Estudando Geometria Analítica
Hugo Gandra de Araújo
Gilmara Teixeira Barcelos
Silvia Cristina Freitas Batista
Campos dos Goytacazes
2012
I – Conhecendo alguns Recursos do Software GeoGebra
Os applets1 utilizados nas atividades da seção III foram desenvolvidos com o software
GeoGebra. Os recursos deste software são disponibilizados nos applets, de forma totalmente
funcional.
O GeoGebra é um programa livre, desenvolvido Markus Hohenwarter. O mesmo
encontra-se disponível, em português, no endereço eletrônico http://www.geogebra.at/. Tratase de um programa que integra Geometria Dinâmica, Álgebra e Cálculo e, dessa forma,
permite trabalhar com o que se entende por Matemática Dinâmica. A expressão “Matemática
Dinâmica” é utilizada por Markus Hohenwarter, criador do GeoGebra, ao explicar as funções
do mesmo. Seria uma extensão da definição de “Geometria Dinâmica”. Segundo Braviano e
Rodrigues (2002), a Geometria Dinâmica permite a elaboração de construções eletrônicas, nas
quais os elementos básicos podem ser movimentados na tela do computador, sem alterar as
posições relativas entre esses elementos e os objetos construídos a partir deles. Além de
objetos geométricos, o GeoGebra dá um caráter dinâmico a outros objetos matemáticos, como
funções, gráficos, números, fórmulas, entre outros, o que justifica a expressão “Matemática
Dinâmica”.
Abaixo, são apresentados alguns recursos necessários para a resolução das atividades
desta apostila.
Todos os botões da Barra de Botões (Figura 1) apresentam, no canto direito, uma seta
que, quando clicada, exibe diversas outras opções disponíveis.
Figura 1: Barra de Botões
Ao clicar na seta do 1º. botão, da esquerda para a direita, encontra-se, entre outras, a
ferramenta:
Mover – a ferramenta “Mover” possibilita que o usuário selecione qualquer elemento
da janela geométrica, podendo, assim, movimentá-lo. Para tanto, com esta ferramenta
selecionada, clique no objeto e arraste-o para o lugar desejado.
Ao clicar na seta do 2º. botão, da esquerda para a direita, encontra-se, entre outras, a
ferramenta a seguir:
Novo ponto – a ferramenta constrói um ponto qualquer quando o usuário clica com o
botão esquerdo do mouse na Janela Geométrica.
1
Os referidos applets foram desenvolvidos no âmbito do projeto de pesquisa Tecnologias de Informação e Comunicação no
Processo de Ensino e Aprendizagem de Matemática, por Hugo G. de Araújo, bolsista de iniciação científica do IFFluminense
Campus Campos-Centro, Gilmara T. Barcelos e Silvia Cristina F. Batista
2
Ao clicar na seta do 3º. botão, da esquerda para a direita, encontra-se, entre outras, a
ferramenta:
Segmento definido por dois pontos – essa ferramenta cria um segmento de reta, a
partir de dois novos pontos ou de pontos já existentes na construção. Na janela
algébrica é mostrado o comprimento do segmento traçado.
Ao clicar na seta do 4º. botão, da esquerda para a direita, encontra-se, entre outras, a
ferramenta:
Reta perpendicular – essa ferramenta cria uma reta perpendicular a um segmento ou
reta e por um ponto selecionados.
Ao clicar na seta do 6º. botão, da esquerda para a direita, são encontradas, entre outras,
as próximas ferramentas:
Círculo dados centro e raio – essa ferramenta cria uma circunferência, onde o centro e
o raio são definidos previamente.
Círculo definido pelo centro e um de seus pontos – a ferramenta possibilita a
construção de uma circunferência, a partir do centro e de um ponto que pertença à
circunferência.
Na parte inferior da tela principal do programa, encontra-se a Caixa de Entrada.
Figura 2: Caixa de Entrada
A Caixa de Entrada possibilita, entre outras ações, que gráficos de
diversas funções sejam construídos na Janela Geométrica, por meio da digitação das
respectivas leis. Na figura 3, apresenta-se o gráfico da função y = x² e da função x² +
y² = 15. Para tanto, na caixa de entrada, foram digitados y = x^2 e x^2 + y^2 = 15,
que equivalem, respectivamente, a “y = x²” e “x² + y² = 15”.
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Figura 3: Gráfico de “y = x²” e de “x² + y² = 15”
II - Atividades para o Estudo das Cônicas
Esta seção contém atividades investigativas, elaboradas por Hugo G. de Araújo,
Gilmara T. Barcelos e Silvia Cristina F. Batista, onde algumas serão realizadas com o auxílio
dos applets sobre cônicas.
Atividade 1
1.1 No quadro da seção Applets, da Unidade de Aprendizagem sobre “Estudo das Cônicas”,
clique em “Distância entre Dois Pontos no Plano” e:
a) marque as caixas que aparecem no applet2, seguindo a numeração, e execute o que for
pedido.
2
Para marcar as caixas, a ferramenta “Mover” deve estar selecionada.
4
b) reveja a forma como foi determinada a medida do segmento DE no applet antes de
responder este item. Sabendo que o segmento GH é paralelo ao eixo x, determine a
medida desse segmento, dados os pontos G(x1,y1) e H(x2,y1).
________________________________________________________________________
c) volte ao applet e reveja como você determinou a medida do segmento DF antes de
resolver este item. Sabendo que o segmento IJ é paralelo ao eixo y, determine a medida
deste, dadas as coordenadas dos pontos I(x1,y1) e J(x1,y2).
_______________________________________________________________________
d) reveja a maneira como foi determinada a medida do segmento EF no applet e, a seguir,
dados os pontos L(x1,y1) e M(x2,y2), determine o comprimento do segmento LM, que não
é paralelo a nenhum dos eixos cartesianos.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
1.2 Sem utilizar recursos do software, determine a medida do segmento AB, dados os pontos
que o determinam, em cada caso abaixo:
a) A(3,5) e B(1,8)
b) A(-2,7) e B(0,1)
c) A(0,0) e B(5,2)
1.3 Dados os pontos abaixo, classifique os triângulos, cujos vértices são os pontos dados,
quanto à medida dos seus lados (escaleno, isósceles ou equilátero), sem utilizar recursos do
programa:
a) A(1,2), B(4,0) e C(-2,7)
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b) D(0,0), E(0,3) e F(5,2)
Atividade 2
2.1 Abra o applet “Equação Geral da Circunferência” e:
a) marque as caixas que aparecem no applet, seguindo a numeração, e execute o que se
pede.
b) verifique como foi encontrada a equação de cada circunferência e determine a equação
da circunferência C, dados o centro O1(x1,y1), o raio r e um ponto qualquer P(x,y).
________________________________________________________________________
2.2 Utilizando a ferramenta “Círculo dado centro e raio”, construa:
a) uma circunferência de centro (0,0) e raio 2. A seguir:

determine as coordenadas de todos os pontos da circunferência que se encontram
sobre os eixos;
_____________________________________________________________________

escreva as coordenadas de um ponto qualquer que pertença à circunferência, sem
utilizar recursos do programa.
_____________________________________________________________________
b) uma circunferência com centro sobre o eixo x e raio 3. A seguir:

determine as coordenadas de todos os pontos pertencentes à circunferência que se
encontram sobre os eixos.
____________________________________________________________________

obtenha as coordenadas de um ponto qualquer da circunferência, sem utilizar
recursos do programa.
6
____________________________________________________________________
c) uma circunferência com centro sobre o eixo y e raio 1. Depois:

escreva as coordenadas de todos os pontos da circunferência que coincidem com
os eixos cartesianos.
____________________________________________________________________

determine as coordenadas de um ponto qualquer da circunferência, sem utilizar
recursos do software.
____________________________________________________________________
d) uma circunferência com o centro em qualquer lugar do plano e raio 4. A seguir:

determine as coordenadas dos pontos pertencentes à circunferência que coincidem
com os eixos, se existirem;
____________________________________________________________________

obtenha as coordenadas de um ponto qualquer da circunferência, sem utilizar
recursos do software.
____________________________________________________________________
2.3 Utilizando a ferramenta “Círculo definido pelo centro e um de seus pontos”, construa uma
circunferência no 2º quadrante do plano cartesiano. A seguir:

determine a equação da circunferência e determine o raio.
____________________________________________________________________

aumente, observando a Janela de Álgebra e utilizando a ferramenta “Mover”, o
raio anterior de forma que o novo raio seja 5. Todos os pontos da nova circunferência
estão no 2º quadrante? Se não, em quais quadrantes há pontos desta circunferência?
____________________________________________________________________
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2.4 Dados o centro e o raio, determine a equação da circunferência em cada um dos itens a
seguir, sem utilizar o applet:
a) O(3,6) e r = 2 cm.
b) O(0,1) e r = 3/2 cm.
c) O(-2,-5) e r = 4 cm.
2.5 Sem utilizar recursos do software, determine as coordenadas do centro em cada item
abaixo:
a) (x + 3)² + (y - 2)² = 16
b) x² + (y + 5)² = 2
Atividade 3
3.1 Abra o applet “Relação entre o Ponto e a Circunferência” e:
a)
marque as caixas, seguindo a numeração, e execute o que está sendo pedido.
b)
reveja, no applet, a relação encontrada entre a posição do ponto Q e as medidas do
raio e do segmento OQ. A seguir, considerando uma circunferência qualquer de centro O
e raio r, e um ponto Q qualquer, distante d de O, descreva as condições necessárias para
que:

Q esteja no interior da circunferência;
____________________________________________________________________

Q esteja no exterior da circunferência;
____________________________________________________________________

Q pertença a circunferência;
8
____________________________________________________________________
c)
movimente o ponto Q e observe a Janela de Álgebra. É possível determinar a
posição relativa do ponto Q sem visualizar a construção?
_________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
3.2 Determine a posição do ponto P a seguir em relação a uma circunferência, dados:
a) o raio mede 4 cm e a distância d entre P e o centro O igual a 5 cm;
________________________________________________________________________
b) as coordenadas do centro O(2,3) e do ponto P(4,1) e o raio r = 3,2 cm;
________________________________________________________________________
3.3 Determine as coordenadas do ponto P, sabendo que ele pertence ao eixo das ordenadas, é
externo à circunferência C, de raio 6 e centro O(-2,5), e que a distância entre o ponto e o
centro da circunferência é igual a 8.
___________________________________________________________________________
Atividade 4
4.1 Abra o applet “Relação entre duas Circunferências” e:
a) marque as caixas numeradas e execute o que for pedido;
b) reveja, no applet, as relações encontradas entre as posições das circunferências e a
distância entre os centros e a soma ou diferença entre os raios. A seguir, considerando
duas circunferências quaisquer, C1 e C2, de centros O1 e O2 e raios r1 e r2,
respectivamente, e uma distância d entre os centro, determine as condições necessárias
para que as duas circunferências sejam:
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
exteriores;
_____________________________________________________________________

tangentes externas;
_____________________________________________________________________

secantes;
_____________________________________________________________________

tangentes internas;
_____________________________________________________________________

internas;
_____________________________________________________________________
4.2 São dadas duas circunferências, C1 e C2. Sabendo que suas equações são, respectivamente,
(x – 2)² + (y – 4)² = 36 e x² + (y + 1)² = 4, determine a posição relativa entre estas
circunferências.
___________________________________________________________________________
4.3 Determine o valor de m para que as circunferências C1 e C2 sejam tangentes externas,
sabendo que suas equações são, respectivamente, (x – m)² + y² = 36 e (x + 6)² + (y – 2)² = 4.
___________________________________________________________________________
Atividade 5
5.1 Abra o applet “Posição entre uma Reta e uma Circunferência” e:
a)
marque as caixas numeradas e execute o foi pedido;
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b) reveja, no applet, as relações encontradas entre o raio da circunferência C e a distância
entre o centro O e a reta t. A seguir, considerando uma circunferência C qualquer e uma
reta t qualquer, escreva as condições necessárias para que C e t sejam:

externas;
____________________________________________________________________

tangentes;
____________________________________________________________________

secantes;
____________________________________________________________________
5.2 Determine a posição de em relação a
a)
e
b)
;
e
;
5.3 Quais os possíveis valores para
a circunferência
nos casos:
para que a reta
seja tangente
?
Atividade 6
6.1 Abra o applet “Ponto Médio de um Segmento”. Considerando o ponto B no primeiro
quadrante, movimente o ponto A de modo que o ponto médio do segmento AB fique:
a)
sobre o eixo x. O que é possível afirmar sobre as ordenadas dos pontos A e B?
_________________________________________________________________________
b) sobre o eixo y. O que é possível afirmar sobre as abscissas dos pontos A e B?
_________________________________________________________________________
c)
sobre a origem do plano cartesiano. O que podemos afirmar sobre as coordenadas dos
pontos A e B?
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_________________________________________________________________________
6.2 Determine o quadrante do ponto médio do segmento AB em cada caso a seguir:
a)
A(9,1) e B(-2,4);
b) A(5,6) e B (-8,-2);
6.3 Sendo w o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC, onde A(3,2),
B(0,-6) e C(4, -2), qual o valor de w²?
6.4 Dados os pontos A(n³, n²) e B(n-2, -n),
, verifique em qual quadrante está localizado
o ponto médio do segmento AB, sabendo que:
a)
b)
6.5 Determine as coordenadas de um ponto A, que não esteja sobre nenhum dos eixos
cartesianos. Considerando um ponto B, de coordenadas (t - 3, 5 - 3t) e o segmento AB,
determine quais os possíveis valores de t para os quais o ponto médio de AB está:
a)
no segundo quadrante;
b)
no quarto quadrante;
c)
sobre o eixo x;
d) sobre o eixo y;
6.6 Considere uma circunferência e uma reta secante a esta, passando pelo centro da mesma.
Sabendo que a reta intersecta a circunferência nos pontos P(2,6) e Q(8,2), determine a medida
do raio e, se possível, a equação desta circunferência.
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Referências Bibliográficas
BRAVIANO, R.; RODRIGUES, M. H. W. L. Geometria Dinâmica: uma nova Geometria.
Revista do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, São Paulo-SP, 49:
22-26, 2002.
MELLO, J. L. P. Matemática: construção e significado. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2005.
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