Testes de Hipóteses para Diferença entre duas Médias Amostras independentes: variância conhecida e
desconhecida
Ivan Bezerra Allaman
Introdução
• Nas aulas anteriores o objetivo foi testar uma hipótese a respeito de um parâmetro de apenas uma
população.
• O interesse agora é comparar duas populações independentes quanto a um determinado parâmetro.
• Tais comparações se dá por meio da diferença entre médias ou proporções destas populações com relação
a um determinado valor hipotético.
• Tecnicamente poderemos testar as seguintes hipóteses:
• Em muitas aplicações µ0 = 0 ou π0 = 0, ou seja, na maioria dos casos o interesse é comparar se duas
populações são iguais ou não.
Considerando variância conhecida
Estatística de teste
• O estimador pontual da diferença entre duas médias populacionais µ1 − µ2 é X̄1 − X̄2 .
• O erro padrão da diferença entre as médias populacionais é:
s
σX̄1 −X̄2 =
σ12
σ2
+ 2
n1
n2
• Portanto, a estatística de teste para comparar a diferença entre duas médias populacionais é:
Z=
(X̄1 − X̄2 ) − µ0
σX̄1 −X̄2
Exemplos
1. Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostras aleatórias independentes tomadas de duas
populações:
Amostra 1
Amostra 2
n1 = 50
n2 = 35
X̄1 = 13, 6
X̄2 = 11, 6
σ1 = 2, 2
σ2 = 3
1
• Qual é a estimação por ponto da diferença entre as duas médias populacionais?
xbarra1 = 13.6
xbarra2 = 11.6
xb1_xb2 = xbarra1 - xbarra2
xb1_xb2
## [1] 2
• Qual é a estimação por ponto do erro padrão da diferença entre as duas médias populacionais?
n1 = 50
sigma1 = 2.2
n2 = 35
sigma2 = 3
erro_paddif = sqrt(sigma1^2/n1 + sigma2^2/n2)
erro_paddif
## [1] 0.5949
• Dado as seguintes hipótese,
H0 : µ1 − µ2 = 0
H1 : µ1 − µ2 > 0
• Qual é o valor da estatística de teste?
Z = (xb1_xb2 - 0)/erro_paddif
Z
## [1] 3.362
• Qual é o p-valor?
pvalor = 1-pnorm(Z)
pvalor
## [1] 0.0003873
• Com α = 0, 05 qual é a sua conclusão?
Resp: Como o p-valor é menor do que α, rejeita-se H0 com 95% de confiança.
2
Aplicações
1. Considere os dados seguintes, correspondentes a amostras aleatórias independentes tomadas de duas
populações normais.
Amostra 1
## [1] 10
7 13
7
9
8
Amostra 2
## [1] 8 7 8 4 6 9
Dados históricos anteriores forneceram os seguintes valores para as variâncias populacionais: σ12 = 6 e σ22 = 5.5
• Podemos afirmar com 99% de confiança que as duas populações são diferentes?
Considerando variância desconhecida
Introdução
• Quando a variância for desconhecida, mais uma vez iremos nos recorrer a distribuição t-Student.
• O erro padrão da diferença torna-se:
s
SX̄1 −X̄2 =
S12
S2
+ 2
n1
n2
• Logo, a estatística de teste é dada pela seguinte expressão:
t=
(X̄1 − X̄2 ) − µ0
SX̄1 −X̄2
Graus de liberdade
• O cálculo do graus de liberdade é dada pela expressão de Satterthwaite:
S12
S22
n1 + n2
2
2
φ=
1
n1 −1
S1
n1
+
2
1
n2 −1
• Usando o R para facilitar sua vida.
• Vou fazer uma funçãozinha para fazer todo esse cálculo.
3
S22
n2
2
phi = function(var1,var2,n1,n2){
numerador = (var1/n1 + var2/n2)^2
denominador1 = 1/(n1-1) * (var1/n1)^2
denominador2 = 1/(n2-1) * (var2/n2)^2
res = numerador/(denominador1 + denominador2)
return(res)
}
• Exemplo de como usá-la.
• Copie e cole a função acima no seu script. Rode toda ela como qualquer objeto do R.
• Agora supondo que var1 = 5, n1 = 10, var2 = 7 e n2 = 13. Então:
var1
n1 =
var2
n2 =
= 5
10
= 7
13
gliberdade = phi(var1,var2,n1,n2)
gliberdade
## [1] 20.76
Exemplos
1. O College Board divulgou comparações sobre as pontuações no Scholastic Aptitude Test (SAT) baseandose no nível educacional mais elevado obtido pelos pais da pessoa que faz os exames. Uma das hipóteses
de pesquisa era que os estudantes cujos pais haviam obtido um nível mais elevado de educação obteriam
uma pontuação média mais elevada no SAT. Durante 2003, a média global dos exames orais do SAT
foi 507. As pontuações nos exames orais do SAT para amostras independentes de estudantes estão
nos dados a seguir. A primeira amostra exibe pontuações nos exames orais do SAT correspondentes a
estudantes cujos pais têm diplomas universitários com graus de bacharel. A segunta amostra exibe as
pontuações nos exames orais do SAT de estudantes cujos pais têm diplomas do segundo grau, mais não
tem diplomas universitários. Qua é a conclusão?
dados <- read.table("http://nbcgib.uesc.br/lec/download/R/dados/sat_anderson_etal.txt", h = T)
#----------------- Opção 1 - na unha! ----------------------#
comdiploma <- subset(dados, instrucaopais=='comdiploma')
semdiploma <- subset(dados, instrucaopais=='semdiploma')
media_comdip <- with(comdiploma, mean(pontuacaoSAT))
var_comdip <- with(comdiploma, var(pontuacaoSAT))
n_comdip <- with(comdiploma, length(pontuacaoSAT))
media_semdip <- with(semdiploma, mean(pontuacaoSAT))
var_semdip <- with(semdiploma, var(pontuacaoSAT))
n_semdip <- with(semdiploma, length(pontuacaoSAT))
4
# obtendo o estimador pontual da diferença entre médias
mcom_sem <- media_comdip - media_semdip
mcom_sem
## [1] 38.12
# obtendo o erro padrão da diferença
erropad_dif <- sqrt(var_comdip/n_comdip + var_semdip/n_semdip)
erropad_dif
## [1] 21.05
# obtendo os graus de liberdade
glib <- phi(var_comdip, var_semdip, n_comdip, n_semdip)
glib
## [1] 25.33
# obtendo a estatística t
dif_hipotetica = 0
t_calc <- (mcom_sem - dif_hipotetica)/erropad_dif
t_calc
## [1] 1.811
pvalor = 1-pt(t_calc,glib)
pvalor
## [1] 0.04101
#----- Opção 2 - Utilizando uma função pronta do R --------#
t.test(with(comdiploma, pontuacaoSAT), with(semdiploma, pontuacaoSAT), alternative = 'greater')
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
##
Welch Two Sample t-test
data: with(comdiploma, pontuacaoSAT) and with(semdiploma, pontuacaoSAT)
t = 1.811, df = 25.33, p-value = 0.04101
alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
95 percent confidence interval:
2.184
Inf
sample estimates:
mean of x mean of y
525.1
487.0
5
Aplicações
1. A FedEx e a United Parcel Service (UPS) são dois dos principais serviços de entrega de encomendas em
termos de volume e receita. De acordo com o Airports Council International, o Memphis International
Airport (FedEx) e o Louisville International Airport (UPS) são dois dos maiores aeroportos de carga do
mundo. As seguintes amostras aleatórias apresentam as toneladas de carga por dia manipuladas por
esses dois aeroportos. Os dados estão expressos em milhares de toneladas.
Memphis
9,1-15,1-8,8-10,0-7,5-10,5-8,3-9,1-6,0-5,8-12,1-9,3
Louisville
4,7-5,0-4,2-3,3-5,5-2,2-4,1-2,6-3,4-7,0
Podemos afirmar que os dois aeroportos movimentam em média o mesmo volume?
2. (Estudo de caso). O Clearwater National Bank realiza um estudo idealizado para identificar as diferenças
na utilização das contas correntes pelos clientes em dois de seus bancos filiais. Uma amostra aleatória
simples de 28 contas correntes é selecionada da filial situada em Cherry Grove e uma amostra aleatória
simples independente é selecionada de sua filial em Beechmont. O saldo atual da conta corrente é
registrado para cada uma das contas. Podemos afirmar que há diferença no saldo médio bancário entre
os dois bancos filiais?.
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