Atividades: Distância entre dois pontos e ponto médio
Você já deve ter se perguntado: Por que estudar Matemática? Para que serve isso? Outros de
vocês, talvez, nunca se perguntaram isso, apenas estudam por terem afinidade com o
pensamento matemático e simpatizarem com seus procedimentos. Há outros que só se lembram
dela em situações práticas e/ou lúdicas. Fato é que, de diferentes formas, a Matemática chega a
cada um de vocês. Ela tem um valor formativo que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio
dedutivo. Desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida
cotidiana e para muitas tarefas específicas, em quase todas as atividades humanas. Analisando o
ensino de Matemática sob esta ótica, fica implícito que aprenderá mais aquele indivíduo que
gerenciar melhor o oceano de informações no qual ele se encontra, exercitando sua memória,
criatividade, raciocínio e capacidade de argumentação.
Na busca da excelência dessas habilidades, essas atividades, que agora você tem em mãos,
foram desenvolvidas. Sua principal característica é a possibilidade de investigação,
experimentação e generalização, fundamentais para o exercício profissional futuro e para a
continuidade de estudos - dentro e fora das ciências exatas. Trabalhando com elas, você vai se
tornar melhor na:
 Leitura e interpretação de textos científicos;
 Expressão clara e correta de um conhecimento adquirido;
 Capacidade de resolver problemas.
Procure realizar todas as atividades abaixo, pois acredita-se que, com esse trabalho, você
aumentará suas chances de sucesso no ENEM e outros exames sustentados em habilidades,
pois você será preparado adequadamente para desenvolver e usar a Matemática. Desenvolverá
competências para exercer verdadeiramente a cidadania!
Observe a placa:
Ela mede a distância entre dois pontos!
Agora, observe a letra da música abaixo:
Essa distância
Quando bate a saudade
Vem esse desejo de te ver
Não preciso de avião pra te encontrar
É só fechar os olhos
Quando bate a vontade
De ter você pertinho do coração
Vem versos de amor que guardo
Pra falar na hora certa
Mais essa distancia
Já não cabe entre nos dois
Tá vindo uma lua tão linda
Tão sua, tão minha
Eu quero ficar com você
Eu tiro os pés do chão
Toda vez que eu te beijo
Eu tiro os pés do chão
Quando ganho um beijo seu
Eu me entrego, eu me rendo
Eu tiro os pés do chão
Toda vez que eu te beijo
Eu tiro os pés do chão
Quando ganho um beijo teu
Quando bate a saudade
Vem esse desejo de te ver
Não preciso de avião pra te encontrar
Só fechar os olhos
Quando bate a vontade
De ter você pertinho do coração
Vem versos de amor que guardo
Pra falar na hora certa
Mais essa distancia
Já não cabe entre nos dois
Tá vindo uma lua tão linda
Tão sua, tão minha
Quero ficar com você
Eu tiro os pés do chão
Toda vez que eu te beijo
Eu tiro os pés do chão
Quando ganho um beijo teu
Eu me entrego, eu me rendo
Eu tiro os pés do chão
Toda vez que eu te beijo
Eu tiro os pés do chão
Quando ganho um beijo teu
Mais essa distancia
Já não cabe entre nos dois
Tá vindo uma lua tão linda
Tão sua, tão minha
Quero ficar com você
Autor: Ivete Sangalo
Álbum: Real Fantasia
Estilo: Axé
Gravadora: Universal Music
Ano: 2012
Na letra, Ivete Sangalo também fala da distância que separa duas pessoas.
Uma outra maneira de falar da distância entre dois pontos é usando a Matemática!
A seguir, uma série de conceitos e atividades serão apresentadas e, por meio da Geometria
Analítica, será explorado o cálculo da distância entre dois pontos, certamente utilizado na
construção da placa apresentada acima e na música de Ivete Sangalo, na qual deseja-se que a
distância entre duas pessoas seja nula .
Conceitos
Distância entre dois pontos
Considere os pontos A = (xA,yA) e B = (xB,yB) quaisquer. Vamos determinar a distância entre
esses dois pontos.
1º Caso: A e B definem um segmento paralelo ao eixo das abscissas.
Neste caso, A e B possuem a mesma ordenada e a distância entre eles será a distância entre
suas abscissas, ou seja
d(A,B) =
2º Caso: A e B definem um segmento paralelo ao eixo das ordenadas.
Neste caso, A e B possuem a mesma abscissa e sua distância será a distância entre suas
ordenadas, ou seja,
d(A,B) =
3º caso: O segmento AB não é paralelo a nenhum dos eixos cartesianos
Neste caso, podemos tomar um ponto C com a mesma abscissa de B e a mesma ordenada de A
e formar um triângulo ABC, que será retângulo em C.
Observe que d(A,C ) =
triângulo, temos:
Como
e que d(B,C) =
. Usando o Teorema de Pitágoras neste
, podemos escrever
tirando a raiz quadrada e sabendo que a distância entre A e B tem que ser positiva, deduzimos a
relação
Obs.: Os dois primeiros casos são casos particulares dessa última relação. Por exemplo, se
consideramos que xA = xB nessa última igualdade, temos:
=
que é o 2º caso.
Por isso, apesar de usarmos três casos para deduzir a fórmula de distância entre dois pontos,
temos apenas que nos lembrar de uma única fórmula:
Que triângulos podem ser classificados, quanto aos lados, em:
 Equilátero: se a medida dos três lados for igual.
 Isósceles: se a medida de dois lados for igual, independente da medida do terceiro lado.
 Escaleno: se a medida dos três lados forem distintas.
Usando o conceito de distância entre dois pontos e dadas as coordenadas dos vértices de um
triângulo ABC, podemos determinar a medida de seus lados, calculando d(A,B), d(A,C) e d(B,C).
Assim, o triângulo ABC, quanto a seus lados, considerando A = (2,9), B = (6,6) e C = (3,2), é um
triângulo isósceles, pois:
Medida do lado AB = d(A,B) =
Medida do lado AC = d(A,C) =
Medida do lado BC = d(B,C) =
E, dessa forma, os lados AB e BC têm a mesma medida.
Mãos à obra - Atividades
1) Considere que o triângulo ABC é equilátero. Se A = (1,4), B = (3,1) e sabendo que o ponto
C(e,f) está no primeiro quadrante, determine as coordenadas de C.
2) Existe um triângulo equilátero ABC tal que as coordenadas de seus vértices são todos
números inteiros ?
3) Considere o triângulo ABC, em que A = (-11,-3), B = (5,-1) e C = (4,8)
a) Represente este triângulo no plano cartesiano
b) Sem fazer cálculos, apenas observando sua figura e usando sua intuição, como você
classificaria esse triângulo, quanto aos lados? E quanto aos ângulos?
c) Classifique o triângulo ABC, quanto aos lados e quanto aos ângulos, fazendo os
cálculos que justifiquem suas conclusões.
d) Sua intuição estava correta ? Faça um breve comentário, justificando sua resposta.
4) Considere os pontos A = (-12,-4), B = (-5,-1) e C = (18,9).
a) Represente no plano cartesiano o segmento AC e o ponto B.
b) Calcule d(A,B), d(B,C) e d(A,C)
c) Com base nas respostas do item anterior, você conclui que o ponto B pertence ou não
pertence ao segmento AC ? Justifique sua resposta.
5) Considere o triângulo ABC, em que A = (2,2) e B = (14,11). Considere que este triângulo é
isósceles e que um de seus lados mede
. Determine as coordenadas do vértice C.
6) Considere os pontos A = (-2,3), B = (6,7) e C = (-11,4).
a) Represente no plano cartesiano a circunferência de centro A e que passa por B.
Represente, na mesma figura, o ponto C.
b) O ponto C está sobre a circunferência, fora da circunferência ou na região interior à
circunferência? Justifique sua resposta, sem utilizar o desenho feito no item anterior
como argumento.
7) Considere os pontos A = (3,7), B = (-1,-1) e C = (x,1). Determine o valor de x para que o
triângulo ABC seja retângulo em C, mas não seja um triângulo isósceles.
Ponto médio
Chamamos de ponto médio de um segmento AB ao ponto M desse segmento, tal que AM = MB.
Dados os pontos A = (xA,yA) e B = (xB,yB), vamos determinar as coordenadas do ponto médio M
do segmento AB. Observe a figura abaixo, na qual está representado o segmento AB e seu ponto
médio M. Criamos, também, os triângulos retângulos AMN e ABC.
Os triângulos AMN e ABC são semelhantes, pois os ângulos em N e C são retos e o ângulo em A
é comum. Logo,
. Como M é ponto médio de AB, a proporção anterior nos diz que
xM é o ponto médio do segmento que vai de xA até xB e que yM é o ponto médio do segmento que
vai de yA até yB. Assim, temos
M=
Em resumo, as coordenadas do ponto médio do segmento AB é a média das coordenadas dos
pontos A e B.
Mãos à obra – Atividades
1) Dado um triângulo ABC, sejam M e N, respectivamente, os pontos médios de AB e AC. O
segmento MN é chamado de base média do triângulo ABC em relação ao lado BC.
Considere A = (a,b), B = (c,d) e C = (e,f)
a) Determine as coordenadas de M e N.
b) Calcule a distância entre B e C e também a distância entre M e N. Deixe sua resposta
na forma mais simples possível.
c) Prove que os triângulos ABC e AMN são semelhantes.
d) Mostre que MN // BC e que MN =
. Este é o teorema da base média dos triângulos.
2) Considere um quadrilátero ABCD qualquer. Considere A = (a,b), B = (c,d), C = (e,f) e
D
= (g,h). Sejam M, N, P e Q, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC, CD e
AD.
a) Mostre que MN e PQ são segmentos congruentes.
b) Mostre que NP e QM são também congruentes.
Conclua que, independentemente das posições iniciais dos pontos A, B, C, D, MNPQ,
sempre é um paralelogramo.
3) Considere os pontos A = (3,5), B = (6,7) e C = (-1,12).
a) Determine as coordenadas de M, ponto médio de AC.
b) Determine as coordenadas de um ponto D, tal que M também é o ponto médio de BD.
c) ABCD é um paralelogramo ? Justifique sua resposta.
4) Considere os pontos A = (2,1), B = (15,3), C = (18,8) e D = (1,12).
a) Represente o quadrilátero ABCD no plano cartesiano. Ele é um paralelogramo ou um
trapézio ?
b) Sejam M e N, respectivamente, os pontos médios das diagonais do quadrilátero ABCD.
Determine as coordenadas desses dois pontos e represente-os em sua figura.
c) Seja P o ponto médio do segmento MN. Determine as coordenadas de P e represente
esse ponto em sua figura.
d) Você considera que P é o centro do quadrilátero ABCD ? Justifique sua resposta.
Você sabia que no ENEM o conceito de distância foi explorado em 2010,
com a seguinte questão?
A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de
nível, que são fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As
coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a
latitude, no eixo vertical. A escala com tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude
da região.
Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região, a partir do ponto X = (20
, 60). O helicóptero segue o percurso:
0,8o L  0,5o N  0,2o O  0,1o S  0,4o N  0,3o L.
Ao final, desce verticalmente, até pousar no solo. De acordo com as orientações, o helicóptero
pousou em um local cuja altitude é
a) menor ou igual a 200 m.
b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.
c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.
d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m.
e) maior que 800 m.
Agora vá além:
No item anterior, as coordenadas estão expressas em graus, de acordo com a longitude, no eixo
horizontal, e a latitude, no eixo vertical. Em qual Hemisfério voava esse helicóptero:
•
•
Norte ou Sul?
Ocidental ou Oriental?
Caro aluno, chegando ao fim desse trabalho, você certamente desenvolveu as seguintes
habilidades:
 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de
argumentação.
 Avaliar propostas de intervenção na realidade, utilizando conhecimentos algébricos.
E, com essas habilidades, você poderá certamente modelar e resolver problemas que envolvem
variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.