). b) κ-exponencial exp{κ} (−x) versus x para diversos valores de κ. κ = 0 corresponde a exponencial ordinária (linha cheia). Este valor de κ
equivale a q = 1 na teoria proposta por Constatino Tsallis. Figuras provenientes da
referência [85]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5
Dinâmica de crescimento para o modelo geográfico de crescimento de rede com
ligação preferencial. Em t = 0, um nó é posto no plano em uma posição arbitrária.
Em t = 1, um novo nó é adicionado a uma distância r do nó incial, segundo a regra
probabilística PG (r) em conformidade com o parâmetro de crescimento αG ≥ 0.
Neste caso, o nó que chega se liga diretamente ao nó pré-existente. Em t = 2, um
terceiro nó é adicionado à rede, obedecendo à mesma regra de crescimento PG (r),
a uma distância r do centro de massa do aglomerado pré-existente. O novo nó
se liga a um dos nós do aglomerado de acordo com a regra de ligação pA , que
privilegia os nós mais próximos de acordo com o parâmetro αA ≥ 0. A partir de
t = 3, a dinâmica de crescimento da rede obedece a regra estabelecida em t = 2 até
o tamanho desejado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6
Redes típicas para αG = 1. a) αA = 0 (Barabási e Albert). b) αA = 6 (modelo
geográfico de crescimento com ligação preferencial). Os nós verdes são os mais
conectados. Figura proveniente da referência [18]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.7
Distribuição de conectividade para valores típicos de αG e αA = 2 para uma rede
de tamanho N = 103 sobre 2 × 103 amostras, mostrando que a distribuição de conectividade independe do parâmetro αG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.8
Distribuição de conectividade para valores típicos de αA e αG = 2 para uma rede
de tamanho N = 2 × 106 sobre 10 amostras, mostrando que a distribuição de conectividade depende do parâmetro αA . A medida que αA cresce a rede se torna
mais “democrática” de forma que o número de ligações entre os nós tendem para
um valor característico típico de uma rede aleatória. As linhas cheias e pontilhadas representam a comparação entre os melhores ajustes, utilizando Kaniadakis e
Tsallis, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
xi
3.9
Comparação entre os valores de κ = κ(αA ) e q = q(αA ), obtidos através dos melhores ajustes calculados na figura 3.6. A figura mostra que q = q(αA ) e κ = κ(αA ), são
ajustadas por curvas exponenciais dadas por κ = 0.410 − 0.134e0.200αA (linha preta)
e q = 0.675 + 0.671e−0.105αA (linha vermelha), respectivamente. . . . . . . . . . . . . . 60
3.10 Comparação entre os valores de ηκ = ηκ (αA ) e ηq = ηq (αA ), obtidos através dos
melhores ajustes calculados na figura 3.8. A figura mostra que ηκ = ηκ (αA ) e ηq =
ηq (αA ), são ajustadas por curvas lineares dadas por ηκ = 0.637 + 0.151αA (linha
preta) e ηq = 0.263 + 0.187αA (linha vermelha), respectivamente. . . . . . . . . . . . . 61
3.11 Representação ln{κ} -linear da distribuição de conectividade. Nessa representação,
usamos a relação ln{κ} (x) =
xκ −x−κ
2κ .
Para cada valor de αA , usamos seus respecti-
vos valores de κ. Nesse caso, a distribuição de conectividade se comporta linearmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.12 Representação ln{κ=−0.5} -linear da distribuição de conectividade. Nesse caso, considaramos a propriedade de simetria da κ-logaritma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1
Figura proveniente da referência [96] publicada, originalmente, por J. Perrin [97],
onde mostra a trajetória de uma partícula executando Movimento Browniano. Este
movimento é mais ativo para temperaturas elevadas ou fluidos pouco viscosos. . . 67
4.2
A figura mostra algumas curvas para a evolução temporal da distribuição n(x, t)
para o regime difusivo unidimensional, com N0 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3
Comportamento da velocidade quadrática média obtido a partir da equação (4.39).
Para tempos longos ⟨v 2 ⟩ − ⟨v⟩2 ≈ ⟨v⟩2 = Γ/2γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4
Comportamento do desvio quadrático médio obtido a partir da equação (4.49).
Para tempos longos, temos ⟨x2 ⟩ = 2Dt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5
Comportamento de ⟨x2 ⟩ ∼ tα , sendo o processo de difusão classificado como: subdifusivo para α < 1 , difusão usual para α = 1 e superdifusivo para α > 1. . . . . . . . 80
4.6
a) Esta figura mostra uma partícula em movimento browniano. A partícula faz
saltos aleatórios e geralmente pequenos. b) Esta figura mostra uma partícula que se
move segundo uma distribuição de Lèvy. A partícula faz saltos longos intercalados
com saltos mais curtos, de modo que uma região maior é coberta. . . . . . . . . . . . 81
xii
4.7
a) Diagrama p − T para um fluido simples, mostrando as curvas de coexistência
entre as fases sólidas, líquida e gasosa. b) Diagrama p − v para um fluido simples,
representando as isotermas na vizinhança do ponto crítico. . . . . . . . . . . . . . . 83
4.8
a). b)Representação esquemática do processo de contato em (1+1) dimensão. Os
sítios vazios (bolas vazias), são ocupadas com taxas λm, onde m é a fração de sítios
vizinhos ocupados e λ uma constante positiva. Os sitios ocupados (bolas cheias),
se tornam vazios a uma taxa igual a 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1
a) Representação pictórica de avalanches em uma pilha de areia. À medida que
colocamos areia acontecem avalanhces de todos os tamanhos. Figura disponível
em: http://irevolution.wordpress.com/category/early-warning/. b) Representação em lei de potência da distribuição dos tamanhos das avalanches simulado em
uma rede cúbica de tamanho 20 × 20 × 20. A linha pontilhada tem inclinação −1.37.
Figura proveniente da referência [132]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2
a) Representação pictórica da evolução do M BA em função das variáveis Xn e Yn ,
sendo Xn o parâmetro de controle e Yn o paramâmetro de ordem. b) Repersentação
numérica da evolução de Y no tempo, mostrando que o sistema evolui para o
estado estacionário onde permanece oscilando em torno da região crítica. . . . . . . 97
5.3
Densidade típica de indivíduos ativos (doentes) ρ(L, τ ) versus tempo, ilustrando
a evolução temporal do M BA para duas condições iniciais diferentes. Usamos,
nesta figura, τ = 10, L = 800, DA = 0.75 e DB = 0.25. O estado estacionário independe das condições iniciais, implicando uma transição contínua devido a ausência de histerese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4
Parâmetros de ordem ρB como função da densidade total de indivíduos ρ. Usamos, nesta figura, τ = 1000, L = 800, DA e DB como indicado na legenda do gráfico. Este conjunto de curvas indica, claramente, uma transição de fase contínua
em todos os regimes estudados. Em particular, destacamos a transição de fase
contínua para o caso DA > DB , que contradiz a predição da técnica de Grupo de
Renormalização de uma transição de fase de primeira ordem.
5.5
. . . . . . . . . . . . 105
Densidade típica de indivíduos ρ versus tempo, ilustrando a evolução temporal
do M BA para o estado estacionário. Usamos, nesta figura, τ igual a 10, 20, 40, 80,
160, 320, 640 e 1000, L = 800, DA = 0.75 e DB = 0.25. A média em cada valor de τ
fornece ρc (L, τ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
xiii
5.6
Densidade média de indivíduos ρc (L, τ ) versus o inverso do tempo de relaxação τ .
A extrapolação de cada curva fornece a pseudo-densidade crítica ρc (L). Usamos
L = 800 para este conjunto particular de curvas. Na legenda, indicamos os casos
analisados DA e DB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.7
A figura mostra a diferença [ρc (L)−ρc (L, τ )] versus 1/τ . O ajuste em lei de potência
fornece o expoente crítico 1/zν em concordância com a equação (5.5). A legenda
indica os símbolos correspondendo aos parâmetros analisados DA e DB . Ver figura
5.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.8
A figura mostra a pseudo-densidade crítica de indivíduos doentes ρc (L) versus o
inverso do tamanho do sistema L. A extrapolação de cada curva, fornece o ponto
crítico ρc . Indicamos na legenda os casos analisados DA e DB . . . . . . . . . . . . . . 109
5.9
A figura mostra a diferença [ρc (L) − ρc ] versus o inverso do tamanho do sistema.
O ajuste em lei de potência fornece o expoente crítico 1/ν de acordo com a equação
(5.6). Indicamos na legenda os símbolos correspondendo aos parâmetros analisados DA e DB . Ver figura 5.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.10 A figura mostra o colapso de dados para sistemas de tamanhos diferentes, mostrando o comportamento universal dos expoentes críticos 1/ν e z para os regimes
de difusão DA = 0.50 e DB = 0.25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.11 A figura mostra o colapso de dados para sistemas de tamanhos diferentes, caracterizando o comportamento universal dos expoentes críticos 1/ν e z para os regimes
de difusão DA = 0.75 e DB = 0.25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.12 A figura mostra o colapso de dados para sistemas de tamanhos diferentes, caracterizando o comportamento universal dos expoentes críticos 1/ν e z para os regimes
de difusão DA = 0.50 e DB = 0.50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.13 A figura mostra o colapso de dados para sistemas de tamanhos diferentes, caracterizando o comportamento universal dos expoentes críticos 1/ν e z para os regimes
de difusão DA = 0.250 e DB = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.14 A figura mostra o colapso de dados para sistemas de tamanhos diferentes, caracterizando o comportamento universal dos expoentes críticos 1/ν e z para os regimes
de difusão DA = 0.25 e DB = 0.50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
xiv
B.1 Representção do parâmetro de ordem P∞ como função da probabilidade de ocupação p em um modelo de percolação por sítio simulado em uma rede quadrada
de tamanhos L = 126, 256, 512 e 1024. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B.2 Colapso das curvas de tamanhos L = 126, 256, 512 e 1024, para o modelo de
percolação por sítio, mediante a escolha dos parâmetros pc , β e ν “corretos”. Este
colapso indica que o sistema se comporta como sendo infinito. Para este modelo os
parâmetros críticos corretos, que permitem o colapso das curvas, são pc = 0.5927,
β = 0.13888 e ν = 1.3333. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
xv
LISTA DE TABELAS
2.1
Dados de algumas redes reais, mostrando o tamanho da rede N , o número total
de ligações L, o coeficiente de agregação C, a comparação entre o coeficiente de
agregação da rede real e o de uma rede aleatória C/Cr , o comprimento do menor
caminho médio ¯l e a comparação entre o comprimento do menor caminho médio
da rede real e o de uma rede aleatória ¯l/¯lr . Tabela proveniente da referência [23]. . . 17
4.1
Esta tabela mostra os expoentes críticos experimentais α, β, γ e δ referentes ao
ponto crítico líquido-gás para algumas substâncias puras. Tabela proveniente da
referência [146]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2
A tabela resume alguns dos modelos pertencentes a processos de equilíbrio e fora
do equilíbrio. Esta tabela é proveniente da referência [147]. . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3
Esta tabela resume algumas estimativas dos expoentes críticos úteis para a classificação da percolação direcionada como uma classe universal. O expoentes foram
obtidos mediante técnicas analíticas, como Campo Médio (CM), métodos da Teoria
da Campo e técnicas simulacionais. Esta tabela com expentes críticos da percolação
direcionada é proveniente da referência [147]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1
Esta tabela resume os resultados obtidos em nosso tabalho. Os coeficientes de
difusão DA e DB , estão indicados na primeira coluna. A tabela apresenta os pontos
críticos ρC , e expoentes críticos 1/ν e 1/zν, para o processo epidêmico difusivo
unidimensional obtidos através do M BA. O conjunto de símbolos indicados na
tabela são usados nas figuras 5.4, 5.6 - 5.9, inclusive identificados por cores. . . . . . 101
xvi
5.2
Propriedades críticas do processo epidêmico difusivo unidimensional obtido através de Grupo de Renormalização (GR) e de simulações. . . . . . . . . . . . . . . . . 104
xvii
SUMÁRIO
1
Introdução
1
2
Conceitos Básicos e Características de Redes
5
2.1
Noções de redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Alguns conceitos básicos de redes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3
3
2.2.1
Conectividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2
Distribuição de conectividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3
Menor caminho médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.4
Coeficiente de agregação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Redes aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1
Redes reais e o efeito de mundo pequeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2
Grafos aleatórios clássicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3
Modelo de Watts-Strogatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.4
Redes livre de escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
36
3.1
Boltzmann e a noção probabilística da entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2
Entropia de Boltzmann-Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
xviii
4
3.3
Entropia não extensiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4
Entropia extensiva generalizada de Kaniadakis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5
Redes livres de escala e Estatística de Kaniadakis . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Distribuição de conectividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.2
Modelo geográfico de crescimento de rede com ligação preferencial . 53
3.5.3
Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
4.1
4.2
5
3.5.1
64
Processos difusivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.1
Processo de difusão usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.2
Processo de difusão anômala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Fenômenos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.1
Transições de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2
Transições de fase em sistemas de equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.3
Transiçõs de fase em sistemas fora do equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . 88
Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
94
5.1
Método de Busca Automática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2
Procura eficiente das propriedades críticas do processo epidêmico difusivo
1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6
5.2.1
O modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.2
Propriedades críticas do P ED 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Considerações Finais e Perspectivas
116
Referências bibliográficas
119
Apêndices
132
A Equação Mestra
132
xix
B Escala de Tamanho Finito
136
B.1 Análise de escala de tamanho finito para o modelo de Ising . . . . . . . . . . . 137
B.2 Análise de escala de tamanho finito para o modelo da Percolação . . . . . . . 140
xx
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
“A natureza é sábia e justa. O vento sacode as árvores,
move os galhos, para que todas as folhas tenham o seu
momento de ver o sol."
Humberto de Campos (1886 − 1934)
O estudo do comportamento macroscópico de muitos sistemas da Natureza, sem
recorrer a qualquer teoria sobre a estrutura da matéria, surgiu com a Termodinâmica [1].
Esta teoria teve início no final do século XVIII antes do desenvolvimento das teorias atômicas modernas. Ela é, atualmente, uma das teorias mais bem fundamentadas da Física
em termos experimentais. Um marco em seu desenvolvimento foi o estabelecimento de
que o calor é uma forma de energia e não um fluido, conhecido como calórico, como se
acreditava naquela época. E, com a credibilidade das teorias sobre a estrutura da matéria, as propriedades macroscópicas dos sistemas passaram a ser estudadas a partir das
suas propriedades microscópicas. Isto nos leva a estudar sistemas de muitas partículas,
como gases, por exemplo, proporcionando o surgimento de um novo ramo de pesquisa
em Física conhecido como Mecânica Estatística.
A Mecânica Estatística tem por objetivo investigar as propriedades macroscópicas
dos sistemas a partir das propriedades microscópicas dos seus constituintes elementares,
ou seja, estuda como suas configurações microscópicas variam no tempo e como atingem
1
Capítulo 1. Introdução
2
seus estados macroscópicos de equilíbrio, levando em conta os vínculos internos e externos aos quais são submetidos [2].
O início da Mecânica Estatística se deu com os notáveis trabalhos de Maxwell sobre a Lei das Distribuições das Velocidades Moleculares [3]; de Boltzmann com estudos sobre
a Hipótese Ergódica, Equação de Transporte, o Teorema H que caracteriza o estado de equilíbrio
como a situação mais provável e de Gibbs sobre a teoria dos Ensembles [4]. Com o advento
da Mecânica Estatística, o problema de muitos corpos, portanto, se estendeu à escalas microscópicas em sólidos, líquidos, plasmas e sistemas biológicos, exigindo a formulação de
novas técnicas de aproximação para tratar tais sistemas. Entre essas novas técnicas é possível citar algumas: Dinâmica Molecular, Funções de Green, Matriz de Transferência [5],
Método Monte Carlo, Teoria de Campo Médio, Grupo de Renormalização e Expansão em
Série.
Nas últimas décadas uma verdadeira revolução tem surgido na Ciência, atingindo
uma interdisciplinaridade entre campos aparentemente desconexos como Lingüística e
Física, Economia e Biologia, Informática e Química, Geologia e Ciências Humanas, Psicologia e Estatística, Ciência dos Materiais e Matemática, e muitos outros.
Fenômenos altamente complexos e díspares tais como avalanches, terremotos, as
batidas do coração, o funcionamento do cérebro, a organização das estruturas lingüísticas, o comportamento caótico das bolsas de valores, o dobramento das proteínas, as
informações codificadas no DN A, os processos de catálise, por exemplo, começam a ser
entendidos, de uma forma unificada e lógica dentro de um campo de pesquisa conhecido,
atualmente, como Sistemas Complexos [6].
Não existe ainda uma definição rigorosa, sem controvérsias, para decidir quando
um sistema é complexo ou não. O que existe são tentativas, ainda incipientes, de definir
uma medida da complexidade, por exemplo, em termos estatísticos. Entretanto, podem
ser identificados por suas características principais1 :
(i) Os Sistemas Complexos são constituídos por um grande número de elementos simples que interagem através de processos simples;
(ii) A sua evolução temporal é geralmente controlada por uma dinâmica não linear,
eventualmente induzindo a um comportamento caótico;
1
As característica mensionadas sobre Sistemas Complexos foram retiradas de notas de aula de aulas ministradas pelo professor
Liacir dos Santos Lucena, professor titular da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, na disciplina Sistemas Complexos. Estas
características são mencionadas ainda na referência [7].
Capítulo 1. Introdução
3
(iii) O sistema global (macroscópico) costuma apresentar um grande número de configurações metaestáveis (ou de tempo de vida relativamente longo) com propriedades
consideralvemente diferentes daquelas de seus elementos isolados;
(iv) Os Sistemas Complexos, frequentemente, apresentam padrões espaço-temporais fractais ou multifractais, que, às vezes, se constituem de modo auto-organizados;
(v) Aqueles fenômenos que nos sistemas tradicionais ("não complexos") são regidos por
leis exponenciais, nos Sistemas Complexos costumam apresentar leis de potências.
Do ponto de vista da Física Teórica, os formalismos e as ferramentas que mais se
adequam ao tratamento dos Sistemas Complexos são: a Teoria dos Sistemas Dinâmicos
Não lineares, a Mecânica Estatística (Teoria de Fenômenos Críticos, Termoestatística Não
Extensiva, Processos Fora do Equilíbrio), a Teoria de Fractais e Multifractais, além de uma
gama de métodos da Física Computacional (Simulação Monte Carlo, Dinâmica Molecular,
Autômatos Celulares, entre outros).
Neste tese, desenvolvemos dois temas de interesse físico pertencentes à categoria
dos Sistemas Complexos. O primeiro é relativo a redes complexas introduzido por Barabási e Albert no final da década de 1990. Para este caso, estudamos a relação entre redes
livres de escala e estatísticas não Gaussianas via distribuição de conectividades entre os
nós da rede. O segundo tema, refere-se a um processo de propagação de epidemia em
uma rede regular unidimensional. Tal sistema é constituído de partículas A (sadias) e
B (doentes), que podem difundir-se, livremente na rede, com taxas de difusão DA e DB .
O interesse, neste caso, é verificar as propriedades críticas para três regimes difusivos:
DA > DB , DA = DB e DA < DB , através de um novo método, o Método de Busca Automática , que conduz o sistema, espontaneamente, para a região crítica. Além do mais, temos
interesse em estudar uma conjectura de transição de fase de primeira ordem proposta por
Wijland et al para o caso DA > DB .
A tese está estruturada em seis capítulos. O primeiro capítulo apresenta uma
introução geral, fazendo um breve apanhado histórico da Física Conteporânea a partir do
surgimento da Termodinâmica no século XVIII.
O segundo capítulo trata de redes. Neste caso, apresentamos alguns dos pricipais
conceitos, como conectividade, menor caminho médio, diâmetro, entre outros. Incluimos,
neste capítulo, alguns dos principais modelos de redes estudado nas últimas décadas,
tentando seguir uma sequência cronológica.
Capítulo 1. Introdução
4
No terceiro capítulo, apresentamos nossa proposta de relacionar redes livres de
escala e a estatística não Gaussiana extensiva de Kaniadakis, a partir do conceito de entropia proposta por ele. Incluimos, ainda, outros conceitos importantes de entropia, como a
entropia de Boltzmann, e a de Boltzmann-Gibbs, além da entropia generalizada de Tsallis.
O quarto capítulo é relativo a processos difusivos, incluindo conceitos de difusão
usual e anômala e algumas ferramentas úteis usadas para tratar esse tipo de problema,
como a equação de Langevin e a equação de Fokker-Planck. Na outra parte deste capítulo, discutimos um pouco sobre fenômenos críticos e algumas das consequências físicas
relevantes que este tema proporciona aos fenômenos críticos fora do equilíbrio como, por
exemplo, a classificação de muitos desses sistemas em classes conhecidas como classes de
universalidade.
No quinto capítulo, apresentamos um modelo de propagação de empidemia e
propomos estudar suas propriedades críticas através do Método de Busca Automática.
E, por fim, no capítulo seis, apresentamos nossas considerações finais incluindo
algumas perspectivas com o objetivo de desevolver futuros trabalhos na área de conhecimento dos Sistema Complexos.
CAPÍTULO 2
CONCEITOS BÁSICOS E CARACTERÍSTICAS DE REDES
“Tudo está ligado a tudo"
Jorge Luis Borges (1899 − 1986)
Recentemente, têm surgido novas formas de compreender muitos sistemas presentes na Natureza ou criados artificialmente. Muitos deles fazem parte de nossa vida
quotidiana e outros não. Dentre esses sistemas nos interessamos por aqueles pertencentes
a categoria dos sistemas ditos complexos, pois costumam apresentar características como
criticalidade, fractalidade, leis de potência, entre outras propriedades de interesse físico.
Tais sistemas, usualmente, são modelados em redes que podem ser classificadas como
regulares ou aleatórias.
Nos últimos anos, um grande esforço tem sido dedicado ao estudo de redes. Em
especial às redes complexas. Neste capítulo, apresentamos uma revisão breve sobre algumas propriedades de interesse em redes e sobre alguns dos principais modelos presentes
na literatura, introduzindo as ideias necessárias ao capítulo 3, onde apresentaremos nossa
contribuição referente ao estudo das Redes Complexas e sua conexão com a Estatística
não Gaussiana extensiva de Kaniadakis.
5
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
2.1
6
Noções de redes
Redes estão em todo lugar. Por exemplo, a rede mundial de computadores (a Internet), a rede das páginas da Internet (a World Wide Web), redes de economia, redes de
transmissão de doenças, redes de terroristas, entre outras [8, 9]. Mas, o que exatamente
significa uma rede? Quais os diferentes tipos que existem? E como sua presença afeta a
forma como os eventos acontecem? Em anos recentes, um seleto grupo de cientistas incluindo físicos, matemáticos, cientistas da computação, sociólogos e biólogos [10, 11], têm
pensado sobre essas questões e dispensado esforços no sentido de compreender muitos
fenômenos da Natureza, relativos a essas áreas de estudo, a partir da teoria de redes.
O estudo de redes teve seu início por volta de 1735, quando o matemático Leonard Euler, em St Petersburg, resolveu o problema das pontes de Königsberg [8]. Esse
problema é famoso e é baseado na cidade de Königsberg que é cortada pelo rio Pregel.
Em Königsberg existem duas grandes ilhas, que na época, eram ligadas por sete pontes,
conforme está ilustrado na figura 2.1(a).
(a)
(b)
Figura 2.1: a) Representação das pontes de Königsberg. b) Grafo de Euler para o problema das
pontes de Königsberg. As pontes são representadas pelas ligações e as porções de terra pelos nós.
Euler provou em 1935, que era impossível atravessar as sete pontes, passando sobre cada uma
delas uma única vez e retornar, em seguinda, ao ponto de partida. A figura 2.1(a) está disponível
no endereço eletrônico http://idm09.wordpress.com/2009/11/01/ its-a-small-world-after-all/.
O problema das pontes de Königsberg, consistia em saber se era possível atravessar as sete pontes do rio Pregel, passando sobre cada uma delas uma só vez e regressar ao
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
7
ponto de partida. Para solucionar o problema Euler transformou as pontes em segmentos
(ligações ou arestas) e as porções de terra em pontos (nós ou vértices), como mostra a figura 2.1(b). Com esse artifício matemático ele provou que o problema era insolúvel1 [8,12].
Essa prova é, por muitos hoje, considerada o ponto de partida de um ramo da Matemática
conhecido como Teoria de Grafos2 . Um grafo é um objeto matemático consistindo de pontos, também chamados de nós ou vértices, e linhas, as quais conhecemos como ligações ou
arestas, que abstraem todos os detalhes originais do problema exceto sua conectividade.
O conceito de grafos, que aparentemente pode parecer simples, tem se tornado,
nos três últimos séculos, a principal linguagem matemática para descrever as propriedades de redes [13, 14], exatamente pela possibilidade de associação que se faz entre grafos
e redes. Dessa forma, temos na Teoria de Grafos, a estrutura natural para o tratamento
matemático exato para redes, uma vez que, formalmente, as redes podem ser representadas por grafos. Assim, em sua forma mais simples, uma rede é um conjunto discreto
de elementos, os nós, e um conjunto de conexões, as ligações, que ligam elementos entre
si [12] (ver figura 2.2). Os nós e suas ligações podem representar, por exemplo, pessoas
e suas relações, computadores e suas linhas de comunicação, artigos científicos e suas citações, ou um mecanismo que nos permita investigar transferência de informação [15], a
propagação de uma epidemia [16, 17], entre outros. As figuras 2.3(a), 2.3(b) e 2.3(c) apresentam estruturalmente algumas redes regulares. Posteriormente, apresentaremos outras
estruturas dentro do contexto de redes aleatórias.
Figura 2.2: Representação esquemática de uma rede.
1
Em 1873, Carl Hierhlzer provou que é possível atravessar as sete pontes, passando sobre cada uma delas uma única vez, se, e
somente se, todo nó em um grafo tem um número par de ligações [8].
2
O termo grafo é mais usado na literatura matemática.
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
(a)
(b)
8
(c)
Figura 2.3: Respresentação esquemática da forma estrutural de algumas redes regulares. a) Rede
quadrada, b) Rede hexagonal e c) Rede triangular. Muitas dessas estruturas, são úteis na modelagem de muitos fenômenos da Natureza. Por exemplo, propagação de informação, propagação de
epidemia, etc. Figuras provenientes da referência [18]
Nos grafos, diversas propriedades podem ser associadas aos nós e aos vétices.
Entre essas propriedades podemos citar o peso, o sentido das ligações e o tipo de nó. Um
bom exemplo, nesse caso, é pensar em modelar uma rede de roteadores de Internet. Dessa
forma, seria interessante armazenar a informação da largura da banda de conexão. Para
tanto, cada roteador pode ser representado por um nó e a conexão entre eles representada por uma ligação. A largura da banda de conexão pode ser representada pelo peso
associado a cada ligação [19].
As ligações, em um grafo, podem, ainda, ser classificadas como direcionadas ou
não-direcionadas. Grafos com ligações direcionadas são chamados dígrafos. Como exemplo desse tipo de grafo, temos a rede das citações científicas, onde cada trabalho é representado por um nó e as ligações direcionadas são o sentido da citação. Existem também
grafos com mais de dois tipos de nós. Por exemplo, uma rede representando a relação entre documentos e tópicos. Nesse caso, temos dois tipos de nós e as ligações ocorrem sempre entre nós distintos, ou seja, nunca haverá ligação documento-documento ou tópicotópico. Redes desse tipo são chamadas bipartidas [20].
Um caso de particular interesse sobre grafos, diz respeito às árvores. As árvores
são um tipo de grafo em que existe, exatamente, um único caminho ligando cada par de
nós (ver figura 2.4(a)). Se uma árvore não possui partes separadas, ela é dita conectada.
Uma árvore conectada que apresenta N nós possui L = N − 1 ligações. Uma característica
relativa à própria estrutura desse tipo de rede é que ela não possui circuito. Um circuito,
de ordem n, é definido como um caminho fechado com k ligações tais que cada duas
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
9
ligações consecutivas, e somente elas, têm um nó comum [10]. A figura 2.4(b), mostra o
exemplo de uma rede que apresenta um circuito de ordem n = 3. Em geral, o número I de
circuitos num grafo conectado, arbitrariamente, com ligações não direcionadas, relacionase com o número de ligações e nós pela expressão I = L + 1 − N . Essa é uma das expressões
básicas da Teoria de Grafos.
(a)
(b)
Figura 2.4: a) Representação da rede de Bethe. Esse é um exemplo de uma rede tipo árvore.
b) Exemplo de uma rede com presença de circuito de ordem n = 3, representado pelos nós em
vermelho e pelas ligações em azul. Essa rede possui número de nós N = 8 e número de ligações
L = 8. Com esses dados, usando a relação I = L + 1 − N , podemos determinar o número de circuitos
presentes na rede. Nesse caso, temos I = 1.
Um outro caso de interesse sobre grafos, com grande aplicabilidade em Física, é
o de rede aleatória (ou grafo aleatório). Em termos gerais, redes aleatórias podem ser definidas como sendo um arranjo desordenado de ligações [8, 9]. Entretanto, esse conceito
não é tão simples assim. Dessa forma, mesmo que ignoremos o direcionamento das ligações, uma rede aleatória aparentemente difere de grafos tipo árvore, grafo completo,
grafo pente, entre outros [8]. Em outras palavras, a noção de aleatoriedade não é aplicável
a um único grafo finito. Para a Física Estatística, uma rede aleatória não é um único grafo,
mas um ensemble estatístico. Esse ensemble é definido como o conjunto de seus membros,
grafos particulares, onde cada membro tem sua própria probabilidade de realização, ou
seja, seu peso estatístico. Por essa definição, uma dada rede aleatória é um grafo com uma
probabilidade, outro grafo com outra probabilidade, e assim por diante. Então, para obter
alguma quantidade, caracterizando uma rede aleatória, em princípio deveríamos colecionar as estatísticas completas para todos o membros do ensemble. Para obter o valor médio
dessa quantidade sobre todos os membros do ensemble, sobre todas as realizações, temos
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
10
que levar em conta seus pesos estatísticos.
De um ponto de vista físico, redes aleatórias poder ser divididas em duas classes: de equilíbrio (ou estática) ou de não equilíbrio (ou dinâmica). As redes aleatórias de
equilíbrio são aquelas onde i) o número de nós da rede é fixo e ii) os pares de nós, escolhidos aleatoriamente, são conectados via ligações não direcionadas. Um dos primeiros
exemplos desse tipo de rede (ou grafo), foi proposto por Erdös e Rényi em 1959 [21] e é
conhecido como grafo aleatório. Nesse modelo, os nós são estatisticamente independentes e equivalentes. No caso das redes aleatórias de não equilíbrio, iii) temos que, em cada
passo de tempo, um novo nó, ou conjunto de nós, é adicionado à rede e iv), simultaneamente, um par (ou alguns pares) de nós, escolhido aleatoriamente, é conectado por uma
ligação que podem ser direcionadas ou não [8, 9]. A característica desse tipo de rede é que
as ligações não são distribuídas uniformemente e, consequentemente, existem nós muito
mais conectados que outros. Nesse caso, os nós, preferencialmente, mais conectados são
os mais antigos.
Um outro fato interessante a ser mencionado é que se em algum momento a rede
para de crescer, ou seja, o número de nós deixam de ser adicionados, mas o número de
ligações aleatórias não param de crescer, a rede tende para uma situação de equilíbrio,
porém sem conseguir alcançá-lo. Isso é possível porque o número de ligações não desaparecem e, assim, a não homegeneidade da rede sobrevive. Um estado de equilíbrio pode
ser aproximado somente se as ligações mais antigas desapareçam de tempo em tempo.
2.2
Alguns conceitos básicos de redes
Nesta seção, apresentaremos alguns conceitos usuais em redes como conectividade, distribuição de conectividade, menor caminho médio e coeficiente de agregação.
2.2.1
Conectividade
A conectividade k de um nó é o número de ligações que ele apresenta. Por exem-
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
11
plo, observando o grafo de Euler, figura 2.1(b), é possível ver que este grafo possui três
nós de conectividade k = 3 e um nó de conectividade k = 5. Um nó muito conectado é
denominado de pólo ou hub e sua presença em uma rede tem grande influência em sua
estrutura.
Um outro conceito importante, para o caso de uma rede direcionada, é o de conectividade de entrada (kin ) e de saída (kout ). Se a conectividade é de entrada a ligação
aponta para o nó. Caso contrário, na connectividade de saída, a ligação sai do nó e aponta
para outro como ilustra a figura 2.5. A conectividade total (k) do nó, nesse caso, é a soma
das conectividades de entrada e saída, ou seja, k = kin + kout .
Figura 2.5: Conectividades de entrada e saída, kin e kout , de um nó. A conectividade k = kin + kout
é número total de ligações do nó. Figura adaptada da referência [9].
2.2.2
Distribuição de conectividade
A distribuição de conectividade P (k) é definida como o número de nós com k ligações e, quando normalizada, podemos definí-la como a probabilidade de um nó, escolhido
ao caso, ter exatamente k ligações [10]. Como observado nas figuras 2.2, 2.4(a) e 2.4(b), os
nós de uma rede, exceto para redes regulares, possuem números distintos de ligações.
Entretanto, dependendo do tipo da rede, embora os nós da rede possam possuir números
distintos de ligações, elas podem apresentar um k típico. Um exemplo, desse tipo de rede,
são as redes aleatórias de Erdös-Rényi. Nesse caso, a distribuição de conectividade decai
muito rapidamente com P (k) ∼ 1/k!, para k muito grande. Para essa distribuição, todos os
seus momentos, ∑k k n P (k)/ ∑k P (k), são finitos mesmo quando o tamanho da rede tende
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
12
para o infinito e, assim, o valor médio da conectividade, ⟨k⟩ = ∑k kP (k), é uma escala
típica para as conectividades [8, 9].
Em contraste, numerosas redes reais tais como Internet e rede celular, têm distribuições decaindo muito lentamente. Os momentos de alta ordem dessas distribuições
divergem quando fazemos a rede tender para o infinito. Esse decaimento lento é caracterizado por um decaimento tipo lei de potência expresso por P (k) ∼ k −γ . As distribuições
tipo lei de potência são chamadas livre de escala e as redes com tais distribuições são chamadas de Redes Complexas. Este termo indica a ausência de uma escala típica, ou seja,
sem um número característico de ligações, como apresentam as redes aleatórias [8, 9] ou
as redes regulares que possuem um k fixo.
2.2.3
Menor caminho médio
Em uma rede, a distância (ou menor caminho), di,j , entre dois nós i e j, é definida
como o menor número de ligações entre eles [8, 18]. O menor caminho médio l, é dado
pela média de di,j sobre todos os N (N − 1)/2 pares de nós, ou seja,
l=
2
∑ di,j .
N (N − 1) i≠j
(2.1)
Embora possa parecer uma ideia simples o menor caminho representa uma das
ideias básicas no estudo de Redes Complexas. Ele desempenha um papel importante no
transporte e comunicação dentro de uma rede. Suponha, por exemplo, que precisemos
enviar uma informação de um computador para outro através da Internet, excetuandose os possíveis ”congestionamentos”, o menor caminho oferecerá a forma mais eficiente
para o tráfego daquela informação, uma vez que, por ele, os dados serão transferidos
numa rapidez ótima.
Outro conceito que, de certa forma, associa-se com a noção de caminho em redes
é o de diâmetro lD [8, 22]. Este é definido como o caminho mais longo entre dois escolhidos aleatoriamente. A importância desta definição se dá, por exemplo, em situações em
que se pretende analisar a robustez da rede à ataques, sendo eles dirigidos ou aleatórios.
Alterações no valor do diâmetro são indicativos de quão forte é a estrutura topológica
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
13
da rede. Se o grafo que estamos considerando é desconectado (grafos com aglomerados
isolados), dizemos que seu diâmetro é infinito, pois não é possível conectar todos os pares
de nós nessa rede. Neste caso, é mais apropriado definir o diâmetro da rede como sendo
o diâmetro máximo de seus aglomerados.
2.2.4
Coeficiente de agregação
Uma propriedade interessante das redes tipo sociais é que formam grupos. Cada
membro do grupo pode estar vinculado pelas relações de amizades, profissionais, por
exemplo, de forma que cada membro conhece a maioria dos outros membros, existindo
uma tendência de agregação entre eles. Esta tendência de agregação, pode ser quantificada pelo coeficiente de agregação que mede, dentre o número total de vizinhos de um
nó, quantos desses são vizinhos entre si [8, 23]. Em outras palavras, se um nó i tem zi primeiros vizinhos com ki ligações entre eles, o coeficiente de agregação pode ser expresso
como:
Ci (zi ) =
ki
,
1
2 zi (zi − 1)
(2.2)
onde zi (zi − 1)/2 são todas as possíveis ligações entre os zi′ s primeiros vizinhos do nó i. A
grandeza Ci (zi ) assume valores no intervalo 0 ≤ Ci (zi ) ≤ 1. Quando Ci (zi ) = 0, entendemos que os vizinhos do nó i não se conhecem e, portanto, não estabelecem ligações entre
si. Entretanto, quando Ci (zi ) = 1 existem todas as ligações possíveis presentes entre todos
os primeiros vizinhos do nó i.
A figura 2.6, ilustra um exemplo simples. Nesse exemplo, temos um nó i (símbolo
vermelho) conectado a seis primeiros vizinhos (símbolos pretos). Queremos determinar,
para este sistema, o seu coeficiente de agregação. Para responder esta questão, devemos
verificar, incialmente, qual a vizinhança de i e quantos dos seus primeiros vizinhos estão
conectados entre si. Neste caso, podemos ver que cinco dos seis vizinhos dele estão conectados (ver linhas verdes), ou seja, ki = 5. Assim, usando a equação 2.2, é possível mostrar
que o coeficiente de agregação do nó i é Ci (zi ) = 13 .
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
14
Figura 2.6: Vizinhança de i com zi = 6, ki = 5 e Ci (zi ) = 31 .
Suponhamos que o sistema mostrado na figura 2.6 seja parte de uma rede muito
grande. O que determinamos, neste exemplo, foi apenas o coeficiente de agregação local.
Então, como determinar o coeficiente de agregação para toda rede? Neste caso, é conveniente determinarmos o coeficiente de agregação médio da rede que é obtido somando
sobre todos os Ci′ s e dividindo pelo número total de nós da rede, ou seja,
C=
1
ki
1
.
∑ Ci (zi ) = ∑ 1
N i
N i 2 zi (zi − 1)
(2.3)
O coeficiente de agregação médio, da rede, expressa a probabilidade de existência
de ligações entre os primeiros vizinhos de um dado nó escolhido aleatoriamente. Uma
outra característica do coeficiente de agregação é que ele permite encontrar circuitos de
comprimento três na rede, mostrando que, em redes com essa característica, os nós estão
correlacionados [8, 9].
2.3
Redes aleatórias
Na seção 2.1, definimos redes aleatórias e apresentamos algumas de suas caracte-
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
15
rísticas relevantes. Nesta seção, faremos uma discussão um pouco mais detalhada sobre
esse tipo de rede, apresentando alguns exemplos presentes na Natureza e alguns dos principais modelos de redes criados com o objetivo de compreender as redes reais. Entre esses
modelos destacaremos os modelos de Erdös-Rényi, Watts-Strogatz e Barabási-Albert.
2.3.1
Redes reais e o efeito de mundo pequeno
O efeito de mundo pequeno foi primeiro observado em uma rede social. Em 1967,
o psicólogo e sociólogo americano Stanley Milgram (1933−1984), realizou um experimento
para medir a distância entre pessoas em uma rede de conhecidos nos Estados Unidos. A
questão era: quantas intermediações entre laços sociais separam dois indivíduos escolhidos aleatoreamente? Para responder este questionamento, Milgram escolheu pessoas
pertencentes a localidades distintas e realizou seu experimento em duas tentativas. A
primeira, com pontos iniciando em Wichita, Kansas, e uma pessoa alvo em Sharon, Massachusetts. A segunda, com pontos iniciando em Omaha, Nebraska, e uma pessoa alvo
em Boston, Massachusetts [8, 22, 23] (ver figura 2.7).
(a)
(b)
Figura 2.7: a) Mapa dos Estados Unidos. Os estados de Nebraska e Kansas são os estados de
onde partiam as correspondências com destino a Massachusetts. A figura original está disponìvel
em http://www.prodeathpenalty.com/UnitedStates.htm. b) Como Stanley Milgram mapeou um
conjunto de conhecidos nos Estados Unidos. Algumas sequências de conexão foram quebradas.
Figura adaptada da referência [8].
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
16
O experimento consistia em enviar envolepes para residentes, escolhidos ao acaso,
em localidades distintas, como mencionado no parágrafo anterior. A pessoa escolhida,
que recebesse um envelope, teria que entregá-lo, diretamente ou indiretamente, para a
pessoa alvo. Cada envolepe continha uma carta com o resumo da proposta da pesquisa,
uma fotografia, nome, endereço e alguns dados da pessoa alvo, com as seguintes instruções:
• Se você conhece a pessoa alvo, envie diretamente o envelope para ela.
• Se você não conhece a pessoa alvo, não tente enviar diretamente o envolope para
ela. Repasse o envelope para um conhecido que, possivelmente, conheça a pessoa
alvo.
Uma fração essencial das correspondências enviadas por Milgram chegaram a seu
destino. Ele constatou que os partipantes de sua experiência, estavam separados, em média, por seis pessoas. Este surpreendente resultado, foi publicado na revista ”Psychology
Today“ e intitulado ”The small world problem“ (O problema de mundo pequeno) [24].
Deste problema, surgiu a famosa frase ”seis graus de separação“ que resultou em títulos
de filme e peça de teatro.
O conceito de mundo pequeno, descreve simplesmente o fato de que, mesmo uma
rede possuindo um elevado número de nós, existe um caminho relativamente curto entre
dois nós quaisquer. E a distância entre esses dois nós é definida como sendo o número de
ligações ao longo do menor caminho que os conecta. Muitas das redes reais presente na
Natureza, ou criadas artificialmente, apresentam este efeito de mundo pequeno. Como
exemplo, temos as redes formadas pelas ligações físicas entres os computadores (Internet), as redes das páginas da Internet (WWW), as redes de colaboração científica, as redes
linguísticas, entre outras.
A tabela 2.1, apresenta dados de algumas redes reais. Essas redes têm como principais propriedades, alto coeficiente de agregação e comprimento de menor caminho médio pequeno. Essas propriedades caracterizam o efeito de mundo pequeno.
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
17
Tabela 2.1: Dados de algumas redes reais, mostrando o tamanho da rede N , o número total de
ligações L, o coeficiente de agregação C, a comparação entre o coeficiente de agregação da rede
real e o de uma rede aleatória C/Cr , o comprimento do menor caminho médio ¯l e a comparação
entre o comprimento do menor caminho médio da rede real e o de uma rede aleatória ¯l/¯lr . Tabela
proveniente da referência [23].
1
Rede ou subgrafo
Mapa completodo domínio nd.edu da Web
2
WWW analisado pelo Altavista (1999)
3
(outro ajuste)
4
5
6
7
8
9
Mapa de sites de um domínio da WWW
Mapa com ligações sem direções da WWW
Um conjunto de home pages
Outro conjunto de home pages
Conjunto de home pages de uma universidade
Conjunto de home pages de cientistas
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Internet (1998)
Internet (1999)
Internet a nível de roteadores (1995)
Internet a nível de roteadores (2000)
Citações
(outro ajuste)
(outro ajuste)
Citações no Physical Review D
(outro ajuste)
(outro ajuste)
(outro ajuste)
Rede de colaboção de atores de cinema
(outro ajuste)
Rede de colaboração
Rede de co-autores
Rede de colaboração
Rede de colaboração
Rede de relações sexuais
Rede de reações metabólicas
29
30
31
32
33
34
35
36
37
Rede de interações entre proteínas
Cadeia alimentar
Cadeia alimentar do parque Silwood
"Java Developement Framework"
Jogo de computador
Circuitos eletrônicos
Rede de chamadas telefônicas
Rede de e-mail
Energy landscape network for a 14-atom cluster
2.3.2
N
325 729
L
1 469 680
2711 × 108
2130 × 109
260 × 10
153 127
4923
56880
5
270 × 106
1335 × 107
-
4389
6374
3888
150 000
783 339
8256
13 641
5012
200 000
6 716 198
24 296
351 872
212 250
61 085 555
7
1 388 989
56 627
70 975
209 293
2810
∼ 200 − 800
1028 × 10
4898 × 106
0.132 × 106
1214 × 106
∼ 600 − 3000
1870
470 000
154
1376
1989
2 × 104
47 × 106
5165
4196
2240
17 000 000
366
2174
4.78 × 103
4 × 104
8 × 107
6.57 × 104
87 219
γ
γi = 2.1,
γo = 2.45
γi = 2.1,
γo = 2.7
γi = 2.10,
γo = 2.82
γi = 194
γi = 2.05
γi = 2.05
γi = 2.63
γi = 2.66,
γo = 2.82
γi = 2.2
γi = 2.2
γi = 2.5
γi = 2.3
γi = 3
γi = 2.9
γi = 2.5
γi = 3
γi = 2.6
γi = 2.3
γi = 1.9
γi = 2.3
γi = 3.1
γi = 2.5
γi = 1.2
γi = 2.1
γi = 2.4
γi = 3.4
γi = 2.2,
γo = 2.2
γi = 2.5
γi = 2, 7
γi = 1
γi = 2.5
γi = 2.85
γi = 3
γi = 2.1
γi = 1.5
γi = 2.78
C
-
C/Cr
-
l
11.2
l/lr
-
Refs.
[47]
-
-
16
1
[25]
[26]
0,108
-
0.47.103
-
3.1
-
0.93
-
[27]
0.24
-
3.3 × 102
-
4
3.7
12.1
10
-
0.6
0.58
1.39
0.8
-
[28]
[?]
[28]
-
-
4.54
1.25
3
0,066
0.726
0.59
0.76
0.32
6 × 10
0.24 × 103
1.1 × 104
1.4 × 104
12
4.6
4.0
9.5
6
3.2
0.9
1.88
1.16
1.2
0.95
0.022
0.44
0.15
0.06
0.08
3 × 10−2
0.156
0.073
4.4
2.8 × 103
5
25
35
1.5 × 102
3.25 × 103
7.4
6.8
2.65
3.4
6.39
6.2
6
4.95
2.32
0.8
0.87
1.05
1.02
1.28
1
0.48
1.04
[29]
[30]
[56]
[29]
[30]
[56]
[31]
[47]
[32]
[33]
[33]
[34]
[34]
[55]
[35, 36]
[37, 38]
[39]
[40]
[40]
[41]
[42]
[43]
Grafos aleatórios clássicos
O primeiro exemplo de um grafo aleatório é o modelo GN,p 3 ou modelo de Gilbert
que definimos como segue. Dado um número N de nós rotulados, digamos i = 1, 2, 3, ..., N ,
temos que cada par de nós está presente com probabilidade p e ausente com probabilidade
1−p. Como exemplo, consideremos um grafo com N = 3. Neste caso, existem oito configurações possíveis com a probabilidade de realização mostrada na figura 2.8. Este modelo,
3
A notação GN,p indica que este é um ensemble estatistico de redes, G, com dois parâmetros fixos: Um dado número de nós em
cada membro do ensemble e uma dada probabilidade p que dois nós têm de se ligarem.
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
18
GN,p , foi introduzido pelos matemáticos Ray J. Solomonoff e Anatol Rapaport quando
publicaram uma série de artigos no ”Bulletin of Mathematical Biophysics“ entre 1951 e
1952 [44, 45]. Na época, esses artigos não atrairam a atenção de estudiosos do assunto,
permanecendo esquecido por algum tempo, sendo redescobertos pelo matemático E. N.
Gilbert apenas em 1959 [46].
(a) (1 − p)3 (b) p(1 − p)2 (c) p2 (1 − p) (d) p(1 − p)2
(e) p2 (1 − p) (f) p(1 − p)2 (g) p2 (1 − p)
(h) p3
Figura 2.8: Modelo de Gilbert de um grafo aleatório para N = 3 com todas as configurações
possíveis representadas. Para um grafo que contenha N nós e L ligações, podemos expressar a
probabilidade de ligação entre os pares por pL (1 − p)M −L , onde M = N (N − 1)/2 é o número
máximo de ligações. As figuras (b),(d) e (f), e (c), (e) e (g) são isomórfas, isto é, uma configuração
pode ser transformada em outra re-rotulando seus nós.
Na final dos anos 50, como mencionado na seção 2.1 , Paul Erdös e Alfréd Rényi
introduziram um outro modelo de grafos aleatórios. O grafo aleatório de Erdös-Rényi
é um ensemble estatístico cujos membros são todos os grafos possíveis rotulados de um
dado número N de nós e L ligações escolhidas ao acaso entre as N (N − 1)/2 conexões
possíveis. Ou seja, existem um total de CNL (N −1)/2 grafos possíveis, formando um espaço
de probabilidades onde cada grafo possui o mesmo peso estatístico. Este grafo aleatório
também é conhecido como modelo GN,L que significa que temos um ensemble estatístico,
G, de grafos com dois parâmetros fixos para cada membro do ensemble, ou seja, um dado
número N de nós e um dado número L de ligações. Este é um caso especial de uma construção geral extensivamente explorada em ciência de redes. A ideia consiste na construção
de um ensemble cujos membros são todos os grafos possíveis satisfazendo algumas restrições estabelecidas, onde todos os membros são realizados com probabilidades iguais. A
figura 2.9, mostra um exemplo de grafo de Erdös-Rényi de 3 nós e 1 ligação. Comparando
este ensemble com o G3,p , mostrado na figura 2.8, é possível ver que esses dois ensembles
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
19
são diferentes. Entretanto, esta diferença é desprezível para redes esparsas4 grandes.
Muitas vezes, como é conhecido da comunidade de físicos, analisar o ensemble
grande canônico é tecnicamente mais fácil que analisar o canônico. Partindo desse princípio, o modelo de Gilbert leva vantagem. Assim, o estudo de grafos aleatórios é mais
simples a partir desse modelo, permitindo a determinação de muitas das propriedades
dessas redes como a conectividade, a presença de circuitos, o diametro da rede, entre outros.
Figura 2.9: Grafo aleatório de Erdös-Rényi de 3 nós e 1 ligação, ou seja, GN =3,L=1 . Todas os seis
grafos têm o mesmo peso estatístico.
a) Distribuição de conectividade em um grafo aleatório clássico
Em um grafo aleatório, constituído de N nós, um nó particular pode se ligar aos
outros N − 1 nós presentes na rede com probabilidade p. Assim, esta combinação resulta
imediatamente na forma binomial da probabilidade que k destas N − 1 ligações estejam
presentes, ou seja,
P (k) = CNk −1 pk (1 − p)N −1−k .
(2.4)
P (k), neste caso, é a distribuição de um grafo finito. Aqui o primeiro termo do lado
direito da equação, CNk −1 , informa o número de maneiras diferentes em que as ligações
podem estar distribuídas. O segundo termo, pk , representa a probabilidade de existência
de k ligações e, por último, o termo (1 − p)N −1−k expressa a ausência das N − 1 − k ligações.
4
Uma rede esparsa é aquela que possui o número de ligações muito menor que o número de nós em um
grafo completo: L ≪ N 2 , ou seja, ⟨k⟩ ≪ N .
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
20
No limite quando a rede é muito grande (N → ∞) e ⟨k⟩ finito (p → const/N), a distribuição
binomial (2.4) tende para a distribuição de Poisson, ou seja,
P (k) = e−⟨k⟩ ⟨k⟩k
1
,
k!
(2.5)
com a conectividade média ⟨k⟩ = p(N − 1). Neste limite, os modelos de Gilbert e ErdösRényi são equivalentes e, então, a distribuição de Poisson é válida para todos os grafos
aleatórios clássicos [8]. É importante mencionar que esta distribuição decresce muito rapidamente para valores distantes da conectividade média, sendo o responsável por este
decaimento, o denominador fatorial. As redes geradas a partir deste modelo são, razoavelmente, homogêneas e apresentam escala característica governada, aproximadamente,
pela conectividade média ⟨k⟩, como mostra a figura 2.10.
Figura 2.10: Distribuição de conectividade do modelo de Erdös-Rényi para N = 104 , p = 0.0006
(círculo), p = 0.001 (quadrado) e p = 0.0015 (diamante). Figura retirada da referência [48].
b) Menor caminho em um grafo aleatório clássico
Em grafos aleatórios, o caminho entre dois nós escolhidos arbitrariamente, tende
a ser pequeno. A razão disso, é que um grafo aleatório é igualmente distribuído com
uma probabilidade definida previamente. Como exemplo, consideremos uma rede aleatória onde cada nó possui um número característico ⟨k⟩ de ligações (ou número médio
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
21
de vizinhos). Em uma rede desse tipo, partindo de um nó qualquer i, podemos alcançar
⟨k⟩ outros nós afastados a uma distância de um passo. De cada um desses nós, podemos
alcançar ⟨k⟩ outros nós e, assim por diante, de modo que após um número l de passos podemos alcançar ⟨k⟩l nós. Em outras palavras, temos que os ⟨k⟩l nós estão a uma distância
l do nó i. Se a rede for constituída por N nós, ⟨k⟩l não pode exceder o tamanho N , ou seja,
N ≃ ⟨k⟩l . Assim, para alcançar os N nós da rede são necessários, em média,
lrand ≃
ln(N )
ln(⟨k⟩)
(2.6)
passos. Este resultado, mostra que, a partir de um dado nó, é possível chegar a outro em
poucos passos. Dito de outra forma, temos que a distância média entre dois nós quaisquer é, consideravelmente, pequena mesmo para redes muito grandes. Este resultado
também serviu de base para explicar o problema dos seis graus de separação estudado
por Milgram em 1967 [24].
A figura 2.11, compara os menores caminhos médios obtidos para algumas redes
reais com a previsão teórica proposta pela equação (2.6) para gráfos aleatórias, apresentando boa concordância entre o resultado teórico e aqueles obtidos empiricamente.
Figura 2.11: Comparação entre os menores caminhos médios de redes reais (símbolos) e gráfos
aleatórias. A linha tracejada representa a previsão da equação (2.6). Figura retirada da referência
[10].
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
22
c) Circuitos em um grafo aleatório clássico
Circuitos são frequentes em grafos aleatórios clássicos. Mas, o que isto significa?
Em grafos dessa natureza, não é difícil determinar o coeficiente de agregação e, consequentemente, o número total de circuitos de ordem três presente na rede. Consideremos,
por exemplo, um grafo constituído de N nós com uma conectividade média dada por
⟨k⟩. Lembremos que o coeficiente de agregação de um nó é a probabilidade de dois vizinhos próximos, deste nó, estarem conectados entre si. Em nosso caso, esta probabilidade
é ⟨k⟩/(N − 1) ≅ ⟨k⟩/N para N grande. Com isso, temos que o coeficiente de agregação é
dado por
C=
⟨k⟩
,
N
(2.7)
sendo independente da conectividade do nó.
O número de circuitos de ordem três presentes em um gráfo aleatório clássico,
pode ser determinado em função da equação (2.7), ou seja,
n3 =
1 1
⟨k⟩3
[ N (⟨k 2 ⟩ − ⟨k⟩)] C =
.
3 2
6
(2.8)
O termo N (⟨k 2 ⟩ − ⟨k⟩)/2, representa o número total de ordem 3. Generalizando, podemos
determinar o número de circuitos de um comprimento arbitrário L através da seguinte
expressão: nL ≅ ⟨k⟩L /(2L). Esse número independe da ordem, desde que L seja menor
que o diâmetro da rede (da ordem de ln(N )).
Para um melhor entendimento, comparemos o coeficiente de uma rede real com
aquele predito pela equação (2.7). Por exemplo, até 2009, o mapa dos roteadores da Internet continha cerca de mais da metade de um milhão de nós (roteadores). O número
médio de conexões é da ordem de 10 e o coeficiente de agregação da ordem de 10−1 . Para
um gráfo aleatório clássico do mesmo tamanho e com a mesma conectividade média, o
coeficiente de agregação é da ordem de 10−5 que é cerca de quatro ordens de grandeza
menor que a Internet [8]. Através da figura 2.12, é possível ver que os valores dos coeficientes de agregação das redes reais e aleatórios são distintos. E que os gráfos aleatórias
possuem coeficiente muito pequeno quando se considera o mesmo número de nós para
ambas as redes. Ainda é possível observar que a razão C/⟨k⟩ não decai com 1/N . Em vez
disso, parece independer do tamanho de N .
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
23
Figura 2.12: Comparação entre os coeficientes de agregação de redes reais e gráfos aleatórios. A
linha tracejada representa a previsão da equação (2.7). Figura retirada da referência [10].
2.3.3
Modelo de Watts-Strogatz
Em um artigo publicado em 1998 [49], o sociólogo Duncan J. Watts e o matemático
Steven H. Strogatz propuseram um modelo de rede que faz interpolação entre uma rede
regular e uma rede aleatória. O objetivo era agregar, em um mesmo modelo, as características de mundo pequeno e o alto coeficiente de agregação presentes em muitas redes
reais. Para fazer esta interpolação, procedemos da seguinte maneira:
• Iniciamos com uma rede unidimensional constituída por N nós com k ligações por
nó, obedecendo condições de contorno periódica.
• Reconectamos cada ligação com probabilidade p. Nesta construção, não é permitida
qualquer auto-conexão ou ligações duplas (ver figura 2.13).
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
24
Figura 2.13: A figura mostra o modelo de Watts-Strogatz para três valores de p. Inicialmente
temos uma rede regular, p = 0, com alto coeficiente de agregação. Em seguida, temos uma rede
formada a partir de um valor intermediário de p com característica de mundo pequeno. Esta característica é em função das distâncias pequenas entre os nós e do alto coeficiente de agregação. A
rede mais à direita é uma rede totalmente aleatória, p = 1, onde todas as ligações foram aleatoriamente reconectadas. Neste exemplo, temos uma rede com N = 20 nós e k = 4. Figura retirada da
referência [49].
O modelo proposto por Watts e Strogatz tem origem em sistemas sociais, onde a
maioria das pessoas são amigas de seus vizinhos. Por exemplo, moradores de uma mesma
rua. Entretanto, todas essas pessoas têm amigos distantes que moram em um outro bairro,
outra cidade ou outro país. Esta situação pode ser, claramente, descrita por este modelo,
bastando para isto reescrever aleatoreamente as ligações de uma rede regular, gerando
ligações de longo alcance.
As propriedades estruturais deste modelo, são quantificadas através do comprimento do menor caminho médio l(p) e o coeficiente de agregação C(p), como ilustrado
na figura 2.14. Para uma rede regular, p = 0, temos l(0) ≃ N /2k ≫ 1 e C(0) ≃ 3/4. Notemos
que l se escala com o tamanho da rede e que o coeficiente de agregação é grande, como é
esperado para redes regulares. Por outro lado, para p = 1, o modelo de Watts e Strogatz
converge para uma rede aleatória onde l(1) ∼ ln(N )/ln(k) e C(1) ∼ k/N . Nesse caso, l
varia com o logaritmo do tamanho da rede e C decresce com o inverso de N .
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
25
Figura 2.14: A figura representa o coeficiente de agregação C(p) e o menor caminho médio l(p)
para o modelo de Watts-Strogatz, em um mesmo gráfico, ambos normalizados por C(0) e l(0),
respectivamente. Notemos o rápido decaimento de l(p) e a constância de C(p) para pequenos
valores de p, caracterizando o efeito de mundo pequeno na rede. Figura retirada da referência [49].
A análise desses casos limites, sugere que grande valor de C está sempre associado a grande valor de l e pequeno valor de C está associado a pequeno valor de l. Entretanto, Watts e Strogatz observaram que existe um regime de valores de p, onde coexistem
valores pequenos de l e valores grandes de C (ver figura 2.14). Esta região, apresenta uma
concordância com as características apresentadas pelas redes reais (ver tabela 2.1). Esta
região é considerada de mundo pequeno.
2.3.4
Redes livre de escala
Nesta seção, discutiremos alguns modelos de redes que crescem pela adição de
novos nós e de ligações feitas de forma que represente os processos de crescimento que
originam as redes reais. As ligações são realizadas de forma preferencial.
Os primeiros modelos de redes com as característicias citadas no parágrafo anterior, foram propostos, inicialmente, por estudisos como: G. U. Yule em 1925 [50], H. A.
Simon em em 1955 [51], D. S. Price em 1965 [52], entre outros. Todavia, é importante ressaltar que o modelo inicial que, possivelmente, é o primeiro exemplo do que conhecemos
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
26
hoje como rede livre de escala5 , foi aquele proposto por Price.
O modelo proposto por Price em 1965, se refere ao estudo das redes de citações
de artigos científicos. Ele encontrou que a distribuição do número de vezes que um artigo
é citado (entrada) e a distribuição do número de vezes que um artigo cita outros (saída),
seguem uma distribuição tipo lei de potência. Seu trabalho, baseou-se nas ideias de H. A.
Simon que mostrou que as leis de potência surgem quando estamos na presença do conceito ”rich get richer”. Em outras palavras, este conceito pode ser entendido, por exemplo, como: a quantidade de dinheiro que ganhamos depende da quantidade que já temos.
Este conceito é também conhecido como efeito cumulativo [53]. Price foi, provavelmente,
o primeiro a discutir, específicamente, a vantagem cumulativa no contexto das redes. A
sua ideia era que a taxa com que um artigo recebe novas citações deve ser proporcional
ao número das que já possui.
Em anos recentes, final da década de 1990, muitos trabalhos na literatura mostraram que muitas redes reais possuem uma distribuição de conectividade em forma de
lei de potência [10, 48, 54, 55]. As redes com essas características diferem bastante das redes aleatórias clássicas. As redes reais, caracterizam-se por apresentar alguns poucos nós
muito conectados enquanto a maioria dos demais possuem baixo índice de conexões. Esta
propriedade as torna significativamente heterogêneas, indicando que sua distribuição de
conectividade decai na forma de uma lei de potência. Por outro lado, as redes aleatórias
clássicas possuem, em média, a mesma conectividade para seus nós. São homogêneas e
seguem, para as conexões, uma distribuição de Poisson com pico bem definido em torno
da conectividade média, indicando uma escala característica para esse tipo rede (ver figura 2.15).
As diferenças estruturais entre esses dois tipos de redes, levaram os pesquisadores a questionarem sobre o mecanismo responsável pelo aparecimento de estruturas livre
de escala presentes em muitas redes reais. A resposta para esta questão, surgiu com os trabalhos de Barabási et al [10, 47, 48]. Eles atentaram para detalhes essenciais que estavam
sendo negligenciados em trabalhos anteriores e consideraram, em seu modelo, o crescimento da rede e o fato de que as ligações entre seus nós ocorre de forma preferencial.
Desde então, muitos modelos têm sido propostos, visando retratar mais realisticamente
as redes reais. Para tanto, os novos modelos incluem diferentes variações na ligação preferencial como, por exemplo, envelhecimento dos nós [56], parâmetros de qualidade [57],
5
O termo livre de escala, se refere àquelas distribuições que não seguem uma escala típica. Essas distribuições são consideradas
tipo leis de potência.
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
(a)
(c)
27
(b)
(d)
(e)
Figura 2.15: a) Rede das ligações aéreas entre cidades dos Estados Unidos (rede livre de escala),
com os pólos representados pelos símbolos em vermelho. b) Rede das auto-estradas interestaduais dos Estados Unidos (rede aleatória clássica), modelado por um grafo com uma distribuição de
conectividade homogênea. c) Distribuição de conectividade para a rede livre de escala, mostrando
o decaimento lento, caracterizando o comportamento do tipo lei de potência. d) Gráfico da distribuição de conectividade em escala log-log, enfatizando o comportamento tipo lei de potência.
e) Distribuição de conectividade para a rede aleatória clássica, mostrando o comportamento da
distribuição tipo Poisson com um pico bem definido em torno de um valor característico. Figuras
disponíveis em http://cftc.cii.fc.ul.pt/divulga.htm.
parâmetros de afinidade [22, 23, 58], distância geométrica [59], entre outros.
a) Modelo de Barabási e Albert
Em 1999, Barabási e Albert, publicaram um artigo com o intuito de abordar o
problema das redes de ”cauda pesada“6 (heavy-tailed) [47]. Neste trabalho, eles apresentaram um modelo de crescimento muito simples, objetivando explicar a arquitetura livre
de escala presentes em redes do mundo real. O modelo proposto por eles consiste numa
6
Em redes desse tipo, a distribuição de conectividade varia de forma lenta com o aumento da conectividade. As suas propriedades
são distintas das caracterizadas por distribuições do tipo Poisson. Em geral, nestes casos, os estudiosos desse assunto tentam interpolar
as distribuições empíricas da conectividade por dependências específicas tipo lei de potência [60]. Esta característica está presente em
muitas das redes reais.
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
28
redescoberta do modelo proposto por Price em 1965. A ideia era crescer uma rede, adicionando, preferencialmente, as novas conexões aos nós mais conectados para explicar o
efeito ”rich get richer“. Este modelo, é conhecido por modelo com ligação preferencial.
i) Descrição do modelo
O modelo proposto por Barabási e Albert, é uma rede recursiva não direcionada
que juntamente com os ingredientes crescimento e ligação preferencial pode ser definida
como segue. O crescimento da rede inicia a partir de uma dada configuração de nós e
ligações que não é importante para a estrutura da rede quando esta já está grande. Assim,
em cada passo de tempo
1. adicionamos um novo nó à rede contendo m0 ≥ 1 nós e
2. ligamos este novo nó a m ≤ m0 nós escolhidos preferencialmente. Cada um desses m
nós é escolhido com uma probabilidade proporcional à sua conectividade, ou seja,
Π(ki ) =
ki
.
∑j kj
(2.9)
O índice i representa o i-ésimo nó e ki a sua conectividade.
3. repetimos os passos anteriores até o tamanho desejado e após t passos de tempo,
teremos N = m0 + t nós e 2mt ligações (ver figura 2.16).
A combinação de crescimento e ligação preferencial, como observado na figura
2.16, resulta numa dinâmica interessante para a conectividade individual dos nós. Alguns
dos nós, que foram incorporados à rede logo nos primeiros estágios do seu desenvolvimento, têm maiores probabilidades de serem os mais conectados, dado que eles têm um
tempo maior para adquirir ligações. Esses nós são os responsáveis pelos surgimento de
pólos7 à medida que as ligações vão sendo distribuídas por causa da adição de novos nós
na rede.
7
Pólos são aqueles nós altamente conectados que surgem em função do crescimento da rede por causa da adição de novos nós.
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
29
(a) t = 0
(b) t = 1
(c) t = 2
(d) t = 3
(e) t = 4
(f) t = 5
(g) t = 6
(h) t = 7
Figura 2.16: Crescimento de uma rede livre de escala. A rede inicia com dois nós, m0 = 2. Em cada
passo de tempo, adicionamos um nó que se liga preferencialmente a outros dois nós pré-existentes
de acordo com a equação 2.9. De acordo com a expressão N = m0 + t em t = 7, temos N = 9 nós e 28
ligações.
Os dois ingredientes, crescimento e ligação preferencial, desempenham um papel
fundamental no modelo de Barabási e Albert e são necessários para a ocorrência da lei de
potência que descreve o comportamento da distribuição de conectividade para esse modelo [10]. Entretanto, essa condição necessária, nem sempre é válida. Segundo a referência [76] é possível, para alguns modelos de rede livre de escala, obter um comportamento
lei de potência, levando em conta apenas o crescimento da rede sem ligação preferencial
ou ligação preferencial sem crescimento da rede.
ii) Algumas propriedades do modelo de Barabási e Albert
Assim como os modelos discutidos anteriormente, o modelo de Barabási e Albert apresenta algumas propriedades de interesse. Nesta seção, apresentaremos algumas
das propriedades discutidas na literatura, como a evolução da conectividade dos nós no
tempo, distância do menor caminho médio, o coeficiente de agregação e uma breve discussão sobre robustez deste modelo.
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
30
1. Evolução temporal da conectividade
Em um artigo publicado em 1999 [48], Barabási e colaboradores introduziram um
cálculo analítico para obter a dependência temporal da conectividade ki de um dado nó i
em uma rede livre de escala. Como já sabemos, a conectividade de um dado nó i cresce
com o tempo à medida que adicionamos nós à rede, e estes se conectam com i, obedecendo
a uma probabilidade dada pela equação (2.9). Admitindo que a conectividade ki é uma
variável real e contínua, a taxa de variação com que ki muda deve ser proporcional a Π(ki )
(ver equação 2.9). Consequentemente, ki satisfaz a seguinte equação [10]:
∂ki
ki
= mΠ(ki ) = m
.
∂t
∑j kj
(2.10)
Observando a regra de crescimento com ligação preferencial do modelo proposto
por Barabási e colaboradores, é possível ver que a soma no denominador da equação
(2.10), é sobre todos os nós existentes antes da adição do novo nó. Dessa forma, temos que
a soma sobre kj pode ser expressa pela equação:
∑ kj = 2mt − m,
(2.11)
j
que para t → ∞ pode ser re-escrita com ∑j kj = 2mt. Substituindo esse resultado na equação (2.10), temos
∂ki ki
= .
∂t 2t
(2.12)
A solução da equação (2.12), tomando a condição inicial ki (ti ) = m, pois cada nó novo
possui m ligações, é dada por
t β
ki (t) = m ( ) ,
ti
(2.13)
onde β = 12 . Este resultado, mostra que a conectividade de cada nó, evolui no tempo da
mesma forma e segue uma lei de potência com expoente bem definido, como pode ser
visto na inserção da figura 2.17(b).
A teoria desenvolvida por Barabási e colaboradores também calcula, analiticamente, a distribuição de conectividade P (k), que é dada pela seguinte expressão:
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
31
1
onde
∂p[ki (t) < k] 2m β t 1
P (k) =
=
,
∂k
m0 + t k β1 +1
(2.14)
1
1 ⎤
⎡
⎢
2m β t
2m β t ⎥⎥
⎢
.
p[ki (t) < k] = p ⎢t1 >
1
⎥=1− 1
⎥
⎢
β
β (m + t)
k
k
0
⎦
⎣
(2.15)
A equação (2.15), representa a probabilidade de um dado nó i ter conectividade ki (t) < k.
No limite quando t → ∞, esta equação pode ser expressa da seguinte forma:
1
P (k) ∼ 2m β k γ ,
com γ =
1
β
(2.16)
+ 1 = 3 independente de m, como mostra a inserção da figura 2.17(a) em compa-
ração com dados simulacionais.
(a)
(b)
Figura 2.17: a) Distribuição de conectividade para o modelo de Barabási e Albert, com N = 3×105 e
m0 = m = 1 (círculos), m0 = m = 3 (quadrados), m0 = m = 5 (diamantes) e m0 = m = 7 (triângulos). A
inclinação da linha tracejada é γ = 2.9 (o valor para o limite termodinâmico é γ = 3). A inserção no
gráfico representa a distribuição de conectividade re-escalada, P (k)/2m2 , para os mesmos valores
de m. A inclinação da linha tracejada é γ = 3. b) Distribuição de conectividade para m0 = m = 5
e redes de tamanho N = 1 × 105 (círculos), N = 1.5 × 105 (quadrados) e N = 2 × 105 (diamantes).
A inserção no gráfico mostra a evolução temporal para a conectividade de dois nós adicionados à
rede no tempo t1 = 5 e no tempo t2 = 95. Para este caso, temos m0 = m = 5. A linha tracejada tem
inclinação 0.5 como predito pela equação (2.13). Figura retirada da referência [62].
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
32
Em redes reais, observamos leis de potência em sistemas de diferentes tamanhos
e que independem do tempo. Dessa forma, é esperado que um modelo que descreva
tais sistemas tenha P (k) que também independa do tempo ou que seja do tamanho da
rede (N = m0 + t). Isto mostra que, apesar do crescimento contínuo, a rede atinge um estado estacionário, livre de escala, como previsto pela equação (2.16) e mostrado no gráfico
2.17(a).
2. Comprimento do menor caminho médio
O comprimento do menor caminho médio para o modelo de Barabási e Albert
cresce, aproximadamente, com o logaritmo de N dado pela seguinte expressão generalizada8 :
l = Aln(N − B) + C.
(2.17)
O fato do menor caminho médio crescer com o logaritmo de N expressa que este sistema
possui efeito de mundo pequeno.
A figura 2.18, compara o comprimento do menor caminho da rede de Barabási e
Albert com o de um grafo aleatório clássico. Para serem comparáveis, foram escolhidos
mesmos tamanhos de rede N e mesma conectividade média ⟨k⟩ = 4. Este gráfico, indica
que o tamanho do menor caminho médio, gerado pelo modelo de Barabási e Albert é
menor do que o de um grafo aleatório clássico para qualquer tamanho de rede. Isto mostra
que a rede de Barabási é mais coesa que um grafo aleatório.
8
Resultados analíticos, propostos por Bollobás e Riordan, indicam que existe uma correção para a dependência do logaritmo de N , onde a distância entre os nós cresce com o logaritmo de N da seguinte forma:
l ∼ ln(N )/lnln(N ) [63].
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
33
Figura 2.18: Gráfico do menor caminho médio ¯l versus o tamanho da rede N para o modelo de
Barabási e Albert com ⟨k⟩ = 4. Este gráfico, compara o modelo de Barabási e Albert (círculos)
com um grafo aleatório de mesmo tamanho e mesma conectividade média (quadrados). A linha
tracejada segue a equação (2.17). Figura retirada da referência [10].
3. Coeficiente de agregação
Nesta seção, continuamos comparando o modelo de Barabási e Albert com grafos
aleatórios clássicos. Para tanto, usamos a figura 2.19 que compara o coeficiente de agregação entre esses dois casos. Neste exemplo, são consideradas redes de diferentes tamanhos
N , mas mantida a mesma conectividade média ⟨k⟩ = 4 para os dois modelos. O coeficiente
de agregação para a rede livre de escala é cerca de cinco vezes maior que o de uma grafo
aleatório clássico. Entretanto, o coeficiente de agregação para o modelo de Barabási e Albert diminui lentamente com o tamanho da rede, seguindo uma lei de potência do tipo
C ∼ N −0.75 , enquanto que um grafo aleatório decai como C ≃ ⟨k⟩N −1 .
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
34
Figura 2.19: Gráfico do coeficiente de agregação C versus o tamanho da rede N para o modelo e
Barabási e Albert com ⟨k⟩ = 4. O gráfico compara o modelo de Barabási e Albert (círculos) com um
grafo aleatório (linha cheia) com Crand ≃ ⟨k⟩/N . Figura retirada da referência [10].
4. Robustez
A robustez de uma rede é a propriedade que ela tem de resistir a ataques, sejam
eles coordenados ou aleatórios. A figura 2.20 ilustra essa propriedade. A figura 2.20(a)
mostra uma rede tipo aleatória que sofre ataques aleatórios sobre seus nós. É possível
notar sua fragilidade e a facilidade com que a rede se fragmenta diante da diluição dos
nós. Este efeito ocorre por causa da própria estrutura homogênea da rede.
As redes livres de escala, por não possuírem uma escala típica, se comportam
diferentemente das redes aleatórias. A sua estrutura heterogênea permite que ela seja
robusta diante de ataques não coordenados, como mostra a figura 2.20(b). Entretanto,
esse tipo de rede se torna frágil se os ataques contra elas são direcionados a seus pólos. A
figura 2.20(c) mostra muito bem essa fragilidade. É possível ver que a rede se fragmenta
com muita facilidade nessas condições.
As redes livres de escala são, atualmente, objeto de estudos para muitos pesquisadores. A motivação é que essas redes são comuns na Natureza. Como exemplo, podemos citar as redes biológicas (redes celuares, redes ecológias), as redes de comunicação
(Internet, WWW), as redes dos aeroportos, entre outras (ver tabela 2.1 para mais alguns
exemplos) [10]. O interessante em compreender tais redes é que muitas delas necessitam
Capítulo 2. Conceitos Básicos e Características de Redes
35
ser protegidas contra ataques. Por exemplo, a rede mundial de computadores que pode,
com muita facilidade, espalhar vírus através de seus roteadores ou as principais redes de
aeroportos do mundo que podem sofrer ataques terrorístas, entre outros.
(a)
(b)
(c)
Figura 2.20: a) Robustez a ataques acidentais aos nós em uma rede aleatória clássica b) Robustez
a ataques acidentais aos nós em uma rede livre de escala. Para facilidade de comparação foram
removidos os mesmos nós em ambas as redes. c) Robustez a ataques intencionais aos pólos de
uma rede livre de escala. Figuras disponíveis em http://cftc.cii.fc.ul.pt/divulga.htm.
CAPÍTULO 3
REDES COMPLEXAS E ESTATÍSTICAS NÃO GAUSSIANAS
“A irreversibilidade é um problema puramente estatístico."
Jan Von Plato (1951)
A descrição de processos e fenômenos físicos da matéria macroscópica se deu
paralelamente ao desenvolvimento da formulação das leis básicas da Física. De fato, o
primeiro passo, nessa direção, ocorreu com a Teoria Cinética dos Gases, culminando com
os trabalhos de Maxwell e de Boltzmann no final do século XIX. Naquela época, algumas
questões fundamentais foram abordadas, entre as quais podemos citar: (i) a descrição microscópica de um sistema macroscópico, (ii) a probabilidade como conceito inerente aos
processos físicos, (iii) e a formulação de uma equação cinética com propriedade explícita
de irreversibilidade. No cerne dessas questões, está o conceito de entropia que surgiu primeiro em Termodinâmica na metade do século XIX, e constitui um conceito fundamental
para as bases da Mecânica Estatística.
No contexto da Termodinâmica, a função entropia é definida, para estados de
equilíbrio, através da equação ∆S = ∆Q/T , podendo ainda ser escrita em termos de parâmetros extensivos como energia interna U , volume V e número de partículas N de um
dado sistema composto1 e possui as seguintes propriedades [64]:
1
Um sistema composto é constituído por um conjunto de sistemas simples separados por paredes ou vínculos
36
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
37
• Para um sistema composto, a entropia, S, é aditiva sobre cada um dos seus componentes. Por exemplo, se o sistema for constituído por dois fluidos puros, temos
que
S(U1 , V1 , N1 , U2 , V2 , N2 ) = S1 (U1 , V1 , N1 ) + S2 (U2 , V2 , N2 ).
(3.1)
A adiditividade da entropia significa que S(U, V, N ) é uma função homogênea de
primeiro grau das suas variáveis, ou seja, S(λU, λV, λN ) = λS(U, V, N ) para qualquer
valor de λ. Por exemplo, para λ = 2, dobrando a energia, o volume e o número de de
partículas, a entropia também dobra.
• A entropia é uma função contínua, diferenciável e monotonicamente crescente da
energia.
• Na remoção de um vínculo interno, os parâmetros assumem valores que maximizam
a entropia. A entropia, como função dos parâmetros extensivos, constitui uma equação fundamental de um dado sistema e contém toda a informação termondinâmica
desse sistema.
Podemos considerar a formulação do conceito de entropia como uma das grandes
realizações da Ciência. Permitiu formar o corpo teórico da termodinâmica de equilíbrio e
de processos irreversíveis. Constitui a pedra fundamental da Mecânica Estatística e também exerce papel fundamental na Teoria de Informação. Entretanto, apesar de sua vasta
funcionalidade, é sabido que se o sistema apresenta interações de longo alcance ou se
apresenta correlações temporais de longa duração, o formalismo de Boltzmann-Gibbs é
inadequado para tratar tais sistemas. Por essa razão, algumas propostas de generalização
do conceito de entropia têm surgido nas últimas décadas. Mas o que dizer dessas generalizações? Será que essas novas entropias serviriam de base para a generalização de teorias
nas áreas de conhecimento que o conceito usual tem servido? Uma entropia generalizada
manteria as interpretações físicas que são atribuídas à entropia usual? Que fenômenos
não conseguem ser explicados com o formalismo atual? A Mecanica Estatística generalizada manteria seu caráter preditivo, ou seja, seria capaz de descrever comportamentos
macroscópicos usando apenas informações microscópicas? [65].
São muitas as questões e quase todas ainda estão em aberto. Esta tese não pretende respondê-las. Entretanto, discutiremos, nas seções seguintes, algumas questões que
já se encontram muito bem fundamenentadas, como Boltzmann-Gibbs e outras que ainda
tentam se estabelecer. Entre essas, apresentaremos a estatística não extensiva de Tsallis e a
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
38
estatística extensiva de Kaniadakis. No final do capítulo, seção 3.5, apresentaremos uma
nova proposta com o objetivo de relacionar a estatística de Kaniadakis e um novo ramo
de pesquisa em Física, conhecido como Redes Complexas.
3.1
Boltzmann e a noção probabilística da entropia
De acordo com a segunda lei da Termodinâmica, enunciada pelo físico alemão
Rudolf Clausius (1822 − 1888) em 1865, é possível mostrar que em uma transformação de
um estado inicial I para um estado final F , onde I e F são estados de equilíbrio, vale a
desigualdade [66–68]
SF − SI ≥ ∫
F
I
dQ
.
T
(3.2)
Para o caso particular de um sistema isolado, dQ = 0, temos SF ≥ SI . O que significa que,
para qualquer transformação que ocorre em um sistema isolado, a entropia do estado final
nunca é menor do que a entropia no estado inicial. A igualdade só existe se a transformação for reversível. No caso de uma transformação irreversível, ou seja, uma transformação
passando por estados de não equilíbrio, a entropia do estado final SF é sempre maior que
a entropia do estado inicial SI . Em outras palavras, a entropia S nunca decresce, atingindo
um máximo no estado final de equilíbrio.
Um fato interessante a respeito dos processos irreversíveis é que, ao contrário dos
processos reversíveis, sua descrição é inviável pela mecânica de Newton. Como exemplo,
consideremos a seguinte situação: imaginemos um recipiente dividido em duas partes
por uma parede impermeável. Em um dado instante é feito vácuo em uma de suas partes,
enquanto que na outra parte existe um gás em equilíbrio térmico. Ao ser retirada a parede,
o gás, que está em equilíbrio, difunde-se para a região de vácuo, atingindo um novo estado
de equilíbrio, após um tempo suficientemente longo. Através dessa experiência é possível
ver que esse processo é irreversível, pois não se conhece nenhuma experiência, desse tipo,
que ocorra o processo inverso, espontaneamente, retornando à situação inicial.
De um ponto de vista microscópico, a difusão do gás, nessa experiência, ocorre
por causa da colisão entre suas moléculas, levando o sistema a uma nova configuração
de equilíbrio. Poderíamos esperar que, pelo fato de as colisões entre as moléculas serem
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
39
regidas pela mecânica de Newton, ocorresse uma inversão da velocidade de todas as moléculas em suas novas posições e o gás retornasse à sua posição inicial. Embora, para a
Mecânica, esse princípio seja possível, essa situação é totalmente improvável. Mas, se os
processos irreversíveis não podem ser descritos pela Mecânica de que maneira podemos
descrevê-los?
O primeiro a tentar uma solução para esse problema foi Maxwell, quando apresentou, em 1867, uma ideia probabilística para a segunda lei da Termodinâmica. Ele imaginou um gás a uma temperatura fixa contido em um recipiente, contendo uma parede
divisória com uma janela e um ser2 (o demônio de Maxwell) capaz de controlar a passagem de partículas por ela, deixando passar apenas as partículas mais velozes. Depois de
um certo tempo, um lado do recipiente estaria mais quente que o outro, mostrando que o
fluxo de calor poderia ser em dois sentidos, à escolha do demônio, e não em apenas um,
conforme indicava a segunda lei da Termodinâmica.
Matematicamente, o primeiro a introduzir o raciocínio probabilístico na Termodinâmica foi o físico austríaco Ludwig Boltzmann em 1877 [66]. Ele admitiu um sistema
composto de N partículas não interagentes, onde a energia total U das N partículas é
constante e pode ser distribuída de muitas maneiras (microestados). Usando o teorema
de Liouville3 , Boltzmann assumiu que o volume do espaço de fase poderia ser divido em
pequenas regiões de volume vi , onde cada partícula poderia ter energia Ei . Sendo ni o número de partículas, ocupando o i-ésimo volume, então o sistema total ocupará um volume
dado por V = v1n1 v2n2 . . . vini .
A partir desse modelo, Boltzmann introduziu a hipótese de que todos os microestados têm a mesma probabilidade P . Com isso, concluiu que a probabilidade Pi de um
macroestado é proporcional ao número de microestados nos quais a energia remanescente
(U − i ) é distribuída entre as (N − 1) moléculas restantantes, ou seja,
Pi ∝ exp(−Ei /kB T ).
(3.3)
Para calcular o número de microestados acessíveis Ω, envolvendo as N partículas
(N = ∑i ni ), onde ni representa o número de partículas com energia Ei = iE (i = 0, 1, 2, . . . ),
2
Este ser foi denominado de demônio de Maxwell pelo físico e matemático escocês Willian Thomson (Lord Kelvin).
Este teorema foi demonstrado pelo matemático fracês Joseph Liouville em 1838. Segundo esse teorema, dada um conjunto de
pontos em um região do espaço de fase (p,q), o número de pontos nessa região no tempo, expresso por ρ(q, p, t), é uma constante. Em
outras palavras, os pontos no espaço de fase se movem como um fluido incomprensível.
3
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
40
Boltzmann usou um simples raciocínio combinatório, dado pela expressão
Ω(n0 , n1 , n2 , . . . ) =
N!
.
∏i n i !
(3.4)
Assim, usando a hipótese das probabilidade iguais, Boltzmann escreveu:
P (n0 , n1 , n2 , . . . ) = CΩ(n0 , n1 , n2 , . . . ),
(3.5)
sendo P (n0 , n1 , n2 , . . . ) a probabilidade de ocorrência de um estado microscópico pertencente ao conjunto definido pelos números de ocupação (n0 , n1 , n2 , . . . ) e C uma constante.
Com base nessa hipótese, Boltzmann apresentou sua interpretação probabilística da entropia, definindo-a como o logaritmo do número de microestados acessíveis ao sistema,
ou seja,
S = kB ln(Ω),
(3.6)
onde kB é uma constante (a constante de Boltzmann).
A interpretação probabilística da entropia apresentada por Boltzmann, mostra
que o estado de um sistema termodinâmico é definido como uma medida de probabilidade e que a entropia representa o total de desordem no estado.
3.2
Entropia de Boltzmann-Gibbs
Em Mecânica Estatística, temos como objetivo determinar propriedades macroscópicas, de um dado sistema de partículas, a partir de informações microscópicas. Entretanto, o tempo que dura uma medida macroscópica é extremamente longo quando
comparado aos tempos característicos dos processos moleculares. Esse tempo longo permite que o sistema passe por um grande número de estados, fazendo com que as medidas
macroscópicas sejam sempre médias temporais de sistemas microscópicos. Calcular essas
médias através dos métodos da Mecânica, integrando as equações de movimento para todas as partículas, parece uma tarefa impraticável do ponto de vista teórico, dado a ordem
de grandeza do número de partículas
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
41
Em 1902, o físico norte americano Josiah Williard Gibbs publicou um livro intitulado ”Princípios Elementares da Mecânica Estatística“, no qual revisitou o trabalho de
Boltzmann de 1877 [66]. A nova abordagem apresentada por Gibbs ficou conhecida como
a teoria dos ensembles e alimentou a busca por uma fundamentação estatística para as
leis gerais da Termodinâmica.
Gibbs resolveu o incômodo, descrito acima, desenvolvendo um formalismo apropriado para o cálculo das médias das grandezas termodinâmicas. Ao invés de tratar um
gás onde as moléculas estão em constante colisões, como fez Boltzmann, ele partiu do
espaço de fase ocupado pelo gás. Nesse caso, o sistema em estudo é visto como uma infinidade de cópias, ou seja, ensembles de sistemas simililares em sua natureza (macroestados), mas diferentes entre si nos valores particulares que seus parâmetros, coordenadas
de posição e momento, assumem em cada instante de tempo (microestado).
Agora, a dependência temporal da trajetória dos pontos no espaço de fase não é
mais importante. A cada ponto desse espaço (qi , pi ), identificado como uma cópia do sistema real em um dado microestado, é atribuído um peso probabilístico expresso por uma
função densidade de probabilidade dada por ρ(qi , pi ). Dessa forma, as grandezas termodinâmicas expressas por f (qi , pi ), são representadas por seus valores médios ⟨f ⟩, para
um certo macroestado, onde cada microestado contribui com um peso correspondente
ρ(qi , pi ). A média temporal, portanto, é subststituída por uma média sobre o ensemble
estatístico4 , escrita como [64, 69]:
f (qi , pi )ρ(qi , pi )d3N qd3N p
⟨f ⟩ = ∫
,
3N
3N
∫ ρ(qi , pi )d qd p
(3.7)
o que garante que todas as grandezas termodiâmicas podem ser interpretadas como médias de suas correspondentes funções f (qi , pi ) tomadas sobre o espaço de fase. A conexão
com a Termodinâmica é feita através da função entropia, que em termos de probabilidades, pode escrita como
S = −kB ∑ pi ln(pi ),
(3.8)
i
com ∑i pi = 1 e kB a constante de Boltzmann.
A equação (3.8) é a forma generalizada da expressão (3.6), possuindo, portanto, as
mesmas propriedades como aditividade e extensividade. Para o caso particular de probabilidades iguais, ou seja, pi = 1/Ω, quando há Ω estados acessíveis ao sistema, essa equação
4
Um ensemble estatístico é constituído pelo conjunto de microestados aos quais se associam determinados pesos probabilísticos.
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
42
recai na equação de Boltzmann (3.6). A equação (3.8) também é conhecida na literatura
como entropia de Shannon. A maximização dessa equação sob vínculos apropriados produz, para um sistema em equilíbrio com um reservatório térmico a temperatura T , o fator
de Boltzmann-Gibbs
pi =
1
exp(−βEi ),
Z
(3.9)
sendo β = 1/kB T , Ei a energia do estado i do sistema e Z = ∑j exp(−βEj ) a função de
partição.
As equações (3.8) e (3.9) são o marco da Mecânica Estatística de Boltzmann-Gibbs
e têm sido amplamente usadas, com sucesso, especialmente em Física [77]. E, desde seu
estabelecimento, elas constituem uma das peças fundamentais da física contemporânea.
Entretanto, estas equações parecem não ser universais tendo um domínio de validade restrito. Nesse contexto, embora a Mecânica Estatística de Boltzmann-Gibbs tenha aplicação
notória em muitos sistemas e situações, ela precisa ser modificada para outros como, por
exemplo, os Sistemas Complexos. Assim, a possibilidade de algum tipo de generalização
da estatística de Boltzmann-Gibbs é necessária.
Nas seções seguintes, destacaremos duas das possíveis generalizações de estatística de Boltzmann: a estatística não extensiva de Tsallis e a estatística extensiva de Kaniadakis.
3.3
Entropia não extensiva
O domínio de validade da Termodinâmica padrão e da mecânica estatística de
Boltzmann-Gibbs têm sido discutido nas últimas décadas. A questão é que muitos sistemas da Natureza não obedecem aos critérios estabelecidos pela estatística clássica (BoltzmannGibbs). Como exemplo desse tipo de sistemas, podemos citar: difusões anomalas tipo
Lévy [70], turbulências em plasmas [71], materiais granulares tipo pilhas de areia [72],
neutrinos solares [73], entre outros. Neste contexto, Constantino Tsallis, em 1988, propôs
uma nova generalização da entropia de Boltzman-Gibbs inspirada em distribuições probabilísticas de geometrias multifractais [74, 75].
Tsallis introduziu uma nova entropia caracterizada por um índice q, que leva ao
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
43
conceito de não extensividade e é dada pela seguinte relação:
Sq =
W
kB
(1 − ∑ pqi )
q−1
i
(3.10)
normalizada por ∑i pi = 1, com q ∈ R. Nessa expressão, kB é uma constante positiva (constante de Boltzmann), pi a probabilidade de encontrar o sistema no estado microscópico i e
q o índice entrópico que caracteriza o grau da não extensividade do sistema. Quando q = 1
a q-entropia, representada por Sq , recai na entropia extensiva padrão de Boltzmann-Gibbs.
Outra propriedade de interesse é que Sq é sempre concava para valores positivos de q, e
sempre convexa para valores negativos.
A equação (3.10), ainda pode ser, convenientemente escrita, como
W
Sq = −kB ∑ pqi lnq (pi ),
(3.11)
i=1
onde a q-logaritmica, definida conveniente para a teoria de Tsallis, é dada pela equação
lnq (x) ≡
x1−q − 1
, ∀(x, q)
1−q
(3.12)
com ln1 (x) = ln(x), o lagaritmo padrão. É possível, ainda, verificar que expq (lnq (x)) =
lnq (expq (x)) = x. A função inversa da q-logaritmica, a q-exponencial, é definida como
expq (x) ≡ [1 + (1 − q)x]1/(1−q) , ∀(x, q)
(3.13)
desde que tenhamos [1 + (1 − q)x] > 0 e expq (x) = 0 para qualquer outra situação. Quando
q = 1, temos que exp1 (x) = exp(x), recuperando a exponencial ordinária (padrão).
A figura 3.1 mostra o comportamento assintótico da q-exponencial, expressa por
expq (−x), para diversos valores de q. Quando q = 1 a q-exponencial se comporta como a
exponencial padrão.
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
44
Figura 3.1: Esta figura mostra o comportamento da q-exponencial expq (−x) versus x para diversos valores de q. A cauda da distribuição segue um comportamento tipo lei de potência. Quando
q = 1, a distribuição recai na exponencial padrão. Figura proveniente da referência [85].
Um resultado interessante da teoria proposta de Tsallis é que ela viola o princípio
de aditividade estabelecido no terceiro postulado da Termodinâmica 5 . Por exemplo, dado
um sistema composto constituído de dois sub-sistemas A e B independentes, temos que
a entropia generalizada, Sq , é expressa como
Sq (A + B) Sq (A) Sq (B)
Sq (A) Sq (B)
=
+
+ (1 − q)
,
kB
kB
kB
kB
kB
(3.14)
onde a não extensividade é expressa pelo termo cruzado, (1 − q)[Sq (A)Sq (B)]/kB , dessa
equação. Assim, quando q = 1, temos que S1 é aditiva (extensiva), recuperando a equação
(3.1). Quando q > 0, Sq torna-se subatidiva (subextensiva) e superaditiva (superextensiva)
quando q < 0.
A violação da aditividade representa o rompimento com um conceito fundamental em Termodinâmica, o de sistema isolado6 . Nesse caso, quando dois sistemas A e
B, independentes, são postos em contato, para formar um sistema composto, cada subsistema contribui com uma parte. Em outras palavras, olhando para a equação (3.14),
cada subsistema, do sistema composto A + B, contribui com Sq (A)[1 + 12 (1 − q)Sq (B)] e
Sq (B)[1 + 21 (1 − q)Sq (A)] [65], significando que um sistema já sentia a presença do outro
5
O terceiro postulado da Termodinâmica diz que a entropia é uma função contínua, diferencial e monotonicamente crescente da
energia e é aditiva sobre os sub-sistemas constituintes de um dado sistema composto. Para mais detalhes ver a referência [64].
6
O sistema está isolado quando não troca matéria, nem energia, nem informação com sua vizinhaça.
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
45
antes da junção entre os dois, o que indica que não eram isolados.
Finalmente, determinamos a distribuição de probabilidades pi , através do formalismo canônico, maximizando a entropia de Tsallis, dada pela equação (3.10), fazendo uso
das seguinte condições de vínculos:
W
∑ pi = 1 e ⟨E⟩q =
i=1
W q
∑i=1 pi Ei
= Uq ,
W q
∑i=1 pi
(3.15)
sendo Ei os autovalores do Hamiltoniano do sistema. Com isso, temos:
pi =
1
expq (−βq (Ei − Uq )).
Zq
(3.16)
Nesta expressão, βq ≡ β/ ∑W
i pi , β o parâmetro de Lagrange associado com o segundo
vínculo, e Zq ≡ ∑W
i expq (−βq (Ei − Uq ) a função de partição generalizada.
A estatística não extensiva de Tsallis, desde sua criação em 1988, tem sido aplicada
em uma grande classe de problemas em Física. Em anos recentes, essa estatística tem sido
aplicada a sistemas cuja estrutura topológica se enquadram dentro do que conhecemos
hoje como Redes Complexas. Alguns exemplos desse tipo de sistemas são: a internet,
a WWW, linhas aéreas, sistemas sociais, etc. Mas, de que maneira não extensividade e
Redes Complexas se relacionam?
Em 2004, em uma tese de doutorado, Soares mostrou que é possível relacionar
a q-exponencial com redes livres de escala através de sua distribuição de conectividade
P (k) [18,59]. Segundo as referências [76,77], a forma mais frequente, dessas distribuições,
segue uma lei de potência que pode ser escrita como:
P (k) ∼
1
,
(k0 + k)γ
(3.17)
com k0 > 0 e γ > 0. Se redefinirmos k0 e γ, como nas referênicas [76, 77], ou seja,
ηq
1
e γ≡
,
q−1
q−1
(3.18)
P (k) = P0 expq (−k/ηq ),
(3.19)
k0 ≡
a equação (3.17) pode ser escrita como
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
46
sendo P0 a constante de normalização e ηq uma constante positiva associada ao número
característico de ligações.
A verificação da equação (3.19) pode ser feita, escrevendo o análogo da equação
(3.10), em termos da distribuição de conectividade, ou seja,
Sq =
∞
1
{1 − ∑ [p(k)]q } , q ∈ R.
q−1
k=1
(3.20)
Nesta representação, quando q = 1 é recuperado a estatística padrão, S1 = − ∑∞
k=1 p(k)lnp(k),
de Boltzmann-Gibbs-Shannon. No passo seguinte, maximizamos a equação (3.20) sob as
condições de vínculos
∞
∑ p(k) = 1 e
k=1
∞
∑k=1 k[p(k)]q
= ⟨k⟩q ,
∞
∑k=1 p(k)q
(3.21)
onde ⟨k⟩q é um número fixo caracterizando a largura da distribuição de conectividade.
Com isso, obtemos
P (k) =
expq (−k/ηq )
∑k′ =1 expq (−k ′ /ηq )
∞
(3.22)
como era esperado. Esta distribuição, ainda, pode ser determinada, tomando-se como
base uma extensão analítica do modelo de Barabási e Albert publicado em 2000 [78]. Nesse
modelo de evolução de rede, em cada passo de tempo, m novas ligações são acrescentadas
com probabilidade p, ou m ligações existentes são retiradas com probabilidade r, ou um
novo nó com m ligações é adicionado com probabilidade 1 − r − p. Todas as ligações são
feitas com probabilidade Π(ki ) = (ki + 1)/(∑j kj + 1), onde ki é a conectividade do i-ésimo
nó. Com isso, a distribuição estacionária de conectividades P (k), para este modelo, é
escrita de forma que [18, 59, 77]
q=
2m(2 − r) + 1 − r − p
≥1
m(3 − 2r) + 1 − r − p
(3.23)
e ηq = k0 (q − 1), com k0 dado por
k0 = 1 + (p − r) [1 +
2m(1 − r)
] > 0.
1−r−p
(3.24)
Um modelo teórico (nomeado modelo de Natal por Tsallis) incluindo crescimento,
ligação preferencial e distância geográfica, também foi introduzido por Soares et al em
2004 com o objetivo de justificar, computacionalmente, a previsão (3.19). Neste modelo,
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
47
cada novo nó que chega ao sistema é posto a uma distância r do baricentro do aglomerado
já existente. Essa distância satisfaz a uma distribuição lei de potência caracterizada por um
parâmetro αG que rege o crescimento da rede. O novo nó que chega é ligado a um dos
nós pré-existentes proporcionalmente à sua conectividade e inversamente proporcional a
uma potência da distância geográfica, r, caracterizado pelo parâmetro αA que governa a
ligação entre os nós.
De acordo com o modelo de Natal, como mostra a figura 3.2(b), a distribuição
de conectividade é bem ajustada por uma q-exponencial do tipo mostrada nas equações
(3.19) e (3.22). Já a figura 3.2(a), mostra o efeito do parâmetro αG (parâmetro que governa
o crescimento do modelo) sobre a distribuição de conectividade e indica que a distribuição
não é afetada por este parâmetro. As figuras 3.3(a) e 3.3(b), mostram o comportamento de
q e ηq , respectivamente, com respeito ao parâmetro αA . No primeiro caso, q se comporta
como uma exponencial do tipo q = 1+(1/3)exp(−0.526)αA . No limite quando α → 0, temos
q = 4/3 em concordância com a equação (3.18), correspondendo à classe de universalidade
de Barabási e Albert para γ = 3. No limite quando α → ∞, obtemos q → 1 como é esperado
para ligações de curto alcance. No segundo caso, temos que ηq se comporta linearmente
com αA de acordo com a função: ηq = 0.083 + 0.092αA .
(a)
(b)
Figura 3.2: Modelo de crescimento com ligação preferencial. A probabilidade de ligação é pro-
porcional a 1/riαA , onde ri é a distância geográfica do nó que chega ao nó i do aglomerado préexistente. a) Distribuição de conectividade para valores típicos de αG , mostrando que essa distribuição independe desse parâmetro. b) Distribuição de conectividade para valores típicos de αA .
Os pontos são os resultados simulacionais e as linhas sólidas os melhores ajustes com expq (−k/ηq ).
Figuras provenientes da referência [18] .
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
(a)
48
(b)
Figura 3.3: As figuras a) e b) mostram a dependência de q e ηq com respeito a αA . Em a), q segue
um comportamento exponecial dado por q = 1 + (1/3)exp(−0.526)αA (∀(αG )). Quando αA = 0,
temos q = 4/3, recuperando a classe de universalidade de Barabási e Albert com γ = 3. Em b), ηq
comporta-se linearmente com αA como mostra a função ηA = 0.083 + 0.092αA (∀(αG )). Figuras
provenientes da referência [18].
3.4
Entropia extensiva generalizada de Kaniadakis
Após Gibbs propor a primeira generalização da entropia de Maxwell-Boltzmann,
muitas outras entropias, clássicas ou quânticas, surgiram no âmbito da Mecânica Estatística. Entre essas generalizações podemos citar: Renyi [79], Sharma-Mittal [80], Tsallis [?], entre outras. As distribuições, sejam elas clássicas ou quânticas, que regem tais
generalizações sempre dependem de algum parâmetro de deformação. Por exemplo, as
estatísticas quânticas de Fermi-Dirac e Bose-Einstein, definidas por f = Z −1 [exp(ε) − η]−1 ,
são vistas como um parâmetro de deformação η = ∓1, respectivamente, recuperando a
estatística de Maxwell-Boltzmann quando a deformação η vai a zero. Uma distribuição
clássica que pode ser obtida deformando Maxwell-Boltzmann é a distribuição de Tsallis f = Z −1 [1 − (1 − q)ε]1/(1−q) . Neste caso, a distribuição de Maxwell-Boltzmann emerge,
naturalmente, quando o parâmetro de deformação q tende para 1 [81].
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
49
Nesta seção, apresentamos uma discussão breve sobre uma nova estatística apresentada por G. Kaniadakis em 2001. Ele propõe uma nova generalização da entropia de
Boltzmann-Gibbs através da variação de um parâmetro de deformação κ. Esta entropia é
baseada num princípio denominado de Princípio de Interação Cinética, que é subjacente a
uma cinética não-linear, em sistemas de partículas, independentemente da representação
usada para descrever evolução temporal de tais sistemas. Este princípio, portanto, governa a cinética das partículas e impõe a forma da entropia generalizada associada com o
sistema e permite obter a distribuição estatística estacionária dessas partículas 7 [81–83].
Neste contexto, segundo Kaniadakis, sua entropia pode ser escrita como
Sk (f ) = −⟨ln{κ} [f (x)]⟩ = − ∫ dxf (x)ln{κ} [f (x)],
(3.25)
onde f é a função distribuição estacionária de probabilidades. Quando κ = 0, Sk recupera
a entropia padrão de Boltzmann-Gibbs.
A função logaritmica na equação (3.25) é, uma função generalizada, conhecida
como κ-logaritmo, cuja definição é expressa por
ln{κ} (x) =
xκ − x−κ
.
2κ
(3.26)
Esta é uma função real (∀x ∈ R+ ) monotonicamente crescente e côncava no intervalo κ ∈
(−1, 1), sendo dln{κ} (x)/dx > 0 e d2 ln{κ} (x)/dx2 < 0. Essa função é simétrica com respeito
a κ, ou seja, ln{κ} (x) = ln{−κ} (x) e, quando κ → 0, recai no lagaritmo padrão. Referente ao
comportamento assintótico da função κ-logaritma, temos que seu comportamento segue
uma lei de potência:
ln{κ} (x) ∼ + −
x→0
1 1
2∣κ∣ x∣κ∣
e
1 ∣κ∣
x ,
x→+∞ 2∣κ∣
ln{κ} (x) ∼
(3.27)
com ln{κ} (x) → −∞ quando x → 0+ e ln{κ} (x) → +∞ quando x → +∞ [83, 84].
A distribuição estacionária da entropia proposta por Kaniadakis é baseada em
uma função exponencial deformada, a κ-exponencial expressa por exp{κ} (x), que é a função inversa da κ-logaritma, definida como
√
1/κ
expκ (x) = ( 1 + κ2 x2 + κx) .
7
(3.28)
Por simplicidade, não aborddaremos este princípio nesta tese. Para mais detalhes sobre o Princípio de Interação Cinética ver a
referência [81, 82].
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
50
Esta é uma função real (∀x ∈ R) monotonicamente crescente, convexa e simétrica com respeito a κ, ou seja, exp{−κ} (x) = exp{κ} (x). Por conseguinte, quando κ → 0 a κ-exponencial
recai na exponencial padrão e satisfaz ainda seguinte a relação:
exp{κ} (x)exp{κ} (−x) = 1.
(3.29)
Outra propriedade de interesse da κ-exponencial, é o comportamento assintótico
tipo lei de potência que ela apresenta e que é expresso pela seguinte relação:
exp{κ} (x) ∼ (2∣κx∣)±1/∣κ∣ .
x→±∞
(3.30)
Para exemplificar o comportamento da κ-exponencial, a figura 3.4(a) apresenta o comportamento da função κ-exponencial na forma exp{κ} (−x) para um valor fixo de κ = 0.3.
Através dessa figura, é possível identificar três regimes distintos: uma região exponencial,
uma região intermediária e uma região mostrando a cauda da distribuição como uma lei
de potência. A curva gerada pela exponencial κ é também comparada com uma exponencial padrão e uma lei de potência pura. A figura 3.4(b), mostra a κ-exponencial para
diversos valores de κ. É interessante mencionar que, nesta seção, não apresentamos todas
as propriedades estabelecidas para a κ-logaritmo e a κ-exponencial. Outras propriedades
podem ser encontradas nas referências [81–85].
Um fato de interesse, que é necessário mencionar, é a respeito da aplicabilidade
da estatística proposta por Kaniadakis. Essa estatística é relativamente nova. Porém, ela
tem sido útil em algumas áreas do conhecimento como em Astrofísica, aplicada ao estudo
da distribuição de velocidades de aglomerados estelares abertos e da distribuição de velocidades rotacionais de estrelas pertencentes ao campo da sequência principal através de
dados observacionais [86,87]; Economia, aplicada ao estudo da distribuição da renda pessoal em países da Europa [88] e Redes Complexas, aplicada ao estudo da distribuição de
conectividade em uma rede livre de escala [89]. Além dessas aplicações, é possível citar
outros exemplos referentes a raios cósmicos, plasma, propagação de informação, propagação de fraturas, teoria de jogos, [90] ou mesmo trabalhos voltados para a área acadêmica
como a generalização do teorema H de Boltzmann para a mecânica quântica [91], entre
outros.
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
51
(a)
(b)
Figura 3.4: a) κ-exponencial exp{κ} (−x) (linha cheia) versus x para κ = 0.3. Esta função é comparada com a exponencial ordinária (linha pontilhada) e com uma lei de potência pura (linha
tracejada). b) κ-exponencial exp{κ} (−x) versus x para diversos valores de κ. κ = 0 corresponde
a exponencial ordinária (linha cheia). Este valor de κ equivale a q = 1 na teoria proposta por
Constatino Tsallis. Figuras provenientes da referência [85].
3.5
Redes livres de escala e Estatística de Kaniadakis
Na seção 3.3, vimos que é possível relacionar não extensividade e Redes Complexas através da distribuição estacionária de conectividades em uma rede livre de escala.
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
52
Outros trabalhos no âmbito da não extensividade, usando teoria de informação, também
mostram essa mesma propriedade [92–94]. Neste contexto, perguntamos se é possível,
através de uma entropia extensiva generalizada, determinarmos uma função distribuição
estacionária para uma rede livre de escala como aquela apresentada por uma teoria não
extensiva (ver equação 3.19). Nesta seção, temos como objetivo apresentar uma nova maneira de escrever a distribuição de conectividade P (k), para uma rede livre de escala, a
partir da κ-estatística introduzida por Kaniadakis.
3.5.1
Distribuição de conectividade
A nossa conjectura será verificada mediante a equação (3.25), proposta por Kaniadakis como uma generalização da entropia de Boltzmann-Gibbs. Tomemos, portanto,
a sua forma discreta, como apresentada na referência [85], preservando a estrutura padrão da teoria de Boltzmann-Gibbs-Shanon. Neste caso, vamos trocar convenientemente
a função f (x) da equação (3.25) por P (k), ou seja,
Sκ = − ∑ P (k)lnκ [P (k)],
(3.31)
k
onde k representa a conectvididade dos nós na rede e kB = 1. Tomando a equação (3.31)
e levando em conta a identidade ακ (1 + κ) = λ cujos parâmetros α e λ são constantes que
dependem do índice entrópico κ (ver referência [85]), temos
κ
[P (k)]κ − [P (k)]−κ
λ
1
P (k)
1
P (k)
Sκ = − ∑ P (k) {
} = − ∑ P (k) {
[
] −
[
] }.
2κ
2κ k
1+κ
α
1−κ
α
k
−κ
(3.32)
Por conveniência, consideremos P (k)/α ≡ pκ , assim reescrevemos a equação acima como
Sκ = −
λα
p1+κ
p1−κ
κ
κ
{
−
}.
∑
2κ k 1 + κ 1 − κ
(3.33)
Com isso, usando as seguintes condições de vínculos
∑ pk = 1
k
e
∑ kpk = ⟨k⟩
k
(3.34)
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
53
podemos escrever
δ S̄κ = δ [−
λα
p1+κ
pκ1−κ
κ
(
−
) − β ∑ pk − β ′ ∑ kpk ] = 0.
∑
2κ k 1 + κ 1 − κ
k
k
(3.35)
Nesta expressão, β e β ′ são os parâmetros de Lagrange. Assim, através da maximização
(3.35) podemos, após alguma álgebra, determinar que
P (k) = P0 expκ (−k/ηκ ).
(3.36)
Lembrando da definição para κ-exponencial, podemos ainda escrver a equação (3.36),
como
1
⎤κ
⎡¿
2
⎥
⎢Á
k
k ⎥
⎢À
1 + κ2 ( ) − κ ( )⎥ ,
P (k) = P0 ⎢Á
⎢
ηκ
ηκ ⎥⎥
⎢
⎦
⎣
(3.37)
onde P0 = expκ (−β/λα) e β ′ /λα ≡ 1/ηκ . ηκ é um parâmetro positivo que está relacionado
ao número característico de ligação e com características semelhantes ao ηq proposto pela
teoria não extensiva de Tsallis. É possível notar ainda que as constantes P0 e ηκ são quantidades que dependem do índice entrópico κ, pois dependem de α e λ que por sua vez
dependem deste mesmo parâmetro.
3.5.2
Modelo geográfico de crescimento de rede com ligação preferencial
A expressão (3.37) parece confirmar nossa conjectura. Entretanto, com o intuito de
verifcar a viabilidade da nova distribuição de conectividade acima deduzida, consideraremos o modelo geográfico de crescimento com ligação preferencial proposto por Soares
et al [18, 59]. Os nós da rede são depositados em um plano contínuo, obedecendo as seguintes regras de crescimento e ligação preferencial:
1. O primeiro nó (i = 1) é colocado em uma origem arbitrária do plano.
2. O segundo nó (i = 2) é escolhido isotropicamente, e aleatoriamente, a uma distância
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
54
r distribuído segundo a probabilidade
PG (r) ∝ 1/r2+αG ,
(3.38)
com αG ≥ 0 (G padrão para growth). Com isso, o segundo nó é ligado com o primeiro.
3. Para adicionar os próximos nós (i = 3, 4, 5, ..., N ), calculamos o centro de massa dos
nós pré-existentes para funcionar como a origem do sistema e aplicamos a regra do
ítem anterior para localizar a posição do novo nó que chega ao sistema. Esse novo
nó será ligado a apenas um dos nós existentes, segundo a probabilidade de ligação
pA =
ki /riαA
.
α
N −1
∑j=1 kj /rj A
(3.39)
Nesta expressão, αA ≥ 0 (A padrão para attachment), ri é a distância do novo nó ao
αA
−1
i-ésimo nó do aglomerado pré-existente, ki a conectividade do nó i e ∑N
j=1 kj /rj é a
normalização.
4. O passo anterior (processo de crescimento e ligação) é repetido, sequencialmente, até
o tamanho desejado para a rede. A figura 3.5, mostra a dinâmica da rede proposta
para esse modelo.
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
55
(a) t = 0
(b) t = 1
(c) t = 2
(d) t = 3
(e) t = 4
(f) t = 5
(g) t = 6
(h) t = 7
Figura 3.5: Dinâmica de crescimento para o modelo geográfico de crescimento de rede com liga-
ção preferencial. Em t = 0, um nó é posto no plano em uma posição arbitrária. Em t = 1, um novo
nó é adicionado a uma distância r do nó incial, segundo a regra probabilística PG (r) em conformidade com o parâmetro de crescimento αG ≥ 0. Neste caso, o nó que chega se liga diretamente
ao nó pré-existente. Em t = 2, um terceiro nó é adicionado à rede, obedecendo à mesma regra de
crescimento PG (r), a uma distância r do centro de massa do aglomerado pré-existente. O novo nó
se liga a um dos nós do aglomerado de acordo com a regra de ligação pA , que privilegia os nós
mais próximos de acordo com o parâmetro αA ≥ 0. A partir de t = 3, a dinâmica de crescimento da
rede obedece a regra estabelecida em t = 2 até o tamanho desejado.
3.5.3
Resultados
Discutiremos agora os resultados computacionais obtidos com a implementação
do modelo geográfico, obedecendo as regras de crescimento e ligação estabelicidas no
ítem anterior. A regra de conexão dada por pA gera uma competição entre a conectividade
e a distância entre os nós. Com o crescimento de αA esta competição quebra os pólos,
favorecendo uma distribuição de conectividade mais uniforme na rede que tende para
uma rede aleatória quando αA é muito grande (ver as figuras 3.6(a) e 3.6(b)).
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
(a)
56
(b)
Figura 3.6: Redes típicas para αG = 1. a) αA = 0 (Barabási e Albert). b) αA = 6 (modelo geográfico de crescimento com ligação preferencial). Os nós verdes são os mais conectados. Figura
proveniente da referência [18].
A figura 3.7, mostra o comportamento típico da distribuição de conectividade com
respeito a αG em uma rede de tamanho N = 104 sobre 2×103 amostras. Nesse caso, usamos
valores de αG = 0, 1, 2 e 3, deixando fixo αA = 2. É possível ver, através dessa figura, que
αG não tem influência sobre a distribuição de conectividade. Sua influência é apenas sobre
o crescimento e a escolha da posição dos nós que chegam à rede. Este resultado também
confirma a previsão apresentada na referência [18, 59].
Por outro lado, quando mantemos o parâmetro αG fixo e variamos αA , o comportamento da distribuição de conectividade muda. A figura 3.8, apresenta explicitamente
o comportamento dessa distribuição para valores de αA = 0, 3, 4 e 5 e αG = 2 em uma
rede de tamanho N = 2 × 106 sobre 10 amostras. Esta figura também mostra que tal distribuição pode ser ajustada segundo a κ-exponecial na forma apresentada pela equação
(3.37). Nessa figura, comparamos, ainda, o melhor ajuste da κ-exponecial com o melhor
ajuste da q-exponecial proposta por Tsallis através da equação (3.19). É possível ver que
as propostas ajustam muito bem as mesmas distribuições. Isto é possível porque, embora
as estatísticas de Kaniadakis e Tsallis tenham fundamentação distintas, as exponenciais
que as governam, nesse caso, têm o mesmo comportamento, ou seja, iniciam como uma
exponencial normal, passam por uma região intermediária e terminam com uma cauda
que tem um comportamento tipo lei de potência (ver figuras 3.4(a) e 3.2). Este é o mesmo
comportamento que se observa à medida que variamos αA . Um fato interessante é que no
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
57
limite quando αA → 0, as duas estatísticas recaem em Barabási com seu comportamento
tipo lei de potência característico com γ = 3 e também se equivalem para αA grande, recaindo na exponencial padrão com κ = 0 e q = 1. Nesse limite, a conectividade dos nós
da rede tende para um valor característico cuja distribuição passa por um pico em torno
desse valor, ou seja, recai em uma distribuição característica de uma rede aleatória.
Nas figuras 3.9 e 3.10, comparamos os índices entrópicos κ e q, e os parâmetros referentes ao número característico de ligação ηκ e ηq das estatísticas de Kaniadakis e Tsallis
como função de αA , respectivamente. Como resultados das nossas simulações, mostramos que κ(αA ) e q(αA ) decaem exponencialmente como podemos ver na figura 3.9. Já as
funções ηκ (αA ) e ηq (αA ), parecem crescer linearmente com o crescimento de αA (ver figura
3.10). Entretanto, esse comportamento pode ser questionado, tendo em vista que esses parâmetros estão relacionados com o número característico das ligações. Assim, com base
na regra de competição entre as ligações dos nós, que quebram os pólos da rede, saimos
de um comportamento tipo lei de potência com poucos nós muito conectados em direção
a um comportamento aleatório onde cada nó tem um número característico de ligações.
Nesse regime, esperamos que ηκ (αA ) e ηq (αA ) fiquem constantes. Esta é uma conjectura
que pode ser testada, variando αA para valores superiores a cinco.
Em particular, os melhores ajustes para os parâmetros de Kaniadakis e Tsallis são
dados por: κ = 0.410 − 0.134e0.200αA , q = 0.675 + 0.671e−0.105αA , ηκ = 0.637 + 0.151αA e ηq =
0.263 + 0.187αA , respectivamente. É interessante mencionar que, a partir dos ajustes para
os parâmetros de Kaniadakis, algumas condições podem ser estabelecidas. Por exemplo,
para αA = 0, temos que o índice entrópico κ tem um valor máximo dado κmax = 0.346, satisfazendo a condição estabelecida pela estatística de Kaniadakis de que −1 < κ < 1. Combinando essas condições é possível obter os seguintes vínculos: κ ∈ [−1; 0.346], αA ∈ [0; 12]
e ηκ ∈ [0.637; 2.451]. Nesse caso particular, o modelo de Barabási é dado pela distribuição
de conectividade com κ = 0.346 e ηκ = 0.637.
A figuras 3.11 e 3.12 mostram uma representação diferente daquela apresentada
pela figura 3.8. Neste caso, reescrevemos P (k) normalizada por P0 em termos de ln{κ} (x).
Assim, a figura 3.11 mostra o comportamento ln{κ} -linear para a distribuição de conectividade relativo a αA = 0, 1, 2 e 5 para seus correspondentes valores de κ. O comportamento
é linear como esperado. Já a figura 3.12 apresenta os melhores ajustes para as mesmas
distribuições, mas para κ = −0.5, indicando que os valores simétricos de κ também são
válidos. Isto é possível pelo fato de que podemos ter ln{κ} (x) = ln{−κ} (x).
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
58
Um outro fato interessante está relacionado ao modelo analítico de crescimento
de rede com ligação preferencial proposto por Barabási e Albert na referência [78]. Nesse
trabalho, a distribuição analítica calculada é precisamente da forma q-exponencial como
observado nas referências [18, 59, 77]. Entretanto, a nova distribuição, equação (3.37), é
também similar a distribuição (3.19) no limite quando o parâmetro κ ≪ 1. Neste limite, o
índice entrópico κ é dado por
κ=
m
,
m(2r − 3) − 1 + p + r
(3.40)
sendo (m, r, p) os parâmetros do modelo de Barabási e Albert.
Figura 3.7: Distribuição de conectividade para valores típicos de αG e αA = 2 para uma rede de
tamanho N = 103 sobre 2×103 amostras, mostrando que a distribuição de conectividade independe
do parâmetro αG .
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
59
Figura 3.8: Distribuição de conectividade para valores típicos de αA e αG = 2 para uma rede de
tamanho N = 2 × 106 sobre 10 amostras, mostrando que a distribuição de conectividade depende
do parâmetro αA . A medida que αA cresce a rede se torna mais “democrática” de forma que o
número de ligações entre os nós tendem para um valor característico típico de uma rede aleatória.
As linhas cheias e pontilhadas representam a comparação entre os melhores ajustes, utilizando
Kaniadakis e Tsallis, respectivamente.
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
60
Figura 3.9: Comparação entre os valores de κ = κ(αA ) e q = q(αA ), obtidos através dos melhores
ajustes calculados na figura 3.6. A figura mostra que q = q(αA ) e κ = κ(αA ), são ajustadas por
curvas exponenciais dadas por κ = 0.410 − 0.134e0.200αA (linha preta) e q = 0.675 + 0.671e−0.105αA
(linha vermelha), respectivamente.
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
61
Figura 3.10: Comparação entre os valores de ηκ = ηκ (αA ) e ηq = ηq (αA ), obtidos através dos
melhores ajustes calculados na figura 3.8. A figura mostra que ηκ = ηκ (αA ) e ηq = ηq (αA ), são
ajustadas por curvas lineares dadas por ηκ = 0.637 + 0.151αA (linha preta) e ηq = 0.263 + 0.187αA
(linha vermelha), respectivamente.
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
62
Figura 3.11: Representação ln{κ} -linear da distribuição de conectividade. Nessa representação,
κ
usamos a relação ln{κ} (x) = x −x
2κ . Para cada valor de αA , usamos seus respectivos valores de κ.
Nesse caso, a distribuição de conectividade se comporta linearmente.
−κ
Capítulo 3. Redes Complexas e Estatísticas Não Gaussianas
63
Figura 3.12: Representação ln{κ=−0.5} -linear da distribuição de conectividade. Nesse caso, considaramos a propriedade de simetria da κ-logaritma.
CAPÍTULO 4
PROCESSOS DIFUSIVOS E FENÔMENOS CRÍTICOS
“Imaginar a existência ou as propriedades de objetos que
ainda estão além de nosso conhecimento (. . . ) eis a forma
de inteligência intuitivva à qual, graças a homens como
Dalton e Boltzmann, nós devemos a atomística (. . . )."
Jean Perrin (1870 − 1942)
Neste capítulo, faremos uma revisão suscinta sobre difusão e fenômenos críticos
presente na Natureza com o intuito de proporcionar um melhor entendimento dos temas
exibidos no capítulo seguinte. Neste contexto, apresentaremos uma breve discussão sobre
processos difusivos, os tipos de transições de fase, algumas relações de escalas pertinentes
na determinação de propridades críticas, entre outros.
4.1
Processos difusivos
Processos difusivos são frequêntes na Natureza, podendo ser encontrados em alguns processos físicos, químicos ou biológicos. Como exemplo de tais processos, podemos
64
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
65
citar: propagação de calor, propagação de doenças, reação química, migrações populacionais, entre outros. Estes fenômenos são considerados dinâmicos e muitos deles são
complexos, pertencendo à classe de sistemas fora do equilíbrio. Estes processos são de
grande interesse em Física, pois muitos deles apresentam propriedades relevantes como,
por exemplo, transição de fase. Este fenômeno é importante porque permite a determinação de propriedades críticas relevantes dos sistemas em estudo, possibilitando, através
de sistemas simples, o entendimento de sistemas extremamente complicados. O estudo
desses processos permitiu ainda uma melhor compreenção dos fenômenos estocásticos,
isto é, fenômenos que envolvem variáveis aleatórias ou probabilísticas dependentes do
tempo.
Atualmente, é possível classificar os processos difusivos como: difusão usual (ou
normal) e difusão anômala. O processo de difusão anômala pode ainda ser dividido como
subdifusivo e superdifusivo. A seguir, discutiremos com um pouco mais de detalhes estas
classificações.
4.1.1
Processo de difusão usual
Neste ítem, apresentaremos uma breve discussão sobre o processo de difusão
usual, referenciando o Movimento Browniano e algumas abordagens necessárias ao estudo desse fenômeno, como: a equação da difusão proposta por Einstein, a equação de
Langevin e a equação de Fokker-Planck.
a) O Movimento Browniano e a equação da difusão
A experiência mostra que quando se abre, em um ambiente fechado, um frasco
contendo um líquido volátil como um perfume é possível sentí-lo rapidamente em todo
o ambiente. Dizemos que as moléculas do líquido depois de evaporar difundem-se pelo
ar, distribuindo-se por todo aquele ambiente. O mesmo fenômeno acontece se colocarmos
um pouco de açúcar em uma xícara contendo café, as moléculas de sacarose se difundem
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
66
por todo o café. Uma outra situação de que se tem conhecimento é quanto ao aquecimento
de uma barra de metal. Aquecendo-se uma das extremidades o calor flui, por um processo
de condução, até a outra extremidade da barra por causa de um gradiente de temperatura.
Estes e outros exemplos nos mostram que, para que aconteça o fenômeno da difusão, a
distribuição espacial das moléculas não deve ser homogênea e deve existir uma diferença
ou um gradiente de concentração entre dois pontos do meio.
O paradigma do processo de difuão usual é o chamado Movimento Browniano
observado pelo Botânico Robert Brown em 1827 [95]. Robert Brown observou, por meio
de um microscópio, que grãos de pólen suspensos em água adquirem um movimento
totalmente aleatório. Hoje sabemos que tal movimento se deve ao fato de que as moléculas
da água, que descrevem movimento aleatório, colidem com os grãos de pólen, exercendo
uma força de natureza estocástica sobre eles.
A figura 4.1, publicada por Jean Perrin em 1909 [96, 97], mostra a trajetória de
uma partícula executando Movimento Browniano. O seu movimento é extremamente
irregular, sendo mais ativo para temperaturas mais altas ou em fluidos pouco viscosos.
Uma característica marcante desse movimento é que ele nunca cessa.
Os exemplos citados anteriomente são situações que representam o processo de
difusão usual, e a lei mais utilizada e citada em estudos sobre difusão é a chamada Lei
de Fick [98, 99], porque leva as mesmas descrições tanto na Física quanto na Química e
na Biologia. Esta lei afirma que a densidade de corrente de partículas, por exemplo, é
proporcional ao gradiente de concentração, ou seja,
⃗
J⃗ = −D∇ρ
(4.1)
onde D é o coeficiente de difusão que depende das propriedades do meio (isotrópico ou
anisotrópico) e indica quão rápido a grandeza medida por ρ difunde-se de regiões de alta
concentração para regiões de baixa concentração. O sinal negativo, combinado com o
gradiente na lei de Fick, significa que a difusão ocorre da região de alta densidade para a
região de baixa densidade. A quantidade ρ é definida como a quantidade de substância
(densidade de partículas, por exemplo) e pode ser função do tempo e da posição, isto é,
ρ = ρ(⃗
r, t).
Admitindo que durante o processo de difusão a substância difundida não seja
absorvida nem emitida, o sistema é dito ser conservativo e vale a equação da continuidade
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
67
Figura 4.1: Figura proveniente da referência [96] publicada, originalmente, por J. Perrin [97], onde
mostra a trajetória de uma partícula executando Movimento Browniano. Este movimento é mais
ativo para temperaturas elevadas ou fluidos pouco viscosos.
∂ρ
⃗ ⋅ J⃗ = 0.
+∇
∂t
(4.2)
Combinando a equação (4.1) com a equação (4.2), chegamos à equação da difusão usual
que é expressa por:
∂ρ
= D∇2 ρ.
∂t
(4.3)
A equação (4.3), que representa o processo de difusão usual, não leva em conta
se no sistema existe uma fonte ou um sorvedor de partículas. Entretanto, se este fato é
considerado a equação da difusão será modificada, sendo escrita como segue
∂ρ
= D∇2 ρ + δρ,
∂t
(4.4)
onde δρ é um termo que pode representar criação ou aniquilação de partículas, dependendo se δρ assumir um sinal positivo ou negativo, respectivamente. Este termo advem
da equação da continuidade que também precisa ser modificada, portanto, passando a ser
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
escrita como:
∂ρ
⃗ ⋅ J⃗ = δρ,
+∇
∂t
68
(4.5)
sendo a quantidade δρ identificada como a densidade da fonte.
Pelo exposto, é evidente que a equação da difusão se modifica quando, no sistema,
são incorporados outros graus de liberdade. Por exemplo, se o sistema estiver sobre a ação
de uma força externa, ou arraste, a densidade de corrente é dada por
⃗ + µF⃗ ρ.
J⃗ = −D∇ρ
(4.6)
Assim, substituindo J⃗ em (4.2), a equação da difusão se modifica da seguinte forma:
∂ρ
⃗ ⋅ F⃗ ρ,
= D∇2 ρ − µ∇
∂t
(4.7)
incorporando o termo de força.
A equação (4.3) foi também deduzida por Einstein em um contexto probabilístico,
antecipando a relação de Chapman-Kolmogorov e as teorias modernas de cadeias markovianas 1 , com o intuito de estudar o comportamento irregular de partículas em suspensão
em um fluido, devido aos movimentos moleculares térmicos.
A seguir, apresentamos dedução anterior segundo a referência [100]. A idéia consiste em considerar um sistema cujas partículas executem movimentos independentes e
que os movimentos dessas partícula, em diferentes intervalos de tempo, sejam também
mutuamente independentes2 . Seja p(µ)dµ a probabilidade de uma partícula, em suspensão, sofrer um deslocamento entre µ e µ+dµ num intervalo de tempo τ . Esta probabilidade
deve ser simétrica, ou seja,
p(µ) = p(−µ),
(4.8)
e normalizada por,
+∞
∫−∞ p(µ)dµ = 1.
(4.9)
Se n = n(x, t) for o número de partículas por unidade de volume no instante de tempo t,
1
O termo cadeia de Markov refere-se a um caso particular de processos estocásticos com estados discretos. Estes processos ocorrem
como uma sequência de eventos aleatórios, onde a probabilidade de ocorrência de qualquer evento depende apenas da probabilidade
de ocorrência do evento imediatamente anterior, ou seja, quando a probabilidade de ocorrência de um determinado elemento da
seqüência não depende da história anterior do sistema. Processos dessa natureza são conhecidos processos markovianos.
2
Os intervalos de tempo devem ser pequenos, mas suficientemente grandes para dar margem a observações.
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
69
temos a seguinte relação probabilística:
n(x, t + τ ) = ∫
+∞
n(x + µ, t)p(µ)dµ.
(4.10)
−∞
Como τ e µ são macroscopicamente pequenos é possível escrever as seguintes expansões:
∂n
τ +⋯
∂t
(4.11)
∂n
∂ 2n
µ + 2 µ2 + ⋯
∂x
∂x
(4.12)
n(x, t + τ ) = n(x, t) +
e
n(x + µ, t) = n(x, t) +
Substituindo (4.11) e (4.12) em (4.10), considerando as propriedades de p(µ), e
retendo apenas termos de ordem dominante, obtemos a equação da difusão,
∂ 2n
∂n
= D 2,
∂t
∂x
(4.13)
com o coeficiente de difusão dado por
D=
+∞
1
µ2 p(µ)dµ.
∫
2τ −∞
(4.14)
Einstein também apontou que a solução da equação (4.13), sob condições apropriadas, pode ser escrita como
N0
x2
n(x, t) = √
e− 4Dt ,
4πDt
(4.15)
onde N0 representa o número de partículas cujas posições sofreram um acréscimo x entre
o instante inicial e o tempo t. Com esta interpretação de n(x, t), o desvio quadrático médio
é proporcional ao coeficiente de difusão e comporta-se linearmente com o tempo, ou seja,
⟨x2 ⟩ = 2Dt,
(4.16)
caracterizando o processo de difusão usual. A equação (4.15) é a própria distribuição de
probabilidades Gaussiana, conhecida como distribuição normal e dada por:
(x−⟨x⟩)2
1
P (x) = √
e− 2σ2 ,
2πσ 2
sendo ⟨x⟩ = 0 e σ 2 = 2Dt.
(4.17)
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
70
O coeficiente de difusão foi devidamente calculado por Einstein, considerando-se
um sistema constituído de esferas rígidas de raio a, com velocidade v, imersas num fluido
de viscosidade α, sujeitas a uma força K = 6παav dada pela lei de atrito viscoso de Stokes.
Einstein considerou as partículas contidas num volume elementar de comprimento ∆x e
seção transversal ∆s. Estas partículas estão sujeitas a uma força por unidade de volume
(que admitimos atuar na direção x) que é proporcional a um gradiente de pressão dada
por:
K′ = −
m ∂p
,
ρNA ∂x
(4.18)
onde m é a massa molar do soluto e ρ é a densidade de massa. Agora podemos igualar K
e K ′ , obtendo:
−
m ∂p
= 6παav,
ρNA ∂x
(4.19)
que nos permite determinar uma expressão para a velocidade das partículas. Levando em
conta que o fluxo de partículas na direção x é dado por J = ρv obtemos:
J = ρv = −
∂p
m
.
6παaNA ∂x
(4.20)
Utilizando a expressão pV = nRT , que pode ser escrita como
p=
nRT ρRT
=
,
V
m
(4.21)
é possível obtermos
J =−
∂ρ
RT ∂ρ
= −D ,
6παaNA ∂x
∂x
(4.22)
substituindo (4.21) em (4.20). Dessa expressão, concluímos que
D=
RT
,
6πaαNA
(4.23)
onde R é a constante universal dos gases perfeitos, T a temperatura absoluta e NA o número de Avogadro. Com esse resultado, tem-se que
⟨x2 ⟩ = 2Dt =
RT
t,
3πaαNA
(4.24)
fornecendo indicação das grandezas físicas microscópicas a serem determinadas experimentalmente como o número de Avogadro, por exemplo.
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
71
A função n(x, t), equação (4.15), mostra que as partículas se comportam como
num processo Gaussiano difusivo. Esta função, inicialmente, representa uma delta centrada em torno da origem x = 0. Entretanto, à medida que o tempo passa a distribuição
evolui como uma Gaussiana de largura variável como mostra a figura 4.2.
Dt = 0.001
Dt = 0.003
Dt = 0.006
Dt = 0.020
8
n(x,t)
6
4
2
0
-0,4
-0,2
0
x
0,2
0,4
Figura 4.2: A figura mostra algumas curvas para a evolução temporal da distribuição n(x, t) para
o regime difusivo unidimensional, com N0 = 1.
Posteriormente aos trabalhos de Einstein (1905), outros estudiosos, como Smoluchowiski (1906) e Jean Perrin (1909), também mostraram interesse no estudo do Movimento Browniano. As primeiras teorias sobre este assunto foram publicadas, independentemente, por Einstein e Smoluchowiski. Estas teorias representaram aplicações de sucesso
para as idéias atomísticas da Teoria Cinética dos Gases. Com isso, no início do século XX,
os estudos sobre o Movimento Browniano constituíram um elemento importante para o
estabelecimento da estrutura atômica da matéria [64].
As contribuições de Jean Perrin se deram no campo experimental, cofirmando as
preivisões teóricas de Einstein sobre o número de Avogadro, analisando o Movimento
Browniano de partículas suspensas num líquido.
Outras importantes contribuições foram dadas por Langevin (1908) [101], Fokker
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
72
(1913) [102], Planck (1927) [103], entre outros.
Em seguida, apresentaremos uma revisão suscinta sobre a equação de Langevin e
a equação de Fokker-Planck.
b) A Equação de Langevin
Alguns anos após o trabalho de Einstein, o físico francês Paul Langevin iniciou
uma série de estudos sobre o Movimento Browniano, desenvolvendo um conjunto de
equações diferenciais estocásticas que descrevem matematicamente o movimento de uma
partícula em suspensão, incluindo forças de Stokes, de caráter macroscópico, deduzida
no contexto da mecânica dos fluidos, e uma força complementar, podendo ser positiva ou
negativa, destinada a manter a agitação das partículas e, em cuja ausência a força de atrito
viscoso conduziria ao repouso. Essa força, de caráter microscópico, é atribuída ao bombardeio contínuo das partículas em suspensão pelas moléculas do fluido. Tais equações
são denominadas equações de Langevin e são de uma forma geral, escritas como [108]:
dxi
= fi (x1 , x2 , ⋅ ⋅ ⋅, xN ) + ξi (t),
dt
(4.25)
onde i = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, N representa as partículas do sistema e as variáveis estocásticas ξ1 (t),
ξ2 (t), ⋅ ⋅ ⋅, ξN (t) identificadas como ruído, possuem as seguintes propriedades:
⟨ξi (t)⟩ = 0
⟨ξi (t)ξj (t′ )⟩ = Γij δ(t − t′ ),
(4.26)
(4.27)
sendo as quantidades Γij constantes.
Como ilustração, consideremos o seguinte exemplo: suponhamos uma partícula
de massa m imersa em um líquido. Essa partícula está sujeita a uma força viscosa, que
é considerada proporcional à sua velocidade, e a forças de caráter aleatório devidas ao
seu impacto com as moléculas do líquido. Entretanto, consideremos o caso mais simples:
o movimento de uma partícula em uma dimensão ao longo do eixo x. A equação de
Langevin, que representa a equação do movimento, para este caso é:
m
dv
= −αv + F (t),
dt
(4.28)
onde v = dx/dt é a velocidade e x é a posição da partícula. O primeiro termo do lado di-
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
73
reito desta equação representa a força viscosa, sendo α uma constante, e o segundo termo
é a força estocástica que obedece às propriedades (4.26) e (4.27), pois, em média, a força
devida às moléculas é nula e consideramos que os impactos entre elas sejam independentes.
A equação (4.28), pode ser reescrita dividindo os dois lados da equação por m.
Com isso, a equação de Langevin passa a ser escrita como:
dv
= −γv + ξ(t),
dt
(4.29)
com γ = α/m e ξ(t) = F (t)/m. A quantidade ξ(t), obedece às propriedades do ruído (4.26)
e (4.27), ou seja,
⟨ξ(t)⟩ = 0
⟨ξ(t)ξ(t′ )⟩ = Γδ(t − t′ ),
(4.30)
(4.31)
sendo Γ uma constante. De posse dessas propriedades é possível determinar algumas
quantidades de interesse físico, dentre elas: a velocidade quadrática média e o deslocamento quadrático médio em relação à posição, que possibilitam uma melhor compreensão
desse problema.
• Velocidade quadrática média:
Suponhamos que a solução da equação (4.29) seja do tipo
v(t) = u(t)e−γt ,
(4.32)
onde u(t) é uma função de t a ser determinada. Substituindo em (4.29), percebemos que
esta solução satisfaz à equação
du
= eγt ξ(t),
dt
(4.33)
cuja solução é
u = u0 + ∫
t
0
eγt ξ(t′ )dt′ .
′
(4.34)
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
74
Portanto, substituindo a equação (4.34) na equação (4.32), obtemos:
v = v0 e−γt + e−γt ∫
t
0
eγt ξ(t′ )dt′ ,
′
(4.35)
onde v0 é a velocidade da partícula no instante t0 . Essa solução é válida para qualquer função temporal ξ(t). Com esse resultado, por meio das propriedades do ruído, é possível
determinar a velocidade quadrática média (ou variância da velocidade). Assim, determinamos que:
v − ⟨v⟩ = e−γt ∫
0
de onde obtemos
(v − ⟨v⟩)2 = e−2γt ∫
t
0
t
t
eγt ξ(t′ )dt′ ,
′
γ(t +t )
ξ(t′ )ξ(t′′ )dt′ dt′′
∫0 e
′
′′
(4.36)
(4.37)
e usando a propriedade (4.31), temos que
⟨ (v − ⟨v⟩)2 ⟩ = e−2γt ∫
t
′
Γe2γt dt′ ,
0
(4.38)
onde ⟨v⟩ = v0 e−γt obtido por intermédio da propriedade (4.30). A constante Γ será determinada por meio do Teorema da Equipartição da Energia, associado ao comportamento
de um gás perfeito. Resolvendo a integral, obtemos finalmente,
⟨v 2 ⟩ − ⟨v⟩2 =
Γ
(1 − e−2γt ).
2γ
(4.39)
Para tempos longos, ou seja, no regime estacionário, tem-se ⟨v⟩ = 0 e a velocidade quadrática média é dada por ⟨v 2 ⟩ = Γ/2γ como está representado na figura 4.3.
Através desse resultado e lembrando que o Teorema da Equipartição da Energia
é dado por
1
1
m⟨v⟩2 = kB T
2
2
(4.40)
obtemos o valor da constante Γ e, consequentemente, a relação entre essa constante e a
temperatura absoluta, sendo expressa da seguinte forma:
Γ=
onde kB a constante de Boltzmann.
2γkB T
,
m
(4.41)
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
75
1
0,6
2
<v > - <v>
2
0,8
0,4
0,2
0
0
2,5
5
10
7,5
t
Figura 4.3: Comportamento da velocidade quadrática média obtido a partir da equação (4.39).
Para tempos longos ⟨v 2 ⟩ − ⟨v⟩2 ≈ ⟨v⟩2 = Γ/2γ.
• Desvio quadrático médio da posição:
Neste ítem, determinamos um resultado importante conhecido como desvio quadrático médio da partícula 3,4 . Para tanto, inicialmente calculamos x(t) que é dado por
x = x0 + ∫
t
0
v(t′ )dt′ ,
(4.42)
onde x0 é a posição da partícula no instante t = 0. Substituindo a equação (4.35) em (4.42),
obtemos
x = x0 + v 0 ∫
0
3
t
e
−γt′
dt + ∫
t
e
′
0
−γt′
t′
′′ γt
′ ′′
∫0 ξ(t )e dt dt .
′′
(4.43)
O desvio quadrático médio além do termo variância, pode ser referido como dispersão ou segundo momento.
√
A comparação entre desvio quadrático médio e o desvio padrão (∆x)2 fornece uma ideia da largura da distribuição de probabilidades, ou seja, indica se a distribuição é muito estreita, centrada no valor médio, ou muito esplhada, com grandes flutuações em
torno da média.
4
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
76
Ao determinar as integrais em t′ , encontramos:
1
1 t
′′
x = x0 + v0 (1 − e−γt ) + ∫ ξ(t′′ )(1 − eγ(t −t) )dt′′ ,
γ
γ 0
(4.44)
que é válida para qualquer função temporal ξ(t). Aplicando a propriedade (4.30), mostramos que
1
⟨x⟩ = x0 + v0 (1 − e−γt ).
γ
(4.45)
Com este resultado, podemos escrever a equação (4.44) da seguinte forma:
x − ⟨x⟩ =
1 t ′′
′′
ξ(t )[1 − eγ(t −t) ]dt′′ ,
∫
γ 0
(4.46)
de onde podemos mostrar, elevando ao quadrado ambos os membros, que:
(x − ⟨x⟩)2 =
t
t
1
′
′′
ξ(t′ )ξ(t′′ )[1 − eγ(t −t) ][1 − eγ(t −t) ]dt′ dt′′ .
∫
∫
2
γ 0 0
(4.47)
O passo seguinte é aplicarmos a propriedade (4.31) e determinarmos o desvio
quadrático médio em relação à posição que é expresso por:
⟨(x − ⟨x⟩)2 ⟩ =
t
Γ
′
[1 − eγ(t −t) ]2 dt′ ,
∫
2
γ 0
(4.48)
de onde obtemos, após resolver a integral,
⟨x2 ⟩ − ⟨x⟩2 =
Γ
2
1
[t − (1 − e−γt ) + (1 − e2γt )].
2
γ
γ
2γ
(4.49)
Para tempos longos, no regime estacionário, temos ⟨x⟩ = 0 onde é possível, desprezando os dois últimos termos desta equação, mostrarmos que, nesse regime, o desvio
quadrático médio é proporcional a t como mostra a figura (4.4), ou seja,
⟨x2 ⟩ =
2kB T
t = 2Dt,
mγ
recuperando o resultado apresentado anteriormente por Einstein.
(4.50)
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
77
2
<x > - <x>
2
1
0,5
0
0
1
2
t
3
4
5
Figura 4.4: Comportamento do desvio quadrático médio obtido a partir da equação (4.49). Para
tempos longos, temos ⟨x2 ⟩ = 2Dt.
c) A Equação de Fokker-Planck
No ítem anterior, vimos que a equação de Langevin, representada pela equação
(4.29), descreve o movimento de uma partícula de massa m imersa num fluido com coeficiente de viscosidade γ. Este sistema também pode ser descrito por uma equação de movimento que governa a evolução temporal de uma distribuição de probabilidades. Esta
equação é um tipo especial de equação mestra5 que pode ser usada, com boa aproximação,
para descrever uma sequência de eventos aleatórios de natureza markoviana. Tal equação
é denominada equação de Fokker-Planck.
A equação de Fokker-Planck pode ser deduzida a partir da equação de Langevin.
5
Ver nota sobre equação mestra no apêndice A.
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
78
Consideremos, portanto, uma equação do tipo
dx
= f (x) + ξ(t),
dt
(4.51)
onde a variável x representa uma coordenada generalizada que, em princípio, pode ser
posição ou velocidade e ξ(t) obedece às propriedades do ruído (4.26) e (4.27). Para a
variável independente x a equação de Fokker-Planck pode ser escrita como [108, 109]
∂P (x, t)
∂
Γ ∂2
= − [f (x)P (x, t)] +
P (x, t),
∂x
∂x
2 ∂x2
(4.52)
que dá a evolução temporal da probalidade P (x, t). A quantidade f (x) representa a natureza da força atuando na equação (4.51).
A solução não estacionária da equação (4.52) obedece à seguinte distribuição
√
P (x, t) =
onde a(t) = e−γt e b(t) =
Γ
2γ (1
[x−a(t)]2
1
e− 2b(t) ,
2πb(t)
(4.53)
− e−γt ). Comparando o resultado acima com a distribuição
Gaussiana, recuperamos os resultados obtidos por Langevin para os valores da média
⟨v⟩ e da variância (∆v)2 . É possível notar ainda, que para tempos longos (t Ð→ ∞), o
sistema caminha para um estado de equilíbrio, pois a distribuição se reduz à distribuição
Maxwelliana das velocidades.
4.1.2
Processo de difusão anômala
Uma das grandezas que permite caracterizar o tipo de difusão é o deslocamento
quadrático médio [110, 111] que, em geral, é dado por,
⟨r2 ⟩ ∼ tα .
(4.54)
O processo de difusão será dito usual se apresentar um comportamento linear (α = 1) no
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
79
crescimento temporal do desvio quadrático médio, isto é,
⟨r2 ⟩ ∼ t.
(4.55)
Um exemplo típico desse caso é o Movimento Browniano, ou mesmo, o movimento das moléculas de um gás sem a presença de campos externos ou outro efeito que
se apresente como um obstáculo ao processo de difusão. Esses exemplos apresentam uma
distribuição do tipo Gaussiana.
Se o processo de crescimento temporal do desvio quadrático médio for não-linear6 ,
isto é, ⟨r2 ⟩ ∼ tα (α < 1 ou α > 1), então o processo é dito ser anômalo.
O processo de difusão anômala tem sido importante na análise de uma grande
classe de sistemas físicos, entre eles podemos citar: difusão em plasma [112], difusão em
fluidos turbulentos [113, 114], transporte de fluidos em meios porosos [115], difusão em
fractais [116], difusão anômala em superfícies líquidas [117], entre outros sistemas físicos
de interesse presentes na Natureza.
Quando α < 1 ou α > 1, este processo pode ainda ser classificado como subdifusivo ou superdifusivo, respectivamente. O fenômeno de difusão anômala acontece, por
exemplo, quando, no sistema, levamos em conta efeitos de campo externo ou outros efeitos como fontes ou sumidouros, ou ainda efeitos devidos a geometria do meio, impurezas
e anisotropias. A figura 4.5 apresenta um exemplo de um processo de difusão, em uma
dimensão, que ilustra bem a diferença entre os casos citados.
A seguir citamos alguns exemplos de sistemas físicos representantes dos processos de difusão superdifusiva e subdifusiva. Para o primeiro caso (difusão superdifusiva),
temos: dinâmica caótica devido a vôos e aprisionamentos [118,119], movimentos bacterianos [120], transporte em plasma turbulento [121] e difusão turbulenta de Richardson7 [122].
Com respeito ao segundo caso (difusão subdifusiva), podemos citar: transporte de carga
em semicondutores amorfos [123], transporte em geometria fractal [124] e dinâmica de
uma conta em rede polimérica [125].
6
7
Essa é a característica fundamental no processo de difusão anômala.
O artigo de Richardson publicado em 1926, é considerado um marco no estudo sobre processos de difusão anômala.
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
80
50
α>1
α=1
α<1
40
2
<x >
30
20
10
0
0
10
t
20
30
Figura 4.5: Comportamento de ⟨x2 ⟩ ∼ tα , sendo o processo de difusão classificado como: subdifusivo para α < 1 , difusão usual para α = 1 e superdifusivo para α > 1.
Um fato importante a ser mencionado é que o desvio quadrático médio no processo de difusão anômala não é finito como no caso da difusão usual. Isto significa que
sistemas físicos que apresentam essa característica obedecem a uma distribuição introduzida pelo matemático francês Paul Lévy, em 1937. Essa distribuição é conhecida como
distribuição de Lèvy.
A figura 4.6 abaixo representa o movimento de uma partícula: a) a partícula possui movimento Browniano, ou seja, executa saltos pequenos e aleatórios enquanto que
em b) a partícula faz saltos longos intercalados entre saltos mais curtos. Os saltos longos
possíveis para a distribuição de Lévy leva à divergência do desvio quadrático médio, pois
essas distribuições não decaem rapidamente para distâncias grandes como a distribuição
Gaussiana.
As distribuições de Lévy são comuns na Natureza. Alguns exemplos relacionados
a esse tipo de distribuição, são: análise de histogramas das batidas do coração em indivíduos saudáveis, o movimento de grupos micelares de moléculas em água salgada, o
resfriamento a laser abaixo da temperatura de recuo de um fóton e, mesmo a forma como
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
81
um albatroz sai em busca de seu alimento, além de outros exemplos [104, 105].
(a)
(b)
Figura 4.6: a) Esta figura mostra uma partícula em movimento browniano. A partícula faz saltos
aleatórios e geralmente pequenos. b) Esta figura mostra uma partícula que se move segundo uma
distribuição de Lèvy. A partícula faz saltos longos intercalados com saltos mais curtos, de modo
que uma região maior é coberta.
4.2
Fenômenos críticos
Os fenômenos críticos foram descobertos por Charles Cagniard de la Tour em
1822, quando realizava um de seus experimentos de acústica [106]. O experimento consistia em observar a queda de uma bola de silex8 em um digestor cheio de líquido. Ao
girar o equipamento, um barulho era produzido sempre que a bola penetrava na interface líquido-vapor. Ele notou que ao aquecer o sistema a uma temperatura muito além
do ponto de ebulição do líquido, o barulho da pedra caindo no líquido desaparecia acima
de uma certa temperatura. Este fenômeno curioso, observado por Cagniard de la Tour,
tornou-se uma área, que hoje, está em pleno desnvolvimento e constitui um dos pilares
da Física de Sistemas Complexos e da Teoria de Muitos Corpos.
A experiência de Cagniard de la Tour possibilitou a descoberta do que hoje co8
É uma rocha sedimentar silicatada, constituída de quartzo criptocristalino, muito dura e com densidade elevada.
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
82
nhecemos como ponto crítico, fundamental para o estudo das transições de fase em uma
variedade de sistemas, sejam eles físicos, químicos ou biológicos. Por exemplo: fluidos
simples, materiais magnéticos, ligas metálicas, propagação de epidemias, transporte de
fluidos em um meio poroso, entre outros.
Entre as primeiras teorias bem sucedidas a respeito das transições de fase, temos a
teoria de van der Waals que explica a transição líquido-vapor, a teoria de Currie-Weiss que
explica a transição em um material ferromagnético e a teoria de Bragg-williams que explica a transição ordem-desordem em ligas metálicas. Essas teorias são conhecidas como
teorias clássicas das transições de fase e têm sido utilizadas para descrever os aspectos
qualitativos de vários tipos de transições [107].
A partir da década de 60, as teorias clássicas passaram por um processo de analise
mais acurada, desenvolvendo-se novas técnicas para realizações de experiências cuidadosas em torno do ponto crítico, caracterizando os chamados expoentes críticos. Com isso,
através desses expoentes críticos, foi possível perceber que o comportamento crítico de
certas grandezas termodinâmicas tinham um caráter universal, caracterizado pelo mesmo
valor de um expoente crítico bem definido [64]. Esta característica enquadrou muitos sistemas, aparentemente distintos, em classes conhecidas como classes de universalidade. Uma
propriedade relevante a respeito dessas classes é que alguns sistemas extremamente complicados podem ser analisados por meio de sistemas mais simples, desde que pertençam
a uma mesma classe de universalidade.
4.2.1
Transições de fase
Transições de fase são fenômenos comuns na Natureza, pertencendo a uma categoria de fenômenos com muitas aplicações teóricas e práticas. No contexto da Mecânica
Estatística, no equilíbrio ou fora do equilíbrio, a área que envolve os fenômenos críticos
é, talvez, a mais ativa e fascinante, atraindo uma gama de pesquisadores que têm contribuído para o seu desenvolvimento, destacando-a como uma das principais áreas da Física
contemporânea.
Um exemplo simples, que caracteriza bem o fenômeno das transições de fase, é
o de um fluido simples. A água por exemplo. A figura 4.7(a), mostra o diagrama de um
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
83
fluido simples em termos de suas variáveis termodinâmicas. A figura indica as regiões
distintas em que o fluido pode se encontrar. Neste caso, as linhas cheias separam as fases
sólida, liquida e gasosa. Essas linhas representam uma região de coesistência de fases
com densidades distintas, mas com os mesmos valores de suas variáveis termodinâmicas.
Para cada valor de pressão, a que está submetido o fluido, corresponde uma temperatura
de transição. A passagem por essas linhas indicam uma transição de primeira ordem.
O ponto (pt , Tt ) é o ponto triplice onde coexistem as três fases. O ponto (pc , Tc ) é o ponto
crítico e representa o fim da linha de coexistência das fases líquida e gasosa. Nesse ponto, a
diferença entre as densidades do líquido e do gás torna-se nula e não há distinção entre as
fases líquida e gasosa, indicando que a transição crítica é contínua ou de segunda ordem.
Este mesmo comportamento também pode ser obsevado através do diagrama p − v, como
mostra a figura 4.7(b).
(a)
(b)
Figura 4.7: a) Diagrama p − T para um fluido simples, mostrando as curvas de coexistência entre
as fases sólidas, líquida e gasosa. b) Diagrama p − v para um fluido simples, representando as
isotermas na vizinhança do ponto crítico.
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
4.2.2
84
Transições de fase em sistemas de equilíbrio
Sistemas de equilíbrio são caracterizados por obedecerem a condição de balanceamento detalhado, não sendo, portanto, descritos por uma equação mestra9 e, sim,
por um Hamiltoniano. Neste caso, a solução estacionária do sistema é a distribuição de
Boltzmann-Gibbs, levando-se em conta que a Mecânica Estatísitca do equilíbrio é fundamentada no fato de que um sistema (isolado), em seu estado de equilíbrio, maximiza sua
entropia. Assim, não precisamos resolver a equação (A.9), porque conhecemos, previamente, a solução estacionária do sistema.
No equilíbrio, as transições de fase resultam de uma não analiticidade nos potenciais termodinâmicos, descritos em suas derivadas, relacionadas diretamente às respostas
termodinâmicas. Por exemplo, como visto na figura 4.7(a) ou 4.7(b), ao percorrermos a
curva de coexistência entre as fases líquida e gasosa, a diferença entre as fases do líquido
e do gás vai diminuindo e anulando-se no ponto crítico. Na vizinhança desse ponto, algumas derivadas termodinâmicas, como a compressibilidade ou o calor específico, podem
apresentar um comportamento singular, definindo o estado crítico do sistema. É possível verificar que tais singularidades são bem representadas por leis de potência ou leis de
escala quando são dispostas como função das diferenças, (T − Tc ) ou (p − pc ), da temperatura ou da pressão, respectivamente, no ponto crítico. A seguir, para o caso que estamos
tomando como exemplo, o fluido simples, apresentamos algumas dessas leis de potência [145, 146]:
1. Parâmetro de ordem:
Tendo em vista que o ponto crítico seja o fim da curva de coexistência líquido-gás,
é interessanete analisarmos a maneira como as densidades do líquido e do gás se
aproximam uma da outra, anulando-se no ponto critico. Assim, expressando o parâmetro de ordem por vL − vG ou ρL − ρG , temos que este parâmetro se comporta de
acordo com a lei de potência
vL − vG ∼ (Tc − T )β
ou ρL − ρG ∼ (Tc − T )β
onde o expoente crítico β caracteriza a transição.
9
Ver nota sobre Equação Mestra no Apêndice A.
(4.56)
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
85
2. Isoterma crítica em (T = Tc ):
Sobre a isoterma crítica em (T = Tc ), o parâmetro de ordem e seu correspondente
parâmetro intensivo p satisfazem a relação
⎧
⎪
⎪ (vL − vG )δ
∣p − pc ∣ ∼ ⎨
δ
⎪
⎪
⎩ (ρL − ρG ) ,
(4.57)
definindo o expoente crt́ico δ. Esta relação mostra a maneira como a densidade e a
pressão se aproximam de seus valores críticos.
3. Calor específico molar:
O calor específico molar cv , diverge no ponto crítico com o expoente α acima de Tc e
α′ abaixo de Tc . Então,
⎧
⎪
⎪ (T − Tc )−α se T > Tc
cv ∼ ⎨
−α′ se T < T
⎪
⎪
c
⎩ (Tc − T )
(4.58)
4. Compressibilidade isotérmica:
A compressibilidade isotérmica κT , ao longo da isocórica crítica, (vc , ρc ), diverge com
expoentes críticos γ e γ ′ . Então
⎧
⎪
⎪ (T − Tc )−γ se T > Tc
κT ∼ ⎨
−γ ′ se T < T .
⎪
⎪
c
⎩ (Tc − T )
(4.59)
Os expoentes críticos β, δ, α, α′ , γ e γ ′ contidos nas relações de escalas (4.56),
(4.57), (4.58) e (4.59), nessa ordem, caracterizam de forma concisa o comportamento crítico do sistema. A tabela 4.1, mostra alguns valores experimentais dos expoentes críticos
para o ponto crítico referente à transição líquido-gás de alguns fluidos puros. É possivel
ver que existe boa concordância entre os valores de cada expoente crítico, indicando o
caráter universal do comportamento crítico do sistema. Entretanto, esses valores diferem
consideravelmente dos valores teóricos obtidos a partir da teoria de van der Waals, onde
β = 1/2, γ = 1 e δ = 3. Isto significa que a equação de van der Waals não descreve satisfatoriamente o comportamento do fluido nas proximidades do ponto crítico. Entretanto,
a teoria de van der Waals mostra que os expoentes críticos são invariantes por escala,
garantindo-lhes a universalidade.
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
86
Tabela 4.1: Esta tabela mostra os expoentes críticos experimentais α, β, γ e δ referentes ao ponto
crítico líquido-gás para algumas substâncias puras. Tabela proveniente da referência [146].
Substância
hélio-3
Argônio
oxigênio
nitrogênio
dióx. carb.
Símbolo
3 He
Ar
O2
N2
CO2
α
0.11
0.13
0.12
0.11
β
0.36
0.34
0.35
0.33
0.32
γ
1.19
1.21
1.25
1.23
1.24
δ
4.1
Existem outros expoentes críticos definidos, em termos da Mecânica Estatística,
porém fora do contexto da Termodinâmica macroscópica. Possivelmente o de maior relevância, dentre esses expoentes, seja aquele que descreva o alcance das flutuações ou o
tamanho das regiões correlacionadas dentro do sistema. Neste caso, a função que mede
as correlações, expressa por G(r), depende de quão longe ou próximo o sistema está do
ponto crítico. Assim, para temperaturas longe do ponto crítico, o dacaimento de G(r) é
exponencial e dado pela seguinte relação:
G(r) ∝ exp(−r/ξ⊥ ),
(4.60)
onde r = ∣⃗
ri − r⃗j ∣ e ξ⊥ o comprimento de correlação espacial do sistema, que depende da
temperatura.
Quando o sistema está próximo do ponto crítico, as correlações deixam de ser de
curto alcance e tornam-se de longo (ξ⊥ → ∞). Nessas condições, a função de correlação
decai algebricamente, como:
G(r) ∝
1
rd−2+η
,
(4.61)
onde d representa a dimensão do sistema e η o expoente crítico associado com a função de
correlação.
Neste contexto, fora da criticalidade, um sistema físico constituído de muitos corpos apresenta correlações entre seus elementos constituintes, que decaem exponencialmente com a distância, limitadas por um comprimento de correlação caracterítico ξ⊥ . Na
criticalidade, as correlações decaem de forma lenta e sem nenhum comprimento cararacterístico. Neste caso, o comprimento de correlação diverge segundo a relação de escala
ξ⊥ ∼ ∣T − Tc ∣−ν⊥ para T → Tc .
(4.62)
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
87
Neste caso, ν⊥ é outro expoente universal relativo ao comprimento de correlação do sistema. O ponto crítico, portanto, é caracterizado pela inexistência de uma escala de comprimento macroscópica de forma que o sistema é invariante sob qualquer transformação
de escala [126].
Um fato interessante a respeito dos expoentes críticos, definidos nos parágrafos
anteriores, é que eles não são todos independentes, ou seja, estão relacionados entre si por
diversas relações10 . Entre as quais, temos:
α + 2β + γ
= 2,
α + β(δ + 1) = 2,
(2 − η)ν⊥
(4.63)
= γ,
= 2 − α.
ν⊥ d
Dessa forma, o conjunto de equações (4.63) apresentado acima, mostra que é possivel
determinar todo o conjunto de expoentes críticos, conhecendo apenas dois deles. Neste
conjunto de equações, d representa a dimensionalidade do sistema.
Além de um fluidos simples, existem outros modelos considerados de equilíbrio que podem ser descritos seguindo os mesmos passos anteriores, sendo caracterizado pelo mesmo conjunto de expoentes críticos. Um exemplo típico, neste caso, é o
de um ferromagnoto uniaxial simples [64]. Para este caso, o parâmetro de ordem, do
forma vL − vG ou ρL − ρG para um fluido, é representado pela magnetização espontânea
m(T, H = 0) ∼ (−t)β , onde o expoente β define a transição com t ≡ (T − Tc )/Tc . O parâmetro que corresponde à compressibilidade isotérmica é a susceptibilidade magnética dada
por χ(T, H = 0) ∼ (t)−γ para T > Tc ou χ(T, H = 0) ∼ (−t)−γ para T < Tc . O calor es′
pecífico a campo nulo cH=0 , correspondendo ao calor específico molar, comporta-se como
cH=0 ∼ (t)−α para T > Tc ou cH=0 ∼ (−t)−α para T < Tc . E, por fim, a partir da isoterma
′
crítica, temos m(T = Tc , H) ∼ H 1/δ . Aqui não mencionamos a forma da lei de potência
para os expoentes ν⊥ e η. Entretanto, eles podem ser determinados seguindo os mesmos
argumentos para o caso de um fluido simples.
10
O expoentes críticos se relacionam de acordo com a teoria de escala de Widon. Esta teoria diz respeito ao comportamento das
grandezas termodinâmicas no ponto crítico. Assim, o valor de uma grandeza termodinâmica, em certo ponto do diagrama de fase,
pode ser obtido a partir de outros apenas por uma mudança de escala. Tais mudanças de escala têm que considerar o ponto crítico
como referência.
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
4.2.3
88
Transiçõs de fase em sistemas fora do equilíbrio
No ítem anterior, discutimos sobre sistemas que obedecem ao critério de balanceamento detalhado, ou seja, sistemas reversíveis que evoluem para estados de equilíbrio,
onde toda a informação do sistema é dada por uma função de partição, representada
por Z, estabelecida segundo os critérios da estatística de equilibrio de Boltzmann-Gibbs.
Aqui, trataremos de sistemas irrevesíveis cuja evolução temporal é governada por uma
equação mestra. Neste caso, as taxas de transição que os definem impedem que obedeçam à condição de balanceamento detalhado. Aqui as taxas de transição tomam o lugar
das variáveis intensivas, como a temperatura ou o campo externo. Uma pequena variação
nessas taxas pode causar uma mudança global no sistema, caracterizando uma transição
de fase. A seguir apresentamos uma tabela comparativa (tabela 4.2), referente a alguns
modelos considerados de equilíbrio e fora do equilíbrio.
Tabela 4.2: A tabela resume alguns dos modelos pertencentes a processos de equilíbrio e fora do
equilíbrio. Esta tabela é proveniente da referência [147].
Modelos de Equilíbrio
Ising ferromagnético
Modelo de Heisenberg
Modelo XY
Modelos de Potts e Ashkin-Teller
Modelo Ising com vínculos microcanônicos
Vidro de Spin
Modelo de Ising em campos aleatórios congelados
Sistemas de Ising frustrados
Modelos fora do Equilíbrio
Modelo de Kauffman
O jogo da vida
Modelo Ziff-Gulari-Barshad (ZGB)
Domany-Kinzel (DK)
Processos irreversíveis de reação-difusão
Modelos da classe da conservação da paridade
Redes aleatórias booleanas
Modelos Ohta-Jasnov-Kawasaki e Ginzburg-Landau
Modelos SOC
Problema do caixeiro viajante
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
89
Uma característica peculiar relativa a tais sistemas é que eles evoluem para os
chamados estados absorventes, os quais são intrísecamente irreversíveis. Um estado absorvente é aquele em que a transição dele para qualquer outro estado é proibida, embora
a trasição de outros para ele seja possível. Uma vez nesse estado o sistema permanece
nele. Sistemas com tais características são ditos fora do equilíbrio.
O estudo de modelos que descrevam sistemas fora do equilíbrio são relevantes,
pois abrangem fenômenos não só em Física, mas em Biologia, Economia, Sociologia, entre
outros. Muitos desses modelos, exibem transição de fase contínua para estados absorventes. Modelos com essa propriedade possuem o mesmo comportamento crítico e, portanto,
pertencem à mesma classe de universalidade. Esta conjectura tem sido corroborada por
uma varidade de estudos em uma grande quantidade de modelos como, por exemplo,
o modelo processo de contato, modelo de criação por pares e trincas, modelo predadorpresa, entre outros [108].
Dentre os exemplos citados anteriormente o caso mais simples, que exibe transição de fase contínua para um estado absorvente, é o processo de contato. Este parece ser
o modelo mais simples que exibe transição de fase em uma dimensão. O modelo foi introduzido por Harris em 1974 [128] com o intuito de representar o espalhamento de uma
epidemia simples.
O processo de contato, consiste em um sistema de partículas interagentes residindo, por exemplo, em uma rede regular de acordo com regras locais e markovianas.
Cada sítio i da rede pode estar em dois estados: vazio (si (t) = 0) ou ocupado (si (t) = 1).
Durante a evolução do modelo, escolhe-se um sítio ao acaso. i) Se o sítio estiver vazio,
passa a ser ocupado a uma taxa de transição que é proporcional ao número n de primeiros vizinhos. Então para um sítio que possui m vizinhos ocupados a taxa de transição
é dada por λm, sendo λ uma quantidade positiva. Por exemplo, se a rede é unidimensional e se os dois primeiros vizinhos estão ocupados, o sítio i é ocupado com taxa λ,
λ
(si (t) = 0 Ð→ si (t) = 1). Se houver apenas um sítio primeiro vizinho ocupado, o sítio i
λ/2
é ocupado com taxa λ/2, (si (t) = 0 Ð→ si (t) = 1). Caso contrário, se os dois primeiros
vizinhos estiverem vazios o sítio i permance vazio. ii) E, por fim, se o sítio escolhido
estiver ocupado se torna vazio com uma taxa igual a um, (si (t) = 1 Ð→ si (t) = 0). Para
este modelo, o primeiro dos casos é equivalente a um processo de criação autocatalítica
de partículas, enquanto o segundo equivale a um processo de aniquilação espontânea de
partículas. O estado absorvente é caracterizado por si (t) = 0, pois para um sítio vazio se
tornar ocupado é necessário, pelo menos, um sítio primeiro vizinho ocupado. A figura 4.8
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
90
descreve bem o processo acima.
(a)
(b)
Figura 4.8: a). b)Representação esquemática do processo de contato em (1+1) dimensão. Os sítios
vazios (bolas vazias), são ocupadas com taxas λm, onde m é a fração de sítios vizinhos ocupados e
λ uma constante positiva. Os sitios ocupados (bolas cheias), se tornam vazios a uma taxa igual a 1.
Harris demonstrou rigorosamente que o processo de contato, no limite termodinâmico, possui um estado ativo estável além do estado absorvente. Este fato revela a
importância, dado que em sistemas finitos, estudados em simulações numéricas, o estado
absorvente é sempre atingido para tempos suficientemente longos [107, 108, 146]. Em sistemas fora do equilíbrio, existem grandezas que divergem no ponto crítico. E as transições
associadas a tais divergências são, geralmente, contínuas e usualmente caracterizadas por
leis de escalas universais, como nos processos de equilíbrio.
A seguir, apresentaremos uma teoria de escala fenomenológia que pode ser aplicada a processos fora do equilíbrio como o processo de contato, a percolação direcionada,
entre outros [147]. Neste contexto, uma quantidade relevante a ser levada em conta é o
chamado parâmetro de ordem do sistema que, usualmente, é representado pela densidade
de sítios ativos, no tempo, definido como
ρ(t) = ⟨
1
∑ si (t)⟩,
N i
(4.64)
sendo si (t) = 1 ou si (t) = 0, N o número de sítios da rede e os brakets ⟨. . . ⟩ a média sobre
os ensembles. Considerando que o sistema seja infinito, na fase ativa ρ(t) decai e, evetualmente, satura em algum valor estacionário ρest . A densidade estacionária varia continu-
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
91
amente com p − pc 11 e desaparece no ponto crítico. Próximo da transição o parâmetro de
ordem se comporta de acordo com a lei de potência
ρest ∼ (p − pc )β .
(4.65)
O expoente β caracteriza a transição e dependende da dimensionalidade do sistema.
Em contraste com os processos de equilíbrio, os fenômenos críticos fora do equilíbrio envolvem o tempo como uma dimensão a mais. Neste caso, além das propriedades
espaciais, temos também as temporais. Assim, as transições de fase em sistemas fora
do equilíbrio são caracterizadas por um comprimento de correlação adicional, conhecido
como comprimento de correlação temporal ξ∥ , independente do comprimento de correlação espacial ξ⊥ . Próximo ao ponto crítico, estas escalas de comprimento divergem como
ξ⊥ ∼ ∣p − pc ∣−ν⊥ e ξ∥ ∼ ∣p − pc ∣−ν∥
(4.66)
com ν⊥ e ν∥ os expoentes associados ao comprimento de correlação espacial e temporal,
respectivamente. Temos ainda que os comprimentos de correlação espacial e temporal se
relacionam por ξ∥ ∼ ξ⊥z , sendo z = ν∥ /ν⊥ . z é conhecido como expoente crítico dinâmico por
se relacionar à evolução temporal e espacial do sistema na vizinhança do ponto crítico.
Em muitos modelos, os expoentes β, ν⊥ e ν∥ são suficientes para indicar a classe
de universalidade. Como exemplo, temos os modelos DK, o modelo ZGB, o processo
de contato que pertecem à classe da percolação direcionada, sendo caracterizados pelo
mesmo conjunto de expoentes críticos β, ν⊥ e ν∥ . Entretanto, isto nem sempre é verdade.
Existem modelos que exigem um expoente adicional para definerem bem a classe de universalidade a que pertencem. Consideremos, por exemplo, o caso em que a evolução
ocorre a partir de uma única semente em uma rede vazia. Neste caso, é conveniente
usarmos como parâmetro de ordem uma quantidade conhecida como probabilidade de
sobreviência Ps (t), que é a probabilidade de que um sítio, escolhido ao acaso, pertença a
um aglomerado infinito. Na fase ativa, esta probabilidade é finita e escala como
Ps (t → ∞) ∼ (p − pc )β
′
(4.67)
com β ′ caracterizando a transição. Embora β e β ′ coincidam para o caso da percolação
direcionada, estes expoentes são diferentes em um contexto mais geral como em modelos
11
Neste caso, p é uma probabilidade que serve como parâmetro de controle e pc é o ponto crítico.
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
92
com múltiplos estados absorventes. Neste caso, as transições de fase entre os estados absorventes são descritas pelo conjunto de expoentes β, β ′ , ν⊥ e ν∥ , ou seja, quatro expoentes
em vez de três como no caso da percolação direcionada. Os expoentes críticos β e β ′ são
relativos a processos de criação e aniquilação de partículas.
Em tempos longos e para sistemas grandes a densidade de partícula ρ(t) iniciando de uma rede completamente ocupada e a probabilidade de sobreviência Ps (t) de
um aglomerado que cresceu a partir de uma única semente e ainda permanece ativo se
complementam. Ambas as quantidades, de acordo com conceitos usuais de escalas em
Mecânica Estatística, podem ser escritas como
1
ρ(t) ≃ t−α f (∆t ν∥ ),
1
Ps (t) ≃ t−δ g(∆t ν∥ ),
(4.68)
onde os expoentes críticos α e δ se referem processos de decaimento e sobrevivencia de
partículas e ∆ = p − pc a distância ao ponto crítico. As quantidades f e g representam
funções de escala universais [149]. Na fase ativa, as duas quantidades saturam em ρstat =
ρ(∞) ∼ ∆αν∥ e Ps (t → ∞) = Ps (∞) ∼ ∆δν∥ . Comparando com as equações (4.65) e (4.67), é
possível escrever α = β/ν∥ e δ = β ′ /ν∥ . Um outro expoente crítico de interesse que pode ser
considerado nesses casos é o expotente θ, que obedece à seguinte lei de potência:
N (t) ∝ tθ .
(4.69)
Este expoente crítico está associado ao crescimento médio do número de sítios ativos em
função de tempos relativamente curtos (dinâmica de tempo curto).
Estes expoentes, da mesma forma que nos processos de equilíbrio, não são todos
independentes. Existem certas relações entre eles, algumas delas são:
ν∥ (1 + θ) = ν∥ + dν⊥ − β − β ′ ,
(4.70)
ν∥ (1 − δ) = ν∥ − β ′ ,
d
ν∥ ( − δ) = ν⊥ − β ′ ,
z
(4.71)
d
ν∥ ( + 1 − δ) = ν∥ + ν⊥ − β ′ .
z
(4.72)
(4.73)
Estas relações são deduzidas a partir de propriedades de escala cuja demonstração
foge o objetivo deste trabalho. Estão presentes aqui apenas por questões de fundamentação. Para uma leitura mais aprofundada o leitor pode ler a referência [147].
Capítulo 4. Processos Difusivos e Fenômenos Críticos
93
Os expoentes apresentados aqui, são fruto de um grande esforço teórico fundamentado em observações experimentais. Baseado nesse esforço, atualmente, existem uma
variedade de métodos analíticos como Teoria de Campo Médio, Teoria de Campo, Grupo
de Renormalização, além de variedade de métodos simulacionais. Todo esse esforço é
necessário, pois a determinação precisa dos expoentes permite nos entender de forma
acurada comportamento crítico de muitos sistemas de equilíbrio e fora dele presente na
Natureza e enquadrá-los nas chamadas classes de universalidade, que são úteis na comprensão de complicados através de sistemas simples.
Atualmente, uma das classes de universalidade mais conhecidas, e que engloba
uma grande quantidade de sistemas físicos, é a da percolação direcionada12 . A seguir,
apresentamos, através da tabela 4.3, algumas estimativas dos expoentes críticos referentes a esta classe obtidas via campo médio, tecnicas simulacionais e métodos da teoria de
campo.
Tabela 4.3: Esta tabela resume algumas estimativas dos expoentes críticos úteis para a classificação da percolação direcionada como uma classe universal. O expoentes foram obtidos mediante
técnicas analíticas, como Campo Médio (CM), métodos da Teoria da Campo e técnicas simulacionais. Esta tabela com expentes críticos da percolação direcionada é proveniente da referência [147].
Expoentes críticos
Técnicas analíticas
CM
d=4−
β = β′
1
1 − /6 − 0.011282
1/2 1/2 + /16 + 0.021102
ν⊥
ν∥
1
1 + /12 + 0.022382
2
2 − /12 + 0.029212
z
δ=α
1/2
1 − /4 − 0.012832
1/2
/12 + 0.037512
θ
12
Simulação
d=1
d=2
0.276486(8) 0.584(4)
1.096854(4) 0.734(4)
1.733847(6) 1.295(6)
1.580745(10) 1.76(3)
0.159464(6
0.451
0.313686(8)
0.230
d=3
0.81(1)
0.581(5)
1.105(5)
1.90(1)
0.73
0.12
Historicamente, o conceito de percolação surgiu com Broadbent e Hammersley no final da década de 1950. Este conceito é relativo
ao estudo de fenômenos de transporte de um fluido em um meio poroso. Por exemplo, o fluxo de petróleo através de uma rocha. O
modelo da percolação concentra-se em descrever o meio poroso que pode ser visto como uma rede de canais aleatórios por onde escoa
um fluido determinístico [150].
CAPÍTULO 5
ESTUDO DAS PROPRIEDADES CRÍTICAS DO PROCESSO
EPIDÊMICO DIFUSIVO 1D
“Ofereço [os Principia] como os princípios matemáticos
da Filosofia, pois toda a essência da Filosofia parece consistir nisso - a partir dos fenômenos do movimento, investigar as forças da Natureza e, então, a partir dessas
forças, demonstrar outros fenômenos."
Isaac Newton (1642 − 1727)
No capítulo 4, vimos que muito dos sistemas da Natureza são dinâmicos e complexos. Seus elementos constituintes podem se difundir e, com isso, transportar algum
tipo de informação ou mesmo propagar uma doença em uma dada população. Muitos
desses sistemas possuem propriedades de interesse físico como, por exemplo, transição
de fase. Esse fenômeno é comum na Natureza e a manifestação mais simples dele é a maneira como a água, na forma líquida, se transforma em gelo ou em vapor. Um outro exemplo de interesse, que manifesta o fenômeno de transição de fase, é a propagação de uma
epidemia. Neste capítulo, trataremos desse assunto, através do estudo das propriedades
críticas de um processo epidêmico difusivo (P ED) em uma cadeia unidimensional via o
Método de Busca Automática (M BA). A seguir, apresentamos o algoritmo que descreve
o M BA. Em seguida, faremos uma descrição do P ED, apresentando, posteriormente,
94
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
95
nossos resultados e discussões.
5.1
Método de Busca Automática
Uma das grandes dificuldades em estudar a criticalidade de sistemas físicos é a
determinação do ponto crítico do sistema. Existem, entretanto, muitos métodos para este
fim. Entre os tais podemos citar: cumulante de binder [127], colápso de dados [129],
razão entre momentos da distribuição do parâmetro de ordem [126,130,131], entre outros.
Mesmo assim, encontrar esses pontos críticos continua sendo um desafio.
Uma novidade na teoria dos fenômenos críticos surgiu com o conceito de criticalidade auto-organizada introduzido por Per Bak et al em 1988 [132]. De acordo com esta
teoria, o sistema evolui espontaneamente para o estado crítico. Um exemplo típico é uma
pilha de areia. Nesse problema, cada vez que é solta areia na pilha, ocorrem avalanches. À
medida que ocorrem avalanches, a inclinação da pilha de areia varia desde um valor mínimo a até um valor máximo. No regime de máxima inclinação, o sistema se encontra em
um estado meta-estável, onde qualquer perturbação pode produzir grandes avalanches.
A distribuição dos tamanhos das avalanches obedece a uma lei de potência, significando que quando o sistema se encontra nesse estado é impossível prever o tamanho
da próxima avalanche. Para o caso da pilha de areia, quando o sistema se encontra na
região subcrítica ou supercrítica, a tendência natural é o sistema se dirigir à região crítica,
onde temos o comportamento tipo lei de potência. As figuras 5.1(a) e 5.1(b), ilustram bem
o comportamento descrito acima.
Inspirado na ideia de criticalidade auto-organizada, Andrade Jr. et al introduziram, em 1997, um novo método para determinação de pontos críticos conhecido como
Método de Busca Automática (M BA) [133]. Este método tem se mostrado eficiente, apresentando uma sensível redução no tempo de simulação computacional e obtendo resultados
satisfatórios mesmo para redes pequenas. Além do mais, tem se mostrado útil na determinação das propriedades críticas em uma variedade de sistemas físicos, como: sistemas
percolativos [134], sistemas magnéticos [135, 136], sistemas epidêmicos [16], entre outros.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
(a)
96
(b)
Figura 5.1: a) Representação pictórica de avalanches em uma pilha de areia.
À medida
que colocamos areia acontecem avalanhces de todos os tamanhos. Figura disponível em:
http://irevolution.wordpress.com/category/early-warning/. b) Representação em lei de potência da distribuição dos tamanhos das avalanches simulado em uma rede cúbica de tamanho
20 × 20 × 20. A linha pontilhada tem inclinação −1.37. Figura proveniente da referência [132].
O M BA é definido por uma técnica auto-adaptativa que, recursivamente, evolui o
sistema para sua região crítica. O algorítmo, para este método, é baseado em uma relação
iterativa expressa por:
Xn+1 = Xn − α(Yn − Y ∗ )
(5.1)
que envolve duas variáveis acopladas (Xn , Yn ), relativas ao sistema estudado. As variáveis (Xn , Yn ) mudam a cada passo de tempo n, de forma que após um número suficiente
de passos, Xn converge para o valor estacionário X ∗ compatível com o valor estacionário
Y ∗ ≡ Y (X ∗ ). A taxa de convergência para o estado estacionário é controlada pelo parâmetro α. Dessa forma, dado o valor inicial de X0 , Y ∗ e α, o sistema evolui iterativamente
como segue: (X0 , Y0 ) → (X1 , Y1 ) → (X2 , Y2 ) → ⋅ ⋅ ⋅ → (X ∗ , Y ∗ ), onde permanece em uma
oscilação aleatória (bacia atratora). Neste regime, após um tempo longo de oscilação em
torno de (X ∗ , Y ∗ ), calculamos Xc∗ como o valor médio das oscilações estacionárias. Na
verdade, o método é aplicável se conhecemos previamente o valor de Y ∗ . Usualmente, Y
é a variável que fornece o ponto crítico. A figura 5.2 procura ilustrar o comportamento
do M BA. A figura 5.2(a) representa o comportamento do parâmetro de ordem em função
do parâmetro de controle. Já a figura 5.2(b) representa o processo iterativo do método
durante sua evolução temporal.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
(a)
97
(b)
Figura 5.2: a) Representação pictórica da evolução do M BA em função das variáveis Xn e Yn ,
sendo Xn o parâmetro de controle e Yn o paramâmetro de ordem. b) Repersentação numérica
da evolução de Y no tempo, mostrando que o sistema evolui para o estado estacionário onde
permanece oscilando em torno da região crítica.
5.2
Procura eficiente das propriedades críticas do processo
epidêmico difusivo 1D
Nesta seção, daremos enfoque a um caso particular de processos difusivos, o processo de propagação de epidemia unidimensional. Neste modelo, duas espécies de partículas A e B se difundem em uma rede e sofrem duas reações probabilísticas: A + B → 2B
e B → A. Neste contexto, as partículas A e B são chamadas de inativas e ativas, respectivamente. No contexto de epidemiologias, esse modelo é usualmente interpretado como
um processo tipo susceptível-infectado-susceptível conhecido como modelo SIS. Nesta
representação, consideramos as partículas A e B como indivíduos saudáveis e doentes,
respectivamente.
O P ED foi introduzido por Kree et al, em 1989 [137]. O modelo estudado por
eles consiste em um modelo ecológico que analisa o efeito de poluição em uma população
que está na iminência de extinção. A análise das propriedades críticas do modelo foi feita
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
98
através de cálculos analíticos via ideias de Grupo de Renormalização, aproximando tais
propriedades críticas por uma expansão em com = 4 − d (d é a dimensão espacial do
sistema), obtendo ν = 2/d e z = 2. Este modelo foi, posteriormente, estendido por van
Wijland et al em 1998 [138], com o intuito de estudar três regimes distintos em que os
indivíduos ativos e inativos podem se difundir, ou seja, DA > DB , DA = DB e DA < DB ,
sendo DA e DB constantes de difusão. O caso DA = DB corresponde àquele estudado
por Kree et al. Os resultados obtidos por van Wijland et al, através da toria de Grupo
de Renormalização, concordam com os resultados apresentados por Kree et al, indicando
transição de fase de segunda ordem, para um estado absorvente, com a mesma classe
de expoentes ν e z, para os regimes DA = DB e DA < DB , com um novo ponto crítico
para o segundo caso. Quanto ao regime DA > DB , eles não obtiveram um ponto crítico, e
conjecturam uma transição de fase de primeira ordem.
O trabalho de van Wijland et al tem proporcionado um intenso debate a respeito
da conjectura para o regime DA > DB . Em 2000, por exemplo, Oerdering et al publicaram um trabalho, usando simulações numéricas em d = 2, cujos resultados corroboram
com as predições da teoria de Grupo de Renormalização, indicando que a transição de
fase é de primeira ordem. Além desse trabalho, outros estudos numéricos também foram
realizados, tanto em d = 1 quanto em d = 2, [141–144]. Contudo, esses novos resultados
discordam das predições de Oerdering e daqueles apresentados pele teoria de Grupo de
Renormalização, indicando, portanto, que a transição de fase, para o regime DA > DB , é
de segunda ordem.
Nesta tese, também nos propomos a estudar as propriedades críticas do P ED.
Para tanto, usamos o M BA já descrito na seção 5.1. Neste estudo, destacamos os seguintes
objetivos: i) verificar se o M BA é aplicável para esta classe de sistemas difusivos, ii)
investigar se a transição de fase do P ED para o regime DA > DB é contínua ou não, e
iii) verificar se o M BA é capaz de prover estimativas aceitáveis para os expoentes críticos
para todos os regimes em questão, ou seja, DA > DB , DA = DB e DA < DB .
A seguir, apresentaremos nosso modelo, os resultados e discussões para os quais
nos propomos.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
5.2.1
99
O modelo
A evolução de uma epidemia pode ser caracterizada como uma competição entre
uma reação e um processo de decaimento de duas espécies químicas difundindo, representados por
k1
A + B Ð→ 2B
k2
B Ð→ A,
(5.2)
onde A e B são o padrão para espécies inativas e ativas. Os parâmetros k1 e k2 , são as taxas
de contaminação e cura, respectivamente. Em nosso trabalho, usamos k1 = k2 = k = 0.5.
Em uma aproximação de campo médio, para as densidades dadas ρA e ρB , a difusão das partículas pode ser descrita usando um conjunto de equações diferenciais parciais
não lineares acopladas, ou seja,
∂ρA
∂ρB
= DA ∆ρA + k2 ρB − k1 ρA ρB e
= DB ∆ρB − k2 ρB + k1 ρA ρB .
∂t
∂t
(5.3)
Entretanto, esta descrição de campo médio desconsidera flutuações na densidade. Portanto, ela falha ao determinar o comportamento crítico correto da transição para o estado
absorvente, que este modelo exibe, sempre que as flutuações na densidade se tornam
relevantes, como ocorre em baixas dimensões. Neste caso, é necessário uma descrição microscópica do processo de reação e difusão que, usualmente, pode ser realizada através
de simulações, permitindo uma melhor estimativa do comportamento crítico do sistema
em estudo.
Aqui, simulamos o processo acima em uma cadeia linear sob condições de contorno periódicas. Nesta simulação, a densidade de indivíduos ρ = ρA + ρB é normalizada
pelo tamanho da cadeia. É importante mencionar que o volume das partículas é não excludente, portanto, o número de indivíduos por sítio pode ser maior que a unidade e, por
conseguinte, a densidade ρ de indivíduos pode assumuir valor maior que 1. Nós simularemos o processo em cadeias finitas de tamanho L igual a 100, 200, 400, 800. A evolução
do sistema segue quatro estágios:
1. O movimento dos indivíduos: Neste passo ocorre a evolução do sistema. Aqui,
as partículas realizam uma difusão parcial com taxas de difusão DA e DB . O que
significa que durante um passo de tempo uma partícula X permanece no mesmo
sítio com probabilidade (1 − DX ).
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
100
2. O processo de contaminação: Este processo ocorre apenas quando as partículas saudáveis e doentes estão no mesmo sítio. Neste caso, a presença de pelo menos uma
partícula B promove a reação A → B a uma taxa k.
3. O processo de cura: Neste processo, cada partícula B pode ser transformada em
uma partícula A com uma taxa de cura k.
4. O processo de relaxação: Para permitir o sistema relaxar, corremos todos os três
estágios acima τ vezes. A quantidade τ é identificada como o tempo de relaxação.
Em nossas simulações, as partículas são distribuídas uniformemente em igual número de partículas A e B em uma rede unidimensional. Para cada tamanho de rede e
passo da técnica recursiva (M BA), deixamos o sistema relaxar por diferentes tempos de
ralaxação τ igual a 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640 e 1000. Usando esse procedimento e o método de busca automática, encontramos a densidade crítica ρ. A equação recursiva (5.1)
para este problema particular, toma a forma:
ρn+1 = ρn − α[ρB (ρn ) − ρ∗B ],
(5.4)
onde ρ e ρB são densidade total e a densidade de partículas B, respectivamente. α é um
parâmetro pequeno que controla a taxa de convergência da equação (5.4), cujo valor escolhido, neste trabalho, é α = 0.08. A densidade ρB (ρn ) é medida em cada passo de evolução
do M BA, após τ varreduras na rede. A variável τ é uma das quantidades envolvidas para
determinar as propriedades críticas relevantes do sistema. Por simplicidade, a região que
o sistema permanecerá oscilando é da ordem de ρB = 1/L, ou seja, próximo da vizinhança
do estado absorvente. Para garantir a convergência para a criticalidade, o M BA evolui
por 2000 passos para então podermos determinar a pseudo-densidade crítica ρc (L, τ ).
5.2.2
Propriedades críticas do P ED 1D
Nesta seção, apresentamos as simulações do processo epidêmico difusivo unidimensional. Todos os pontos críticos foram determinados usando o M BA descrito na seção
5.1. Determinamos os expoentes 1/ν e 1/zν, mediante analises de escalas de tempo finito
e tamanho finito, como mostram as figuras 5.6 - 5.9.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
101
Os resultados principais, referentes aos valores críticos, estão resumidos na tabela
5.1. O foco do trabalho está sobre a análise dos expoentes críticos quando verificamos as
constantes de difusão DA e DB . Tais parâmetros estão organizados sobre os casos DA >
DB , DA = DB e DA < DB , onde analisamos as cinco situaçẽs apresentadas na tabela 5.1.
Os símbolos que aparecem na tabela, junto aos casos DA e DB , são para ajudar o leitor
durante a interpretação das figuras.
Tabela 5.1: Esta tabela resume os resultados obtidos em nosso tabalho. Os coeficientes de difusão
DA e DB , estão indicados na primeira coluna. A tabela apresenta os pontos críticos ρC , e expoentes críticos 1/ν e 1/zν, para o processo epidêmico difusivo unidimensional obtidos através do
M BA. O conjunto de símbolos indicados na tabela são usados nas figuras 5.4, 5.6 - 5.9, inclusive
identificados por cores.
caso
DA > DB
DA = DB
DA < DB
DA ;DB
0.50; 0.25
0.75; 0.25
0.50; 0.50
0.25; 0.75
0.25; 0.50
símbolo
△
⊲
○
◇
◻
ρc
4.801(5)
4.436(4)
4.252(7)
4.079(5)
3.95(2)
1/ν
0.500(4)
0.505(8)
0.491(7)
0.50(5)
0.50(3)
1/zν
0.257(3)
0.245(5)
0.258(2)
0.247(3)
0.257(3)
A figura 5.3 ilustra a evolução temporal típica do M BA, mostrando que o sistema
evolui espontaneamente para o ponto crítico onde permanace oscilando indefinidamente.
Observamos também que não importa se iniciamos o sistema acima ou abaixo da região
crítica. Este fato está ilustrado na figura 5.3 para duas condições iniciais diferentes, uma
bem acima e a outra bem abaixo do ponto crítico. Chamamos a atenção para o fato de que
esta figura ilustra o caso para o qual a teoria de Grupo de Renormalização, argumenta
a possibilidade de que a transição de fase é de primeira ordem. No caso da figura 5.3,
a convergência para a mesma região crítica indica a ausência de histerese e confirma as
predições númericas encontradas de que a transição é contínua em sistemas unidimensionais, independentemente, em relação às constantes de difusão [141, 143, 144]. Para esta
curva particular, usamos como parâmetros α = 0.08, τ = 10, L = 800, DA = 0.75 e DB = 0.25.
O parâmetro de ordem, para esse sistema, está repsentado na figura 5.4. As curvas
mostram o comportamento da densidade de indivíduos infectados ρB versus a densidade
total de indivíduos ρ. A infecção para densidades baixas oscila próximo a zero. Para
densidades altas de ρ, o sistema alcança o estado estacionário com uma fração finita de
indivíduos ativos. A transição para o estado absorvente é evidente, nesta figura, para
ρc (L, τ ) próximo de 4.0. Para gerar estas curvas, usamos L = 800, tempo de relaxação
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
102
τ = 1000 com o número de amostragem igual a 30. Representamos, nesta figura, os três
regimes DA > DB , DA = DB e DA < DB , indicando que a transição de fase é contínua em
todos os casos.
A densidade estacionária obtida através da equação (5.4), depende do tempo de
relaxação τ e do tamanho da rede usada nas simulações, ou seja, ρc = ρc (L, τ ). A figura
5.5 mostra esta dependência. Esta figura, representa os 2000 primeiros passos da evolução
do sistema. Neste exemplo, usamos L = 800, τ igual a 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640 e 1000,
para o caso DA = 0.75 e DB = 0.25. O valor de ρc (L, τ ) é calculado como uma média
sobre 8000 pontos subsequentes no intervalo 20000 < tempo < 10000, para cada valor
de τ individualmente. A figura 5.6 mostra a curva de ρc (L, τ ) versus 1/τ para L = 800,
incluindo todos os casos de difusão DA e DB . O valor assintótico, referente ao limite de
τ → ∞, corresponde à pseudo-densidade crítica ρc (L). A quantidade ρc (L) é chamada
pseudo-crítico para enfatizar que ela depende do tamanho L do sistema. A dependência
de ρc (L) com o tamanho do sistema, permite estimarmos o expoente crítico dinâmico 1/zν.
A relação de escala (5.5) abaixo, mostra como isso é possível:
1 1/zν
[ρc (L) − ρc (L, τ )] ∼ ( )
.
τ
(5.5)
Esta relação é válida no limite de L ≫ 1. A figura 5.7 representa este argumento de escala
em log-log. A inclinação da reta, forncece o expoente crítico dinâmico 1/zν. Os valores
estimados para 1/zν, para todos os regimes difusivos, estão representados na tabela 5.1
juntamento com o erro da regressão linear dos dados. É importante mencionar que o erro
indicado na tabela é subestimado e é devido à regressão linear do log dos dados. Um erro
mais preciso deve levar em conta a incerteza envolvida na determinação do ponto crítico.
A figura 5.8 mostra a pseudo-densidade ρc (L) versus o tamanho do sistema L.
Devemos enfatizar que cada ponto, nesta figura, correponde a uma extrapolação no limite
do tempo de relaxação, ou seja, ρc (L, τ → ∞). Neste caso, usamos L igual a 100, 200, 400
e 800. Para cada par de DA e DB estimamos o melhor valor para ρc , usando o limite
assintótico L → ∞ ou 1/L → 0. Ambos ρc (L) e ρc são usados na determinação do expoente
crítico referente à correlação espacial, neste caso, expresso por 1/ν e definido pela seguinte
relação de escala:
1 1/ν
[ρc (L) − ρc ] ∼ ( ) .
L
(5.6)
A figura 5.9 representa o log-log da relação de escala (5.6), a partir dos pontos da figura 5.8.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
103
A inclinação da curva correspondente a cada par de DA e DB , estima o expoente crítico
1/ν. Os valores estimados desse expoente estão representados na tabela 5.1, juntamente
com o erro da regressão linear.
As relações de escala anteriores, equações (5.5) e (5.6), implicam que os dados para
cadeias de tamanhos diferentes podem ser colocados em forma de uma escala universal.
Dessa forma, de acordo com as relações de escala acima, a diferença da densidade crítica
[ρc (L, τ ) − ρc ] como função do tamanho da cadeia e do tempo de relaxação podem ser
escritas, na vizinhança do ponto crítico, como
1 1/ν
[ρc (L, τ ) − ρc ] ∼ ( ) f (τ L−z ),
L
(5.7)
onde f (x) é uma função de escala universal. Nas figuras 5.10 - 5.14, mostramos os dados
dos casos representativos para cada regime difusivo na forma do argumento de escala
(5.7). O colapso dos dados em uma única curva indicam uma maior precisão das estimativas dos parâmetros críticos ρc , 1/zν e 1/ν.
Finalmente, a seguir, faremos uma analise comparativa dos resultados obtidos,
neste trabalho, e os resultados prévios encontrados na literatura dos expoentes z e ν. Apresentamos na tabela 5.2 as predições da teoria de Grupo de Renormalização [137–140] e um
recente resultado numérico usando uma técnica de simulação computacional conhecida
como método quase estacionário [144]. As técnicas analíticas indicam z = ν = 2 e evidência
de transição de fase de primeira ordem para o caso DA > DB . É importante enfatizar que
as predições analíticas, embora válidas em todas as ordens da expansão em = 4 − d, é baseada em uma funcional truncada que leva em conta todos os termos relevantes acima de
d = 2. Portanto, correções de escalas podem ser necessárias para d = 1, onde termos adicionais podem ser relevantes. Os dados da simulação [144] são consistentes com as predições
analíticas, exceto para uma pequena diferença nos valores dos expoentes críticos para o
caso DA < DB . Em nossos resultados, não encotramos diferenças relevantes nas previsões
de Grupo de Renormalização, com expoentes sendo rigorosamente independentes do regime de difusão dentro de nossa precisão numérica. Portanto, a possibilidade de uma
transição de primeira ordem para DA > DB está descartada, apoiando os resultados numéricos anteriores de [144] e em contraste com a previsão de transição de fase de primeira
ordem da expansão em = 4 − d.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
104
Tabela 5.2: Propriedades críticas do processo epidêmico difusivo unidimensional obtido através
de Grupo de Renormalização (GR) e de simulações.
caso
GR [137–140]
Maia [144]
DA
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.25
DB
0.25
0.50
0.75
0.25
0.50
0.50
ν
2
2
2
2.3(3)
2.0(2)
1.77(3)
z
2
2
2
2.01(4)
2.02(4)
1.6(2)
Figura 5.3: Densidade típica de indivíduos ativos (doentes) ρ(L, τ ) versus tempo, ilustrando a
evolução temporal do M BA para duas condições iniciais diferentes. Usamos, nesta figura, τ = 10,
L = 800, DA = 0.75 e DB = 0.25. O estado estacionário independe das condições iniciais, implicando
uma transição contínua devido a ausência de histerese.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
105
Figura 5.4: Parâmetros de ordem ρB como função da densidade total de indivíduos ρ. Usamos,
nesta figura, τ = 1000, L = 800, DA e DB como indicado na legenda do gráfico. Este conjunto de
curvas indica, claramente, uma transição de fase contínua em todos os regimes estudados. Em
particular, destacamos a transição de fase contínua para o caso DA > DB , que contradiz a predição
da técnica de Grupo de Renormalização de uma transição de fase de primeira ordem.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
106
Figura 5.5: Densidade típica de indivíduos ρ versus tempo, ilustrando a evolução temporal do
M BA para o estado estacionário. Usamos, nesta figura, τ igual a 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640 e 1000,
L = 800, DA = 0.75 e DB = 0.25. A média em cada valor de τ fornece ρc (L, τ ).
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
107
Figura 5.6: Densidade média de indivíduos ρc (L, τ ) versus o inverso do tempo de relaxação τ . A
extrapolação de cada curva fornece a pseudo-densidade crítica ρc (L). Usamos L = 800 para este
conjunto particular de curvas. Na legenda, indicamos os casos analisados DA e DB .
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
108
Figura 5.7: A figura mostra a diferença [ρc (L) − ρc (L, τ )] versus 1/τ . O ajuste em lei de potência
fornece o expoente crítico 1/zν em concordância com a equação (5.5). A legenda indica os símbolos
correspondendo aos parâmetros analisados DA e DB . Ver figura 5.6.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
109
Figura 5.8: A figura mostra a pseudo-densidade crítica de indivíduos doentes ρc (L) versus o
inverso do tamanho do sistema L. A extrapolação de cada curva, fornece o ponto crítico ρc . Indicamos na legenda os casos analisados DA e DB .
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
110
Figura 5.9: A figura mostra a diferença [ρc (L) − ρc ] versus o inverso do tamanho do sistema. O
ajuste em lei de potência fornece o expoente crítico 1/ν de acordo com a equação (5.6). Indicamos
na legenda os símbolos correspondendo aos parâmetros analisados DA e DB . Ver figura 5.8.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
111
Figura 5.10: A figura mostra o colapso de dados para sistemas de tamanhos diferentes, mostrando
o comportamento universal dos expoentes críticos 1/ν e z para os regimes de difusão DA = 0.50 e
DB = 0.25.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
112
Figura 5.11: A figura mostra o colapso de dados para sistemas de tamanhos diferentes, caracterizando o comportamento universal dos expoentes críticos 1/ν e z para os regimes de difusão
DA = 0.75 e DB = 0.25.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
113
Figura 5.12: A figura mostra o colapso de dados para sistemas de tamanhos diferentes, caracterizando o comportamento universal dos expoentes críticos 1/ν e z para os regimes de difusão
DA = 0.50 e DB = 0.50.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
114
Figura 5.13: A figura mostra o colapso de dados para sistemas de tamanhos diferentes, caracterizando o comportamento universal dos expoentes críticos 1/ν e z para os regimes de difusão
DA = 0.250 e DB = 0.75.
Capítulo 5. Estudo das Propriedades Críticas do Processo Epidêmico Difusivo 1D
115
Figura 5.14: A figura mostra o colapso de dados para sistemas de tamanhos diferentes, caracterizando o comportamento universal dos expoentes críticos 1/ν e z para os regimes de difusão
DA = 0.25 e DB = 0.50.
CAPÍTULO 6
CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS
Nas últimas décadas, tem surgido uma grande revolução no meio científico: a
interdisciplinaridade. Não exite mais um tema de um campo específico. O que é diferente hoje é a técnica. Neste contexto interdiciplinar, a Física tem enveredado pelas áreas
da Linguística, Economia, Biologia, Química, Informática, Geologia, Ciências Sociais, entre outras áreas do conhecimento humano. Com isso, fenômenos altamente complexos
e díspares tais como avalanches, terremotos, as batidas do coração, o funcionamento do
cérebro, a organização das estruturas linguísticas, o comportamento caótico das bolsas de
valores, o dobramento das proteínas, as informações codificadas no DNA, os processos de
catálise, por exemplo, começaram a ser entendidos, de uma forma unificada e lógica dentro de um campo de pesquisa conhecido, atualmente, como Sistemas Complexos. Dentro
deste contexto interdiciplinar dos Sistemas Complexos, abordamos dois problemas de relevância significativa e que têm sido amplamente discutido na literatura nos últimos anos.
O primeiro desses problemas é relativo ao conceito de extensividade e sua relação
com as Redes Complexas, que é inspirado em uma proposta de Soares et al que relaciona
o conceito de não extensividade a Redes Complexas. Dessa forma, baseado na proposta
de Soares et al e de posse de uma nova estatística extensiva generalizada introduzida por
G. Kaniadakis, propomos que é possível fazer uma conexão entre dois campos completamente distintos, a saber: as Redes Complexas e o conceito de entropia.
Então, partindo da nova definição de entropia, baseada no parâmetro de deformação κ, mostramos que a distribuição de conectividades P (k) de uma rede livre de escala,
116
Capítulo 6. Considerações Finais e Perspectivas
117
emerge naturalmente da κ-Estatística. A veracidade de nossa proposta, foi verificada a
partir de um modelo geográfico de crescimento de rede com ligação preferencial. Neste
modelo, o crescimento e as ligações entre os nós da rede obedecem a dois parâmetros reais
positivos representados por αA e αG , respectivamente. A viabilidade de nossa proposta
também foi comparada a um estudo realizado por Soares et al, para este mesmo modelo,
no contexto da entropia de Tsallis. A seguir, apresentamos os principais resultados de
nosso estudo.
Em nossas simulações, confirmamos os resultados encontrados por Soares et al
de que a distribuição de concetividades não é influenciada pelo parâmetro de crescimento
αG , mas é, substancialmente, influenciada pelo parâmetro de ligação preferencial αA . Adicionalmente, mostramos também que a distribuição de conectividades é numericamente
consistente com a κ-exponencial expressa pela equação (3.36).
Em particular, para αA = 0, nosso modelo também pertence à mesma classe de
universalidade do modelo de Barabási e Albert, com expoente γ = 3. Como já discutido
anteriormente a combinação entre os vínculos estatísticos e numéricos, ou seja, ∣κ∣ > 1 e
αA = 0, estabelece que κ ∈ [−1; 0.346], αA ∈ [0; 12] e ηκ ∈ [0.367; 2.451]. E, por fim, ao compararmos nossa proposta com aquela apresentada por Soares et al de acordo com teoria de
Tsallis, vemos que ambas concordam muito bem com os dados numéricos da distribuição
de conectividades P (k) para uma rede livre de escala. Os índices entrópicos, κ e q, provenientes dos melhores ajustes de P (k), são bem descritos por uma exponencial, diferindo
apenas quanto a concavidade que é dada em função dos vínculos estabelecidos para κ e
q. Quanto aos parâmetros ηκ e ηq , ambos apresentam comportamento semelhante, ou seja,
são ajustados por uma função linear dentro do intervalo de valores de αA definidos para
este trabalho.
Neste trabalho, usamos um modelo de rede que é uma extensão do modelo proposto por Barabási e Albert em 1999, no sentido de que é uma rede mais “democrática”.
A razão disso é o parâmetro αA que quebra os pólos, permitindo uma melhor distribuição das ligações na rede. Assim, à medida que αA cresce a rede evolui continuamente de
uma rede tipo Barabási e tende para uma rede completamente aleatória de acordo com
o crescimento de αA . O interessante é que uma rede com propriedades não extensivas,
comporta-se, numericamente, segundo uma distribuição proveniente de uma teoria extensiva. Isso é possível, porque ambas distribuições que ajustam os dados numéricos do
modelo, têm caudas que seguem uma lei de potência. Uma extensão que parece natural
para este modelo, tornando-o mais relista, é a adição de custos de energia a cada ligação.
Capítulo 6. Considerações Finais e Perspectivas
118
Neste caso, as ligações que têm pesos iguais passariam a ter pesos distintos distribuídos
aleatoriamente. Um questionamento inerente a esse novo modelo de rede é: como se comporta a distribuição de energia das ligações dos nós à medida que a rede cresce? O que
dizer da distribuição de conectividade? É possível que tais distribuições sejam consistentes com a κ-exponencial expressa pela equação (3.36)? Essas são questões pretendemos
responder em nossas futuras investigações.
O segundo problema que tratamos nesta tese, é relativo ao estudo das propriedades críticas do processo epidêmico difusivo unidimensional realizado com a ajuda
do Método de Musca Automática proposto por Andrade Jr. et al em 1997. Este método
tem se mostrado eficiente, pois se tem conseguido excelentes resultados com pequeno
esforço computacional em diversos problemas como: percolação em multicamadas, sistemas magnéticos, pilhas de areia, entre outros. Aqui, é a primeira vez que o M BA é
aplicado a um modelo difusivo.
Neste trabalho, o método se mostrou eficiente para processo epidêmico difusivo
unidimensional, determinando com sucesso os expoentes críticos ν e z. De fato, os expoentes calculados estão em boa concordância com os resultados apresentados na literatura,
obtidos através de métodos da Teoria de Campo e simulações computacionais. Entretanto, nossos resultados mostram que, ao contrário, das predições de Teoria de Grupo
de Renormalização, não observamos descontinuidade durante a transição de fase para o
regime difusivo DA > DB , corroborando com os resultados obtidos via método de simulação quase estacionária. Entretanto, é necessário ainda uma análise mais acurada a respeito
desses fatos, pois temos investigado o problema em uma dimensão inferior àquelas das
previsões analíticas.
Em contribuições futuras, pretendemos fazer uma análise numérica em redes com
dimensão superior a d = 2 para este modelo em estudo. O objetivo é investigar a possibilidade de transição de fase de primeira ordem para o regime difusivo DA > DB . Neste novo
contexto, pretendemos investigar o processo epidêmico difusivo, empregando o método
quase estacionária, utilizado por Dickman e colaboradores para investigar o processo epidêmico difusivo em d = 1 e d = 2. Deveremos empregar este método para todos os regimes
difusivos, incluindo o caso limite para o regime DA > DB em d = 1.
REFERÊNCIAS
[1] BASSALO, j. M. F.; NASSAR, A. B.; CATTANI, M. S. D. Aspectos Contemporâneos
da Termodinâmica. RBEF, v. 21, n. 3, p. 366-379, set. 1999.
[2] VOLCAN, S. B.; VIDEIRA, A. A. P. Reversibilidade Microscópica versus Irreversibilidade Macroscópica na Mecânica Estatística Clássica. RBEF, v. 23, n. 1, p. 19-37,
mar. 2001.
[3] PATRIA, R. K. Statistical Mechanics. 2ed. Canada: Pergamon Press, 1996.
[4] VOLCAN, S. B. A probabilidade na Mecânica Estatística Clássica. RBEF, v. 28, n. 3,
p. 313-318, set. 2006.
[5] FULCO, U. L. Estudo de propriedades críticas em Sistemas Complexos: Método de
Busca Automática em sistemas tipo Ising e propriedades de longo alcance. 2000.
68f. Dissertação (Mestrado em /física) - Departamento de Física Teórica e Experimental, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Rio Grande do Norte,
2000.
[6] SOCIEDADE BRASILEIRA DE FÍSICA. Física para o Brasil: Pensando o Futuro. São
Paulo: SBF, 2005.
[7] MACEDO FILHO, A. de. Processo de difusão com agregação e reorganização espontânea em uma rede 2D. 2008. 90f. Dissertação (Mestrado em Física) - Departamento de Física Teórica e Experimental, Universidade Federal do Rio Grande do
Norte, Natal, Rio Grande do Norte, 2008.
119
Referências
120
[8] DOROGOVTSEV, S. N. Lectures on complex networks. New York: Oxford University Press, 2010.
[9] DOROGOVTSEV, S. N.; MENDES, J. F. F. Evolution of networks: from biological
nets to the Internet and WWW. New York: Oxford University Press, 2003.
[10] ALBERT, R.; BARABÁSI, A. L. Statistical Mechanics of complex networks. Rev.
Mod. Phys. v. 74, n. 1, p. 47-97, jan. 2002.
[11] BUCHANAN, M. Nexus:
Small worlds and the groundbreaking science of
networks. New York: Norton, 2002.
[12] NEWMAN, M.; BARABÁSI, A. L.; WATTS, D. J. The Structure and dynimics of
networks. New Jersey: Princeton University Press, 2006.
[13] HARARY, F. Graph Theory. MA: Addison-Wesley, 1969.
[14] WEST, D. B. Introduction to Graph Theory. New Jersey: Prentice Hall, 1996.
[15] MOREIRA, D. A. Percolação convencional, percolação correlacionada e percolação
por invasão num suporte multifractal. 2005. 92f. Dissertação (Mestrado em Física) Departamento de Física Teórica e Experimental, Universidade Federal do Rio Grande
do Norte, Natal, Rio Grande do Norte, 2005.
[16] MACEDO FILHO, A. de et al. Critical properties of the diffusive epidemic process
obtained via an automatic search technique. J. Stat. Mech., v. 2010, n. 04/P04027, p.
1742-5468, apr. 2010.
[17] PASTOR-SATORRAS, R.; VESPIGNANI, A. Epidemic spreading in scale-free
Netwiorks. Phys. Rev. Lett. v. 86, n. 14 , p. 3200–3203, apr. 2001.
[18] SOARES, D. J. B. Contribuição ao estudo de modelos estocásticos geométricos e de
Séries Temporais. 2004. 86f. Tese (Doutorado em Física) - Departamento de Física
Teórica e Experimental, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Rio
Grande do Norte, 2004.
[19] RODRIGUES, F. A. Caracterização, classificação e análise de Redes Complexas.
2007. Tese (Doutorado em Física) - Instituto de Física de São Carlos, Universidade
de São Paulo, São Carlos, São Paulo, 2007.
Referências
121
[20] ALMEIDA, L. J. Detecção de comunidades em Redes Complexas utilizandro multinível. 2009. Dissertação (Mestrado em Física) - Instituto de Ciências Matemática e
Computação, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, São Paulo, 2009.
[21] ERDÖS, P.; RÉNYI, A. On Random Graphs. Publicationes Mathematicae, v. 6, p.
290–297, 1959.
[22] ALMEIDA, M. L. de. Dinâmica e estrutura de Redes Complexas no Modelo de Afinidade. 2009. 73f. Dissertação (Mestrado em Física) - Departamento de Física Teórica
e Experimental, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Rio Grande
do Norte, 2009.
[23] MENDES, G. A. Contribuição ao estudo de Redes Complexas: Modelo de Afinidade. 2007. 78f. Dissertação (Mestrado em Física) - Departamento de Física Teórica e
Experimental, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Rio Grande do
Norte, 2007.
[24] MILGRAM, S. The small world problem. Psichology today, v. 2, p. 60-67, may 1967.
[25] BRODER, A. et al. Graph structure in the Web. Computer Networks, v. 33, n. 1-6, p.
309-320, june 2000.
[26] NEWMAN, M. E. J.; STROGATZ, S. H.; WATTS, D. J. Random graphs with arbitrary
degree distributions and their applications. Phys. Rev. E, v. 64, n. 2, p. 026118, july
2001.
[27] ADAMIC, L. A. et al. Power-law distribution of the World Wide Web. Science, v.
287, p. 2115, mar. 2000.
[28] FALOUTSOS, M.; FALOUTSOS, P.; FALOUTSOS, C. On power-law relationships of
the Internet topology. ACM SIGCOMM’99, v. 29, n. 4, p. 251-262, oct. 1999.
[29] REDNER, S. How popular is your paper? An empirical study of the citation distribution. The European Physical Journal B, v. 4, n. 2, p. 131-134, apr. 1998.
[30] TSALLIS, C.; ALBUQUERQUE, M. P. de. Are citations of scientific papers a case of
nonextensivity?. The European Physical Journal B-Condensed Matter and Complex
Systems, v. 13, n. 4, p. 777-780, 2000.
[31] VAZQUEZ, A. Statistics of citation networks. arXiv:cond-mat/0105031v1, 2001.
Referências
122
[32] BARABÁSI, L. A.; ALBERT, R. Topology of evolving networks: local events and
universality. Phys. Rev. Lett., v. 85, n. 24, p. 5234-5237, dec. 2000.
[33] NEWMAN, M. E. J. Scientific collaboration networks. I. Network construction and
fundamental results. Phys. Rev. E, v. 64, n. 1, p. 16131, june 2001.
[34] BARABÁSI, A. L. et al. Evolution of the social network of scientific collaborations.
Physica A, v. 311, n. 3-4, p. 590-614, aug. 2002.
[35] JEONG, H. et al. The large-scale organization of metabolic networks. Nature, v. 407,
n. 6804, p. 651-654, oct. 2000.
[36] WAGNER, A.; FELL, D. A. The small world inside large metabolic networks. Proc
Biol Sci, v. 268, n. 1478, p. 1803-1810, sept. 2001.
[37] JEONG, H. et al. Lethality and centrality in protein networks. Nature, v. 411, n. 6833,
p. 41-42, may 2001.
[38] WAGNER, A. The yeast protein interaction network evolves rapidly and contains
few redundant duplicate genes. Mol. Biol. Evol., v. 18, n. 7, p. 1283-1292, mar. 2001.
[39] FERRER I CACHO,R.; SOLÉ, R. V. The small world of human language. Proc. Biol.
Sci., v. 286, n. 1482, p. 2261-2265, nov. 2001.
[40] VALVERDE, S.; SOLÉ, R. V. Self-organized critical traffic in parallel computer
networks. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, v. 312, n. 3-4, p.
636-648, sept. 2002.
[41] FERRER I CACHO,R.; SOLÉ, R. V. Optimization in complex networks. Statistical
mechanics of complex networks, v. 625, n. 2003, p. 114-126, 2003.
[42] ABE, S.; SUZUKI, N. Itineration of the Internet over nonequilibrium stationary
states in Tsallis statistics. Phys. Rev. E, v. 67, n. 1, p. 16106, jan. 2003.
[43] DOYE, J. P. K. Network topology of a potential energy landscape: A static scale-free
network. Phys. Rev. Lett., v. 88, n. 23, 238701, may 2002.
[44] SOLOMONOFF, R. J.; RAPAPORT, A. Connectivity of random nets. Bulletin of
Mathematical Biophysics, v. 13, n. 2, p. 107-117, june 1951.
Referências
123
[45] SOLOMONOFF, R. J.; RAPAPORT, A. An exact method for the computation of the
connectivity of random nets. Bulletin of Mathematical Biophysics, v. 14, n. 2, p. 153157, 1952.
[46] GILBERT, E. N. Random Graphs. Ann. Math. Statist., v. 30, n. 4, p. 1141-1144, july
1959.
[47] BARABÁSI, A.L.; ALBERT, R. Emergence of scaling in random networks. Science,
v. 286, n. 5439, p. 509-512, oct. 1999.
[48] BARABÁSI, A. L.; ALBERT, R.; JEONG H. Mean-field theory for scale-free random
networks. Phys. A, v. 272, n. 1-2, p. 173-187, oct. 1999.
[49] WATTS, Duncan J.; STROGATZ, Steven. H. Collective dynamics of small-world
networks. Nature, v. 393, n. 6684, p. 440-442, june 1998.
[50] YULE, G. U. A mathematical theory of evolution based on the conclusions of Dr.
J.C. Willis. Philosophical Transactions of the Royal Society of London (Series B), v.
213, p. 21-87, 1925.
[51] SIMON, H. A. On a class of skew distribution functions. Biometrika, v. 42, n. 3-4, p.
425-440, dec.1955.
[52] PRICE, D. J. de S., Networks of scientific papers. Science, v. 149, n. 3683, p. 510-515,
july 1965.
[53] Merton, R. K., The Matthew effect in science. Science, v. 159, n. 3810, p. 56-63, jan.
1968.
[54] PASTOR-SATORRAS, R.; VÁSQUEZ, A.; VESPIGNANI, A. Dynamical and Correlation Properties of the Internet. Phys. Rev. Lett., v. 87, n. 25, p. 258701, nov. 2001.
[55] LILJEROS, F. et al. The Web of Human Sexual Contacts, Nature, v. 411, n. 6840, p.
907-908, june 2001.
[56] KRAPIVSKY, P. L.; REDNER, S.; LEYVRAZ, F. Connectivity of Growing Random
Networks. Phys. Rev. Lett., v. 85, n. 21, p. 4629-4632, nov. 2000.
[57] BIANCONI G.; BARABÁSI, A. L. Competition and multiscaling in evolving
networks. Europhys. Lett., v. 54, n. 4, p. 436-442, may 2001.
Referências
124
[58] SANTOS, Antonio Marques. Contribuição ao estudo das Redes Complexas: Extensão do Modelo de Afinidade. 2010. Dissertação (Mestrado em Física) - Departamento
de Física Teórica e Experimental, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Rio Grande do Norte, 2010.
[59] SOARES, D. J. B. et al. Preferential attachment growth model and nonextensive statistical mechanics Europhys. Lett., v. 70, n. 1, p. 70-71, apr. 2005.
[60] MENDES, J. F. F. Física das redes complexas. Gazeta da Física, v. 28, n. 4, p. 10-16,
out. 2005.
[61] MENESES, Marcelo D. S. de et al. Preferential Attachment Scale-Free Growth Model
with Random Fitness and Connection with Tsallis Statistics. Prog. Theor. Phys., n.
162, p. 131-137, 2006.
[62] BARABÁSI, A.L.; ALBERT, Réka; JEONG, Howoong. Scale-free characteristics of
random networks: the topology of the world-wide web. Phys. A, v. 281, n. 1-4, p.
69-77, june 2000.
[63] BOLLOBÁS, B.; RIORDAN, O. M. The diamiter of a scale-free random graph. Combinatoria, v. 24, n. 1, p. 5-30, july 2004.
[64] SALINAS, S. R. A. Introdução à Física Estatística. 2ed. São Paulo: Edusp, 2008.
[65] BORGES, Ernesto P. Irreversisibilidade, desordem e incerteza: três visões da generalização do conceito de entropia. RBEF, v. 21, n. 4, p. 453-463, dez. 1999.
[66] BASSALO, J. M. F.; NASSAR, A. B.; CATTANI, M. S. D. Aspectos conteporâneo da
Mecânica Estatística. RBEF, v. 21, n. 4, p. 528, dez. 1999.
[67] HUANG, K. Statistical Mechanics. 2nd. John Wiley and Sons, 1987.
[68] CATTATI, M.; BASSALO, J. M. F. Entropia, reversibilidade, irreversibilidade, equação de transporte e teorema H de Boltzmann e o teorema de Poincaré. RBEF, v. 30,
n. 2, p. 2301, jun. 2008.
[69] LARANJEIRAS, C. C.; CHIAPPIN, J. R. N. A construção de uma teoria de ensembles: antecedentes em Maxwell e Boltzman. RBEF, v. 30, n. 1, p. 1601, mar. 2008.
Referências
125
[70] HUANG, X. P.; DRISCOLL, C. F. Relaxation of 2D turbulence to a metaequilibrium
near the minimum ensthrophy state. Phys. Rev. Lett., v. 72, n. 14, p. 2187-2190, apr.
1994.
[71] BOGHOSIA, B. M. Thermodynamics description of the relaxation of twodimensional turbulence using Tsallis statistics. Phys. Rev. E, v. 53, n. 5, p. 4754-4763,
may 1996.
[72] TAGUCHI, Y. H.; TAKAYUASU, H. Power Law Velocity Fluctuations Due to Inelastic Collisions in Numerically Simulated Vibrated Bed of Powde. Europhys. Lett.,
v. 30, n. 8, p. 499, june 1995.
[73] KLAYTON, D. D. Maxwellian relative energies and solar neutrinos. Nature, v. 249,
n. 5453, p. 131, may 1974.
[74] TSALLIS, C. J. Stat. Phys. v. 52, p. 479, 1988.
[75] TSALLIS, C. Nonextensive statistics: theoretical, expererimental and computational evidences and connexions. Brazilian Journal of Physics, v. 19, n.1, p. 1-35, mar.
1999.
[76] TSALLIS, C. Connection between scale-free networks and nonextensive statistical
mechanics. The European Physical Journal: Especial topics, v. 161, n. 1, p. 175-180,
2008.
[77] TSALLIS, C. Introdution to Nonextensive Statistical Mechanics. New York: Springer, 2009.
[78] ALBERT, R.; BARABÁSI, A.L. Topology of Evolving Networks: Local Events and
Universality. Phys. Rev. Lett.. v. 85, n. 24, p. 5234-5237, dec. 1999.
[79] RENYI, A. Probability theory. North-Holland, Amsterdam, 1970.
[80] SHARMA, B. D.; MITTAL, D. P. New nonadditive measures of entropy for discrete
probability distributions. J. Math. Sci., v. 10, p. 28-40, 1975.
[81] KANIADAKIS, G. Non-linear kinetics underlying generalized statistics. Physica A,
v. 296, n. 3-4, p. 405-425, july 2001.
[82] KANIADAKIS, G.; SCARFONE, A. M. A new one-paramiter deformation of the
exponential function. Physica A, v. 305, n. 1-2, p. 69-75, mar. 2002.
Referências
126
[83] KANIADAKIS, G. Statistical mechanics in the context of special relativity. Phys.
Rev. E, v. 66, n. 5, p. 056125, nov. 2002.
[84] KANIADAKIS, G.; LISSIA, M.; SCARFONE, A. M. Two-parameter deformations
of logarithm, exponential, and entropy: A consistent framework for generalized
statistical mechanics. Phys. Rev. E, v. 71, n. 4, p. 046128, apr. 2005.
[85] KANIADAKIS, G.; SCARFONE, A. M. Lesche stability of κ-entropy. Physica A, v.
340, n. 1-3, p. 102-109, sept. 2004.
[86] CARVALHO, J. C. et al. Non-Gaussian stattistics and stellar rotational velocities of
main-sequence field stars. The Astrophysical Journal Letters, v. 696, n. 1, p. L48-L51,
may 2009.
[87] CARVALHO, J. C. et al. Observational measurement of open stellar clusters: A test
of Kaniadakis and Tsallis statistics. Europhys. Lett., v. 91, n. 6, p. 69002, sept. 2010.
[88] CLEMENTE, F.; GALLEGATI, M.; KANIADAKIS, G. A κ-generalized statistical in
personal income distribution. arXiv: cond-mat/0607090v2, 2007.
[89] MACEDO FILHO, A. de et al. Scale-free networks, Kaniadakis statistics and degree
distribution. Artigo submetido à Caos, Solitons and Fractals, 2010.
[90] KANIADAKIS, G. Statistical mechanics in the context of special relativity. II. Phys.
Rev. E, v. 72, n. 3, p. 036108, sept. 2005.
[91] Santos, A.P. et al. Kaniadakis statistics and the quantum H-theorem. Phys. Lett. A,
v. 375, n. 3, p. 352-355, jan. 2011.
[92] WILK, G; WLODARCZYK, Z. Nonextensive information entropy for stochastic
networks. arXiv:cond-mat/0212056v4, 2003.
[93] WILK, G; WLODARCZYK, Z. Information theory point of view on stochastic
networks. arXiv:cond-mat/0504253v4, 2005.
[94] HASEGAWA, H. Nonextensive aspects of small-world networks. Physica A. 365, n.
2, p. 383-401, june 2006.
[95] BROWN, R. A brief account of microscopical observations made in the months of
June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and
Referências
127
on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies. Phil.
Mag. v. 4, p. 161-173, 1828.
[96] SILVA, J.M.; LIMA, J.A.S. Quatro abordagens para o movimento browniano. RBEF,
v.29, n. 1, p. 25-35, mar. 2007.
[97] PERRIN, J. Mouvement brownien et réalité moléculaire. Ann. Chem. Phys. v. 18, n.
1, p. 5-104, 1909.
[98] CUSSLER, E. L. Difusion - Mass Transfer in Fluid Systems. New York: Cambridge
University Press, 1984.
[99] SILVA FILHO, P. C. da. Estudo de Modelos Estocásticos: Processo de Contato, Séries Aleatórias e Processos Difusivos. 2005. 130f. Tese (Doutorado em Física) - Departamento de Física Teórica e Experimental, Universidade Federal do Rio Grande
do Norte, Rio Grande do Norte, 2005.
[100] SALINAS, S. R. A. Einstein e a teoria do movimento browniano. RBEF, v. 27, n. 2,
p. 263-269, jun. 2005.
[101] LANGEVIN, P. On the theory of brownian motion. Compt. Rend. v. 146, p. 530-533,
1908.
[102] Fokker, Tese de doutorado, Leiden, 1913.
[103] PLANCK, M. Berl. Ber. p.324,1927.
[104] EDWARDS, A. M. et al. Revisiting Lévy flight search patterns of wandering albatrosses, bumblebees and deer. Nature, v. 449, p. 1044-1048, oct. 2007.
[105] FAUSTINO, C. L. et al. Search dynamics at the edge of extinction: Anomalous
diffusion as a critical survival state. Europhyisics Letters, v. 77, n. 3, p. 30002, feb.
2007.
[106] BERCHEL, B.; HENKEL, M.; KENNA, R. Fenômenos críticos: 150 anos desde Cagniard de la Tour. RBEF, v. 31, n. 2, p. 2602, jun. 2009.
[107] LANDAU, L. D.; LIFSHITZ, E. M. Statistical Physics. Massachusetts and London:
MIT press, 1966.
Referências
128
[108] TOMÉ, T. OLIVEIRA, M. J. de. Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade. São Paulo:
Edusp, 2001.
[109] RISKEN, H. The Fokker-Planck equation: Methods of Solutions and Aplications.
Series in Synergetics. V.18. New York: Springer, 1996.
[110] ASSIS JUNIOR, Pedro Carlos de. Processos difusivos generalizados. Rio Grande
do Norte, 2006. 71f. Tese(Doutorado em Física) - Departamento de Física Teórica e
Experimental, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Rio Grande do Norte,
2006.
[111] PEDRON, I. T.; MENDES, R. S. Difusão anômala e equações generalizadas de difusão. RBEF. v. 27, n. 2, p. 251-258, jun. 2005.
[112] BERRYMAN, J. R. Evolution of a stable profile for a class of nonlinear diffusion
equations with fixed boundaries. J. Math. Phys. v. 18, n. 11, p. 2108-2115, nov. 1977.
[113] SHLESINGER, M. F.; KLAFTER, J.; WEST, B. J. Lévy walks with aplications to turbulence and chaos. Physica A, v. 140, n. 1-2, p. 212-218, dec. 1986.
[114] SHLESINGER, M. F.; KLAFTER, J.; WEST, B. J. Lévy dynamics of enhanced diffusion: aplication to turbulence . Phys. Rev. Lett., v. 58, n. 11, p. 1100-1103, mar.
1987.
[115] SPOHN, H. Surface dynamics below the roughening transition. J. Phys. I France,
v. 3, n. 1, p. 69-81, jan. 1993.
[116] STEPHERSON, J. Some non-linear diffusion equations and fractal diffusion. Physica A, v. 222, n. 1-4, p. 234-247, dec. 1995.
[117] BYCHUK, O.V.; O’SHAUGHNESSY, B. Anomalous Diffusion at Liquid Surfaces.
Phys. Rev. Lett., v. 74, n. 10, p. 1795–1798, mar. 1995.
[118] GEISEL, T.; NIERWETBERG, J.; ZACHERL, A. Accelerated diffusion in Josephson
junctions and related chaotic systems. Phys. Rev. Lett., v. 54, n. 7, p. 616-619, feb.
1985.
[119] SHLESINGER, M. F.; ZASLASWKY, G. M.; KLAFTER, J. Strange kinetics. Nature,
v. 363, n. 6424, p. 31-37, may 1993.
Referências
129
[120] NOSSAL, R. Stochatic aspects of biological locomtion. J. Stat. Phys., v. 30, n. 2, p.
391-340, 1983.
[121] BASELEU, R. Anomalous transport in turbulent plasmas and continuous time
random walks. Phys. Rev. E, v. 51, n. 5, p. 4807-4822, may 1995.
[122] RICHARDSON L. F. Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbour
graph. Proc. R. Soc. London Ser. A, v. 110, n. 756, p. 709-737, 1926.
[123] VISWANATHAN, G. M. et al. Lévy flight search patterns of wandering albatrosses.
Nature, v. 381, n. 6581, p. 413-415, may 1996.
[124] HAVLIN, S. et al. Probability densities for the displacement of random walks on
percolation clusters. J. Phys. A, v. 18, n. 12, p. L1719, aug. 1985.
[125] PORTO, M. et al. Structural and dynamics properties of the percolation backbone
in two and three dimensions. Phys. Rev. E, v. 56, n. 2, p. 1667-1675, aug. 1997.
[126] OLIVEIRA, M. M. de. Simulações de sistemas com estados absorventes: método
e aplicação. 2007. Tese (Doutorado) - Departamento de Física, Universidade Federal
de Minhas Gerais, Belo Horizonte, Minas Gerais, 2007.
[127] LANDAU, D. P.; BINDER, K. A guide to Monte Carlo simulations in Statistical
Physics. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
[128] HARRIIS, T. E. Contact Interactions on a Lattice. The Annals of Probability, v. 2, n.
6, p. 969-988, 1974.
[129] SILVA FILHO, P. C. da. et al. Recursive-Search Method for Ferromagnetic Ising
Systems: Combination with a Finite-Size Scaling Approach. Braz. J. Phys, v. 32,
n.2b, p. 617-623, june 2002.
[130] OLIVEIRA, M. M. de. et al. Moment ratios for the pair-contact process with diffusion. Physical Review E, v. 74, n. 6, p. 011124, july 2006.
[131] SILVA, M. B. da. Propriedades Críticas do Processo epidêmico Difusivo com interação de Lévy. 2010. 79f. Dissertação (mestrado em Física) - Departamento de Física
Teórica e Experimental, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, Rio
Grande do Norte, 2010.
Referências
130
[132] BAK, P.; TANG, C.; WIESENFELD, K. Self-organized criticality. Phys. Rev. A, v. 38,
n. 1,p. 364-374, july 1988.
[133] ANDRADE JR., J. S. et al. Self-organization in growth of branched polymers. Phys.
A, v. 238, n. 1-4, p. 163-171, apr. 1997.
[134] PARTELI, E. J. R.; SILVA, L. R. da; ANDRADE JR., J. S. Self-organized percolation
in multi-layered structures. J. Stat. Mech., v. 2010, n. 03/P03026, p. 1742-5468, mar.
2010.
[135] LAINO, F. U.; LUCENA, L. S.; VISWANATHAN, G. M. Efficient search of critical
points in Ising-like systems. Physica A, v. 264, n. 1-2, p. 171-179, feb. 1999.
[136] LAINO, F. U. et al. Efficient search method of obtaining critical properties. Physica
A, v. 284, n. 1-4, p. 223-230, sept. 2000.
[137] KREE, R.; SCHAUB, B.; SCHMITTANN, B. et a. Effects of pollution on critical population dynamics. Phys. Rev. A, v. 39, n. 4, p. 2214-2221, feb. 1989.
[138] VAN WIJLAND, F.; OERDING, K.; HILHOST, H. J. Wilson renormalization of a
reaction-diffusion process. Physica A, v. 251, n. 1-2, p. 179-201, mar. 1998.
[139] OERDING, K. et al. Fluctuation-Induced First-Order Transition in a Nonequilibrium Steady State. J. Stat. Phys., v. 99, n. 5-6, p. 1365-1395, 2000.
OERDING, K. et al. Fluctuation-Induced First-Order Transition in a Nonequilibrium Steady State. arXiv:cond-mat/9910351v1, 1999.
[140] JANSEN, H. K. Comment on “Critical behavior of a two-species reactiondiffusion problem”. Phys. Rev. E, v. 64, n. 5, p. 058101, oct. 2000.
[141] DICKMAN, R.; MAIA, D. S. The nature of the absorbing-state phase transition in
the diffusive epidemic process. J. Stat. Mech , v. 41, n. 40, p. 1751-8121, sept. 2008.
[142] FREITAS, J. E. et al. Critical behavior of a two-species reaction-diffusion problem.
Phys. Rev. E, v. 61, n. 6, p. 6330-6336, june 2000.
[143] FULCO, U. L.; MESSIAS, D. N.; LYRA, M. L. Critical behavior of a onedimensional diffusive epidemic process. Phys. Rev. E, v. 63, n. 6, p. 066118, may
2001.
Referências
131
[144] MAIA, D. S.; DICKMAN, R. Diffusive epidemic process: theory and simulation. J.
Phys.: Condens. Matter, v. 19, n. 6, p. 065143, jan. 2007.
[145] CALLEN, Herbert B. Thermodynamics and Introduction to Thermostatistics. 2ed.
New York: John Wesley and sons, 1960.
[146] OLIVEIRA, M. J. de. Termodinâmica. São Paulo: Livraria da Física, 2005.
[147] HINRICHSEN, H. Nonequilibrium Critical Phenomena and Phase Transitions
into Absorbing States. arxiv: cond-mat/0001070v2, 2000.
[148] DURRETT, R. Lectures notes on particle systems and percolation. Pacific Grove:
Wadsworth Books, 1998.
[149] MUNÕZ, M. A.; GRINSTEIN, G.; TU, Y. Survival probability and field theory in
systems with absorbing states, Phys. Rev. E, v. 56, n. 5, p. 5101–5105, nov. 1997.
[150] BROADBENT, S. R.; HAMMERSLEY, J. M. Percolation processes I. Crystals and
mazes. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, v. 53, n. 3, p. 629-641,
july 1957.
[151] BUNDE, Armin; HAVLIN, Shlomo. Fractais and Disordered Systems. Berlim:
Springer-Verlag, 1996.
[152] SILVA FILHO, P. C. da; SILVA. Estudo de propriedades críticas no ferromagneto
de ising através do método de busca automática. Natal, RN: 2001. 68p. Dissertação
(Mestrado em Física) - Departamento de Física Teórica e Experimental, Universidade
Federal do Rio Grande do Norte, Nata, Rio Grande do Norte, 2001.
[153] LANDAU, David P; BINDER, Kurt. A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. New York: Cambridge University Press, 2000.
[154] BEZERRIL, Leonardo Mafra. O Modelo de Isisng Inomogêneo: Uma Interpretação
entre as Redes Quadrada e Triangular. Rio Grande do Norte, 2007. 67f. Dissertação
(Mestrado em Física) - Departamento de Física Teórica e Experimental, Universidade
Federal do Rio Grande do Norte, Nata, Rio Grande do Norte, 2007.
APÊNDICE A
EQUAÇÃO MESTRA
Em geral, um sistema estocástico, constituído de muitas partículas, pode ser definido por um conjunto enumerável N , das possíveis configurações n dessas partículas
(n ∈ N ). A dinâmica microscópica do sistema ocorre por meio de transições expontâneas
entre estados, m → n, a uma taxa W (n, m) ≥ 0. O conjunto de todas as configurações, as
taxas de transição e o estado inicial descrevem completamente o modelo que deverá ser
estudado.
A modelagem da dinâmica microscópica do sistema é feita mediante sua equação
mestra, formulada em termos das taxas de transição de cada estado microscópico. Essa
equação pode ser escrita levando em conta as seguinte condições [108]: consideremos a
matriz estocástica T (n, m) de uma cadeia de Markov. E suponhamos que as transições
ocorram em intervalos de tempo τ e a matriz estocástica seja dada por
T (n, m) = τ W (n, m)
(A.1)
T (n, n) = 1 − τ Ω(n).
(A.2)
com n ≠ m e
Suponhamos, ainda, que τ seja pequeno o suficiente para que a probabilidade de permanência no mesmo estado seja muito próximo de 1. A probabilidade ∑m T (m, n) = 1
implica
Ω(n) = ∑ W (m, n).
m≠n
132
(A.3)
Apêndice A. Equação Mestra
133
A equação de evolução da probabilidade de o sistema estar no estado n no l-ésimo
intervalo de tempo, tomada na forma
Pl+1 (n) = ∑ T (n, m)Pl (m) + T (n, n)Pl (n),
(A.4)
m≠n
pode ser escrita, usando as equações (A.1) e (A.2), como:
Pl+1 (n) = τ ∑ W (n, m)Pl (m) + Pl (n) − τ Ω(n)Pl (n).
(A.5)
m≠n
Definindo a probabilidade do estado n no instante t = lτ por P (n, t) = Pl (n), temos
P (n, t + τ ) − P (n, t)
= ∑ W (n, m)P (m, t) − τ Ω(n)P (n, t).
τ
m≠n
(A.6)
Agora, tomando limite τ → 0 e usando a equação (A.3), é possivel escrever:
dP (n, t)
= ∑ {W (n, m)P (m, t) − W (m, n)P (n, t)},
dt
m≠n
(A.7)
que é a equação mestra. Esta equação diferencial linear descreve o fluxo de entrada e
saída de uma certa configuração n. Os termos de entrada e saída se balanceiam de forma
que a normalização ∑n P (n, t) = 1, seja obedecida. Esta equação descreve um processo de
Markov, ou seja, um processo que não possui memória intrínseca. Esta propriedade, em
sistemas com um número finito de estados, garante a unicidade do estado estacionário1
[126].
Examinando o lado direito da equação mestra (A.7), é possível ver que o somatório se estende apenas sobre m ≠ n. Neste caso, o elemento W (n, n) não participa dessa
equação, portanto, podemos definí-lo, convenientemente, de forma que a equação (A.7),
pode ser escrita como
ou ainda
dP (n, t)
= ∑ W (n, m)P (m, t)
dt
m
(A.8)
dP (t)
) = W P (t),
dt
(A.9)
onde P (t) é a matriz coluna cujos elementos são P (n, t) e representa a probabilidade de
1
Isto é garantido pelo Teorema de Perron-Frobenius se o processo de Markov evolui em tempo discreto. Se o tempo é contínuo,
o tempo pode ser discretizado através da introdução de um passo de tempo finito ∆t, tornando o processo a uma cadeia de Markov
com uma matriz de transição dada por T = exp(W ∆t) e aplicar o teorema Perron-Frobenius [126].
Apêndice A. Equação Mestra
134
encontrar o sistema em cada um dos seus estados microscópicos no tempo t.
A solução formal da equação (A.9), com a condição inicial P (n, 0), é dada por
P (t) = exp(tW )P (0),
(A.10)
onde P (0) é a matriz coluna cujos elementos são P (n, 0) e exp(tW ) a matriz definida por
exp(tW ) = I + tW +
t2 2 t3 3 t4 4
W + W + W + ...,
2!
3!
4!
(A.11)
sendo I a matriz identidade.
A solução (A.10), embora útil, não ajuda a encontrar uma forma explícita para
P (t). Mesmo o método tradicional de resolver equações desse tipo, por meio de autovalores e autovetores de W , às vezes, não pode ser aplicado. Neste caso, métodos aproximados são usados para obter uma solução para a equação mestra. Assim, uma aplicação
comum é a aproximação de campo médio. Este método consiste em susbstituir as variáveis microscópicas pelos seus valores médios no tempo ou no espaço. Entretanto, essas
aproximações podem perder algumas ou mesmo a maioria das propriedades de interesse
do sistema.
Uma técnica mais sofisticada, que pode apresentar bons resultados, são as expansões em séries temporais. Este método é exato desde que todos os termos da séries sejam
calculados. Entretanto, em muitas situações não é possível, do ponto de vista prático, calcular todos os termos. Se conseguirmos calcular um certo número delas, a série truncada
pode ser extrapolada. É exatamente dentro desse espírito que a expansão em série tem
sua aplicação. Estas expansões podem ser feitas, diretamente, a partir da equação mestra,
através de uma expansão temporal ou uma expansão perturbativa [108].
Nesta tese, não faremos uso de métodos analíticos como os citados nos parágrafos acima. Nos valeremos de técnicas computacionais como o método de Monte Carlo.
Neste caso, as distribuições dos estados do processo podem ser calculadas, numericamente, através da escolha aleatória entre as possíveis transições para um dado estado,
associando uma probabilidade a cada transição. Após cada transição efetuada, o tempo
é incrementado em unidades de passo de Monte Carlo. O estado estacionário é atingido
após um certo número de passos, convergindo a distribuição de estados para a solução
estacionária da equação mestra que descreve o processo em questão [126, 127].
Apêndice A. Equação Mestra
135
Um fato importante que precisamos mencionar a respeito das equações mestras,
é o que conhecemos como balanceamento detalhado. O balanceamento detalhado ocorre
quando as taxas de transição forem tais que a probabilidade estacionária, Pest (n), satisfaz
a equação
W (n, m)Pest (m) − W (m, n)Pest (n) = 0.
(A.12)
Isso significa que a probabilidade de transição m → n em um dado intervalo de tempo ∆t,
no estado estacionário, é igual a probabilidade de transição inversa n → m, para quaisquer
pares de estado m e n. Neste sentido, o balanceamento detalhado é equivalente à reversibilidade microscópica em um dado sistema, e, por conseguinte, temos que Pest (n), além
de ser a probabilidade estacionária, é também a probabilidade de equilíbrio termodinâmico.
APÊNDICE B
ESCALA DE TAMANHO FINITO
Em geral estamos interessados em calcular grandezas no limite termodinâico. Os
sistemas físicos que estudamos, em nossas simulações computacionais, são sistemas com
tamanhos L finitos. O fato de tais sistemas serem limitados geram efeitos na determinação
das propriedades físicas desses sistemas. Principalmente na determinação das propriedades críticas, que são muito sensíveis a esses efeitos.
Uma das formas de tentar minimizar os efeitos de tamanho finito, presente nesses
sistemas físicos, é fazer uma análise de escala, considerando o tamanho finito do sistema.
Este método é conhecido como análise de escala de tamanho finito1 (do inglês "Finite-Size
Scaling"). O objetivo desta técnica é retirar a dependência do tamanho do sistema e, assim,
podemos determinar suas propriedades críticas, como pontos críticos, expoentes críticos
relativos ao comprimento de correlação, parâmetro de ordem, entre outros. Este é um
método bastante utilizado em Mecânica Estatística, podendo ser usado, neste caso, em
sistemas físicos que se encontram em equilíbrio ou fora do equilíbrio. Como por exemplo,
o Modelo de Ising [129], onde as propriedades críticas são determinadas no equilíbrio
termodinâmico, ou o Modelo da Percolação [151], respectivamente.
A seguir, como ilustração, mostraremos como calcular alguns expoentes críticos
para sistemas em equilíbrio e fora do equilíbrio, usando como exemplo o Modelo de Ising
e o Modelo da Percolação, a partir da técnica da análise de escala de tamanho finito men1
Por este método não precisamos conhecer, apriori, o valor do ponto crítico correto do sistema, pois esta quantidade é determinada
juntamente com a estimativa dos expoentes críticos.
136
Apêndice B. Escala de Tamanho Finito
137
cionada no parágrafo anterior.
B.1
Análise de escala de tamanho finito para o modelo de
Ising
Inicialmente, vamos expressar nossas quantidades físicas de interesse em termos
do comprimento de correlação e da susceptibilidade [152]. Assim, temos:
ξ ∼ ∣t∣−ν
(B.1)
χ ∼ ∣t∣−γ ,
(B.2)
onde t ≡ (T − TC )/TC . T é a temperatura absoluta e TC é a temperatura crítica absoluta. As
equações B.2 e B.2 podem ser escritas uma como função da outra, como segue:
ξ ∼ χγ/ν .
(B.3)
O comprimento de correlação apresenta divergência quando nos aproximamos
do ponto crítico, em sistemas de tamanho infinito, o que implica que a susceptibilidade
também apresenta um comportamento semelhante. Entretanto, em sistemas de tamanho
finito isso não acontece. Este comportamento pode ser representado, matematicamente,
da seguinte forma: quando o sistema é infinito, a divergência ocorre quando ξ > L. A
quantidade χ também possui o mesmo comportamento para sistemas infinitos. Podemos
expressar isto da seguinte forma:
χ = ξ γ/ν χ0 (L/ξ),
(B.4)
onde χ0 é uma função adimensional de uma variável que apresenta as seguintes propriedades:
Apêndice B. Escala de Tamanho Finito
138
χ0 (x) = constante se x >> 1
(B.5)
χ0 (x) = xγ/ν se x → 0.
(B.6)
e
A equação B.4 contém toda informação necessária concernente ao comportamento
do sistema como função do tamanho L. Entretanto, nesta equação está contida a quantidade ξ que é desconhecida para nós. Desta forma, é necessário reescrevermos tal equação
de forma a retirarmos esta dependência. Para isto, definimos uma nova função adimensional χ̃, da seguinte forma:
χ̃(x) = x−γ ξ0 (xν ).
(B.7)
Substituindo a equação B.2 em B.7, obtemos
χ = Lγ/ν χ̃(L1/ν ∣t∣).
(B.8)
Esta equação pode simplesmente ser escrita como
χ = Lγ/ν χ̃(L1/ν t).
(B.9)
Esta equação, na forma como está escrita, nos mostra como a susceptibilidade
magnética se comporta em sistemas finitos de tamanho L próximo da temperatura crítica.
Nesta equação, ainda se encontra implicitamente, a função desconhecida χ̃. Esta função
é conhecida como função de escala para a susceptibilidade. Apesar de sua forma não ser
explícita, conhecemos algumas de suas propriedades. Entre elas podemos citar:
Apêndice B. Escala de Tamanho Finito
χ̃(x) → x−γ (xν )γ/ν = constante se x → 0.
139
(B.10)
Uma característica importante na equação B.9, é que toda dependência em L aparece de
forma explícita. Portanto, se medirmos χ̃ obteremos o mesmo resultado independente do
sistema. Esta propriedade nos permite usar esta equação para determinar os expoentes γ,
ν e a temperatura crítica TC .
Como ilustração, vamos supor que executamos uma série de simulações Monte
Carlo para vários sistemas com diferentes tamnhos L, num intervalo de temperatura próximo da temperatura crítica. Para cada tamanho do sistema, medimos ξL (t) para vários
valores de t. Conhecido ξL (t), podemos determinar χ̃(L1/ν t) reescrevendo a equação B.9,
da seguinte forma:
χ̃(L1/ν t) = L−γ/ν χL (t),
(B.11)
que fornece uma estimativa de χ̃ para diferentes valores da variável de escala x = L1/ν t,
para cada tamanho do sistema. Desde que esta função de escala seja a mesma para diferentes tamanhos do sistema, tais estimativas devem coincidir, colapsando todas em uma
mesma curva se as superpormos num mesmo gráfico. Esta é, portanto, a essência deste
método conhecido como colapso de dados. Entretanto, este resultado só ocorrerá se utilizarmos os valores “corretos” para os expoentes γ, ν e TC na equação B.11. Em suma, a
idéia principal, por trás dessa técnica, é calcular χ̃(x) para diferentes tamanhos L e variar
os parâmetros γ, ν e a temperatura crítica TC até que as curvas colapsem umas sobre as
outras.
Esta técnica pode ser estendida para outras grandezas termodinâmicas como calor
específico e a magnetização do sistema [153, 154], levando às seguintes relações:
C = Lα/ν C̃(L1/ν t).
(B.12)
Apêndice B. Escala de Tamanho Finito
140
e
m = L−β/ν m̃(L1/ν t), .
(B.13)
C̃(L1/ν t) = L−α/ν CL (t)
(B.14)
m̃(L1/ν t) = Lβ/ν mL (t).
(B.15)
que podem ser reescrita como:
e
Assim, variando os parâmetros como no exemplo da susceptibilidade, podemos
realizar o colapso dessas curvas, determinando os valores dos expoentes críticos e a temperatura crítica do sistema. As temperaturas críticas encontradas por meio dessas relações
de escala são equivalentes, diferindo apenas pela barra de erro.
B.2
Análise de escala de tamanho finito para o modelo da
Percolação
Na seção anterior discutimos como pode ser aplicada a técnica da Análise de Es-
cala de Tamanho Finito para sistemas de equilíbrio e, usamos para isso, o Modelo de
Ising. Em sistemas físicos fora do equilíbrio, não é diferente. A mesma análise pode ser
feita, possibilitando a determinação das propriedades críticas desses sistemas. Como ilustração, faremos uso desta técnica no Modelo da Percolação.
A transição de fase em percolação é caracterizada pelas propriedades geométricas do aglomerados próximos da probabilidade crítica pc . Uma quantidade de interesse
importante, nesse caso, é a probabilidade, P∞ , que um sítio ou uma ligação pertençam
ao aglomerado infinito (aglomerado percolante). Para p < pc existem apenas aglomerado
finitos e P∞ = 0. Para p > pc , P∞ apresenta um comportamento semelhante ao da magnetização próximo da temperatura crítica TC , sendo escrita da seguinte forma:
Apêndice B. Escala de Tamanho Finito
P∞ ∼ (p − pc )β .
141
(B.16)
Similarmente à magnetização, P∞ , que é definido como a probabilidade de que um sítio
ocupado pertença ao aglomerado infinito, descreve a ordem da transição, por meio do
expoente crítico β, e é identificado como parâmetro de ordem. Outra quantidade de interesse é o comprimento de correlação ξ, que caracteriza o tamanho linear dos aglomerados
finitos acima e abaixo de pc . Quando p se aproxima de pc , temos que
ξ ∼ ∣p − pc ∣−ν ,
(B.17)
onde ν é o mesmo acima e abaixo do limiar de percolação. Os expoentes β, ν e o ponto crítico pc , são algumas das quantidades físicas de interesse que caracterizam as propriedades
críticas em Modelos de Percolação e podem ser determinados por meio de uma análise de
tamanho finito. Para isso, precisamos de uma relação de escala que permita retirar a dependência do tamanho L do sistema e, consequentemente, determinar suas propriedades
críticas.
Considerando a função de escala definida na referência [151], podemos reescrever
a equação B.16 como segue:
P∞ ∼ (p − pc )β G(L/ξ),
(B.18)
onde G(L/ξ) é a função de escala para P∞ . Nesta expressão podemos substituir a equação
B.17 e obter
P∞ ∼ ξ −β/ν G(L/ξ).
(B.19)
Onde P∞ apresenta as seguintes propriedades:
P∞ ∼ ξ −β/ν , se L ≫ ξ
(B.20)
P∞ ∼ L−β/ν , se 1 ≪ L ≪ ξ.
(B.21)
e
Apêndice B. Escala de Tamanho Finito
142
É conveninte escrevermos a relação de escala B.19 em uma forma ligeiramente
diferente. Para tanto, multiplicamos e dividimos o lado direito desta equação por um
fator L−β/ν , obtendo
P∞ ∼ (L)−β/ν H(L/ξ),
(B.22)
onde H(x) = G(x)(x)β/ν e x = L/ξ. Esta relação pode ainda ser escrita da seguinte forma:
H(L/ξ) ∼ Lβ/ν P∞ .
(B.23)
A quantidade P∞ , do lado direito da equação B.23, é função de duas variáveis,
ou seja, é função de L e p. Entretanto, o lado esquerdo é função de uma variável apenas,
sendo H função de L/ξ, que é o tamanho relativo do aglomerado. Conseqüentemente, P∞
é descrita por uma função singular quando transformada adequadamente e vista de uma
escala relativa apropriada. Para o aglomerado infinito, a única escala relavante é o tamanho relativo do aglomerado. Se sobrepormos os gráficos de H(x) versus (p − pc )L1/ν em
um mesmo gráfico, para vários sistemas com tamanhos L distintos, percebemos que estas
curvas recaem em uma curva universal. Entretanto, este colapso só é possível mediante
a escolha adequada dos valores de β, ν e pc . Isto mostra que o sistema independe do seu
tamanho, comportando-se como se L fosse infinito.
A seguir apresentamos, por meio de um colapso de dados, um exemplo de uma
análise de escala de tamanho finito para o caso de uma percolação por sítio. O exemplo é uma rede quadrada de tamanhos L = 126, 256, 512 e 1024. A figura B.1 ilustra o
comportamento de P∞ como função da probabilidade de ocupação dos sítios da rede. De
acordo com os critérios estabelecidos nos parágrafos anteriores reescalamos cada eixo da
B.1. Para tanto, multiplicando o eixo y por Lβ/ν e para o eixo x tomamos [(p − pc )/pc ]L1/ν .
Com isso, escolhendo os parâmetros pc , β e ν “corretos”, as curvas correspondentes aos
tamanhos de rede especificados, colapsam umas sobre as outras, indicando a independência do sistema com respeito ao tamanho da rede, como ilustrado na figura B.2. O sistema,
neste caso, se comporta como sendo infinito. Para este modelo os parâmetros pc , β e ν,
que permitem o colapso das curvas, são 0.5927, 0.13888 e 1.3333, respectivamente.
Apêndice B. Escala de Tamanho Finito
143
Figura B.1: Representção do parâmetro de ordem P∞ como função da probabilidade de ocupação p em um modelo de percolação por sítio simulado em uma rede quadrada de tamanhos
L = 126, 256, 512 e 1024.
Figura B.2: Colapso das curvas de tamanhos L = 126, 256, 512 e 1024, para o modelo de percolação por sítio, mediante a escolha dos parâmetros pc , β e ν “corretos”. Este colapso indica que o
sistema se comporta como sendo infinito. Para este modelo os parâmetros críticos corretos, que
permitem o colapso das curvas, são pc = 0.5927, β = 0.13888 e ν = 1.3333.