AE-1
ANÁLISE DE SISTEMAS LINEARES NO ESPAÇO DE ESTADOS
AE1- Determine os valores e vectores próprios de
 -1.5 1 

A= 
 0.25 -1.5 
a)
 -2 1 

b) B= 
 -2 0 
AE2- Forma canónica controlável.
a) Mostre que a equação diferencial homogénea de ordem n
dz
dn-1z
dnz
+
a
+
...
+
a
1
n-1
dt + anz = 0
dtn-1
dtn
pode ser representada no espaço de estados por:
0
.
x=
.
 -a
0
•
n
1
0
0
1
.
.
.
.

. .  x
. 1 
. -a 
. 0
. 0
-an-1 -an-2
1
b) Determine a equação característica da matriz.
c) Mostre que os vectores próprios desta matriz são da forma (1, λi, λi2, ..., λin-1) onde λi
é um valor próprio de A.
AE3- Calcular, pela definição, eA onde
0 1 1 1
a)


0
0
1
1


A=
0
0
0
1


0 0 0 0
2 0

b) A=
0 1
0 2 3
c) A=  2 0 1 
3 1 0
AE4- Baseando-se no teorema de Cayley-Hamilton e justificando o procedimento adoptado,
calcule:
 0 -2 

a) A20,
A=
1 3 
1 1

b) Matriz de transição de estados (eAt),A = 
4 1
-3 1 0


c) A-1, A =  1 -3 0 
 0 0 -3 
Teoria dos Sistemas
FEUP/DEEC
AE-2
1 0
AE5- Considere a transformação linear definida pela matriz A no referencial {  ,   },
0 1
0
1


.
sendo A= 
 -2 -3 
a) Desenhe os diagramas de blocos completo e matricial correspondentes ao sistema
homogéneo x• = Ax, incluindo as condições iniciais.
b) Calcule os valores e vectores próprios de A.
2
c) Determine a trajectória da solução da equação x• = Ax, sabendo que x(0) =   .
 -3 
d) Obtenha a decomposição da solução x(t) numa soma de parcelas tendo cada uma um
só modo.
e) Desenhe os diagramas de blocos correspondentes à alínea anterior supondo que cada
modo é a saída de um integrador, incluindo as condições iniciais.
f) Determine a matriz que define esta transformação linear, no referencial constituido
pelas direcções próprias w1 e w2.
g) Calcule os valores e os vectores próprios da matriz calculada na alínea c). Comente o
resultado.
h) Obtenha a solução do sistema diagonal e relacione-a com o obtido em d).
AE6- Dado o sistema x• = Ax,
 -1 1 0 
A=  0 -1 1 
 -2 -1 -3 
a) Obtenha uma representação na base constituída pelos vectores próprios (expresse
também esses vectores em forma polar)
b) Obtenha uma nova representação na base
e1-> vector próprio real
e2-> parte real do vector próprio complexo
e3-> parte imaginária do vector próprio complexo.
c) Desenhe os diagramas de blocos correspondentes às três situações.
d) Determine e esboce a trajectória x(t) para a condição inicial x(0)=2e1+e3
(representação obtida em b) ).
AE7- Dado o sistema
x• = A x + B u
y=Cx+Du
a) Determine uma representação equivalente num referencial constituído pelas colunas
da matriz T, isto é x = Tz.
b) Determine a matriz de transferência para as duas representações e comente o resultado
obtido.
Teoria dos Sistemas
FEUP/DEEC
AE-3
c) Mostre que, no caso geral, os valores próprios não se alteram com a mudança do
referencial.
d) Se as colunas de T forem os vectores próprios de A, qual será a estrutura da matriz
T-1AT?
AE8- Mostre que a equação x• =Ax+Bu (x∈Rn, A∈Rnxn, B∈Rnxp) tem por solução:
x(t) =
t
At
e x(0)+⌠eA(t–τ)Bu(τ)
⌡
dτ
0
a) Trabalhando no domínio dos tempos.
b) Usando a transformada de Laplace.
AE9- Matriz de transição de estados.
1 1
.
a) Calcular, pela transformada de Laplace, eAt, sendo A=
4 1
b) Calcular as soluções da equação det (sI-A) = 0 e estabelecer relações com o resultado
obtido em a).
c) Determine os valores e vectores próprios de A.
d) Verifique que eA(t1+t2)= eAt1 . eAt2, tal como no caso escalar.
1 2  0
x+ u ,y =[ 1 0 ] x
AE10- Dado o sistema x• =
 1 -1   1 
a) Calcule eAt.
b) Desenhe o diagrama de blocos do sistema.
c) Suponha que em x1 = eλ1t está um modo do sistema. Sabendo que os vectores próprios
representam a distribuição de cada modo pelas várias componentes do estado,
determine esses vectores, a partir dos sinais presentes nos vários pontos do diagrama.
d) Determine uma condição inicial de modo que a solução da equação vectorial xÿ=Ax
seja uma trajectória rectilínea, convergindo para a origem.
e) Obtenha a trajectória e a saída quando a entrada u é um degrau.
f) Determine a função de transferência para o sistema e confirme o resultado de e).
AE11- Calcular a função de transferência para a seguinte representação (canónica
controlável).
0 1 0


x• =  0 0 1 
 -a3 -a2 -a1 
0
x+0
1
u
y=[1 0 0] x
Teoria dos Sistemas
FEUP/DEEC
AE-4
AE12- Mostre que
a) As raízes de Q(s), polinómio de coeficientes reais, quando complexas, ocorrem em
pares conjugados.
b) Numa matriz real A, a cada par de valores próprios complexos conjugados
corresponde um par de vectores próprios de componentes conjugadas.
AE13- A partir do conhecimento dos valores e vectores próprios de A, calcule os
correspondentes valores de exp(At), A ∈ Rnxn. Generalize o resultado. Suponha
valores próprios distintos.
AE14- Determine uma representação no espaço de estados do seguinte sistema multivariável:
y••1+a1y• 1+a2y1+c3y• 2+c4y2=b1u1+d1u2
y••2+c1y• 2+c2y2+a3y• 1+a4y1=b2u1+d2u2
AE15- Considere o sistema:
Indique onde deverá estar situada a condição inicial para que a solução seja uma
trajectória fechada em R3. Justifique a resposta.
AE16- Seja o seguinte circuito eléctrico e a respectiva representação no espaço de estados:
a) Verifique a representação indicada.
Teoria dos Sistemas
FEUP/DEEC
AE-5
V2(s)
b) Obtenha a função de transferência U(s) a partir da representação no espaço de
estados.
c) Tomando α =3 e ß=1, determine os valores e vectores próprios de A e represente as
direcções próprias de A no referencial Ox1x2x3.
d) Determine a expressão e a forma geométrica (rectilínea, planar ou "empenada") da
trajectória x(t), com entrada nula ( u(t>0) = 0) e condições iniciais :
i) v1 = v2 = 1 , i = 0
ii) v1 = v2 = 0 , Li = 1.
Interprete os resultados obtidos do ponto de vista físico (do circuito eléctrico).
[Sugestão : comece por exprimir x(0) em função dos vectores próprios de A]
AE17- Para o sistema descrito por y••+6y• +5y=2u
a) Desenhe o diagrama de blocos (domínio dos tempos).
b) Obtenha as respectivas equações de estado e de saída.
c) Reescreva as equações em forma desacoplada (diagonalizada).
d) Qual a trajectória do sistema quando a entrada u é um degrau unitário (condições
iniciais nulas)?
AE18- Considere o circuito eléctrico indicado:
a) Obtenha uma representação do sistema no espaço dos estados, tomando as correntes
nas bobinas como variáveis de estado.
b) Calcule os valores e vectores próprios da representação.
c) Obtenha a matriz de transição de estados, pelo método de Cayley-Hamilton.
 2
d) Esboce a trajectória do sistema, sem entrada, com a condição inicial x(0) =   .
-2
e) Ache a função de tranferência Y(s)/U(s).
Teoria dos Sistemas
FEUP/DEEC
AE-6
AE19 - Considere o sistema de controlo de nível de liquido representado na fig.1 do problema
MD5.
a) Escreva uma representação no espaço de estados escolhendo h1 e h2 para variáveis de
estado, qe para entrada e q2 para saída.
b) Com A1=1m2, A2=2m2, R1= 0.05 seg/m2, R2= 0.1 seg/m2, determine os valores e
vectores próprios do sistema.
c) Calcule eAt.
d) Esboce h1(t) e h2(t), sabendo que h1(0)=0.1m e h2(0)=1m.
e) Determine a função de transferência a partir da representação no espaço de estados.
AE20
a) Mostre que as equações do problema MD7 (considere o amortecimento nulo) podem
ser reescritas na forma x• =Ax
b) Relacione os valores e os vectores próprios de A e B.
AE21- Se lhe fosse pedida uma representação no espaço de estados para o sistema:
qual seria a dimensão mínima possível para esta? Porquê?
AE22- Dada uma representação controlável
•
x=Ax+bu

y=Cx
Calcule a mudança de base T tal que
•
x'=A'x'+b'u

y=C'x'
seja uma forma canónica controlável, com x=Tx.
Teoria dos Sistemas
FEUP/DEEC
AE-7
AE23- Determinar a matriz de transferência para o sistema:
AE24- Dada a representação
x• =Ax+Bu

y=Cx+Du
 0 1 0 
A=  -18 -4 20 
 1.8 0 -6 
 0 
B= 18 
-1.8
 1 0 0
C= -0.9 0 1 
 0 
D= 0.9 
a)
b)
c)
d)
Desenhe o diagrama de blocos completo correspondente a esta representação.
Analise a controlabilidade e observabilidade do sistema proposto.
Indique uma base para o subespaço dos estados controláveis.
Deduza a expressão da matriz de transferência M(s), onde Y(s)=M(s)U(s), no caso
geral em que D 0.
e) Calcule M(s) no caso presente.
Y1(s)
f) Comente o resultado obtido para U(s) , nomeadamente quanto à ordem da função de
transferência.
g) Calcule justificadamente uma condição inicial de tal modo que a correspondente
trajectória no Espaço dos Estados seja rectilínea, sendo u(t)=0, t≥0.
AE25 - Determine as equações no espaço de estados da forma:
x. (t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)
y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)
para o sistema linear representado
Teoria dos Sistemas
FEUP/DEEC
AE-8
onde, x(t) =
e1(t) 
 i (t)  ;
 
 i (t) 
1
ea(t) 
;
u(t) = 
eb(t) 
i1(t) 

y(t) = = 
 i2(t) 
2
nas seguintes condições:
a) L1, L2 e C constantes.
b) Circuito com parâmetros variantes, ou seja, L1= L1(t), L2= L2(t) e C = C(t).
AE26 - Considere o sistema x.=Ax, y=Cx onde A=[ 0;1;-1;0 ] e C=[[1,0]].
a) Esboce o respectivo diagrama de simulação„o analógica
b) Analise a observabilidade do sistema.
c) Determine os respectivos valores e vectores próprios.
d) Calcule exp(At)
e) Calcule x(t), t≥0, sabendo que x(0)=[ 1;0]
f) Se lhe fosse permitido observar a saÌ da y(t) apenas em instantes da forma 0, 2π, 4π, 6π, …
poderia tirar alguma conclusão acerca do estado inicial do sistema? Porquê?
AE27 - Dada a representação em espaço de estados x. (t) = A x(t) + B u(t), x ∈ ℜ n
a) Em que condições se diz que tal representação é controlável? E observável?
b) Mostre que a representação dada é controlável se e só se a representação seguinte
x. (t) = -AT x(t)
y(t) = BT x(t)
for observável.
AE28 - Seja x.=Ax em que A é uma matriz constante pertencente a
R
2×2
.
Sabendo que
x(0) = [ 1;-3] ⇒
x(0) = [ 1;1] ⇒
Teoria dos Sistemas
-3t
-3t
x(t) = [ e ;-3e ] , t ≥ 0
t t
x(t) = [ e ;e ] , t ≥ 0
FEUP/DEEC
AE-9
a) Calcule as direcções próprias e os valores próprios das matrizes A e exp(At)
b) Determine a matriz de transição para o sistema assim como a matriz A.
AE29 - Considere o sistema realimentado da figura.
Planta
Controlador
r
+
e
-
x.c=Acxc+Bce
m=Ccxc
x.
p=Apxp+Bpm
y=Cpxp
m
y
Sabendo que as representações no espaço de estados do controlador e da planta são as
indicadas, determine a representação de estado para o sistema global, cuja entrada é r e
a saída é y, ou seja, calcule A, B e C sabendo que
x. =Ax+Bu
y=Cx
xT=[xT xT ]
c p
AE30 - Seja o sistema x& = A ⋅ x, A ∈ IR 5×5 , x ∈ IR 5 . A matriz A tem valores próprios –3, −1±j e
−5±2j, com vectores próprios, respectivamente,
1
1
 
− 1,
 
2
0
 
1 
1 
 
1  ±
 
 3
0 
 
1
0
 
j − 1
 
0
2
 
e
1 
0 
 
0  ±
 
 2
0 
 
0
2
 
j  − 1 .
 
− 3
0
 
Nestas condições determine:
a) Uma condição inicial, x(0), tal que x(t ), t ≥ 0 , seja uma trajectória contida num sub-espaço
de dimensão 2 e não seja uma recta. Justifique a sua resposta.
b) Determine a equação de x(t ), t ≥ 0 , para a condição inicial indicada na alínea a).
AE31 - Considere a representação em espaço de estados:
x& (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x(t )
em que:
 − 1 .5 1 
1 
A=
, B =  , C = [1 0] .

 0.25 − 1.5
0 
Teoria dos Sistemas
FEUP/DEEC
AE-10
a) Determine uma realimentação de estado de modo a que os pólos do sistema correspondam
a um sistema de 2a ordem com banda passante de 4 rad/s e sobrelongação na resposta ao
degrau de 5%.
b) Dimensione um observador de estado para o sistema da alinea anterior. Justifique as
escolhas que efectuar.
AE32 - Considere a seguinte representação em espaço de estados de um dado sistema com
entrada u e saída y:
1
0
0
0 

&x =  0
0
1  ⋅ x + 0 ⋅ u

− 3 − 2 − 1
1
y = [0 0 1]⋅ x
Y (s)
U ( s)
a) Obtenha a função de transferência
.
b) Esta representação é controlável ? E observável ? Justifique.
c) Determine uma realimentação de estado da forma u = − K ⋅ x , de forma que os pólos do
sistema sejam –1, –2 e – 4.
AE33 - Dado o sistema x& = A ⋅ x, A ∈ IR 3×3 , verificou-se que:
x (t ) = e
− 2t
1 
 2
 
3
quando
1 
x(0) = 2
3
e
 cos t 
e −t 

x (t ) =
cos (t + π4 )

2 
π 
cos (t + 6 )
quando
 1 
1

x(0) = cos π4  .
2
π
cos 6 
Nestas condições determine:
a) Os valores próprios da matriz A.
b) As direcções próprias da matriz A.
c) A representação do sistema quando o referencial no espaço de estados é constituído pelas
partes reais e pelas partes imaginárias das direcções próprias de A.
AE34 - Considere a seguinte representação em espaço de estados:
1

x. =  0
0
0 0
1 0
0 -3
 1 
 x + 1  u
 0 
y = [ 1 1 1 ]x
a) A representação é controlável? Porquê?
b) Determine os valores próprios do sistema.
Y(s)
c) Indique os pólos da respectiva função de transferência R(s) .
Teoria dos Sistemas
FEUP/DEEC
AE-11
d) Calcule uma realimentação de estado, que desloque os valores próprios do sistema para –1,
-1 e –3. Justifique o seu procedimento.
AE35 - Seja x& = A ⋅ x, A ∈ IR 2×2 . Sabendo que:
 e −3t 
1
x(0) =   ⇒ x(t ) = 
,t ≥ 0
− 3t 
− 3
− 3e 
3e t 
3
x ( 0 ) =   ⇒ x (t ) =  t  , t ≥ 0
 e 
1
a) Calcule os valores próprios e as correspondentes direcções próprias da matriz A e da matriz
exp(At). Justifique.
b) Determine a matriz de transição exp(At). Justifique o seu procedimento.
AE36- Considere a seguinte representação de um sistema dinâmico linear:
x·=Ax+Bu
y =Cx
0 0 0 
A= 1 0 -2 
 0 1 -3 
2
B= 4 
2

 1
C= -2 1 -1 


a) Desenhe um diagrama de blocos para o sistema (domínio dos tempos).
b) Verifique a controlabilidade do sistema com recurso à matriz Q. Determine uma base
para o subespaço dos estados controláveis.
c) Verifique a observabilidade do sistema com recurso à matriz R. Determine uma base
para o subespaço dos estados não observáveis.
d) Encontre a representação diagonal para o sistema (base dos vectores próprios) e
desenhe o novo diagrama de blocos.
e) Comente os resultados de b) e c) com recurso à representação diagonal.
f) Determine a função de transferência para o sistema. Comente.
AE37- Considere o sistema:
x·=Ax+Bu
y=Cx
 -1 1 1   0 
A= 0 0 1  B= 0 
 -6 0 -5   1 
C=[ 1 0 0 ]
a) Calcule a função de transferência.
Teoria dos Sistemas
FEUP/DEEC
AE-12
b) Constate que se trata de uma representação não (completamente) controlável.
c) Determine uma base para o subespaço dos estados controláveis.
AE38 -Considere o sistema
x·=Ax+Bu
y =Cx
 -1 0 1 
A= 3 -1 1 
 2 0 -2 
0
B= 0 
1
C=[ 1 0 0 ]
a) Calcule a função de transferência.
b) Constate que se trata de uma representação não (completamente) observável.
c) Determine uma base para o subespaço dos estados não observáveis.
AE39 -Para a representação
0 1 0
1 0




x·= 0 0 1 x+ 0 1 u
 -2 -4 -3   -1 1 
 0 1 -1 
x
y=
1 2 1 
a) Analise a sua controlabilidade.
b) Analise a respectiva observabilidade.
AE40 -Considere o seguinte modelo de uma rede eléctrica
a) Verifique se é controlável. Como interpreta este resultado?
b) Determine o subespaço dos estados controláveis e comente o resultado.
Teoria dos Sistemas
FEUP/DEEC
AE-13
AE41- Considere as seguintes representações:
a) Serão ambas controláveis? E observáveis? Justifique!
b) Supondo u=0, será possível num deles y(t) = 0, ∀t, com uma condição inicial (x1(0),
x2(0)) não nula? Porquê?
c) I será estável segundo b.i.b.o.? E segundo Lyapunov?
AE42 - Considere a representação em espaço de estados:
x& (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x(t )
em que:
 − 1 .5 1 
1 
A=
, B =  , C = [1 0] .
 0.25 − 1.5
0 
a) Determine uma realimentação de estado de modo a que os pólos do sistema correspondam
a um sistema de 2a ordem com banda passante de 4 rad/s e sobrelongação na resposta ao
degrau de 5%.
b) Dimensione um observador de estado para o sistema da alinea anterior. Justifique as
escolhas que efectuar.
Teoria dos Sistemas
FEUP/DEEC