AULAS – MATEMÁTICA – PROFº SAMUEL
Descrição: Seqüências, PA e PG.
1. (ITA) Sejam a,b e c constantes reais com a 0 formando,
nesta ordem, uma progressão aritmética e tais que a soma das
raízes da equação ax² + bx + c = 0 é - 2. Então uma relação
válida entre b e c é:
b
( 2 1)
2
a) c
c)
e)
c
b( 2 1)
c
b
(4
2
b) c
b( 2
10. (ITA) Considere a progressão aritmética (X1,X2, ... , Xn) de n
termos, n 2, cuja soma de seus termos é K. A soma da seqüência
dos n valores Y1,Y2, ..., Yn definidos por Yi = aXi + b, i = 1,2, ..., n,
onde a e b são números reais com a 0, é dada por:
a) k
2)
b) ak + b
11. (ITA) Seja
d)
c
b 2
d) a n k
c) ak + nb
(a1,a2,a3, ... ,an) (ai > 0, i =
progressão geométrica de razão r e
e) a n k
nb
1,2, ..., n), uma
f:
uma função
p
2)
2. (IME) Calcule a soma dos números entre 200 e 500 que são
múltiplos de 6 ou de 14, mas não simultaneamente múltiplos de
ambos.
3. (ITA) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000,
não divisíveis nem por 5 e nem por 7 ?
4. (IME) Sejam a,b, c e d números reais positivos e diferentes
de 1. Sabendo que
log a d , log b d , log c d são
termos
definida por f ( x ) log(qx ) onde p e q são números reais
positivos.
Nestas condições , f(a1),f(a2),f(a3) ... ,f(an), é:
log(qr p )
b) uma PG de razão p log(r )
c) uma PA de razão log q p log a1
d) uma PA de razão log q p log r
e) uma PA de razão p log r
a) uma PG de razão
consecutivos de uma progressão aritmética, demonstre que:
12. (ITA)
c
2
(ac )
log a b
5. (IME) Classifique as séries abaixo em convergente ou
divergente:
1
a) 1
3
2
1
e
1
3
3
2
e
3
e
4
e
c)
1
1
1
log 2
log 3
log 4
2
3
4
6. (ITA) Provar que se uma PA é tal que a soma dos seus n
primeiros termos é igual a n + 1 vezes a metade do enésimo
termo então r = a1.
7. (IME) A soma de três números que formam uma PA
crescente é 36. Determine esses números, sabendo que se
somarmos 6 unidades ao último, eles passam a constituir uma
PG.
8. (IME) Numa PG a
1
25a 2 e a
4
4(a 2 1)
f:
f (x)
uma
função
satisfazendo
f (x
y)
f ( y ) para todo ,x,y
. Se
(a1,a2,a3, ... ,an) é uma progressão aritmética de razão d, então
podemos dizer que (f(a1),f(a2),f(a3) ... ,f(an)):
a) uma PA de razão d
b) uma PA de razão f(d) cujo primeiro termo é a1
c) uma PG de razão f(d)
d) uma PA de razão f(d)
e) n.d.a
1
3
4
b)
Seja
2( a 2 1) 2 com a >
5a
0, Pede – se:
a) estabelecer o conjunto de valores de a para os quais a PG é
decrescente.
b) Calcular o limite da soma dos termos para q = a – 1/5.
9. (ITA) Partindo de um quadrado Q1, cujo lado mede a metros,
consideremos Q2,Q3,Q4, ..., Qn tais que os vértices de cada
quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior.
Calcular, então, a soma das áreas dos quadrados Q1,Q2,Q3, ..., Qn
13. (ITA) Considere uma Progressão Geométrica, onde o primeiro
termo é a, a > 1, a razão é q, q> 1, e o produto dos seus termos é c.
se log a b 4 , log q b 2 e log c b 0,01 , quantos termos
tem esta Progressão geométrica ?
a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20
14. (ITA) Sejam a1,a2,a3, ... ,an números reais positivos e Pn = a1.a2.a3.
2
... .an. Se p > 0 é uma constante real tal que Pn
pn
2n
n
podemos afirmar que os números a1,a2,a3, ... ,an nesta ordem:
a) formam uma PG de razão q = p e a
n
b) formam uma PG de razão q = p e an
c) formam uma PG de razão q = p² e an
d) formam uma PG de razão q = p² e a
n
e) não formam uma PG
p 2n
2
pn
2
pn
2
p 2n
2
, então
15. (ITA) Se designarmos por Sn a soma dos n primeiros termos
de uma progressão geométrica de infinitos termos, de razão q >
1 e primeiro termo a1 > 0, podemos afirmar que:
a)
Sn
S 2n S n
c)
Sn
S2n
Sn
S 2n S n
S 3n S 2 n
b)
Sn
S 2n S n
S 3n
d)
S 3n
Sn
S 2n
S 3n S 2 n
S 2n
os vértices do seguinte. Dentre as alternativas abaixo, o valor
em centímetros quadrados que está mais próximo da soma das
áreas dos 78 primeiros triângulos assim construídos, incluindo o
triângulo inicial, é:
a) 8
Sn
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
25. (ITA) Numa progressão geométrica de três termos a razão é
2a
e) n.d.a
e
e a soma dos termos é 7, enquanto a diferença entre o
último termo e o primeiro é 3. Nestas condições, o valor de a é:
16. (IME) Seja uma progressão aritmética de 1º termo a1 0 e
último termo a10 tal que a1 a10 0.Seja a progressão aritmética
a)
ln 2
de 1º termo
a5
b6
1
a1
b1
e último termo
b10
1
a10
. Calcule
17. (ITA) Seja a > 0 o 1º termo de uma progressão aritmética de
razão r e também de uma progressão geométrica de razão
q
a relação entre a e r para que o 3º termo da
progressão geométrica coincida com a soma dos 3 primeiros
termos da progressão aritmética é:
a) r = 3a
b) r = 2a
c) r = a
d) r
2a e) n.d.a
18. (ITA) Numa progressão aritmética com n termos, n > 1,
sabemos que o primeiro é igual a
último termo é igual a:
c) 3n
d) 3/n
19. (ITA) A expressão 1
2
2
a) 4
d) 3,8
b) 9/2
c) 7/2
3
4
e) 5n
4 5
8 16
1
2
1
1
,
b
c c
aritmética.
a
,
1
9vn
2
para n
3
22
1
a
5
23
2n 1
2n
também formam uma progressão
b
28. (Olimpíada de SINGAPURA) Encontre o valor de
1
1
1
1
1
1 cot 1 1 cot 5 1 cot 9
1 cot 85 1 cot 89
29. (IME) Calcular a soma abaixo:
1
1 4
1
4 7
1
7 10
1
2998 3001
30. (ITA) Seja (a1,a2,a3, ... ) uma progressão aritmética infinita
tal que
n
a3k
n 2
*
n 2 , para n
vale:
, Determine o primeiro
e) n.d.a.
31. (IME – 2008) Uma série de Fibonacci é uma seqüência de
valores definida da seguinte maneira:
– Os dois primeiros termos são iguais à unidade, ou seja,T1=T2=1
– Cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos
anteriores, isto é:
TN=TN-2+TN-1
Se T18 = 2584 e T21 = 10946 então T22 é igual
a:
a) 12225
b) 13530
c) 17711
d) 20412
e) 22121
21. (IME) Seja a seqüência {vn}, n = 0,1,2,..., definida a partir
de seus dois primeiros termos v0 e v1 e pela fórmula geral
6vn
ln 2
d)
termo e a razão da progressão.
20. Se os lados de um triângulo obtusângulo estão progressão
geométrica com razão q > 1, obter os valores possíveis para a
razão.
vn
ln 3
c)
27. Demonstrar que se os números positivos a,b,c formam
uma progressão Aritmética, os números
k 1
b) 2/n
5
2
e) não existe o número real a nestas condições
(n 1)
e a soma deles vale
n
(3n 1)
.Então o produto da razão dessa progressão pelo
2
a) 2n
ln
26. Encontrar a soma:
em função de a1 e a10
3
2r
,
3a
b)
2.
Defini-se uma nova seqüência {un}, n = 0,1,2,..., pela fórmula
3n u n .
a) Calcule u n u n 1 em função de u0 e u1.
vn
b) Calcule un e vn em função de n, v0 e v1
c) Identifique a natureza das seqüências {vn} e {un} quando v1
= 1 e v0 = 1/3.
22. (IME) Três números cuja soma é 126, estão em Progressão
Aritmética e outros três em Progressão Geométrica. Somando
os termos correspondentes das duas progressões obtém-se 85,76
e 84 respectivamente. Encontre os termos destas progressões.
23. (IME) Mostre que os números 12, 20 e 35 não podem ser
termos de uma mesma progressão geométrica.
Gabarito
1) e
5) a) divergente
6) Demonstração
b) 125/8
11) e 12) d
3) 6171 4) demonstração
c) convergente
8) a) { a R / ½ < a < 2 }
16) a 5
15) a
b6
17) a
18) b
19) a
20) 1
5
2
21) a) un – un-1 = u1 – u0 b) u
n
v0
30) a1
2
3
a1 a10
5
2
1
n( v1 v 0 )
3
1
1 v 3n
3n (v0 n( v1 v0 )) c) un
n
3
3
22) PA (68,42,16) PG(17,34,68)
PG(68,34,17) 23) Demonstração 24) a
27) Demonstração
28 ) 23/2
1000
3001
1
r
vn
29)
24. (ITA) Um triângulo tem lados medindo 3, 4 e 5 centímetros.
A partir dele constrói-se uma seqüência de triângulos do
seguinte modo: os pontos médios dos lados de um triângulo são
2) 20196
b) convergente
7) (6,12,18)
9) 2a²
10) c
13) e
14) d
r
1
ou
PA(17,42,67)
25)d
26) 3
2
3
31) c
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