Econometria - Lista 6
Professores: Hedibert Lopes, Priscila Ribeiro e Sérgio Martins
Monitores: Gustavo Amarante e João Marcos Nusdeo
Exercício 1
A curva de Phillips desempenha um papel fundamental na teoria econômica, em especial, é peça
chave no estudo dos ciclos econômicos e efeitos de política monetária. A Phillips tradicional, ou
aumentada de expectativas, pode ser descrita pela seguinte equação:
𝜋! = 𝐸!!! 𝜋! − 𝛼 𝑢! − 𝑢 ! + 𝜀! (1)
Em que:
𝜋! é a taxa de inflação no instante t;
𝐸!!! 𝜋! é a expectativa formada em t-1 da inflação em t;
𝑢! é a taxa de desemprego em t;
𝑢 ! é a taxa de desemprego natural;
𝜀! é o termo de erro aleatório, com 𝜀! ~ N(0, σ²M), em que M é uma matriz não diagonal.
Como a expectativa de inflação é não observável, usualmente os modelos econométricos
substituem 𝐸!!! 𝜋! pela própria inflação um passo atrás. Neste caso, supomos implicitamente
que a expectativa de inflação pode ser decomposta em:
𝐸!!! 𝜋! = 𝜋!!! + 𝜐! (2)
Neste caso, o modelo econométrico fica dado por:
𝜋! = 𝛽𝜋!!! − 𝛼 𝑢! − 𝑢 ! + 𝜁!
(3)
Em que
𝐸 𝐸!!! 𝜋! 𝜀! = 0 ; 𝐸 𝐸!!! 𝜋! 𝜐! = 0 ; 𝐸 𝜀! 𝜐! = 0
Considerando as informações anteriores, responda às questões a seguir:
a) Os estimadores de MQO do modelo (1) são não viesados e consistentes? O mesmo pode
ser dito aos estimadores do modelo (3)?
b) No caso da sua resposta do segundo item do item a) ter sido negativa, proponha um
método que gere estimadores consistentes.
c) Suponha que você tenha acesso à verdadeira expectativa de inflação dos agentes. Neste
caso, a afirmação abaixo está correta?
Exercício 2
Considere o Modelo Keynesiano de determinação da renda descrito por:
Cujos resultados por MQO para a forma reduzida são dados por:
A equação 1 é identificada? Caso seja, encontre a estimativa dos parâmetros estruturais da
função de consumo.
Exercício 3
O modelo Keynesiano de determinação de renda em sua versão simplificada pode ser
representado pelo seguinte sistema de equações simultâneas:
Em que 𝐶! é o consumo, 𝑌! é a renda, 𝑇! é a receita do governo, 𝑟! é a taxa de juros, 𝐼! é o
investimento e 𝐺 é o gasto do governo, fixo no curto-prazo.
a) Quais são as variáveis endógenas e exógenas do sistema descrito pelas equações de (1)
a (4)?
b) Qual o sinal esperado para os coeficientes de (1) a (3)? Justifique economicamente sua
resposta.
c) Encontre a representação da forma reduzida para a renda.
d) Ao observar o sistema de equações descrito de (1) a (4), um econometrista afirmou que
os estimadores de MQO dos coeficientes da equação (3) serão viesados e inconsistentes,
uma vez que o investimento e juros são determinados conjuntamente pelo equilíbrio do
mercado de bens e financeiro, caracterizando um exemplo clássico de “viés por
simultaneidade”. Avalie, com base no sistema descrito na questão, a afirmação.
e) A equação descrita em (1) é identificável?
Exercício 4
Considere o seguinte modelo de determinação de preços e salários:
a) Encontre a equação reduzida para a taxa de alteração dos salários nominais e da
inflação.
b) Olhando para a equação reduzida do item a), Daniel Rodrigues, professor do Insper,
afirmou que o método de MQO poderia ser utilizado para encontrar as estimativas dos
parâmetros da forma reduzida. Pedro Hércules, aluno do terceiro semestre e estudante
de econometria, ficou em dúvida com a afirmação do professor, afinal de contas acabara
de estudar que o problema de simultaneidade tornava os estimadores de MQO viesados
e inconsistentes. O que Pedro deixou de perceber?
c) Após a explicação do professor Rodrigues, Pedro perguntou ao mesmo como poderia
encontrar estimativas consistentes dos parâmetros da equação (1) e (2). Antes de
responder a pergunta do aluno, Daniel perguntou ao mesmo para verificar se as
equações eram identificadas. Qual resposta Pedro deveria dar ao professor?
d) Após a resposta de Pedro, o senhor Rodrigues sugeriu ao aluno que ele utilizasse o
método de MQI para recuperar as estimativas dos parâmetros de interesse. Se o
interesse de Pedro for estimar a equação de determinação de salários, qual o problema
com a sugestão do professor?
e) Considerando novamente que o interesse de Pedro reside na equação de determinação
de salários, qual a metodologia mais indicada?
Exercício 5
A partir dos modelos (1), (2) e (3), a seguir, pretendemos estudar a demanda por frangos nos
EUA. Mais especificamente, pretendemos investigar o consumo per capita de frango nos EUA,
durante os anos de 1960 e 1982.
em que 𝐶! é consumo per capita de frango em libras-peso; 𝑅! é a renda disponível per capita,
em US$; 𝐹! é preço real do frango, no varejo, em centavos de dólar por libra-peso; 𝑆! é o preço
real da carne suína, no varejo, em centavos de dólar por libra-peso; 𝐵! é o preço real da carne
bovina, no varejo, em centavos de dólar por libra-peso; ln é o logaritmo natural.
A tabela 1 apresenta, entre outras coisas, os resultados das estimativas dos parâmetros dos
modelos propostos em (1), (2) e (3), respectivamente, por MQO.
a) Qual a interpretação de 𝛽! no modelo proposto em (1)? Utilize os resultados da tabela 1.
b) É possível propor alguma alteração no modelo em (2) para que o mesmo seja capaz de
capturar efeitos diferenciados do ln(𝑅! ) sobre 𝐶! , quando a renda real disponível per capita
está acima de 40000 dólares? Em caso afirmativa, diga qual seria a alteração e descreva
como isso seria possível mostrando o novo modelo a ser estimado. Finalmente, usando este
novo modelo, descreva as hipóteses nula e alternativa de um teste de hipótese que seja
capaz de verificar se tal efeito diferenciado é, de fato, significante.
c) Considerando o modelo escolhido pelo r-quadrado ajustado, faça o teste de
heterocedasticidade de White (sem termos cruzados). Adote um nível de significância de
10%. Não se esqueça de descrever: a hipótese nula e alternativa; a estatística de teste; a
distribuição da estatística de teste; a região crítica; e o(s) modelo(s) a ser(em) estimado(s)
para auxiliar na construção da estatística de teste. Utilize os resultados disponibilizados na
Tabela 1, caso julgue necessário.
d) Considerando os resultados obtidos em c), indique o formato da matriz de variância e
covariâncias do vetor de erros, 𝛺 = 𝐸(𝜀𝜀 ! ). É necessário usar algum estimador robusto à
heterocedasticidade? Justifique a sua resposta.
e) Um economista acredita que a variável explicativa 𝐹! é endógena. Considerando o modelo
escolhido nos itens anteriores, responda:
i.
Conduza um teste para verificar se, realmente, 𝐹! é uma variável explicativa
endógena. Adote um nível de significância de 10%. Não se esqueça de
descrever: a hipótese nula e alternativa; a estatística de teste; a distribuição da
estatística de teste; a região crítica; e o(s) modelo(s) a ser(em) estimado(s) para
auxiliar na construção da estatística de teste. Utilize os resultados
disponibilizados na Tabela 1, caso julgue necessário.
ii.
Considerando o resultado obtido no item anterior, qual o método de estimação
deveria ser utilizado para estimar os parâmetros do modelo de interesse?
Exercício 6
Considere o modelo macroeconômico Keynesiano simples da forma:
𝐶! = 𝛼 + 𝛽𝐷! + 𝜀!
𝐷! = 𝐶! + 𝑍!
(Equação de Consumo)
(Identidade do PIB)
em que 𝐶! é o consumo, 𝐷! é a renda disponível e 𝑍! é o dispêndio não relacionado a consumo.
Assuma que 𝑍! é exógeno, no sentido que 𝐸 𝑍! 𝜀! = 0.
a) Prove que o estimador de mínimos quadrados ordinários, se aplicado na equação de
consumo, é inconsistente para o parâmetro 𝛽.
b) Dê uma ilustração gráfica do resultado do item (a) fazendo um gráfico de dispersão com
𝐷 no eixo 𝑥 e 𝐶 no eixo 𝑦, e use esse gráfico para explicar porque o estimador de MQO
não é consistente neste caso.
c) Considere e comente dois casos do item (b), um em que 𝑍 é um valor fixo e outro que
ele é uma variável aleatória com variância muito alta.
d) Derive uma forma explícita do estimador de IV de 𝛽 em termos das variáveis 𝐶, 𝐷 e 𝑍.
e) Use a expressão do item (d) para provar que o estimador de IV é consistente.
Exercício 7
Neste exercício consideraremos os dados que relacionam polícia (x) e crime (y). Os dados se
encontram na planilha crime.xls. Algumas das observações ocorreram em ano de eleição (z=1),
e outras não (z=0). Queremos estimar o efeito de polícia no crime, ou seja, estamos interessados
no parâmetro 𝛽 no modelo 𝑦! = 𝛼 + 𝛽𝑥! + 𝜀! .
a) Faça a regressão de crime em polícia. Dê uma explicação intuitiva de porque o efeito
estimado é positivo.
b) Dê uma motivação discursiva de porque a variável dummy de eleição (z) poderia servir
como instrumento.
c) Mostre que o estimador de IV do parâmetro 𝛽 é dado por
𝑦! − 𝑦! / 𝑥! − 𝑥! , em que 𝑦! é a média de 𝑦 nos anos de eleição, 𝑦! é a média de 𝑦
nos anos que não houveram eleição e 𝑥! e 𝑥! são definidos da mesma maneira. Dê uma
motivação intuitiva para esse estimador,
d) Use os dados para estimar 𝛽 por IV, usando z e uma constante como instrumentos.
Verifique de o resultado do item (c) vale. Dê uma interpretação das estimativas
resultantes.
e) Faça o teste de exogeneidade de Hausman sobre a variável x.
Exercício 8
Considere o seguinte modelo de oferta e demanda:
𝑄! = 𝛼! + 𝛼! 𝑃! + 𝜀!
(Oferta)
𝑄! = 𝛽! + 𝛽! 𝑃! + 𝑢!
(Demanda)
Em que 𝐸 𝜀! = 0, 𝐸 𝑢! = 0, 𝑉𝑎𝑟 𝜀! = 𝜎!! , 𝑉𝑎𝑟 𝑢! = 𝜎!! e 𝐶𝑜𝑣 𝜀! , 𝑢! = 0.
a) Mostre que existe endogeneidade, ou seja, mostre que 𝐶𝑜𝑣 𝜀! , 𝑃! ≠ 0 e 𝐶𝑜𝑣 𝑢! , 𝑃! ≠
0.
b) Imagine que você queira fazer a regressão da quantidade no preço e em uma constante,
e que esteja interessado no coeficiente associado à variável preço. Calcule a esperança
do estimador de MQO deste coeficiente desta regressão. Existe algum caso em que se
estaria estimando algum parâmetro de interesse?