Matrizes-1
LEIC – FEUP 2003/04
Matrizes
Mat-1
 −2 4 3 + 2 j 
5 y −4 
Sejam A = 
, B=

.
−7 
x 6
 1 3 −3 j 
Calcular:
a) 4A
b) 2 A − 3B
Mat-2
Calcular:
 2 −1 −4 
3 9 
Mat-3
Mat-4
Mat-5
Mat-6
5 
a) [1 6] 
7
b) [ 2 −6]  
 3
5 
c)   [ 2 −6]
 3
2 1 
 −1 6 1 0 1

d)  4 3  
3 2 −1 2 0
1 2  
 1 1
 2 −2 
 1 −1 2 


Sejam A = 
, B =  2 −1 e C =  −1 3 .

3 0 1
 1 0 
 0 0 
Verifique que AB + AC = A( B + C ) .
Mostre que se a 3ª linha de uma matriz A é igual a 4 vezes a 1ª linha, então o mesmo se
verifica com as linhas da matriz AB , qualquer que seja a matriz B tal que o produto é
determinado.
1 1 2
 −1 0 
 2 3 −1


.
Considere as matrizes A =  3 3 6  , B =  2 −1 e C = 
3 0 2 

 4 4 8 
 −3 1
Calcule:
a) AB + 3B
b) B t A + 3B t
c) BCA
 1 −1
 2 3 5
1 2 
Considere as matrizes A = 
, B =  2 2  e C = 
.

0 1 
 1 0 −1

 3 3
Calcule:
a) AB
b) 2 A ⋅ 3B
c) C 3
Álgebra
Matrizes-2
LEIC – FEUP 2003/04
Mat-7
Mat-8
Mat-9
−2 
1 − j

Seja A =  0 2 + j  .
 − j 1 + 2 j 
a) Determine a matriz conjugada de A .
b) Determine a matriz transconjugada de A .
Sejam A e C matrizes quadradas tais que C = A + At . Mostre que tr(C ) = 2tr( A) .
 1 −2 
 −2 1
Considere as matrizes A = 
e B=

.
3
 −2
 1 1
t
a) Mostre que ( AB ) = B t A t
b) Verifique que AB não é simétrica, embora A e B sejam matrizes simétricas.
 1 −1
Mat-10 Calcular A2 e A3 para A = 
.
 2 1
 1 −1
Mat-11 Seja a matriz M = 
.
 −2 2 
a) Calcule M 2 . Verifique que M 2 = λ M
b) Calcule M 3 e M 4 em função de λ e de M .
c) Deduza uma expressão geral para M n .
 1 0
 0 1
Mat-12 Dadas as matrizes I = 
e Y =

 mostre que
 0 1
 −1 0 
a) Y 2 = − I
b) Y 4 = I
c) (aI + bY )(aI − bY ) = (a 2 + b 2 ) I , (a, b ∈ R) .
Mat-13 Sendo A uma matriz quadrada que verifica a relação A2 + A + I = O , determine a sua
inversa A−1 .
 1 1 1
5 1 0
0 0 0
Mat-14 Sejam as matrizes A = 
, B=
e C=


.
 2 1 3
0 2 4
 1 3 4
1
( X + A) = 3  X + ( A − X ) + C .
2
2 X − Y = A − B
b) Determine matrizes X e Y tais que 
.
 X +Y =B − A
a) Determine uma matriz X tal que
Álgebra
Matrizes-3
LEIC – FEUP 2003/04
 r 1
Mat-15 Considere a matriz real A = 
 . Determine, em termos do número real r , o que
0 r 
acontece a An para valores positivos elevados de n .
m 2
Mat-16 Considere a seguinte matriz real A = 
 . Utilizando a definição, determine a matriz
 2 1
inversa de A .
 4 −3
Mat-17 Mostre que A = 
 é uma matriz singular.
 −8 6 
Mat-18 Sejam as matrizes
 2 2 2
1 0 1 
1 1


A =  2 2 2  , B =  0 −1 0  e C = 
.
0 1

 2 2 2 
1 0 1 
a) Determine An para n > 1 .
b) Determine B n para n > 1 .
c) Calcule C 2 e determine para C n , n > 2 .
 2 −1 2 
Mat-19 Determine a inversa de A =  1 1 0  .
 1 0 3 
2 3 1
Mat-20 Determine a inversa de A =  1 2 3  .
 3 1 2
Mat-21 Classifique cada uma das afirmações seguintes como verdadeira ou falsa e escreva uma
justificação sucinta da resposta.
1. Uma matriz complexa não contém elementos do corpo dos reais.
2. A soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz designa-se traço da matriz.
3. A multiplicação de matrizes só está definida para matrizes quadradas.
4. Numa matriz hemi-simétrica os elementos simétricos relativamente à diagonal principal
têm o mesmo valor.
5. Sendo nulo o produto de duas matrizes A e B ( AB = O ) então A = O ou B = O .
6. Sendo B uma matriz obtida de A por troca de posição de duas colunas, então
det( B ) = − det( A) .
7. Se E for uma matriz elementar, então det( E ) = ±1 .
8. Seja a matriz B obtida a partir da matriz quadrada A substituindo a primeira linha pela
soma da primeira linha com a segunda linha multiplicada por 2. Então det( B ) = 2 det( A) .
9. A matriz A é invertível se e só se det( A) = 0 .
10. O determinante de uma matriz diagonal é o produto das suas entradas diagonais.
Álgebra
Matrizes-4
LEIC – FEUP 2003/04
Soluções
Mat-1
 −8 16 12 + 8 j 
a) 4 A = 
−28 
 4 x 24
 −19 8 − 3 y 18 + 4 j 
b) 2 A − 3B = 
3
−14 + 9 j 
2 x − 3
Mat-2
a) [ 44 17 50]
b) [ −8]
10 −30 
c) 

 6 −18 
 1 14 1 2 2
d) 5 30 1 6 4
5 10 −1 4 1
Mat-5
 −8 1
a) AB + 3B =  −9 0 
 −29 7 
 −10 −1 −23
b) B t A + 3B t = 
5
 1 −2
 −7 −7 −14 
3
6 
c) BCA =  3
 −10 −10 −20 
Mat-6
 23 19 
a) AB = 

 −2 −4 
138 114 
b) 2 A.3B = 

 −12 −24 
1 6 
c) C 3 = 

0 1 
Mat-7
−2 
1 + j

a) A =  0
2 − j 
 j
1 − 2 j 
0
j 
1 + j
b) A* = 

 −2 2 − j 1 − 2 j 
 −1 −2 
Mat-10 a) A2 = 

 4 −1
 −5 −1
b) A3 = 

 2 −5
Mat-11 a) M 2 = 3M
b) M 3 = M 3M = 3M 2 = 32 M
Mat-13
A−1 = −( A + I )
Álgebra
c) M n = 3n −1 M
Matrizes-5
LEIC – FEUP 2003/04
5 5 5
Mat-14 a) X = 

12 11 23
0 0 0 
 4 0 −1
b) X = 
, Y =


0 0 0 
 −2 1 1
r n
Mat-15 An = 
0
Mat-16 A−1 =
nr n −1 

rn 
1  1 −2 
m − 4  −2 m 
Mat-18 a) O elemento genérico de An é 3n −1 2n .
 2n −1

b) B n =  0
 2n −1

0
( −1)
n
0
2n −1 

0 
2n −1 

1 2
1 n 
c) C 2 = 
e Cn = 


0 1 
0 1 
 3 3 −2
1
Mat-19 A =  −3 4 2 
7
 −1 −1 3
−1
 1 −5 7 
1 
1 −5
Mat-20 A =  7
18
 −5 7
1
−1
Álgebra