UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE MAPLE NO ENSINO-APRENDIZAGEM DE CÁLCULO
Vanessa Mariani1
RESUMO
Neste trabalho foi investigado como a utilização do software Maple pode facilitar no ensino-aprendizagem de
Matemática no Ensino Superior, dando uma pequena amostra de como esse programa pode ser usado para as
disciplinas de Cálculo. Para exemplificar essa pesquisa de cunho bibliográfico, foram feitos exercícios que
envolvem somas de Riemann, área de uma região plana, volume de sólido de revolução e problema de máximos
e mínimos, com o objetivo de mostrar a eficácia do software no ensino de Cálculo.
1. INTRODUÇÃO
As disciplinas de Cálculo têm altos índices de rendimento insatisfatório, evasão e reprovação.
Uma das principais razões para que isso ocorra é a pouca motivação dos alunos para
aprendizagem, que pode ser desencadeada pela metodologia utilizada pelo professor, que
geralmente é a aula expositiva (Dias, 1999).
No que se refere ao processo ensino-aprendizagem, os softwares exercem grande influência
no desenvolvimento intelectual dos alunos (Taneja, 1997).
O software Maple possui uma grande potencialidade em relação ao ensino de tópicos do
Cálculo, ele oferece vários recursos como capacidade de computação algébrica, numérica e
gráfica, capacidade de manipulação de fórmulas e números e uma linguagem de programação
de alto nível. Portanto, utilizando o software Maple, os conceitos vistos em sala de aula são
apresentados de maneira computacional, tornando o processo de aprendizagem mais
prazeroso do que no ambiente que geralmente o professor utiliza em sala de aula.
Este trabalho é de cunho bibliográfico, onde foi feita uma revisão literária de artigos e
monografias que abordam a utilização do software Maple no ensino-aprendizagem de
diversos assuntos do conteúdo de cálculo analisando as vantagens de sua utilização.
Também foi necessário fazer um aprofundamento no estudo do software Maple, e pesquisas
em livros que abordem a utilização do Maple no ensino de assuntos da disciplina de Cálculo,
para a resolução de alguns exercícios. Em particular, serão apresentados cálculos envolvendo
Somas de Riemann, área de uma região plana usando integral dupla, volume de sólido de
revolução e máximos e mínimos de funções.
2. APRESENTAÇÃO DO MAPLE
Desenvolvido por Waterloo University Inc., Canadá, e pelo instituto ETH, de Zurique, Suíça,
o Maple é um sistema de computação algébrica, numérica e gráfica, desenhado para uso
profissional na resolução de problemas que exigem métodos matemáticos. Convém observar
que esse sistema não é desenhado especialmente para atingir objetivos pedagógicos, mas é
projetado para atender às necessidades do profissional na resolução de problemas. É certo que
a utilização adequada desse sistema pode contribuir muito para o processo de ensinoaprendizagem significativa.
1
Licencianda em Matemática da Universidade Católica de Brasília – UCB
[email protected]
Este software é muito potente em termos de computação algébrica e numérica de alguns
tópicos da matemática como: noções básicas de matemática, resolução de equações e
inequações, limite, continuidade, derivada, integral e suas aplicações, cálculo de
comprimento, cálculo de área, cálculo de volume, sólidos de revolução, entre outros.
Uma vez que o programa esteja iniciado, tem-se então a tela inicial do programa, worksheet,
que consiste de um menu com as opções disponíveis e uma área de trabalho.
Figura 1 – Tela inicial do Maple (worksheet)
Para executar um comando basta digitá-lo, e então pressionar a tecla “ENTER”. Neste
momento, o texto digitado é considerado como uma entrada, e será então dada a saída, que
aparecerá imediatamente abaixo da entrada. Caso ocorra algum erro de execução, ou de
sintaxe, uma mensagem apropriada será dada como saída. Deve-se tomar muito cuidado na
hora de digitar um comando, pois são consideradas as diferenças entre letras minúsculas e
maiúsculas, sendo que muitas vezes, este é o motivo de vários erros na hora de sua execução.
Após a digitação de qualquer comando no Maple é obrigatória a colocação de “; (sinal de
ponto e vírgula)” no final da expressão escrita, para que o comando seja executado. Em
alguns casos é utilizado o “: (sinal de dois pontos)” para reconhecimento do comando.
3. SEQÜÊNCIAS DIDÁTICAS
Uma seqüência didática é um esquema experimental de situações e problemas desenvolvido
por seções, a partir de um estudo preliminar, caracterizando os objetivos, controle e resolução
das atividades, análise didática e pré-requisitos de cada problema para que o aluno possa
resolver aos poucos cada uma das simulações (Sampaio, 2003).
3.1. Somas de Riemann
Esta seção traz um exemplo de como utilizar o software Maple para a Soma de Riemann.
Consideremos uma função f : [a, b] → IR e uma subdivisão do intervalo [a, b] em n partes
[ xi −1 , xi ], i = 1,2,..., n , tais que a = x 0 < x1 < x 2 < ... < x n = b . Sejam ∆xi = xi − xi −1 o
comprimento de ci um ponto qualquer do i-ésimo subintervalo. A soma abaixo é chamada
soma de Riemann.
f (c1 )∆x1 + f (c 2 )∆x 2 + ... + f (c n )∆x n =
n
i =1
f (ci )∆xi
(1)
Quando f é positiva em [a, b] , n → ∞ e os comprimentos ∆xi → 0 , para todo i, então a soma
de Riemann tende à área da região delimitada pelo gráfico y = f ( x) , pelas retas x = a , x = b
e pelo eixo dos x. Essa área é numericamente igual à integral de f(x) no intervalo [a, b] .
O pacote “student” possui seis funções relacionadas com as somas de Riemann de uma função
f ( x) em um intervalo [a, b ] , porém, para a resolução do exercício, serão utilizadas somente
duas:
middlesum(f(x), x=a..b, n) Forma inercial da soma de Riemann, com n subintervalos de
comprimentos iguais, e que escolhe cada ci como sendo ponto médio de cada subintervalo.
middlebox(f(x), x=a..b, n) Constrói um gráfico relacionado com o middlesum.
Objetivo – Seja f : [1,3] → IR definida por f ( x) = 1 / x . Construir o gráfico e calcular a soma
de Riemann de f com 10 subintervalos, escolhendo o ponto médio de cada subintervalo.
Pré-requisito – Os alunos deverão ter em mente os conceitos de funções de uma variável,
gráficos de funções e Soma de Riemann.
Controle da atividade – Em virtude da realização do exercício no software Maple, é
importante que o professor auxilie o aluno para que não fique dúvida sobre o uso do software,
pois, o que se espera é uma boa compreensão dos alunos sobre o conceito de Soma de
Riemann.
Resolução da atividade – Para a resolução, é necessário carregar o pacote “with(student)”
dando o seguinte comando:
> with(student):
> middlebox(1/x,x=1..3,10);
A visualização do resultado é mostrado na figura 2.
Figura 2 – Soma de Riemann para 10 subintervalos
> s:=middlesum(1/x,x=1..3,10);
s :=
1
5
9
i=0
1
11 i
+
10 5
> value(s);
159708887504
145568097675
> evalf(s);
1.097142094
> `ln(3)`=ln(3.0);
ln(3) = 1.098612289
Observe que o resultado obtido é próximo de ln(3), que é o valor exato dessa área.
Se aumentarmos a quantidade de subintervalos para 100, a soma obtida fica ainda mais
próxima de ln(3).
> s2:=middlesum(1/x,x=1..3,100);
s2 :=
1
50
99
i=0
1
101
i
+
100 50
> evalf(s2);
1.098597475
> middlebox(1/x,x=1..3,100);
Figura 3 – Soma de Riemann para 100 subintervalos
Quando n → ∞ , o limite da soma de Riemann com n subintervalos é igual a ln(3) , ou seja, é
igual à integral de 1/x no intervalo [1,3]:
> Limit(middlesum(1/x,x=1..3,n),n=infinity);
n−1
1
i=0
2 i+
1+
lim 2
n→∞
n
n
> S:=value(%);
S := ln( 3 )
1
2
Assim, o valor exato da área é ln(3) .
Análise Didática – Além de levar o conhecimento ao aluno que com o uso do software Maple
os conceitos vistos em sala de aula são apresentados de maneira computacional, o professor
deve destacar em cada procedimento os conceitos que o aluno já possui e realizar no Maple as
atividades apresentadas em sala de aula.
3.2. Área de uma região plana
Nesta seção, será apresentado um exemplo de cálculo de área de uma região plana usando
integral dupla. Estes cálculos são feitos utilizando sistema de coordenadas polares.
A fórmula para o cálculo de área de uma figura plana descrita em coordenadas polares
r = f (θ ) é dada por
r dr dθ
A=
(2)
R
onde R é a região para o cálculo da área.
A fórmula para o cálculo de área utilizando o software Maple com integração dupla é dada
por
> int(int(r, r=f(theta1)..f(theta2)), theta=theta1..theta2);
Objetivo - Encontrar por integração dupla a área da região limitada por uma pétala da rosácea
y = sen 2θ .
Pré-requisito – Os alunos deverão conhecer os conceitos de integral e de coordenadas
polares.
Controle da atividade – É necessário observar se os alunos estão atentos aos exercícios
propostos e se as estratégias que os alunos utilizam na resolução da atividade e na
interpretação são coerentes.
Resolução da atividade – Para resolver este exemplo necessitamos utilizar o comando
“polarplot”. Para aplicar este comando necessitamos primeiramente carregar o pacote
“with(plots)” dando o segiunte comando:
> with(plots):
Inicialmente construímos o gráfico da curva r = sen(2θ ) utilizando o comando “polarplot”:
> with(plots):
> polarplot(sin(2*theta),theta=0..2*Pi);
Figura 4 – Rosácea de 4 pétalas
Analisando o gráfico acima vimos que ele apresenta quatro pétalas simétricas no intervalo de
0 a 2π . Agora, construiremos o mesmo gráfico no intervalo de 0 a π / 2 para calcula a área
desejada.
> polarplot(sin(2*theta),theta=0..Pi/2);
Figura 5 – Uma pétala da rosácea
Aplicando comando “int”, utilizando o conceito de integral dupla, achamos a área da região
solicitada.
> Int(Int(r,r=0..sin(2*theta)),theta=0..Pi/2)=int(int(r,r=0..sin(2*theta)),theta=0..Pi/2);
1/2 π
0
Assim, a área da região desejada é
π
8
sin( 2 θ )
r dr dθ =
0
u.a. .
1
π
8
Análise Didática – A situação deve ser apresentada ao aluno com a intervenção do professor,
o qual deverá ajudar os alunos na medida em que a atividade for sendo desenvolvida, já que é
esperado que os alunos utilizem os conhecimentos anteriores ao assunto.
3.3. Volume de sólido de revolução
Nesta seção, será encontrado o volume de um sólido, obtido pela rotação de uma curva em
torno de um eixo fixo ou uma reta dada.
O volume do sólido de revolução obtido por revolução da região limitada pelo gráfico
y = f (x) , x = a , x = b e o eixo x em torno do eixo x é dado por:
V =π
b
[ f ( x)]2
dx
(3)
a
e em torno do eixo y é dado por:
b
V = 2π x[ f ( x)] dx
(4)
a
A fórmula para o cálculo de volume de um sólido de em revolução em torno do eixo x
utilizando o Maple é dada por:
>Pi*int(f(x)^2,x=a..b);
e em torno do eixo y é dado por:
>2*Pi*int(x*f(x),x=a..b);
Podemos obter a figura tridimensional de um sólido de revolução da função y = f (x) ,
a ≤ x ≤ b em torno do eixo x utilizando o comando “plot3d” da seguinte forma:
>plot3d([x,f(x)*cos(theta),f(x)*sin(theta),x=a..b,theta=0..2*Pi);
Objetivo – Encontrar o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da
região limitada pela curva y = x 2 + x − 3 , o eixo x e as retas x = −3 e x = 3 .
Pré-requisito – Os alunos deverão conhecer os conceitos de integral e de sólido de revolução.
Controle da atividade – Na resolução da atividade é necessário observar a coerência entre o
exercício proposto e as estratégias utilizadas pelo aluno para a resolução.
Resolução da atividade – Este exercício será resolvido construindo o gráfico da função e o
sólido de revolução e, em seguida, calculando a integral.
Inicialmente, a função f dada é definida e em seguida o seu gráfico é apresentado.
> f:=(x)->x^2+x-3;
f := x → x 2 + x − 3
> plot(f(x),x=-3..3);
Figura 6 – Gráfico da função f ( x) = x 2 + x − 3
A seguir, é construído o gráfico de revolução em torno do eixo x dando o seguinte comando:
> plot3d([x,f(x)*cos(theta),f(x)*sin(theta)],x=-3..3,theta=0..2*Pi);
Figura 6 – Gráfico de revolução da função f ( x) = x 2 + x − 3 em torno do eixo x
A seguir, o volume do gráfico é obtido dando o seguinte comando:
> Pi*Int((x^2+x-3)^2,x=-3..3)=Pi*int((x^2+x-3)^2,x=-3..3);
3
-3
Logo, o volume desejado de V =
2
( x 2 + x − 3 ) dx =
π
306 π
5
306
π u.v..
5
Análise Didática – A situação deve ser apresentada ao aluno com a intervenção do professor,
o qual deverá ajudar os alunos na medida em que a atividade for sendo desenvolvida, já que é
esperado que os alunos utilizem os conhecimentos anteriores ao assunto.
3.4. Problema de máximos e mínimos
Nesta seção, será resolvido um problema que consiste no cálculo de máximos e mínimos de
funções usando comando do pacote “student”.
Seja f uma função definida no intervalo fechado [a, b] . Um ponto c pertencente ao intervalo
[a, b] é chamado ponto de máximo absoluto de f ou simplesmente de ponto de máximo, se
f ( x) ≤ f (c) para todo x em [a, b] . O valor f (c) é chamado de valor máximo absoluto de f
neste intervalo ou simplesmente de valor máximo de f.
Um ponto d de [a, b ] é chamado ponto de mínimo absoluto de f ou simplesmente ponto de
mínimo de f, se f ( x) ≤ f (c) para todo x em [a, b] . O valor f (d ) é chamado de valor mínimo
absoluto de f neste intervalo ou simplesmente valor mínimo de f.
Assim, se f (c) é o máximo e f (d ) é o mínimo de f em [a, b ] , teremos f ( d )£ f ( x)£ f (c)
para todo x em [a, b ] . Os valores máximo e mínimo de f são chamados de valores extremos de
f.
Os comandos “maximize” ( f ( x), x = a..b ) e “minimize” ( f ( x), x = a..b ) do pacote “student”
calculam o valor máximo e o valor mínimo de f (x) no intervalo [a, b ] , respectivamente. Se
for acrescentando um terceiro parâmetro igual a “location”, então, além do valor máximo ou
mínimo, são mostrados também os pontos do domínio onde eles ocorrem.
Objetivo – Determinar, passo a passo, máximos ou mínimos locais de f ( x) =
2x
.
1+ x2
Pré-requisito – Os alunos deverão conhecer os conceitos máximos e mínimos de funções.
Controle da atividade – É necessário observar se os alunos estão atentos aos exercícios
propostos e se as estratégias que os alunos utilizam na resolução da atividade e na
interpretação são coerentes.
Resolução da atividade – Para resolver este exemplo necessitamos primeiramente carregar o
pacote “with(student)” dando o segiunte comando:
> with(student):
> y:=x^3-24*x+40;
y := x3 − 24 x + 40
> maximize(y,x=-3..3,location);
40 + 32 2 , { [ { x = −2 2 }, 40 + 32 2 ] }
> minimize(y,x=-3..3,location);
40 − 32 2 , { [ { x = 2 2 }, 40 − 32 2 ] }
Observe que se não for fornecido o parâmetro opcional “location” aos comandos “minimize”
e “maximize”, então, é mostrado apenas o valor mínimo e máximo, sem a localização do
mesmo no domínio da função.
> minimize(y,x=-3..3);
40 − 32 2
> maximize(y,x=-3..3);
40 + 32 2
Portanto, os valores de máximo e mínimo são 40 + 32 2 e 40 − 32 2 , respectivamente.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A intenção inicial dessa pesquisa foi mostrar um pouco da potencialidade do software Maple
em relação ao ensino de tópicos do Cálculo. A ênfase é o seu uso como ferramenta didática,
com a descrição de alguns passos, através de seqüências didáticas, sobre a sua utilização.
Apesar desse sistema não ter sido desenhado especialmente para atingir objetivos
pedagógicos, como pode ser visto nos exemplos apresentados, com a sua utilização adequada,
os professores das disciplinas de Cálculo terão em turmas estudantes dominando ferramentas
computacionais, e esse conhecimento pode ser aproveitado para um melhor desempenho na
resolução de problemas que fazem o uso de ferramental matemático.
Incorporar, então, o ambiente eletrônico à nossa rotina não significa uma adesão, mas
pressupõe recebê-lo criticamente, conhecer suas vantagens, seus riscos e possibilidades. Só
assim podemos transformá-lo em ferramenta pedagógica.
REFERÊNCIAS BBLIOGRÁFICAS
ANDRADE, Lenimar Nunes de; Introcução à Computação Algébrica com o Maple. – Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2004.
DIAS, Teresa Cleidecer; O ensino do Cálculo Diferencial e Integral e o pensamento reversível. Dissertação de
Mestrado, UCB, orientadora Maria Therezinha de L. Monteiro. – Brasília, 1999.
SAMPAIO, Cínthia Soares; A Utilização de métodos computacionais no estudo de tópicos do Cálculo
Diferencial e Integral. Monografia de Iniciação Científica, UESC, orientador André Negamine. – Ilhéus, 2003.
SANTOS, A. R. e Bianchini W.; Aprendendo Cálculo com Maple: Cálculo de uma variável. – Rio de Janeiro:
LTC Editora, 2002.
TANEJA, Inder Jeet; Maple V: Uma abordagem computacional no ensino de Cálculo. – Florianópolis: Ed. da
UFSC, 1997.