Cl^^l
ipen
CNEN/SP
InatHuto d*
P—quI—t
En»rgéth*» » Nuol—n»
AUTARQUIA ASSOCIADA A UNIVERSIDADE
DE SAO RAULO
DETERMINAÇÃO DAS PROPRIEDADES MODAIS DE
ELEMENTOS COMBUSTÍVEIS UTILIZADOS EM REATORES
TIPO PWR
CARLOS EDUARDO TRINDADE
D i s s e r t a ç ã o a p r e s e n t a d a a o Instituto
d e Pesquisas Energéticas e Nucleares
como parte dos requisitos
para
o b t e n ç ã o do G r a u de Mestre em
Tecnologia Nuclear.
Orientador:
Prof. Dr. A n t o n i o T e i x e i r a e Silva
São Paulo
1992
INSTITUTO
DE
PESQUISAS
ENERGÉTICAS
E
NUCLEARES
AUTARQUIA ASSOCIADA À UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
DETERMINAÇÃO
DAS PROPRIEDADES MODAIS DE ELEMENTOS
COMBUSTÍVEIS UTILIZADOS
Carlos
EM R E A T O R E S DO T I P O PWR
Eduardo
Trindade
Dissertação
L í VRO \
mu
de P e s q u i s a s
como
parte
obtenção
Tecnologia
Orientador:
apresentada
Prof. D r . A n t o n i o T e i x e i r a
SAO
PAULO
1992
do
Energéticas
dos
grau
ao
Instituto
e Nucleares
requisitos
de
Mestre
Nuclear.
e Silva,
IPEN/CNEN-SP
para
em
AOS meus pais.
À minhçL irmâ .
AGRADECIMENTOS
À
Coordenador 1 a
para
Projetos
Especiais
do
Ministério
da
Marinha (COPES?) pelo apoio e incentivo constantes durante o
desenrolar
corpo
das atividades,
científico
fornecimento
das
contribuindo
existente
no
instalações
e
para
pais;
a formação
bem
como
equipamentos
do
pelo
colocados
à
disposição, possibilitando a realização deste trabalho.
Ao
Instituto
Nacional
de Pesquisas
de
Energia
Energéticas
Nuclear
e Nucleares
(IPEN/CNEN-SP)
da
Comissão
pelos
cursos
ministrados e pela utilização do acervo bibliográfico.
Ao
Prof.
Dr.
Antonio
Teixeira
e
Silva,
Chefe
da
Seção
Análise de Acidentes da COPESP, pela orientação e
de
incentivo
durante a execução do trabalho.
Ao
MSc. José Augusto Perrotta,
Chefe da Divisão de
do
co-orientação,
Núcleo
comentários
da
e
COPESP,
pela
sugestões
que
tanto
Engenharia
acompanhamento,
contribuíram
para
o
andamento e enriquecimento do trabalho.
Aos
Drs. Miguel Mattar Neto e Roberto Firmento de Noronha, pelos
comentários
realizados,
contribuindo
para
a
elaboração
do
trabalho em sua forma final, bem como pela participação como
membros integrantes da banca examinadora.
Ao
amigo
MSc.
Inicio
João
do
Roberto
trabalho,
Loureiro
e
pelos
de
Mal tos.
pelo
comentários
apoio no
técnicos
que
acarretaram na realização da parte experimental.
Aos
colegas Giuseppe Vulcano e João Antonio Mendes pelo auxilio
dado durante a fase de projeto da bancada experimental.
Aos
colegas Eng. Reynaldo Cavalcanti
Serra e Gilberto Elias dos
Santos,
nas
pela
participação
ativa
fases
de
fabricação
e
montagem da bancada experimental.
Aos
colegas
do
Laboratório
Combustível
Nuclear
de
Desenvolvimento
(LADECON/COPESP),
por
de
Elemento
fabricarem
as
estruturas protótipo utilizadas no trabalho.
Ao
colega
MSc.
comentários
pelo
Leandro
realizados
auxilio
técnico
Vieira
da
Silva
durante as análise
dado
nos
cálculos
Macedo,
pelos
das estruturas e
realizados
com
o
programa ANSYS.
Aos
amigos Engs. Aníbal Marone
, Ricardo Fernandes Lopes e Paulo
Eduardo França Padilha, pelo auxilio dado durante a fase de
coleta de dados.
Ao
amigo Richard Mc Donne11 Cotrim pelo auxilio na impressão do
trabalho na sua forma final.
li
DETERMINAÇÃO DAS PROPRIEDADES MODAIS DF ELEMENTOS COMBUSTÍVEIS
UTILIZADOS EM REATORES DO TIPO PWR
CARLOS E D U A R D O T R I N D A D E
RESUMO
Uma
metodologia
desenvolvida
(freqüências
modais)
para
obtenção
naturais,
de
experimental
das
coeficientes
estruturas
de
análise
cararteristi cas
de
complexas
modais
amortecimento
similares
foi
e
aos
formas
elementos
combustíveis de reatores nucleares do tipo PWR.
Para
bancada
experimental
diferentes
varetas
feixe
de
qualificar
na
estruturas
combustíveis
tubos
a
qual
(barra
protótipo
metálicos
metodologia,
foram
uma
acoplados
construida
realizados
metálica
e
foi
de
por
testes
seção
estrutura
uma
com
retangular,
formada
espacadores
por
um
rígidos). A
bancada foi montada sob a forma de um pórtico, o qual
possibilita
o alojamento da estrutura formada pelo feixe de tubos.
A validação
através
de
testes
dos
com
procedimentos
uma
barra
desenxo1vi dos
metálica
de
seção
foi
feita
retangular,
sendo os resultados experimentais obtidos (freqüências naturais e
formato dos modos) comparados aos resultados
teóricos
ca Ic-u lados
pelo método dos elementos finitos com o programa ANSYS.
Através
coeficientes
de
dos
testes,
amortecimento
foram
modal,
também
sendo
estes
obtenção através de modelos teóricos simplificados.
iii
obtidos
de
os
difícil
MODAL PROPERTIES DETERMINATION OF PWR REACTOR FUEL ASSEMBLIES
CARLOS EDUARDO TRINDADE
ABSTRACT
An
for
experimental
obtaining
damping
the
methodology
modal
of analysis
caracteristics
ratios and modal
was
(natural
vectors) of complex
developed
frequencies,
structures
such as
nuclear PWR fuel elements.
In order
was
built,
in
to
which
qualify
this methodology,
different
structures
a
test
were
section
experimented
(metallic rectangular cross section beam, prototype fuel rods and
a
structure
that
coupled
by
rigid
portico
that
consists
of
spacers).
allows
the
The
an
assembly
test
placement
of
section
of
the
metallic
was
tubes
mounted
coupled
as
tube
a
beam
structure.
The validation
of the developed
means of experiments with a rectangular
obtained
shapes)
experimental
were
compared
results
to
(natural
theoretical
procedure
was done
cross section beam.
frequencies
ones
calculated
and
with
by
The
mode
the
program ANSYS using the finite element method.
Also, the modal tests yielded the modal damping ratios,
being
these
theoretical
values
of
difficult
modelling.
iv
evaluation
by
means
of
ÍNDICE
P á g 1 na
AGRADECIMENTOS
RESUMO
i
iii
ABSTRACT
iv
LISTA DE FIGURAS
vi i
LISTA DE TABELAS
x
LISTA DE SÍMBOLOS
Capitulo 1 - INTRODUÇÃO
1.1 - Revisão Bibliográfica
Capitulo 2 - TEORIA DE VIBRAÇÕES
xi i
1
8
15
2.1 - Sistemas Lineares de um Grau de Liberdade
15
2.2 - Sistemas Lineares com Vários Graus de Liberdade...
20
2.2.1 - Desacoplamento das Equações de Movimento
29
2.2.2 - Vibrações Lineares Amortecidas
31
Capitulo 3 - PROCEDIMENTOS DE ANÁLISE MODAL
3.1 - Definição das FRF's
3.2 - Excitações nã o-harmôn i cas
3.3 - Técnicas de Extração de Parâmetros
3.3.1
34
35
44
48
- Método da Amplitude de Pico
48
3.3.2 - Método do Ajuste de Círculo
50
3.3.3 - Residuos
52
3.3.4 - Ajuste de Curvas com Vários Graus de Liberdade.
55
3.4 - Técnicas para Determinação das Formas Modais
58
Capitulo
4 - P A R T E EXPERIMENTAI
4.1
- Bancada
Experimental
4.2
- Estruturas Testadas
4.3
- Procedimento
61
e Equipamentos
68
72
de A q u i s i ç ã o
e Análise
81
Capitulo
5 - RESULTADOS
86
Capitulo
6 - CONCLUSÕES
114
Capitulo
7 - REFERÊNCIAS
118
Apêndice
1 - T R A N S F O R M A D A S DE L A P L A C E
Apêndice
2 - SINAIS R A N D Ô M I C O S
Apêndice
3 - CARACTERÍSTICAS
E FOURIER
DE A J U S T A G E M
Vi
123
125
DOS EQUIPAMENTOS.
130
LISTA DE FIGURAS
Pag 1na
FIGURA
2.1
Sistema com n graus de
FIGURA
3.1
Gráfico dos elementos da primeira coluna da
matriz receptância
liberdade
21
(n = 6)
43
FIGURA
3.2
Método da amplitude de pico
50
FIGURA
3.3
Método de ajuste de circulo
51
FIGURA
3.4
Contribuição
dos
vários
termos
na
série
modal
54
FIGURA
4.1
Exemplo de um pulso transiente
65
FIGURA
4.2
Croqui da bancada experimental
69
FIGURA
4.3
Esquema
das
conexões
elétricas
entre
os
equipamentos
FIGURA
FIGURA
4.4
4.5
71
Arranjo da montagem
da
vareta
simulando a condição
liN're-Mvre
combustível
Esquema da geometria utilizada na
da
estrutura
formada
pelo
77
descrição
feixe de tubos
acoplados por espacadores rígidos
79
FIGURA
4.6
Seqüência dos ensaios realizados
80
FIGURA
5.1
Formas modais obtidas para a barra
89
FIGURA
5.2
Gráfico da FRF (6X+/6X-) medida para a barra
Via
FIGURA
5.3
excitação transiente
90
Gráfico da FRF (6X+/6X-) medida para a barra
via excitação randômica
91
92
FIGURA
5.4
Formas modais obtidas para o pórtico
FIGURA
5.5
Gráfico
da
FRF
(1X+/1X-)
vareta sem preenchimento
vii
medida
para
a
94
FIGURA 5.6
- Gráfico
da
análise
FRF
(JX+/1X-).
utilizada
da vareta combustível
na
protótipo com
pastilhas de 10 mm
FIGURA 5.7
- Gráfico
da
análise
FRF
97
(1X+/1X-),
utilizada
na
da vareta combustível protótipo com
pastilhas de 20 mm
FIGURA 5.8
- Gráfico
da
análise
FRF
98
(1X+/1X-),
utilizada
na
da vareta combustível protótipo com
pastilhas de 30 mm
FIGURA 5.9
- Forma modal
da
para o primeiro
estrutura
acoplados
99
formada
por
pelo
espacadores
modo de flexão
feixe de tubos
rígidos
(poli-
ref erência)
FIGURA 5.10
- Forma
da
101
modal para o
estrutura
acoplados
primeiro modo de torçào
formada
por
pelo
espacadores
feixe de tubos
rígidos
(poli-
ref erência)
FIGURA 5.11
102
- Forma modal
da
para o segundo
estrutura
acoplados
formada
por
pelo
espacadores
modo
de flexão
feixe de tubos
rígidos
(poli-
ref erência)
FIGURA 5.12
- Forma
da
103
modal para o
estrutura
acoplados
segundo
formada
por
pelo
espacadores
modo de torçào
feixe de tubos
rígidos
(poli-
ref erência)
FIGURA 5.13
104
- Forma modal
da
para o terceiro modo
estrutura
acoplados
formada
por
ref erência)
pelo
espacadores
de flexão
feixe de tubos
rígidos
(poli105
vlii
FIGURA 5.14
- Forma
da
modal para o tercenro
estrutura
acoplados
formada
por
modo de torçào
pelo
espacadores
feixe de tubos
rígidos
(poli-
ref eren cía)
FIGURA 5.15
106
- Forma modal
da
para o
estrutura
acoplados
quarto
formada
por
modo
pelo
espacadores
de flexão
feixe de tubos
rígidos
(poli-
referencia)
FIGURA 5.16
- Gráfico
análise
da
107
FRF
(16X+/16X+).
da estrutura
utilizada na
formada pelo feixe de
tubos acoplados por espacadores rígidos,
em
baixas frequências
FIGURA 5.17
- Gráfico
análise
da
FRF
109
(43X+/43X+),
da estrutura
utilizada na
formada pelo feixe de
tubos acoplados por espacadores rígidos,
em
baixas frequências
FIGURA 5.18
- Gráfico
análise
da
FRF
110
(52X-/43X+),
da estrutura
utilizada na
formada pelo feixe de
tubos acoplados por espacadores rígidos.
em
altas frequências
FIGURA 5.19
- Gráfico
análise
da
FRF
111
(53X-/43X+).
da estrutura
utilizada na
formada pelo feixe de
tubos acoplados por espacadores rígidos.
em
altas frequências
FIGURA 5.20
- Gráfico
análise
da
FRF
112
(54X-/43X+),
da estrutura
utilizada na
formada pelo feixe de
tubos acoplados por espacadores rígidos,
altas frequências
ix
em
113
LISTA DE TABELAS
1'íig ! ri3
TABELA
4.1
Ca ra r t e r i F 1 i c:a s das vigas rio pórtic~o
TABELA
4.2
Coordenadas dos pontos para discretizaçâo do
73
pórtico
TABELA
4.3
74
Características
das
varetas
combustível
protótipo utilizadas nos ensaios de vibração.
TABELA
4.4
Definição da geometria da vareta combustível
protótipo, configurada no sistema GenRad....
TABELA
4.5
Características
formada
por
de
montagem
tubos
da
4.6
Distribuição
76
estrutura
metálicos acoplados por
espacadores rígidos
TABELA
76
78
dos
pontos
utilizados
na
d iscretizaçào da estrutura formada por tubos
metálicos acoplados por espacadores rígidos.
TABELA
5.1
Frequências
barra
naturais
(Hz)
do pórtico e da
de seção retangular, calculadas com o
programa ANSYS
TABELA
5.2
78
Valores
87
finais
coeficiente
de
para
a
frequência
amortecimento
dos
e
seis
primeiros modos de flexão da barra
88
92
TABELA
5.3
Valores das frequências naturais do pórtico.
TABELA
5.4
Comparação
entre
experimentais
da
vareta
preenchimento
para
os
valores teóricos e os
as frequências naturais
combustível
protótipo,
sem o
94
TABELA 5.5
- Valore.s
dois
teóricos
primeiros
protótipo,
e
experimentais
modos da vareta
variando
para os
combustível
a altura das pastilhas
utilizadas no preenchimento
TABELA 5.6
- Modos
formada
identificados
por
tubos
espacadores rígidos
Xi
para
96
a
estrutura
metálicos acoplados por
100
LISTA DE SÍMBOLOS
c
... Coeficiente
de amortecimento
viscoso para um sistema com
um grau de liberdade,
k
... Constante elástica, ou rigidez,
de um sistema com um grau
de 1 i berdade.
m
... Massa de um sistema com um grau de
n
... Número
de
graus
de
liberdade
1iberdade.
associados
a um sistem.a
mecãn i co.
q¡ ... Coordenada general izada
que representa o
deslocamento da
i-ésima massa de um sistema com n graus de liberdade,
s
... Variável complexa utilizada na transformada de Laplace,
t
... Variável
X
... Posição ou coordenada espacial de um sistema de um grau de
temporal, ou intante de tempo.
liberdade, em um instante de tempo qualquer.
X
... Posição
transformada,
ou
transformada
de
Laplace
da
coordenada espacial do sistema.
X
... Velocidade escalar de um
sistema de um grau de
liberdade
em um instante de tempo qualquer.
X
... Aceleração total de um
sistema de um grau de liberdade em
um instante de tempo qualquer.
A
... Constante de movimento.
A(tó) . Função resposta em frequência, acelerância.
F
... Força
externa
aplicada
a
um
sistema
de
um
liberdade, em um determinado instante de tempo.
xii
grau
de
F
... Força
transformada, ou
transformada
de Lap)lace da força
externa aplicada ao sistema.
G
... Admitância geral do sistema, sendo definida como o inverso
da impedância.
H(w) . Função
resposta em frequência
ou função transferência do
s i stema.
Qi
... Somatório das forças externas
aplicado a i-ésima
massa de
um sistema com n graus de liberdade.
],Rj^ . Rigidez residual, ou residuo em rigidez de uma dada FRF.
„Rj^ . Massa residual, ou residuo em massa de uma dada FRF.
Sf, .. Função densidade espectral de potência de f ( t ) .
Sj, .. Função
densidade
espectral
cruzada de potência entre os
sinais x(t) e f ( t ) .
S,, .. Função densidade espectral de potência de x ( t ) .
Y(w) . Função resposta em frequência, mobilidade.
Z
... Impedância
geral do sistema, sendo a razão
entre a força
transformada e a posição transformada.
Tj.
... Coordenada
generalizada
obtida
através
da
combinação
linear das coordenadas q,(t).
... Coeficiente
de amortecimento
característico de
uma dada
estrutura, para o modo r.
X
... Variável
temporal utilizada nas integrais de convolução,
w
... Frequência do movimento harmônico, ou variável
frequência.
Uj ... Frequência de vibração livre amortecida, definida para os
sistemas com amortecimento sub-crítico.
... Frequência
natural
característica
modo r.
xili
da
estrutura, para o
F
... Força
transformada, ou
transformada
de Lap)lace da força
externa aplicada ao sistema.
G
... Admitância geral do sistema, sendo definida como o inverso
da impedância.
H(w) . Função
resposta em frequência
ou função transferência do
s i stema.
Qi
... Somatório das forças externas
aplicado a i-ésima
massa de
um sistema com n graus de liberdade.
],Rj^ . Rigidez residual, ou residuo em rigidez de uma dada FRF.
„Rj^ . Massa residual, ou residuo em massa de uma dada FRF.
Sf, .. Função densidade espectral de potência de f ( t ) .
Sj, .. Função
densidade
espectral
cruzada de potência entre os
sinais x(t) e f ( t ) .
S,, .. Função densidade espectral de potência de x ( t ) .
Y(w) . Função resposta em frequência, mobilidade.
Z
... Impedância
geral do sistema, sendo a razão
entre a força
transformada e a posição transformada.
Tj.
... Coordenada
generalizada
obtida
através
da
combinação
linear das coordenadas q,(t).
... Coeficiente
de amortecimento
característico de
uma dada
estrutura, para o modo r.
X
... Variável
temporal utilizada nas integrais de convolução,
w
... Frequência do movimento harmônico, ou variável
frequência.
Uj ... Frequência de vibração livre amortecida, definida para os
sistemas com amortecimento sub-crítico.
... Frequência
natural
característica
modo r.
xili
da
estrutura, para o
a(w)
Q
. Funçào
resposta
... F r e q u ê n c i a
Ic]
...
em
frequência,
do m o v i m e n t o
Matriz de
receptância.
harmónico.
amortecimento de um
sistema mecânico com n
graus de liberdade.
[I]
...
Matriz identidade de ordem n.
[k]
...
Matriz
de rigidez
de um sistema mecânico com n graus
de 1 i berdade.
[m]
...
Matriz
de massa de um sistema mecânico com n graus de
1 i berdade.
[u]
...
Matriz de
transformação
de
coordenadas, sendo em um
caso particular denominada matriz modal.
[Çj]
...
Matriz dos coeficientes de amortecimento da estrutura.
[üj]
...
Matriz
de
freqüências
naturais
caracteri st i cas
da
estrutura.
[í)]
...
Matriz
contendo as
formas
modais características da
estrutura.
l\t)]
{yj,}
[
...
Matriz dos modos naturais de um sistema mecânico.
...
Modo natural normalizado de um sistema mecânico,
...
Modo natural r de um sistema mecânico.
] ... Representação de uma matriz quadrada de ordem n.
í } ... Representação de uma matriz coluna ou vetor de ordem n.
xiv
Sobrescritos
•
... M a t r i z ou vetor
transposto.
... Número
conjugado.
... Valor
Sub-escritos
Os
são
complexo
revisado
ou r e d e f i n i d o , a p ó s
, ... índice da c o o r d e n a d a
demais
introduzidos
de
símbolos
maneira
que
a
auto-explicativos.
XV
nao
ou m o d o
aparecem
gerar
no
associado.
decorrer
dúvidas,
ajuste
sendo
do
texto
yiortanto
1- INTRODUÇÃO
A produção de energia em centrais nucleares do tipo PWR
é feita através da remoção do calor gerado no núcleo do reator. A
água que passa
o
calor
material
pelo núcleo é aquecida durante o processo, sendo
proveniente
flssil;
das
que
reações
se
nucleares
apresenta
sob
a
que
ocorrem
forma
de
com
o
pastilhas
sinterizadas de dióxido de urânio (UO^).
Todo o material
nuclear
do
tipo
PWR
flssil existente no núcleo de um reator
encontra-se
celulares
denominadas
elementos
estruturas
constituídas
por
um
distribuído
em
estruturas
combustlveis,
arranjo
sendo
vertical
de
tais
varetas
combustíveis preenchidas com pastilhas cerâmicas de UOj.
Cada
elemento
combustível
possuí
uma
estrutura
principal, formada pela junção rígida dos tubos guia das varetas
de
controle/segurança
às
grades
espaçadoras
e
aos
bocais
extremidade superior e inferior. A esta estrutura principal
de
dá-se
o nome de esqueleto, possuindo esta a propriedade de suporte das
varetas
combustíveis
e
fornecendo
elemento combustível. As varetas
a
rigidez
combustíveis
de
são
conjunto
fixadas
ao
pelas
grades espaçadoras através de um sistema mola-batente, sendo suas
extremidades livres para sofrer expansão térmica axial.
O
elemento
combustível
é
fixado
às placas
inferior
e
superior do núcleo apenas por apoio de compressão, existindo uma
mola
de
fixação
diferenciais
reator.
entre
Neste
combustível
no
não
modo
bocal
o
superior
elemento
de
interfere
permitir
combustível
fixação,
com
para
supÕem-se
e
que
as
os
internos
cada
os adjacentes, sendo
placas suporte do núcleo por meio de pinos guia.
expansões
do
elemento
ligados
às
A
realizando
Divisão
de
trabalhos
Engenharia
na
área
de
do
Núcleo
da
desenvolvimento
COPESP
de
vem
elementos
combustíveis de reatores nucleares, objetivando a sua capacitação
no
projeto
sendo,
e
análise
como
parte
de
dos
desempenho
de
tais
requisitos
de
estruturas.
projeto
de
Assim
elementos
combustíveis utilizados em reatores do tipo PWR, é necessário um
estudo
detalhado
dos
efeitos
causados
pelos
carregamentos
dinâmicos aos quais tais elementos se encontram submetidos
/1,2/.
A sequência de análise é dada por: definição dos carregamentos;
estimativa das respostas das várias estruturas do reator a estes
carregamentos;
e comparação
de
tais
respostas
com
critérios
de
danos já conhecidos de forma a determinar a adequação do projeto.
Em
reatores
do
tipo
PWR,
os
elementos
combustíveis
estão sujeitos a um fluxo de água que causa vibração. Caso
vibração
atinja
níveis
ressonantes, pode-se
ter um
esta
carregamento
com grande probabilidade de causar danos estruturais /!/. Outros
carregamentos
rotativas
reator,
possíveis
externas,
acidentes
são:
vibrações
terremotos
de
perda
induzidas
/ 3 / , colisões
de
refrigerante
com
por
o
(LOCA),
máquinas
prédio
e
do
cargas
submarinas no caso de reatores navais / 4 / .
A fim de estabelecer procedimentos qualificados para a
análise
de
elementos
carregamentos
COPESP
vem
dinâmicos,
concentrando
combustíveis
a
Divisão
esforços
de
no
quando
submetidos
Engenharia
do
desenvolvimento
Núcleo
de
a
da
modelos
analíticos capazes de avaliar tais estruturas quando submetidas a
diferentes
estática
STYCA
cargas,
(programa
podendo
ELCOM
/5,6/)
/ 7 / ) . Como consequência
analíticos,
surge
tais
ou
modelos
a
natural
a necessidade
de
forma
assumirem
dinâmica
a
(programa
da formulação dos
verificação
forma
modelos
experimental
de
tais modelos, bem como a obtençSo de parâmetros cuja determinação
analítica não é trivial.
No
caso
desenvolvido,
da
ELCOM
análise
/5,6/,
estática,
fornece
como
o
modelo
resultado
analítico
a
matriz
frequências naturais características da estrutura
IwJ] , bem
a
[((>]. De
matriz
destas
contendo
matrizes,
as
e
formas
com
o
modais
associadas
conhecimento
das
de
como
posse
características
de
amortecimento estrutural, desenvolveu-se um método para avaliar o
comportamento
da
estrutura
quando
submetida
a
carregamentos
dinâmicos, utilizando para tanto o método da superposição modal,
programa STYCA / 7 / . Entretanto, existe a necessidade de validação
das
frequências
modelo
naturais
estático
características
analiticamente
e
formas
desenvolvido,
de
amortecimento
através
de
modais
bem
obtidas
como
estrutural
métodos
análise dinâmica. Tais necessidades
através
do
obtenção
(não
das
determinadas
simplificados)
visando
a
são supridas através de uma
análise modal experimental da estrutura.
O objetivo deste trabalho é estabelecer um procedimento
experimental
([wf],
que
IÇ,] e
possibilite
[0]) para
a
elementos
derivação
de
combustíveis
um
modelo
modal
de reatores
PWR,
evidenciando-se suas características modais. O trabalho engloba o
estudo
e
o domínio
das
técnicas
de
medição
a
serem
utilizadas
/13/; sendo posta em prática uma etapa de capacitação na qual são
testadas
e
validadas
tais
técnicas
para
posterior
aplicação
a
estruturas complexas, como é o caso do elemento combustível.
Antes da realização de testes modais, é necessário
estudo que possibilite
como os procedimentos
liberdade
/8,9/,
um
introduzir a notação geral utilizada, bem
de análise. Para
sistemas
uma análise de vibrações
livres
com um grau
de
fornece a
sua
frequência
análise
natural
de
uma
e o fator de amortecimento, enquanto que uma
resposta
forçada
fornece
a
definição
da
função
resposta em frequência, como mobilidade - razão entre a resposta
de
velocidade
grau
de
e a
força
liberdade,
equações
gerando
que
um
tem-se
regem
o
conjunto
amortecimento,
imposta.
bem
três
Para
fases
movimento;
sistemas
com
distintas:
análise
com
N
frequências
como
o
formato
de
mais de
definição
vibrações
um
das
livres
naturais
e
fatores
de
modos;
e
análise
de
dos
respostas forçadas.
Os
variados,
permitem
sendo
que
obter
mobilidade
medida
procedimentos
da
que
as
medidas
estrutura.
precisam
ser
utilizados
principais
testes
técnicas
diretas
das
Existem
três
analisados
em
são
várias
forma
são
aquelas
que
propriedades
aspectos
de
modais
no
a
de
processo
assegurar
de
boa
qualidade dos dados:
(a)
Aspectos mecânicos do suporte e excitação da estrutura;
(b)
Correta transdução das quantidades a serem medidas;
(c)
Processamento dos sinais adequado ao tipo de teste.
Quanto
ao
suporte
da
amostra
a
ser
testada,
existem
três possibilidades de acoplamento: livre ou não restrita ( o que
usualmente
implica
necessitando
situ",
onde
do
no
acoplamento
acoplamento
a amostra
rígido
é conectada
através
em
de m o l a s ) ;
certos
a alguma
aterrada,
pontos;
outra
ou
"in-
estrutura
ou
componente representando uma conexão não rígida.
As excitações podem ser feitas utilizando-se um gerador
de vibração (shaker), ou usando alguma forma transiente, tal como
um
martelo
de
impacto
ou a
liberação
repentina
de uma
posição
deformada.
Os parâmetros
obtidos
diretamente
de mobilidade a serem
aplicando-se
uma
medidos podem
excitação
ser
harmônica
e
medindo-se a resposta harmônica resultante. Este tipo de teste é
denominado
"teste
acoplamento
do
de
onda
shaker
à
senoidal"
estrutura.
sendo
A
que
faixa
este
de
requer
o
frequência
é
varrida ou passando-se de forma discreta de uma frequência para a
próxima,
ou
continua.
variando-se
Em
ambos
estacionárias.
os
lentamente
casos
Procedimentos
a
deseja-se
senoidal
complexos
de
e
são
executáveis
processamento
de
resolver
a frequência
dos
análise
de
/14/,
desejados
Fourier
de
utilização
mobilidade.
de
excitações
excitação
usando-se
quais
são
ou
capazes
e resposta,
deste
transientes
analisadores
são
,então,
extensão
quase-
periódicas, pseudo-
sinais de entrada
Uma
forma
substituem a aproximação
sinais, os
deduzindo
de
condições
de
excitações
randõmicas ou randômicas frequentemente
onda
ter
alternativos
amplamente utilizados, sendo que
de
frequência
os
de
usando
parâmetros
procedimento
impulsos
é
a
que
são
processo
onde
aplicados sem conectar um excitador à estrutura.
A análise
procura-se
achar
comportamento
etapas:
dos dados de mobilidade
um
real
modelo
da
teórico
estrutura.
identificação
do
tipo
que
Tal
de
é um
mais
processo
se
aproxime
consiste
modelo
de
do
duas
apropriado,
e
determinação dos parâmetros apropriados para o modelo escolhido.
Para
os
ensaios
com
estruturas
complexas
como
o
elemento combustível, um dos tipos de excitação a ser utilizada é
a randômica. Entretanto, quando se trabalha com tais excitações,
a
obtenção
da
função
resposta
diretamente
da
transformada
de
em
frequência
Fourier
da
não
é
excitação
feita
e
da
resposta,
visto
que
estes
sinais
necessárias para o cálculo. Desta
de
determinadas
funções
médias
auto-correlação
correlação
funções
cruzada
no
correlação,
a
obedecem
as
condições
forma, é necessário o cálculo
domínio
para
entre
não
temporal,
excitação
excitação
pode-se
conhecidas
e resposta,
e resposta.
calcular
e
funções
A partir
suas
como
destas
respectivas
transformadas de Fourier, gerando as funções densidade
espectral
de potência no domínio de frequência; sendo estas as funções que
permitem o obtenção da função resposta em frequência.
A abordagem do problema de vibração de uma determinada
estrutura
pode
ser
feita
teórica
ou
experimentalmente.
No
caso
das excitações randômicas /9,13/, tanto o enfoque teórico como o
experimental
envolverá
o
cálculo
e
manipulação
das
funções
densidade espectral de potência. Entretanto, existe uma diferença
básica entre estes dois enfoques: no caso da abordagem
considera-se
sempre
resposta da estrutura
para
todos
os
tipos
que
todos
os
sinais
de
são contínuos no tempo
de
excitação),
e que
teórica,
excitação
(sendo
as
e
de
isto válido
transformadas
de
Fourier calculadas são continuas no domínio de frequência. Já na
abordagem
experimental,
é
comum
o
uso
de
micro-computadores
devido ao grande número de dados coletados e à alta velocidade de
processamento
dos
mesmos,
o
que
acarreta
na
discretização
das
excitações e das respostas da estrutura no domínio temporal, das
médias
temporais
calculadas, e das respectivas
transformadas
de
Fourier no domínio de frequências. Torna-se então necessária uma
visão mais clara do processo de discretização da transformada de
Fourier /15,16/, tendo em vista a abrangência de sua utilização.
No caso da análise teórica de uma estrutura
uma
excitação
randômica,
a
função
auto-correlação
sujeita a
descreve
o
comportamento desta estrutura. Já no caso do estudo experimental,
o
objetivo
principal
(consistindo
naturais
e
contendo
o
esta
extração
duas
formato
já
derivação
de
Para
modais
dados
modal
frequências
modos,
deve-se
em
e
outra
extrair
os
frequência, uma
Existem
dos
modelo
as
dos
tanto
resposta
obtida.
um
contendo
amortecimento
função
sido
parâmetros
uma
modos).
da
tenha
de
de
dos
desejados
a
matrizes:
coeficiente
parâmetros
que
de
é
várias
obtidos
vez
técnicas
para
a
de
função
resposta em frequência. A primeira classe destas técnicas envolve
o
estudo
isolado
frequência,
curvas
de
dos
sendo
um
picos
então
grau
de
ressonantes
referidas
liberdade.
da
função
como
técnicas
Dentre
estas
resposta
de
em
ajuste
de
destacam-se:
o
método da amplitude de pico, o método do ajuste de círculo e o
método
inverso.
Uma
extensão
natural
destes
procedimentos
é
o
ajuste da função resposta em frequência (medida) a uma curva com
vários graus de
maior
função
liberdade,
sendo que
tal
análise
já requer
capacidade computacional. Caso sejam medidas várias
resposta
procedimentos
parâmetros
de
frequência,
análise
modais
amortecimento
princípio
em
dos
todas
pode-se
várias
estimativas
(frequências
modos
estas
e
derivar
diferentes
naturais,
constantes
estimativas
através
uma
curvas
destes
para
os
coeficientes
modais),
devessem
muito
ser
embora
iguais,
representam as propriedades de uma mesma estrutura. A
de
a
pois
diferença
obtida entre estas estimativas pode ser causada por fatores como
ruido
em
perto
das
problema,
algumas
medidas,
ressonâncias,
existe
um
dificuldade
etc.
terceiro
A
fim
em
de
se
obter
evitar
procedimento
para
este
informação
tipo
extração
de
dos
parâmetros modais, que considera todas as curvas medidas para as
funções resposta em frequência de uma única vez, quando do ajuste
de uma curva com vários graus de liberdade.
Através destes métodos de extração de parâmetros modais
obtém-se
os
valores
amortecimento
constantes
e
para
a
constantes
modais
são
freqüência
modais
de
combinações
vetor, necessitando-se
natural,
cada
dos
De
posse
da
então de mais uma
matriz
do
dos
elementos
formato
modos.
de
etapa de
que permita a obtenção de cada auto-vetor
modos).
um
coeficiente
de
Estas
cada
auto-
processamento
(ou vetor formato
dos
modos
e da
dos
matriz
contendo as freqüências naturais e coeficientes de amortecimento,
fica definido o modelo modal para a estrutura sob análise.
A
análise
modal
de
uma
estrutura
pode
ir
além
da
determinação de um modelo modal, gerando outros tipos de modelos:
o
modelo
modelo
dados
de
de
resposta
resposta
medidos
e o modelo
espacial
nada mais é do que
para
a
estrutura,
de
para
a
estrutura.
a previsão, a partir
toda
a
matriz
de
O
de
função
resposta em freqüência (ou função transferência). Por outro lado,
o
modelo
espacial
consiste
na determinação
das propriedades
de
massa e rigidez da estrutura, a partir dos valores obtidos para a
matriz
formato
dos
modos
(parte
do
modelo
modal
derivado
diretamente dos dados coletados).
1.1- Revisão Bibliográfica
O
estudo
do
comportamento
vibracional
de
elementos
combustlveis de reatores nucleares do tipo PWR vem sendo alvo de
estudo
Tanto
por
para
vários
reatores
pesquisadores
de produção
8
atuando
de
em
energia
diferentes
países.
elétrica, como
para
reatores
navais,
combustíveis
as
são
características
fatores
dinâmicas
preponderantes
de
para
a
elementos
análise
comportamento mecânico destes, chegando a ser um fator
do
limitante
da operação do reator, ou um fator de falha.
A
como
fim
de
fornecer
se
bases
qualificar
de
um
dados
elemento
para
combustível,
análises
bem
estruturais
analíticas, e ainda validar dados gerados por modelos matemáticos
é
necessária
a
realização
de
ensaios
experimentais
de
caracterização modal de tal estrutura.
Dentre
os
descrever
o
tem-se
modelo
o
elemento
vários
comportamento
segmentos
axiais
acoplamento.
deformação
As
dos
mecânico
utilizado
combustível
modelos
por
como um
e
tubos
de
existentes
elemento
/IO/,
conjunto de
utilizadas
entre
um
Barinka
conectados
equações
teóricos
para
combustível,
que
considera
o
tubos
subdivididos
em
por
pontos
discretos
de
na
modelagem
baseiam-se
na
pontos adjacentes
de acoplamento, e
são desenvolvidas para estruturas formadas por um número qualquer
de diferentes
sistema
linear
processo
tipos de tubos, Com tal formulação, chega-se a um
de
equações, sendo
este
resolvido
através de um
interativo.
Mais recentemente, Perrotta e Pimenta / 5 / desenvolveram
um método matricial para análise estrutural
estática do elemento
combustível. O método tem como ponto principal
a consideração de
que as grades espaçadoras e bocais de extremidade possuem rigidez
muito grande comparada à rigidez das varetas combustíveis e tubos
guia. Este fato faz com que seja possível assumir o movimento de
corpo
rígido
(acoplamentos
espaçadora,
das
grades
espaçadoras.
vareta/grade
tubo
Cada
espaçadora,
guia/bocal
de
9
nó
tubo
extremidade)
da
estrutura
guia/grade
tem
seus
deslocamentos
e
rotações
relacionados
rotações do centro de gravidade
rigidez
global
do
sistema
é
rigidez
deslocamentos
e
da grade ou bocal. A matriz
de
obtida
transformações
de
de
cada
espaçadora, ou
tubo guia/grade
aos
através
sistema
do
somatório
das
vareta/vlncu1 o/grade
espaçadora/bocal
de
extremidade,
para o centro de gravidade das grades e dos bocais, reduzindo a
sua dimensão. A solução da equação matricial
métodos
de
análise
possibilidade
de
não-linear
avaliação
de
é então obtida por
estruturas,
da variação
de
havendo
rigidez
assim
a
nos
vínculos
Como consequência da metodologia desenvolvida
/ 5 / , foi
entre varetas combustíveis e grades espaçadoras.
eleborado
Hayashi
entrada
na
Divisão
e Perrotta
os
de
Engenharia
/ 6 / , um
programa
dados
referentes
carregamentos,
rigidez
dos
espaçadoras
condições
e
do
à
apoio
da
computacional
vínculos
de
Núcleo
COPESP,
que tem
geometria,
das
de
varetas
por
como
materiais,
com
extremidade
as
do
grades
elemento
combustível. Realiza-se, então, a montagem da matriz de rigidez e
do carregamento da estrutura equivalente. Os carregamentos
ser
na
forma
concentradas
de
nas
cargas
grades,
elemento combustível
distribuídas
pré-tensão
nas
nas
varetas,
molas
de
podem
cargas
fixação
do
e distribuição de temperaturas, ou na forma
de deformações diferenciais entre varetas. O sistema é resolvido
para
incrementos
de
viga
equivalente
e
processo
para
todos
carregamentos, obtendo
dos
os
nós
das
os deslocamentos
sub-estruturas,
incrementos
de
carga.
Os
repetindo-se
da
o
deslocamentos
obtidos para cada incremento são somados, calculando-se então os
esforços atuantes
nos nós das varetas
e tubos
guia. O programa
ELCOM / 6 / permite ainda verificar as frequências naturais e modos
de
vibração
da
viga
equivalente,
10
sendo
a
matriz
de
massa
discretizada um dado de entrada do programa.
Reforça-se,
neste
trabalho
teve
como
análise
estrutural
origem
de
ponto,
o
fato
conseqüência
elementos
de
que
natural
o
do
combustíveis
presente
programa
de
utilizados
em
reatores do tipo PWR, que vêm sendo desenvolvido pela Divisão de
Engenharia
do
Núcleo
procedimentos
da
COPESP,
experimentais
visando
para
o
desenvolvimento
obtenção
das
de
freqüências
naturais e modos de vibração, e dos coeficientes de amortecimento
estrutural necessários para a realização de análises dinâmicas.
Trabalhos mais
de
elementos
respostas
recentes na área de análise
combustlveis,
estruturais
carregamentos
dos
sísmicos
ou
desenvolvidos
necessitam
estruturas
análise,
sob
visam
determinar
elementos
de
bem
respectivas
quando
choque.
das
as
Os
sujeitos
modelos
características
como
do
histórico
estrutural
a
analíticos
modais
das
das
excitações.
Conforme descrito por Preumont /3,11,12/ tais análises consideram
a
colisão
submetidos
superior
entre
aos
do
elementos
combustíveis
carregamentos
núcleo
do
impostos
reator.
às
Assim
adjacentes
placas
sendo,
quando
inferior
e/ou
verifica-se
a
necessidade do conhecimento prévio das características modais do
elemento
combustível,
de
forma
tal
que
o
princípio
da
superposição modal possa ser utilizado.
Através da análise dos modelos teóricos que descrevem o
comportamento
PWR,
mecânico
verifica-se
a
de
elementos
necessidade
de
combustíveis
para
inicial izar
estes
reatores
modelos
fornecendo uma
série de características
mecânicas da
estrutura,
dentre
características
(freqüências
naturais,
elas:
coeficientes
modais),
de
rigidez
amortecimento
dos
vínculos
modais
dos
modos
existentes
U
e
na
respectivas
formas
estrutura
(grades
espaçadoras),
rigidez
do
conjunto
(deformações
laterais
da
estrutura). Dependendo da modelagem utilizada, estas propriedades
nSo sao obtidas analiticamente, devido à própria complexidade da
estrutura,
devendo
sequência
por
bem
então
definida
Takada & Egusa
serem
de
levantadas
ensaios
/ 4 / , Preumont
através
de
mecânicos, conforme
/17/, Nakazato
uma
descrito
/ 1 8 / e McGrath
/19/.
Dentre
os
testes
mecânicos
necessários
para
a
qualificação mecânica de elementos combustíveis, ressaltam-se
testes
de
análise
características
natureza
modais
foram
determinadas
modal,
do
realizados
a
objetivando
elemento
por
frequência
a
determinação
combustível.
Tigeot
natural
e
& Buland
a
tanto uma excitação ou senoidal
randômica
desta
/ 2 0 / , onde
foram
respectiva
forma
utilizando
de frequência variável, ou
A
resposta
coletados
por
da
estrutura
acelerômetros.
foi
obtida
Os
sinais
através
em
técnicas
frequência
de
análise
e
a
partir
modal,
foram
destas
, com
extraídos
de
coletados
(excitação e resposta) foram analisados de forma a gerar
resposta
modal
(ruído branco) sendo ambas fornecidas por um excitador
e1etrodinâmico.
sinais
das
Ensaios
associada para os seis primeiros modos da estrutura,
para
os
funções
auxilio
os
das
parâmetros
desejados.
Stokes
&
características
King
modais
/21/
do
realizaram
elemento
medições
combustível
desenvolvido pela Babcock & Wilcox Co.. A montagem
das
17x17,
experimental
também utilizou um excitador e1etrodinâmico, sendo que para medir
as
respostas
transdutores
amortecimento
do
de
do
elemento
combustível
deslocamento.
conjunto
Os
pesquisadores
através
12
foram
de
testes
utilizados
determinaram
de
o
liberação
repentina
do
deformada,
elemento
combustível
verificando
assim
o
a
partir
decaimento
de
da
uma
posição
amplitude
de
oscilação do mesmo. Através de uma varredura senoidal na faixa de
frequência de 2 a 100 H z , foram determinadas as cinco
frequências
naturais
da
estrutura,
bem
como
primeiras
coeficientes
de
amortecimento e respectivas formas modais associadas. No decorrer
dos trabalhos, também foram verificados alguns fatores
como:
redução
efeito
de
direção
da
massa
de
força
adicional
vibração
influência
da
de
fixação
devido
(lateral
velocidade
de
das
ou
ao
varetas
fluido,
diagonal),
escoamento
influentes
combustlveis,
dependência
da
parametrização
da
e análise
do
efeito
da
/ 2 2 / , desenvolveram
um
temperatura.
Mais recentemente, Han
estudo
experimental
naturais
arranjo
e
objetivando
respectivas
de
et alli
varetas
determinar
amplitudes
combustlveis
induzidas
por
fluido.
contribuem
ou afetam diretamente
do
movimento
quando
Entretanto
são
tal
as
frequências
sofrido
sujeito
vários
a
os
por
um
vibrações
fatores
fenômeno, a saber:
que
rigidez
estática e dinâmica do elemento combustível, frequências naturais
e
coeficientes
estrutura,
bem
de
amortecimento
como
uma
para
caracterização
cada
das
um
dos
modos
propriedades
da
modais
das varetas combustlveis. O trabalho mostra valores de frequência
natural e coeficiente de amortecimento para o modo fundamental do
elemento combustível, de frequências naturais dos oito primeiros
modos das
vibração
varetas combustíveis
objetivando
utilizaram
um gerador
excitação
utilizada)
determinação
da
a
e dos
determinação
de
sinais
acoplado
frequência
de
13
tubos guia. As medidas
das
(mas não
a
um
frequências
fica claro
naturais
o tipo
frequenclmetro
excitação,
sendo
de
de
para
utilizados
extensõmetros para determinação das respostas da estrutura sob a
forma de deslocamentos.
Em
bem
todos
definida
a
os trabalhos
mencionados
característica
comum
de
anteriormente,
não
se
fica
fornecer
os
critérios estabelecidos e utilizados nas etapas de processamento
e
análise
dos
sinais
temporais
coletados,
bem
como
um
maior
detalhamento sobre as técnicas de obtenção das medidas (com menor
nivel possível
de ruido) das funções transferência e respectivos
métodos de extração de parâmetros modais. Tais informações foram
obtidas
através
do
estudo
aplicados
normalmente
posterior
aplicação
elementos
combustíveis
à
dos
processos
estruturas
destas
para
utilizados
PWR.
14
o
de
análise
não-nucleares,
caso
do
em reatores
modal
visando
desenvolvimento
nucleares do
a
de
tipo
2- TEORIA DE VIBRAÇÕES
2.1- Sistemas Lineares de um Grau de Liberdade
Um
forças
sistema
estão
acelerações,
mecânico
relacionadas
sendo
a
(discreto) possui
a
equação
deslocamentos,
de
movimento
elementos
cujas
velocidades
escrita
a partir
ou
da
configuração destes no sistema.
De uma forma geral, um sistema mecânico com um grau de
liberdade pode ser descrito por:
mx(t) + cx(t) + kx(t) = F(t)
(2.1.1)
onde m ... massa do sistema.
c ... coeficiente de amortecimento do sistema.
k
... constante elástica, ou rigidez do sistema.
x(t) ... posição do sistema em um instante t qualquer.
F(t) ... força externa aplicada ao sistema no instante t.
O
aquele
no
caso
qual
mais
o
simples
somatório
para
das
se
forças
analisar
externas
tal
sistema
aplicadas
é
ao
sistema é nulo, ou seja, F(t)=0. A equação (2.1.1) fica então da
seguinte forma:
mx(t) + cx(t) + kx(t) = O , ou:
x(t) + 2Çu„x(t)+ w|x(t) = O
onde w„ =
—
m
... freqüência natural do sistema
15
(2.1.2)
c
Ç =
... fator de amortecimento viscoso do sistema.
2ma)„
A solução para a equação
(2.1.2) pode ser escrita, de uma
forma
geral como:
ÍA,exp(|F-l
x(t) =
Através
da
w.t) + Aj exp(Jç*-l w„t)) e-Çw.»
equação
anterior,
é
possível
(2.1.3)
notar
que
a
solução x(t) está relacionada ao valor do fator de amortecimento
viscoso, isto é:
(a)Ç>l: O movimento é aperiódico
e decai
exponencialmente
cora o
tempo. O formato exato da curva depende de A^ e Aj, sendo
tais
constantes
obtidas
através
das
condiçSes
iniciais.
Tal caso é conhecido como amortecimento supercritico.
(b)Ç=l: A
solução
também
(2.1.3)
fica
apresentando
constantes
A^
condiçSes
e
um
Aj
reduzida
x(t ) = (Ai+A2)e-«^B»,
amortecimento
são
iniciais,
a
exponencial.
determinadas
sendo
tal
caso
a
ser
a
partir
denominado
As
das
de
amortecimeno crítico.
(c)Ç<l: A
solução
(2.1.3)
passa
x(t)=Ae-ÇWntcos(Wjt-4)) ,
de
vibração
livre
com
U)^=\ 1-Ç*
amortecida.
escrita
sendo
Tal
a
solução
como
frequência
pode
ser
interpretada como um movimento oscilatório com frequência
constante
decaindo
e
ângulo
de
exponencialmente.
determinadas através
fase
As
^,
mas
constantes
das condições
A
amplitude
e
iniciais. Tal
conhecido como amortecimento sub-crítico.
16
com
^
são
caso é
Na
área
de
vibrações,
determinação da resposta do
excitações
podem
velocidades
excitação
ou
Iniciais
sistema à excitações
por
ou
interesse
exemplo,
ambos.
pulsos
obter
de
Pode-se
força.
a resposta
No
ter
externas.
o
na
Tais
iniciais,
caso
no
qual
a
longo periodo de tempo,
caso de
para as
reside
deslocamentos
seja uma força atuante por um
até mesmo
possível
ser,
o
sistemas
condições
lineares, é
iniciais
e para
as
forças externas separadamente, e então combiná-las de forma a se
obter
a
resposta
total
do
sistema,
seguindo
o
principio
da
superposição.
Nas situações nas quais as excitações são descritas por
uma função qualquer, é usual se utilizar o método da transformada
de
Laplace
possui
a
para
obtenção
vantagem
descontinuidades
de
e
da
se
ainda
resposta
poder
à
tratar
considerar
as
excitação.
funções
que
condições
Este
método
apresentem
iniciais
do
sistema.
Sendo
a
equação
de
movimento
do
sistema
dada
pela
equação (2.1.1), e aplicando-se a transformada de Laplace a ambos
os lados da equação, vem:
ms*x(s)-msx(0)-mx(0)+csx(s)-cx(0)+kx(s)=F(s)
(2.1.4)
reordenando os termos, vem:
(ms2+cs+k)x(s) = F(s)+(ms+c)x(0)+mx(0)
CD
onde x(s)=£{x(t)}=
e-"*x(t)dt
17
(2.1.5)
CD
F(s)=£ÍF(t)}=J e-'»F(t)dt
o
x(0) e i(0) são as condições iniciais.
A
fim
de
se
concentrar
esforços
na
solução
não
homogênea, sup8em-se (por hipótese) que x(0)=0 e x(0)=0, logo:
(ms2+cs+k)x(s) = F(s)
(2.1.6)
I
Define-se
Z(5)=F(s)/x(s)=ms*+cs+k,
como sendo a
impedância
geral
do sistema, sendo seu inverso denominado admitância do sistema:
1
1
G(s)=
=
ms^+cs+k
com
Ç
sendo
o
(2.1.7)
m(s*+2Çw,s+(i)*)
coeficiente
de
amortecimento
viscoso
e
a
frequência natural não-amortecida do sistema.
Tem-se
transformada
algébrico
do
atuando
então
que
sistema
sobre
x(s)=G(s)F(s),
possa
a
ser
excitação
encarada
tal
que
como
transformada,
a
um
função
operador
fornecendo
a
resposta transformada.
Pode-se calcular
a resposta
x(t) a partir da
transformada, bastando aplicar a transformada
inversa de
resposta
Laplace
à função x ( s ) , ou seja:
x(t)= C-Mx(s)) = 2-MG(s)F(s))
sendo que o operador
(2.1.8)
envolve, em geral, uma integral de
no domínio complexo.
18
linha
Para exemplificar, resolve-se a equação
sujeita
às
condições
iniciais
x(0)=Xo
e
i(0)=Vo.
(2.1.1) quando
Pelo método
da
transformada de Laplace, vem:
F(s)
s + 2Çq.
x(s)=
1
+
Xp +
m(s''+2Çu„s+w|)
s''+2Çu.s+u*
v„
(2.1.9)
s*+2Çu,s+to2
A transformada inversa de x(s) é calculada considerando
separadamente
transformada
cada
termo
da
equação
inversa do primeiro
(2.1.9).
termo, utiliza-se
Para
obter
a
o teorema
de
Borel , ou teorema da convolução. Desta forma, obtém-se:
fji(s)=F(s) e
Í2<.s)=
, logo
Î
m(s2+2Çu,s+u;)
fi(t)=C-Mfi(s))=F(t)
e
f j(t)=£-Hf2(s))= —
com Wa=w» \
e-Ç"»»senWjt
í-V
X
£-Mf,(s)fi(s)} = J fi(T)f2(t-T)dT =
O
t
=
f F(T)e-ÇwB'*-'«^>sen[«j(t-T) IdT
muj J
Para os segundo e terceiro termos, obtém-se:
s
+ 2Ç(«)„
^
1
e Ç"»* cos(Wjt-v)
19
com V = arctan-
1
1
-i
__
e Ç ^ n ' senWjt
—
Assim sendo, a resposta geral pode ser escrita como:
t
x(t) =
1
F(T)e-ÇWn<t-'C'sen[o)j(t-T)
Idt
+
muj
e~Ç'^i.* c o s ( U a t - v )
+ —
e-Ç^^n»
(2.1.10)
senu^t
"d
2.2- Sistemas Lineares com Vários Graus de Liberdade
A
maioria
dos
sistemas
vibracionais
encontrados
em
situações físicas possuem suas propriedades distribuídas ao longo
das estruturas (massa, rigidez, amortecimento). Tais sistemas são
denominados de sistemas com
infinitos graus de
liberdade, pois o
sistema fica totalmente descrito somente quando se conhece ou se
determina
o movimento
em
todos os pontos do
sistema.
Em
vários
casos, a massa e a rigidez estão distribuídas não uniformemente,
construindo-se
geralmente
para
tais
sistemas,
um
modelo
matemático que necessite apenas um número finito de coordenadas.
O movimento de um sistema com vários graus de
é
geralmente
descrito
por
um
conjunto
finito
de
liberdade
equações
diferenciais de segunda ordem. A fim de se resolver este sistema
20
aconselha-se a remoção do acoplamento das equações utilizando uma
transformação de coordenadas.
Atenção deve ser dada ao movimento destes sistemas com
vários
graus
equilibrio.
trivial,
Isto
liberdade
Assume-se
e que
equilibrio
relações
de
os
sejam
que
no
vizinhanças
tal
posição
deslocamentos
e
aparecimento,
de
é
pequenos
de
força-velocidade
nas
uma
dada
generalizados
suficientemente
força-des1 ocamente
resulta
nas
equações
de
posição
pela
das
de
solução
posições
forma
sejam
que
de
as
lineares.
movimento,
das
coordenadas generalizadas e suas derivadas temporais em potências
de primeira ordem.
Um
representado
molas
e
sistema
por
com
n
graus
de
n massas m, (i = l
elementos
amortecedores,
liberdade
n) , conectadas
figura
2.1.
pode
ser
através de
Admite-se,
para
análise do sistema, o movimento em uma única dimensão, de forma a
não introduzir complicações desnecessárias.
>0)U)
»91(0
k,
-VN/VT
(a)
• *,.il<?,.i">-<í,(Ml
(/))
Figura 2.1. Sistema com n graus de liberdade
21
Pelo
fato
total de graus de
massas
m,.
Em
generalizada
do
movimento
ser
uni-dimensional,
o
número
liberdade do sistema coincide com o número de
vista
que
disto,
denomina-se
representa
o
por
deslocamento
q,(t)
da
a
coordenada
massa
m, , e
a
equação de movimento para esta fica:
Q,(t) + c..,[q,.,(t)-q.(t)] + k,.,[q..,(t)-q,(t)l
- c.[q.(t)-
<Í,.,(t)] - k,[q,(t)-q..,(t)] = m.q.ít)
onde Q,(t) representa a força externa
(2.2.1)
(ou o somatório de
forças
externas) aplicada. A equação de movimento pode ser reagrupada da
seguinte maneira:
m,q,(t) - c,.iq,.,(t) + (c,+c,.i)<i,(t) - c,<i,.,(t) -
- k,.,q,.i(t) + (k,+k,.,)q.(t) - k.q,.,(t) = Q.(t)
(2,2.2)
Introduz-se a notação abaixo de forma a simplificar a equação:
= ôj^m, ,
1 , j = 1 , , . . ,n
= O , k,j = O .
j = 1 ,2, . , , , i-2, i + 2
= -c, , k,^ = -k, ,
= c, +
j = i-l
k,j = k, + k,+j ,
I
= -c,.j , k,, = -k,.i .
onde
m,j,
c,j
amortecimento
e
e
k,^
n
são
rigidez
j-i
j=i+l
denominados
coeficientes
respectivamente,
Kronecker:
22
e
6,^
é
de
o
massa,
delta
de
-
Utilizando-se
o .
1
a notação anterior, pode-se
reescrever
o
conjunto
de equações para as n massas m,, como:
^ í m . ^ q / t ) + c.^q/t) + k.^q/t)) = Q,(t)
i = l,...,n
(2.2.3)
4=1
É
Útil
reescrever
o
conjunto
de
equações
(2.2.3)
sob
a
forma
matricial, onde:
A
propriedade
visualizada
de
[m.J
= [m] = [ml'
[k.J
= Ik] = [k]^
[c,J
= [cl = tc]'
simetria
através
da
dos
coeficientes
igualdade
pode
ser
entre a matriz de
facilmente
determinada
propriedade e sua transposta. Para as coordenadas q,(t) e forças
Q,(t), é possível a representação na forma de matrizes colunas:
{q,(t)) = íq(t)}
O
conjunto
de
equações
e
(2.2.3)
{Q,(t)} = {Q(t))
pode
então
ser
representado
na
forma matricial:
lm]íq(t)} + [cl{q(t)} + [k]{q(t)} = {Q(t))
(2.2.4)
Considerando primeiro o caso não-amortecido, ([c)=[0]),
as equações (2.2.4) se reduzem a:
23
Imlíq(t)) + [klíq(t)) = ÍQCt)}
Tal
conjunto
de
equações
outro
de
(2.2.5)
movimento
conjunto
de
pode
ser
coordenadas
expresso
utilizando-se
um
generalizadas
r7j(t) (j = l
n ) , sendo qualquer coordenada q,(t) uma combinação
linear de coordenadas r),(t). A transformação de coordenadas
pode
ser escrita como:
{q(t)} = l u l í n í t ) )
com
[u]
sendo
uma
matriz
(2.2.6)
quadrada
denominada
matriz
de
transformação. Pelo fato de [u] ser constante, vem:
{(^(t)} = (u]{n(t))
(2.2.7)
íq(t)} = lu]{n(t))
(2.2.8)
Substituindo as equações
(2.2.6),
(2.2.7) e (2.2.8) em
( 2 . 2 . 5 ) , vem:
[m][u]ín(t)) + [k][u]ín(t)} = {Q(t)}
(2.2.9)
Muitiplicando-se ambos os lados da equação (2.2.9) por [u]', vem:
[M]ÍT7(t)} +
iKlínít)}
com: [|M] = [u]*[m] [u] = llM]'
[|K] = [u]»(k] [u] = l K l '
{N(t))=[u]'{Q(t)}
24
=
ÍN(t))
(2.2.10)
A matriz
denominada
matriz
modais, distintos
naturais
do
[u] que
diagonaliza
modal, visto
e ortogonais
sistema.
As
que
im] e
tk] existe,
é constituída
pelos
vetores
entre si, representando os
coordenadas
Hjít)
sendo
modos
(j=l,,..,n)
são
denominadas de coordenadas naturais ou nodais.
A fim de se determinar a matriz modal, deve-se resolver
o
problema
de
auto-va1 ores,
associado
com
vibrações
livres
do
sistema. Na ausência de forças externas (ÍQ(t)}={0)), vem:
ím]{q(t)) + [klíq(t)) = { 0 ) , ou
^m,,q/t) + ^k.^q/t) = O
As
soluções
sincronizadas, ou
qj(t)
(i/j) deve
para
seja, a
as
razão
permanecer
,
i = l,
n
equações
entre
duas
acima
(2.2.11)
devem
coordenadas
constante durante
ser
q,(t) e
o movimento.
Este
tipo de movimento é expresso por:
q / t ) = Ujf(t)
com
f(t)
sendo
uma
, j = l,2
função
n
limitada.
(2.2.12)
Substituindo
(2.2.12)
em
(2.2.11), vem:
a
B
f(t)^m,,u, + f(t)^k,jUj = O
l
-f(t)
= X
l
n
(2.2.13)
k,,u,
=
f(t)
, i=l
m.^u^
25
(2.2.14)
o
que
implica
na
separação
das
dependências
temporais
e
espaciais, ou seja:
f(t) + Xf(t) = O
^ (k,j - Xm,,)Uj = O ,
A
solução
da
i = l,...,n
equação
em
f(t)
(2.2.15)
pode
ser
dada
por
f(t)=Ae"*, resultando em:
s2 + X = O
= ±Px
^
tem-se que X deve ser positivo
equaçSes
(2.2.15)
admita
(XeR) de forma que o conjunto de
solução,
logo
pode-se
fazer
X
= u*,
resultando em:
f(t) =
Al©'"*
+
Aa©-»"*
=
C
cos(wt - <|>)
(2.2.16)
onde (i> . . . frequência do movimento harmônico
•
... ângulo de fase
C
... constante arbitrária
Para que se determine os possíveis valores de u, deve-
se recorrer a segunda equação do conjunto
^ (k,, - ü^m.pu, = O ,
1 = 1, . . . ,n
ou [k]íu} = {wM[m]{u}
26
(2.2.15).
(2.2.17)
I
o
trivial
se
sistema
e
(2.2.17)
somente
se
o
de
equações
determinante
admitirá
dos
solução
coeficientes
u^
não
se
anular, ou seja:
A(w2) = I k», - w*mj^ I = O
(2.2.18)
com A(w*) sendo denominado determinante característico. A equação
(2.2.18) fornece
que
para
cada
como
solução
valor
elementos reais, e com
freqüências
existe
um
vetor
(r=l,...,n),
não
trivial
sendo
{u}, com
{ul, sendo a solução do problema de auto-
valores, de forma que:
[k]{u), = wflmJíu),
Os
vetores
íu),
(r=l,...,n)
são
(2.2. 19)
conhecidos
como
vetores
característicos ou auto-vetores, também sendo denominados vetores
modais representando físicamente os modos naturais de vibração do
sistema.
O
formato
dos
modos
normais
é único, mas
a
amplitude
não; sendo necessária a sua normalização:
{u);imlíu}, = 1
, r= l
n
(2.2.20)
A solução pode ser escrita como:
{q(t)}, = {u},f,(t) = íul, C, cos(ü,t - <t>,)
e a solução geral como:
27
(2.2.21)
{q(t)} =
^íq(t)}, =
^{u),f,(t) = [u]f(t)
r=l
com [u] = I {u)i
(2.2.22)
r=l
íu}^
...
íu}„ ]
Sendo {q(0)) e {¿[(O)} os deslocamentos e velocidades
iniciais do
movimento do sistema, vem:
{q(0)} =
^ C,{u),cos4'r
T—l
íq(0)} =
Mu 11iplicando-se
as
^ C,ü>,{u},sen<í),
equaçSes
acima
(2.2.23)
por
íu}J[m]
e
levando
em
consideração as relações de ortogona1 idade :
{u}J[m]{u}, = 6„
, r,s=l,...,n
(2.2.24)
vem: C, cos<t>r = íul^lm] {q(0))
1
C, sen<í>, = íuljím] {q(0)} —
Assim
sendo,
a
resposta
(2.2.25)
do
sistema
ao
vetor
deslocamento inicial e ao vetor velocidade inicial é dada por:
{q(t)} =
^
{u)J[m] {q(0))cosw,t +
r =l
1
+ {u)?[m] {¿[(0)} —
senu^t
28
íu),
(2.2.26)
Estabelece-se
assim,
um
procedimento
de análise
modal
de uma estrutura, sendo este o processo pelo qual a solução de um
conjunto
de
equações
simultâneas
de
movimento
da
estrutura
é
obtida a partir da transformação destas em equações com base nas
coordenadas nodais da estrutura, sendo tais equações resolvidas,
e
a
forma
da
solução
sendo
uma
combinação
linear
dos
vetores
modais multiplicados pelas coordenadas naturais.
2.2.1- Desacoplamento das Equações de Movimento
Um
pode
ser
utilizado
amortecidos
um
procedimento
para
de
análise
derivar
modal
a
análogo
resposta
de
ao
anterior
sistemas
não-
sujeitos a uma excitação genérica, podendo esta
conjunto
de
excitações
iniciais
ou
um
conjunto
de
ser
forças
externas aplicadas ao sistema.
Para
que
as
equações
de
movimento
resolvidas, é necessário o desacoplamento
existente
depende
exclusivamente
da
destas. O
escolha
do
possam
ser
acoplamento
sistema
de
coordenadas que serão utilizadas na descrição do movimento.
No caso de um
sistema não-amortecido
sujeito a
forças
externas, a equação matricial do movimento é:
[m]{q(t)} + [k]{q(t)) = {Q(t)}
(2.2.27)
1,
sendo
estas
equações
lineares,
com
as
respectivas
soluções
podendo ser obtidas, a principio, pelo método da transformada de
Laplace. Analiticamente, a determinação da solução pode vir a ser
29
trabalhosa,
entretanto
recorre-se
à
análise
modal
para
transformar o conjunto de equaçSes simultâneas em um conjunto de
equações independentes, onde a matriz de transformação é a matriz
m^dal. Para
se obter a solução, deve-se resolver
auto-valores
associados
com as
matrizes
[m] e
o problema dos
[ k ] . podendo
a
solução ser escrita na forma:
[m][u][o)n = [k][u]
onde
[u]
é
frequências
a
matriz
naturais.
modal
Â
e
matriz
(2.2.28)
[u']
modal
a
matriz
pode
ser
diagonal
normalizada
das
de
forma que:
lul'Imllu] = [1]
[ulMklIu] = íw'']
De
posse
sistema,
das
frequências
inicia-se
a
naturais
solução
do
tanto, utiliza-se a transformação
em
(2.2.29)
e
dos
problema
modos
naturais
não-homogêneo.
linear de coordenadas
do
Para
descrita
(2.2.6). que quando aplicada em (2.2.27) com as condições de
normalização
(2.2.29). fornece:
ín(t)} + [tóMín(t)) = {N(t))
com
ÍN(t))
=
[ul'^{Q(t)}. Tais
equações
podem
ser reescritas da
rsl,2.....n
(2.2.30)
seguinte forma:
ií,(t) +
<4nr(t)
= N,(t)
Aplicando a transformada de Laplace às equações acima, vem:
30
t
1
J.
T7,(t) = —
N,(t)senw,(t-T)dT
11,(0) —
onde
rjríO^
^
Hr^O)
transferência",
sen(o,t
são
estando
+ T7,(0)costó,t +
r = 1 , . . . ,n
as
condições
relacionadas
(2.2.31)
iniciais
às
das
condições
"coordenadas
iniciais
nas
coordenadas {q(t)} através de :
n,(0) = {u}J[in] íq(0)}
A
solução
completa
das
e
f),(0) = íu}J[m] {¿[(0)}
equações
de movimento
(2.2.32)
(2.2.27) é
obtida
retornando-se na equação de transformação de coordenadas obtendo:
{q(t)} = [u]{T](t)} = ^{u},nr(t)
(2.2.33)
r =l
2.2.2- Vibrações Lineares Amortecidas
A resposta de um sistema com amortecimento viscoso, com
n
graus
estando
de
a
introduzido
liberdade,
dificuldade
pelo
representa
ainda
no
amortecimento.
um
problema
desacoplamento
Para
um
mais
complexo,
das
equações,
sistema
deste
tipo
(figura 2 . 1 ) , a equação de movimento pode ser escrita como:
lm]{q(t)} + [c]{<i(t)} + lk]{q(t)) = {Q(t)}
Aplicando a transformação de coordenadas, vem:
31
(2.2.34)
{rjCt)) + ICl{r/(t)) + [ ü M í n í t ) )
= ÍN(t))
(2.2.35)
onde ICl = [ul'(c]Iu]
Nota-se
desta
forma
que
nem
sempre
a
análise
modal
consegue re-arranjar o conjunto de equações de movimento de modo
que este seja formado por equações independentes. Isto só ocorre
em alguns casos especiais nos quais [Cl é uma matriz diagonal, ou
possa em primeira instância ser tratada como tal.
Um
caso
comum
é
o
de
estruturas
com
amortecimento
pequeno, de forma que o acoplamento introduzido pelos termos fora
da diagonal da matriz
[(Cl possam ser encarados como um efeito de
segunda ordem, sendo que uma aproximação razoável pode ser obtida
descartando estes termos. Quando o amortecimento não é pequeno, a
matriz (Cl não é diagonal e nem pode ser tratada como tal. Neste
caso,
utilizam-se
métodos
computacionais
para
problema. Entretanto, existe um caso especial
resolver
no qual
o
[c] é uma
combinação linear das matrizes [m] e [ k ] , ou seja:
[c] = a[ml + P i k ] ,
logo [C] = oí1] + pitó*] sendo a e p constantes.
Desta
independentes,
forma,
sendo
tal
as
equações
caso
de
denominado
movimento
de
são
amortecimento
proporcional. Para a matriz [Cl, vem:
[Cl = [2fwl
As
equações
de
movimento
(2.2.35),
forma:
32
(2.2.36)
podem
ser
reescritas
sob
a
ri,it)
+ 2Ç,w,n,(t) + w^T]r(t) = N , ( t )
Para
matriz
este
caso
(bem
como
r=l
para
(2.2.37)
n
aqueles
nos
quais
[Cl pode ser tratada como diagonal), a solução geral
a
pode
ser escrita como:
1
f
N,(t)
T)r(t) =
e-Çr"r't-t>
T,,(0)
SCnW^ ( t - T ) d T
+
n.(0)
cosdjj
+
r = l,... ,n
-senUj t
A solução geral do problema, em termos das
originais,
é
obtida
substituindo-se
as
equações
(2.2.38)
coordenadas
anteriores
(2.2.38) na transformação de coordenadas, resultando:
íq(t)) = [u]{n(t)} =
Através da análise do
que
além
matriz
Assim
uma
da
dos
matriz
modal
coeficientes
sendo, o estudo
estrutura
relacionado
com
com
tipo de
[u], é
de
graus
solução obtida,
necessário
amortecimento
teórico ou
n
(2.2.39)
^ íu},!],(t)
de
o
liberdade
o estudo experimental
deste
da
sistema,
da
estrutura.
do movimento
está
da determinação das propriedades modais do mesmo.
33
conhecimento
[2fw]
uma modelagem
nota-se
de
diretamente
dependendo
3- PROCEDIMENTOS DE ANALISE MODAL
O
conceitos
capítulo
e
anterior
aspectos
mostra
teóricos
uma
revisão
relacionados
à
de
alguns
análise
de
vibrações. Contudo, o modo pelo qual as equações de movimento são
analisadas
e
interpretadas
sob o ponto de vista
experimental
é
ligeiramente diferente.
Ao invés de se trabalhar com a expressão calculada como
sendo a solução da equação de movimento da estrutura, utilizam-se
as respostas obtidas pelos sensores/transdutores
(acelerômetros,
cabeças de impedância) para a força aplicada à estrutura e para a
respectiva
resposta.
grandezas,
pode-se
Através
levantar
da
as
relação
entre
características
estas
da
duas
estrutura
/13,23,24/. Desta forma, para se comparar dados previstos por um
modelo
teórico
construção
excitação
com
de
uma
como
da
os
obtidos
função
experimentalmente,
contendo
respectiva
é
características
resposta,
pois
tais
usual
tanto
funções
resposta
em
frequência
(FRF-
são
excitação
com a resposta do sistema faz parte de uma categoria de
denominadas
da
sinais
medidos na prática. A função que relaciona o sinal de
a
funções
"Frequency
Response Function").
Tais
funções
resposta
em
frequência
assumem
formas
distintas de acordo com o tipo de resposta coletada, ou seja, a
resposta
da
estrutura
pode
deslocamentos, velocidades
registrada
na
forma
ou acelerações. Caso a resposta
seja
sob a
de
deslocamentos,
a
resposta
em
frequência
fica denominada
de receptância
(a(w)); no caso de
se
(Y(«));
velocidades
e no
caso
de
obtém-se
se
funções
trabalhar
34
com
função
de
registrada
registrar
forma
ser
denominadas
acelerações
mobilidade
obtém-se
as
funções denominadas
inertância
ou acelerância
(A((o)). Pelo
da função resposta em frequência ser uma função complexa
fato
(possui
módulo e fase, devido ao fato da resposta poder estar defasada em
relação à excitação), a sua variação
com
a frequência não
pode
ser totalmente visualizada através de um gráfico padrão x-y.
As
três formas mais comuns de apresentação são:
(a)
Gráficos
do módulo
e fase da FRF
em
função da
frequência,
denominados diagramas de Bode;
(b)
Gráficos
das partes
real
e
imaginária da FRF em função
da
frequência, no caso do uso de notação complexa;
(c)
Gráfico da parte real em função da parte imaginária da FRF.
Tal
gráfico
não mostra
explicitamente
a dependência
com
a
frequência, sendo denominado Diagrama de Nyquist.
3.1- Definição das FRF's
Para
um sistema com n graus de
liberdade, as equações
de movimento podem ser escritas na forma matricial sob a forma:
[Ml{x(t)) + [Klíx(t)} = {f(t))
(3.1.1)
Considerando o caso das oscilações livres, ou seja, {f(t)}={0), e
com a resposta da estrutura sendo dada por íx(t)} = íx)e'"*, vem:
(IKI - o)MM]){x)e"^» = {0}
logo A d K ] - « M M ] ) = O
(3.1.2)
(3.1.3)
35
Tal
equação
valores
fornece
de
como
frequência
solução
um
conjunto
(frequências
(r = l
naturais),
n) de
que
quando
inseridas nas equações de movimento geram um conjunto de valores
para
Assim
( x ) , denominados modos naturais ou formato dos modos ({y;},).
sendo,
a
solução
completa
pode
ser
expressa
em
duas
matrizes n x n, denominadas auto-matrizes ([uf] e [^1).
Os modos naturais da estrutura possuem as propriedades
de ortogonal idade, definidas por:
[Vl'ÍMlívl
= [m,l
(3.1.4)
ÍVlMKKv»]
= [k,l
(3.1.5)
Iwf] = [m,]-Mk,]
(3.1.6)
Das equações acima vem:
onde
m,
e
k,
generalizadas
são
do
geralmente
modo
r.
É
denominados
possível
se
de
massa
normalizar
e
rigidez
os
modos
naturais de forma que:
l<t>nw)['t>]
= [H
[<Í>]MIK1[4>) =
(3.1.7)
(3.1.8)
sendo que a relação entre o r-ésimo modo normalizado {4>}, e a sua
forma mais geral
ívl,
é dada por:
!•] = [wl(mJ-^'«
(3.1.9)
I
36
Considerando o caso no qual a estrutura é excitada harmonicamente
por
um
conjunto
diferentes
de
amplitudes
forças
e
com
fases,
mesma
frequência,
if (t)} = {f }e'<^\
e
roas
assumindo
com
a
solução também harmônica, vem:
íx} = (ÍKl - w ^ l M D - M f }
(3.1.10)
I
!
íx} = Io(w)]{f}
onde
[o(u)) é a matriz
receptância
(3.1.11)
(n x n ) , sendo
um
elemento
geral da matriz definido por:
«4
ajk((i))
Outra
forma
= —
de
, com f a = 0
se
obter
a
m=l,...,n e m^k
receptância
é
através
(3.1.12)
do
uso
das
propriedades modais do sistema, ou seja:
(IKI - w M M ] ) = [a(ü)]-»
[<Í>]'([K] - wMlM])[<í>] = l^]Ma((o)rM0]
[w?] - [üM
= I<í>]'Ia(«) ]-»[<!>]
[a(w)] = [*][(«? -
Q2)]-M*)'
(3.1.13)
sendo a matriz [o(«)] simétrica, isto é:
X,
x^
A equação (3.1.13) pode ser reescrita sob a forma:
37
a,k(<o) = )
^
=)
^
-
m,(u? - u«)
=)
^
(3.1.14)
u? - «2
sendo ^Aj^ denominada de constante modal, ou residuo do pólo r.
No
liberdade
tratamento
é
amortecimento
de
sistemas
conveniente
que possa
amortecidos
considerar
um
com
tipo
n graus
especial
de
de
ser facilmente analisado, como é o caso
do amortecimento proporcional. A vantagem em utilizar este modelo
de
amortecimento
é
o
fato
dos
modos
da
estrutura
serem
quase
idênticos àqueles do modelo sem amortecimento, isto é, o formato
dos
modos
é
idêntico
sendo
as
frequências
naturais
levemente
distintas.
Supondo
uma
estrutura
com
amortecimento
proporcional,
onde:
[Cl
IVlMClíVl
= allMl
= aívJ'IIMllvl
[vFíCllvl
com
os
para
os
elementos
vários
+ blKl
+ blvlMKlíw]
= aímj + blkj = [cj
c, representando
modos
do
o
sistema.
(3.1.15)
amortecimento
O
fato
da
generalizado
matriz
[c,]
ser
diagonal mostra que o formato dos modos do sistema não-amortecido
é
o
mesmo
para
o
sistema
amortecido,
sendo
esta
mais
uma
apresenta
os
característica intrínsica ao tipo de amortecimento.
Desta
forma,
o
sistema
amortecido
seguintes auto-valores e auto-vetores:
[^pAMORTECIDO]
- [ |pNXo-AMORTECIDO ]
38
(3.1.17)
com a função resposta em frequência dada por:
Oj^íw)
=
)
(3.1.18)
^
No
para
um
caso
sistema
(k, - 0)*m,) + i(tóc,)
de
se
com
analisar
vários
a
graus
equação
de
geral
liberdade
e
de
movimento
amortecimento
viscoso, sujeito a uma excitação harmônica, tem-se que resolver:
[|M]{i(t)) + [(Clíxd)) + i K l í x d ) } = {f(t))
(3.1.19)
Analisando primeiramente o caso homogêneo, e admitindo a solução
da forma {x( t ) ) = {x}e'*, vem:
(sMMl
+
slCl
+
ÍKDÍx}
=
(0)
(3.1.20)
as soluções do sistema acima são dadas por complexos conjugados,
ou seja:
e
, {y), e ÍV*}, com r = l
n.
1-ÇP
com
(3.1.21)
... frequência natural do modo r.
... razão de amortecimento critico.
Caso
este
sistema
{f(t)} = íf
,
esteja
com
a
sujeito
resposta
a
sendo
uma
dada
dada
por
força
harmônica
{x(t)} = {x}e'<**,
vem:
íx)
=
l
[Kl
-
wMMl
+
ioMCl
39
]-Mf}
(3.1.22)
Sendo esta uma representação não apropriada para a solução, visto
que procura-se uma expansão em série. Para
tanto, define-se
uma
transformação de coordenadas contendo íxl e íx}, isto é:
íy) =
X
4
(3.1.23)
2n
X
1
e a equação de movimento podendo ser reescrita como:
[<C : Mlíy} + IK : Olíy) = {0}
(3.1.24)
Neste caso tem-se n equações e 2n incógnitas, sendo necessária a
adição de uma equação identidade do tipo:
[M : Olíy) - [O : M l í y ) = (0)
(3.1,25)
Agrupando-se as equações (3.1.24) e (3.1.25) vem:
C
M
podendo
M
íy)
O
+
ser reescrita como
solução da forma
auto-vetores
K
O
íy)
O -M
lAlíy)
íy(t))=íy)e"*,
=
+
(3.1.26)
ÍO)
ÍBlíy)
obtém-se
=
ÍO),
e assumindo a
os auto-valores X, e os
í e ) , do sistema, sendo que estes satisfazem:
(X,[A)
+ iBDíe),
= 10)
r= l
2n
(3.1.27)
sendo as propriedades de ortogona1 idade dadas por:
[ei^Alíe]
= [a,]
40
(3.1.28)
(3.1.29)
K
O vetor
força
=
-
ou
r=l
(3.1.30)
2n
a.
excitação pode
ser
escrito
no novo
sistema de
coordenadas, como sendo:
ÍP}
=
' f
O
(3.1.31)
Assumindo-se a resposta também harmônica, vem;
f
X
N
•
pelo
a,( iu - s,)
iux
X
mas
(3.1.32)
X
fato
dos
•
auto-valores
serem
pares
de
complexos
conjugados, vem:
X
iux
Desta
•
{e);íp}{e},
'
íe'}fíp}{e'},
l
a,(iw - s,)
l
a;(i<ü - sí)
(3.1.33)
forma,
a
função
resposta
em
frequência
da
resposta x^ devida à uma única força f^, fica definida como:
r = lL
a,{u,Ç, + i((j -
Jl-çp}
(3.1.34)
aííw,Ç, + i(u - CO,
41
l-Ç?)}
sendo re-arranjada fornecendo:
í,k(w) = )
(3.1.35)
com ,R,, = 2(Ç,Re(,G^,) - jl-Ç? Im(,G^,))
rS,. =
2Re(,G^,)
ar
Todo
o
desenvolvimento
anterior
foi
realizado
utilizando as respostas na forma de deslocamento {xl; entretanto,
é possível
Neste
se trabalhar com velocidades
caso,
frequência
obtém-se
na
as
íx}, ou acelerações í x ) .
respectivas
forma de mobilidades
e
funções
resposta
inertâncias, estando
em
estas
relacionadas às receptâncias, através de :
[Y(w)l = iw[o(«)]
(3.1.36)
[A(w)] = -o)Ma(w)] = iü[Y(w)]
(3.1.37)
Para os sistemas com vários graus de liberdade, definese dois tipos de função resposta em frequência:
(a)
FRF
pontual:
aquela
onde
a
resposta
e
a
excitação
são
medidas no mesmo ponto da estrutura;
(b)
FRF transferência: aquela onde a resposta e a excitação são
medidas em pontos distintos da estrutura.
A
existentes
um
sistema
figura
3.1,
a
seguir,
exemplifica
as
diferenças
nas FRF's pontuais e transferências, para um caso de
(massas-molas)
com
seis
42
graus
de
liberdade,
sendo
I
mostrada apenas a primeira coluna da matriz receptância [a(ü))].
£,
^2
53
C¿
tX)0
1000
1000
S5
te
100 (Hz)
1000
1000
1000
Figura 3.1- Gráfico dos elementos da primeira coluna da matriz
receptância (n=6).
43
3.2- Excitações não-harmõnicas
A resposta de um sistema com vários graus de
sujeito a uma excitação harmônica
de
amplitudes
e
fases
frequência),
pode
resposta
frequência.
em
ser
liberdade
(conjunto de forças
diferentes,
calculada
mas
através
Entretanto,
todas
de
existe
harmônicas
com
mesma
da
função
prática
outros
dados
na
tipos de excitações/respostas que podem ser analisados usando as
mesmas
funções
resposta
em
frequência;
sendo
interessante
se
obter as propriedades da função resposta em frequência a partir
de medidas realizadas durante testes de vibração.
O
aquele
caso
no qual
mais
simples
a excitação
de
excitações
embora
não-harmônicas
não-senoidal, ainda
é
possui
a
propriedade de periodicidade /25/. Neste caso, não existe mais a
relação
simples
entre
vibrações
harmônicas.
respostas
é,
principio
neste
básico
as
Assim
caso,
é
entradas
que
e
sendo, a
através
de
qualquer
saldas,
forma
para
séries de
função
tal
como
o
cálculo
Fourier;
periódica
para
das
onde
pode
o
ser
representada por uma série de senos com valores apropriados para
frequências, amplitudes e fases.
Uma vez obtida a decomposição
força
f ( t ) , pode-se
utilizar
frequência
correspondente
frequência
da
mesmas
resposta;
frequências
forma, históricos
do
os
para
sendo
se
que
espectro
temporais
dados
da
de
em frequência da
da
calcular
esta
função
os
resposta
resposta
em
componentes
em
exatamente
as
possuirá
excitação.
função
Obtém-se
x ( t ) , periódicos
desta
com
o
mesmo periodo da excitação, mas com formatos diferentes.
É
série
de
possível
Fourier
determinar
dos
sinais
os
da
44
respectivos
força
componentes
inicial
e
da
resposta
associada.
Ambas
as
séries
possuirão
componentes
no
conjunto discreto de frequências, sendo estes múltiplos
do periodo fundamental
mesmo
inteiros
(T=2ji/{.)). De posse destas séries, a função
resposta em frequência fica definida, no mesmo conjunto de pontos
de frequência, através da razão entre o componente
resposta e o
componente excitação. Para cada conjunto de dados, existirão duas
partes de cada componente: magnitude e fase.
Outro tipo possível de excitação é a transiente, sendo
que esta não pode ser tratada como as periódicas. Entretanto, é
possível
em
alguns
Fourier
para
infinitamente
a
casos
estender
transformada
de
o
tratamento
Fourier
de
com
longo. Nestes casos, a transformada
um
séries
de
periodo
de Fourier
da
função excitação f(t) pode ser calculada:
OD
1
F(w) = 5^f(t)^ =
f(t)e-*"*dt
(3.2.1)
2n
-00
Em
qualquer
frequência
u,
a
transformada
de
Fourier
correspondente para a resposta, X ( w ) , pode ser determinada por:
X(u) = H(w) F(tü)
(3.2.2)
onde H(w) é a versão apropriade da função resposta em frequência.
A resposta
temporal
x(t) fica definida a partir da
transformada
inversa de Fourier de X(«) /26/, ou seja:
os
H(«)F(w)e'"^do>
x(t) = 2r-^ÍX(ü)J =
-00
45
(3.2.3)
o
randomico.
pudessem
estes
tipo
mais
Poderia-se
ser
complexo
ter
tratados como
sinais
não
em
de
sinal
mente
que
periódicos
satisfazem
as
com
de
vibração
tais
sinais
período
condições
de
é
o
também
infinito, mas
Dirichlet,
para
aplicação da transformada de Fourier. Torna-se então necessária a
introdução
de
descrição dos
dois
conjuntos
de
parâmetros
utilizados
sinais randômicos: Um baseado no domínio
(funções correlação) e outro no domínio de frequência
na
temporal
(densidades
espectrai s ) .
As
único
sinal
produto
funções
x(t)
cruzado
ou
correlação
f(t)
destes
podem
(funções
sinais
ser
calculadas
auto-correlação), ou
(funções
correlação
médio)
dos
produtos
x(t)x(t+T),
f(t)f(t+T)
para
cruzada).
ambos os casos, tais funções são definidas como o valor
(ou
para
e
um
o
Em
esperado
x(t)f(t+T),
calculado sobre o eixo dos tempos. Tais correlações, ao contrário
dos
sinais originais, satisfazem
transformada
densidades
de
Fourier.
espectrais
de
Os
as condições
parâmetros
potência,
para aplicação
resultantes
possuindo
como
são
da
as
unidade
(frequência)2/w.
Através
da
manipulação
das
densidades
espectrais
de
potência dos sinais x(t) e f ( t ) , chega-se ao seguinte conjunto de
equações:
S„(w) = |H(u) |2S,,(u)
S,,(u) = H(u)S„(ü)
S„(w) = H(u))S,,(u)
46
(3.2.4)
onde S „ ( ü ) ... densidade espectral de potência do sinal x ( t ) .
S,,(tó) ... densidade espectral de potência do sinal f ( t ) .
e S,,(w)
S,f((i))
. . . densidade espectral cruzada entre os
sinais x(t) e f ( t ) .
H((o) ... função resposta em frequência do sistema.
O conjunto
(3.2.4) de
equações
fornece um método
para
determinação das propriedades da função resposta em frequência do
sistema,
a
partir
da
medida
e
análise
de
testes
de
vibração
randômica.
Conforme
excitação
visto,
arbitrária
convolução,
ou
aos
de
sinais
a
resposta
de
feita
ou
através
da aplicação
da
transformada
pode
através
ser
excitação
e
resposta.
um
Tais
sistema
da
a
uma
integral
de
cálculos
de
Fourier
tornam-se
extremamente trabalhosos, devendo-se recorrer ao cálculo numérico
aplicado
a
computadores
digitais.
Por
outro
lado,
todas
as
funções utilizadas no estudo de vibrações são contínuas no tempo,
não podendo serem analisadas em computadores digitais; o que leva
ao conceito da discretização temporal dos sinais.
O
processo
computadores
Fourier
passos
de
digitais
cálculo
é
da
transformada
denominado
transformada
de
Fourier
discreta
em
de
(DFT - "Discrete Fourier Transform") /16/ e envolve três
básicos:
truncamento
amostragem
(ou
conversão)
e conversão no domínio de
no
domínio
frequência. Este
temporal,
processo
demanda um certo tempo de processamento; assim sendo, otimizam-se
tais
sendo
cálculos
este
utilizando
denominado
um
algoritimo
FFT
("Fast
transformada rápida de Fourier.
47
para
Fourier
o
cálculo
da
Transform"),
DFT,
ou
3.3- Técnicas de Extração de Parâmetros
Já
com
as
funções
preciso o desenvolvimento
de
forma
a
extrair
as
resposta
em
freqüência
obtidas,
de técnicas de análise destas
características
modais
da
é
funções
estrutura
sob
ensaio. Estas técnicas consistem basicamente no ajuste de curvas
para
uma
expressão
experimentalmente
teórica
análise modal
derivação
uma
determinada
FRF
obtida
/27/. Tal etapa do processo dos ensaios modais
é denominada análise modal
que é o estágio
para
ou análise modal
correspondente
experimental, visto
no estudo experimental
à chamada
teórica. Em ambos os casos, a análise modal
das
propriedades
modais
do
sistema;
leva à
entretanto,
os
processos são totalmente distintos entre si: um é um procedimento
de ajuste de curva, enquanto o outro é um
exercício de
cálculo
das raizes ou solução de um problema de auto-valores.
A
maioria
dos
processos
de
ajuste
operam
sobre
as
características da resposta no dominio de freqüência, isto é, na
própria FRF, mas há outros procedimentos que realizam o ajuste no
dominio
temporal
/28/.
Estes
métodos
usam
o
fato
de
que
a
transformada de Fourier da função resposta em freqüência é também
uma função característica do sistema.
3.3.1- Método da Amplitude de Pico
Este
método
/29/
fornece
bons
resultados
quando
aplicado a estruturas cuja FRF exiba modos bem separados, que não
sejam amortecidos
levemente de forma que medidas precisas
48
perto
de
ressonâncias
sejam
de
difícil
obtenção,
e
que
não
sejam
fortemente amortecidas de forma que a resposta em uma ressonância
não seja influenciada por mais de um modo. O método consiste em:
(a)
Registrar na FRF os picos ressonantes
como
frequência
natural
de
cada
isolando-os e tomando
modo
(u,)
os
valores
de
frequência para a máxima resposta;
A
(b)
Registrar
o
determinando
para
o nivel
valor
a
máximo
largura
de
da
FRF
de banda
resposta
|a|/|^.
em
(Aw) em
Os
cada
pico
frequência
pontos
de
(jaj),
da
FRF
frequência
identificados (w,,w,,) são os pontos a meia-altura;
(c)
Determinar o amortecimento através de:
Hr
Aw
»b
SÉ
=
= 2t],
(d)
Estima-se
a
constante
que a resposta
total
(3.3.1)
modal
do modo
em análise,
assumindo
nesta região ressonante é atribuída a
um único termo na série geral da FRF, isto é:
aj^(o))
=
2
|â| = - t - ^
A, = |â| o)?rjr
(3.3.2)
A figura 3.2 exemplifica o método da amplitude de pico.
As estimativas da constante de amortecimento e da constante modal
dependem
da
exatidão
na
determinação
49
do
nível
máximo
da
FRF
(|a|), sendo esta uma quantidade nSo bem definida.
Figura 3.2. Método da amplitude de pico
A maioria dos erros nas medidas das FRF's
em
torno
da
região
de
ressonância,
sendo
que
concentra-se
cuidado
especial
deve ser dado às estruturas levemente amortecidas onde o valor do
pico
pode
depender
inteiramente
da
validade
dos
pontos
do
espectro da FRF. Outro ponto, é que a imposição de modo único não
é
estritamente
aplicável,
mesmo
quando
os
modos
estiverem
amplamente separados.
3.3.2- Método do Ajuste de Circulo
O método /30/ bascia-se no fato de que na vizinhança de
uma
ressonância,
dominado
por
propriedades
o
um
do
comportamento
único
circulo
modo.
O
modal,
da
maioria
método
pois
estas
dos
explora
fornecem
sistemas
algumas
é
das
meios
para
estrutura
com
extração dos parâmetros.
Para
o
caso
de
análise
de
uma
amortecimento (amortecimento viscoso), utilizam-se as FRF's sob a
50
forma
de
diagrama
círculos;
mobilidades.
de
Estas
Nyquist,
sendo
a
em
partir
curvas
torno
do
quando
das
ajuste
representadas
ressonâncias,
dos
no
descrevera
respectivos
raios
e
centros, determinados os parâmetros modais.
A
visualização
do
método
pode
ser
feita
através
da
figura 3.3, e melhor compreendida através do equacionamento.
Y(«)
(3.3.3)
(k - w*m) + iwc
u»c
Re(Y)
(k - a)*m)« + (wc)'
«*c
Im(Y) =
(k - w*m)2 +
(üc)¡
Im(oc)
Im(cc)
Re(oc)
Re (œ)
Figura 3.3. Método de Ajuste de Círculo.
Sendo 6 definido conforme mostrado na figura 3.3, vem:
e
w(k - »*m)
tg_ =
2
ojac
1 -
(W/Wo)*
(3.3.4)
2Çw/«o
51
onde
Uo é
questão.
a
frequência
Tomando-se
frequências
de
ressonância
pontos
w, e u^, ou
do
associada
círculo
seja, pouco
que
menor
ao
modo
em
correspondam
e pouco
maior
às
que
a
frequência ressonante («o), vem:
1 - (w,/u)o)«
2
2ÇWfc/Uo
2
2Çu)./o)„
U)2 -
Ç =
^
2Wo(w.tg(e./2)
Assim
sendo,
(3.3.5)
+ a>».tg(e,./2))
estabelece-se
um
procedimento
básico
de
ajuste:
(a)
Seleção dos pontos a serem utilizados;
(b)
Ajuste do círculo, determinando a qualidade do ajuste;
(c)
Localização da freqüência natural, obtendo uma estimativa do
amortecimento;
(d)
Cálculo
de
estimativas
múltiplas
de
amortecimento
e
a
dispersão associada;
(e)
Determinação das constantes modais, através da determinação
dos raios dos círculos ajustados.
3.3.3- Resíduos
A
introdução
do
conceito
de
termos
residuais
é
necessária de forma a considerar, no processo de análise modal,
os modos que não estejam sendo investigados diretamente, mas que
52
estejam presentes e influenciando os dados utilizados das FRF's.
É comum
por
limitar
motivos
a
faixa de
práticos,
ou
frequência
mesmo
estrutura dentro de uma faixa
implica
na não
existência
das
pelo
medidas
interesse
e/ou
na
análise
resposta
da
limitada de frequência, o que não
de modos
da
estrutura
em
frequências
fora desta faixa.
Sendo
modais
a
curva de FRF modelada
extraídos
dos
dados
medidos,
o
a partir
formato
de
desta
parâmetros
será
dado
pela equação:
Y^^ío)) =
com
os
limites da
refletir
o
fato
)
(3.3.6)
série modal
de
que
nem
indicados
sempre
se
por
m^ e mj de
inicia
a
análise
forma a
com
o
primeiro modo (r=l) e raramente se atinje o modo mais alto (r=n).
Entretanto, a
limitação da faixa de frequência
tanto durante as
medidas como na análise, não implica em que os dados medidos para
a FRF não sejam afetados por modos que estejam fora da faixa, e a
equação que melhor representa tais dados é:
Yjk((j) =
Y^,(u,) =
)
,
y
+
0)2 - 0)2 + ín,o)5
+
y
^
y
^
ou:
+
u>J - 0)2 + in,ü)?
(3.3.7)
ü)? -
+ ÍT]-0)J
53
A figura
3.4
exemplifica
a contribuição
dos modos que
estão fora de uma determinada faixa de frequência. Nota-se que na
região
de
baixas
assintótico
frequências
de massa, e na
deve-se
ter
região de altas
um
comportamento
frequências
deve-se
ter um comportamento assintótico de rigidez.
(Q)
(b)
Ic)
(d)
Figura 3.4- Contribuição dos vários termos na série modal
Aplicando
intuitivamente
estes
conceitos,
definir as bases para a introdução dos termos residuais:
54
pode-se
Yjfc(to) =
+
)
+
<«>* »R.k
(3.3.8)
u)2 + inu?
-
(O?
fcRjk
onde ,R^^ e ^R^k são a massa e a rigidez residuais para esta F R F ,
e para esta faixa particular de frequência.
A maneira pela qual os termos residuais são calculados
é relativamente direta e envolve o exame da curva F R F em ambas as
extremidades
da
faixa
de
frequência
de
interesse.
calculam-se alguns valores da curva F R F "teórica"
Primeiro,
(curva
obtida
através dos parâmetros modais identificados) nas frequências mais
baixas
abrangidas
identificados.
realmente
será
pelo
Então,
teste, usando
por
comparação
medidos, estima-se
adicionada
extremidade
à
curva
superior
do
somente
a
destes
constante
"teórica".
intervalo
de
O
parâmetros
valores
residual
processo
modais
com
os
de massa
que
é
repetido
frequência,
na
fornecendo
a
constante residual de rigidez.
3.3.4- Ajuste de Curvas com Vários Graus de Liberdade
Existem
único grau de
várias
situações
liberdade para a análise modal
inapropriadas,
sendo
que
para
métodos alternativos que podem
curvas com vários graus de
necessitam
pelo
um
tratamento
conceito
de
um
grau
estas
técnicas
de
um
são inadequadas
ou
situações
existem
vários
ser classificados como ajustes de
liberdade. Os casos particulares
de
acoplados
nas quais as
de
mais
elaborado
liberdade,
fortemente, e aqueles
são
do
que
o
aqueles
com amortecimento
que
utilizado
com
modos
pequeno / 3 1 / ,
para os quais as medidas na ressonância são de difícil obtenção e
imprecisas.
Por
modos
acoplados
55
fortemente
entende-se
aqueles
sistemas para os quais ou as frequências naturais estejam
muito
próximas, ou os que apresentam amortecimento relativamente forte,
ou ambos, sendo que nestes casos a resposta mesmo na ressonância
fica determinada por todos os termos modais e não somente por um
único termo.
A
numérica
medida
mais
diferenças
em
que
são
sofisticadas,
entre
utilizadas
preocupa-se
modelos
de
técnicas
cada
vez
de
análise
menos
amortecimento
com
(viscoso
histerético), pois matematicamente a diferença está
as
ou
simplesmente
em que as partes imaginárias das FRF's podem ser ou constantes ou
dependentes da frequência.
Os
para
o
termos
caso
deseja
da
análise
considerar
absolutamente
residuais
a
de
vários
curva
necessária
são
a
aplicáveis
graus
inteira
de
em
incorporação
da
liberdade.
um
dos
mesma
Como
se
passo,
é
residuais
no
único
termos
maneira
processo; caso isto não seja realizado, os parâmetros modais que
resultarão
compensar
da
a
análise
influência
modal
dos
serão
modos
que
distorcidos,
estejam
fora
de
forma
a
da
faixa
de
frequência utilizada durante a coleta de dados.
Para
exemplificar
a
filosofia
geral
dos
procedimentos
de ajuste para vários graus de liberdade / 3 2 / , denota-se os dados
medidos
para
uma
FRF
como
0(^^(0, )=a?,
e
os
dados
teóricos
correspondentes sendo dados por:
-1
a^,(Q,) = a, =
com
jR^k
os
e
coeficientes
„Rjj
AiX
+
lA^^,
)
+
zA.^^,
1
—
U j , U j , ....
devendo ser determinados
56
(3.3.9)
rj^, rjj, ....
pelo ajuste. Pode-se
definir
o
erro
individual
como
e, = (oíí -
Oj),
expressando-o
como
uma
quantidade escalar |ef|.
Aumenta-se o grau de generalidade através da adoção de
um
fator
de
ponderação
W,
a
cada
ponto
de
frequência
de
interesse. Logo, o processo de ajuste deve determinar os valores
dos coeficientes desconhecidos de forma a minimizar o erro total
E, dado pela expressão:
p
E = ^W,|ef|
(3.3.10)
1=1
ou seja, deve-se fazer:
dE
— = O ,
dq
O
vários
dos
conjunto
q = ,A^,. ,A,^, ...
de
coeficientes
equações
(para
(3.3.11)
resultantes
todos
é
não
w, e T]^) , não
linear
podendo
em
ser
resolvido diretamente. Neste ponto baseiam-se as diferenças entre
os
vários
algorltimos
existentes:
quanto
à
escolha
do
procedimento, assumindo várias simplificações e considerações de
forma
a
controlar
o
tamanho
do
esforço
computacional.
Vários
procedimentos utilizam soluções interativas, alguns linearizam as
expressões de
forma a simplificar
o problema, e quase
todos os
procedimentos desenvolvidos ficam comprometidos pela qualidade da
estimativa inicial.
57
3.4- Técnicas para Determinação das Formas Modais
Â
estrutura,
fim
de
derivar
definem-se
duas
o
modelo
matrizes:
modal
uma
com
de
determinada
as
frequências
naturais e com os fatores de amortecimento dos modos incluídos, e
outra
com
o formato
uma única
FRF Y^^, é possível
do r-ésimo
e
,Ajk
dos modos
correspondentes.
Assim
sendo, de
extrair certas propriedades
modais
modo através do ajuste de curvas, determinando w,, rjr
(r = l
n).
Embora
propriedades
o ajuste
de
forneça
amortecimento
as
frequências
diretamente,
naturais
este
não
e as
fornece
explicitamente o formato dos modos, e sim uma constante modal que
é formada com dados dos formatos dos modos. A fim de extrair os
elementos
realização
"individuais" da matriz dos modos
de
uma
série
de
medidas
[<í>] , é necessária a
das
FRF's,
incluindo
principalmente a FRF pontual na posição de exitação, Y^^. No caso
de
Yfck
ser
fornecerá
também
os
medida,
não
s6
e através
da
técnica
de
ajuste,
as
propriedades
de
frequência
elementos
específicos
na
matriz
r<l>k
(r=l
a
análise
natural,
dos
modos
mas
que
correspondem ao ponto de excitação.
Ykk(w)
Caso
mesma
posição
seja
de
Wr. Hr. r^kk
medida
qualquer
excitação,
como
outra
Y^^, é
m)
função
FRF
possível
usando
a
deduzir
o
formato do modo correspondente ao novo ponto de resposta, usando
o fato de que uma constante modal
do ponto medido através de:
58
pode ser combinada com aquela
,<t>, = ——
Desta
forma,
para
(3.4.1)
a
determinação
do
modelo
modal
relativo a um conjunto particular de n coordenadas, é necessário
medir e analisar um conjunto de n FRF's, todas com o mesmo ponto
de excitação
de
(ou mesmo ponto de resposta, variando-se os pontos
excitação),
pontual
totalizando
n-1
FRF's
transferência
e
/33/. Em termos da matriz FRF completa, isto
uma
FRF
corresponde
a se medir uma coluna (ou uma linha). Na prática, este é o mínimo
conjunto
de
dados
que
fornecerá
o
modelo
desejado,
sendo
recomendada a medição de mais de uma coluna.
Quando todas as curvas FRF's selecionadas tiverem
medidas e analisadas
de
processamento
individualmente, ficará faltando um
visto
que
para a frequência natural
ter-se-á
em
mãos várias
e fator de amortecimento
sido
estágio
estimativas
de cada modo
de interesse. Teoricamente, todas estas estimativas deveriam
idênticas,
mas
na
prática
raramente
o
são, devido
até
ser
mesmo
a
erros experimentais.
O
procedimento
mais
simples
para
calcular
a média
de
todas as estimativas individuais consiste na média aritimética de
valores de <<), e rj,. Na prática, nem todas as estimativas
o
mesmo
ajustes
peso,
muito
pois
algumas
mais
satisfatórios
procedimento mais
destas
provavelmente
que
as
possuem
derivam
demais,
refinado seria o cálculo de médias
logo
de
um
ponderadas
pela confiabilidade de cada estimativa.
No caso de se aceitar um valor médio para a frequência
natural
e
constantes
coeficiente
modais
em
de
amortecimento,
alguns
casos
para
deverão
um
ser
dado
modo,
as
revisadas.
No
processo de ajuste de curvas, o diâmetro do circulo modal é dado
59
peia expressão:
(3.4.2)
logo, se forem redefinidos os valores de w, e 17,, deve-se revisar
o
valor
de
,A^j desde
diâmetro
do
circulo.
corrigido
de
que
Assim
constantes
não
há
razão
sendo,
fica
para
modificação
definido
modais, e consequentemente
no
um
conjunto
um
conjunto
para os elementos dos formatos dos modos, para cada uma das FRF's
analisadas.
(3.4.3)
onde ~ indica o valor revisado.
Para
a
simples
obtenção
das
formas
modais,
é
comum
proceder a medição e análise completa de uma FRF (de preferência
a
pontual),
demais FRF's
círculos
determinando
se resume
modais,
os
valores
apenas
omitindo
de w, e rj,. A
à determinação
os
estágios
que
análise
das
dos diâmetros
dos
forneçam
outras
estimativas para w, e rjrA visualização
feita
através
gráficos
de
estáticos
das
gráficos
formas
modais obtidas,
estáticos
limitados
para
características dos modos complexos.
60
e
dinâmicos,
ilustrar
em
geral
sendo
algumas
é
os
das
4- PARTE EXPERIMENTAL
Para
dos
dados
sinais
obter
coletados,
de
medidas
se
entrada
de
é
as
propriedades
necessário
(excitação)
mobilidade,
a
e
que
das
do
se
sistema
realize
respostas
aparelhagem
do
diretamente
medidas
dos
sistema.
Nas
utilizada
é
composta
basicamente por: um mecanismo excitador, um sistema de transdução
e um analisador.
Quando são utilizados vários canais de medição, é comum
a
incorporação de um gerenciador de sinais sendo este geralmente
um micro-computador. Tal
inclusão
também é justificada pelo fato
de que vários dos procedimentos na área de análise das FRF's são
repetitivos, com o uso do micro-computador o processamento destes
dados fica otimizado.
Os testes de análise modal
podem
ser realizados com a
estrutura livre ou fixa. Por livre entende-se que a estrutura não
esteja conectada a um determinado piso, através de qualquer
uma
de suas coordenadas, estando suspensa no espaço. Nesta condição,
a
estrutura
exibirá
modos
de corpo
rígido determinados
somente
por sua massa e suas propriedades de inércia. Na prática, não é
fácil
fornecer
arranjar
um
uma
sistema
condição
de
puramente
sustentação
livre,
que
condição. Isto pode ser feito utilizando
forma
que
comparados
os
modos
de
rígido
de
corpo
de
valores
baixos
tipo
propriedades
geral
leves, de
mais baixo de flexão). Com um sistema de sustentação deste
as
(em
desta
modo
derivar
flexão
aproxime
"molas" muito
possuam
possível
10% a 2 0 % do
pode-se
aos modos de
corpo
se
sendo
rígido
comportamento da estrutura a baixas frequências.
61
a
partir
do
o outro tipo de suporte, denominado
fixo, acarreta
em
uma fixação de pontos selecionados da estrutura ao chão. Enquanto
tal
condição
é
extremamente
teóricas
(simplesmente
torna-se
muito
consiste
em
fundação
mais
ser
a
suficientemente
estruturas
tratadas
mobilidade
difícil
mais
de
A
em
razão
que
análises
apropriadas),
fornecer
forma
para
uma
tal
tanto
base
base
ou
seja
na fixação desejada. Todas
não
rígidas.
estrutura
aplicar
coordenadas
trabalhoso
mobilidade
da própria
se
prática.
rígida resultando
puramente
de
as
na
estrutura
possuem
como
suprimindo
muito
para
fácil
nula,
É
não
podendo
necessária
base na
a
faixa de
as
serem
medição
frequência
da
do
teste, estabelecendo que esta seja muito menor do que os níveis
de mobilidade correspondentes para a estrutura a ser testada, no
ponto de fixação. Caso tal condição seja satisfeita para todas as
coordenadas
a
serem
fixadas,
a
estrutura
base
pode
ser
considerada como razoavelmente fixada.
Outro ponto de grande
importância em testes modais diz
respeito a forma pela qual a estrutura será excitada, sendo comum
a
utilização
de
excitadores
e1etrodinâmicos
e/ou
um martelo
de
é
eletrodinâmico
impacto.
O
(também
tipo
mais
comum
de
chamado shaker), no qual
excitador
o
o sinal que entra é convertido
em um campo magnético alternado que alimenta uma bobina conectada
à parte móvel do apareiho e à estrutura. Neste caso, a frequência
e
a
dando
amplitude
uma
de
maior
excitação
são
flexibilidade
controladas
operacional
independentemente,
(útil
quando
se
trabalha na região de ressonâncias). Entretanto, deve ser notado
que a impedância elétrica destes aparelhos varia com a amplitude
do movimento da bobina e portanto não é possível deduzir a força
62
excitadora a partir da medida da tensão aplicada ao shaker. Nem é
usual
deduzir
que passa
a força
pelo
excitadora
através
shaker, pois tal
da medida da
corrente
corrente mede a força
aplicada
não só a estrutura, e sim a estrutura e ao próprio shaker. Embora
possa
parecer
próprio
que
shaker)
e
a
diferença
a
força
entre
aplicada
esta
à
força
estrutura
(gerada
seja
pelo
pequena,
deve-se notar que perto de ressonâncias, uma pequena força basta
para produzir
que
uma grande
sem alterar
sinais,
existe
proximidades
resultado,
a
resposta, e o que usualmente
as regulagens do
uma
das
redução
marcante
frequências
verdadeira
amplificador
força
no
aplicada
ou do gerador
nível
naturais
da
à
ocorre é
de
de
força
nas
estrutura.
estrutura
Como
torna-se
a
pequena diferença entre a força gerada no excitador e a força de
inércia necessária para mover a ponta e a mesa do shaker.
Para utilização de um excitador
eletrodinâmico, torna-
se necessária a conexão entre a plataforma sustentadora do shaker
e
a estrutura,
Retornando
a
acoplando-se
definição
a
de
razão
entre
resposta
força
harmônica
aplicada
única
excitação
que
direção,
movimento
existe
um
mobilidade
harmônica
deve
parecer que o shaker
usualmente
na
no
um
Y^^, vê-se
ponto
coordenada
existir
na
k
é multi-direcional.
com
as
(sendo
força.
esta
j , causada
esta
é
por
a
uma
força
a
Embora
possa
forças em uma
única
estruturas
Quando
de
que
estrutura).
seja capaz de aplicar
problema
transdutor
a estrutura
em
geral,
cujo
é excitada
em
uma direção, a resposta se dá não só nesta direção, mas também em
outras. Tal
possível
movimento
é perfeitamente
aceito
e esperado, mas é
que ele origine uma forma secundária de excitação se o
shaker estiver conectado de forma incorreta.
Ë usual
que a parte móvel
63
do shaker possua
mobilidade
ao
longo deste eixo, mas seja muito rigida nas outras direçSes.
Então, se a estrutura tende a responder, por exemplo, na direção
lateral
bem
como
excitador
causará
estrutura
como
na
linha
excitação
forças resistoras
excitações
resposta captam a resposta
excitadora
de
como
por
, então
rigidez
do
ou momentos, que atuarão na
secundárias.
Os
total que é causada
esta
a
força
transdutores
tanto pela
secundária
de
força
(intensidade
desconhecida).
A solução é a conexão do shaker a estrutura através de
uma haste ou um conector similar que possua a característica
de
ser rígido em uma direção, mas sendo relativamente
flexível
nas
outras
forma
não
cinco
direçSes.
Deve-se
tomar
cuidado
de
a
compensar
exageradamente
: se a ponta for muito
longa, ou muito
flexível,
introduz-se
efeito
ressonância
o
de
sua
própria
nas
medidas e isto pode ser de difícil extração dos dados.
Outro
martelo
de
método
impacto.
de
excitação
Embora
este
tipo
utilizado
de
é
teste
através
do
necessite
de
maiores tempos na fase de análise e no processo de medidas, é um
meio
relativamente
simples
de
excitar
a
estrutura
/34,35/.
O
equipamento consiste basicamente de um impactador, usualmente com
um
conjunto
de
cabeças
e
pontas
diferentes
que
servem
para
estender as faixas dos níveis de força e frequência. A faixa útil
pode
também
ser
estendida
usando
diferentes
tamanhos
de
impactadores. Acoplado ao impactador existe uma célula de carga,
ou transdutor de força, que detecta a magnitude da força sentida
pelo
impactador, e que é assumida
igual e oposta àquela
pela estrutura. Quando aplicado manualmente, o impactador
sofrida
possui
um cabo (dando formato de martelo), mas também pode ser utilizado
com um arranjo de sustentação.
64
Basicamente, a magnitude do impacto é determinada
pela
massa da cabeça do martelo e pela velocidade com que este se move
quando atinge a estrutura. Frequentemente, o operador controla a
velocidade ao
invés da força propriamente dita, e portanto, uma
maneira apropriada de ajustar a ordem do nível de força é através
da variação da massa da cabeça do martelo.
A faixa de
frequência
que é excitada
efetivamente
por
este tipo de aparelho é controlada pela rigidez da superfície de
contato
e
pela
massa
do
sistema
ressonância
da
cabeça
dada
por
impactante;
(rigidez
existindo
do
uma
contato/massa
impactante)''*, acima da qual é difícil
transmitir energia para a
estrutura.
colidir
Quando
a
ponta
do
martelo
com
a
estrutura,
esta sofrerá a ação de um pulso que possui a forma de meio-seno
(figura 4.1, a seguir).
f(t)
LA
i I I I
100 „ 2 1000
Ims
to)
10 000
Ibl
Figura 4.1- Exemplo de um pulso transiente.
Nota-se a ineficácia deste pulso para excitar vibrações
na
faixa
alguma
de
frequência
forma de
controle
acima
sobre
de
f^,
precísando-se
este parâmetro.
65
então
Pode-se
ter
mostrar
que
existe
uma
relação
direta
entre
a
primeira
frequência
de
corte ( f ç ) e a duração do pulso (7^), e que para aumentar a faixa
de
frequência
é
necessário
induzir
um
pulso
de
curta
duração.
Este por sua vez, pode ser encarado como estando relacionado com
a rigidez
(não a dureza) da
superfície de contato e a massa
do
impactador. Quanto mais rígido for o material, menor será a faixa
de frequência abrangida pelo impacto.
Outro
excitação
impacto
aspecto,
usando
seja
magnitude
um
é
martelo
essencialmente
mas
a
também
em
dificuldade
de
impacto,
idêntico
posição
e
de
se
aplicar
assegurando
que
aos anteriores, não
em
orientação
a
cada
só
em
relativa
à
superfície normal da estrutura.
Como transdutores, utilizam-se em ensaios modais os do
tipo pizoelétrico, a saber: ace1erômetros /36/ e transdutores de
força. O princípio básico de operação faz uso do fato de que um
elemento de material pizoelétrico (cristal natural ou artificial)
gera
uma
tensões
pode
ser
carga
elétrica
sobre
mecânicas. Através
incorporado
de
seus
um
terminais
projeto
em um aparelho
que
quando
adequado,
sujeito
tal
a
cristal
induza nele uma
tensão
proporcional a grandeza a ser medida (força ou aceleração).
O transdutor de força é o tipo mais simples, a força F
transmitida
(ou
diretamente
sobre
uma
o
fração
conhecida
cristal
que
desta)
então
é
gera
uma
correspondente q, proporcional a F. Uma característica
no
projeto
de
transdutores
de
força
é
a
rigidez
aplicada
carga
importante
relativa
(na
direção axial) do cristal e do invólucro, sendo que a fração de F
que ê transmitida através dos cristais depende diretamente desta
relação. Além disto, existe a possibilidade de uma
sensibilidade
cruzada não desejada, isto é, uma saída elétrica quando a força é
66
nula, dita carga transversal ou de cizalhamento. A força induzida
pela
carga de
daquela
salda do
aplicada
pelo
cristal
será
shaker,
e
sempre
também
levemente
daquela
diferente
transmitida
á
estrutura. Isto se deve ao fato de uma fração da força detectada
pelo
cristal
ser
utilizada
para
mover
a pequena
quantidade
de
material entre o cristal e a estrutura.
Em um acelerômetro, a transdução é indireta sendo feita
usando uma massa auxiliar ou sísmica. Nesta configuração, a força
exercida no cristal é a força de inércia da massa sísmica. Então,
conforme o corpo e a massa sísmica se movimentem juntos, a salda
do
transdutor
será
proporcional
á
aceleração
de
seu
corpo
e
consequentemente à da estrutura conectada.
Uma
das
vantagens
dos
transdutores
pizoelétricos
é
o
fato de serem aparelhos ativos, não precisando de fonte elétrica
para o funcionamento. Entretanto, isto implica na
característica
de o transdutor não medir verdadeiramente quantidades estáticas e
portanto, existe um limite de baixa frequência abaixo do qual as
medidas
não
propriedades
de
carga
gerada
são
do
realizadas.
transdutor
(necessário
pelo
para
Este
limite
é
determinado
e pelas propriedades
amplificar
cristal, fornecendo
um
a
sinal
do
pequena
forte
pelas
amplificador
carga
elétrica
o bastante
para
ser medido pelo analisador).
O último
análise
de
curvas
integrante de um sistema básico de medição e
FRF's
é
um
analisador
de
espectros.
A
principio, um analisador é um voltímetro, embora o processamento
dos sinais (necessário para extração de informações sobre a fase
e
a
magnitude
sofisticada.
analisador
Em
em
de
cada
todos
uma
parâmetro)
os
forma
casos,
utilize
os
analógica,
67
dados
uma
eletrônica
são
históricos
mais
fornecidos
ao
temporais
de
resposta
e
excitação,
analógico-digital
processadas
(AD)
estejam
sendo
de
na
então
modo
que
forma
de
realizada
as
a
conversão
quantidades
uma
sequência
a
de
serem
valores
discretizados no tempo. Os estágios subsequentes de processamento
são realizados digitalmente, usando várias rotinas que geralmente
estão
instaladas
simultaneamente
um
sinal
presente
no
analisador
no
de
tempo.
discreto
que descrevem
frequência
de
variável
usualmente
componentes
Um
todos os componentes
complexo
espectro,
/37/
no analisador.
a magnitude
mede
frequência presentes
Sua
contendo
de espectro
saída
um
consiste
número
relativa
sinal. O analisador
finito
em uma
digital
de
faixa
de
em
um
de
de
espectro
(ou analisador de Fourier) possui as rotinas para o cálculo
várias
propriedades
dos
sinais
recebidos,
incluindo
aquelas
necessárias para o cálculo de FRF's.
4.1- Bancada Experimental e Equipamentos
Para a realização dos
composta
por
um
feixe
de
testes modais com uma
tubos
metálicos
estrutura
acoplados
por
espacadores rígidos (simulando uma estrutura típica de elementos
combustíveis)
experimental
foi
que
necessária
a
possibilitasse
construção
a
fixação
de
do
uma
bancada
componente
sob
ensaio, de forma a simular suas condiçSes de fixação no vaso de
um reator nuclear tipo PWR (figura 4 . 2 ) .
A
bancada, BAVEC,
(Bancada
de Análise
de Vibração
de
Elementos Combustíveis) foi instalada sobre uma base de concreto,
visando
possibilitar
o
seu
isolamento
m
de
eventuais
vibrações
externas que pudessem
de
dados.
retângulo
acesso,
A
de
sendo
área
vir a interferir
ocupada
1,00
x
3,00
sua altura
pela
no processo de aquisição
bancada
metros,
máxima
já
1,90
é
equivalente
incluindo
metros. Os
o
â
de
espaço
um
para
componentes
da
parte estrutural são:
(a) Vigas verticais com perfil " I " ;
(b) Viga horizontal com perfil " I " ;
(c) Estrutura de sustentação do shaker;
(d) Placa de assentamento da estrutura sob teste;
(e) Placas
superiores
de
fixação
da
estrutura
testada no pórtico.
15Y
15X
16Y
17Y
18Y
19Y
20Y
21Y
21X
J
15Z
162
172
182
1
192
I
202 212
i
i
1940
Figura 4.2- Croqui da bancada experimental
69
a
ser
As
vigas
verticais,
a
estrutura
de
sustentação
do
shaker e a base sobre a qual se posicionam as estruturas a serem
testadas foram chumbadas na base de concreto.
A estrutura
de
forma
a
estrutura
resistir
sob
de sustentação do
ao
ensaio,
seu
peso.
utilizou-se
axialmente, e flexível
shaker
Para
uma
foi
conexão
haste
de
longitudinalmente) para
excitação. O sistema de
dimensionada
do
shaker
nylon
à
(rígida
transferência
da
içamento do shaker é constituído por um
guincho (sistema coroa/sem-fim/tubo/cabos de aço) através do qual
é possível a regulagem de altura, permitindo que a excitação seja
aplicada
em
qualquer
posicionamento
do
ponto
shaker
axial
na
da
direção
estrutura.
Variações
transversal
ao
de
eixo
da
estrutura sob teste são possíveis através do enrolamento do cabo
de aço sobre o tubo do guincho.
Além dos componentes mecânicos, a bancada
experimental
também possui todo o sistema eletrônico para aquisição/tratamento
dos dados:
(a) Amplificador de potência PA2000/ LDS;
(b) Excitador eletrodinâmico 650/ LDS;
(c) 7 acelerômetros 4371/ Bruel & Kjaer;
(d) 8 amplificadores de carga 2635/ Bruel & Kjaer;
(e) 1 transdutor de força 8200/ Bruel & Kjaer;
(f) Martelo de impacto 8202/ Bruel & Kjaer;
(g) Sistema de aquisição e análise 2515 CAT/ GenRad;
(h) Impressora matricial 2228A/ Hewlett-Packard;
(1) Plotter 7475A/ Hewlett-Packard;
(j) 35
metros
de
cabo
alimentação do shaker:
70
com
três
condutores
para
(k) 35
metros
de
cabo
com
um
condutor
atuando
como
"terra" na instalação do shaker;
(1) Cabos
coaxiais
amplificadores
para
de
as
ligações
carga
-
acelerômetros
sistema
de
-
aquisição,
para cada um dos oito canais de medição;
(m) Haste de nylon, com roscas (M8 e UNF 10-32) para as
conexões com o shaker e transdutor de força;
(n) 4
anéis
de
borracha
especial
(SANDOW)
para
a
sustentação do shaker;
(o) Cera de abelha e cola para a fixação das bases dos
acelerômetros e transdutor de força;
(p) Bases para fixação dos transdutores.
A
figura
4.3
mostra
esquematicamente
o
arranjo
utilizado para a coleta de dados.
SHAKER
AMPLIF.
POTÊNCIA
ALIMENT.
REDE
MONITOR [
1 ... TRANSDUTOR DE FORÇA
2 ... ACELERÔMETROS B&K
3 ... HASTE DE CONEXÃO SHAKER/ESTRUTURA (NYLON)
Figura 4.3- Esquema das conexões elétricas entre os equipamentos
71
As
potência
características
de
saída
do
de
shaker,
ajustagem
dos
filtros
,
Apêndice
(passa
baixa
3,
e
da
passa
a l t a ) , do tipo de janelamento dos sinais e do número de médias,
foram estabelecidos de acordo com dois fatores:
(1) Tipo de excitação utilizado, podendo ser transiente
(através
do
(utilizando
martelo
de
o gerador
impacto)
de sinais do
ou
aleatória
sistema
GenRad
para alimentar o shaker);
(2) Tipo de estrutura a ser testada, pois variando-se a
estrutura
sob
ensaio,
alteram-se
as
relações
de
entrada/saída dos sinais.
4.2- Estruturas Testadas
Com o objetivo
modais
de
utilizado
uma
em
estrutura
reatores
final
de determinar
similar
nucleares
a
do
um
tipo
as
características
elemento
PWR,
foi
combustível
necessário
o
cumprimento de uma seqüência de testes com diferentes estruturas,
possibilitando
a qualificação
aquisição/análise/interpretação
que
os
fixação
níveis
de
estivessem
função
e validação
dos
procedimentos
de
de dados, bem como a garantia de
resposta
em
suficientemente
freqüência
baixos
de
no
pórtico
forma
a
de
não
interferir nas demais medições.
Assim sendo, foram testadas (em seqüência) as seguintes
estruturas:
72
(1) Pórtico de fixação: Estrutura formada pelas vigas com perfil
" I " , sendo suas características mostradas na tabela 4.1, Esta
estrutura foi analisada nas três direções
supunha-se que os modos do pórtico
(XYZ), uma vez que
(mesmo fora de seu plano
de maior rigidez - direção X ) , pudessem
das demais estruturas. Tal estrutura
interferir nos modos
foi discretizada
(total
de 21 pontos) de forma a relacionar estas coordenadas com os
pontos de medição das FRF's.
VIGA
VERTICAL
Tamanho (mm)
300 x 300
Densidade (Kg/m)
93.78
Altura (mm)
300
HORIZONTAL
200 X 200
49.71
200
Tabela 4.1- Características das vigas do pórtico.
Os pontos utilizados para definição da geometria do
foram
associados
definido
às
coordenadas
como o plano que passa pela
das vigas verticais, coincidindo
excitação
para
(x,y,z)
da
bancada
excitação
da
(direção
estrutura
o
plano
linha de centro
posicionamento
teste).
A
do
tabela
xy
(alma)
com a direção principal
de
sob
sendo
pórtico
de
shaker
4.2,
a
seguir, mostra os pontos utilizados para definir a geometria
do pórtico (pontos 8 a 29 e ponto 31, conforme figura 4.2).
73
PONTO X (mm) Y (mm) Z (mm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1110.0
1110,0
1110,0
1110,0
1110,0
1110,0
1110,0
38,0
75,0
112,0
148,0
182,0
220,0
232,0
295,0
505,0
715,0
925,0
1110,0
1346,0
1556,0
1619,0
1632,0
1670,0
1704,0
1740,0
1777 ,0
1813,0
1852,0
1110.0
0,0
237 ,0
442,0
647 ,0
852,0
1057,0
1262,0
1335,0
197 ,0
408 ,0
618,0
825,0
1024,0
1243,0
1314,0
1675,0
1675,0
1675.0
1675,0
1675,0
1675.0
1675,0
1314,0
1243,0
1024,0
825,0
618,0
408,0
197 ,0
0,0
0,0
0.0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0.0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0.0
0,0
0.0
0,0
0,0
0.0
0,0
0,0
0,0
Tabela 4.2- Coordenadas dos pontos para discretização do pórtico.
(2) Barra
seção
de
seção
retangular:
retangular
(2,0
x
Barra metálica
0.5
extremidades chapas quadradas
permitir
a
fixação
da
barra
polegadas),
(aço carbono) de
tendo
em
suas
(240 x 240 x 25 m m ) , a fim de
sob
o
pórtico.
A
barra
foi
posicionada sob o pórtico de modo que sua lateral com largura
de
duas
polegadas
estivesse
montada
perpendicularmente
à
direção XY da bancada, sendo esta a face que será submetida à
excitação. A barra foi discretizada
74
por
sete pontos
(figura
4.2),
sendo
(ponto
seu engastamento
30). A
fixação
da
inferior descrito
barra
sob
o
por um
pórtico
ponto
foi
feita
através de quatro pinos guia existentes nas placas inferior e
superior
da
bancada.
Tal
estrutura
foi
ensaiada
de
forma
a
comparar diretamente os resultados experimentais obtidos com
aqueles
fornecidos
estrutura
é
por
simples
e
cálculos
analíticos,
sua modelagem
visto
é relativamente
que
a
fácil.
Através destes ensaios, realizou-se a capacitação e validação
das técnicas experimentais.
(3) Varetas combustlveis
protótipo: A fim de se representar
estrutura
similar
a
uma
elementos
combustlveis
vareta
de
combustível
reatores
uma
utilizada
nucleares
do
tipo
em
PWR,
foram fabricadas varetas protótipo com pastilhas de chumbo ao
invés de pastilhas de UOj, mas mantendo-se a equivalência em
massa.
As
(tabela
dimensões
4.3)
foram
diâmetro
dentro
com
comprimento
seu
assim
dimensões
estrutura
composta
varetas
determinadas
dos
as
das
valores
reduzido
da
um
de
maneira
utilizados
a um
bancada,
por
combustíveis
feixe
de
manter
comercialmente,
valor
quando
a
protótipo
mínimo
da
mas
(reduzindo
montagem
tubos
o
de
uma
acoplados
por
espacadores rígidos).
Os
testes
com
as
varetas
combustlveis
foram
posição vertical, simulando-se as condições
situação
para
livre-livre
definir
a
realizados
de
fixação
na
pela
(figura 4.4). Utilizaram-se seis pontos
geometria
da
vareta
(tabela
4 . 4 ) , sendo
cotas medidas em relação à extremidade inferior da vareta.
75
as
REVESTIMENTO
MATERIAL
AISI 304
9,8
PASTILHAS
MATERIAL
ALTURAS TESTADAS (mm)
ALTURA DA COLUNA (mm)
CHUMBO
10;20;30
1085
MASSA TOTAL DA VARETA
(g)
COMPRIMENTO TOTAL DA VARETA
0,768
(mm)
1195,0
Tabela 4.3- Características das varetas combustlveis protótipo
utilizadas nos ensaios de vibração.
PONTO COTA (mm)
1080
944
708
472
236
0
1
2
3
4
5
6
Tabela 4.4- Definição da geometria da
vareta combustível protótipo, configurada no sistema 2515 GenRad.
76
1 ... Placa superior d e apoio.
2 ... Placa inferior d e apoio.
3 ... Sistema d e apoio, coluna guia.
Á ... Elásticos para a sustentação d a vareta ( S A N D O W ) .
5 ... Vareta combustível protótipo.
5
/////.
/////////
vista lateral
vista frontal
Figura 4.4- Arranjo da montagem da vareta combustível,
simulando a condição
(4) Estrutura
formada
espacadores
por
rígidos:
um
livre-livre.
feixe
Esta
de
estrutura
tubos
é
um
acoplados
arranjo
de
por
tubos
metálicos (simulando os tubos guia e tubo de instrumentação),
fixados por luvas em espacadores rígidos (simulando as grades
espaçadoras) distribuídos ao
longo do comprimento dos tubos,
sendo que nas extremidades encontram-se os bocais superior e
inferior.
através
chapa
tabela
A
de
fixação
oito
superior
4.5,
a
desta
estrutura
na
pinos guia, sendo quatro
do pórtico
bancada
deles
e os demais na placa
seguir, mostra
as
principais
dimensionais da estrutura utilizada.
77
é
feita
cravados
na
inferior. A
características
NÚMERO DE TUBOS
29
ALTURA DO CONJUNTO (mm)
1455
LARGURA DO CONJUNTO (mm) 220
NÚMERO DE ESPACADORES
6
Tabela 4.5- Características de montagem da estrutura formada por
um feixe de tubos acoplados por espacadores rígidos.
PONTO X (mm) Y (mm) Z (mm) PONTO X (mm) Y (mm) Z (mm)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0,0
0.0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0.0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0.0
0.0
0,0
0,0
0,0
96,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
0,0
212,0
417,0
622,0
827 ,0
1032,0
1237,0
1346,0
1477,0
1477,0
0,0
212,0
417,0
622,0
827,0
1032,0
1237.0
1346.0
1477.0
1477.0
0.0
212.0
417,0
622,0
827 ,0
1032.0
1237,0
1346,0
1477,0
1477,0
0,0
0,0
0.0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
48,0
192,0
192,0
192.0
192,0
192.0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192.0
192,0
192,0
192,0
192,0
144,0
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
192.0
192,0
192 ,0
192,0
192 ,0
192,0
192,0
192 ,0
192,0
96,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0.0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
192,0
192,0
192 ,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
192,0
0,0
212,0
417,0
622,0
827,0
1032,0
1237,0
1346.0
1477,0
1477,0
0,0
212.0
417,0
622,0
827,0
1032,0
1237,0
1346,0
1477.0
1477,0
0,0
212,0
417,0
622,0
827,0
1032,0
1237 ,0
1346 ,0
1477 ,0
1477 ,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0.0
0.0
0.0
0.0
96,0
96.0
96.0
96.0
96.0
96.0
96,0
96,0
96.0
144.0
96,0
96,0
96 ,0
96 ,0
96,0
96.0
96,0
96.0
96 ,0
48,0
Tabela 4.6- Distribuição dos pontos utilizados na discretização
da
estrutura
formada
por
um
acoplados por espacadores rígidos.
78
feixe
de
tubos
Figura 4.5- Esquema da geometria utilizada na descrição da
estrutura
composta
por
um
feixe
acoplados por espacadores rígidos.
79
de
tubos
Foram utilizados 60 pontos para descrever a estrutura
(figura
4.5, tabela 4.6) sendo seis pontos por espaçador, seis pontos
na
extremidade
extremidade
inferior
inferior
do
do
bocal
bocal
inferior,
superior
e
seis
doze
pontos
na
pontos
na
extremidade superior do bocal superior.
A
(figura
4.6)
atingindo
sistema
seqüência
demostra
assim
como
um
um
de
ensaios
a
necessidade
conhecimento
todo,
com
das
possibilitando
as
diferentes
dos
testes
estruturas
realizados,
características
identificar
nas
modais
do
FRF's
os
picos referentes a cada estrutura.
PÓRTICO
Excitação planos XY e XZ
Características modais.
BARRA DE S E Ç A O RETANGULAR
Capacitação e validação das técnicas de aquisição e análise das
FRF's coletadas.
VARETAS PROTÓTIPO
Capacitação e vaiidação do
processo de medida e a n á lise das FRF's coletadas
para varetas preenchidas.
ESTRUTURA FORMADA POR U M FEIXE DE T U B O S
ACOPLADOS POR ESPACADORES RÍGIDOS
Teste de uma estrutura similar á u t i l i zada na concepção de elementos c o m b u s tíveis de reatores nucleares do tipo
PWR.
Figura 4.6- Sequência de ensaios realizados
80
4.3- Procedimento de Aquisição e Análise
Para
a
obtenção
das
FRF's
com
sinal
transiente
utilizado o martelo de impacto, o qual produz uma força
foi
impulsiva
na estrutura. A amplitude, a duração e consequentemente
a
faixa
de freqüência do pulso foram ajustadas alterando-se a ponteira do
martelo (borracha, plástico ou metal). Utilizou-se a ponteira de
plástico, ideal para a faixa de freqüência de O a 1 KHz.
Com o martelo de impacto, foi possível excitar não só a
barra
de
direções).
seção
A
retangular,
barra
possibilitando
metálica
assim
excitador
foi
interface,
recebendo
a
mas
também
também
comparação
conectado
à
como
foi
com
barra
entrada
o
pórtico
excitada
resultados
através
um
com
sinal
de
(nas
o
três
shaker,
anteriores.
uma
puramente
haste
O
de
aleatório
("true random") gerado pelo sistema CAT 2515 GenRad.
A partir dos dados coletados através das duas
de
excitação,
foi
feita
a
análise
para
técnicas
obtenção
das
características modais da barra e do pórtico, através do programa
de
análise
características
definição
MODAL-PLUS
modais
geométrica
/38/.
Para
é necessária
da
estrutura,
a
determinação
a execução
extração
de
três
das
passos:
de
parâmetros
e
permite
a extração
de
obtenção das formas modais correspondentes.
O programa
de análise
de dados
parâmetros através de quatro técnicas distintas:
(a)
Identificação de picos: Considera cada FRF como possuindo um
grau de liberdade e ajusta em torno do pico, um polinomio de
segundo grau. Utiliza uma única FRF para análise e opera no
domínio de freqüência;
81
(b)
Exponencial
complexa:
utilizando
a
Trata
os dados
transformada
no dominio
inversa
de
temporal ,
Fourier
da
FRF
analisada;
(c)
Extração
graus
direta
de
de
liberdade
parâmetros:
para
estimar
Algorltimo
os
com
múltiplos
parâmetros
em
bandas
estreitas de freqüência, a partir de varias FRF's que tenham
uma mesma referência (mesmo ponto de excitação);
(d)
Poli-referência:
para
obter
Utiliza
um
ajuste
os parâmetros, a partir
impulsiva
(transformada
inversa
por
mínimos
de funções
de
quadrados
de
Fourier
resposta
da
domínio do tempo) de várias FRF's com até três
FRF,
no
referências
simultâneas.
Para
identificados
a
os
determinação
parâmetros
das
modais
formas
da
modais,
estrutura,
uma
o programa
vez
de
análise utiliza uma das seguintes técnicas:
(a) Resposta
na
ressonância:
Os
vetores
modais
usando um ajuste de curvas de um grau de
são
estimados
liberdade para
FRF's medidas, nas proximidades de cada ressonância
as
detetada
na estimativa dos parâmetros;
(b) Ajuste
de
quando
círculo:
representada
proximidades
de
Ajuste
em
cada
de
um
um
círculo
diagrama
freqüência
aos
dados
de
Argand,
natural
da
FRF
nas
estimada,
considerando-se um grau de liberdade;
(c) Extração direta dos parâmetros: Por esta técnica, os vetores
modais são obtidos a partir de ajuste de curva com múltiplos
graus de
liberdade, feito nas FRF's de todas as
coordenadas
de uma mesma referência;
(d) Poli-referência:
Ajuste de curva por mínimos quadrados, com
82
múltiplos graus de liberdade, para a determinação dos vetores
nas FRF's de até três referências simultâneas.
Nos
testes
realizados
com
o pórtico
e com
a barra
de
seção retangular, tanto nos ensaios com o martelo de impacto como
com o shaker, utilizou-se a técnica da exponencial
gerar
os
parâmetros
modais
(w, e
analisando
complexa para
as
FRF's
em
bandas estreitas de freqüência, com no máximo quatro picos. Para
a obtenção das formas modais da barra, referentes ao ensaio com o
shaker
(FRF's na forma de mobi1 idades), utilizou-se a técnica de
ajuste círculo com auto-vetores complexos. Para os dados obtidos
com
o
martelo
de
impacto
(FRF's
na
forma
de
acelerâncias)
a
técnica utilizada foi a de resposta na ressonância, considerando
novamente os auto-vetores complexos.
Os testes
com as varetas
combustlveis
protótipo
foram
realizados, a principio, com duas varetas: uma totalmente vazia,
sem
a
mola
de
sustentação
da
coluna
de
pastilhas
e
sem
as
pastilhas de chumbo; e outra reproduzindo a massa de uma vareta
que estivesse com pastilhas de UOj, sendo utilizadas pastilhas de
chumbo nos ensaios. A extração dos parâmetros modais em ambos os
casos foi feita através da técnica da exponencial
complexa, sendo
que não foi realizada a etapa de determinação das formas modais
pois
as
varetas
foram
ensaiadas
simulando
uma
condição
livre-
livre de fixação, e o objetivo deste ensaio especificamente era a
verificação do efeito do preenchimento da vareta nas freqüências
naturais e coeficientes de amortecimento.
Para o caso da estrutura formada por um feixe de tubos
acoplados por espacadores rígidos, foram utilizadas duas técnicas
83
de
extração
de
parâmetros:
exponencial
complexa
e
poli-
referencia, sendo a primeira destas utilizada em uma verificação
mais rápida dos valores das frequências naturais. Para a extração
de
parâmetros
gerada
uma
resposta
pela
matriz
impulsiva
técnica
de
de
pol ireferência,
correlações,
(IRF's)
inicialmente
utilizando
calculadas
as
através
funções
da
é
de
transformada
inversa de Fourier das FRF's consideradas. A partir desta matriz,
são estimadas as raízes, ou seja, as frequências e os fatores de
amortecimento
modal.
Posteriormente,
é
calculado
o
residuo
(complexo ou real) de uma das FRF's previamente selecionada. Esta
técnica se mostrou eficaz quando não se analisou, de uma só vez,
toda a faixa de frequência medida para os dados de FRF com mais
de uma referência.
Quando
se utiliza a técnica de poli-referencia
para a
obtenção dos modos, os residuos também são estimados por mínimos
quadrados,
considerando
anteriormente.
os
Nas análises
parámetros
realizadas,
modais
sempre
obtidos
foram
utilizados
residuos complexos.
A
para
serem
complexa,
principio,
previamente
foram
escolhidas
analisadas
pela
quatro
FRF's
técnica
de
coletadas
exponencial
sendo a escolha destas FRF's determinada pelo
aspecto
geral das curvas. Durante a análise destas funções, foram obtidas
diferentes
coeficiente
estimativas
de
para
os valores
cada
pico
tais
sob
análise.
pico,
e
valores eram ajustes em frequência e largura de banda para
FRF
cada
natural
tais
na
para
frequência
entretanto,
verificado
amortecimento
de
Após
se
estimar
parâmetros, averiguou-se rapidamente as formas modais utilizando
a
técnica de ajuste de circulo, objetivando a identificação
picos que realmente representavam
84
dos
modos do conjunto (e não modos
locais
nova
de
sub-estruturas),
análise
determinação
através
das
sendo
da
realizada
técnica
frequências
de
posteriormente
poli-referência
naturais,
dos
uma
para
coeficientes
de
amortecimento e das formas modais.
Uma vez de posse das estimativas
frequência para os modos do conjunto,
refinada
iniciais da faixa de
iniciou-se a análise
mais
(pol i-referência) para as FRF's relativas a dois pontos
distintos
de
excitação
estrutura
foram
utilizado
em
Assurance
Critérium"),
(16X+
verificados
análise
e 43X+).
através
modal,
sendo
Os modos
de
denominado
este
um
critério
MAC
baseado
obtidos
amplamente
/39,40,41/
nas
para a
("Modal
propriedades
de
ortonormalidade entre os modos. Tal verificação se fez necessária
principalmente para os modos de ordem mais elevada, onde a forma
modal não estava perfeitamente definida.
A metodologia de análise e obtenção das características
modais
de
através
estruturas
de
combustíveis
formadas
espacadores
utilizados
em
por
rígidos
reatores
feixes
de
(similares
PWR)
se
tubos
a
mostrou
decorrer das análises desenvolvidas, podendo ser
acoplados
elementos
eficaz
estendida
no
para
outros componentes de centrais nucleares, ou outras concepções de
elementos
combustíveis, necessitando
então
a
realização
de
sequência de ensaios similar à descrita acima para validação
processo.
85
uma
do
5- RESULTADOS
Com
o
intuito
inicial
de
validar
as
técnicas
experimentais desenvolvidas, foi realizada uma modelagem
teórica
do sistema barra-pórtico, utilizando para tanto o programa ANSYS
de
elementos
finitos.
Tal
modelagem
forneceu
valores
para
as
frequências naturais do pórtico (tanto no plano XY, como no plano
transversal
YZ)
e
da
barra
, sendo
esta
considerada
como
bi-
engastada. Os resultados obtidos para as frequências naturais do
pórtico e da barra são mostrados na tabela 5.1.
A
retangular
foi
excitação
sinal
análise
em
exponencial
uma
selecionadas,
confirmados
FRF
realizou-se
dos
como
dos
modos
do shaker
Para
cada
da
prévia
foi
estrutura.
característicos,
o
formas
critério
possível
a
MAC,
de
e
correta
estes
realizou-se
de
frequências
das
Para
picos
técnica
das
a
FRF's,
dos
da
seção
com
de 42
inicial
uma
de
coletadas
(total
utilizado
resultados,
barra
através
verificação
foi
a
funçSes
(7X+/7X-)
uma
Também
as
para
identificação
/38/.
combinação
identificação
uma
dada
associadas.
da
através
Fez-se
complexa
coletadas
utilizando
sendo aplicada
observados
através
FRF's
iniciada
randomico).
vibração
das
picos
novamente
a
extração das formas modais utilizando uma técnica de ajuste mais
refinada, a técnica de ajuste de círculos
("Circle Fit",
/38/);
podendo visualizar as formas modais resultantes na figura 5.1. O
método
utilizado
para
obtenção
das
frequências
naturais
e
coeficiente de amortecimento associados, analisa uma FRF por vez,
logo, foram obtidas seis estimativas para as frequências naturais
e
respectivos
coeficientes
de amortecimento, uma
vez que
analisadas todas as seis FRF's coletadas nesta etapa.
86
foram
o procedimento de análise foi repetido para a barra de
seção
retangular,
para
excitação transiente
sendo
FRF's
estimativas
com
a
aquelas
coletadas
utilizando
a
(total de 49 funções coletadas, sete destas
pontuais).
distintas
excitação
FRF's
Foram
para
sendo
os
obtidas
desta
parâmetros
modais
transiente
e
seis
forma,
da
com
barra
a
treze
(sete
excitação
randômica). A tabela 5.2 mostra os valores resultantes do ensaio
para a frequência e coeficiente de amortecimento de cada um
modos identificados.
PÓRTICO
PLANO X
55,4
197 .0
521 ,0
587 .0
686 ,0
PÓRTICO
PLANO YZ
20,7
61 ,3
191 ,2
308,0
BARRA
(X)
33,8
93, 1
183,0
302,0
452,0
632,0
Tabela 5.1- Frequências naturais (Hz) do pórtico e da barra
de
seção
retangular
ANSYS.
87
calculadas
com
o
programa
dos
F-h.ker
(HZ)
36,4
99,3
194,2
335.0
500.1
696
Enartelo
^shaker
(Hz)
± 0,7 0,038 ± 0,008
36,4 ± 0,1
± 0,5 0,015 ± 0,003
99,9 ± 0,3
± 0,5 0,010 ± 0,004 195,0 ± 0,6
± 0,6 0,0044 ± 0,0003
335 ± 1
± 0 , 2 0,0035 ± 0.0004
499 ± 1
± 9
0,016 ± 0,009
701 ± 9
^martelo
0,007
0,014
0.013
0,006
0,006
0,04
±
±
±
±
±
±
0.003
0,006
0,007
0,002
0.001
0.01
VALORES MÉDIOS GLOBAIS
FREQUÊNCIA
36.4
100,0
195.0
335
499,6
698
±
±
±
±
±
±
(Hz)
AMORTECIMENTO
0,02
0,015
0.012
0,005
0.005
0,03
0.4
0.5
0,6
1
0.9
9
±
±
±
±
±
±
Ç
0.01
0,004
0,006
0,001
0.001
0.01
Tabela 5.2- Valores finais para a freqüência e coeficiente
de amortecimento
dos
seis
primeiros
modos
de
flexão da barra de seção retangular.
A
forma
das
curvas
de
função
resposta
em
frequência,
medidas para o caso da barra de seção retangular, é exemplificada
através das figuras 5.2 e 5.3; podendo-se identificar com clareza
os picos ressonantes.
88
N
N
X
•»-1
o
ro
1^
n
ID
N
X
N
X
m
ru
nj
m
m
ce
en
o
o
N
X
N
X
eu
m
O)
m
in
m
m
y
Figura 5.1- Formas modais obtidas para a barra,
89
UJ
<
CLUJ
UJ
tx
o
o
I
o
m
tn
o
I
n
X 1
CJX
a
+
LUXX
xoto
z
<
2:
OJ
CO
03
M
o
o
o
X
m
a
LU
5:
Figura 5.2- Gráfico da FRF (6X+/6X-) medida para a barra,
via excitação transiente.
90
rl—*~r1-4—1l—1— L 1
J
(
J
(
—^
f
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<
CJ
k.
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cr
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1
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o
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UJ
Q
O
CD
m
I
X 1
U.\ID
+
UJXX
soto
CO
a
UJ
ac
u.
2:
Figura 5.3- Gráfico da FRF (6X+/6X-) medida para a barra, via
excitação randômica.
91
Após
a
análise
o
pórtico
coletadas
para
excitação
aplicada
tanto
da
barra
(total
na
de
barra
,
74
analisaram-se
FRF's
como
no
as
medidas,
próprio
FRF's
sendo
a
pórtico,
através do martelo de impacto). Foi aplicada a mesma metodologia
de análise para se obter as características modais (tabela 5.3) e
respectivas formas modais associadas (figura 5 . 4 ) .
Freq, (Hz)
e
FRF
DIREÇÃO
20,56
35,98
71 ,01
118,88
148,67
205,43
265,69
330.26
362,34
0.02001
0,01490
0.01970
0,01633
0.00994
0,01281
0,00530
0,01591
0,01674
15Z-/15Z15X-/6X15Z-/5X15Z-/5X15Z-/5X17Y+/17Y+
17Y+/17Y+
15Z-/15Z17Y+/17Y+
YZ
XY
YZ
YZ
YZ
XY
XY
YZ
XY
Tabela 5.3- Valores das frequências naturais do pórtico.
\
3 5 . 9 8 1 HZ
S 0 . 5 5 5 HZ
265.693 Hl
3 3 0 . 2 5 6 Hz
Figura 5 . 4 - Formas modais obtidas para o pórtico.
92
2 0 5 , 4 3 0 Hz
As
utilizando
varetas
combustíveis
excitações
protótipo
transientes, aplicadas
foram
através
testadas
do
martelo
de impacto.
Inicialmente, foi
realizado o ensaio com a vareta
preenchimento, ou seja, somente o tubo de revestimento
com
sem
suas
extremidades seladas por tampões. A fim de comparar os resultados
experimentais
suporte
e verificar
livre-livre,
a validade da utilização do modelo de
foram
calculadas
as
frequências
naturais
/42/ da estrutura (tabela 5 . 4 ) , através de:
0).
= (k,)'
EI
(rad/s)
(5.1)
- m L*
com
I ... momento de inércia.
L ... comprimento da vareta.
m ... massa por unidade de comprimento.
E ... módulo de elasticidade do material.
Foram
dos
ensaios,
sendo todas analisadas segundo a técnica de exponencial
complexa
para
a
obteve-se
coletadas
extração
o
valor
de
seis
FRF's
parâmetros;
médio
de
nesta
posse
representativo
coeficiente de amortecimento dos
etapa
destas
para
a
estimativas
frequência
seis primeiros modos da
e
vareta
oca (tabela 5.4).
A
figura
5.5
mostra
a magnitude
e a
fase
de uma
FRF
coletada, ficando claro o efeito de pequena distorção no formato
da curva devido ao fato da excitação ter sido aplicada através do
martelo de impacto; por outro
lado, fica nítida a
dos picos ressonantes para análise.
93
identificação
(k.)
MODO
F.eor..
37.6
102
200
332
500
698
928
40,45
111 .50
218,58
361.33
539.77
753.89
4.73
7.85
10,99
14.14
17,28
20.42
1
2
3
4
5
6
7
(Hz)
(Hz) Fexperimesto
±
±
±
±
±
±
0.5
1
1
2
2
4
X
^experla leaio
0,0043
0.007
0,002
0.0015
0.0016
0,0013
0,0011
0.0009
0,004
0.001
0.0006
± 0,0006
± 0.0003
4- 0,0002
±
±
±
±
Tabela 5.4- Comparação entre os valores teóricos e experimentais
para as
frequências
naturais
da vareta
combustível
protótipo, sem o preenchimento.
ACEL.2/TRANSD.FORCA
1
0.0
i
DEGREES
1
1
u
-360
r
V \
J
,—
5000 :
ME TF
LOG
CH 2/CH 1
1X+/1XM/S2/N
MAG
0.5000 i
FREQ (HZ):
0.0
LIN
3B. 00
MAG:
FREQ (HZ)
297.3
1024
PHASE:
Figura 5.5- Gráfico da FRF medida para a vareta sem o
preenchimento
(1X+/1X-).
94
-315.2
No
caso
da
vareta
combustível
protótipo
(com
as
pastilhas de chumbo), o objetivo consistía na verificação do fato
de que o preenchimento atua como massa distribuida na vareta, não
contribuindo para a rigidez do sistema. Calculou-se a frequência
dos
dois
primeiros
modos
/42/,
considerando-se
a
rigidez
da
vareta (El) igual à do tubo de revestimento, com sua massa total
distribuída ao
efeito
de
pastilhas
longo de seu comprimento.
comparação,
de
chumbo
visando verificar
três
com
varetas
alturas
Foram utilizadas, para
distintas
de
10,
20
preenchidas
e
com
30
milímetros,
o efeito da altura da pastilha no
coeficiente
de amortecimento.
Através da análise das FRF's coletadas, constatou-se o
fato de que
muito
o preenchimento
grande
nos
modos
de
das
ordem
varetas
causa
superior
a
um
amortecimento
três,
podendo
tal
efeito ser visualizado diretamente através do formato das curvas
de
FRF
(figuras
5.6
a
5.8). A
tabela
5.5
mostra
os
valores
obtidos para a frequência e coeficiente de amortecimento dos dois
primeiros modos de flexão da vareta, para os diferentes tipos de
preenchimento.
alteração
limite
através
desta,
que
não
ocorre
significativa nos valores de frequência, entretanto, o
coeficiente
altura
Verifica-se
da
de
amortecimento
pastilha
onde
aumenta,
ter-se-ia
um
do
modo
tendendo
único
bloco
diminui
a
de
se
à
medida
aproximar
chumbo
a
caso
preenchendo
vareta, sendo o amortecimento controlado por tal bloco.
95
do
que
a
MODO F t . o r . . C H z ) h(mm)
FexperiBental ^ ^ Z )
^ e z p e r I Blental
1
18.76
10
20
30
21 .4 ± 0,1
21 , 10 ± 0 . 0 5
21 ,8 ± 0.2
0,013 ± 0,004
0,011 ± 0,001
0,009 ± 0,001
2
51 ,73
10
20
30
54,6 ± 0,9
53.8 ± 0,6
52.8 ± 0,8
0,07 ± 0,02
0,060 ± 0,004
0,056 ± 0.004
Tabela 5.5- Valores teóricos e experimentáis para os dois
primeiros
modos
protótipo.
da
variando
a
vareta
altura
combustível
das
pastilhas
utilizadas no preenchimento.
Para
realizados
a
com
análise
a
das
estrutura
FRF's
formada
coletadas
por
um
nos
feixe
ensaios
de
tubos
metálicos acoplados por espacadores rígidos, utilizou-se a faixa
de
frequência
altas
de
O
a
511
H z , visto
que para
frequências
seria necessário um mapeamento da estrutura
mais
com um número
de pontos maior.
Inicialmente
para a verificação
foram
utilizadas
quatro
FRF's
inicial dos picos existentes, a saber:
16X+/16X+ (0-115 H z , 120-280 H z , 298-511 Hz)
43X+/43X+ (0-300 H z , 250-400 Hz)
3X+/43X+
distintas
(300-511 Hz)
46X+/43X+ (0-280 H z , 250-511 Hz)
96
<
u
CE
O
U.
Ó
CO
O
o
X 1
ax
z
1- c\j-\ cu
+ co
UJXX
S CJ-r^ 2:
<
2:
C3
UJ
ce
Figura 5.6- Gráfico da FRF 1X+/1X-, utilizada na análise da
vareta combustível protótipo, pastilhas de lOmm
â7
T-1
X 1
o x
+
UJXX
cu
o
<
\
OJ
U3
\
o
M
X
C3
UJ
ÍX
U-
Figura 5.7- Gráfico da FRF 1X+/1X-, utilizada na análise da
vareta combustível protótipo, pastilhas de 20mm
98
o
•
o
UJ
O
o
en
o
o
IT)
•
O
CD
<
CLUJ
UJ
OC
CD
UJ
1
.
CD
O
_J
o
o
o
CD
X 1
a x
U.\'ri
1- C M \
Q
+
<
\
OJ
co
in
o
X
C3
UJ
X
u.
UJXX
Figura 5.8- Gráfico da FRF 1X+/1X-, utilizada na análise da
vareta combustível protótipo, pastilhas de 30mm,
99
De posse da estimativa da faixa de freqüência para os
picos correspondentes a modos do conjunto, repetiu-se o processo
de
análise
excitação
utilizando
aplicada
a
aos
técnica
pontos
de
16X+
poli-referencia,
e
43X+.
Para
sendo
confirmar
a
os
modos da estrutura, utilizou-se o critério MAC em conjunto com a
vizualização das formas modais.
Devido
ao
simétricas
e
flexão
conjunto
torção,
do
fato
de
assimétricas,
conforme
foram
testado,
mostra
a
se
ter
utilizado
obtidos
como
tabela
também
5.6,
não
só
os
aqueles
sendo
as
excitações
modos
referentes
formas
de
à
modais
obtidas mostradas nas figuras 5.9 à 5.15.
FezperImental
79,6
98.5
153
183
276
311
477
Tabela 5.6- Modos
±
±
±
±
±
±
±
(Hz)
0.1
0.2
1
1
3
3
9
Observação
CezperInental
0.026
0.017
0.022
0.025
0.010
0,017
0,011
identificados
±
±
±
±
±
±
±
0,003
0,003
0,005
0,05
0,001
0,005
0.003
para
1'
1»
2"
2'
3'
3"
4»
a
flexão
torção
flexão
torção
flexão
torção
flexão
estrutura formada por
um feixe de tubos acoplados por espacadores rígidos.
100
79.662 HZ
form»**
i'^«^'^
fei^e de tubos
101
9 8 . 5 1 2 Hz
Figura 5.10- Forma modal para a 1" torção da estrutura formada
por um feixe de tubos com espacadores rígidos (poli
referência).
102
i5e
V03
1 8 2 . 6 6 0 Hz
Figura 5.12- Forma modal para a 2" torção da estrutura formada
por um feixe de tubos com espacadores rígidos (poli
referência).
104
2 7 6 . 5 5 4 Hz
Figura 5.13- Forma modal para a 3" flexão da estrutura formada
por um feixe de tubos com espacadores rígidos (poli
referência).
105
3 1 1 . 4 4 6 Hz
Figura 5.14- Forma modal para a 3" torção da estrutura formada
por um feixe de tubos com espacadores rígidos (polireferência).
106
4 7 7 . 3 6 3 Hz
Figura 5.15- Forma modal para a 4' flexão da estrutura formada
por um feixe de tubos com espacadores rígidos (poli
referência).
107
A primeira etapa de análise das FRF's foi realizada na
faixa de baixas frequências (0-511 H z ) , sendo em seguida avaliada
a região de altas frequências (512-1024 H z ) , utilizando a técnica
de exponencial
respectivos
complexa para extração das frequências de pico e
coeficientes
de
amortecimento.
Através
da
visualização de diferentes FRF's coletadas, figuras 5.16 a 5.20,
nota-se
a
vibração
do
estruturas
afirmar
de
conjunto,
picos
sendo
que
não
correspondem
possíveis
modos
a modos
locais
de
de
sub-
(espacadores ou tubos). Entretanto, só seria possível
tal
componente
outro
existência
hipótese
do
fator
rea 1izando-se
conjunto,
a
ser
mantendo
a
sua
considerado
é
análise
situação
que
modal
com
cada
de
montagem.
Um
para
melhorar
a
caracterização do comportamento da estrutura em altas frequências
é
necessário
um
aumento
no
número
resposta.
108
de
pontos
de
coleta
de
í-tD +
U}
LÜItD
S
X
Figura 5.16- Gráfico da FRF (16X+/16X+), utilizada na
análise da estrutura formada por um feixe
de tubos acoplados por espacadores rígidos,
em baixas frequências.
109
Figura 5.17- Gráfico da FRF (43X+/43X+), utilizada na
análise da estrutura formada por um feixe
de tubos acoplados por espacadores rígidos,
em baixas frequências.
110
Figura 5.18- Gráfico da FRF (52X-/43X+), utilizada na
análise da estrutura formada por um feixe
de tubos acoplados por espacadores rígidos,
em altas frequências.
Ill
•i
i
>
<
o
—?
-•
a
S
>
<
tr
f
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UJ
u
o
o
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o
CD
en
I
cr
H-cn
CJ
UJ
I
X
ujxtn
a
5: uin
co
^
s
z
Figura 5.19- Gráfico da FRF (53X-/43X+), utilizada na
análise da estrutura formada por um feixe
de tubos acoplados por espacadores rígidos,
em altas frequências.
112
Figura 5.20- Gráfico da FRF (54X-/43X+), utilizada na
análise da estrutura formada por um feixe
de tubos acoplados por espacadores rígidos,
em altas frequências.
113
6 - CONCLUSÕES
Uma
modal
metodologia
experimental
elementos
foi
combustíveis
de
ensaios
aplicada
utilizados
a
e
de
técnicas
uma
de
estrutura
análise
similar
em reatores nucleares do
a
tipo
PWR.
Foram
procedimentos
estudadas
de
análise,
e
que
desenvolvidas
em
conjunto
com
técnicas
um
e
programa
de
testes com diferentes estruturas possibilitaram a qualificação do
processo.
Duas
frequência
técnicas
de
medição
das
funções
resposta
em
(FRF's) foram empregadas. Uma com o martelo de impacto
(excitação
transiente)
e
outra
com
um
shaker
(excitação
randômica). A excitação com o shaker se mostrou mais repetitiva e
independente do operador, embora seja menos versátil e tenha sido
notada
alguma
influência
do
análise, apresentando uma
e
aumento
nos
fatores
próprio
de
de
estruturas
nos
resultados
ligeira queda nas frequências
amortecimento
estruturas com pequena massa. Tal
ensaio
shaker
cuja
quando
do
da
naturais
teste
com
tendência desaparece quando do
relação
(massa
shaker)/(massa
estrutura) diminui.
A
permitiu
o
exponencial
técnica
de
resultados
técnica
melhor
de
ajuste
complexa.
(velocidade/força),
melhores
na
dos
(aceleração/força).
ás
Para
resposta
quando
extração
curvas
a
FRF's
obtenção
das
ressonância
ajustes
Para
a
imediata
técnica
as
de
com
de
parâmetros
medidas
formas
forneceu
medidas
medidas
ajuste
de
foi
com
circulo
a
modais,
os
de
que
da
a
melhores
inertância
mobilidades
apresentou
resultados. Para estruturas complexas como é o caso de
114
elementos combustíveis, é recomendável
seja
feita
na
forma
de
que a aquisição das FRF's
mobilidade,
sendo
estas
funções
mais
adequadas para a análise em baixas frequências.
Os
que
as
valores
ensaios
com
respectivas
previstos
a barra
de
frequências
por
seção
retangular
naturais
modelagens
estão
analíticas
mostraram
próximas
dos
(situação
bi-
engastada), apresentando um desvio relativo na faixa de 6 a 10%.
O
coeficiente
vibração
de
amortecimento
da barra
apresentou
obtido
uma
para
o primeiro
incerteza muito
modo
de
alta devido
à
influência da massa do shaker nas medidas. Para os modos de ordem
mais
elevadas, as
amortecimento
altas
são
incertezas
funções
do
obtidas
número
nos coeficientes
limitado
de
pontos
de
de
resposta utilizados no ensaio, necessitando-se de mais pontos de
resposta
para
melhor
caracterização
da
barra
em
altas
das
FRF's
frequências.
A
medidas
influência
para
as
demais
experimentalmente
características
acarreta
em
do
a
pórtico
nos
estruturas
foi
condição
de
suficientemente
uma
pequena
resultados
avaliada.
que
o
rígidas
pórtico
(direção
X),
regiões
o
que
altas
frequências, onde a grande densidade modal das estruturas
impede
com um número
nas
possui
de
uma análise confiável
interferência
Comprovou-se
limitado de pontos de coleta
de resposta.
Nos
ensaios
realizados
as
preenchidas
(alturas de
10, 20 e 30 m m ) , o preenchimento
como
uma
diferentes
varetas
protótipo,
efetivamente
com
com
massa
combustíveis
pastilhas
adicionada
de
das varetas
á
aumento
do
coeficiente
de
amortecimento
11§
de
atuou
estrutura,
contribuindo para a rigidez da mesma. Este preenchimento
um
chumbo
cada
não
causou
modo
das
varetas,
principalmente
para
os
modos
de
ordem
mais
elevada
parâmetros
modais
(maiores frequências).
Os
valores
identificados
aproximaram
obtidos
para
dos
as
valores
para
os
varetas
combustíveis
teóricos,
apresentando
protótipo
desvios
se
de
14%
para a frequência natural do primeiro modo (21Hz), e de 4% para o
segundo
modo
(54Hz).
amortecimento
O
preenchimento
extremamente
das
atuante,
varetas
tornando
causa
um
difícil
a
identificação dos modos de ordem superior a dois.
Para o caso de estruturas complexas, como é o caso do
feixe
de
tubos
imprescindível
coleta
de
vários
para
aliando-se
que utilizem
graus
referêncía
modais
utilização
resposta
estrutura,
análise
a
acoplados
de
devem
ser
como:
nível
estrutura
estrutura,
a
grande
o
uma
a
é
parâmetros
tomados a fim de caracterizar
de
sob
ruído
extremamente
ensaio,
correta
nível
caracterização
da
de
e
de
da
técnicas
e
cuidados
de
das
poliformas
experimentais
perfeitamente
tipo
de
(FRF's) com
técnica
modais
baixo,
real
discretização
de
de curvas
caso
processo,
de
é
pontos
aplicação
o
rígidos,
número
boa
de ajuste
como
dos
todo
um
fato
processos
Em
espacadores
obter
tal
extração
associadas.
de
se
liberdade,
para
por
de
fixação
excitação
transdução
condiçSes
aplicado
dos
da
á
sinais
coletados.
Após os ensaios realizados com as diversas estruturas,
ficou qualificado e caracterizado um procedimento de extração das
características
modais
de
estruturas
similares
à
elementos
combustíveis utilizados em reatores nucleares do tipo PWR, sendo
que os resultados obtidos (frequências naturais, coeficientes de
amortecimento
e
formato
dos
modos)
116
poderão
ser
aplicados
diretamente
nas
componentes,
análises
visando
a
dinâmicas
segurança
e
efetuadas
o
melhor
com
tais
desempenho
destas
centrais,
O
modelo
modal
([w,],
[Ç,]
e
[<|>1)
obtido
para
a
estrutura formada por um feixe de tubos acoplados por espacadores
rígidos
servirá
também
para
bem como para alimentar
qualificar
o programa
ELCOM
o modelo dinâmico de análise
/5,6/,
estrutural
de elementos combustlveis de reatores do tipo PWR, programa STYCA
/7/.
Atenção
deve
ser
dada
ao
fato
de
que
a
metodologia
desenvolvida, além de gerar as matrizes de frequência natural
e
formato dos modos, também gera a matriz de amortecimento modal,
sendo esta não obtida através de modelos simplificados
(estáticos
ou dinâmicos).
Todos
para
os
trabalhos
características
do
fluido
trabalho
testes
foram
futuros
o
amortecedoras
refrigerante
experimental
processos
envolvidos
à
que
no
realizados
estudo
estrutura,
bem
possibilite
a
de
ar,
mais
introduzidas
fenômeno
no
sugerindo-se
detalhado
pela
adição
como
o
melhor
vibrações
das
da
inicio
massa
de
um
compreensão
dos
induzidas
por
fluido, característico da operação de reatores nucleares. Sugerese
também,
temperatura
espaçadoras,
uma
nas
parametrização
características
como
dos
experimental
de
elementos
rigidez
do
tanto
combustlveis,
diretamente as frequências naturais destas estruturas.
117
efeito
das
da
grades
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121
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Thrane,
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122
APÊNDICE - 1
TRANSFORMADAS DE LAPLACE E FOURIER
(1) Propriedades da Transformada de Laplace:
CD
F(s) = £íf(t)} =
e-»» f(t) dt
(Al.1)
sF(s) - f(0) = !P{f'(t))
(Al.2)
s*F(s) - sf(0) - f'(0) = 2{f"(t))
(Al.3)
- F(s) = í
s
f(x) dx
(Al.4)
F(s - a ) = ¡Díe"» f(t)}
F(s) = e í f ( t
f(»)(s)
- b)}
(Al.6)
f(t)l
(Al.7)
= 2{(-t)»
CO
F(x) dx = 2
F,(s) F^is) = 2
— f
2ni
(Al.5)
f(t)
1
fj(t-z) f(z) dz
e-» F(s) ds = f(t)
J
•y-ioD
123
(Al.8)
(Al.9)
(Al.10)
(2) Propriedades da Transformada de Fourier:
H(f) =
h(t) e-'^'* dt
(Al.11)
Híf) e'*"" df
(Al.12)
-CD
»03
h(t) =
-«3
1
t
h (-) =
|k|
k
«CD
H(kf) e'^'* df
(Al.13)
h(t-t„) e-'2"'* dt
(Al.14)
-CD
•KD
e-izníio
H(f) =
J
-00
•K»
I
H(f-fo)
e'*"'* dt =
e'2"*'o
h(t)
(Al.15)
-OD
H ( t - T ) X ( T ) e'^'T
H(f)X(f) =
-00
124
(Al.16)
APÊNDICE - 2
SINAIS RANDÔMICOS
A resposta de um sistema dinâmico a uma dada excitação
randômica é também um fenômeno randomico, sendo este descrito em
termos
de certas médias, de
forma que a excitação
e a
resposta
sejam descritas em termos de probabilidades de ocorrência.
Um histórico temporal
individual
x^Ct), descrevendo um
fenômeno randomico é denominado função amostra, com a variável x^
sendo
denominada
históricos
variável
temporais
randômica.
que
possam
O
conjunto
resultar
do
de
todos
experimento
os
é
conhecido como processo randomico ou estocástico, sendo denotado
por
íx^ít)}.
Assumindo um determinado processo randomico formado por
n funções amostra x^ít), k=l,...,n,; o valor médio do processo no
instante t=t^, é:
Uk(t,) = Lim
B-MD
Outro
valores
tempo
-
>
x^ít)
tipo de média é obtido
instantâneos
das
funções
(tj e t^+r) , dividindo
(A2.1)
n
somando-se o produto dos
amostra
em
dois
instantes
o resultado pelo número de
de
funções
amostra. Obtém-se assim o valor esperado, denominado função autocorrelação, sendo dado por:
D
R,,(ti,ti+T)
= Lim -
Xk(t) Xk(tj+T)
>
k =l
125
(A2.2)
As médias obtidas anteriormente, em geral, requerem um
grande
número
possível
de
obter
correlação
funções
o
amostra,
mesmo
valor
para um processo
função amostra
mas
médio
sob
e
randomico
a
certas
condições,
mesma
função
{x^(t)), usando uma
é
autoúnica
"representativa" e calculando a média no tempo t.
Estas médias temporais são dadas por:
T/2
1
U k ( k ) = Lim T-XD T
r
x^(t) dt
(A2.3)
- t J/ 2
T/2
1
R „ ( k , T ) = Lim
T-KD
x^Ct) x^ít+T) dx
-
(A2.4)
T
-t/2
Caso o processo randomico
o
valor
R,,(k,T)
Xk(t)
da
média
sejam
sobre
temporal
iguais,
o
qual
u^Ck)
{x^(t)} seja estacionário, e
e
da
função
independentemente
estas
médias
são
do
auto-correlação
histórico
calculadas,
temporal
diz-se
que
o
processo é ergódico. Para tais processos, vem:
u,(k)
A
hipótese
amostra
= u, = cte.
de
para
randomico ao
função
e
ergodicidade
calcular
R„(k,T) = R „ ( T )
permite
as
médias
o
que
invés de se ter que usar
amostra
escolhida
deve
uso
de
(A2.5)
uma
descrevem
única
o
função
processo
todo o conjunto. Logo, a
representar
o processo
randomico
inteiro. Em vista deste fato, o índice k que identifica um dado
histórico temporal pode ser ignorado.
A função auto-correlação fornece informação relativa às
propriedades
de
uma
variável
randômica
126
no
domínio
temporal.
A
função
densidade
espectral
de
potência
fornece
informações
similares no domínio de frequência.
Seja
a
função
amostra
f(t) de um processo
randomico
ergódico ífCt)}. Define-se a sua função auto-correlação como:
T/2
1
R„(T)
r
= Lim -
f(t) f ( t + T ) dt
(A2.6)
T J
T-X»
-T/2
A função densidade
de potência, S , , ( ( i ) )
espectral
a transformada de Fourier de
é definida
como
R,,(T):
00
1
S„(w) =
R,,(T)
©-'«^"^ d T
(A2.7)
e-'"T
(A2.8)
2n
-OD
00
ou
R,,(T)
=—
I
2n
=
-
S,,(Q)
r
2n J
-00
Definições
similares
podem
ser aplicadas
a um par de
funções amostra, x(t) e f ( t ) , de um processo ergódico, de forma a
gerar
as funções
correlação
cruzada
e a densidade
espectral
de
potência associada, isto é:
T/2
R,,(T)
=
Lim
1
-
T-M¡)
T -T/2
x(t) f ( t + T ) dt
(A2.9)
00
1
S,,(a)) =
r
—
2n J
RXÍ(T)
e-"^ dr =
-CD
127
S,;(Ü)
(A2.10)
Partindo-se
R„(T)
para
um
matemáticas,
sinal
é
correspondente
da
de
definição
resposta
possível
para
a
da
função
x ( t ) , através
descrevè-la
excitação,
expresso na forma de uma integral
auto-correlação
em
de
manipulações
termos
R,,(T),
da
sendo
o
função
resultado
tripla. Entretanto, esta mesma
expressão pode ser transformada para o domínio de frequência, via
transformada de Fourier, resultando:
S„(u) = |H(co)|2 S„(u)
(A2.11)
Esta equação não fornece uma descrição completa das condições do
processo randomico. Também é notado que tal relação não pode ser
utilizada para determinar as curvas de FRF a partir dos sinais de
excitação
e
resposta,
fornecendo
apenas
informações
sobre
a
magnitude de H C w ) . Uma outra equação pode ser derivada através de
um procedimento similar para a função correlação cruzada entre os
sinais
de
excitação
e
resposta;
sendo
que
no
domínio
de
frequência vem:
S,,(u) = H(u) S,,(u)
ou
A
situações
S„(co) = H(o)) S,,((o)
análise
nas
auto-espectro
de
descrita
quais
simultaneamente,
correlacionadas
(A2. 12)
ou
acima
várias
(A2.13)
pode
ser
excitações
sejam
independentemente
do
não
análise
entre
si. Tal
todas as excitações, mas
estendida
fato
espectros cruzados. A equação geral para a relação
128
aplicadas
de
envolve
também
os
para
estarem
não
s6 o
respectivos
entrada/salda
é expressa por:
[S„(ü)] = [S„(ü)] [H(ü))l
As equações
método
que
determine
(A2.14)
(A2.12) e (A2.13) fornecera a base para um
as
FRF's
do
sistema
mecânico
a partir
de
medidas e análise de testes utilizando excitação randômica. Desta
forma vem:
S,,(G,)
H,(w) =
(A2.15)
S„(w)
(A2, 16)
H,(u) =
S„((.)
Pelo
fato
derivação
das
estas
sejam
não
duas
de
se
ter
analisado
estimativas
idênticas.
para
diferentes
H í u ) , deve-se
Expressa-se
o grau de
sinais
esperar
na
que
diferenciação
existente entre tais grandezas através de uma relação
denominada
coerência ou função coerência, sendo dada por:
Hi(u)
>2 =
i 1 ,0
(A2. 17)
H,((o)
Caso o ensaio seja perfeito, a coerência é igual a um,
sendo
esta
a
condição
ideal.
Porém,
diferente da unidade, sendo necessário
fontes
de
interferência
e
então
a
coerência
estabelecer
determinar
a
as
forma
pode
ser
eventuais
correta
da
FRF, para a partir desta gerar com segurança os parâmetros modais
desejados.
129
APÊNDICE - 3
CARACTERÍSTICAS DOS ENSAIOS
Os acelerômetros utilizados nos ensaios foram numerados
de 2 a 8 e o transdutor de força foi associado ao número 1. Tais
associações
entre
numéricas
transdutor
e
possibilitaram
canal
transdutores utilizados
para
o
caso
do
de
aquisição.
são mostradas
transdutor
a
de
correspondência
As
direta
características
dos
na tabela A3.1 ; sendo
que
força,
foram
utilizados
transdutores distintos: um acoplado ao martelo de impacto
dois
(1,000
pC/m/s*) e outro acoplado ao shaker (4,14 pC/m/s^).
Transdutor
Sensibilidade
(pC/m/s^)
1,000 ou 4,14
0,986
1 ,007
1 ,001
1 ,004
1 ,005
1 ,012
1 ,002
TFl
AC 2
AC3
AC4
AC5
AC6
AC7
AC8
Tabela A4.1- Característica dos transdutores utilizados
no ensaio.
Nos
retangular
primeiros
e
características
com
de
o
testes
realizados
pórtico,
regulagem
nos
com a barra de
utilizaram-se
amplificadores
as
de
seção
seguintes
carga
e
no
sistema GenRad (gerador de sinais):
(a) Barra de seção retangular:
Excitação: Transiente, via martelo de impacto (1 massa, ponta
plástica), ponto 6, direção X, sentido negativo.
130
Faixa de freqüência de O a 1024 Hz (análise).
Número de médias igual a 30.
Tipo de janelamento: retangular
Acelerem.: Ganho = 10 mV/m/s* (100 mV/m/s*)
Filtro passa baixa = 2 Hz
Filtro passa alta = 1 KHz
Fundo de escala nos canais = 8 V ( 4 V ).
Posição dos Acelerômetros:
1X+,2X+,3X+,4X+,5X+,6X+,7X+
8X-,9X-.10X-,11X-,12X-,13X-,14X28X+,27X+,26X+,25X+,24X+,23X+,22X+
(b) Pórtico:
Excitação: Transiente,
ponta
via
plástica),
martelo
de
impacto
(2
massas,
ponto
15,
direção
Z,
sentido
negativo.
Faixa de freqüência de O a 1024 Hz (análise).
Número de médias igual a 30.
Tipo de janelamento: retangular.
Acelerem.: Ganho do transdutor de força = 3,16 mV/m/s*
Ganho dos acelerômetros = 100 mV/m/s^
Filtro passa baixa = 2 Hz
Filtro passa alta = 1 KHz
Fundo de escala: TF = 8V, AC = 4V.
Posição dos acelerômetros: 8Z-,9Z-,lOZ-,11Z-,12Z-,13Z-,14Z15Z-,16Z-,17Z-,18Z-,19Z-,20Z-,21Z22Z- ,23Z-.24Z-,25Z-,26Z-,27Z-,28ZMantendo as demais características, alterou-se ainda o ponto
de excitação e os pontos de coleta de resposta para:
Excitação: ponto 17, direção Y, sentido negativo.
131
Posição dos acelerômetros:
22X+,23X+,24X+,25X+,26X+,27X+,28X+
15Y+,16Y+,17Y+,18Y+,19Y+,20Y+,21Y+
8X-,9X-,lOX-,IIX-,12X-,13X-,14X15X-,21X+.
Repetiram-se
impacto
como
excitando um
fonte
a um
as
medidas
excitadora
todos os
realizadas
da
barra
sete pontos
com
de
o
martelo
seção
de
retangular,
discret izados para
esta
estrutura, obtendo assim 49 FRF's dado que são sete os pontos de
coleta de resposta.
Em
seguida,
inicializou-se
a
etapa
de
medição
utilizando o shaker como fonte excitadora. Os sinais de resposta
não
foram
tomados
velocidades,
na
forma
realizando
de aceleração
para
tanto
uma
e sim
como
integração
sinais
de
eletrônica
através dos amplificadores de carga de cada canal de resposta. As
FRF's obtidas se apresentaram assim, sob a forma de mobilidades.
Todos
utilizados
(ponto
cabo
como
os
pontos
pontos
de
inferior) devido à
de alimentação
do
da
barra
de
seção
retangular
excitação, excetuando-se
limitação espacial
shaker
foram
o ponto
para alojamento
e sua mangueira
de
IXdo
refrigeração.
Obteve-se assim, mais 42 FRF's mobilidades. As características de
medição foram:
Excitação: Randômica, via shaker, sinal de saída = 0,08 V.
Pontos utilizados: 2X-, 3X-. 4X-, 5X-, 6X-, 7XFaixa de frequência de O a 1024 Hz (análise).
Número de médias = 100
Tipo de janelamento = banning
Resposta:
Ganho do TF = 1000 mV/N
Ganho dos acelerômetros = 100 mV/m/s
132
Sensibilidade do TF = 4,14 pC/N
Filtro passa baixa = 10 Hz
Filtro passa alta = 1 KHz
Fundo de escala: TF = 8 V,
AC = 1 V.
Para avaliar as propriedades do pórtico no plano XY e
no plano perpendicular YZ, excitou-se a barra de seção retangular
e
coletaram-se
existência
de
as
modos
respostas
no
acoplados
pórtico,
verificando
barra-pórtico.
A
assim
excitação
a
foi
novamente através do shaker. Desta forma, tem-se:
Excitação: Randômica, via shaker, sinal de salda = 0,08 V
Ponto 5, direção X, sentido negativo.
Faixa de frequência de O a 1024 Hz (análise).
Número de médias = 100
Tipo de janelamento = hanning.
Resposta:
Ganho do TF = 100 mV/m/s^
Ganho dos acelerômetros 2 a 7 = 100 mV/m/s
Ganho do acelerômetro 8 = 316 mV/m/s
Filtro passa baixa = 2 Hz ( T F ) ,
10 Hz
(ACs)
Filtro passa alta = 1 KHz
Fundo de escala: TF = 8 V
Posição dos acelerômetros:
,
AC = 1 V.
1X+,2X+,3X+,4X+,5X+,6X+,7X+
15Z-,16Z-,17Z-,18Z-,19Z-,20Z-,21Z15Y+, 16Y+, 17Y+, 18Y+, 19Y+,20Y+,21Y+
15X-,21X+.
Sendo
que
para
as
medidas
realizadas
no
pórtico,
amplificadores de carga tiveram seus ganhos alterados:
Transdutor de força: Ganho = 31,6 mV/m/s*
Fundo de escala (GenRad) = 8 V.
133
os
Acelerômetros: Ganho = 316 mV/m/s^
Fundo de escala = 0,25 V (#2,7,8)
0,5 V (#3,4,5,6) .
Sinal de salda do shaker = 0,05 V.
Quando se visualizou as formas das FRF's medidas para o pórtico,
com
as
respostas
vários
picos
novas
medidas
permanecendo
em
na
direção
baixas
com
as
Z,
verificou-se
frequências;
seguintes
assim
a
existência
sendo,
características
de
realizaram-se
(as
demais
inalteradas):
Faixa de frequência = 0-256 Hz.
Ponto de excitação = 5X-.
Pontos de resposta = 15Z-,16Z-,17Z-,18Z-,19Z-.20Z-,21ZNas
medidas
realizadas
com
as
varetas
combustlveis
protótipo, preenchidas ou não com as pastilhas de chumbo, foram
utilizados
apenas
dois
canais:
um
de
excitação
(martelo
impacto) e um de resposta (acelerômetro Bruel & Kjaer 4393).
(c) Vareta combustível protótipo sem preenchimento:
Faixa de frequência: 0-1024 Hz
Acelerômetro: sensibilidade = 0,316 pC/m/s^
ganho do amplificador = 1 mV/m/s*
fundo de escala (GenRad) = 2 V
Transdutor: sensibilidade = 1,00 pC/m/s*
ganho do amplificador = 31,6 mV/N
fundo de escala (GenRad) = 2 V
Filtro passa baixa = 2 Hz
Filtro passa alta = 1 KHz.
134
de
Ponto de excitação = ponto 1, direção X, sentido negativo.
Ponto de resposta = 6X+,5X+,4X+,3X+,2X+.1X+.
(d) Vareta combustível com pastilhas de chumbo, h= 20 mm:
Faixa de frequência: 0-128 Hz
Filtro passa baixa: 2 Hz
Filtro passa alta: 1 KHz
Fundo de escala (acelerômetro) = 8 V
(transdutor) = 8 V
Ganho no amplificador (transdutor) = 1 mV/N
(e) Estrutura
formada
por
um
feixe
de
tubos
acoplados
espacadores rígidos:
Excitação: randômica (shaker), sinal de salda de 0,02V
pontos 16X+ e 43X+
Faixa de frequência (análise): 0-511 Hz.
Número de médias = 50
Tipo de janelamento: Hanning
Acelerômetro, ganho = 100 V/m/s
Transdutor de força, ganho = 1 V/N
Filtro passa baixa = 10 Hz,
Pontos de Resposta:
filtro passa alta = 1 KHz
2X+,3X+,4X+,5X+,6X+,7X+,8X+
42X+,43X+,44X+,45X+,46X+,47X+,48X+
12X+,13X+,14X+,15X+,16X+,17X+,18X+
22X-.23X-,24X-,25X-,26X-,27X-.28X52X-,53X-,54X-,55X-,56X-,57X-,58X32X-,33X-,34X-,35X-,36X-,37X-,38X-.
135
por