Introdução ao Controle Automático de
Aeronaves
Sistemas de Coordenadas e Equações
de Movimento
Leonardo Tôrres
[email protected]
Escola de Engenharia – Universidade Federal de Minas Gerais/EEUFMG
Dep. Eng. Eletrônica – EEUFMG – p. 1
Sistemas de Coordenadas
As velocidades e acelerações de um veículo são
comumente descritas em diferentes referenciais.
Para o caso de veículos cujos movimentos de
interesse são aqueles em relação ao planeta Terra,
podemos categorizar os sistemas de coordenadas em
2 tipos:
1. Referenciais vinculados à Terra;
2. Referenciais vinculados ao corpo do veículo.
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Referenciais vinculados à Terra
ECI – (Earth Centered Inertial frame)
Origem no centro do
planeta.
x
ωE
z
y
Eixo x coincide com o
eixo de rotação da
terra.
Move-se com a terra
em seu movimento de
translação, mas mantém sua orientação
fixa em relação às
estrelas.
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Referenciais vinculados à Terra
NED – (North, East and Down) – Fixo na superfície da
Terra
Origem no ponto de
interseção entre a
linha que liga o centro
x Norte
do planeta ao C.M. da
aeronave e a
ωE
y
superfície da terra,
Leste
quando a aeronave
P/ baixo z
está em repouso.
Eixo x aponta para o
norte, eixo y aponta
para o leste e eixo z
aponta para baixo.
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Referenciais vinculados à Aeronave
ABC – (Aircraft Body Coordinate)
C.G.
φ
x
ψ
y
θ
z
Seqüência de rotações segundo os ângulos de Euler
(NED para ABC):
ψ→θ→φ
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Referenciais vinculados à Aeronave
Eixos do Vento – (Wind Axis)
y
z
α
x
ABC para Eixos do
Vento: α → β
β
Vento
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Referenciais vinculados à Aeronave
Eixos de Estabilidade – (Stability Axis)
y
z
β
α
Coincidem com os Eixos
do Vento quando β = 0.
x
Vento
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Diferença entre θ e α
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Resumo de Sistemas de
Coordenadas
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Transformações de Rotação
yNED
yABC
~v
ψ
xABC
ψ
Rotação em torno de z (ψ
é o ângulo de guinada – yaw):
~vABC = Rψ ~vNED
xNED
zNED = zABC





cos(ψ) sin(ψ) 0
vx
vx
 vy 
=  − sin(ψ) cos(ψ) 0   vy 
vz ABC
vz NED
0
0
1
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Transformações de Rotação
Rotação em torno de y (θ é o ângulo de arfagem – pitch):





cos(θ) 0 − sin(θ)
vx
vx
  vy 
 vy 
= 0
1
0
vz NED
vz ABC
sin(θ) 0 cos(θ)
Rotação em torno de x (φ é ângulo de rolamento – roll):





1
0
0
vx
vx
 vy 
=  0 cos(φ) sin(φ)   vy 
vz NED
vz ABC
0 − sin(φ) cos(φ)
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Transformações de Rotação
Composição de rotações. Transformação NED → ABC:
~vABC = Rφ Rθ Rψ ~vNED ,
~vABC = RNED2ABC ~vNED ,
B = RNED2ABC


cθcψ
cθsψ
−sθ
B =  −cφsψ + sφsθcψ cφcψ + sφsθsψ sφcθ 
sφsψ + cφsθcψ −sφcψ + cφsθsψ cφcθ
Símbolos:
cos(θ) = cθ, sin(φ) = sφ, . . . .
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Transformações de Rotação
Composição de rotações. Transformação Eixos do Vento
→ ABC:
~vW = Rβ R(−α) ~vABC ,
~vW = RABC2W ~vABC ,



cos(α) 0 sin(α)
cos(β) sin(β) 0

RABC2W =  − sin(β) cos(β) 0  
0
1
0
− sin(α) 0 cos(α)
0
0
1
⊤
S = RABC2W
= RW2ABC


cαcβ −cαsβ −sα
=  sβ
cβ
0 
sαcβ −sαsβ cα
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Transformações de Rotação
Características comuns a todas as matrizes de rotação R:
R⊤ R = I ⇒ R−1 = R⊤ . Ou seja:
~vA = R ~vB ⇐⇒ ~vB = R⊤ ~vA
Prova: ~
u = R~v . Se a transformação é de rotação, então a norma do vetor não
deve sofrer alteração:
~ ⊤~
u
u = ~v ⊤~v ⇒ ~v ⊤ R⊤ R~v = ~v ⊤ ~v ⇒ R⊤ R = I.
det(R) = 1
Além disso, se R é uma matriz de rotação, então:
~u = R(w
~ × ~v ) ⇔ ~u = Rw
~ × R~v .
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Produto Vetorial
O produto vetorial pode ser expresso como uma equação
matricial.
Supondo ~ω = [ P Q R ]⊤ :
~u = ~ω × ~v ;


 


0 −R Q
vx
ux
 uy  =  R
0 −P   vy 
vz
−Q P
0
uz
~u = Ω ~v
A matriz Ω é anti-simétrica: Ω⊤ = −Ω.
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Diferenciação de Vetores
Ao calcularmos as derivadas de vetores, é preciso indicar
em relação a que referencial a variação está sendo vista e
em relação a que referencial o resultado será apresentado.
t+ ∆ t
x
ω
t
z
X
y
Y
Z
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Diferenciação de Vetores
Vetor expresso no referencial girante:
~vxyz = vx ı̂ + vy ̂ + vz k̂.
Variação temporal do vetor vista do referencial girante, e
representada
no referencial girante:
d~vxyz
dt
xyz
=
v̇x ı̂ + v̇y ̂ + v̇z k̂ + +vx
dı̂
dt
+ vy
xyz
d̂
dt
+ vz
xyz
dk̂
dt
xyz
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Diferenciação de Vetores
Vetor expresso no referencial girante:
~vxyz = vx ı̂ + vy ̂ + vz k̂.
Variação temporal do vetor vista do referencial girante, e
representada
no referencial girante:
d~vxyz
dt
xyz
=
v̇x ı̂ + v̇y ̂ + v̇z k̂ + +vx
d~vxyz
dt
dı̂
dt
xyz
+ vy
xyz
d̂
dt
+ vz
xyz
dk̂
dt
xyz
= v̇x ı̂ + v̇y ̂ + v̇z k̂
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Diferenciação de Vetores
Variação temporal do vetor vista do referencial parado, e
representada no referencial girante:
d~vxyz
= v̇x ı̂ + v̇y ̂ + v̇z k̂ +
dt XY Z
!
dı̂
d̂
dk̂
+ vx
+ vy
+ vz
dt XY Z
dt XY Z
dt
,
XY Z
Em geral:
dı̂
dt
XY Z
6=
d̂
dt
XY Z
6=
dk̂
dt
!
6= 0
XY Z
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Diferenciação de Vetores
z
ωx ∆ t
z
ωx ∆ t
y
x
ωy ∆ t
y
x
z
ωy ∆ t
ωz ∆ t
y
x
ωz ∆ t
(∆ı̂)XY Z = (ωz ̂ − ωy k̂)∆t = (~ωxyz × ı̂)∆t,
(∆̂)XY Z = (ωx k̂ − ωz ı̂)∆t = (~ωxyz × ̂)∆t,
∆k̂
= (ωy ı̂ − ωx ̂)∆t = (~ωxyz × k̂)∆t,
XY Z
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Diferenciação de Vetores
Variação temporal do vetor vista do referencial parado, e
representada no referencial girante:
d~vxyz
= v̇x ı̂ + v̇y ̂ + v̇z k̂ +
dt XY Z
!
dı̂
d̂
dk̂
+ vx
+ vy
+ vz
dt XY Z
dt XY Z
dt
,
XY Z
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Diferenciação de Vetores
Variação temporal do vetor vista do referencial parado, e
representada no referencial girante:
d~vxyz
= v̇x ı̂ + v̇y ̂ + v̇z k̂ +
dt XY Z
!
dı̂
d̂
dk̂
+ vx
+ vy
+ vz
dt XY Z
dt XY Z
dt
d~vxyz
dt
=
XY Z
d~vxyz
dt
xyz
,
XY Z
+ ~ωxyz × ~vxyz
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Equação de Desamarramento –
Bootstrap equation
Qual a relação entre a variação da posição espacial
descrita pelos ângulos de Euler
~ = [ φ θ ψ ]⊤
Φ
e a velocidade angular da aeronave?
~ω = [ P Q R ]⊤
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Equação de Desamarramento –
Bootstrap equation
Suponha uma relação de transformação de rotação
qualquer, que transforma a representação de um vetor
constante em um referencial inercial em sua
representação no referencial girante. Por exemplo:
~uABC = B ~uNED


1
=B 0 
0 NED
Por definição
.
d~uABC
dt
=0
NED
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Equação de Desamarramento –
Bootstrap equation
Logo:
0 = ~u˙ ABC + ~ωABC × ~uABC ;
 
 
 
1
0
1
0 = Ḃ  0  + B  0  + ΩABC B  0  .
0
0
0
˙
~
0 = b1 + ΩABC ~b1 ,
sendo ~b1 a primeira coluna de B. Logo:


0 −R Q
~b˙ 1 = −ΩABC~b1 = ~ωABC × ~b1 =  R
0 −P  ~b1 .
−Q P
0
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Equação de Desamarramento –
Bootstrap equation
Repetindo-se o procedimento para cada uma das colunas
de B, tem-se que:
Ḃ = −Ω B.
Este resultado é válido para quaisquer matrizes de rotação
B que descrevem a orientação de um veículo que gira com
velocidade angular ~ω :


0 −R Q
~ω = [ P Q R ]⊤ ⇒ Ω =  R
0 −P 
−Q P
0
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Equação de Desamarramento –
Bootstrap equation
Um caso concreto e importante ⇒ relação entre os
ângulos de Euler e a velocidade angular de rotação da
aeronave:


0

Ω=


−R
R
0
−Q
P
Q

−P 

0
cθcψ

B=
 −cφsψ + sφsθcψ
sφsψ + cφsθcψ
cθsψ
−cφcψ + sφsθsψ
−sφcψ + cφsθsψ
−sθ


sφcθ 

cφcθ
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Equação de Desamarramento –
Bootstrap equation
Um caso concreto e importante ⇒ relação entre os
ângulos de Euler e a velocidade angular de rotação da
aeronave:


0

Ω=

−R
R
0
−Q
P
Q

−P 

0

cθcψ

B=
 −cφsψ + sφsθcψ
sφsψ + cφsθcψ
cθsψ
−sθ
−cφcψ + sφsθsψ


sφcθ 

cφcθ
−sφcψ + cφsθsψ



 φ̇ = P + Q tan θ sin φ + R tan θ cos φ,
Ḃ = −ΩB ⇒



θ̇
=
Q cos φ − R sin φ,
ψ̇
=
φ
cos φ
Q sin
+
R
cos θ
cos θ
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Equação de Desamarramento –
Bootstrap equation
Uma outra maneira de se ver a relação entre (P, Q, R) e
(φ̇, θ̇, ψ̇) é observando a relação:








0
0
P
φ̇
 Q  =  0  + Rφ  θ̇  + Rφ Rθ  0  ,
R
ψ̇
0
0
que representa mais claramente o fato de que variações
angulares em ψ precisam sofrer dois processos de
transformação de coordenadas (rotações) para serem
representadas no referencial ABC, enquanto que
variações angulares em θ precisam sofrer um processo de
rotação para serem incorporadas a variações vistas no
referencial ABC.
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