POLÍCIA MILITAR DE SANTA CATARINA
DIRETORIA DE INSTRUÇÃO E ENSINO
COLÉGIO POLICIAL MILITAR “FELICIANO NUNES PIRES”
O PONTO
O PLANO CARTESIANO
2ª Bissetriz
Bissetriz dos quadrantes Pares
1ª Bissetriz
Bissetriz dos quadrantes Ímpares
(−, +)
(+, +)
(−, −)
(+, −)
EXEMPLO
1. Determine 𝑥 para que o ponto 𝑀(𝑥 2 + 2𝑥, 15) pertença à bissetriz:
a) dos quadrantes pares;
Resolução no caderno
b) dos quadrantes ímpares;
Resolução no caderno
2. Sabendo que o ponto 𝑃 𝑘 2 − 1,1 − 2𝑘 pertence ao segundo quadrante, determine os possíveis valores de
𝑘.
Resolução no caderno
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos distintos no plano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem
os dois pontos por extremidades.
𝑃𝐴 = 𝑋2 − 𝑋1 e𝐴𝑄 = 𝑌2 − 𝑌1
portanto pelo teorema de Pitágoras;
𝒅𝑷𝑸
2
𝑑𝑃𝑄
= 𝑃𝐴2 + 𝑄𝐴2
2
𝑑𝑃𝑄
= 𝑋2 − 𝑋1
𝑑𝑃𝑄 =
𝑋2 − 𝑋1
2
+ 𝑌2 − 𝑌1
2
+ 𝑌2 − 𝑌1
2
2
EXEMPLO:
1. Qual é a distância entre os pontos 𝐴 4, 7 𝑒 𝐵(1, 3)?
Resolução no caderno
2. A distância entre os pontos 𝑃 2 + 3 5, −1 + 5 𝑒 𝑄(2 − 3 5, −1 − 5) é:
Resolução no caderno
3. Qual distância do ponto 𝐵(−1, −1) e a origem 𝑂(0, 0)
Resolução no caderno
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𝐀
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4. Calcule o perímetro do triângulo 𝑂𝐴𝐵
Resolução no caderno
5. Determine os valores de 𝑥 para os quais a distância entre os pontos 𝐴 𝑥 + 2, −3 𝑒 𝐵(3, 𝑥 − 3) é 5.
Resolução no caderno
6. Qual ponto da segunda bissetriz é equidistante de 𝑃 1, 4
Resolução no caderno
𝑒 𝑄 2, −5 ?
7. Qual é a condição para que o ponto 𝐶(𝑥, 3) seja equidistante dos eixos coordenados?
Resolução no caderno
8. Mostre que o triângulo de vértices 𝐷(0, 9), 𝐸(3, 2)𝑒 𝐹(−4, −1) é retângulo.
Resolução no caderno
DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM CERTA RAZÃO
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
Seja 𝑀 𝑋𝑀 , 𝑌𝑀 o ponto médio do segmento 𝐴𝐵. Temos que:
𝑀
𝑋𝐴 + 𝑋𝐵 𝑌𝐴 + 𝑌𝐵
,
2
2
EXEMPLO:
1.Determine as coordenadas do ponto médio 𝑀 de um segmento 𝐴𝐵,
sendo𝐴 −1, 4 𝑒 𝐵(5, 2).
Resolução no caderno
2.Dado o ponto 𝐴(1, 3) e sabendo que 𝑀(4, 1) é ponto médio do segmento 𝐴𝐵, determine o ponto 𝐵.
Resolução no caderno
3. Os vértices de um triângulo são os pontos 𝐴 0, 4 , 𝐵 2, −6 𝑒 𝐶(−4, 2). Calcule a medida da mediana 𝐴𝑀.
Resolução no caderno
4. Determinar as coordenadas dos pontos que dividem em três partes iguais um segmento de extremidades
𝐴(1, 2) e 𝐵(6, 8).
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Resolução no caderno
BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO
Baricentro é um ponto de intersecção das três medianas de um triângulo.
Dado um triângulo de vértices 𝐴 𝑥1 , 𝑦1 , 𝐵 𝑥2 , 𝑦2 𝑒 𝐶(𝑥3 , 𝑦3 ), as coordenadas de seu baricentro 𝐺 são:
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3
𝐺
,
3
3
EXEMPLO:
1. Determinar as coordenadas do baricentro do triangulo do exemplo 3 acima.
Resolução no caderno
RAZÃO DE SECÇÃO DE UM SEGMENTO
Dados três pontos 𝐴, 𝐵 𝑒 𝑃, chama-se razão de secção do segmento 𝐴𝐵 pelo ponto 𝑃, ao número real 𝑟 ≠ −1
tal que 𝑟 =
𝐴𝑃
𝑃𝐵
=
𝑋𝑃 − 𝑋𝐴
𝑋𝐵 − 𝑋𝑃
ou 𝑟 =
𝐴𝑃
𝑃𝐵
=
𝑌𝑃 − 𝑌𝐴
𝑌𝐵 − 𝑌𝑃
Desta forma se 𝑃(𝑥𝑝 , 𝑦𝑝 ) então;
𝑥𝑝 =
𝑥1 + 𝑟𝑥2
𝑦1 + 𝑟𝑦2
; 𝑦𝑝 =
1+𝑟
1+𝑟
EXEMPLO:
1. Dados os pontos 𝐴 4, 1 , 𝐵 −2, 7 𝑒 𝐶(6, −1) determinar a razão em que 𝐶 divide 𝐴𝐵.
𝐴𝐶 𝑋𝐶 − 𝑋𝐴
6−4
1
𝑟=
=
=
= −
4
𝐶𝐵 𝑋𝐵 − 𝑋𝐶 −2 − 6
ou
𝐴𝐶 𝑌𝐶 − 𝑌𝐴
−1 − 1
1
𝑟=
=
=
= −
4
𝐶𝐵 𝑌𝐵 − 𝑌𝐶 7 − (−1)
2. Dados os pontos 𝐴 −3, −5 , 𝐵 5, 11 𝑒 𝑟 = 2, determinar as coordenadas do ponto divisor.
𝑥𝑝 =
𝑥1 + 𝑟𝑥2 −3 + 2 ∙ 5 7
=
=
1+𝑟
1+2
3
Portanto as coordenadas do ponto divisor P são 𝑃
𝑦𝑝 =
7 17
3
,
3
𝑦1 + 𝑟𝑦2 −5 + 2 ∙ 11 17
=
=
1+𝑟
1+2
3
.
3. Achar os pontos que dividem o seguimento 𝐴𝐵, em três partes iguais, sabendo que 𝐴 −2, 5 e 𝐵 8, 13 .
Resolução no caderno
4. Sabendo que o baricentro G está situado nas medianas a
2
3
da medida de cada uma delas, resolva.
São dados o vértice 𝐴(6, 2) e o ponto 𝑀 3, 1 , ponto médio do lado 𝐵𝐶 de um triângulo 𝐴𝐵𝐶. Obter o
baricentro do triângulo.
Resolução no caderno
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CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Três pontos 𝐴 𝑥1 , 𝑦1 , 𝐵 𝑥2 , 𝑦2 𝑒 𝐶 𝑥3 , 𝑦3 são colineares se, e somente se:
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2 𝑦2 1 = 0
𝑥3 𝑦3 1
Que também pode ser reescrito da seguinte maneira:
𝑥1
𝑦1
𝑥2
𝑦2
𝑥3 𝑥1
𝑦3 𝑦1 = 0
EXEMPLO:
1. Verifique se os pontos 𝐴 6, 5 , 𝐵 3, 4 𝑒 𝐶(−3, 2) são colineares.
Resolução no caderno
2. Determinar o valor de 𝑥 para que os pontos 𝐴 2, −3 , 𝐵 𝑥, 7 𝑒 𝐶(𝑥, 1) sejam colineares.
Resolução no caderno
3. Determine o valor de 𝑎 para que os pontos 𝐴(2, 1), 𝐵 𝑎 + 1, 2 𝑒 𝐶 −3, −1 sejam os vértices de um
triângulo.
LISTA DE EXERCÍCIOS: PONTO
1. Dado o ponto 𝑃 3, 5 , diga qual é:
a) O ponto simétrico de 𝑃 em relação ao eixo 𝑂𝑋.
b) O simétrico de 𝑃 relativamente ao eixo 𝑂𝑌.
c) O simétrico de 𝑃 em relação à origem 𝑂.
2. Determine o valor de "𝑎" ede "𝑥" em:
a) 𝑃 5𝑎 − 3, 4 , se 𝑃 pertence ao eixo 𝑦.
b) 𝑃(𝑎 − 3, 𝑥 + 2), se 𝑃 pertence ao 3° Quadrante.
c) 𝑃 3𝑎 − 2, 𝑥 + 1 , se 𝑃 é a origem do sistema.
d) 𝑃
2, 3𝑎 − 2 , se 𝑃 pertence ao eixo 𝑋.
3. Determine a distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵, nos seguintes casos:
a) 𝐴 1, 9 𝑒 𝐵(2, 8)
b) 𝐴 −5, 4 𝑒 𝐵(−2, 7)
d) 𝐴 0, 12 𝑒 𝐵(9, 0)
e) 𝐴 −2, −1 𝑒 𝐵(−3, −4)
c) 𝐴 −3, 5 𝑒 𝐵(−3, 12)
f) 𝐴 1, 5 𝑒 𝐵(5, 1)
4. Sabendo que 𝑄 1, 𝑥 é um ponto do 4º quadrante e que a distância de 𝑄 ao ponto 𝑃 0,4 é 5 2, calcule o
valor de 𝑥.
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5. Em quais itens os pontos dados formam um triângulo?
a) 𝐴 0, −1 ,
𝐵 12, 4
c) 𝐿 4,6 , 𝑀 3,1
𝑒 𝐶 6,
3
b) 𝐹 2, 3 3 , 𝐺 5, 0 𝑒 𝐻 −1, 0
2
𝑒 𝑁 9,2
d) 𝑃 1, 3 ,
𝑄 5, 6
𝑒 𝑅 9,9
Lembre-se de que ,𝐴𝐵, 𝐵𝐶 𝑒 𝐴𝐶 são lados de um triângulo e a
soma das medidas de quaisquer dois desses lados é sempre maior
que a medida do maior lado.
6. Mostre que o triângulo 𝐴𝐵𝐶, com vértices 𝐴 3, 2 , 𝐵 1, −1 𝑒 𝐶 −2, 1 , é isósceles.
7. Dados 𝐴 0, 4 , 𝐵(−2, 1) e 𝐶
1 3
,
2 2
, mostre que o ∆𝐴𝐵𝐶 é retângulo.
8. Qual é o perímetro do quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷?
9. (CESCEA - SP) - O ponto do eixo 𝑂𝑥 equidistante dos pontos (0, −1) 𝑒 (4, 3) é?
10. Dado o ponto 𝐴(4, 1), determine um ponto 𝑃 do eixo 𝑂𝑦 tal que a distância entre 𝑃 e 𝐴 seja igual a 5.
11. Dados os pontos 𝐴 0, 3 , 𝐵 2,0 𝑒 𝐶 −7,6 , determine as coordenadas do ponto 𝐷, para que esses pontos
sejam vértices de um retângulo.
12. (UFF - RJ) - Determine o(s) valor(es) que 𝑟 deve assumir para que o ponto (𝑟, 2) diste cinco unidades do
ponto (0, −2):
13. (FUVEST - SP) - Se (𝑚 + 2𝑛, 𝑚 − 4) 𝑒 (2 − 𝑚, 2𝑛) representam o mesmo ponto do plano cartesiano.
Calcule o valor de 𝑚𝑛 .
14. Qual o ponto 𝑃 do eixo das abscissas é equidistante de 𝐴 2, 3 𝑒 𝐵(1, −1)?
15. Quais pontos da bissetriz do 1º quadrante distam 5 unidades do ponto (4, −3)?
16. Qual ponto da bissetriz do primeiro quadrante é equidistante de 4, 8 𝑒 (2, −2)?
17. Determine as coordenadas de 𝑃 𝑥, 𝑦 , sabendo que ele é equidistante aos pontos 𝑀 3,6 , 𝑁 4,3 𝑒 𝑄 0,0 .
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18. Dados 𝐴 e 𝐵, dê, em cada caso, o ponto médio do segmento 𝐴𝐵:
a) 𝐴(4, 3) e 𝐵(1, 7)
c) 𝐴 −7, −9 e 𝐵(−2, 0)
b) 𝐴 2, −1 𝑒𝐵 −4, 5
d) 𝐴 15,6 𝑒𝐵 −7,8
19. Sendo 𝐴 𝑎, 2𝑎 𝑒 𝐵 𝑏, 𝑏 − 8 , ache 𝒂 𝑒 𝒃, tal que o ponto médio de 𝐴𝐵 seja (6, 4).
20. Dados os pontos 𝐴 1, 2 𝑒 𝑀(3, 4) e sabendo que 𝑀 é ponto médio do segmento 𝐴𝐵, determine o ponto 𝐵.
21. Determine 𝑥 e 𝑦, sabendo que 𝑀 −3, −2 é ponto médio do seguimento com extremidades 𝐴 −6, 𝑦 e
𝐵 𝑥, −8 .
22. Dados 𝐴 0, 1 , 𝐵 4, −3 e 𝐶 5, 3 , calcule a medida da mediana relativa ao vértice 𝐶 do triângulo 𝐴𝐵𝐶.
23. Ache os vértices de um triângulo, sendo os pontos médios dos lados: 0, 3 , 2, −1 𝑒 −1, −2 .
24. Obtenha as coordenadas do ponto 𝑄 que divide o seguimento de extremos 𝑃 −3,5 e 𝑅 1,3 na proporção
𝑃𝑄
𝑄𝑅
2
= .
5
25. Dados 𝐴 −2, 1 𝑒 𝐵 23, 6 , determine o 𝑃, alinhado com 𝐴 𝑒 𝐵, tal que
𝐴𝑃
𝑃𝐵
1
= .
4
26. Dados 𝐴 2, 0 𝑒 𝐵 11, −6 ,ache os pontos que dividem o seguimento 𝐴𝐵 em três partes iguais.
27. Dados 𝐴 2, −3 , 𝐵 1, 2 𝑒 𝐶 6, 4 , ache o baricentro do ∆𝐴𝐵𝐶.
28. Dados os vértices 𝐴 1, 4 𝑒 𝐶 2, −1 e o baricentro 𝐺 2, 1 de um triângulo 𝐴𝐵𝐶, o vértice B está em que
quadrante?
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29. O gráfico ao lado é da temperatura de um corpo em função do tempo, ao ser aquecido por uma fonte que
libera energia a uma potência constante.
a) Qual é a temperatura quando 𝑡 = 5 𝑚𝑖𝑛?
b) Qual é a temperatura quando 𝑡 = 6 𝑚𝑖𝑛?
c) Para qual valor de 𝑡 a temperatura é de 36° 𝐶?
30. Verifique em cada caso se os três pontos estão alinhados ou não:
a) −2,4 , 1,1 𝑒 2, 0
b) 4,5 , 0,0 𝑒 5,4
c) 4,3 , 2, −1 𝑒 7,9
d) 0,5 , 5,0 𝑒 11, −5
31. Verifique se estão alinhados os pontos 1, −1 , −1, −5 , −3, −9 𝑒 7,11 .
32. Verifique se os pontos 𝐴(−1, 2), 𝐵 0, 5 𝑒 𝐶(2, 11) são colineares.
33. Para que valor de 𝑦 os pontos 𝐴 3, 7 , 𝐵 11, 1 𝑒 𝐶(−1, 𝑦) são colineares?
34. Explique por que os pontos 𝐴 𝑎, 𝑏 + 𝑐 , 𝐵 𝑏, 𝑎 + 𝑐 𝑒 𝐶 𝑐, 𝑎 + 𝑏 não podem formar um triângulo.
35. Para que valores do número real 𝑝 os pontos 𝐴 3, 1 , 𝐵 0, 2 𝑒 𝐶 −6, 𝑝 são vértices de um mesmo
triângulo?
A RETA
EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Seja a reta r que passa pelos pontos distintos 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) e 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 ).
Seja 𝑃(𝑥, 𝑦)um ponto genérico dessa reta 𝑟.
Evidentemente, P está alinhado com A e com B; vale, pois,
a condição de alinhamento:
𝑥 𝑦 1
𝑥1 𝑦1 1 = 0
𝑥2 𝑦2 1
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r
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Resolvendo o determinante temos:
𝑥1 𝑦2 + 𝑥𝑦1 + 𝑥2 𝑦 − 𝑥𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 − 𝑥1 𝑦 = 0
𝑥 𝑦1 − 𝑦2 + 𝑦 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 = 0
Fazendo: 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑎
𝑥2 − 𝑥1 = 𝑏
𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1 = 𝑐
obtemos a equação geral da reta
𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
EXEMPLO:
1. Obter a equação geral da reta s que passa pelos pontos 𝐴(2, −1) 𝑒 𝐵(0, 3).
Resolução no Caderno
3. Determine as equações das retas suportes dos lados do triângulo cujos vértices são
𝐴 0, 0 , 𝐵 1, 3 𝑒 𝐶 4, 0 .
Resolução no Caderno
2.Ache a equação da reta que une os pontos médios dos lados 𝐴𝐶 e 𝐵𝐶 do triângulo mostrado na
figura.
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
A partir da inclinação da reta 𝑠 em relação ao eixo 𝑥, a equação
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
é dita equação da reta na forma reduzida, sendo:
𝑦 −𝑦
𝑚 = 𝑡𝑔 𝛼 = 𝑥 2 −𝑥 1 o coeficiente angular da reta 𝑠,
2
1
e 𝑛 o coeficiente linear de 𝑠.
A mesma equação pode ser encontrada a partir da equação geral, isolando 𝑦, veja;
Da equação geral: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, isolando 𝑦 temos;
𝑎
𝑐
𝑦=− 𝑥−
𝑏
𝑏
𝑎
𝑐
Fazendo 𝑚 = − 𝑏 e 𝑛 = − 𝑏 obtemos;
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
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𝛼
0°
30°
45°
tg 𝛼
0
3
3
1
60°
3
90°
∄
EXEMPLO:
1. Determine os coeficientes angulares das retas desenhadas nas figuras seguintes:
a)
b)
2. Calcule os coeficientes angulares das retas 𝑟 e 𝑠 nas seguintes situações:
a) A reta 𝑠 passa pelos pontos 𝐴(3, 2) e 𝐵(−3, −1).
b) A reta 𝑟 está representada no plano cartesiano ao lado.
EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA POR UM PONTO
𝑷(𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 ) E TEM COEFICIENTE ANGULAR 𝒎.
Consideremos uma reta 𝑟 que passa pelo ponto 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 ) e tem coeficiente angular 𝑚. Marcando o
ponto 𝑄 𝑥, 𝑦 sobre a reta 𝑟 temos;
Utilizando a fórmula do coeficiente angular:
𝑦 − 𝑦0
𝑚=
𝑥 − 𝑥0
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )
EXEMPLO:
1. Determine a equação da reta que passa por 𝐴 2, 3 e com coeficiente angular 𝑚 = −1.
Resolução no Caderno
2.Determine a equação da reta que passa pelo ponto 𝑃(2,5) e tem uma inclinação de 60°.
Resolução no Caderno
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INTERSECÇÃO ENTRE DUAS RETAS
Para determinar o ponto de intersecção de duas retas, basta resolver o sistema formado pelasequações
das retas.
EXEMPLO:
1. Obtenha o ponto de interseção das retas
𝑟: 2𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0 e 𝑠: 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0.
Resolução no Caderno
2. Encontre as coordenadas do ponto 𝑃 indicado no gráfico ao lado.
Resolução no Caderno
PARALELISMO
Sejam as retas 𝑟1 : 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑛1 𝑒 𝑟2 : 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑛2 .
Se 𝑟1 ∥ 𝑟2 então 𝛼1 = 𝛼2 ⟹ tg 𝛼1 = tg 𝛼2 ;
então:
𝑚1 = 𝑚2
Se 𝑛1 ≠ 𝑛2 , então as retas são distintas,
se 𝑛1 = 𝑛2 , as retas são ditas coincidentes.
EXEMPLO:
1. Determine a posição relativa entre as retas de equações 𝑟: 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑒 𝑠: 6𝑥 − 3𝑦 − 8 = 0
Resolução no Caderno
2. Determine a o valor de 𝑘 para que as retas de equações 𝑟: 𝑘𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 𝑒 𝑠: 4𝑥 − 2𝑦 + 10 = 0
sejam paralelas.
Resolução no Caderno
PERPENDICULARISMO
Seja 𝑟1 ⊥ 𝑟2 tal que 𝑟1 forme um ângulo 𝛼1 com o eixo 𝑥 e𝑟2 forme um ângulo 𝜃𝛼2 também com o
eixo 𝑥 no sentido positivo.
Se𝑟1 ⊥ 𝑟2 temos 𝛼2 = 𝛼1 + 90°
tg 𝛼2 = tg(𝛼1 + 90°) = − cot 𝛼1 ,
portanto
1
tg 𝛼2 = − tg 𝛼 ; como sabemos que 𝑚1 = tg 𝛼1
1
e 𝑚2 = tg 𝛼2 temos que:
𝑚2 = −
1
𝑚1
ou ainda 𝑚 ∙ 𝑚 = −1
2
1
Se as retas não verticais 𝑟1 𝑒 𝑟2 são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é −1.
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EXEMPLO:
1. Verifique quais pares de retas são perpendiculares:
𝑟: 3𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0
𝑟: 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
a)
b)
𝑠: 6𝑥 − 9𝑦 + 2 = 0
𝑠: 𝑥 + 2𝑦 + 3 = 0
Resolução no Caderno
2. Determinar o valor de 𝑘 de modo que sejam perpendiculares as retas 𝑟: 2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0 e
𝑠: 5𝑥 − 𝑘 + 1 𝑦 − 3 = 0.
Resolução no Caderno
3. Conduza por 𝑃 2, 5 a reta"𝑠" perpendicular a 𝑟: 4𝑥 + 7𝑦 − 1 = 0, achando a sua equação geral.
Resolução no Caderno
4. Determine a equação da reta suporte da altura relativa ao vértice 𝐴 do triângulo 𝐴𝐵𝐶, sendo dados
𝐴 6, 3 , 𝐵 1, 10 𝑒 𝐶 10, −3 .
Resolução no Caderno
POSIÇÃO RELATIVAS ENTRE RETAS
Dadas as retas 𝑟 e 𝑠 de equações;
𝑟: 𝑦 = 𝑚1 𝑥 + 𝑛1
𝑠: 𝑦 = 𝑚2 𝑥 + 𝑛2
Então se:
𝑚1 = 𝑚2 𝑒 𝑛1 = 𝑛2
𝑟 𝑒 𝑠 são coincidentes
𝑚1 = 𝑚2 𝑒 𝑛1 ≠ 𝑛2
𝑟 𝑒 𝑠 são paralelas
𝑚1 ≠ 𝑚2
𝑟 𝑒 𝑠 são concorrentes
1
𝑚2
𝑟 𝑒 𝑠 são perpendiculares
EXEMPLO:
𝑚1 = −
1. Dê a posição relativa entre as retas 𝑟: 2𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0 𝑒 𝑠: 4𝑥 − 6𝑦 − 1 = 0.
Resolução no Caderno
2. Determine a equação da reta que passa pelo ponto 𝐴(3, −5) e é paralela a reta de equação
𝑟: 8𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0.
Resolução no Caderno
3. Dados os pontos 𝐴(1, 3) e 𝐵(−3, −5), determine a equação da mediatriz de 𝐴𝐵
Resolução no Caderno
PONTOS E RETAS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO A UMA RETA DADA
Consideremos um ponto 𝐴 e uma reta 𝑟, tais que 𝐴 ∉ 𝑟.
Para obter o ponto 𝐵 simétrico do ponto 𝐴 em relação à reta 𝑟, fazemos assim;


Traçamos por 𝐴 a reta 𝑠 perpendicular à reta 𝑟;
Determinamos o ponto 𝑀, intersecção de 𝑟 𝑒 𝑠;
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
Marcamos 𝐵 de modo que 𝑀 seja o ponto médio do seguimento 𝐴𝐵
s
A
A
M
r
B
Assim dizemos que o ponto 𝐵 é simétrico do ponto 𝐴 em relação à reta 𝑟.
EXEMPLO:
1. Determine as coordenadas do ponto 𝐵, simétrico de 𝐴(−4, −3) em relação à reta 𝑟 de equação
𝑥 − 𝑦 − 1 = 0.
Resolução no Caderno
2. Determine a equação da reta 𝑟 simétrica da reta 𝑠, de equação, 𝑠: 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0, em relação à reta
𝑡, de equação 2𝑥 + 𝑦 + 8 = 0.
Resolução no Caderno
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
A partir dos coeficientes angulares de duas retas é possível obter o ângulo entre as mesmas.
No triângulo Δ𝑃𝐴𝐵, temos:
𝛼2 = 𝜃 + 𝛼1
𝜃 = 𝛼2 − 𝛼1
tg 𝜃 = tg(𝛼2 − 𝛼1 )
Como 𝜃 < 90° (ângulo agudo), a tangente de 𝜃 é positiva. então;
tan 𝛼2 − tan 𝛼1
tan 𝜃 =
1 + tan 𝛼2 ∙ tan 𝛼1
como tan 𝛼2 = 𝑚2 e tan 𝛼1 = 𝑚1 , temos a fórmula:
tan 𝜃 =
𝑚2 − 𝑚1
1 + 𝑚2 ∙ 𝑚1
CASO PARTICULAR:
Uma das retas é vertical.
No Δ retângulo 𝑃𝐵𝐴, temos:
𝜃 + 𝛼 = 90° ⟹ 𝜃 = 90° − 𝛼
tg 𝜃 = tg(90° − 𝛼)
1
tg 𝜃 = cotg 𝛼 ⟹ tg 𝜃 =
tan 𝛼
Como 𝜃 < 90° (ângulo agudo), a tangente de 𝜃 é positiva. Então;
tg 𝜃 =
1
𝑚1
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EXEMPLO:
𝑥
𝑦
1. Obter a tangente do ângulo formado pelas retas 𝑟 e 𝑠, de equações 𝑟: 3 + 5 = 1 e 𝑠: 3𝑥 − 2𝑦 = 4.
Resolução no Caderno
2.Determinar o ângulo agudo formado pelas retas:
a) 𝑟: 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 e 3𝑥 + 𝑦 − 2 = 0.
Resolução no Caderno
c) 𝑠: 2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 e 𝑥 + 2𝑦 − 9 = 0.
Resolução no Caderno
b) 𝑟: 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 e 𝑥 − 5 = 0.
Resolução no Caderno
3. Obter a equação da reta que passa pela origem 0, 0 e forma com a reta 10𝑥 − 5𝑦 − 8 = 0 um
ângulo de medida 𝜃, tal que tan 𝜃 = 3.
Resolução no Caderno
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Dada uma reta 𝑟 cuja equação geral é
𝑟: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, a distância de um ponto 𝑃 𝑥0 , 𝑦0
à reta 𝑟é dada por:
𝑑(𝑃, 𝑟) =
𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐
𝑎2 + 𝑏 2
EXEMPLO:
1. Determine a distância do ponto 𝑃 2, 3 e 𝑟: 3𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0.
Resolução no Caderno
2. Encontre a distância entre as retas 𝑟: 2𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0 e 𝑠: 2𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0.
Resolução no Caderno
3. Determine o valor de 𝑎 para que a distância do ponto 𝑃(−1, 𝑎) à reta 𝑟, de equação 3𝑥 + 4𝑦 −
5 = 0, seja igual a 2 unidades.
Resolução no Caderno
4. Dados os vértices de um Δ𝐴𝐵𝐶: 𝐴 1, 1 , 𝐵 3, 3 𝑒 𝐶(0,4). determine o comprimento da altura ℎ𝐶 ,
relativa ao lado 𝐴𝐵 .
Resolução no Caderno
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BISSETRIZES DOS ÂNGULOS DE DUAS RETAS
Considere duas retas, 𝑟1 𝑒 𝑟2 , definidas por:
𝑟1 : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0 e 𝑟2 : 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0
𝑟
O lugar geométrico dos pontos que equidistam de ambas 2
é formado pelas bissetrizes 𝑏1 e 𝑏2 . Logo:
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2
𝑑1 = 𝑑2 ⟹
=
⟹
𝑎12 + 𝑏12
𝑎22 + 𝑏22
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2
⟹
=±
⟹
𝑎12 + 𝑏12
𝑎22 + 𝑏22 ⟹
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1
𝑎12 + 𝑏12
±
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2
𝑎22 + 𝑏22
𝑟1
=0
Essa igualdade representa as bissetrizes dos ângulos formados entre 𝑟1 e 𝑟2 .
EXEMPLO:
1.Dadas as retas 𝑟: 12𝑥 − 5𝑦 − 10 = 0 e 𝑠: 4𝑥 − 3𝑦 = 0, determineas equações das bissetrizes dos
ângulos formados por elas.
Resolução no Caderno
CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO
Sejam 𝐴 𝑥1 , 𝑦1 , 𝐵 𝑥2 , 𝑦2 𝑒 𝐶(𝑥3 , 𝑦3 ) três pontos
não alinhados. Para calcular a área do ∆𝐴𝐵𝐶, devemos fazer:
1
𝐴∆𝐴𝐵𝐶 = ∙ 𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
1
𝐴∆𝐴𝐵𝐶 = ∙ 𝐵𝐶 ∙ 𝐴𝐻
2
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos:
( I ) 𝐵𝐶 = 𝑥2 − 𝑥3 2 + 𝑦2 − 𝑦3 2
( II ) A equação geral da reta 𝐵𝐶 é:
𝑥 𝑦 1
𝑥2 𝑦2 1 = 0 ⇒ y2 − y3 x + x3 − x2 y + (x2 y3 − x3 y2 )
𝑥3 𝑦3 1
b
a
c
( IV ) A distância do ponto 𝐴 à reta 𝐵𝐶
𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐
𝐴 𝑥1 , 𝑦1
⇒𝑑=
𝐵𝐶 : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0
𝑎2 + 𝑏 2
então:
𝑦2 − 𝑦3 𝑥1 + 𝑥3 − 𝑥2 𝑦1 + 𝑥2 𝑦3 − 𝑥3 𝑦2
𝐴𝐻 = 𝑑 =
𝑦2 − 𝑦3 2 + 𝑥3 − 𝑥2 2
Assim, temos;
1
𝐴∆𝐴𝐵𝐶 = 2 ∙ 𝐵𝐶 ∙ 𝐴𝐻 =
1
=2
𝑦2 − 𝑦3
2
+ 𝑥3 − 𝑥2
2
∙
𝑦 2 −𝑦3 𝑥 1 + 𝑥 3 −𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 𝑦3 −𝑥 3 𝑦2
𝑦 2 −𝑦3 2 + 𝑥 3 −𝑥 2 2
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portanto;
1
∙ 𝑦2 − 𝑦3 𝑥1 + 𝑥3 − 𝑥2 𝑦1 + 𝑥2 𝑦3 − 𝑥3 𝑦2
2
Observe a semelhança da parte que está dentro do módulo com o item ( II ), desta forma chegamos
que a área do triângulo é dada por:
𝐴∆𝐴𝐵𝐶 =
𝐴∆𝐴𝐵𝐶
1 𝑥1
= ∙ 𝑥2
2 𝑥
3
𝑦1
𝑦2
𝑦3
1
1
1
Observação:
Uma maneira simplificada de obter-se a área de um triângulo, a partir de suas coordenadas, é:
𝐴∆𝐴𝐵𝐶 =
1 𝑥1
∙
2 y1
𝑥2
y2
𝑥3 𝑥1
y3 y1
EXEMPLO
1. Encontre a área do triângulo de vértices 𝐴 0, 1 , 𝐵 2, −3 𝑒 𝐶 −3, −2 .
Resolução no Caderno
Área de um Polígono
A área de um polígono convexo qualquer pode ser obtida dividindo-o em triângulos distintos e, a
seguir, calculando-se a soma das áreas desses triângulos, Como esse processo é extremamente
trabalhoso,
vamos
utilizar
um
processo
prático,
Sejam
𝐴(𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 ), 𝐵(𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 ), 𝐶 𝑥𝐶 , 𝑦𝐶 , . . . , 𝑀(𝑥𝑀 , 𝑦𝑀 ) vértices consecutivos de um polígono convexo
qualquer. A área S desse polígono é dada por:
1 xA xB xC ⋯ xM xA
𝑆= ∙ y
yB yC ⋯ yM yA
A
2
onde,
OBS: Os vértices devem ser consecutivos, isto é, tomamos um vértice qualquer
como ponto inicial e percorremos o polígono num sentido.
EXEMPLO:
1. Calcule a área do polígono cujas coordenadas dos vértices são
−2, −2 , 3, 3 , 4, 1 , 0, 5 𝑒 −3, 4 .
Resolução no Caderno
LISTA DE EXERCÍCIOS: RETA
1. Verifique se o ponto 𝐴 2, 2 pertence a reta de equação 2𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0.
2. (FGV-RJ) Os pontos 𝐴 −1, 𝑚 𝑒 𝐵 𝑛, 2 pertencem à reta 2𝑥 − 3𝑦 = 4. Calcule a distância entre
𝐴 𝑒 𝐵.
3. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos dados, em cada caso:
a) 1, 3 𝑒 (2, −3)
c) −4, 3 𝑒 (1, −2)
b) 0, 0 𝑒 −5, −4
d) 1, 1 𝑒 −2, −4
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4. Determine a equação geral da reta 𝑟 em cada caso
a)
b)
5. Encontre a equação geral da reta 𝑟 que passa por 𝐴 2, 3 e pelo ponto médio do segmento 𝐵𝐶 ,
sendo 𝐵 −5, −5 𝑒 𝐶 1, −1 . A reta 𝑟 passa pela origem?
6. Obtenha, em cada caso, o coeficiente angular da reta 𝐴𝐵 :
a) 𝐴 −2, 1 𝑒 𝐵(3, 4)
b) 𝐴 1, 3 𝑒 𝐵 4, 1
c) 𝐴 −1, −1 𝑒 𝐵(3, −2)
d) 𝐴 3, 2 𝑒𝐵(−1, 2)
7. Observe a figura ao lado e obtenha:
a) o coeficiente angular da reta 𝐴𝐵 ao lado.
b) Qual a medida 𝛼, em graus, do ângulo indicado?
8. Dada a reta de equação 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0, encontre a sua equação reduzida e determine o seu
coeficiente angular.
9. Obtenha a equação geral da reta que passa por 𝐴(−4, 3) e tem declividade igual a −3.
10. Determine o valor de 𝑘 para que a reta 𝑟 de equação 𝑥 − 2𝑦 + 𝑘 = 0 intercepte a segunda
bissetriz no ponto de abscissa igual ao coeficiente angular de 𝑟.
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11. Obtenha o ponto de intersecção das retas 3𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 𝑒 2𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0.
12. As retas de equações 3𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 𝑒 𝑦 = 2𝑥 + 𝑘 interceptam-se no ponto
𝑘 + 4, 11 .
Determine 𝐾.
13. Ache os vértices 𝐴, 𝐵 𝑒 𝐶 do triângulo cujos lados estão sobre as retas de equações
𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑦 = 𝑥 + 4 𝑒 𝑦 = −𝑥 + 3. A seguir, verifique se o triângulo é retângulo.
14. Dentre as retas abaixo, destaque as paralelas entre si.
𝑟: 𝑦 = 3𝑥
𝑠: 4𝑥 + 𝑦 = 7
𝑢: 2𝑥 − 𝑦 = 5
𝑡: 6𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0
𝑤: 6𝑥 − 8𝑦 + 5 = 0
𝑣: 2𝑦 = −8𝑥
15. Qual é a posição relativa entre as retas de equações 3𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 𝑒
𝑧: 2𝑥 − 6𝑦 − 36 = 0
𝑥
2
𝑦
+ 3 = 1?
16. Ache a equação da reta que é paralela a 𝑟: 2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0 e que passa por 𝑃 1, 2 .
17. Sabendo-se que as retas de equações 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑘 = 0 e 𝑘 − 1 𝑥 − 4𝑦 + 14 = 0, são paralelas.
Determine o valor de 𝑘.
18. Resolva o sistema
3𝑥 − 2𝑦 = 6
6𝑥 − 4𝑦 = 8
O que aconteceria se as equações do sistemas fossem consideradas equações de duas retas do plano
cartesiano?
19. Para que valores de 𝑘 as retas 2𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0 𝑒 𝑘𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0 𝑠ã𝑜:
a) Paralelas e distintas?
b) coincidentes?
c) concorrentes?
20. Encontre a equação da reta que passa por 𝑃(1, 3) e não encontra a bissetriz dos quadrantes
ímpares.
21. Dados 𝐴 −5, −5 , 𝐵 1, 5 , 𝐶 19, 0 𝑒 𝑟: 5𝑥 − 3𝑦 = 0, verifique se 𝑟 passa pelo baricentro do
triângulo 𝐴𝐵𝐶.
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22. (EPUSP-63) Dado o ponto 𝐴 1, 2 , determine as coordenadas de dois pontos 𝑃 e 𝑄, situados
respectivamente sobre as retas 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 4𝑥 de tal modo que 𝐴 seja ponto médio do segmento 𝑃𝑄.
𝑥
𝑦
𝑥
23. Mostre que as retas 𝑟: 7 + 9 = 1 e 𝑠: 9 =
𝑦
7
são perpendiculares.
24. Determine 𝑝 de modo que as retas 𝑟: 𝑝2 𝑥 + 𝑝𝑦 + 2 = 0 e 𝑠: 3𝑥 + 𝑝 + 1 𝑦 − 7 = 0 sejam
perpendiculares.
25. Dentre os seguintes pares de retas, qual não é formado por retas paralelas ou perpendiculares?
1°) 3𝑥 − 5𝑦 + 4 = 0 e
3°) 3𝑥 + 4 = 0
e
𝑥
3
𝑦
+5+1
2°) 𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0
5𝑦 − 3 = 0
5°) 𝑎 + 1 𝑥 + 𝑎 − 1 𝑦 = 0 e
4°) 𝑥 = 3
e
e 4𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0
𝑥= 2
𝑎 − 1 𝑥 = (𝑎 + 1)𝑦
26. Determine a equação da reta 𝑠 que contém 𝑃 3, 4 e é perpendicular á reta 𝑟: 2𝑥 + 3𝑦 = 0.
27. Determinar a projeção ortogonal do ponto 𝑃(2,6) sobre a reta 𝑟: 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
28. Determinar o ponto 𝑄, simétrico de 𝑃 −3, 2 em relação à reta 𝑟: 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0.
29. Determinar a equação da reta 𝑠 simétrica da reta 𝑟: 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 em relação à bissetriz do 2°
quadrante.
30. Determine a equação da reta 𝑠 simétrica da reta 𝑟: 2𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 em relação à reta
𝑡: 4𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0.
31. Determine o ângulo formado pelas seguintes retas:
1° caso 𝑟: 𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0
𝑒
2° caso 𝑟: 6𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0
𝑒
3° caso 𝑟: 𝑥 − 2 = 0
e
4° caso 𝑟: 2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0
𝑒
𝑠: 3𝑥 + 2 = 0
𝑠: 4𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0
𝑠: 𝑦 − 3 = 0
𝑠: 6𝑥 = 9𝑦
32. Dados os pontos 𝐴 2, 3 , 𝐵 9, 4 𝑒 𝑀(5, 𝐾). Determine o valor de 𝑘 para o qual o ângulo
𝐵Â𝑀 = 45°.
33. Dados os pontos 𝐴 3, 0 , 𝐵 1, 0 𝑒 𝐶 4 + 3, 1 + 3 calcule os ângulos internos do triângulo
𝐴𝐵𝐶.
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34. Calcule a distância do ponto 𝑃 à reta 𝑟 nos seguintes casos:
1°) caso 𝑃 −3, −1 e 𝑟: 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0
2°) caso 𝑃(3, 2)
e
3°) caso 𝑃 1, −2
𝑒
4°) caso 𝑃 2, 6
𝑟: 5𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0
𝑥
𝑦
𝑟: 12 + 5 = 1
𝑒
𝑟: 2𝑥 + 1 = 0
35. Calcular o comprimento da altura relativa ao lado 𝐵𝐶, do triângulo de vértices
𝐴 −3, 0 , 𝐵 0, 0 𝑒 𝐶 6, 8 .
36. A altura entre o ponto 𝑃(0, 𝑘) e a reta 𝑟, de equação 4𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0, é igual a 2 unidades.
Determinar o valor de 𝑘.
37. Calcule a distância entre as seguintes retas paralelas:
a) 𝑟: 12𝑥 − 9𝑦 + 27 = 0
b) 𝑟: 𝑦 =
4𝑥
3
2
− 3 𝑒𝑦 =
4𝑥
3
𝑒 𝑠: 12𝑥 − 9𝑦 − 18 = 0
8
+3
38. Ache a equação das bissetrizes das retas:
a) 𝑟: 3𝑥 − 4𝑦 − 7 = 0
b) 𝑟: 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0
e 𝑠: 5𝑥 + 12𝑦 + 7 = 0
e
𝑠: 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0
39. Explique porque não é possível que tenhamos como bissetrizes dos ângulos formados entre duas
retas o par 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 e 𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0.
40. Calcule a área do triângulo cujos vértices são
a) 𝐴 −3, 3 , 𝐵 −1, 1 𝑒 𝐶 4, 0
b) 𝐴 𝑎, 𝑎 + 3 , 𝐵 𝑎 − 1, 𝑎 𝑒𝐶 𝑎 + 1, 𝑎 + 1
41. Calcular a área do quadrilátero cujos vértices são 𝐴 −1, 1 , 𝐵 5,0 , 𝐶 7, 3 𝑒 𝐷 3, −11 .
42. Calcular a área do pentágono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, dados:
𝐴 0, 0 , 𝐵 0, −1 , 𝐶 −2, −5 , 𝐷 −4, 0 𝑒 𝐸 −2, 3 .
43. Dados os pontos 𝐴 1, 4 , 𝐵 3, −2
𝑒 𝐶 2, 𝑦 , encontre o valor de 𝑦 para que a área do
triângulo 𝐴𝐵𝐶 seja 10.
44. Calcule a área do quadrilátero formado pelas retas 𝑦 = 2𝑥 + 1, 𝑦 = −2𝑥 + 7, 𝑥 = 0 𝑒 𝑦 = 0.
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