Introdução ao Controle Automático de
Aeronaves
Equações de Movimento, Forças e
Momentos.
Leonardo Tôrres
[email protected]
Escola de Engenharia – Universidade Federal de Minas Gerais/EEUFMG
Dep. Eng. Eletrônica – EEUFMG – p. 1
Equações de Movimento
O comportamento temporal do veículo, considerando-o
como um corpo rígido, pode ser descrito por 2 conjuntos
de equações:
Equações Cinemáticas:
relações entre posições e
velocidades de translação; e relações entre
posicionamento espacial (atitude) e velocidades
angulares.
Equações Dinâmicas:
relações acelerações e forças
resultantes sobre o veículo; e relações entre
acelerações angulares e torques resultantes sobre a
aeronave. ⇒ Leis de Newton.
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Revisão: Transformações de
Coordenadas
Na determinação das equações de movimento será
preciso considerar cuidadosamente as seguintes
transformações de rotação:
NED→ ABC

cθcψ
cθsψ
−sθ
B =  −cφsψ + sφsθcψ cφcψ + sφsθsψ sφcθ 
sφsψ + cφsθcψ −sφcψ + cφsθsψ cφcθ
Vento
 → ABC

cαcβ −cαsβ −sα
S =  sβ
cβ
0 
sαcβ −sαsβ cα
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Revisão: Matrizes de Inércia
1. Por definição, o Momento Angular de um conjunto de partículas é igual a soma
dos momentos angulares de cada uma das partículas de massa δm:
P
P
~ = n ~hk = n ~
vk ).
H
k=1 rk × (δm ~
k=1
P
~ = n δm (~
rk × (~
ω ×~
rk )).
2. Mas ~vk = ω
~ ×~
rk , logo: H
k=1
3. Entretanto, considerando ~
rk = [xk yk zk ]⊤ , é possível reescrever
Pn
rk × (~
ω×~
rk )) = J ω
~:
k=1 δm (~
2 P
(yk2 + zk2 )δm
6
P
~ = Jω
H
~ =6
−
(xk yk )δm
4
P
− (xk zk )δm
P
− (xk yk )δm
P 2
(xk + zk2 )δm
P
− (yk zk )δm
P
− (xk zk )δm
P
− (yk zk )δm
P 2
(xk + yk2 )δm
3
7
7. ω
5 ~
4. Caso as partículas de massa estejam distribuídas de forma simétrica, todos os
elementos fora da diagonal, na matriz acima, serão nulos.
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Revisão: Matrizes de Inércia
1. Para um corpo rígido, os somatórios são substituídos
por integrais.
2. Além disso, no caso de uma aeronave que seja
simétrica em relação ao plano XZ, tem-se que:
 R
J =
2
2
R

(y + z )dm R
0
− xzdm
2
2

0
(x
+
z
)dm
0
R
R 2
− xzdm
0
(x + y 2 )dm
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Revisão: Matrizes de Inércia
Aeronave simétrica em relação ao plano XZ:

J −1

Jx
0 −Jxz
J = 0
Jy
0 
−Jxz 0
Jz


Jz 0 Jxz
1

Γ
=  0 Jy 0  ; Γ = Jx Jz − (Jxz )2 .
Γ
Jxz 0 Jx
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Equações de Movimento – Equações
Cinemáticas
Adotando-se as hipóteses de que o referencial NED é
inercial e a terra é plana (flat earth), podemos escrever:
Equação de Navegação:
p~˙ NED = B ⊤~vABC
(1)
Equação de Atitude/Orientação:
Ḃ = −ΩB
(2)
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Equações de Movimento – Equações
Dinâmicas
Equação das Forças (2a lei de Newton):
d(m ~vABC )
~
.
FABC =
dt
NED
Supondo a variação de massa desprezível (ṁ ≈ 0):
~ABC
F
d~vABC
˙ ABC + ~ωABC × ~vABC ;
=
=
~
v
dt
m
NED
˙~vABC = −ΩABC~vABC + 1 F~ABC .
m
(3)
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Equações de Movimento – Equações
Dinâmicas
Equação dos Momentos (torque resultante = variação
do momento angular):
d(J ~ωABC )
~
.
TABC =
dt
NED
Supondo desprezível a variação da matriz de inércia, ou seja, a massa da
aeronave varia muito lentamente, bem como sua distribuição espacial em torno
dos eixos do corpo (não há disparo de armas ou alijamento de tanques de
combustível ⇒ J˙ ≈ 03×3 ):
T~ABC = J ω̇ABC + ω
~ ABC × (J ~ωABC )
~ω˙ ABC = −J −1 ΩABC J ~ωABC + J −1 T~ABC .
(4)
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Equações de Movimento Expandidas
As equações (1), (2), (3) e (4) constituem as equações
diferenciais não lineares que definem o movimento de um
veículo no espaço. Elas dependem de 12 variáveis de
estado, enumeradas abaixo:
1. Posição do c.g. no espaço: p~NED = [pN pE h]⊤ ,
2. Velocidade de translação: ~vABC = [U V W ]⊤ ,
~ = [φ θ ψ]⊤ ,
3. Atitude: Φ
4. Velocidade angular ~ωABC = [P Q R]⊤ .
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Equações Cinemáticas Expandidas
A partir da equação p~˙NED = B ⊤~vABC , podemos escrever:

ṗN = U cos θ cos ψ+





V (− cos φ sin ψ + sin φ sin θ cos ψ)+




W (sin φ sin ψ + cos φ sin θ cos ψ),

(5)
ṗE = U cos θ sin ψ+



V (cos φ cos ψ + sin φ sin θ sin ψ)+




W (− sin φ cos ψ + cos φ sin θ sin ψ)



ṗD = U sin θ − V sin φ cos θ − W cos φ cos θ.
É importante notar que ṗD = −Ḣ, sendo H a altitude.
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Equações Cinemáticas Expandidas
No caso da equação (2)
Ḃ = −ΩB,
podemos escrever, usando os elementos 1 e 2 da coluna
~b˙ 3 , e o elemento 1 da coluna ~b˙ 2 :

 φ̇ = P + Q tan θ sin φ + R tan θ cos φ,
θ̇ = Q cos φ − R sin φ,

cos φ
sin φ
+
R
ψ̇ = Q cos
θ
cos θ
(6)
Onde vê-se que há singularidade para o caso θ = ±π/2!
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Equações Dinâmicas Expandidas
Escrevendo
F~ABC = [Fx Fy Fz ]⊤ ,
a equação (3) pode ser expandida como:

Fx
,
U̇
=
RV
−
QW
+

m
V̇ = −RU + P W + Fmy ,

Ẇ = QU − P V + Fmz .
(7)
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Equações Dinâmicas Expandidas
Escrevendo
T~ABC = [L̄ M N ]⊤ ,
a equação (3) pode ser expandida como:

c3 L̄ + c4 N,
 Ṗ = (c1 R + c2 P )Q+
Q̇ = c5 P R − c6 (P 2 − R2 )+ c7 M,

Ṙ = (c8 P − c2 R)Q+
c4 L̄ + c9 N,
(8)
sendo que ck , k = 1, . . . , 9 são coeficientes que dependem
dos elementos da matriz de inércia da aeronave.
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Equações de Movimento
As 12 equações diferenciais mostradas anteriormente
podem ser escritas de forma compacta como:
~x˙ = f (~x, ~u),
sendo que ~x ∈ R12 é o vetor de estados
~x = [pN pE h φ θ ψ U V W P Q R]⊤ ,
e ~u é o vetor de entradas de controle. Por exemplo:
~u = [δe δa δr δth ]⊤ .
sendo δe a deflexão do profundor; δa a deflexão dos
ailerons; δr a deflexão do leme e δth o comando de tração.
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Forças em uma Aeronave
O vetor força resultante F~ABC = [Fx Fy Fz ]⊤ sobre a
aeronave é o resultado da contribuição de 3 parcelas.
D; Arrasto (Drag)
L; Sustentação (Lift)
C; Força Lateral
Th; Propulsão (Thrust)
y
z
α
x
β
F~ABC
=
F~vento
+
F~gravidade +
F~propulsao .
mg; Peso (Weight)
Vento
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Forças do Vento
Conforme visto no slide anterior, a força produzida pelo
deslocamento do veículo em relação à atmosfera (Força
do Vento) é dividida em 3 componentes, ao longo dos
respectivos Eixos do Vento:
F~vento
W


−D
~ +L
~ +C
~ =  −C  ,
=D
−L
sendo que
D = q̄Sw CD ;
L = q̄Sw CL ;
C = q̄Sw CC .
onde q̄ = 12 ρVT2 ; é a
pressão dinâmica e Sw é a
área da asa.
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Forças do Vento
Os coeficientes aerodinâmicos são composições de
termos: 1 componente básico + valores incrementais:
CD = CD (CL ) + ∆CD (δe ) + ∆CD (β) + ∆CD (M ) + . . .
CL = CL (α) + ∆CL (δe ) + ∆CL stall (α) + . . .
CC = CC (β) + ∆CC (δr ) + . . .
É assim que “aparecem” as influências das deflexões δe ,
δa , δr das superfícies de controle, nas forças que agem
sofre a aeronave.
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Forças do Vento
Os coeficientes aerodinâmicos são composições de
termos: 1 componente básico + valores incrementais:
CD = CD (CL ) + ∆CD (δe ) + ∆CD (β) + ∆CD (M ) + . . .
CL = CL (α) + ∆CL (δe ) + ∆CL stall (α) + . . .
CC = CC (β) + ∆CC (δr ) + . . .
É assim que “aparecem” as influências das deflexões δe ,
δa , δr das superfícies de controle, nas forças que agem
sofre a aeronave.
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Forças do Vento
Um exemplo: determinação da força de sustentação.


0


1 2
~ =  0  ; sendo que: L = q̄Sw CL = ρV Sw CL
L
T
2


−L
W
1 2
L=
ρVT Sw {CL (α) + ∆CL (δe ) + ∆CL stall (α) + . . .}
{z
}
|
2
| {z }
CL
q̄
Programas de simulação de vôo de aeronaves devem
conter Tabelas Aerodinâmicas que descrevem a variação
de cada coeficiente, em função da velocidade, atitude e
posição.
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Especificação de Forças no FlightGear
No programa FlightGear , as Tabelas Aerodinâmicas estão
colocadas entre as “tags” (rótulos no arquivo XML):
<aerodynamics>
< a x i s name= "DRAG" >
< !−− . . . t a b e l a s / funcoes para f o r c a de a r r a s t o . . .−−>
< \ axis>
< a x i s name= " SIDE " >
< !−− . . . t a b e l a s / funcoes para f o r c a l a t e r a l . . .−−>
< \ axis>
< a x i s name= " LIFT " >
< !−− . . . t a b e l a s / funcoes para f o r c a de s u s te n ta c a o . . .−−>
< \ axis>
< \ aerodynamics>
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Especificação de Forças no FlightGear
Exemplo (força de sustentação para a aeronave F-16).
Análise do arquivo XML correspondente à aeronave:
f16.xml
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Especificação de Forças no FlightGear
Algumas variáveis recorrentes que gerarão dúvidas:
1. aero/qbar-psf: pressão dinâmica q̄ em libras por pé-quadrado.
2. metrics/Sw-sqft: área da asa Sw em pés-quadrados.
3. metrics/bw-ft: envergadura bw da asa em pés.
4. metrics/cbarw-ft: corda média cw da asa em pés.
5. aero/h b-mac-ft: altura da asa em relação ao solo.
6. aero/alpha-rad: ângulo de ataque em radianos.
7. aero/alphadot-rad sec: derivada α̇ do ângulo de ataque em rad/s.
8. fcs/flap-pos-deg: posição dos flaps em graus.
9. aero/stall-hyst-norm: variável auxiliar para simular histerese após estol (ignorar este
efeito).
10. fcs/mag-elevator-pos-rad: valor absoluto da deflexão de profundor em graus.
11. aero/mag-beta-rad: valor absoluto de beta.
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Especificação de Forças no FlightGear
Algumas variáveis recorrentes que gerarão dúvidas (continuação):
12. aero/bi2vel: envergadura divida por 2× a velocidade:
13. aero/ci2vel: corda média divida por 2× a velocidade:
bw
.
2VT
cw
.
2VT
14. fcs/left-aileron-pos-rad: deflexão do aileron esquerdo δa .
15. fcs/rudder-pos-rad: deflexão de leme δr .
16. fcs/rudder-pos-rad: deflexão de leme δr .
~ W do veículo,
17. velocities/p-aero-rad sec: componente Pw da velocidade angular ω
representada no eixo do vento. Ou seja:
ω
~ w = RABC2W ω
~ ABC ⇒ [Pw , Qw , Rw ]⊤ = RABC2W × [P, Q, R]⊤ .
18. velocities/q-aero-rad sec: idem, componente Qw .
19. velocities/r-aero-rad sec: idem, componente Rw .
Outras variáveis podem ser compreendidas lendo o “Material de Apoio” no site do
Teleduc.
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