Resolução das atividades complementares
Matemática
M24 — Equações Polinomiais
p. 86
1 (PUC-SP) No universo C| , a equação
x 11
0
0
22
x
0 5 2 2 admite:
1 21 x 2 2
a) três raízes racionais
b) duas raízes não reais
c) duas raízes irracionais d) uma única raiz não inteira
e) uma única raiz positiva
Resolução:
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos que compõem a diagonal
principal.
Logo, a equação proposta é equivalente a:
(x 1 1) ? x ? (x 2 2) 5 22
x3 2 x2 2 2x 1 2 5 0
x2(x 2 1) 2 2(x 2 1) 5 0
(x 2 1)(x2 2 2) 5 0
x 2 1 5 0 ou x2 2 2 5 0
x 5 1 ou x 5  2
{
}
Assim, o conjunto solução S da equação é S 5 1, 2 , 2 2 .
Portanto, a equação admite duas raízes irracionais.
2 (UFV-MG) Sabendo que i é uma raiz complexa do poli­nômio P(x) 5 x4 1 x3 2 x2 1 bx 1 a, com a, b
[ IR, determine a e b. a 5 22 e b 5 1
Resolução:
P(x) 5 x4 1 x3 2 x2 1 bx 1 a
P(i) 5 0
i4 1 i3 2 i2 1 bi 1 a 5 0
1 2 i 1 1 1 bi 1 a 5 0
(a 1 2) 1 (b 2 1)i 5 0
a 1 2 5 0 ⇒ a 5 2 2

b 2 1 5 0 ⇒ b 5 1
3 (PUC-RJ) Quais as soluções de x(x2 2 4x 1 4) 5 1? S 5 1, 3 2 5 , 3 1 5 
2
2


Resolução:
Preparando a equação, temos:
x(x 2 2 4x 1 4) 5 1 ⇒ x 3 2 4x 2 1 4x 2 1 5 0
Verificando que 1 é raiz, temos:
1 1 24 4 21
1 23
1
0
Logo, a equação pode ser escrita na forma fatorada:
(x 2 1))(x 2 2 3x 1 1) 5 0
As outras raízes são:
x 2 2 3x 1 1 5 0 ⇒ x 5
3 
x 5
3 1 5
2
x 5
3 2 5
2
9 24
2
 3 2 5 3 1 5
Portanto: S 5 1,
,

2
2


4 (Unip-SP) Se P(x) 5 x3 2 7x2 1 3x 1 a, com a [ IR, for divisível por x 2 2, então uma das raízes da
equação x3 2 7x2 1 3x 1 a 5 0 será:
a)
b)
5 1
53
2
5 2
53 i
2
c)
d)
7 2
53
e)
2
5 1
23 i
2
Resolução:
Se P(x) 5 x 3 2 7x 2 1 3x 1 a for divisível por x 2 2, então:
a) P(2) 5 0 ⇒ 23 2 7 ? 22 1 3 ? 2 1 a 5 0 ⇒ a 5 14
b) x 3 2 7x 2 1 3x 1 14 x 2 2
x 2 2 5x 2 7
0
Assim, para a 5 14, temos:
x 3 2 7x 2 1 3x 1 a 5 0
x 3 2 7x 2 1 3x 1 14 5 0
(x 2 2) ? (x 2 2 5x 2 7) 5 0
x 2 2 5 0 ou x 2 2 5x 2 7 5 0
5  53
x 5 2 ou x 5
2
5 1 13
2
5 (Unifor-CE) Se, no universo IR, a equação x5 2 x4 2 5x3 1 x2 1 8x 1 4 5 0 admite a raiz 21, com
multiplicidade 3, então a soma das demais raízes é:
c) 0
a) 24
d) 3
b) 23
e) 4
Resolução:
Aplicando o dispositivo de Briot-R
Ruffini 3 vezes, temos:
21 1 21 25 1 8 4
21 1 22 23 4 4 0
21 1 23
0
4 0
1 24
4
0
Q(x) 5 x 2 2 4x 1 4
x 2 2 4x 1 4 5 0 ⇒ (x 2 2)2 5 0
x 5 2 é raiz dupla
Logo: 2 1 2 5 4
p. 87
6 (UFRJ) A figura abaixo representa o polinômio P definido por P(x) 5 x3 2 4x.
y
�2
0
2
x
a) Determine as raízes desse po­linômio. {22, 0, 2}
b) Substituindo-se, em P(x), x por x 2 3, obtém-se um novo polinômio
definido por y 5 P(x 2 3). Determine as raízes desse novo po­li­nô­mio.
{1, 3, 5}
Resolução:
a) As raízes determinam os pontos de intersecção do gráfico com o eixo x; portanto, são três: 22, 0 e 2.
b) O gráfico do polinômio definido por y 5 P(x 2 3) é uma translação do gráfico de y 5 P(x) no
sentido positivo do eixo x.
Desse modo, as novas raízes são: 22 1 3 5 1; 0 1 3 5 3; 2 1 3 5 5.
De outro modo, as raízes podem ser obtidas substituindo-se x por x 2 3:
(x 2 3)3 2 4(x 2 3) 5 0 ⇒ (x 2 3) ? [(x 2 3)2 2 4] 5 0 ⇒
x 5 3
⇒ 
2
(x 2 3) 5 4 ⇒ x 5 1 ou x 5 5
7 (UERJ) x3 1 x 1 10 5 0 e x3 2 19x 2 30 5 0.
As equações acima, em que x [ C| , têm uma raiz comum. Determine todas as raízes não comuns.
{1 1 2i, 1 2 2i, 5, 23}
Resolução:
Vamos determinar a raiz comum:
x 3 1 x 1 10 5 x 3 2 19x 2 30 ⇒ 20x 5 2 40 ⇒ x 5 2 2
Raízes não-comuns:
1
0
1 10
22
1
22
5
0
x 2 2 2x 1 5 5 0
x 5 1 1 2i ou x 5 1 2 2i
1
0 219 230
22
1
22 215
0
x 2 2 2x 2 15 5 0
x 5 5 ou x 5 2 3
8 (UFSM-RS) Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir, referentes ao
polinômio p(x) 5 anx­n 1 an 2 1x­n 2 1 1 ... 1 a2x­2 1 a1x 1 a0, em que n > 1 e a0, a1, a2, ..., an são números reais.
( ) O polinômio p(x) é divisível por (x 2 a) se, e somente se, p(a)  0.
( ) O resto da divisão de p(x) por (x 2 a) é p(a).
( ) Se z 5 a 1 bi, com a, b [ IR e b  0, é raiz da equação p(x) 5 0, então o conjugado de z, z, é também raiz da equação.
A seqüência correta é:
a) F – V – V
c) V – V – V
e) V – F – F
b) F – F – V
d) F – V – F
Resolução:
• Falsa, pois p(x) é divisível por (x 2 a) se, e somente se, p(a) 5 0
• Verdadeira, pois é o enunciado do teorema do resto.
• Verdadeira, pois é o enunciado do teorema das raízes complexas.
9 (FGV-SP) Dada a equação polinomial x3 2 5x2 1 8x 2 m 5 0, em que m é um parâmetro real:
a) mostre que tal equação tem ao menos uma raiz real;
b) obtenha m de modo que 3 seja raiz e encontre as outras raízes. m 5 6; 1 1 i e 1 2 i
Resolução:
a) raízes imaginárias aparecem aos pares; logo, existe pelo menos uma raiz reeal.
b) 27 2 45 1 24 2 m 5 0 ⇒ m 5 6
3 1 25 8 26
1 22 2
0
x 5 1 1 i
2  24
x 2 2x 1 2 5 0 ⇒ x 5
2
2
x 5 1 2 i
Em questões como a 10, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
10 (UFBA) Sobre expressões algébricas e poli­nômios, pode-se afirmar:
(01) (x 1 2)3 5 x 3 1 8,  x [ IR
x 11
x2 1 1
(02)
2 2 2
= 3
,  x [ IR 2 {21, 0, 1}
x(x 2 1)
x 21 x 2 x
(04) Se (mx 2 2 nx 1 1)(x 2 1) 5 x 3 2 2x 2 1 2x 2 1, então mn 5 1.
(08) O resto da divisão x 3 2 2x 2 2 6x 1 1 por x 1 1 é 26.
(16) Se 2 é raiz do polinômio P(x) 5 x 3 2 2x 2 1 mx 1 1, então m 5 2 1 .
2
(32) Sendo 2 2 raiz do polinômio x 3 1 3x 2 1 3x 1 2, então as outras raízes são números complexos conjugados.
2 1 4 1 16 1 32 5 54
Resolução:
(01) Falsa.
(x 1 2)3 5 x 3 1 6x 2 1 12x 1 8
(02) Correta.
x 11
(x 1 1)2 2 2x
x 2 1 2x 1 1 2 2x
x2 1 1
2 22
5
5
5
x(x 2 1)
x(x 1 1)(x 2 1)
x 21
x(x 2 2 1)
x3 2 x
(04) Correta.
(mx 2 2 nx 1 1)(x 2 1) 5 x 3 2 2x 2 1 2x 2 1
mx 3 1 (2m 2 n)x 2 1 (n 1 1)x 2 1 5 x 3 2 2x 2 1 2x 2 1
Igualando os coeficientes:
m 5 1

2m 2 n 5 22 ⇒ 21 2 n 5 22 ⇒ n 5 1
n 1 1 5 2

Logo, mn 5 1 ? 1 5 1
(08) Falsa.
P(x) 5 x 3 2 2x 2 2 6x 1 1
P(21) 5 (21)3 2 2(21)2 2 6(21) 1 1 5 4
(16) Correta.
P(2) 5 0 ⇒ 23 2 2 ? 22 1 m ? 2 1 1 5 0 ⇒ m 5 2 1
2
(32) Correta.
22 1 3
3
2
1 1
1
0
x 5 2 1 1
2
3 i
2
x 5 2 1 2
2
3 i
2
Q(x) 5 x 2 1 x 1 1 5 0
São corretas as afirmativas 2, 4, 16 e 32, somando 54.
11 (UFMG) Se a equação x3 1 ax2 1 bx 1 1 5 0, de coefi­cientes a e b reais, tem 3 1 i como uma de
suas raízes, determine:
a) as outras raízes; 3 2 i e 2 1
4
b) os valores de a e b.
a 5 1 2 2 3 eb 5 2 3 1 4
4
2
Resolução:
a) Se 3 1 i é raiz, então 3 2 i também é.
Como a equação é do 3o_ grau, ela tem três raízes e a 3_o raiz é real.
Seja k a raiz real da equação, temos:
(x 2 k)  x 2 ( 3 1 i)  x 2 ( 3 2 i)  x 3 1 ax 2 1 bx 1 1
x 3 2 ( k 1 2 3 ) x 2 1 ( 4 1 2k 3 ) x 2 4k  x 3 1 ax 2 1 bx 1 1
Comparando os coeficientes:
24k 5 1 ⇒ k 5 2 1
4
As outras raízes são 3 2 i e 2 1 .
4
b) a 5 2 k 2 2 3
a 5 1 22 3
4
b 5 2k 3 1 4
b 5 2 ? 21 3 1 4 ⇒ b 5 2 3 1 4
4
2
( )
12 (ITA-SP) Quais são as raízes inteiras da equação x3 1 4x2 1 2x 2 4 5 0? 22
Resolução:
Os coeficientes da equação são toddos inteiros, logo:
p é divisor de 24: p [ { 1,  2,  4}
q é divisor de 1: q [ { 1}
Fazendo a verificação, encontramos a raiz 22.
p
[ { 1,  2,  4}
q
Portanto, a equação pode ser colocada na forma (x 1 2) ? Q(x) 5 0.
Aplicando Briot-Ruffini:
22 1 4 2 24
1 2 22 0
�����
coeficientes de Q(x)
x 5 21 2
3
2
Fazendo Q(x) 5 x 1 2x 2 2 5 0
As raízes da equação são 22, 21 2
x 5 21 1 3
3 e 21 1 3 , mas a única raiz inteira é 22.
13 (Fuvest-SP) O polinômio x5 1 x4 2 5x3 2 5x2 1 4x 1 4m tem uma raiz igual a 21.
a) Determine m. m 5 1
b) Fatore o polinômio num produto de binômios do 1o grau. (x 1 1)2 ? (x 2 1)(x 1 2) ? (x 2 2)
Resolução:
a) O número 21 é raiz do polinômio x 5 1 x 4 2 5x 3 1 4x 1 4m:
21 1 1 25 25 4
4m
1 0 25
0
4
4m 2 4
4m 2 4 5 0 ⇒ m 5 1
b) Nas condições dadas, vamos encontraar as outras raízes do polinômio.
x 4 2 5x 2 1 4 5 0
x 5 4
5  9
5  3
2
x 5
5
2
2
x 5 1
2
2
x 5 4 ⇒ x 5 2
x 5 1 ⇒ x 5 1
Logoo, x 5 1 x 4 2 5x 3 2 5x 2 1 4x 1 4 5 (x 1 1)2 ? (x 2 1) ? (x 1 2) ? (xx 2 2)
14 (Vunesp-SP) Os coeficientes do polinômio f(x) 5 x3 1 ax2 1 bx 1 3 são números inteiros.
Supondo que f(x) tenha duas raízes racionais positivas distintas:
a) encontre todas as raízes desse polinômio;
b) determine os valores de a e b. a 5 23 e b 5 21
{21, 1, 3}
Resolução:
a) f(x) 5 x3 1 ax2 1 bx 1 3
Como os coeficientes do polinômio f(x) são números inteiros, temos: p 5 1 ou p 5 3; q 5 1
p
Raízes racionais:
[ {21, 1, 23, 3}
q
As duas raízes racionais positivas e distintas são a1 5 1 e a2 5 3.
a1 ? a2 ? a3 5 23 (Girard)
Substituindo: 1 ? 3 ? a3 5 23 ⇒ a3 5 21
S 5 {21, 1, 3}
a 1 b 5 24
⇒ 
f(3) 5 27 1 9a 1 3b 1 3 5 0
3a 1 b 5 210
b) f(1) 5 1 1 a 1 b 1 3 5 0
Resolvendo o sistema, vem: a 5 23 e b 5 21.
Em questões como a 15, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
15 (UFPR) A equação x3 2 6x2 1 ax 1 b 5 0, na qual a e b são números reais, tem uma raiz igual a
2 1 3i. É correto afirmar: 4 1 8 5 12
(01) 22 1 3i também é raiz da equação.
(02) A equação não possui raízes reais.
(04) A soma de todas as raízes da equação é 6.
(08) O valor de b é 226.
Resolução:
(01) Não é correto, pois se 2 1 3i é raiz, então a outra raiz complexa é 2 2 3i, conjugado de 2 1 3i.
(02) Não é correto, pois se 2 1 3i e 2 2 3i são raízes, a terceira raiz é real.
(04) É correto, pois pela 1a relação de Girard, se x1, x2, x3 são raízes, x1 1 x 2 1 x 3 5 2 b .
a
(26)
Logo: x1 1 x 2 1 x 3 5 2
56
1
(08) É correto, pois se x1 1 x2 1 x3 5 6, então:
2 1 3i 1 2 2 3i 1 x3 5 6
x3 5 2
Logo: x1 ? x2 ? x3 5 2b
(2 1 3i)(2 2 3i) ? 2 5 2b ⇒ b 5 226
São corretas as afirmativas 4 e 8, somando 12.
(
)
16 (UFPR) Calcule o valor de log10 1 1 1 1 1 , sendo a, b e c as raízes da equação
2x3 2 30x2 1 15x 2 3 5 0. 1
ab
bc
ac
Resolução:
2x 3 2 30x 2 1 15x 2 3 5 0
a 1 b 1 c 5 30 5 15

2

abc 5 3

2
1 1 1 1 1 5 c 1 a 1 b 5 15 5 10
ab
bc
ac
abc
3
2
log10 1 1 1 1 1 5 log10 10 5 1
ab
bc
ac
(
)
17 (Cefet-PR) Sejam a, b e c raízes da equação x­3 2 3x­2 1 9x 2 2 = 0.
Então o valor de
a) 69
4
b) 2 48
3
1 1 1 1 1 é igual a:
a2
b2
c2
c) 86
3
d) 2 35
4
e) 59
4
Resolução:
Usando as relações de Girard:
a 1 b 1 c 5 3

ab 1 ac 1 bc 5 9
abc 5 2

2 2
2 2
2 2
1 1 1 1 1 5 bc 1 ac 1 a b 5
2
2
2
2 2 2
a
b
c
a bc
(ab 1 ac 1 bc)2 2 2abc(a 1 b 1 c)
92 2 2 ? 2 ? 3
5
5
5 69
2
2
4
(abc)
2
18 (PUC-SP) Sabe-se que o polinômio f(x) 5 x3 1 4x2 1 5x 1 k admite três raízes reais tais que uma delas
é a soma das outras duas. Nessas condições, se k é a parte real do número complexo z 5 k 1 2i, então z:
a) é um imaginário puro.
d) é tal que z2 5 4i.
b) tem módulo igual a 2.
e) tem argumento principal igual a 45°.
c) é o conjugado de 22 2 2i.
Resolução:
Sejam x1, x2 e x3 as raízes do polinômio dado.
Do enunciado, temos que x1 5 x2 1 x3 (I).
Das relações de Girard, temos: x1 1 x2 1 x3 5 24 (II).
Substituindo-se (I) em (II), vem: 2x1 5 24  x1 5 22.
Se 22 é raiz, então f(22) 5 0.
Logo: (22)3 1 4(22)2 1 5(22) 1 k 5 0  k 5 2 e z 5 2 1 2i, cujo afixo é o ponto P(2, 2).
Im
P
2
Da figura, concluímos que o argumento principal
 de z é igual a 45°.
�
0
2
Re
19 (UFSCar-SP) Sabendo que a soma de duas das raízes da equação x3 2 7x2 1 14x 2 8 5 0 é igual a 5,
pode-se afirmar a respeito das raízes:
a) São todas iguais e não-nulas. c) As raízes constituem uma PG.­
b) Somente uma raiz é nula.
d) As raízes constituem uma PA.
e) Nenhuma raiz é real.
Resolução:
Sendo x1, x 2 e x 3 as raízes da equação x 3 2 7x 2 1 14x 2 8 5 0, temos:
2b
x1 1 x 2 1 x 3 5
 x1 1 x 2 1 x 3 5 7 (I)
a
x1 1 x 2 5 5 (II)
De (I) e (II), vem que x 3 5 2.
1 27 14 28
2
1�
2
5 ��
4 0
�
�
2
Q(x) 5 x 2 5x 1 4
Logo, x3 2 7x2 1 14x 2 8 5 (x 2 2) ? (x2 2 5x 1 4).
Como as raízes de x2 2 5x 1 4 são 1 e 4, as raízes de x3 2 7x2 1 14x 2 8 5 0 são 1, 2 e 4, e, nessa
ordem, elas constituem uma progressão geométrica.
20 (UFRJ) Encontre as raízes de x3 1 15x2 1 66x 1 80 5 0, sabendo que são reais e estão em PA.
22, 25 e 28
Resolução:
Sejam a 2 r, a e a 1 r as raízes.
a 2 r 1 a 1 a 1 r 5 215 (I)

(a 2 r)a(a 1 r) 5 2 80 (II)
De (I), temos: 3a 5 215 ⇒ a 5 25
Substituindo esse valor em (II): (25 2 r)(25)(25 1 r) 5 2 80
r 5 3
r2 5 9
r  5 23
Se r 5 3 ou r 5 23, obtemos as mesmas raízes, ou seja: 22, 25 e 28.
10
21 (UFJF-MG) Encontre as raízes da equação 3x3 1 kx2 1 13x 2 3 5 0, em que k [ IR, sabendo que elas
formam uma PG.
{
}
1 , 1, 3
3
Resolução:
Sejam a , a e aq, as raízes da equação 3x 3 1 kx 2 1 13x 2 3 5 0.
q
Pelas relações de Girard, temos:
 a 1 a 1 aq 5 2 k (I)
q
3

a
a ? aq 1 a ? aq 5 13 (II)
 ? a 1
q
q
3

a
23
 q ? a ? aq 5 2 3 5 1 (III)
Da equação (III), vem: a 3 5 1 ⇒ a 5 1
Substituindo em (II):
q 5 3
1 1 1 1 q 5 13 ⇒ 3q2 2 10q 1 3 5 0
q
3
q 5 1
3
Se q 5 3 ou q 5 1 , obtemos os valores 1 , 1 e 3 para as raízes.
3
3
22 (Unicamp-SP) Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 2x2 1 5x 1 26.
a) Verifique se o número complexo 2 1 3i é raiz desse polinômio.
b) Prove que p(x) . 0 para todo número real x . 22.
Resolução:
a) Se p(x) 5 x3 2 2x2 1 5x 1 26, então:
p(2 1 3i) 5 (2 1 3i)3 2 2 ? (2 1 3i)2 1 5 ? (2 1 3i) 1 26 5
5 (2 1 3i)2 ? [(2 1 3i) 2 2] 1 10 1 15i 1 26 5
5 (4 1 12i 1 9i2) ? (3i) 1 36 1 15i 5
5 (25 1 12i) ? (3i) 1 36 1 15i 5
5 215i 1 36i2 1 36 1 15i 5
5 215i 2 36 1 36 1 15i 5 0
Portanto, (2 1 3i) é raiz de p(x).
b) As raízes de p(x) são (2 1 3i), (2 2 3i) e r.
Pelas relações de Girard, temos:
(2 1 3i) 1 (2 2 3i) 1 r 5 2 ⇔ r 5 22
O polinômio p(x), na forma fatorada, é:
p(x) 5 (x 1 2) ? (x 2 2 1 3i) ? (x 2 2 2 3i) ⇔ p(x) 5 (x 1 2) ? (x2 2 4x 1 13).
Se x . 22 ⇔ x 1 2 . 0, então p(x) . 0, visto que x2 2 4x 1 13 . 0, x  IR.
11
p. 88
23 (Unicamp-SP) Dada a equação polinomial com coefi­cien­tes reais x3 2 5x2 1 9x 2 a 5 0:
a) encontre o valor numérico de a de modo que o número complexo 2 1 i seja uma das raízes da referida
equação; a 5 5
b) para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação.
22ie1
Resolução:
a) Se 2 1 i é raiz da equação, temos:
(2 1 i)3 2 5(2 1 i)2 1 9(2 1 i) 2 a 5 0 ⇒ (2 1 i)(2 1 i)(2 1 i) 2 5(2 1 i)(2 1 i) 1 9(2 1 i) 2 a
5 0 ⇒ (3 1 4i)(2 1 i) 2 5(3 1 4i) 1 9(2 1 i) 2 a 5 0 ⇒ 2 1 11i 2 15 2 20i 1 18 1 9i 2 a 5 0
⇒52a50⇒a55
b) Se 2 1 i é raiz, então 2 2 i também será (teorema das raízes complexas), assim x1 5 2 1 i,
x2 5 2 2 i e x3 serão as raízes. Por uma das relações de Girard temos x1 1 x 2 1 x 3 5 2 b , assim:
a
22
( 5)
(2 1 i) 1 (2 2 i) 1 x 3 5
⇒ 4 1 x3 5 5 ⇒ x3 5 1
1
As outras raízes são 2 2 i e 1.
24 (FGV-SP)
12 5
2
1
1
2
b) Determine o valor de W 5 2 1 2 , sendo r e s as raízes da equação ax 1 bx 1 c 5 0, a  0, c  0.
r
s
b2 2 2ac
c2
a) Determine o menor número real cuja soma com o próprio quadrado é igual ao próprio cubo.
Resolução:
a) Supondo-se x o número procurado,, então x 1 x 2 5 x 3, daí:
x 3 2 x 2 2 x 5 0 ⇒ x(x 2 2 x 2 1) 5 0 ⇒ x 5 0 ou x 2 2 x 2 1 5 0
11 5
12
ou x 2 5
2
2
11 5 12 5
Os valores que satisfazem a equação são
,
e 0.
2
2
12 5
O menor deles é
.
2
b) Sendo r e s as raízes da equação, podemos afirmar quee r 1 s 5 2b e r ? s 5
a
2
2
s
1
r
w 5 12 1 12 5
5
r
s
r 2s 2
2
b2 2 2ac
b2 2 2c
2b 2 2 ? c
2
2
(s 1 r) 2 2rs
b2
a
a
a 5 a
a2
5
5
5
5
2
(r ? s)2
c2
c2
c
2
a
a2
a
Resolvendo a equação do 2o_ grau, encontramos x1 5
( )
()
12
5
.
c (Girard), daí:
a
2 2ac
.
c2
25 (Unicamp-SP) Para resolver equações do tipo x4 1 ax3 1 bx2 1 ax 1 1 5 0, podemos proceder do
seguinte modo: como x 5 0 não é uma raiz, divide-se a equação por x2 e, após fazer a mudança de variáveis
u 5 x 1 1 , resolve-se a equação obtida [na variável u].
x
Observe que, se x [ IR e x . 0, então u > 2.
1, 1 2 i 3 , 1 1 i 3
a) Ache as quatro raízes da equação x4 2 3x3 1 4x2 2 3x 1 1 5 0.
2
2
2
2
4
3
2
b) Encontre os valores de b [ IR para os quais a equação x 2 3x 1 bx 2 3x 1 1 5 0 tem pelo menos uma
raiz real positiva. b  4
{
}
Resolução:
a) Dividindo x 4 2 3x 3 1 4x 2 2 3x 1 1 5 0 por x 2, obteremos
x 2 2 3x 1 4 2 3 1 12 5 0 ⇒ x 2 1 12 2 3 x 1 1 1 4 5 0 (I)
x
x
x
x
1
1
2
2
2
Se u 5 x 1
(II), então u 5 x 1 2 1 2 ou u 2 2 5 x 2 1 12 (III)
x
x
x
Trocando II e III em I, teremos:
(
)
u 2 2 2 2 3u 1 4 5 0 ⇒ u 2 2 3u 1 2 5 0 ⇒ u 5 1 ou u 5 2
Se u 5 1: x 1 1 5 1 ⇒ x 2 1 1 5 x ⇒ x 2 2 x 1 1 5 0 ⇒
x
1 1 3i
1 2 3i
x 5
ou x 5
2
2
1
2
2
Se u 5 2: x 1
5 2 ⇒ x 1 1 5 2x ⇒ x 2 2x 1 1 5 0 ⇒ x 5 1
x
1 1 3 i 1 2 3i
As raízes da equação são:
,
e 1 (raiz dupla).
2
2
b) Com procedimento semelhaante ao item a, obtemos:
x 2 2 12 2 3 x 1 1 1 b 5 0 ⇒ u 2 2 2 2 3u 1 b 5 0 ⇒ u 2 2 3u 1 b 2 2 5 0
x
x
(
)
Resolvendo a equação: D 5 17 2 4b
u 5
(17 2 4b  0 ⇒ b  174 )
3  17 2 4b
3 1 17 2 4b
3 2 17 2 4b
⇒ u 5
ou u 5
2
2
2
3 1 17 2 4b
3 1 17 2 4b
, então
 2 ⇒
2
2
⇒ 17 2 4 b  1 ⇒ 17 2 4b  1 ⇒ b  4
De b  17 e b  4 concluímos que b  4.
4
Pelo enunciado u  2, desse modo u 5
13
26 (FGV-SP) Considere a função y 5 f(x), tal que: f(x) 5 x3 2 2x2 2 x 1 2
y
f(x)
e cujo gráfico está representado na figura ao lado.
Determine o conjunto solução da ine­qua­ção 0 < x3 2 2x2 2 x 1 14 < 12.
S 5 {x  IR | 22 < x < 21 ou 1 < x < 2}
�2
�1 O
x
Resolução:
�12
Sendo f(x) 5 x 3 2 2x 2 2 x 1 2, então:
f(x) 5 x 2(x 2 2) 2 1(x 2 2) 5 (x 2 2)(x 2 2 1) ⇒ f(x) 5 (x 2 2)(x 2 2 1)
As raízes da função são 2, 1 e 21.
Pelo gráfico f(22) 5 212 e f(x)  212 para qualquer x  22 e f(x)  0 se x  21 ou 1  x  2.
Resolvendo a inequação: 0  x 3 2 2x 2 2 x 1 14  12 ⇒
⇒ 0 2 12  x 3 2 2x 2 2 x 1 2  12 2 12 ⇒ 212  x 3 2 2x 2 2 x 1 2  0 ⇒
f(xx)  212 ⇒ x  22
212x  f(x)  0 ⇒ 
f(x)  0 ⇒ x  21 a 1  x  2
�2
1
�1
�2
2
1
�1
2
S � {x � IR | �2 � x � �1 ou 1 � x � 2}
 1 2
 1 21
 , a soma das raízes do polinômio
x
eB 5 
27 (MACK-SP) Dadas as matrizes A 5 
 x 3
0
p(x) 5 det(A ? B) é:
a) 21
b) 1
c) 2,5 d) 22
e) 1,5
Resolução:
det A 5 3 2 2x
det B 5 x
p(x) 5 det (A · B) 5 det A ? det B 5 (3 2 2x) ? x, cujas raízes são:
x 5 0 e x 5 3.
2
A soma das raízes é 0 1 3 5 3 5 1, 5.
2
2
14
28 (ITA-SP) Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 (a 1 1)x 1 a, em que a [ Z⁄ . O conjunto de todos os
valores de a, para os quais o polinômio p(x) só admite raízes inteiras, é:
c) {6n2 2 4n, n [ IN}
a) {2n, n [ IN}
d) {n(n 1 1), n [ IN}
b) {4n2, n [ IN}
e) IN
Resolução:
Fatorando p(x), encontramos:
p(x) 5 x3 2 (a 1 1)x 1 a 5 x3 2 x2 1 x2 2 ax 2 x 1 a 5
5 x3 2 x2 1 x2 2 x 2 ax 1 a 5 x2(x 2 1) 1 x(x 2 1) 2 a(x 2 1) 5
5 (x 2 1)(x2 1 x 2 a)
As raízes do polinômio são tais que (x 2 1)(x2 1 x 2 a) 5 0, assim x 2 1 5 0 ou x2 1 x 2 a 5 0.
Uma das raízes é 1. Para que as outras raízes sejam inteiras, o discriminante da equação x2 1 x 2 a 5 0
deve ser maior ou igual a zero, e, assim, a  21 ; como a [ Z
⁄ , a deve ser maior ou igual a zero, portanto
4
a [ IN.
Sendo x1 e x2 as raízes de x2 1 x 2 a 5 0, pelas relações de Girard temos:
 x1 1 x 2 5 21
⇒ x1 5 2x 2 2 1

⇒ (2x 2 2 1) ? x 2 5 2a ⇒
 x1 ? x 2 5 2a
2(x 2 1 1) ? x 2 5 2a ⇒ a 5 x 2(x 2 1 1), logo a é natural e da forma n(n 1 1).
29 (MACK-SP) A quantidade de pontos, pertencentes à curva y = x2, que distam 5 do ponto (1, 2), é:
a) 3
b) 2
c) 4
d) 0
e) 1
Resolução:
Os pontos da curva y 5 x 2 são da forma (a, a 2), e os pontos dessa curva que distam 5 do ponto (1, 2)
obedecem à equação: (a 2 1)2 1 (a 2 2 2)2 5 5 ⇒ (a 2 1)2 1 (a 2 2 2)2 5 5 ⇒
⇒ a 2 2 2a 1 1 1 a 4 2 4 a 2 1 4 2 5 5 0 ⇒ a 4 2 3a 2 2 2a 5 0 ⇒
⇒ a(a 3 2 3a 2 2) 5 0 ⇒ a(a 3 2 a 2 2a 2 2) 5 0 ⇒
⇒ a ( a(a 2 2 1) 2 2(a 1 1) 5 0 ⇒ a ( a(a 2 1)(a 1 1) 2 2(a 1 1)) 5 0 ⇒
)
⇒ a ? (a 1 1) ( a(a 2 1) 2 2) 5 0 ⇒ a(a 1 1)(a 2 2 a 2 2) 5 0 ⇒
⇒ a(a 1 1)(a 1 1)(a 2 2) 5 0. As raízes da equação são 0, 21 e 2.
Portanto, são 3 os pontos da curva y 5 x 2 que distam 5 do ponto (1, 2) : (0, 0), ( 21, 1) e (2, 4).
15
30 (UEL-PR) A equação x3 2 10x2 1 ax 1 b 5 0 tem uma raiz igual a 3 1 2i. Nela, a e b são números
reais. Sobre essa equação, é correto afirmar:
a) 23 1 2i também é raiz da equação.
b) A equação não possui raízes reais.
c) A equação possui uma raiz irracional.
d) O valor de a é 237.
e) O valor de b é 252.
Resolução:
Se x1 5 3 1 2i é uma das raízes pelo teorema das raízes complexas x 2 5 3 2 2i também será raiz
da equação.
Pelas relações de Girrard temos:
22
( 10)
1) x1 1 x 2 1 x 3 5
⇒ (3 1 2i) 1 (3 2 2i) 1 x 3 5 10 ⇒ x 3 5 4
1
2) x1 ? x 2 1 x1 ? x 3 1 x 2 x 3 5 a ⇒ (3 1 2i)(3 2 2i) 1 (3 1 2i) ? 4 1 (3 2 2i) ? 4 5 a ⇒
1
9 1 4 1 12 1 8i 1 12 2 8i 5 a ⇒ a 5 37
2b
3) x1 ? x 2 ? x 3 5
⇒ (3 1 2i)(3 2 2i) ? 4 5 2b ⇒ (9 1 4) ? 4 5 2b ⇒
1
52 5 2b ⇒ b 5 252
31 (ITA-SP) O número complexo 2 1 i é raiz do polinômio f(x) 5 x4 1 x3 1 px2 1 x 1 q, com p, q [ IR.
Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de f é:
a) 4
c) 6
e) 25
d) 5
b) 24
Resolução:
Se x1 5 2 1 i é raiz da equação, então x 2 5 2 2 i também será.
Chamado de x e y as raízes x 3 e x 4 restantes e considerando as relações de Girard, temos:
x1 1 x 2 1 x 3 1 x 4 5 21 ⇒ (2 1 i) 1 (2 2 i) 1 x 1 y 5 21 ⇒ x 1 y 5 5 (I)
1
(que é a soma procurada se as raízes x e y forem reais).
Utilizando novamente Girard:
x1 ? x 2 ? x 3 1 x1 ? x 2 ? x 4 1 x1 ? x 3 ? x 4 1 x 2 ? x 3 ? x 4 5 21 ⇒
1
(2 1 i)(2 2 i) ? x 1 (2 1 i)(2 2 i) ? y 1 (2 1 i) ? x ? y 1 (2 2 i) ? x ? y 5 21 ⇒
5x 1 5y 1 2xy 1 xyi 1 2xy 2 xyi 5 21 ⇒
5x 1 5y 1 4xy 5 21 ⇒ 5(x 1 y) 1 4xy 5 21 ⇒
5 ? (25) 1 4xy 5 21 ⇒ 4xy 5 24 ⇒ xy 5 6 (II)
De (I) e (II):
(25 2 y) ? y 5 6 ⇒
 x 1 y 5 25 ⇒ x 5 25 2 y
⇒

25y 2 y 2 5 6 ⇒ y 2 1 5y 1 6 5 0
x ? y 5 6
y 5 22 ou y 5 23
Se y 5 22, então x 5 23
See y 5 23, então x 5 22
A soma é 25.
16
32 (UFSCar-SP) Sendo z1 e z2 as raízes não reais da equação algébrica x3 1 5x2 1 2x 1 10 5 0, o
produto z1 ? z2 resulta em um número:
a) natural
c) racional não inteiro
e) complexo não real
b) inteiro negativo
d) irracional
Resolução:
Resolvendo a equação pela decompossição:
x 3 1 5x 2 1 2x 1 10 5 0 ⇔ x 2(x 1 5) 1 2(x 1 5) 5 0 ⇔
(x 1 5)(x 2 1 2) 5 0 ⇒ x 1 5 5 0 ⇒ x 5 25 ou
x 2 1 2 5 0 ⇒ x 5  22 5  2 i
As raízes são 25, 2i e 2 2i, o produto z1 ? z 2 das raízes não reais será 2i ? 2 2i 5 2.
( ) (
)
33 (UERJ) O retângulo de ouro é utilizado em arquitetura desde a Grécia antiga. A razão entre as medidas
do maior e do menor lado desse retângulo é o número de ouro, representado por .
a) Sabendo que  é uma das raízes da equação x2 5 x 1 1, calcule o valor de . 1 1 5
2
b) Observe as implicações abaixo:
3 5 2 1  → 3 5 2 1 1
2 5  1 1 →  4
3
2
4
 5  1  →  5 3 1 2
Determine todas as raízes complexas da equação x4 5 3x 1 2.
21  i 7
2
Resolução:
a) x 2 2 x 2 1 5 0
D 511 4 5 5

1 5
11 5 
12 5
x 5
⇒  5
é negativo
 pois
2
2
2
b) (x 4 2 3x 2 2) é divisível por (x 2 2 x 2 1) (pelas implicações), então:
x 4 1 0x 3 1 0x 2 2 3x 2 2
x2 2 x 2 1
2x 4 1 x 3 1 x 2
x 3 1 x 2 2 3x 2 2
2x 3 1 x 2 1 x
x2 1 x 1 2
2x 2 2 2x 2 2
22x 2 1 2x 1 2
0
2
As raízes de x 1 x 1 2 5 0 são:
D 5 1 2 8 5 27
21  7 i
x 5
2
Portanto, as raízes complexas de x 4 5 3x 1 2 são
17
21  7 i
2
34 (Fuvest-SP) O produto de duas das raízes do polinômio p(x) 5 2x3 2 mx2 1 4x 1 3 é igual a 21.
Determine:
a) o valor de m; m 5 7
b) as raízes de p. 1 2 2 , 1 1
{
2, 3
2
}
Resolução:
Sejam x1, x 2 e x 3 as raízes de p(x) e considerando x1 ? x 2 5 21 (I), aplicando Girard, teremos:
22
( m)
x1 1 x 2 1 x 3 5
(II)
2
x1 ? x 2 1 x1 ? x 3 1 x 2 ? x 3 5 4 (III)
2
x1 ? x 2 ? x 3 5 23 (IV)
2
 x1 ? x 2 5 21

a) De I e IV: 
23
3
 x1 ? x 2 ? x 3 5 2 ⇒ x 3 5 2
(V)
 x1 ? x 2 5 21

De I, III e V:  x1 ? x 2 1 x1 ? x 3 1 x 2 ? x 3 5 2 ⇒


3
 x 3 5 2
3x 2
3x1
21 1 x1 ? 3 1 x 2 ? 3 5 2 ⇒
1
5 3 ⇒ x1 1 x 2 5 2
2
2
2
2
x 1 x 1 x 5 m
2
3
 1
2

De II, V e VI:  x 3 5 3
⇒ 21 3 5 m ⇒ m57
2
2
2

 x1 1 x 2 5 2

 x ? x 2 5 21
b) De I e VI:  1
⇒ x 51 2
 x1 1 x 2 5 2
As raízes de p são 1 1 2 , 1 2 2 e 3 .
2
18
(VI)
35 (Fuvest-SP) Considere a equação z 2 5 az 1 (a 2 1) z, em que a é um número real, e z indica o
conjugado do número complexo z.
a) Determine os valores de a para os quais a equação tem quatro raízes distintas.
b) Represente, no plano complexo, as raízes dessa equação quando a 5 0.
Resolução:
a) Se z 5 a 1 bi com a e b reais e considerando a equação z 2 5 az 1 (a 2 1)z, temos:
(a 1 bi)2 5 a(a 1 bi) 1 (a 2 1)(a 2 bi) ⇒
a 2 1 2abi 2 b2 5 a ? a 1 abi 1 aa 2 abi 2 a 1 bi ⇒
a 2 2 b2 1 2abi 5 2aa 2 a 1 bi ⇒
a 2 2 b2 5 a(2a 2 1)
a 2 2 b2 1 2abi 5 a(2a 2 1) 1 bi ⇒ 
2ab 5 b
(I)
(II)
De II temos: 2ab 2 b 5 0 ou b(2a 2 1) 5 0, ou seja, b 5 0 ou a 5 1 .
2
2
2
2
• Se b 5 0: a 2 0 5 a(2a 2 1) ⇒ a 2 a(2a 2 1) 5 0 ⇒
a ( a 2 (2a 2 1)) 5 0 ⇒ a 5 0 ou a 5 2a 2 1
Assim sendo: z1 5 0 ou z 2 5 2a 2 1.
• Se a 5 1 : 1 2 b2 5 1 (2a 2 1) ⇒ 1 2 b2 5 a 2 1 ⇒
2 4
2
4
2
2b2 5 a 2 1 2 1 ⇒ 2b2 5 a 2 3 ⇒ b2 5 3 2 a ⇒ b 5  3 2 a
2
4
4
4
4
Como b é real, a deve ser menor ou igual a 3 .
4
Assim sendo: z 3 5 1 1 i 3 2 a ou z 4 5 1 2 i 3 2 a .
2
4
2
4
Portanto z1, z 2, z 3 e z 4 são as quatro raízes distintas, desde que a , 3 e a  1 .
4
2
b) Se a 5 0 as raízes serão z1 5 0, z 2 5 21, z 3 5 1 1 i ?
2
Im (z)
representação gráfica será:
3
2
z2
3 e z 5 1 2 i 3 , cuja
4
2
2
2
z3
z1
1
2
� 3
2
19
z4
Re (z)
36 (UFF-RJ) Determine todos os valores possíveis de m  IR, de modo que o polinômio
p(x) 5 x3 1 (m 2 1)x2 1 (4 2 m)x 2 4 tenha três raízes distintas, sendo x 5 1 a única raiz real.
S 5 {m  IR | 24 , m , 4}
Resolução:
Sendo x 5 1 a única raiz real, as outras duas raízes são complexas e conjugadas.
Dividindo p(x) por (x 2 1), obteremos:
x 3 1 (m 2 1)x 2 1 (4 2 m)x 2 4
x 21
2x 3 1 x 2
x 2 1 mx 1 4
mx 2 1 (4 2 m)x 2 4
2mx 2 1 mx
4x 2 4
24x 1 4
0
As raízes complexas procuradas são soluções da equacão x2 1 mx 1 4 5 0 desde que seu
discriminante seja negativo, ou seja, D , 0:
m2 2 4 ? 1 ? 4 , 0 ⇒ m2 , 16 ⇒ 24 , m , 4.
37 (IBMEC) Se A e B representam no plano de Argand-Gauss as imagens das raízes complexas da
equação x3 2 2x2 1 5x 5 0, e C representa no mesmo plano a imagem da raiz real dessa equação, então o
perímetro do triângulo ABC é igual a:
a) 2 1 4 5
c) 4 1 5 2
b) 4 1 2 5
d) 5 1 2 5
e) 5 1 4 2
Resolução:
Se A e B são os afixos das raízes complexas, e C é o afixo da raiz real, temos:
x3 2 2x2 1 5x 5 0 ⇔ x(x2 2 2x 1 5) 5 0 ⇔
x 5 0 ou x2 2 2x 1 5 5 0 ⇒ x 5 1  2i
Os vértices do triângulo são os pontos (1, 2), (1, 22) e (0, 0), sendo d AC 5 dBC 5
do triângulo da figura abaixo será P 5 4 1 5 1 5 5 4 1 2 5 .
y
2
A (ou B)
C
0
1
�2
B (ou A)
20
x
5 , o perímetro
38 (FGV-SP)
a) Determine os valores de a para os quais o sistema linear abaixo admita solução não trivial:
a 5 π 1 k ? π, k [ Z
⁄
2x 1 y 1 z 5 0
4

(sen a)x 1 (cos a)y 5 0
(cos a)x 1 (sen a)z 5 0

b) Resolva a equação x5 1 x4 1 4x3 1 4x2 1 3x 1 3 5 0 no conjunto dos números complexos.
S 5 {21, 2 i 3 , 1i 3 , 2 i, 1i}
Resolução:
a) O sistema terá solução não triviial se for indeterminante, para isso o deteerminante dos coeficientes deve
ser nulo, ou
u seja:
2
1
1
sen a cos a
0
5 0 ⇒ 2 sen a ? cos a 2 cos 2 a 2 sen 2 a 5 0 ⇒
cos a
0
sen a
2 sen a cos a 2 (cos 2 a 1 sen 2 a) 5 0 ⇒ 2 sen a cos a 2 1 5 0 ⇒
sen 2a 2 1 5 0 ⇒ sen 2a 5 1 ⇒ 2a 5 π 1 2kπ, k [ Z
⁄ ⇒
2
a 5 π 1 kπ, k [ Z
⁄
4
b) É possível perceber que 21 é raiz da equação. Dividindo a expressão por x 1 1, temos:
x 5 1 x 4 1 4x 3 1 4x 2 1 3x 1 3
x 11
2x 5 2 x 4
x 4 1 4x 2 1 3
4x 3 1 4x 2 1 3x 1 3
24x 3 2 4x 2
3x 1 3
23x 2 3
0
5
4
3
2
A equação x 1 x 1 4x 1 4x 1 3x 1 3 5 0 pode ser escrita como (x 1 1) ? (x 4 1 4x 2 1 3) 5 0,
ou seja, x 1 1 5 0 ou x 4 1 4x 2 1 3 5 0 (equação biquadrada). Logo as raízes da equaçãão são
x 5 21, x 5 i, x 5 2i, x 5 3i e x 5 2 3 i.
21
39 (Vunesp-SP) A expressão V(x) 5 x(16 2 2x)(24 2 2x) representa o volume em cm3 de uma caixa na
forma de um paralelepípedo retângulo reto, em que x é a altura, e os lados da base são 16 2 2x e 24 2 2x.
a) Se nenhuma das arestas da caixa pode ser menor que 1 cm, determine os valores possíveis de variável x.
b) Quando x 5 5 cm, o volume da caixa é 420 cm3. Investigue se existem outros valores de x para os quais o
volume é 420 cm3. Em caso afirmativo, dê esses valores.
Resolução:
a) Sabendo que nenhuma das arestas da caixa pode ser menor que 1 cm, podemos afirmar que:
x  1

16 2 2x  1 ⇒ 22x  215 ⇒ x  15

2

24 2 2x  1 ⇒ 22x  223 ⇒ x  23
2

1
15
2
23
2
1
15
2
Os valores possíveis de x são tais que 1  x  15 .
2
b) V(x) 5 x ? (16 2 2x)(24 2 2x) 5 x(384 2 32x 2 48x 1 4x2) 5
5 4x3 2 80x2 1 384x
V(x) 5 420 ⇒ 4x3 2 80x2 1 384x 5 420 ⇒ x3 2 20x2 1 96x 2 105 5 0
Como x 5 5 é uma das raízes dessa equação, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, teremos:
5
1 220 96
2105
1
215
21
0
A equação x3 2 20x2 1 96x 2 105 5 0 pode ser fatorada (x 2 5)(x2 2 15x 1 21) 5 0. Dessa
equação concluímos que x 2 5 5 0, que nos retorna à raiz 5 ou x2 2 15x 1 21 5 0 de raízes
15  141
x 5
.
2
22