Revista Facultad de Ingeniería
ISSN: 0717-1072
[email protected]
Universidad de Tarapacá
Chile
Aleksandr Alekseievitch, Tsoi
Regimes para Dimensionamento de Condutores de Redes de Distribuição
Revista Facultad de Ingeniería, núm. 7, enero-junio, 2000, pp. 21-28
Universidad de Tarapacá
Arica, Chile
Disponível em: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=11400703
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REVISTA FACULTAD DE INGENIERIA, U.T.A. (CHILE), VOL. 7, 2000
REGIMES PARA DIMENSIONAMENTO DE CONDUTORES DE REDES DE
DISTRIBUIÇÃO
Tsoi Aleksandr A.1
RESUMO
No trabalho, trata-se o problema de especificação de regimes a serem levados em conta em tarefas de projeto ótimo para
redes de distribuição. Este problema aqui é formalizado em forma de tarefa de redução de redundância em sistema de
inequações lineares. Desenvolvem-se método e algoritmo para resolvê-la. O método é fundamentado na estimativa
inferior e na superior do conjunto de restrições fortes. Oferecem-se critérios para essas estimativas e algoritmo geral de
redução.
ABSTRACT
The problem of definition of the regimes that must be considered in tasks of optimum project for distribution network is
discussed. This problem is formalized here in the form of redundancy reduction in the linear inequation system. The
method and algorithm are developed for its resolution. The method is founded in lower and upper estimates of the
multitude of strong restrictions. The criteria for these estimates and the general algorithm for the reduction are offered.
Sj ∈ Ω d ;
INTRODUÇÃO E FORMALIZAÇÃO DO
PROBLEMA
Em problemas de dimensionamento de condutores para
redes de distribuição, todos os regimes de sua operação
devem ser levados em conta, para que seja possível
garantir a qualidade, continuidade e confiabilidade da
energia
fornecida. Isso, contudo,
aumenta as
dimensões das tarefas referidas e dificulta suas
resoluções. Por outro lado, nem todos os regimes são
críticos para especificações de seções de condutores.
Assim, surge o problema de selecionar os regimes
essenciais (fortes), ou seja, aqueles que definem a
escolha dos condutores, eliminando os regimes que
não influenciam na solução da tarefa e, nessa forma,
são redundantes.
Matematicamente, os critérios de dimensionamento
formalizam-se em forma de sistema de restrições, que,
se forem levados em consideração todos os regimes,
torna-se o sistema seguinte de inequações [1]:
Σ nijr Vjr (Sj ) ≤ Eir ,
j ∈ Ωs
Sjmin ≤ Sj ≤ Sjmax ;
1
i ∈Ω
Ω cr, r ∈Ω
Ωr ;
(1)
(2)
(3)
Aqui : Sj é a seção transversal do condutor de trecho j;
Ω S é conjunto de todos os trechos constituintes da rede
otimizada; Vjr( Sj) é queda de tensão no trecho j para
regime r; Eir é queda permitida de tensão desde origem
até consumidor i no regime r ; nijr são componentes de
matrizes de contornos; Ω cr é conjunto de índices dos
contornos de regime r; Ω r é conjunto de índices dos
regimes: Sjmin, Sjmax são limites de seção transversal do
trecho j; Ω d é conjunto das bitolas de condutores.
As quedas de tensão são calculadas pela fórmula:
Vjr (Sj ) = nijr [ Irj(a) rj(Sj) + Irj(p) xj (Sj) ] Lj .
O sistema (1)-(3) define área D dos valores permissíveis
de seções Sj. Devido à redundância, a mesma área é
definida por uma parte das restrições do sistema
original. Os demais são redundantes. Se todas as
restrições dum regime ficarem redundantes, este regime
pode ser desconsiderado. Assim, a tarefa de escolha dos
regimes torna uma tarefa de redução de redundância em
sistema de restrições.
Universidade de Passo Fundo, Vice-Rectoria de Extensâo e Assuntos Comunitarios , Caixa Postal 611/631-CEP 99001-9709- Passo Fundo-RSBrasil, e-mail: [email protected].
REVISTA FACULTAD DE INGENIERIA, U.T.A. (CHILE), VOL. 7, 2000
Para os fins supracitados, a tarefa original pode ser
substituída pela aproximada, onde as funções tabuladas
rj(Sj), xj (Sj) são substituídos pela relações
rj (Sj) = ρj /Sj
xj (Sj) = x0j
Esta aproximação sempre deve ser feita de maneira que
a área definida pelo sistema aproximado seja localizada
dentro da D. Em razão disso, nenhuma solução
permitida da tarefa original será perdida.
Após essa aproximação, a substituição de variáveis
zj = 1/Sj - 1/Sjmax (j=1,2, ...) transforma o sistema
(1)-(3) no sistema linear seguinte
∑ nrij arj zj ≤ bri ;
(4)
j∈Ω s
zj ≤ zjmax ;
zj ≥ 0
(5)
,
onde:
arj
= Irj(a) ρj Lj ;
bri
= Eri - ∑ nijr Irj(p) xj0 Lj - ∑ nijr arj/Sjmax ;
j∈Ω s
ESTIMATIVA SUPERIOR DO CONJUNTO DE
RESTRIÇÕES FORTES
≥ 0; do contrário, o sistema seria
Para atuar com valores normalizados, dividimos todos
os primeiros e segundos membros das inequações (4)
por bri respectivas e não-nulos e das (5), por zjmax . Além
disso, introduzimos numeração unidimensional para
restrições, o que resulta no sistema
∑
j ∈Ω s
onde :
atj zj ≤ bt ;
=
Supondo que o conjunto de soluções admissíveis não é
vazio, conforme critério adquirido no [2], restrição t é
redundante quando as seguintes condições forem
válidas
min atj/akj ≥ máx atj/akj
j∈J(+)
zj ≥ 0 .
nijr arj .
O sistema original (1)-(3) e o sistema (6) são
interligados por relação unívoca. E mais, para cada uma
das restrições redundantes do (6) corresponde uma
restrição redundante em (1)-(3) por causa da
aproximação que foi feita. Logo, o problema de escolha
dos regimes resulta na tarefa de redução de redundância
em sistema de inequações lineares.
(7)
j ∈ J(-)
min atj/akj ≥ 1
(6)
bt = 1 ou 0 ;
atj
Neste trabalho, realiza-se uma tentativa de aproveitar
as características positivas dos dois critérios
supracitados, desenvolvê-los e implementá-los ao
problema da procura dos regimes essenciais. Isso
resultou num algoritmo original que consta de três
passos de redução e é fundamentado na estimativa
superior e na inferior para conjunto de restrições
essenciais.
j∈Ω s
zjmax = 1/Sjmin - 1/Sjmax .
Todos os bri
incompatível .
Problemas iguais a esse existem em resoluções para
sistemas de inequações e em tarefas de programação
matemática. São conhecidos diversos métodos para
suas soluções e novos estão em desenvolvimento. Estão
sendo utilizados vários critérios de redundância. Alguns
desses requerem cálculos volumosos; outros nem
sempre resultam em redução completa de redundância.
A análise feita na área nos permitiu destacar um [2] que
é bastante eficaz e que, melhor ainda, é simples para
realizações práticas de programação, porém
sua
aplicação deixa uma certa redundância residual. Além
disso, o algoritmo referido é baseado em comparação
direta de inequações, perdendo, assim, sua eficácia. O
método fundamentado na resolução de tarefas auxiliares
de programação linear [3] resulta em garantida exclusão
completa de redundância, mas leva a cálculos
excessivos para ser aplicado diretamente.
(8)
j∈J(+)
Aqui j∈J(+) e j ∈ J(-) são, respetivamente, conjunto
dos j
referidos aos akj> 0 e akj < 0.
As condições (7),(8) foram deduzidas de consideração
de tarefa direta e de tarefa dual para um problema de
programação linear para seu caso particular de duas
restrições.
Tomando por base esse critério, desenvolve-se
algoritmo do processo direcionado de procura e
eliminação de restrições redundantes. A específica do
algoritmo fica em uso das restrições fortes de antemão
para avaliações das demais restrições. Alem disso, o
22
Aleksandr, T.- Regimes para dimensionamiento de conductores...
algoritmo repassa as avaliações mais volumosas ao
sistema previamente reduzido.
restrições são juntadas a subconjuntos de restrições
fortes T1(+).
Dividimos o conjunto original T0 de restrições (6) em
T0(-), T 0 (+) e T0 (±±) , assim
Inequações que possuem
atj ≤ amj para ∀ j ∈ Ω S
(9)
T0(-) = { t ∈ T0 : atj ≤ 0 para ∀ j∈ Ω S };
são redundantes e repassam para subconjunto de
restrições a ser excluídas T 2 (+) .
T0(+) = { t ∈ T0 : atj ≥ 0 para ∀ j∈ Ω S };
T0
(±
±)
= T0 \T0(-)∩ T
0
(+)
Subconjuntos T 1
(+)
inicial e o resto
.
Observação. Daqui por adiante, os conjuntos de
restrições e conjuntos de seus números são assinalados
igualmente.
T
0
(+)
(+)
eT
= T
0
2
(+)
(+)
são removidos do T
|T
1
(+)
∪T
2
0
(+)
Todas as inequações do T0(-) satisfazem a qualquer
vetor Z = { zj }quando todos as zj ≥ 0.
será considerado como conjunto inicial no próximo
passo do processo recursivo e o procedimento repetese.
Por isso, estas inequações são sempre redundantes.
O processo continua até quando se torna T
Inequações do T 0 (+) podem ser redundantes somente
em relação de inequações desse conjunto.
Observação. Por razões de economia, a renovação do
T 0 (+) deveria ser feita logo que uma restrição
redundante fosse encontrada.
Para demonstrar isso , vamos supor que k ∉ T 0 (+) mas
t∈ T 0 (+) . Então Jk(-) ≠ ∅ mas
Jt(-) = ∅. Logo
atj / akj ≤ 0
para j ∈ Jk(-) .
para j ∈ Jk(+) .
sendo a última impossível, a restrição t não
redundante.
é
Z2
6
1/αv2(3)
atj ≤ akj .
amj = ajmax = máx atj
= ∅.
Se fossem duas ou mais inequações incluídas amj ,
seria útil realizar redução preventiva nesse subconjunto
particular aplicando o mesmo algoritmo.
Como para todos os t∈ T 0 (+) , o conjunto Jk(-) é
vazio, a redundância das inegualdades aqui é definida
somente pela condição (8). Nesse caso, seria mais
cômodo transformar essa para a forma
De (8) segue que qualquer uma restrição
(+)
A Fig.1. apresenta ilustração para redução no T 0 (+) .
As linhas 4,5,6 aqui se referem às restrições
redundantes.
Nesse caso, a partir de (7), segue-se que
atj / akj ≤ 0
0
m para que
1/αm2(1)
4
, não pode ser redundante.
j
Com base nessa circunstância, o algoritmo de redução
do subconjunto T 0 (+) pode ser construído de modo
recursivo seguinte.
A princípio, são definidas restrições fortes de antemão,
que são aquelas que contêm ajmax j = 1,2,.... Essas
23
Z1
5
1/αm1(2)
Fig. 1.- Redundância no T
0
(+)
.
REVISTA FACULTAD DE INGENIERIA, U.T.A. (CHILE), VOL. 7, 2000
Em seguida, as inequações do T
com as do T 0 (+) . Se for
1
(+)
são comparadas
atj ≤ amj para ∀ j ∈ Ω S ,
Z2
t2
1/αm1
1/αt1
As inequações com seus membros segundos nulos
podem ser redundantes só entre si. As condições para
sua mútua-redundância são definidas somente pelas
relações (7). Porém,
de outro lado, é possível
redundância das restrições do T0 (±±) com b = 1 em
relação a esse tipo de inequações. Aqui a condição de
redundância é a relação (7) , pois, no caso, poderia ser
tomado que akj = ∞ . Pela mesma causa , se
inequações com os membros segundos nulos incluírem
no T0 (±±) , então no processo de redução no T0 (±±) , as
inequações deste tipo serão consideradas antes de todas
(Fig.3.)
Assim, o processo de redução no conjunto original
inclui eliminação das inequações pertencidas ao T0 (-) ,
redução no subconjunto T0 (+), redução preliminar no
subconjunto T0 (±±) e exclusão de redundância no resto
T0 (±±). O conjunto resultante T1 consiste de inequações
fortes do T0 (+) e doT0 (±±).
Z1
t1
Fig.2. Redundância no subconjunto T0
(±
±)
.
Para análise de redundância no resto do T0 (±±) , são
utilizadas condições (7)e (8) em conjunto. Aqui, à
semelhança de T0 (+), as restrições que contêm
componente positivo máximo no coluna de matriz de
condições são fortes a prióri. Por isso, a redução no T0
(±
±)
realiza-se da mesma forma que a redução no T0 (+).
Aqui há razão para substituir a condição (6) pela (9). A
redução no subconjunto T0 (±±) é ilustrada pela Fig.3.
Z2
Além disso, o fato que os cálculos para condição (7)
serem referidos ao sistema preliminarmente reduzido
também proporciona o aumento da eficácia , pois esses
cálculos são mais trabalhosos.
A convergência do algoritmo é fornecida por um
número limitado das inequações no sistema original
(T0). As quantidades das verificações de redundância
não ultrapassam o número de restrições no T0 menos
um.
5
1/αm2(3)
A particularidade do algoritmo é o uso das inequações
que, a prióri, pertencem ao sistema procurado de
restrições fortes para testes de redundância as demais
restrições. Isso exclui a necessidade de testes para tais
restrições e permite aumentar a eficácia do algoritmo.
Sendo simples e eficaz, o algoritmo acima não atinge a
eliminação completa da redundância. Por exemplo, na
Fig.4 , a restrição 1, sendo redundante, não satisfaz às
condições (7),(8). Isso é conseqüência de que aqui está
sendo testada redundância de uma restrição em relação
à outra , e não em relação ao conjunto inteiro de
soluções permissíveis. Assim, o T0, junto com
restrições fortes, pode conter inequações redundantes.
Nesse sentido, o T0 pode ser considerado como
estimativa superior do conjunto procurado de restrições
fortes.
6
1/αm2(1)
7
8
1/αm1(2)
Fig.3.- Redução no subconjunto T0
(±
±)
24
Aleksandr, T.- Regimes para dimensionamiento de conductores...
Z2
Z2
1
Z1
1
Z1
Fig.4. Redundância no T1
ESTIMATIVA INFERIOR DO CONJUNTO DE
RESTRIÇÕES FORTES
ak1 - at1
z2kt =  ≤ 0 ,
ak1 at2 - ak2 at1
A princípio, toma-se como original o sistema:
at1 z1 + at2 z2 ≤ bt , t∈ T
z1 , z2 ≥ 0 .
0
(+)
então, quando at1 ≤ ak1, deveria ser at2/ ak2 ≥ at1/ ak1.
;
(10)
(11)
A aplicação do primeiro algoritmo de redução para o
sistema (10),(11) reduz o conjunto T 0 até T 1⊆ T
0 . O problema de remoção da redundância residual no
T 1 está em discussão nesta parte.
No T 1 separamos subconjunto de restrições com at1
não-negativos. Assinalamos este subconjunto de T 12 .
O resto (T`12= T 1 \ T 12 ) consiste em inequações
com a2t ≥ 0 . Em caso contrário, essas seriam
redundantes e não poderiam entrar no T 1 . No T 12 ,
selecionamos uma restrição t = k a prióri forte.
Para cada um t∈ T
12
, t ≠ k , resolvemos o sistema
ak1 z1 + ak2 z2 = 1
at1 z1 + at2 z2 = 1
;
(12)
Após a aplicação do primeiro algoritmo, isso é
impossível conforme (7), que justifica não-negatividade
dos z2kt.
Em seguida, considera-se o sistema
at1 z1 + at2 z2 ≤ 1 ;
ak1 z1 + ak2 z2 ≤ 1 ;
am1 z1 + av2 z2 ≤ 1 ;
Ponto A(z1kt, z2kt) (Fig.5) referido a (12) pertence ao
semi-espaço definido pela inequação (17). Mesmo
assim, o ponto B(1/ak1, 0) pertence a ele em vigor de
(14). Consequentemente, todos os pontos do trecho AB
também pertencem a esse semi-espaço. Como 0 ≤ z2km
≤ z2kt , o ponto M(z1km, z2km) pertence ao trecho AB e
satisfaz a (17).
Z2
resultando na
z2kt
ak1 - at1
=  , (t∈ T
ak1 at2 - ak2 at1
C
12
Seja z2mt menor dos z2kt. Restrições t∈ T
têm
ak1 ≥ at1 ≥ am1
são redundantes.
t
t ≠ k).(13)
12
k
M(z1km,z2kv)
os quais
(14)
Demonstramos isso.
Após a aplicação do primeiro algoritmo de redução,
valores de z2kt não podem ser negativos. Na verdade,
admitindo que fosse
A(z1kt,z2kt)
m
B
25
(15)
(16)
(17)
Z1
D
1/αk1 1/αl1
1/αm1
1/αt1
Fig.5. Redundância no T
12
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Com z2 > z2km todos os pontos da reta m referida a (15)
satisfazem a (17). É verdade, se admitir que exista
algum ponto C(z1m, z2m) da reta m que não pertença ao
semi-espaço definido por (17) e, ao mesmo tempo,
possua z2m > z2km ; então, todos os pontos do trecho CD
não pertenceriam a esse plano, inclusive o ponto M; mas
isso entra em contradição com condições .
No T 1, o número de restrições l com membro segundo
nulo não é maior que dois. Se, pelo menos em uma
dessas restrições, ambos os coeficientes fossem nãonegativos, e um desses não fosse nulo, então, no T 1,
todas as restrições com b = 1 seriam redundantes. O
algoritmo deve concluir este teste.
Assim, as faces do poliedro definido pelo sistema (15),
(16) no quadrante positivo e todos os pontos internos
deste poliedro localizam-se no semi-espaço definido
pela restrição (17). Logo, a inequação (17) é redundante.
O conjunto T3 de restrições fortes no que o algoritmo
resulta não pode conter inequações redundantes, pois
não inclui aquelas que formam faces do poliedro de
soluções do sistema original.
Analogamente, pode ser considerado caso quando o
membro segundo da restrição k é igual zero.
Por último , considera-se o sistema geral
∑ atj zj ≤ bt
Isso permite desenhar o algoritmo seguinte de redução
da redundância no T 12 .
Para restrição
calculados
t = l
com parte direita nula
ak1 - at1
z2kl = min z2kt = min 
t∈ T 12
ak1 at2 - ak2 at1
j
,
t∈ T
1
; (20)
zj ≥ 0 .
são
(18)
Restrições l e k são fortes e são aderidas ao T3.
Restrições para que
ak1 ≥ at1
(19)
são redundantes. Essas, juntamente com l e k, são
excluídas do conjunto T 12 inicial.
O resto do T 12 toma-se por conjunto inicial novo. Para
cada uma das inequações contidas nele, conforme
fórmula (13), procura-se restrição t = m referido a z2kt
mínimo.
Nesse, para cada par de j = p , j = q , conforme o
algoritmo descrito acima, pode ser encontrado
subconjunto parcial T3pq de inequações fortes. A união
de tais subconjuntos parciais resulta no conjunto T 3 .
Em significado geométrico, os subconjuntos contêm as
inequações que contribuem para a formação das
extremidades de rastros do poliedro de soluções do
sistema (20) no quadrante positivo do plano zpOzq.
Assim, o conjunto T 3 não pode conter restrições
insignificantes, pois qualquer inequação do T 3
participa em formação, pelo menos, de uma aresta do
poliedro de soluções. Mas, de outro lado, nem todos as
arestas do poliedro ficam nas planos de coordenada.
As faces cujo cruzamento produz arestas desse tipo
podem ficar sem arestas que formam o rastro da área de
soluções. Esse caso é apresentado na Fig.6.
São redundantes as restrições para as quais as condições
(14) se satisfazem. Restrições redundantes e restrição m
são excluídas do T 12.
Z3
Daqui por adiante, o processo continua, mas como
referência, ou seja, por inequação a prióri forte, já se
toma a restrição m. Cálculos continuam até quando o
resto ficará vazio.
Se as restrições com membro segundo nulo se
ausentassem no conjunto inicial, então restrição com
maior primeiro coeficiente seria utilizada como restrição
forte inicial.
Algoritmo analógico ao supradescrito pode ser
organizado no conjunto de inequações que possuem
at2 ≥ 0.
Z1
Z2
Fig.6. Redundância no
conjunto T 3
26
Aleksandr, T.- Regimes para dimensionamiento de conductores...
Então, o conjunto T3 não contém restrições
redundantes, mas nem todos as restrições fortes do
sistema original são incluídas no T3. Nesse sentido, o
T3 pode ser entendido como estimativa inferior do
conjunto procurado de restrições essenciais.
ALGORITMO GERAL DE REDUÇÃO
Quando as estimativas T 1 , T3 forem disponíveis, para
achar o conjunto T de restrições fortes do sistema (6),
é suficiente testar a redundância no conjunto
T4 =
T1 \ T3 . Aqui já podemos aproveitar a idéia
de solução da tarefa auxiliar de programação linear, que
é bem conhecida em aplicações semelhantes [3]. Em
nosso caso, para cada um de t = k ∈ T4 , é considerada
tarefa
∑ atj zj = máx ;
(21)
j
com restrições
∑ atj zj ≤ bt
,
t∈ T1 , t ≠ k ; (22)
j
zj ≥ 0
para todos os j.
Se a solução ótima Z∗ (z∗1,z∗2 , ...) dessa tarefa satisfaz à
condição,
∑ atj z∗ j < 1 ,
então a restrição t é redundante.
Para resolver a tarefa (21),(22), é utilizado o método
símplex.
Porquanto, em procedimento do algoritmo do simplex,
passo a passo, o valor de função objetiva altera-se
monotonamente, não existindo necessidade de resolver a
tarefa (21), (22) até seu final. Para descobrir que uma
inequação é forte basta atingir solução Z° para que for
∑ atj z°j
<
j
Assim, a utilização dos subconjuntos T 1
e T 3
permite organizar procura do conjunto T em três
passos. No primeiro, a redução preliminar realiza-se
conforme o primeiro critério; depois, define-se a
estimativa inferior T3 do conjunto procurado; após,
testes das inequações que entraram no T1 e não
entraram no T3 permitem selecionar restrições que,
ºjunto com as do T3 , constituem o procurado T3 .
27
Então, o algoritmo obtido resulta na liquidação completa
de redundância. A sua eficácia é definida pela redução
provisória, que resulta na estimativa superior e na
inferior do conjunto procurado. Os critérios e algoritmos
de obtenção das estimativas são relativamente simples.
Parte final da redução, que é mais volumosa, é referida
ao conjunto subtrativo das estimativas, que é
significativamente reduzido.
Remoção do sistema (13) de qualquer inequação
significa retirar pelo menos um trecho do esquema ao
menos de um regime. Se todas as restrições para algum
regime forem redundantes, o regime inteiro pode ficar
fora de consideração. Assim, a aplicação do algoritmo
de redução resulta no conjunto dos regimes e restrições
essenciais e , por isso obrigatórias a ser levados em
conta em cálculos de projeto para redes de distribuição.
Com base no do Algoritmo foi realizado o programa
que, após ensaios práticos, foi incluído como um
auxílio ao software de otimização do Sistema CAD para
Eletroequipamentos de Aparelhos Aeronáuticos. O
programa foi utilizado também na elaboração do
Sistema para Projetos dos Circuitos Elétricos
automotivos [4]. Atualmente, em continuação fazem-se
a generalização e a modificação do algoritmo e do
programa para sua integração ao Sistema Especialista
Unificado Projetos Ótimos para Distribuição Elétrica.
O algoritmo é aplicável também à redução de
redundância para problemas de programação separável e
da linear em geral.
CONCLUSÃO
1. Nem todos os regimes e nem todos os trechos
definem de modo igual a solução para projeto ótimo
de sistemas de distribuição. Em geral, entre esses
existem regimes de carga baixa, trechos curtos e/ou
pouco carregados. Por isso, eles são redundantes e
podem ser eliminados de consideração.
2. problema de especificação dos regimes aqui é
transformado à tarefa de redução de redundância em
sistema de inequações lineares. Para resolvê-la, o
algoritmo de três passos foi adquirido. O algoritmo
fundamenta-se na estimativa inferior e na superior
do conjunto de restrições essenciais. Na obtenção da
estimativa superior, é utilizado algoritmo que usa as
restrições fortes a prióri para testes com as demais
inequações. Também testes diferenciados são usados
para avaliações das restrições que incluem e não
incluem coeficientes negativos. Na forma da
estimativa inferior é utilizado conjunto de
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inequações que contribuem para a formação de
fronteiras de rastros do poliedro de soluções.
3. O algoritmo geral para redução e os algoritmos de
aquisição para as estimativas inferior e superior
foram elaborados, tendo sido feitas as provas
necessárias.
4. A aplicação do algoritmo de redução resulta no
conjunto de regimes e restrições que não podem ser
desprezados em cálculos de dimensionamento.
BIBLIOGRAFIA
[1] A.A.Tsoi; “Programação Dinâmica em Otimização
das Redes de Multiregime de Distribuição” Revista
de la Faculdad de Ingeniería , UTA , (Chile),Vol. 5,
Desembro1998.
[2] A.I. Rudkovskaya; “Caminhos viáveis para redução
do volume de informação inicial em problemas de
planejamento ótimo de grandes dimensões”,
Software para Computadores e Sistemas
Automatizados de Administração, Moscou, 1985.
[3] T.A.Gal; “ Zur Identifikation Redundanden in
Linear Programmen”, Zeitschrift für Operation
Research, Band .19, 1975.
[4] Goryachkin V.P., Tereshuk V.S., Tsoi A. A.;
“CAD Program Pakage for Automobile Electric
Equipment” News of KSTU n. A N.Tupolev:
Kazan (Russia ), vol.2, 1996.
28