MEC / UFRGS / IPH / DHH
IPH01-107 - MECÂNICA DOS FLUÍDOS
LISTA DE EXERCÍCIOS IX - EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES
Prof Carlos Ruberto Fragoso Júnior
22/03/04
Soluções simplificadas das equações de Navier-Stokes
1) Um fluído viscoso e incompressível escoa entre duas placas planas verticais conforme mostra a figura 1.
Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme.
a) determine, usando as equações de Navier-Stokes, uma expressão para o gradiente de pressões na
direção do escoamento. Expresse dp/dy como uma função da vazão por unidade de largura (q).
b) diga qual seria a vazão se dp/dy = 0 ?
Resp: a) dp/dy = -[γ +(3 q µ / 2 h3 )];
b) q = - 2h3 γ / (3 µ)
2) Na instalação da figura 2, a esteira móvel tem uma velocidade periférica U. Sendo o peso a única força de
campo que atua no escoamento, determine a vazão (q) em função: da espessura de fluído entre a esteira
móvel e o plano inclinado (e), da diferença de altura entre a entrada e a saída (h) e do comprimento total
(L).
 γ h 3
U
 e
Resp: q =   e − 
2
 12 µ L 
3) Uma esteira larga movendo-se com velocidade vertical, passa através de um recipiente que contém um
líquido viscoso (figura 3). Devido às forças viscosas a esteira "pega" uma lâmina de fluído de espessura h. A
gravidade tende a drenar o fluído para baixo. Use as equações de Navier-Stokes para determinar uma
expressão para a velocidade média da lâmina de fluído à medida que ela é arrastada para cima pela esteira.
Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme.
Resp: V = Vo - (γ h2 / 3 µ)
Solução:
1) Neste problema temos apenas a componente em y da velocidade e esta é uma função apenas de x para
escoamento plenamente desenvolvido. Assim, temos:
u=w=0
v = v (x)
Para que haja escoamento devemos ter um gradiente de pressão na direção y, ou seja, devemos ter
∂p
≠0.
∂y
As equações de Navier-Stokes ficam:
∂p
∂p
⇒
=0
∂x
∂x
∂p
∂p
⇒
=0
em z :
0=ρgz −
∂z
∂z
∂p
∂2v
+µ 2
0=ρgy −
em y :
∂y
∂x
a) Substituindo gy = -g em (1), e sendo v = v(y) :
em x :
0=ρgx −
γ
d2v
1 dp
= +
2
µ µ dy
dx
já que g x = 0
já que g z = 0
(1.1)
(1.2)
2
Integrando uma primeira vez temos:
γ
dv
1 dp
= x +
x + C1
µ dy
dx µ
Sabendo que τ = 0 em x = 0 e já que τ = µ
dv
, temos que C1 = 0.
dy
Integrando uma segunda vez temos:
v=
Sendo v = 0 em x = h , temos:
0=
(1.3)
γ 2
1 dp 2
x +
x + C2
2µ
2 µ dy
(1.4)
γ 2
1 dp 2
h +
h + C 2 , donde:
2µ
2 µ dy

h 2  dp
+ γ
C2 = −

2 µ  dy

Substituindo C2 em (4) temos:
v=
(

1  dp
+ γ x 2 − h 2

2 µ  dy

)
A vazão por unidade de largura é:
q=∫
+h
−h
v dx =
q=
 +h
1  dp
+ γ  ∫ x 2 dx −

2 µ  dy
  −h
2
dx  ou

 2
1  dp

+ γ   h 3 − 2 h 3  donde temos:

2 µ  dy

 3
q=−
donde tiramos que:
+h
∫− h h

2 h 3  dp
+ γ

3 µ  dy

3µ q
dp
=−
−γ
dy
2 h3
ou:

3µ q 
dp
= − γ +

dy
2h3 

Para dp / dy = 0 temos um escoamento devido apenas à gravidade e dado por:
q=−
2 γ h3
3µ
2
2) Neste caso temos:
u = u (y)
v=w=0
e
∂p
=0
∂x
A equação de Navier-Stokes em y fica:
0=!gy −
∂p
∂y
⇒
∂p
= − cos ∂y
A equação de Navier-Stokes em x fica:
0=!gx +
∂ 2u
∂y 2
onde g x = − g sen = − g
h
L
(2.1)
De (1) temos:
d 2u
0 = − sen + 2
dy
ou
d2u h
=
dy 2 L
(2.2)
Integrando (2) vem:
du  h 
 y + C1
=
dy  L 
e integrando novamente:
 h 2
 y + C1 y + C 2
u = 
 2 L 
(2.3)
Introduzindo em (3) as condições de contorno:
obtemos:
em y = 0,
u=0
em y = e,
u=U
C2 = 0
e
C1 =
U  h
−

e 2 L
Donde, o perfil de velocidades é dado por:
(2.4)
4
 h  2 U  h  
 y +  − 
 e  y
u = 
e
2
L
 2 L 

 

(2.5)
A vazão por unidade de largura é:
 h  y3

q = ∫ u dx = 
2
L

 3
0
e
e
0
U 2
y
+
2e
e
0
q=
3) Neste caso temos:
 h  y2
 e
− 
2
L

 2
e
o que nos leva a:
0
 h 3
U
e−
e
2
12 L 
v = v (x)
u=w=0
e também:
∂p ∂p ∂p
=
=
=0
∂x ∂y ∂z
A equação de Navier-Stokes em y fica:
0=!gy +
∂2v
∂x 2
sendo gy = -g temos:
d2v =
dx 2 (3.1)
dv = x + C1
dx (3.2)
Integrando uma vez:
Podemos considerar que τ = 0 em x = h ( interface fluido/ar), o que nos leva a:


2 =  h + C1  = 0


Integrando outra vez:
4
⇒ C1 = − h
(3.3)
v=
2  
x −  h  x + Vo
2
 
A vazão por unidade de largura é:
  2  

 x −  h  x + Vo  dx
q = ∫ v dx = ∫ 
2 
 

0
0 
h
h
x3
q=
2 3
h
0
x2
− h
2
q = Vo h −
donde :
h
+ Vo x
0
1 h3
3 A velocidade média fica, portanto:
h2
q
V = = Vo −
h
3
h
0
donde :
6
Figura 1
Figura 2
Figura 3
6