Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Gerência de Ensino e Pesquisa
Departamento Acadêmico de Matemática
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
DA COMPUTAÇÃO
Notas de aula para o Curso de Tecnologia da Informação
Prof.a Paula Francis Benevides
2006
Conteúdo
AULA 1 ............................................................................................................................. 9
1 - FUNÇÕES ..................................................................................................................... 9
1.1
CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO .................................................................................. 9
1.2
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO .................................................................................................. 10
1.3
NOTAÇÃO DE FUNÇÃO ................................................................................................... 11
1.4
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ..................................................... 12
1.5
FUNÇÃO COMPOSTA ..................................................................................................... 13
1.6
FUNÇÃO INVERSA ......................................................................................................... 14
1.6.1 Determinação da Função Inversa ........................................................................ 14
AULA 2 ........................................................................................................................... 16
2.
FUNÇÃO POLINOMIAL............................................................................................. 16
2.1
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU ................................................................................... 16
2.1.1 Função linear........................................................................................................ 16
2.1.2 Gráfico de uma função polinomial do 1o grau ..................................................... 17
2.1.3 Determinação de uma função a partir do gráfico ............................................... 17
2.1.4 Crescimento e decrescimento de uma função polinomial do 1 o grau ................. 18
2.1.5 Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau ................................................ 19
2.1.5.1
2.1.5.2
o
Zero de uma função polinomial do 1 grau .................................................................................................. 19
o
Quadro de sinais da função polinomial do 1 grau ...................................................................................... 20
2.2
INEQUAÇÕES DO 1O GRAU .............................................................................................. 20
2.2.1 Resolução de inequações do 1o grau ................................................................... 21
2.2.2 Sistemas de inequações do 1o grau ..................................................................... 21
2.2.3 Inequação-produto e inequação-quociente......................................................... 22
AULA 3 ........................................................................................................................... 25
2.3
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU ................................................................................... 25
2.3.1 Gráfico de uma função quadrática ...................................................................... 25
2.3.2 Concavidade ......................................................................................................... 25
2.3.3 Zeros de uma função quadrática ......................................................................... 26
2.3.4 Vértice da parábola ............................................................................................. 26
2.3.5 Gráfico de uma parábola ..................................................................................... 27
2.3.6 Estudo do sinal da função quadrática ................................................................. 28
2.4
INEQUAÇÕES DO 2O GRAU .............................................................................................. 28
2.4.1 Resolução de inequações do 2o grau ................................................................... 29
2.4.2 Sistemas de inequações do 2o grau ..................................................................... 30
2.4.3 Inequação-produto e inequação-quociente......................................................... 31
AULA 4 ........................................................................................................................... 34
3.
FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................... 34
3.1
REVISÃO DE POTENCIAÇÃO ............................................................................................. 34
3.1.1 Potências com expoente natural ......................................................................... 34
3.1.2 Potências com expoente inteiro ........................................................................... 34
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3.1.3 Potências com expoente racional ........................................................................ 34
3.1.4 Potências com expoente real ............................................................................... 34
3.1.4.1
Propriedades ................................................................................................................................................. 34
3.2
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS .............................................................................................. 35
3.2.1 Resolução de equações exponenciais .................................................................. 36
3.2.2 Resolução de equações exponenciais com o uso de artifícios ............................. 37
3.3
FUNÇÃO EXPONENCIAL................................................................................................... 37
3.3.1 Gráfico da função exponencial no plano cartesiano ........................................... 37
3.3.2 Características da função exponencial ................................................................ 38
3.4
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS ............................................................................................ 39
3.4.1 Resolução de inequações exponenciais ............................................................... 39
AULA 5 ........................................................................................................................... 41
4.
FUNÇÃO LOGARÍTMICA........................................................................................... 41
4.1
DEFINIÇÃO DE LOGARITMO ............................................................................................. 41
4.2
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO ....................................................................................... 41
4.3
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS .................................................................................... 42
4.4
COLOGARITMO............................................................................................................. 42
4.5
MUDANÇA DE BASE ....................................................................................................... 42
4.6
FUNÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................................. 44
4.6.1 Gráfico da função logarítmica no plano cartesiano ............................................ 44
4.7
INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS ........................................................................................... 45
AULA 6 ........................................................................................................................... 47
5.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................................................ 47
5.1
SENO E COSSENO DE UM ARCO: ....................................................................................... 47
5.1.1 Conseqüências: .................................................................................................... 47
5.1.2 Função seno e função cosseno............................................................................. 47
5.1.3 Gráfico das funções seno e cosseno..................................................................... 47
5.1.3.1
5.1.3.2
5.1.3.3
5.1.3.4
5.1.3.5
5.1.3.6
Função seno:.................................................................................................................................................. 47
Conclusões ..................................................................................................................................................... 48
Seno é função ímpar ..................................................................................................................................... 48
Função cosseno ............................................................................................................................................. 48
Conclusões ..................................................................................................................................................... 48
Cosseno é função par .................................................................................................................................... 49
5.2
TANGENTE DE UM ARCO ................................................................................................. 49
5.2.1 Conseqüências ..................................................................................................... 50
5.2.2 Função tangente .................................................................................................. 50
5.2.3 Gráfico da função tangente ................................................................................. 50
5.2.4 Conclusões ........................................................................................................... 50
5.2.5 Tangente é uma função ímpar............................................................................. 51
5.3
COTANGENTE DE UM ARCO ............................................................................................. 51
5.3.1 Conseqüências ..................................................................................................... 51
5.3.2 Função cotangente .............................................................................................. 51
5.3.3 Gráfico da função cotangente ............................................................................. 52
5.3.4 Conclusões ........................................................................................................... 52
5.3.5 Cotangente é uma função ímpar ......................................................................... 52
5.4
SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO ............................................................................... 52
5.4.1 Função secante e cossecante ............................................................................... 53
3
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5.4.2 Gráfico da função secante ................................................................................... 53
5.4.3 Conclusões ........................................................................................................... 53
5.4.4 Gráfico da função cossecante .............................................................................. 54
5.4.5 Conclusões ........................................................................................................... 54
5.5
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................................................... 54
5.5.1 Usando o teorema de Pitágoras .......................................................................... 55
5.5.2 Usando semelhança entre triângulos .................................................................. 55
5.5.3 Identidades trigonométricas ................................................................................ 56
5.5.3.1
Processo para demonstrar identidades........................................................................................................ 57
AULA 7 ........................................................................................................................... 60
6.
POLINÔMIOS .......................................................................................................... 60
6.1
FUNÇÃO POLINOMIAL:................................................................................................... 60
6.2
POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO: .................................................... 61
6.3
POLINÔMIOS IDÊNTICOS:................................................................................................ 61
6.4
VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO: ............................................................................ 62
6.5
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:............................................................................ 62
6.5.1 Adição: ................................................................................................................. 62
6.5.2 Subtração: ............................................................................................................ 63
6.6
MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS: ................................................................................... 63
6.7
DIVISÃO DE POLINÔMIOS: .............................................................................................. 64
6.7.1 Método dos Coeficientes a Determinar – Método de Descartes ......................... 64
6.7.2 Divisão de Polinômio por Binômios do 1o Grau: .................................................. 66
6.7.2.1
6.7.2.2
6.7.2.3
Teorema do Resto: ........................................................................................................................................ 66
Teorema de D’Alembert ................................................................................................................................ 66
Divisão de P(x) por (ax + b), a 0 ............................................................................................................... 67
AULA 8 ........................................................................................................................... 69
6.7.2.4
Dispositivo Prático de Briot-Ruffini: ............................................................................................................. 69
6.8
EQUAÇÕES POLINOMIAIS: .............................................................................................. 70
6.8.1 Decomposição de um polinômio em fatores do 1o grau:..................................... 70
6.8.2 Raízes Múltiplas: .................................................................................................. 70
6.8.3 Teorema das Raízes Racionais: ............................................................................ 71
AULA 9 ........................................................................................................................... 73
7.
MATRIZES ............................................................................................................... 73
7.1
DEFINIÇÃO: ................................................................................................................. 73
7.2
NOTAÇÃO DE UMA MATRIZ ............................................................................................. 73
7.3
ALGUMAS MATRIZES ESPECIAIS ........................................................................................ 74
7.3.1 Matriz Retangular: é a matriz onde m n. ........................................................ 74
7.3.2 Matriz Coluna: é toda matriz do tipo mx1. .......................................................... 74
7.3.3 Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1xn. ............................................................. 74
7.3.4 Matriz Quadrada: ................................................................................................ 74
7.3.5 Matriz Diagonal ................................................................................................... 75
7.3.6 Matriz Escalar: ..................................................................................................... 75
7.3.7 Matriz Identidade: ............................................................................................... 75
7.3.8 Matriz Zero ou Nula: ............................................................................................ 76
7.3.9 Matrizes Iguais ..................................................................................................... 76
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7.3.10 Matrizes Opostas: .............................................................................................. 76
7.3.11 Matriz Transposta: ............................................................................................. 76
7.3.11.1
Propriedades da matriz transposta ............................................................................................................ 76
7.3.12 Matriz Simétrica................................................................................................. 76
7.4
OPERAÇÕES COM MATRIZES: ........................................................................................... 77
7.4.1 Adição e Subtração de Matrizes .......................................................................... 77
7.4.1.1
Propriedades: ................................................................................................................................................ 77
7.4.2 Produto de uma matriz por um escalar: .............................................................. 77
7.4.2.1
Propriedades: ................................................................................................................................................ 77
7.4.3 Produto de uma matriz por outra: ....................................................................... 77
7.4.3.1
7.4.3.2
7.4.3.3
7.4.3.4
Propriedades: ................................................................................................................................................ 77
Comutatividade de Multiplicação de duas matrizes:................................................................................... 78
Matriz Involutiva............................................................................................................................................ 78
Matriz anti-simétrica: .................................................................................................................................... 78
7.5
MATRIZ INVERSA .......................................................................................................... 79
7.5.1 Definição .............................................................................................................. 79
7.5.2 Propriedades ........................................................................................................ 79
7.6
MATRIZ ORTOGONAL: ................................................................................................... 79
7.7
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: ..................................................................................... 79
7.8
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: ...................................................................................... 79
7.9
POTÊNCIA DE UMA MATRIZ: ............................................................................................ 80
7.10 MATRIZ PERIÓDICA: ...................................................................................................... 80
7.11 MATRIZ IDEMPOTENTE: ................................................................................................. 80
7.12 MATRIZ NIHILPOTENTE: ................................................................................................. 80
AULA 10.......................................................................................................................... 71
8.
DETERMINANTES .................................................................................................... 71
8.1
NOÇÃO:...................................................................................................................... 71
8.2
NOTAÇÃO: .................................................................................................................. 71
8.3
CÁLCULO DE UM DETERMINANTE: .................................................................................... 71
8.4
ABAIXAMENTO DA ORDEM DE UMA MATRIZ QUADRADA: ...................................................... 72
8.4.1 Menor Complementar.......................................................................................... 72
8.4.2 Complemento Algébrico ou Cofator: ................................................................... 73
8.5
REGRA DE LAPLACE: ...................................................................................................... 73
8.6
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES: .............................................................................. 74
8.7
REGRA DE CHIO: ........................................................................................................... 75
8.8
PROCESSO DE TRIANGULAÇÃO: ........................................................................................ 75
8.9
MATRIZ INVERSA - COMPLEMENTOS................................................................................. 77
8.9.1 Matriz Singular: ................................................................................................... 77
8.9.2 Matriz Não-Singular:............................................................................................ 77
8.9.3 Propriedades da Matriz Inversa: .......................................................................... 77
8.9.4 Operações elementares: ...................................................................................... 77
AULA 11.......................................................................................................................... 83
9.
SISTEMAS LINEARES ................................................................................................ 83
9.1
9.2
9.3
9.4
EQUAÇÕES LINEARES: .................................................................................................... 83
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................................................... 83
SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR: ................................................................................... 83
SISTEMA COMPATÍVEL: .................................................................................................. 83
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9.4.1 Sistema Determinado: ......................................................................................... 83
9.4.2 Sistema Indeterminado: ....................................................................................... 84
9.5
SISTEMA INCOMPATÍVEL................................................................................................. 84
9.6
CLASSIFICAÇÃO:............................................................................................................ 84
9.7
SISTEMAS EQUIVALENTES: .............................................................................................. 84
9.7.1 Operações elementares e Sistemas Equivalentes: ............................................... 85
9.8
SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO:....................................................................................... 85
9.9
SOLUÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES: ............................................................... 85
9.9.1 Regra de Cramer: ................................................................................................. 85
9.9.2 Resolução por escalonamento de matrizes: ........................................................ 87
AULA 12.......................................................................................................................... 71
10.
LIMITES ................................................................................................................ 71
10.1 NOÇÃO INTUITIVA:........................................................................................................ 71
10.1.1 Propriedades: ..................................................................................................... 71
AULA 13.......................................................................................................................... 75
10.2 LIMITES INFINITOS: .................................................................................................. 75
10.2.1 Igualdades Simbólicas:....................................................................................... 75
10.2.1.1
10.2.1.2
10.2.1.3
10.2.1.4
Tipo Soma: ................................................................................................................................................... 75
Tipo Produto: ............................................................................................................................................... 75
Tipo Quociente: ........................................................................................................................................... 75
Tipo Potência: .............................................................................................................................................. 75
AULA 14.......................................................................................................................... 78
10.3
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS: .................................................................................. 78
AULA 15.......................................................................................................................... 81
10.4
LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS: ........................................... 81
AULA 16.......................................................................................................................... 84
10.5
LIMITES LATERAIS: ................................................................................................... 84
AULA 17.......................................................................................................................... 86
11.
11.1
11.2
11.3
12.
12.1
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS .............................................................. 86
INTRODUÇÃO: ......................................................................................................... 86
ASSÍNTOTA VERTICAL .............................................................................................. 86
ASSÍNTOTA HORIZONTAL ........................................................................................ 86
FUNÇÕES CONTÍNUAS.......................................................................................... 87
DEFINIÇÃO: .............................................................................................................. 87
AULA 18.......................................................................................................................... 90
13.
DERIVADAS .......................................................................................................... 90
13.1 INTRODUÇÃO: ......................................................................................................... 90
13.2 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO GRÁFICO DE
UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO: ................................................... 90
13.3 DEFINIÇÃO: .............................................................................................................. 92
13.3.1 Outras notações para a função derivada: ......................................................... 93
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13.4 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; ........................................................................ 93
13.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO: .......................................................................................... 95
13.5.1 Derivada de função Algébrica: ........................................................................... 96
AULA 19.......................................................................................................................... 98
13.5.2 Derivada de Funções Exponenciais e Logarítmicas: .......................................... 98
AULA 20........................................................................................................................ 100
13.5.3 Derivada de Funções Trigonométricas: ........................................................... 100
AULA 21........................................................................................................................ 102
13.6
13.7
DERIVADAS SUCESSIVAS ........................................................................................ 102
REGRAS DE L’HOSPITAL ......................................................................................... 102
AULA 22........................................................................................................................ 105
13.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS.................................................................................. 105
13.8.1 Taxas de Variação Relacionadas ..................................................................... 105
13.8.2 Máximos e Mínimos ......................................................................................... 106
13.8.2.1
13.8.2.2
13.8.2.3
13.8.2.4
13.8.2.5
Introdução: ................................................................................................................................................ 106
Determinação dos Máximos e Mínimos locais: ....................................................................................... 108
Crescimento e Decrescimento de funções: .............................................................................................. 108
Teste da Derivada Primeira: ...................................................................................................................... 109
Concavidade e Teste da Derivada Segunda: ............................................................................................ 109
AULA 23........................................................................................................................ 112
14.
INTEGRAIS ......................................................................................................... 112
14.1 INTRODUÇÃO: ....................................................................................................... 112
14.1.1 NOTAÇÃO: ........................................................................................................ 112
14.2 INTEGRAIS IMEDIATAS........................................................................................... 112
AULA 24........................................................................................................................ 120
14.3
INTEGRAIS POR PARTES ......................................................................................... 120
AULA 25........................................................................................................................ 123
14.4
INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ................ 123
AULA 26........................................................................................................................ 128
14.5
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS................................................................... 128
AULA 27........................................................................................................................ 133
14.6 INTEGRAL DEFINIDA: ............................................................................................. 133
14.6.1 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: ...................................................................... 134
14.6.2 PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS .................................................... 135
AULA 28........................................................................................................................ 137
14.6.3 APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA............................................................... 137
14.6.3.1
14.6.3.2
CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA .......................................................................................... 137
ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES: ................................................................................. 140
AULA 29........................................................................................................................ 143
14.6.3.3
VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO: .............................................................................................. 143
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AULA 30........................................................................................................................ 145
15.
VETORES ............................................................................................................ 145
15.1 NOÇÃO DE VETORES.................................................................................................... 145
15.1.1 Segmento orientado (A, A)............................................................................... 145
15.1.2 Propriedades: ................................................................................................... 145
15.2 ADIÇÃO DE VETORES.................................................................................................... 146
15.2.1.1
Regra do paralelogramo............................................................................................................................ 146
15.3 EQUIPOLÊNCIA: .......................................................................................................... 146
15.3.1 Propriedades: ................................................................................................... 146
15.4 VETORES OPOSTOS ...................................................................................................... 147
15.5 VETORES NO PLANO CARTESIANO ................................................................................... 147
15.6 MÓDULO DE UM VETOR – NORMA - | V | ..................................................................... 147
15.7 OBSERVAÇÕES SOBRE ADIÇÃO DE VETORES....................................................................... 148
15.8 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR ................................................................................. 148
15.8.1 Propriedades: ................................................................................................... 149
15.9 SOMA DE PONTO COM VETOR....................................................................................... 149
15.9.1 Propriedades: ................................................................................................... 149
15.10 CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES: ................................................................... 149
15.11 PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO: U . V............................................................. 150
15.11.1 Propriedades: ................................................................................................. 150
15.12 PRODUTO VETORIAL: U X V.......................................................................................... 150
15.13 PARALELISMO ........................................................................................................... 150
15.14 ORTOGONALISMO ..................................................................................................... 150
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AULA 1
1 - FUNÇÕES
1.1 CONCEITO MATEMÁTICO DE FUNÇÃO
Definição 1: Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável
independente.
Definição 2: Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da
variável dependente.
Como, em geral, trabalhamos com funções numéricas, o domínio e a imagem são conjuntos
numéricos, e podemos definir com mais rigor o que é uma função matemática utilizando a
linguagem da teoria dos conjuntos.
Para isso, temos que definir antes o que é um produto cartesiano e uma relação entre dois
conjuntos.
Definição 3: Produto cartesiano: Dados dois conjuntos não vazios A e B , denomina-se
produto cartesiano (indica-se: A B ) de A por B o conjunto formado pelos pares ordenados nos
quais o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B .
A B {( x , y )/ x A e y B }.
Definição 4: Relação: Dados dois conjuntos A e B , dá-se o nome de relação r de A em
B a qualquer subconjunto de A B .
r é relação de A em B r A B .
Exemplo:
Sejam os conjuntos A {0,1,2,3}, B {0,2,4,6,8,10} e a relação r de A em B , tal que y
2 x , x A e y B . Escrever os elementos dessa relação r .
Como x A :
x 0 y 0 (0,0) A B ;
x 1 y 2 (1,2) A B ;
x 2 y 4 (2,4) A B ;
x 3 y 6 (3,6) A B .
Então, r {(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}.
r
A
0
1
2
3
0 B
2
4
6
8
10
Representação da relação por diagrama.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3
x
Representação da relação por sistema cartesiano.
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Obs.: Podemos observar que, numa relação r de A em B , o conjunto r é formado pelos
pares ( x , y ) em que o elemento x A é associado ao elemento y B mediante uma lei de
associação (no caso, y 2 x ).
1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Definição 5: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Essa
relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um
e apenas um elemento y do conjunto B .
Nos exercícios a seguir, verifique se as relações representam função de A em B . Juntifique
sua resposta e apresente o diagrama da relação.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A {0,5,15} e B {0,5,10,15,20,25}, seja a relação de A em B
expressa pela fórmula y x 5, com x A e y B .
A
0
5
15
0 B
5
10
15
20
25
x 0 y 5 (0,5) A B ;
x 5 y 10 (5,10) A B ;
x 15 y 20 (15,20) A B .
Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
A cada elemento de A está associado um único elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y x 5 é uma função de A em B .
2) Dados os conjuntos A {2,0,2,5} e B {0,2,5,10,20}, seja a relação de A em B
expressa pela fórmula y x , com x A e y B .
A
B
0
-2
2
0
5
2
10
5
20
x 0 y 0 (0,0) A B ;
x 2 y 2 (2,2) A B ;
x 5 y 5 (5,5) A B .
O elemento 2 de A não está associado a nenhum elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .
10
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3) Dados os conjuntos A {3,1,1,3} e B {1,3,6,9}, seja a relação de A em B expressa
pela fórmula y x 2 , com x A e y B
A
B
-3
-1
1
3
1
3
6
9
x 3 y 9 (3,9) A B ;
x 1 y 1 (1,1) A B ;
x 1 y 1 (1,1) A B ;
x 3 y 9 (3,9) A B .
Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
A cada elemento de A está associado um único elemento de B .
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y x 2 é uma função de A em B .
4) Dados os conjuntos A {16,81} e B {2,2,3}, seja a relação de A em B expressa pela
fórmula y 4 x , com x A e y B .
A
16
-2
B
2
81
3
x 16 y 2 ou y 2 (16,2) e (16,2) A B ;
x 81 y 3 (81,3) A B .
Todos os elementos de A estão associados a elementos de B .
O elemento 16 do conjunto A está associado a dois elementos do conjunto B .
Neste caso, a relação de A em B não é uma função de A em B .
1.3 NOTAÇÃO DE FUNÇÃO
Quando temos uma função de A em B , podemos representá-la da seguinte forma:
f : A B (lê-se: função de A em B )
x y (lê-se: a cada valor de x A associa-se um só valor y B )
A letra f , em geral, dá o nome às funções, mas podemos ter também a função g , h , etc.
Numa função g : R R , dada pela fórmula y x 2 8, podemos também escrever g ( x )
x 2 8. Neste caso, g ( 2 ) significa o valor de y quando x 2 , ou g ( 2 )6.
11
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1.4 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Uma função f com domínio A e imagens em B será denotada por:
f : A B (função que associa valores do conjunto A a valores do conjunto B )
x y f ( x ) (a cada elemento x A corresponde um único y B )
O conjunto A é denominado domínio da função, que indicaremos por D . O domínio da
função também chamado campo de definição ou campo de existência da função, serve para definir
em que conjunto estamos trabalhando, isto é, os valores possíveis para a variável x .
O conjunto B é denominado contradomínio da função, que indicaremos por CD . É no
contradomínio que estão os elementos que podem corresponder aos elementos do domínio.
Cada elemento x do domínio tem um correspondente y no contradomínio. A esse valor de
y damos o nome de imagem de x pela função f . O conjunto de todos os valores de y que são
imagens de valores de x forma o conjunto imagem da função, que indicaremos por Im . Note que o
conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio da mesma.
f : AB
x y f (x)
D A , CD B , Im { y CD / y é correspondente de algum valor de x }.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A {3,1,0,2} e B {1,0,1,2,3,4}, determinar o conjunto imagem
da função f : A B definida por f ( x ) x 2.
f (3)(3)21
f (1)(1)21
A
-1 B
f (0)(0)22
0
-3
f (2)(2)24
1
-1
2
0
3
2
4
Im {1,1,2,4}
2) Dada a função f : R R definida por f ( x ) a x b , com a , b R , calcular a e b ,
sabendo que f (1)4 e f (1)2.
A lei de formação da função é f ( x ) a x b ou y a x b .
f (1)4 x 1 e y 4 4 a 1 b (i)
f (1)2 x 1 e y 2 2 a (1) b (ii)
De (i) e (ii), temos:
a
b
4
a
2
b
2b
2
b 1 e a 3
a 3 e b 1 f ( x )3 x 1.
12
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1.5 FUNÇÃO COMPOSTA
Tome as funções f : A B , definida por f ( x )2 x , e g : B C , definida por g ( x ) x 2 .
Note que o contradomínio B da função f é o mesmo domínio da função g .
f : A B : a cada x A associa-se um único y B , tal que y 2 x .
g : B C : a cada y B associa-se um único z C , tal que z y 2 .
Neste caso, podemos considerar uma terceira função, h : A C , que faz a composição entre
as funções f e g :
A
B
C
g
f
x
y
z
h
h : A C : a cada x A associa-se um único z C , tal que z y 2 ( 2 x ) 2 4 x 2 .
Essa função h de A em C , dada por h ( x ) 4 x 2 , é denominada função composta de g e
f.
De um modo geral, para indicar como o elemento z C é determinado de modo único pelo
elemento x A , escrevemos:
z g ( y ) g ( f ( x ))
Notação:
A função composta de g e f será indicada por g f (lê-se: g círculo f )
( g f )( x ) g ( f ( x ))
Exemplos:
1) Sejam as funções reais f e g definidas respectivamente por f ( x) x 1 e
g ( x) 2 x 2 3 . Determine:
a) f ( g ( x )).
f ( g ( x )) f (2 x 2 3)2 x 2 312 x 2 2
f ( g ( x )) 2 x 2 2.
b) g ( f ( x )).
g ( f ( x )) g ( x 1)2 ( x 1) 2 32( x 2 2 x 1)32 x 2 4 x 232 x 2 4 x 1
g ( f ( x )) 2 x 2 4 x 1.
c) Os valores de x para que se tenha f ( g ( x )) g ( f ( x )).
f ( g ( x )) g ( f ( x ))
2 x 2 2=2 x 2 4 x 1
2=4 x 1
4 x 12
1
x .
4
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2) Sendo f ( x )3 x 1 e f ( g ( x ))6 x 8, determine g ( x ).
Como f ( x )3 x 1, então f ( g ( x ))3 g ( x )1.
Como f ( g ( x )) 6 x 8, então 3 g ( x )16 x 8.
3 g ( x )1 6 x 8
3 g ( x ) 6 x 81
6x 9
g(x)
3
g ( x ) 2 x 3.
1.6 FUNÇÃO INVERSA
Definição 6: Função bijetora: A função f é denominada BIJETORA, se satisfaz as duas
condições abaixo:
O contradomínio de f coincide com sua imagem, ou seja, todo elemento do contradomínio é
correspondente de algum elemento do domínio.
Cada elemento do contradomínio de f é imagem de um único elemento do domínio.
Definição 7: Diz-se que uma função f possui inversa f 1 se for bijetora.
1.6.1
DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO INVERSA
Caso a função seja bijetora, possuindo portanto inversa, é possível determinar a sua inversa.
Para isso “trocamos” a variável x por y na lei que define a função e em seguida “isolamos” o y ,
obtendo a lei que define a função inversa.
É preciso apenas tomar certo cuidado com o domínio da nova função obtida.
Exemplo:
1) Obter a lei da função inversa f 1 da função f dada por y x 2.
y x 2 função f .
x y 2 trocando a variável x por y e y por x .
y x 2 isolando y .
Então, y x 2 é a lei da função inversa da função dada por y x 2.
Logo:
f ( x ) x 2 e f 1 ( x ) x 2
2) Construir os gráficos das funções f e f 1 do exercício anterior, num mesmo sistema de
coordenadas.
1
2
3
x
1
2
3
f 1 ( x )
1
0
1
4
4
2
x
1
0
1
f (x)
2
Note que os gráficos
das funções f e f 1
são simétricos em
relação à reta que
contém as bissetrizes
do 1o e 3o quadrantes.
4
3
2
1
y
f
-2 -1 -1 0 1 2 3 4
-2
f -1
x
14
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3) Determinar
a função inversa g 1 da função g ( x )
x5
3
, cujo domínio é D R .
2x 3
2
x5
função g .
2x 3
y5
trocando a variável x por y e y por x .
x
2y 3
(2 y 3) x y 5 isolando y .
2 x y 3 x y 5
y (2 x 1)3 x 5
3x 5
1
2 x 10 x .
y
2x 1
2
3x 5
1
3
Logo, g 1 : R R dada por y
é a função inversa procurada.
2x 1
2
2
y
AULA 1 - EXERCÍCIOS
1) Seja a relação de A = {0, 1, 3} em B = {0,
1, 2, 3, 4, 5} definida por g(x) = x2 – 4x +
3. Faça o diagrama de g e verifique se g é
uma função de A em B. Em caso
afirmativo escreva o conjunto imagem.
2) Seja a função f de D = {1, 2, 3, 4, 5} em R
definida por f(x) = (x – 2)(x – 4).
Determine o seu conjunto imagem.
3) Sejam f e g funções reais definidas, para
todo o número real não nulo, por:
5
f ( x) 3x 8 x 2 e
x
5 3
g ( x) 1 x 2 3x 2
3 x
Se a e b são números reais distintos tais
que f(a) = g(a) e f(b) = g(b), calcule a + b
4) Considere a função f(x) real, definida por
f(1) = 43 e f(x + 1) = 2f(x) – 15. Determine
o valor de f(0)
5) Determine o domínio das seguintes
funções:
a) f ( x) 4 x 5
3
b) f ( x) 2
x 1
c) y 1 2 x
x 1
1
7x
d) f ( x)
x3
4 x x2
1
, x 1 e g ( x) 2 x 4 ,
x 1
1
ache o valor de f ( g (2)) g f .
2
1
7) Se f ( x)
, qual o valor de x para que
x 1
f(f(x)) = 1?
2x 6
8) Dada a função f ( x)
com x 5.
x 5
calcule:
a) f-1(x)
b) f-1(4)
6) Sendo f ( x)
Respostas:
1) sim, Im{0, 3}
2) Im = {-1, 0, 3}
3) 3
4) 29
5) a) D = R
b) D = R – {-1, 1}
1
c) D x R | x
2
d) D x R | 3 x 4, e, x 2
6) – 9
3
7) x
2
5x 6
8) a)
b) 13
x2
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AULA 2
2. FUNÇÃO POLINOMIAL
Definição 8: Função polinomial com uma variável ou simplesmente função polinomial é
aquela cuja formulação matemática é expressa por um polinômio.
2.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU
A função polinomial do 1o grau é a que tem sua representação matemática por um polinômio
de grau 1.
Representação da função polinomial do 1o grau:
f ( x ) a x b , com a , b R ( a 0). a e b são os coeficientes e x a variável
independente.
Exemplo:
Em uma função polinomial do 1o grau, y f ( x ), sabe-se que f (1)4 e f (2)10. Escreva
1
a função f e calcule f .
2
Se f é polinomial do 1o grau, então podemos escrever: y a x b . Usando os dados do
problema:
f (1)4 x 1 e y 4. Então, a 1 b 4 a b 4 (i).
f (2)10 x 2 e y 10. Então, a (2) b 10 2 a b 10 (ii).
Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
(i)
a
(ii) 2 a
b
4
b
10 (1)
a
b
4
2a
3a
b
10
6 a 2
Se a 2, então 2 b 4 b 6.
A função f é dada por f ( x )2 x 6.
1
Cálculo de f :
2
1
1
f 2 6 16 7
2
2
1
A função é f ( x ) 2 x 6 e f 7.
2
2.1.1
FUNÇÃO LINEAR
Seja a função polinomial do 1o grau f ( x ) a x b . No caso de b 0, temos f ( x ) a x , e
ela recebe o nome especial de função linear.
16
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Obs.: Se, em uma função linear tivermos a 1, teremos f ( x ) x ou y x , que se dá o
nome de função identidade.
2.1.2
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU
Para construir o gráfico de uma função polinomial do 1 o grau, atribuímos valores do
domínio à variável x e calculamos as respectivas imagens.
Exemplo:
Construir o gráfico da função real f dada por y 2 x 1.
x y Par ordenado
2 5
(2,5)
1 3
(1,3)
0 1
(0,1)
1 1
(1,1)
2 3
(2,3)
3 5
(3,5)
5
4
3
2
1
y
-2 -1 -1 0
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
x
Definição 9: O gráfico da função linear y a x ( a 0) é sempre uma reta que passa pela
origem do sistema cartesiano.
Definição 10: O gráfico da função polinomial do 1o grau y a x b ( a 0) intercepta o eixo
das ordenadas no ponto (0, b ).
2.1.3
DETERMINAÇÃO DE UMA FUNÇÃO A PARTIR DO GRÁFICO
Nos exercícios abaixo, determine a lei de formação da função f ( x ) a x b .
Exemplo:
1) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
5
4
3
2
1
y
-2 -1 -1 0
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
x
17
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Sabendo-se que y a x b , do gráfico, temos que:
x 1 e y 1 1 a (1) b a b 1 (i).
x 1 e y 3 3 a (1) b a b 3 (ii).
(i) a
b
1
(ii) a
b
3
2b
2
Se b 1, então a b 3 a 13 a 2
Logo:
A função é f ( x )2 x 1.
b 1
2) Determine a lei de formação da função f , cujo gráfico cartesiano é:
5
4
3
2
1
y
-2 -1 -1 0 1 2 3 4
-2
-3
-4
-5
x
Sabendo-se que y a x b , do gráfico, temos que:
x 1 e y 1 1 a (1) b a b 1 (i).
x 2 e y 2 2 a (2) b 2 a b 2 (ii).
(i)
(1)
a
a
b 1
b
1
(ii)
2
3
2a
b
2
2a
b
a
a 3
Se a 3, então 3 b 1 b 4
Logo:
A função é f ( x )3 x 4.
2.1.4
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO
1O GRAU
Seja f a função polinomial do 1o grau definida por f ( x ) a x b .
Podemos determinar que:
i) A função f é crescente se o coeficiente a 0;
ii) A função f é decrescente se o coeficiente a 0.
Exemplo:
18
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Construir os gráficos das funções f e g do 1o grau a seguir:
i) f ( x )2 x 1
ii) g ( x )2 x 1
5
4
3
2
1
y
5
4
3
2
1
-2 -1 -1 0 1 2 3 4
-2
-3
-4
-5
x
y
-2 -1 -1 0 1 2 3 4
-2
-3
-4
-5
x
i) Aumentando os valores atribuídos a ii) Aumentando os valores atribuídos a x ,
x , aumentam também os valores diminuem os valores correspondentes da
correspondentes da imagem f ( x ).
imagem g ( x ).
2.1.5
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1O GRAU
Definição 11: Estudar o sinal de uma função f significa determinar para que valores de x
temos f ( x )0, f ( x )0 ou f ( x )0.
2.1.5.1 Zero de uma função polinomial do 1 o grau
Definição 12: Denomina-se zero ou raiz da função f ( x ) a x b o valor de x que anula a
função, isto é, torna f ( x )0.
Definição 13: Geometricamente, o zero da função polinomial do 1 o grau f ( x ) a x b , a
0, é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x .
Exemplo:
Dada a lei de formação da função y 2 x 4, construir o gráfico e determinar os valores
reais de x para os quais: a) y 0; b) y 0 e c) y 0.
5
4
3
2
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 -1 0
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
Podemos notar que a função é decrescente, pois a 0.
O zero da função é: 2 x 40 2 x 4 2 x 4
x 2 .
Logo, a reta intercepta o eixo x no ponto de abscissa
x x 2 .
A solução do problema é:
a) f ( x )0 { x R ; x 2};
b) f ( x )0 { x R ; x 2};
c) f ( x )0 { x R ; x 2}.
19
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2.1.5.2 Quadro de sinais da função polinomial do 1 o grau
f ( x ) a x b , a 0
Zero da função: a x b 0 x
a 0
a 0
x
b
a
f (x ) <0
b
a
f (x ) >0
f (x ) >0
b
a
b
a
b
f ( x ) 0 x
a
b
f ( x ) 0 x
a
f ( x ) 0 x
x
x
b
a
f (x ) <0
b
a
x
b
a
b
f ( x ) 0 x
a
b
f ( x ) 0 x
a
f ( x ) 0 x
2.2 INEQUAÇÕES DO 1O GRAU
Definição 14: Denomina-se inequação do 1o grau na variável x toda desigualdade que pode
ser reduzida a uma das formas:
a x b 0;
a x b 0;
a x b 0;
a x b 0.
com a , b R e a 0.
Exemplo:
Verificar se 4( x 1) x 2 3 x x ( x 1) é uma inequação do 1o grau.
4( x 1) x 2 3 x x ( x 1)
4 x 4 x 2 3 x x 2 x
4 x 3 x x 40
2 x 40
Logo, 2 x 4 é um polinômio do 1o grau, então 4( x 1) x 2 3 x x ( x 1) é uma inequação
do 1 grau.
o
20
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2.2.1
RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 1O GRAU
Definição 15: Para se resolver uma inequação do 1o grau, são utilizadas as propriedades das
desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Exemplos:
1) Resolver a inequação seguinte: 4( x 1) x 2 3 x x ( x 1). Represente a solução na reta real.
4( x 1) x 2 3 x x ( x 1)
4 x 4 x 2 3 x x 2 x
4 x 3 x x 40
2 x 4
x 2
x
2
S{ x R ; x 2}
2) Resolver a inequação seguinte:
x 1 4(1 x ) x 2 x
. Represente a solução na reta real.
4
3
2
6
x 1 4(1 x ) x 2 x
4
3
2
6
Reduzindo os dois membros ao menor denominador comum:
4 x 4 24 24 x 3x 4 2 x
12
12
Simplificando:
20 x 20 x 4
20 x x 204
21 x 16
Multiplicando por (1):
21 x 16
16
x
21
16
S{ x R ; x }
21
16
21
2.2.2
x
SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 1O GRAU
Definição 16: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela
intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
Exemplo:
Resolver a inequação 12 x 3 x . Apresente o conjunto solução S e represente na reta
real.
Na verdade, resolver essa inequação simultânea é equivalente a resolver o sistema:
x
(i)
(i) 1 2 x 3
1
x
(ii)
2 x 3
x
(ii)
3
21
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(i)
x
(ii)
x
(i) (ii)
1
S{ x R ; 1 x 3}
2.2.3
3
x
INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE
Uma inequação do 2o grau do tipo x 2 2 x 80 pode ser expressa por um produto de
inequações do 1o grau, fatorando o 1o membro da desigualdade:
x 2 2 x 8 0 ( x 2)( x 4) 0.
Definição 17:
RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos
o estudo dos sinais das funções polinomiais do 1 o grau envolvidas. A seguir, determinamos o sinal
do produto ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de
números reais.
Exemplos:
1) Resolver a inequação ( x 2 x 2)( x 2) 0.
( x 2 x 2)( x 2)0 ( x 2)( x 1)( x 2) 0
f(x) x 2
g(x) x 1
h(x) x 2
f(x) 0
g(x) 0
h(x) 0
2
1
2
x
x
x
a 0
a 0
a 0
f (x )
g(x )
h(x )
f (x) g(x ) h(x )
-2
1
2
S{ x R ; 2 x 1 ou x 2}
2) Resolver a inequação
f(x)
g(x)
3 x 1
x 2
3x 1
0.
x2
f(x)
g(x)
0
0
x
x
1/3
2
a<0
a<0
22
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f (x )
g(x )
f (x )
g(x )
S{ x R ;
1
2
3
1
x 2}
3
x2 9
3) Resolver a inequação
0.
x2
x2 9
( x 3) ( x 3)
0
0
x2
x2
f(x)
g(x)
h(x)
x 3
x 3
x 2
f(x) 0
g(x) 0
h(x) 0
x
x
x
3
3
2
a 0
a 0
a 0
f (x )
g(x )
h(x )
f (x ) g(x )
h(x )
S{ x R ;
-3
2
3
x 3 ou 2 x 3}
x2 2x 3
4) Determine o domínio da função y
.
x 5
x2 2x 3
( x 3) ( x 1)
0
0
x 5
x 5
f(x)
g(x)
h(x)
x 3
x 1
x 5
f(x) 0
g(x) 0
h(x) 0
x
x
x
3
1
5
a 0
a 0
a 0
f (x )
g(x )
h(x )
f (x ) g(x )
h(x )
D{ x R ;
-3
1
5
3 x 1 ou x 5}
23
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Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 02 – EXERCÍCIOS
(piscina, churrasqueira, etc) deve ter 200m 2, e
1) Dada a função f(x) = 5x – 2, determine:
a área interna da casa mais a área de lazer
a) f(2)
devem ultrapassar 50% da área total do
b) o valor de x para que f(x) = 0
terreno; além disso, o custo para construir a
2) Em uma função polinomial do 1o grau, y =
casa deverá ser de, no máximo, R$
f(x), sabe-se que f(1) = 4 e f(-2) = 10. Escreva
200.000,00. Sabendo que o metro quadrado
construído nessa região custa R$ 500,00, qual
1
a função f e calcule f
é a área interna da casa que o engenheiro
2
poderá projetar?
3) Um vendedor recebe mensalmente um
salário composto de duas partes: uma parte
fixa, no valor de R$900,00 e uma variável,
que corresponde a uma comissão de 8% do
total de vendas que ele fez durante o mês.
a) Expressar a lei da função que representa
seu salário mensal
b) Calcular o salário do vendedor que
durante um mês ele vendeu R$ 50.000,00 em
produtos
4) Num determinado país, o gasto
governamental com educação, por aluno em
escola pública, foi de 3.000 dólares no ano de
1985, e de 3.600 dólares em 1993. Admitindo
que o gráfico do gasto por aluno em função
do tempo seja constituído de pontos de uma
reta:
a) Obtenha a lei que descreve o gasto por
aluno (y) em função do tempo (x),
considerando x = 0 para o ano de 1985, x = 1
para o ano de 1986, x = 2 para o ano de 1987
e assim por diante.
b) Em que ano o gasto por aluno será o
dobro do que era em 1985?
5) Considere as funções f e g definidas em R
por f(x) = 8 – x e g(x) = 3x
a) Ache as raízes das funções f e g
b) Sabendo que os gráficos de f e g são
retas concorrentes, calcule as coordenadas do
ponto de intersecção.
6) Resolver a inequação 4 x 1 2(1 3x) 0
7) Determinar o conjunto verdade da
x 1 4(1 x) x 2 x
inequação:
3
2
4
6
2 x 1 5
8) Resolver o sistema
x 3 0
9) João possui um terreno de 1000m2, no qual
pretende construir uma casa. Ao engenheiro
responsável pela planta, ele impõe as
seguintes condições: a área destinada ao lazer
10)
Determinar
x 1
y
x3
o
domínio
da
função
Respostas:
1) a) 8
b) 2/5
2) f(x) = - 2x + 6 e f(-1/2) = 7
3) a) y = 900 + 0,08x
b) R$ 4900,00
4) a) y = 75x + 3000
b) 2025
5) a) 8 e 0
b) (2, 6)
1
6) S x R | x
2
16
7) S x R | x
21
8) S x R | x 3
9) entre 300m2 e 400m2
10) D x R | 1 x 3
24
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AULA 3
2.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2O GRAU
Definição 18: A função f : R R dada por f ( x ) a x 2 b x c , com a , b e c reais e a
0, denomina-se função polinomial do 2o grau ou função quadrática. Os números representados por
a , b e c são os coeficientes da função. Note que se a 0 temos uma função do 1o grau ou uma
função constante.
Exemplo:
Considere a função f do 2o grau, em que f (0)5, f (1)3 e f (1)1. Escreva a lei de
formação dessa função e calcule f (5).
Resolução
Tome
f (0)
f (1)
f (1)
f ( x ) a x 2 b x c , com a 0.
a (0)2 b (0) c
5
5
2
a (1) b (1) c
3
3
2
a (1) b (1) c 1
1
Resolvendo o sistema formado por (i) e (ii):
a b 2
(i)
a b 4
(ii)
2
(i)(ii)
6
a 3
b
a
A lei de formação da função será f ( x ) 3 x 2 x 5
f (5)3(5)2(5)5
f (5)65.
2.3.1
c
a b
a b
5
2
4
c
( i)
( ii)
5
1
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
O gráfico de uma função polinomial do 2o grau ou quadrática é uma curva aberta chamada
parábola.
Para evitar a determinação de um número muito grande de pontos e obter uma boa
representação gráfica, vamos destacar três importantes características do gráfico da função
quadrática:
(i) Concavidade
2.3.2
(ii) Zeros ou raízes
(iii) Vértice
CONCAVIDADE
A concavidade de uma parábola que representa uma função quadrática f ( x ) a x 2 b x c
do 2 grau depende do sinal do coeficiente a :
o
25
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a 0: concavidade para CIMA
a 0: concavidade para BAIXO
CONCAVIDADE DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
2.3.3
ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Definição 19: Os zeros ou raízes da função quadrática f ( x ) a x 2 b x c são as raízes da
equação do 2o grau a x 2 b x c 0, ou seja:
b b 2 4ac
Raízes: x
.
2a
Considerando b 2 4 a c , pode-se ocorrer três situações:
b
b
e x2
.
2a
2a
i)
0 as duas raízes são reais e diferentes: x1
ii)
0 as duas raízes são reais e iguais (raiz dupla): x1 x2
iii)
0 não há raízes reais.
b
.
2a
Obs.: Em uma equação do 2o grau a x 2 b x c 0, a soma das raízes é S e o produto é P tal
b
c
que: S x1 x2 e P x1 x2 .
a
a
Definição 20: Geometricamente, os zeros ou raízes de uma função polinomial do 2 o grau
são as abscissa dos pontos em que a parábola intercepta o eixo x .
2.3.4
VÉRTICE DA PARÁBOLA
Considere as parábolas abaixo e observe o vértice V ( xV , yV ) em cada uma:
Eixo de simetria
y
y
x1
x1
x2 x
V( xV , yV )
x2
x
V( xV , yV )
VÉRTICE DE PARÁBOLAS (0 PARA AS DUAS).
26
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Uma forma de se obter o vértice V ( xV , yV ) é:
xV
x1 x2
, já que o vértice encontra-se no eixo de simetria da parábola;
2
yV a xV2 b xV c , já que o xV foi obtido acima.
Outra forma de se obter o vértice V ( xV , yV ) é aplicando as fórmulas:
xV
b
e yV
.
2a
4a
2.3.5
GRÁFICO DE UMA PARÁBOLA
Com o conhecimento das principais características de uma parábola, podemos esboçar com
mais facilidade o gráfico de uma função quadrática.
Exemplos:
1) Construir o gráfico da função y x 2 2 x , determinando sua imagem.
a 10
Zeros da função:
Ponto onde a
parábola corta o
eixo y :
Vértice da
parábola:
concavidade voltada para cima.
x 2 2 x 0 x ( x 2)0 x1 0 e x2 2.
x 0 y 0
5
4
3
2
1
(0,0)
2
b
1
2a
2
V (1,1)
4
yV 1
4a
4
Imagem: y 1 para todo x Real
Im { y R ; y 1}
xV
y
-5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 x
V -2
-3
-4
-5
2) Construir o gráfico da função y x 2 4 x 5, determinando sua imagem.
concavidade voltada para baixo.
a 1 0
Zeros da função: x 2 4 x 50 4. zeros reais.
Ponto onde a
parábola corta o
x 0 y 5
(0,5)
eixo y :
b
4
Vértice da
xV
2
parábola:
2a
2
V (2,1)
4
yV
1
4a
4
Im { y R ; y 1}
Imagem: y 1 para todo x Real
5
4
3
2
1
y
-5 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 5 x
V
-2
-3
-4
-5
27
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2.3.6
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Os valores reais de x que tornam a função quadrática positiva, negativa ou nula, podem ser
dados considerando-se os casos, relacionados na tabela abaixo.
f ( x ) a x 2 b x c com ( a , b e c R e a 0)
a 0
a 0
x1
x2
x
x1
x2
x
f ( x )0 para x x1 ou x x2
f ( x )0 para x x1 ou x x2
f ( x )0 para x1 x x2
f ( x )0 para x1 x x2
f ( x )0 para x x1 ou x x2
f ( x )0 para x x1 ou x x2
x1
x2
x
x1
x2
x
f ( x )0 para x x1
f ( x )0 para x x1
f ( x )0 x real
f ( x )0 x real
f ( x )0 para x x1 x2
f ( x )0 para x x1 x2
x
x
f ( x )0 x real
f ( x )0 x real
f ( x )0 x real
f ( x )0 x real
f ( x )0 x real
f ( x )0 x real
2.4 INEQUAÇÕES DO 2O GRAU
Definição 21: Denomina-se inequação do 2o grau na variável x toda desigualdade que pode
ser reduzida a uma das formas:
a x 2 b x c 0;
a x 2 b x c 0;
28
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a x 2 b x c 0;
a x 2 b x c 0.
com a , b , c R e a 0.
RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO 2O GRAU
2.4.1
Definição 22: Para se resolver uma inequação do 2o grau, são utilizadas as propriedades das
desigualdades, apresentando-se o conjunto verdade da inequação (conjunto solução S).
Exemplo:
1) Resolver a inequação x 2 3 x 20.
Resolução
Estudar a variação do sinal da função f ( x ) x 2 3 x 2.
a 10
x 2 3 x 20
10
31
x
2
Concavidade para cima.
Duas raízes reais diferentes.
x1 1
x2 2
1
x
2
S{ x R ; x 1 ou x 2}. Obs: somente valores positivos.
2) Resolver a inequação x 2 10 x 250.
Resolução
Estudar a variação do sinal da função f ( x ) x 2 10 x 25.
a 10
x 2 10 x 250
0
10
x1 x2
2
Concavidade para cima.
Raiz dupla (única).
x 5
x
5
S R . Obs: Todos os valores são positivos ou iguais a zero.
3) Resolver a inequação 2 x 2 5 x 60.
Resolução
Estudar a variação do sinal da função f ( x )2 x 2 5 x 6.
a 20
2 x 5 x 6 0
23 0
Concavidade para
baixo.
x
2
Não possui zeros reais.
x real
S. Obs: Nunca se tem valores positivos ou iguais a zero.
29
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SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DO 2O GRAU
2.4.2
Definição 23: O conjunto solução S de um sistema de inequações é determinado pela
intersecção dos conjuntos soluções de cada inequação do sistema.
Exemplo:
2 x 2 8 x 2 6 x
1) Resolver o sistema de inequações
.
x 5 0
Resolução
(i) 2 x 2 8 x 2 6 x 2 x 2 8 x 2 6 x 0 x 2 6 x 80.
(ii) x 50.
Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x ) x 2 6 x 8.
a 1 0
x 2 6 x 80
Concavidade para cima.
40
Duas
raízes
diferentes.
x1 4
x2 2
x
62
2
S(i){ x R ;
reais
-4
-4
x 4 ou x 2}. Reta real:
x
-2
-2
x
Resolução de (ii): x 50 x 5.
-5
S(ii){ x R ; x 5}. Reta real:
Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii):
-4
-2
(i)
x
x
(ii)
-5
x
(i) (ii)
-5
x
S{ x R ;
x 5}.
2) Resolver a inequação x 4 x 2 4 x 2.
Resolução
(i) x 4 x 2 4 x 4 x 2 40 (1) x 2 x 0.
(ii) x 2 4 x 2 x 2 4 x 20 x 2 x 60.
Resolução de (i): Estudar a variação do sinal da função f ( x ) x 2 x .
Concavidade para cima.
a 1 0
2
x ( x 1)0 Zeros{0,1}.
x x 0
Duas raízes reais diferentes.
1 0
x1 0
1 1
x
0
x2 1
2
S(i){ x R ; x 0 ou x 1}. Reta real:
0
1
1
x
x
30
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Fundamentos Matemáticos da Computação
Resolução de (ii): Estudar a variação do sinal da função g ( x ) x 2 x 6.
Concavidade para cima.
a 1 0
2
x x 60
25 0 Duas raízes reais diferentes.
x1 2
1 5
x
-2
3
x2 3
2
-2
S(ii){ x R ; 2 x 3}. Reta real:
Intersecção entre (i) e (ii) (i)(ii):
0
1
(i)
(ii)
-2
(i) (ii)
-2
2.4.3
0
1
3
x
x
x
3
x
3
x
S{ x R ; 2 x 0 ou 1 x 3}.
INEQUAÇÃO-PRODUTO E INEQUAÇÃO-QUOCIENTE
Definição 24:
RESOLUÇÃO: Para resolver uma inequação-produto ou uma inequação-quociente, fazemos
o estudo dos sinais das funções polinomiais envolvidas. A seguir, determinamos o sinal do produto
ou quociente dessas funções, lembrando as regras de sinais do produto e do quociente de números
reais.
Exemplos:
1) Resolver a inequação ( x 2 2 x 3)( x 2 3 x 4)0.
Resolução
f(x)
g(x)
x 2 2 x 3
x 2 3 x 4
a
a
16
25
0
0
0 x1
0 x1
1
4
f(x)
x2
x2
e
e
=
=
g(x)
-1
3
x
-4
1
x
-1
3
x
-4
1
x
f (x )
g(x )
f (x ) g(x )
-4
-1
1
3
S{ x R ; 4 x 1 ou 1 x 3}.
31
3
1
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Fundamentos Matemáticos da Computação
2) Resolver a inequação
x 2 5x 6
x 2 16
0.
Resolução
f(x)
g(x)
x 2 5 x 6
x 2 16
0
0
a
a
1
64
0
0
x1
x1
2
4
f(x)
3
4
x2
x2
e
e
g(x)
2
3
x
-4
4
x
2
3
x
-4
4
x
f (x )
g(x )
f (x )
g(x )
-4
S{ x R ; x 4 ou 2 x 3 ou x 4}.
3) Determine o domínio da função f ( x )
2
3
4
x 2 3x 10
.
x6
Resolução
x 2 3x 10
0.
x6
0 49
0
0 g(x)
= 0
f só representa um número real se
f(x)
g(x)
x 2 3 x 10
x 6
a
a
f(x)
x1
x
2
6
e
5
x2
g(x)
-2
5
x
6
x
-2
5
x
6
x
f (x )
g(x )
f (x )
g(x )
-2
D { x R ; 2 x 5 ou x 6}.
5
6
AULA 03 – EXERCÍCIOS
32
Fundamentos Matemáticos da Computação
1) Considere a função f do 20 grau, onde f(0)
= 5, f(1) = 3 e f(-1) = 1. Escreva a lei de
formação dessa função e calcule f(5).
2) Determine o valor de m para que a
parábola que representa graficamente a
função y = 3x2 – x + m passe pelo ponto
(1, 6).
3) Determinar os zeros da função y = x2 – 4x
– 5.
4) Seja a função f(x) = x2 – 2x + 3k. Sabendo
que essa função possui dois zeros reais
iguais, determine o valor real de k.
5) A função f(x) = x2 + kx + 36 possui duas
raízes reais, m e n, de modo que
1 1 5
. Determine o valor de f(-1)
m n 12
nessa função.
6) Determinar as coordenadas do vértice V da
parábola que representa a função
f ( x) 5x 2 3x 1 .
7) Determinar a e b de modo que o gráfico da
função definida por y = ax2 + bx – 9 tenha
o vértice no ponto (4, - 25).
8) Determinar o conjunto imagem da função
f(x) = x2 – 3x + 2.
9) A função f(x) = x2 – x – 6 admite valor
máximo ou valor mínimo? Qual é esse
valor?
10) Considerar todos os possíveis retângulos
que possuem perímetro igual a 80 cm.
Dentre esses retângulos, determinar aquele
que terá área máxima. Qual será essa área?
11) Determinar p de modo que a função
f(x)= px2 + (2p – 1)x + p assuma valores
positivos para todo x real.
12) Resolver a inequação –x2 + 1 0.
13) Determinar o conjunto solução da
inequação x2 – 10x + 25 0.
14) Resolver a inequação x – 4 <x2 – 4 x +
2.
x2 1
15) Resolver a inequação
1
x3
Prof a Paula Francis Benevides
1) f(x) = - 3x2 + x + 5
f(5) = - 65
2) 4
3) 5 e -1
4) 1/3
5) 52
3 11
6) V ,
10 20
7) a = 1 e b = - 8
1
8) Im y R / y
4
9) O valor mínimo da função é y = - 25/4
10) O retângulo que terá a maior área será o
de lados 20 cm e 20cm, e a área máxima será
de 400cm2.
1
11) p R / p
4
12) S x R | x 1, ou, x 1
13) S = R
14) S x R | 2 x 0 ou 1 x 3}
15) S = {x R| x < - 3 ou -1< x <2}
Respostas
33
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Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 4
3. FUNÇÃO EXPONENCIAL
3.1 REVISÃO DE POTENCIAÇÃO
3.1.1
POTÊNCIAS COM EXPOENTE NATURAL
Sendo a um número real e n um número natural, com n 2, definimos:
a a
a .
an a
n fatores
Para n 1 e n 0 são definidos:
a1 a .
a 0 1 ( a 0).
3.1.2
POTÊNCIAS COM EXPOENTE INTEIRO
Se a é um número real não-nulo ( a 0) e n um número inteiro e positivo, definimos:
1
a n n .
a
3.1.3
POTÊNCIAS COM EXPOENTE RACIONAL
Se a é um número real positivo e
m
um número racional, com n inteiro positivo,
n
definimos:
m
a n am .
3.1.4
n
POTÊNCIAS COM EXPOENTE REAL
Podemos considerar que as potências com expoente real têm significado no conjunto dos
números reais. Temos, por exemplo: 10
2
25,954553519470080977981828375983.
3.1.4.1 Propriedades
Para as potências com expoente real são válidas as seguintes propriedades operatórias:
a m a n am n .
a m a n a m n ( a 0).
( a m ) n a m n .
( a b)n a n b n .
n
n
a a
n ( b 0).
b b
34
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Fundamentos Matemáticos da Computação
Exemplos
1) Dê o resultado mais simples de ( 53 5 6 ) 510 .
Resolução
Usando as propriedades, temos:
1
( 53 5 6 ) 510 ( 536 ) 510 59 510 5910 5 1 .
5
2
2) Calcule o valor da expressão
3
Resolução
2
3
2
2
3
3
1
60 .
2
3
18 1 8 11
9 1
3 1
1
6 0 1 1
.
4 8
8
8
2 2
2
3) Simplifique
2 x 5 2 x 2
2x
Resolução
2 x 5 2 x 2
2
2
x
.
2 x 25 2 x 2 2
2
x
2 x ( 25 2 2 )
2
x
2 5 2 2 28.
4
4) Calcule 8 3 .
Resolução
4
Primeira resolução: 8 3 3 8 4 3 4096 16.
4
4
Segunda resolução: 8 3 ( 23 ) 3 2
3 34
2 4 16.
5) Determine o valor de 810,7 810, 2 .
Resolução
810,7 810, 2 810,70, 2 810,5 (34 ) 0,5 32 9.
6) Qual o valor de (10
Resolução
(10
2
)
2
2
)
2
(0,1)5 10
(0,1)5 ?
2 2
(10 1 )5 10 2 10 5 10 2( 5) 10 7 10000000.
3.2 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Definição 25: Chama-se equação exponencial toda equação que contém incógnita no
expoente.
Exemplo:
2 x 16.
3 x1 3 x2 9.
3 x1 27.
10 2 2 x 5 2 2 x 10.
35
Fundamentos Matemáticos da Computação
3.2.1
Prof a Paula Francis Benevides
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências
de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação utilizando as definições e
propriedades da potenciação. Além disso, usaremos o seguinte fato:
Definição 26: Se a 0, a 1 e x é a incógnita, a solução da equação a x a p é x p .
Exemplos:
1) Resolver a equação 4 x 512.
Resolução
Usando as propriedades das potências, vamos transformar o 1 o e 2o membros da equação em
potências de mesma base:
9
4 x 512 ( 2 2 ) x 2 9 2 2 x 2 9 2 x 9 x .
2
9
S .
2
2) Uma empresa produziu, num certo ano, 8000 unidades de determinado produto. Projetando um
aumento anual de produção de 50%, pergunta-se:
a)Qual a produção P dessa empresa t anos depois?
b)Após quantos anos a produção anual da empresa será de 40500 unidades?
Resolução
50
a) Obs: 50%
0,5
100
Um ano depois: 80000,580008000(10,5)80001,5
Dois anos depois: (80001,5)1,58000 (1,5) 2
Três anos depois: (8000 (1,5) 2 )1,58000 (1,5)3
Produção P, t anos depois: P8000 (1,5)t
b)Fazendo P40500, na fórmula anterior, obtemos a equação:
405008000 (1,5)t
Resolvendo a equação:
405008000 (1,5)t
40500
3
(1,5)t
.
Obs: 1,5 .
8000
2
t
3 81
2 16
t
4
3 3
4
2 2
t
4
3 3
t 4.
2 2
Desse modo, a produção anual da empresa será de 40500 unidades após 4 anos.
3) Determine o conjunto solução da equação 81x2 1 no universo dos números reais.
Resolução
Sabendo que 810 1, temos:
81x2 1 81x2 810 x 20 x 2.
S{2}.
36
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3.2.2
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RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS COM O USO DE ARTIFÍCIOS
Para se resolver determinadas equações exponenciais, são necessárias algumas
transformações e artifícios.
Exemplos:
1) Resolver a equação 4 x 5 2 x 40.
Resolução
Usando as propriedades da potenciação, vamos fazer uma transformação na equação dada:
x
4 5 2 x 40 ( 2 2 ) x 5 2 x 40 ( 2 x ) 2 5 2 x 40.
Fazendo 2 x y , temos a equação do 2o grau em y :
5 25 16
y1 4 e y 2 1.
2
Voltando à igualdade 2 x y :
y1 4:
y 2 5 y 40 y
2 x y 2 x 4 2 x 2 2 x 2.
y 2 1:
2 x y 2 x 1 2 x 2 0 x 0.
S{0,2}.
2) Determine o conjunto solução da equação 5 x 5 2 x 24.
Resolução
Preparando a equação, temos:
25
1
5 x 5 2 x 24 5 x 5 2 5 x 24 5 x 25 x 24 5 x x 24.
5
5
x
Fazendo 5 y , temos:
y 25
25
24 y 2 2524 y y 2 24 y 250 1
y
y
y2 1
Voltando à igualdade 5 x y :
y1 25:
5 x y 5 x 25 5 x 5 2 x 2.
y 2 1:
5 x y 5 x 1 Esta equação não tem raiz em R , pois 5 x 0, para todo x real.
S{2}.
3.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição 27: A função f : R R dada por f ( x ) a x (com a 0 e a 1) é denominada
função exponencial de base a .
3.3.1
GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NO PLANO CARTESIANO
Dada a função f : R R , definida por f ( x ) a x (com a 0 e a 1), temos dois casos para
traçar seu gráfico: (i) a 1 e (ii) 0 a 1.
(i)
a 1.
37
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1) Traçar o gráfico de f ( x ) 2 x .
x
f ( x ) 2 x
2
1
0
1
2
3
y
8
7
6
5
4
3
2
1
1
4
1
2
1
2
4
8
-4 -3 -2 -1
0
1 2 3 4
x
Obs.1: Quanto maior o expoente x , maior é a potência a x , ou seja, se a 1 a função
f ( s) a x é crescente.
(ii)
0 a 1.
x
1
2) Traçar o gráfico de f ( x ) .
2
3
x
x
1
f ( x )
2
8
2
1
0
1
2
y
8
7
6
5
4
3
2
1
4
2
1
1
2
1
4
-4 -3 -2 -1
0
1 2 3 4
x
Obs.2: Quanto maior o expoente x , menor é a potência a x , ou seja, se 0 a 1 a função
f ( x) a x é decrescente.
Com base no gráfico, podem-se tirar algumas considerações:
3.3.2
CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Seja f : R R , definida por f ( x ) a x (com a 0 e a 1).
Domínio da função f são todos os números reais D R .
Imagem da função f são os números reais positivos Im R .
A curva da função passa pelo ponto (0,1).
38
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A função é crescente para a base a 1.
A função é decrescente para a base 0 a 1.
3.4 INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Definição 28: São inequações exponenciais aquelas que aparecem incógnitas no expoente.
3.4.1
RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Para resolver inequações exponenciais, devemos observar dois passos importantes:
Redução dos dois membros da inequação a potências de mesma base;
Verificar a base da exponencial, a 1 ou 0 a 1, aplicando as propriedades
abaixo.
Caso (i): a 1
Caso (ii): 0 a 1
am an m n
am an m n
As desigualdades têm mesmo sentido
As desigualdades têm sentidos diferentes
Exemplos:
1) Resolva a inequação 2 x 32.
Resolução
Como 2 5 32, a inequação pode ser escrita:
2 x 2 5 Caso (i): a 1.
x 5.
S{ x R ; x 5}.
2) Resolva a inequação ( 3 )3 x
Resolução
( 3 )3 x
2
2 x
2
1 ( 3 )3 x
2 x
2
1.
2 x
( 3) 0 Caso (i): a 1.
3 x 2 2 x 0
Tome f ( x )3 x 2 2 x
2
x1
f ( x )0 3 x 2 x 0
3
x2 0
2
2
3
0
1
3) Resolva a inequação
2
Resolução
x 3
x
x 3
S{ x R ; x 2/3 ou x 0}.
1
2
2 x 7
.
2 x 7
1
1
Caso (ii): 0 a 1.
2
2
x 32 x 7 x 10 (1) x 10.
S{ x R ; x 10}.
39
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AULA 4 - EXERCÍCIOS
1) Uma cultura inicial de 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. Supondo que, por divisão
celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras bactérias idênticas por hora.
a) Qual a população dessa cultura após 3 horas do instante inicial?
b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias?
2) Resolva as equações:
a) 21x 8 72
3x
0
b) 4 x 4
81
3) Determine o conjunto solução das seguintes equações:
a) 32 x 28.3 x 27 0
b) 2 2 x 32 12.2 x
16 x 64
4 x 1
c)
5
4) Se f(x) = x2 + x e g(x) = 3x, determine x para que f(g(x)) = 2.
5) Cada golpe de uma bomba extrai 10% de óleo de um tanque. A capacidade do tanque é de 1 m 3
e, inicialmente, esta cheio.
a) Após o 5o golpe, qual o valor mais próximo para o volume de óleo que permanece no
tanque?
b) Qual é a lei da função que representa o volume de óleo que permanece no tanque após n
golpes?
6) Resolva as inequações:
a)
5
x 2 3 x
3 x 1
5
4
x 5
1
1
b)
3
3
2 X 2
0,75 2 x 2 1
c) 2
7) Determine o domínio da função y 2 x 2 1
Respostas:
1) a) 800 bactérias
b) 9 horas
2) a) 3/2
b) 4
3) a) {0, 3}
b) {2, 3}
c) {1, 2}
4) x = 0
5) a) 0,59m3
b) f(n) = 1 . (0,9)n
6) a) {x R / x 1, ou, x 4}
b) {x R / x 3}
c) {x R / x 0}
7) {x R / x 2}
40
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AULA 5
4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA
4.1 DEFINIÇÃO DE LOGARITMO
Definição 29: Dados dois números reais positivos, a e b , com a 1, existe um único
número real x de modo que a x b . Este número x é chamado de logaritmo de b na base a e
indica-se log a b .
Podemos então, escrever:
a x b x log a b (1 a 0 e b 0).
Na igualdade x log a b , temos:
a é a base do logaritmo;
b é o logaritmando ou antilogaritmo;
x é o logaritmo.
Exemplos:
Calcular o valor de x nos exercícios seguintes:
1) log 2 32 x .
2 x 32 2 x 2 5 x 5.
2) log 4 16 x .
4 x 16 4 x 4 2 x 2.
3) log8 x 1.
81 x x 8.
4) log 3 81 x .
3 x 81 3 x 34 x 4.
5) log 5 1 x .
5 x 1 5 x 5 0 x 0.
Obs.1: log b significa log10 b . Quando não se indica a base, fica subentendido que a base é 10.
4.2 CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
Tome 1 a 0, b 0 e m um número real qualquer. Da definição de logaritmos, pode-se
verificar que:
O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero.
log a 1 0, pois a 0 1.
O logaritmo da própria base é igual a 1.
log a a
1
1, pois a a .
41
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O logaritmo de uma potência da base é igual ao expoente.
log a a m m , pois a m a m .
O logaritmo de b na base a é o expoente ao qual devemos elevar a para obter b .
a loga b b , pois a x b x log a b .
4.3 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Logaritmo de produto
log a ( x y) log a x log a y (1 a 0, x 0 e y 0).
Logaritmo de quociente
x
log a log a x log a y (1 a 0, x 0 e y 0).
y
Logaritmo de potência
log a x m m log a x (1 a 0, x 0 e m R ).
4.4 COLOGARITMO
Cologaritmo de um número positivo b numa base a (1 a 0) é o logaritmo do inverso
desse número b na base a .
1
co log a b log a co log a b log a b (1 a 0 e b 0).
b
Exemplo:
Sabendo que log 3 a e log 5 b , calcule os logaritmos abaixo, em função de a e b .
log 15
log 15 log (35) log 3 log 5 a b .
log 675
log 675 log ( 33 5 2 ) log 33 log 5 2 3 log 32 log 53 a 2 b .
log 2
log 2 log
10
5
log 10 log 5 1 b .
4.5 MUDANÇA DE BASE
As propriedades logarítmicas são válidas para logaritmos numa mesma base, por isso, em
muitos casos, é conveniente fazer a conversão de logaritmos de bases diferentes para uma única
base.
A seguir, será apresentada a fórmula de mudança de base.
Seja:
log a b x a x b .
Aplicando o logaritmo na base c em ambos os membros, obtemos:
log c b
log c a x log c b x log c a log c b x
, mas x log a b .
log c a
Então:
42
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log a b
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log c b
(1 a 0, 1 c 0 e b 0).
log c a
Exemplos:
1) Sendo log 20,3 e log 30,4, calcule log 2 6 .
log 2 6
log 6 log( 2 3) log 2 log 3 0,3 0,4 0,7 7
.
log 2
0,3 3
0,3
log 2
log 2
2) Resolva a equação log 2 x log 4 x log16 x 7.
A condição de existência é x 0.
Transformando para a base 2:
log 2 x log 4 x log16 x 7
log 2 x log 2 x
7
log 2 x
log 2 4 log 2 16
log 2 x log 2 x
7
log 2 x
2
4
4 log 2 x 2 log 2 x log 2 x 28
4
4
7 log 2 x 28
log 2 x 4
24 x
x 16 16 satisfaz a condição de existência.
Logo, o conjunto solução é:S{16}.
3) Resolva a equação log 2 ( x 2) log 2 ( x 2)5.
Condições de existência são: x 20 e x 20 x 2 e x 2. Então: x 2.
log 2 ( x 2) log 2 ( x 2)5
log 2 [( x 2)( x 2)]5
( x 2)( x 2) 2 5
x 2 432
x 2 36
x 2 6 6 não satisfaz a condição de existência mas, 6 satisfaz.
Logo, o conjunto solução é: S{6}.
43
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4.6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A função exponencial g : R R definida por g ( x ) a x (com 1 a 0) é bijetora. Nesse
caso, podemos determinar a sua função inversa. É a função logarítmica definida abaixo.
Definição 30: A função f : R R definida por f ( x ) log a x (com 1 a 0) é chamada
função logarítmica de base a .
4.6.1
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA NO PLANO CARTESIANO
Como os gráficos de funções inversas são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes
ímpares, o gráfico da função logarítmica é de imediata construção, uma vez que já vimos o gráfico
da função exponencial.
Seja f : R R , tal que y loga x e f 1 : R R , tal que y a x . Os gráficos de f e f 1
serão plotados no mesmo plano cartesiano ortogonal.
(i)
a 1.
y
y =x
8
7
6
5
4
3
2
1
y = ax
-4 -3 -2 -1 0
y =loga x
x
1 2 3 4
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL ( a 1).
(ii)
0 a 1.
y
y =x
8
7
6
5
4
3
2
1
y = ax
-4 -3 -2 -1
0
1 2 3 4
x
y =loga x
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA E EXPONENCIAL (0 a 1).
44
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4.7 INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Chamamos de inequação logarítmica toda inequação que envolve logaritmos com a
incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos.
Exemplos:
1) Resolva a inequação log 1 ( x 3) log 1 4.
2
2
Condição de existência:
x 30 x 3 (i).
Base: (0 a 1). Como a base é um número entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente e
o sentido da desigualdade se inverte para os logaritmandos.
x 34 x 3 (ii).
A solução da inequação deve satisfazer as duas condições:
3
x
(i)
7
(ii)
(i) (ii)
S{ x R ; 3 x 7}.
x
x
3
7
2) Resolva a inequação log 4 ( x 2 x ) log 4 (2 x 10).
1a Condição de existência:
x 2 x 0 x 0 ou x 1 (i).
2a Condição de existência:
2 x 100 x 5 (ii).
Base: ( a 1).
x 2 x 2 x 10 x 2 x 2 x 100 x 2 3 x 100 x 2 ou x 5 (iii).
A solução da inequação deve satisfazer as três condições:
x
(i)
0
1
x
(ii)
-5
x
(iii)
-2
5
x
(i) (ii) (iii)
-5
-2
0
1
S{ x R ; 5 x 2 ou x 5}.
3) Suponha que o preço de um carro sofra uma desvalorização de 20% ao ano. Depois de quanto
tempo, aproximadamente, seu preço cairá para cerca da metade do preço de um carro novo? (Use
log10 20,3).
t
8
p p0 (10,2) t p p0 (0,8) t p p0
10
p
Procura-se p 0 , logo:
2
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t
t
p0
1 2 3
8
p0 ( p0 0) 2 1 23t 10 t
2
2 10
10
Aplicando log10 em ambos os membros, temos:
log10 2 1 log10 ( 23t 10 t )
log10 2 1 log10 ( 23t 10 t )
log10 2 1 log10 23t log10 10 t
log10 23 t log10 2 t log10 10
0,33 t 0,3 t
0,30,9 t t
0,30,1 t
t 3
O preço do carro cairá para a metade do preço do carro novo depois de 3 anos.
AULA 05 – EXERCÍCIOS
1) Resolva as seguintes equações:
a) log2 (x – 4) = 3
b) logx (3x2 – x) = 2
c) (log3x)2 – log3x – 6 = 0
d) log5(log3x) = 1
2) Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477,
calcule:
a) log 6
b) log 5
c) log 2,5
d) log 3
3) Qual o conjunto solução da equação
a) log 2 (3x 1) log 4 ( x 1) 1
2
b) log 10 x log 100 x 2
Respostas:
1) a) 12
b) ½
c) {1/9, 27} d) 243
2) a) 0,778
b) 0,699
c) 0,398
d) 0,2385
3) a) 1
b) 100
4) {x R / x 3, ou, x 4, e, x 5}
5) a) S {x R / x 1}
b) S {x R / x 6}
c) S {x R / 2 x 5}
4) Determine o campo de existência da função
f ( x) log 3 ( x 2 x 12) log 3 ( x 2 10 x 25)
5) Resolva as inequações:
a) log3(5x – 1) > log3 4
b) log2(x – 4) > 1
c) log12(x – 1) + log12(x – 2) 1
46
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AULA 6
5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
5.1 SENO E COSSENO DE UM ARCO:
Tome o arco dado na figura abaixo:
N
O
P
MA
Arco para o conceito de seno e cosseno.
Seno de um arco é a ordenada do ponto P.
sen ON MP .
Cosseno de um arco é a abscissa do ponto P.
cos OM NP .
5.1.1
CONSEQÜÊNCIAS:
Para qualquer ponto da circunferência, a ordenada e a abscissa nunca são menores que 1
nem maiores que 1. Por isso dizemos que seno e cosseno são números compreendidos entre 1 e
1, o que nos permite concluir:
1 sen 1 e 1 cos 1
5.1.2
FUNÇÃO SENO E FUNÇÃO COSSENO
Função seno é a função que associa a cada arco x R o número senx R , ou y senx .
Função cosseno é a função que associa a cada arco x R o número cos x R , ou y cos x .
5.1.3
GRÁFICO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO
Para estudar a função seno ( y sen x ) e a função cosseno ( y cos x ) vamos variar x no
intervalo [0,2].
5.1.3.1 Função seno:
y sen x
1
O
A
O
y
6 4 3 2
3
2
2
x
1
GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO.
47
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5.1.3.2 Conclusões
O domínio da função y sen x é o conjunto dos números reais, isto é, D R .
A imagem da função y sen x é o intervalo [1,1], isto é, 1 sen x 1.
Toda vez que somamos 2 a um determinado valor de x , a função seno assume o mesmo valor.
Como 2 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função y sen x é
p 2.
Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o
arco x .
Quando adicionamos 2 k ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o seno, pois a
função seno é periódica de período 2.
sen x sen ( x 2 k ), k Z (Inteiros).
5.1.3.3 Seno é função ímpar
No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e x têm imagens
simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que as ordenadas desses pontos têm o
mesmo valor absoluto, porém, sinais opostos. Então, sen ( x ) sen x .
Quando uma função f é tal que f ( x ) f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos que
f é uma função ímpar.
Como sen ( x ) sen x , para todo x real, podemos afirmar que a função seno é ímpar.
5.1.3.4 Função cosseno
y cos x
1
O
A
O
y
6 4 3 2
3
2
2
x
1
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSENO.
5.1.3.5 Conclusões
O domínio da função y cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D R .
A imagem da função y cos x é o intervalo [1,1], isto é, 1 cos x 1.
O período da função y cos x é p 2.
Essa conclusão pode ser obtida, também, a partir do ciclo trigonométrico onde marcamos o
arco x .
Quando adicionamos 2 k ao arco x , obtemos sempre o mesmo valor para o cosseno, pois a
função cosseno é periódica de período 2.
cos x cos ( x 2 k ), k Z (Inteiros).
48
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5.1.3.6 Cosseno é função par
No ciclo trigonométrico, os pontos correspondentes aos números x e x têm imagens
simétricas em relação ao eixo das abscissas. Daí resulta que esses pontos têm a mesma abscissa.
Então, cos ( x ) cos x .
Quando uma função f é tal que f ( x ) f ( x ), para todo x do seu domínio, dizemos que
f é uma função par.
Como cos ( x ) cos x , para todo x real, podemos afirmar que a função cosseno é par.
Exemplos:
1) Construa o gráfico da função y 2 sen x , dando o domínio, a imagem e o período.
x
0
2
3
2
2
sen x
0
2 sen x
20
y
0
1
21
2
0
20
0
1
2(1)
2
0
20
0
2
1
y
2
O
1
2
3
2
2
x
Observando o gráfico, temos:
D R , Im [2,2], e p 2.
2) Construa o gráfico da função y cos
x
2
0
2
3
2
2
x
2
x
, dando o domínio, a imagem e o período.
2
y
x
cos
0
1
1
0
0
2
1
1
1
3
0
0
4
1
1
O
1
y
2
3
4
x
Observando o gráfico, temos:
D R , Im [1,1], e p 4.
5.2 TANGENTE DE UM ARCO
Tome o arco dado na figura abaixo:
49
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eixo das tangentes
N
P
O
M
T
A
ARCO PARA O CONCEITO DE TANGENTE.
Tangente de um arco é a ordenada do ponto T (segmento AT).
tan AT .
5.2.1
CONSEQÜÊNCIAS
O eixo vertical, suporte de AT , é chamado eixo das tangentes.
Podemos dizer que tan só é definida se R e
5.2.2
k ( k Z ).
2
FUNÇÃO TANGENTE
Função tangente é a função que associa a cada arco x R , com x k ( k Z ), o
2
número tan x R , ou y tan x .
5.2.3
GRÁFICO DA FUNÇÃO TANGENTE
Para estudar a função tangente ( y tan x ) vamos variar x no intervalo [0,2].
y
1,73
1
0,58
O
6 4 3 2
O
0,58
1
A
3
2
2
x
1,73
Gráfico da função tangente.
5.2.4
CONCLUSÕES
O domínio da função y tan x é o conjunto dos números reais x R , com x
isto é, D { x R / x
k , k Z }.
2
k ( k Z ),
2
A imagem da função y tan x é o conjunto dos números reais.
50
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Toda vez que somamos k a um determinado valor de x , a função tangente assume o
mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
y tan x é p .
tan ( x k ) tan x , k Z .
5.2.5
TANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR
Como tan( x) tan x , para todo x real, com x
k ( k Z ), podemos afirmar que a
2
função tangente é ímpar.
5.3 COTANGENTE DE UM ARCO
Tome o arco dado na figura abaixo:
B
N
O
C
eixo das
cotangentes
P
A
M
Arco para o conceito de cotangente.
Cotangente de um arco é a abscissa do ponto C (segmento BC).
cot BC .
5.3.1
CONSEQÜÊNCIAS
O eixo horizontal, suporte de BC , é chamado eixo das cotangentes.
Podemos dizer que cot só é definida se R e k ( k Z ).
5.3.2
FUNÇÃO COTANGENTE
Função cotangente é a função que associa a cada arco x R , com x k ( k Z ), o número
cot x R , ou y cot x .
51
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5.3.3
GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE
Para estudar a função cotangente ( y cot x ) vamos variar x no intervalo [0,2].
y
1,73
1
0,58
O
A
O
0,58
1
6 4 3 2
3
2
2 x
1,73
GRÁFICO DA FUNÇÃO COTANGENTE.
5.3.4
CONCLUSÕES
O domínio da função y cot x é o conjunto dos números reais x R , com x k ( k Z ), isto
é, D { x R / x k , k Z }.
A imagem da função y cot x é o conjunto dos números reais.
Toda vez que somamos k a um determinado valor de x , a função cotangente assume o mesmo
valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
y cot x é p .
cot ( x k ) cot x , k Z .
5.3.5
COTANGENTE É UMA FUNÇÃO ÍMPAR
Como cot( x) cot x , para todo x real, com x k ( k Z ), podemos afirmar que a
função cotangente é ímpar.
5.4 SECANTE E COSSECANTE DE UM ARCO
Tome o arco dado na figura abaixo:
D
N
O
P
MA
S
Arco para o conceito de secante e cossecante.
52
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Traçando uma reta tangente à circunferência pelo ponto P, interceptamos o eixo das
abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D.
sec OS .
cos sec OD .
5.4.1
FUNÇÃO SECANTE E COSSECANTE
Função secante é a função que associa a cada arco x R , com x
k ( k Z ), o
2
número sec x R , ou y sec x
Função cossecante é a função que associa a cada arco x R , com x k ( k Z ), o número
cos sec x R , ou y cos sec x .
5.4.2
GRÁFICO DA FUNÇÃO SECANTE
Para estudar a função secante ( y sec x ) vamos variar x no intervalo [0,2].
y
2
1,41
1,15
1
O
A
O
6 4 3
2
3
2
2 x
1
1,15
1,41
2
Gráfico da função secante.
5.4.3
CONCLUSÕES
y sec x é o conjunto dos números reais x R , com
x k (k Z ) , isto é, D { x R / x k , k Z }.
2
2
A imagem da função y sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou
menores ou iguais a 1, isto é, Im { y R / y 1 ou y 1}.
Toda vez que somamos 2 k a um determinado valor de x , a função secante assume o
mesmo valor. Como 2 é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
y sec x é p 2.
sec ( x 2 k ) sec x , k Z .
O domínio da função
53
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5.4.4
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE
Para estudar a função cossecante ( y cos sec
x ) vamos variar x no intervalo [0,2].
y
2
1,41
1,15
1
O
6 4 3
O
A
2
3
2
2
x
1
1,15
1,41
2
GRÁFICO DA FUNÇÃO COSSECANTE.
5.4.5
CONCLUSÕES
O domínio da função y cos sec x é o conjunto dos números reais x R , com x k ( k Z ),
isto é, D { x R / x k , k Z }.
A imagem da função y cos sec x é o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1 ou
menores ou iguais a 1, isto é, Im { y R / y 1 ou y 1}.
Toda vez que somamos 2 k a um determinado valor de x , a função cossecante assume o
mesmo valor. Como é o menor número positivo para o qual isso acontece, o período da função
y cos sec x é p 2.
cos sec ( x 2 k ) cos sec x , k Z .
5.5 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Será feito o estudo das relações que existem entre as funções trigonométricas, pois elas têm
muitas aplicações na trigonometria e fora dela. Para as deduções das relações, tomaremos como
base o ciclo trigonométrico e um ângulo dado.
eixo das tangentes
D
B
N
O
C
eixo das
cotangentes
PT
MA S
Funções trigonométricas no ciclo.
Podemos identificar as funções trigonométricas no ciclo, em relação ao ângulo :
54
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sen ON ; cos OM ; tan AT ; cot BC ; sec OS e cos sec OD .
Analisando as funções no ciclo e fixando inicialmente o ângulo , podemos fazer as
seguintes mudanças, para facilitar o entendimento das relações trigonométricas:
sec
F
cos
BD
sec
sen tan
AC
O
E
cos
cot
1
unidade
Funções adaptadas no ciclo.
Com as novas adaptações, temos as seguintes funções:
sen AB ; cos OA ; tan CD ; cot OE ; sec OD e cos sec OF .
Daí tiram-se três triângulos semelhantes:
OAB OCD OEF .
F
B
O
1
sen
cos A
1
O
sec
1
sec
cos
D
tan
C
1
O
2
cot
E
3
Triângulos semelhantes.
5.5.1
USANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS
sen 2 cos 21;
tan 21 sec 2;
cot 21 cos sec 2.
5.5.2
USANDO SEMELHANÇA ENTRE TRIÂNGULOS
Com base na figura acima, tome as seguintes proporções, dadas as razões entre os
triângulos:
Razões do triângulo 2 para 1 :
sec
1
1
sec
;
cos
cos
1
tan sen
sen
tan
.
cos
cos
1
55
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Razões do triângulo 3 para 1 :
cos sec
1
1
cos sec
;
sen
sen
1
cot cos
cos
cot
.
sen
sen
1
Razões do triângulo 3 para 2 :
sec
cos sec sec
cos sec
;
1
tan
tan
cot
1
1
cot
.
1
tan
tan
Exemplos:
Com base nos três triângulos semelhantes da figura anterior, resolva os exercícios que
seguem abaixo:
1) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo
1
para
2
.
1
para
3
.
2
para
3
.
tan
;
sec
1
cos
.
sec
sen
2) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo
1
;
cos sec
cot
cos
.
cos sec
sen
3) Determine as razões que se pede abaixo, do triângulo
cos sec
;
cot
1
.
tan
cot
sec
5.5.3
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
A igualdade sen 2 cos 21 é verdadeira para qualquer pertencente aos domínios das
funções seno e cosseno. Logo, ela é uma identidade trigonométrica.
Quando temos uma igualdade, só podemos aceitá-la como identidade após uma prova, ou
seja, após uma demonstração.
Para fazer uma demonstração desse tipo, podemos nos valer de qualquer das relações dadas
acima, que são identidades.
56
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5.5.3.1 Processo para demonstrar identidades
Considerando a igualdade, levaremos todas as funções envolvidas para uma razão
equivalente em um dos três triângulos. Depois é só operar ambos os membros e chegar a uma
mesma expressão.
Exemplos:
Nos exercícios seguintes, demonstre que as igualdades são identidades:
2
1) tan sen 2 tan 2 sen 2
F
O
B
1
sen
cos A
O
1
sec
1
D
c
tan
C
ec
oss
1
cot
O
2
E
3
Levar do triângulo 2 para 1 :
tan 2 sen 2 tan 2 sen 2
sen2
sen2
2
sen
sen 2
cos 2
cos 2
sen4 sen2 sen2 cos 2
cos 2
cos 2
sen4 sen2 (sen2 )
cos 2
cos 2
sen4 sen4
C.Q.D. (como queríamos demonstrar).
cos 2 cos 2
2) (1 cot )2(1 cot )22 cos sec 2
F
B
O
1
sen
cos A
1
O
sec
1
2
sec
cos
D
tan
C
1
O
cot
E
3
Todas as funções já se encontram no triângulo 3 , basta desenvolver:
(1 cot )2(1 cot )22 cos sec 2
(1 cot )2(1 cot )22 cos sec 2
12 cot cot 212 cot cot 22 cos sec 2
22 cot 22 cos sec 2
2(1 cot 2)2 cos sec 2
2 cos sec 22 cos sec 2 C.Q.D.
57
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3) sec 2 cos sec 2 sec 2 cos sec 2
F
B
1
sen
cos A
O
sec
1
O
1
3
Levar do triângulo
sec
cos
D
tan
C
cot
O
2
2
para
1
E
3
:
sec 2 cos sec 2 sec 2 cos sec 2
sec 2
sec 2
2
sec 2
sec
tan 2
tan 2
sec2 tan2 sec2 sec 4
tan 2
tan 2
sec2 (tan2 1) sec 4
tan 2
tan2
sec2 (sec2 ) sec 4
tan 2
tan 2
sec 4 sec 4
C.Q.D.
tan 2 tan 2
4)
cos
sen
1
cos sec
sec
F
B
O
1
sen
cos A
sec
1
O
1
Levar dos triângulos
3
e
2
2
para
1
D
c
tan
C
ec
oss
1
O
cot
E
3
:
sen
cos
1
cos sec
sec
sen
cos
1
1
1
sen
cos
2
sen 1 cos 2
sen 2 sen 2 C.Q.D.
58
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5)
cos sec sen
cot 3
sec cos
F
B
O
1
sen
cos A
O
sec
1
1
Levar dos triângulos
1
sec
cos
D
tan
C
O
cot
2
e
2
para
3
1
E
3
:
cos sec sen
cot 3
sec cos
1
cos sec
cos sec cot 3
cos sec
cot
cot
cos sec
2
cos sec 1
cos sec
cot 3 Obs: cos sec 21 cot 2
cos sec2 cot 2
cot cos sec
cot cos sec
cot 2
cot 3
2
2
cos sec cos sec cot
1
cot 3 cos sec
cot 3
2
cos sec
1 cot cot 2
1
cot 3
cot 3
1 0
3
cot cot 3 C.Q.D.
AULA 6 – EXERCÍCIOS
1) Dado sen x = 3/4 , com 0<x< /2,
calcular cos x.
2) Para que valores de a temos,
simultaneamente, senx=a + 1 e cos x = a?
3
cos x
3)
Dado
,
com
3
x , calcule tg x.
2
4)
Simplifique
a
expressão
tg cot g
.
sec cot g
5) Demonstre as seguintes identidades:
a) (1 + cotg2x)(1 – cos2x) = 1
b) tg x + cotgx = tg x. Cossec2x
sen2 x
cos x
x
c)
tg
1 cos 2 x 1 cos x
2
Respostas:
7
4
2) a = 0 ou a = -1
3) tgx 2
4) sec
1) cos x
59
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AULA 7
6. POLINÔMIOS
6.1 FUNÇÃO POLINOMIAL:
Definição: Dados os números reais na, a
variável x toda expressão da forma:
n – 1,
... , a2, a1, a0, chamamos de polinômio na
P( x) a0 x n a n1 x n1 ... a2 x 2 a1 x a0 , n N
onde anxn, an-1xn-1,...,a2x2, a1x e a0 são os termos e an, an-1, ..., a2, a1 e a0 são os coeficientes do
polinômio.
Observações:
Se an 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P) = n
Se P(x) = 0, não se define o grau do polinômio.
Exemplos:
1) Assinale as expressões que representam polinômios?
( ) 3x3 + x + 1
1
( ) x-1 + + 3
x
3
( ) 3x x 2 5
( ) x5 + 3x – 7
( ) 4 xx
2) Em função das variáveis k, m ou a, determinar os graus dos seguintes polinômio:
a. P(x) = kx2 + 3x + 7
b. P(x) = kx3 + mx2 + 6x + 4
c. P(x) = (a2 – 1)x3 + (a – 1)x2 + 3x
60
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6.2 POLINÔMIO IDÊNTICO A ZERO OU IDENTICAMENTE NULO:
É qualquer polinômio P( x) a0 x n a n1 x n1 ... a2 x 2 a1 x a0 em que todos os
coeficientes são nulos.
P( x) 0 an 0, an1 0,..., a1 0 e a0 0
Notação: P( x) 0
6.3 POLINÔMIOS IDÊNTICOS:
Dados
os
n 1
n 1
polinômios
P1 ( x) a0 x n a n1 x n1 ... a2 x 2 a1 x a0
e
P2 ( x) b0 x b x ... b2 x b1 x b0 , dizemos que P1(x) é idêntico a P2(x) se, e somente se,
an = bn, an-1 = bn-1,..., a1 = b1 e a0 = b0.
Assim:
n
2
P1 ( x) P2 ( x) an bn , an1 bn1 ,..., a1 b1 e a0 b0
Exemplos:
1) Determinar a e b para que o polinômio P(x) = (a 2 – 1).x2 + (a – 1)x + b – a seja identicamente
nulo.
2) Determinar m, n e p para que P(x) = (m + n – 3)x2 + (m – n -1)x + n – p seja identicamente nulo.
3) Calcular os valores de m e n, de modo que x2 + x – 3 (m – n)x2 + x – (m + n)
61
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6.4 VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO:
O valor numérico do polinômio P1 ( x) a0 x n a n1 x n1 ... a2 x 2 a1 x a0 , para x igual
a um número qualquer é: P( ) an n an1 n1 ... a2 2 a1 a0 .
Na prática, para obter P( ) , basta substituir x por em P(x).
Observações:
Quando P( ) = 0 é raiz de P(x).
Exemplo: Verifique se os números 2 e 3 são raízes de P(x) = x2 – 5x + 6
Como (1)n = 1, n N, P(1) é a soma dos coeficientes de P(x).
Exemplo: Se P(x) = 5x4 + 3x3 – 2x2 – 4x + 1, então P(1) =_______________ é a
soma dos coeficientes de P(x).
P(0) é igual ao termo independente de P(x)
Exemplo: Sendo P(x) = ax3 + ax2 + ax + c e P(0) = - 7, determine a para que 1 seja
raiz de P(x).
6.5 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE POLINÔMIOS:
6.5.1
ADIÇÃO:
Dados
Q( x) b0 x b
n
os
n 1
x
n 1
polinômios
P( x) a0 x n a n1 x n1 ... a2 x 2 a1 x a0
e
... b2 x b1 x b0 , a soma de P(x) com Q(x) é dada por:
2
P( x) Q( x) (an bn ) x n (an1 bn1 ) x n1 ... (a1 b1 ) x (a0 b0 )
62
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6.5.2
SUBTRAÇÃO:
Dados
os
polinômios
P( x) a0 x n a n1 x n1 ... a2 x 2 a1 x a0
e
Q( x) b0 x n b n1 x n1 ... b2 x 2 b1 x b0 , a diferença entre P(x) e Q(x) é dada por:
P( x) Q( x) (an bn ) x n (an1 bn1 ) x n1 ... (a1 b1 ) x (a0 b0 )
Observação:
Os polinômios P(x) e Q(x) não precisam ser necessariamente do mesmo grau.
Exemplos:
1) Dado os poliômios P(x) = x3+ 3x2 – 7x + 8 e Q(x) = 2x3 – x2 + 6x – 7, determine 2P(x)+3Q(x)
2) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as afirmações:
(
) Se P(x) e Q(x) são polinômios de mesmo grau 5, então P(x) + Q(x) tem sempre grau 5.
(
) Se P(x) e Q(x) são polinômios de mesmo grau 3, então P(x) – Q(x) tem sempre grau 3
(
) Se P(x) tem grau 5 e Q(x) tem grau 3, então P(x) + Q(x) tem grau 5
6.6 MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS:
O produto dos polinômios P(x) e Q(x) é o polinômio P(x).Q(x), obtido multiplicando-se
cada termo de P(x) por todos os termos de Q(x) e efetuando a redução dos termos semelhantes.
Exemplos:
1) Se P(x) = x3 + x2 + x + 1 e Q(x) = x – 1, então P(x).Q(x) =
2) Dados P(x)= x2 – x + 1 e Q(x) = ax + b, determine a e b para que P(x).Q(x) 2x3-x2 +x+1
63
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3) Dados P(x) = x3 – 1 e Q(x) = ax2 + b, determinar a e b, sendo P(0).Q(0) = 3 e Q(1) = 5.
6.7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS:
Dados os polinômios A(x) e B(x), não identicamente nulos, dividir A(x) por B(x) é obter
os polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições:
A(x) | B(x) .
R(x)
Q(x)
A(x) B(x).Q(x) + R(x) e R(x) 0 ou gr(R) < gr(B)
Observações:
A(x) é o dividendo
B(x) é o divisor
Q(x) é o quociente
R(x) é o resto
Quando R(x) = 0, dizemos que A(x) é divisível por B(x), ou que a divisão é exata
Temos sempre gr(Q) = gr(A) – gr(B)
Exemplo:
Usando o Método da Chave, determine o quociente e o resto da divisão de
3
A( x) x 3x 2 4 por B( x) x 2 1
6.7.1
MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR – MÉTODO DE DESCARTES
Já vimos que, na divisão A(x) por B(x):
A(x) | B(x) .
R(x) Q(x)
A( x) B( x).Q( x) R( x)
Temos: gr (Q) gr ( A) gr ( B)
gr ( R) gr ( B)
Essas relações podem ser usadas como recursos para determinar os coeficientes de um
polinômio em uma divisão.
64
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Exemplos:
1) Determinar o quociente e o resto da divisão de A(x)=x3 + 2x2 – 3x + 2 por B(x)=x2 + x + 1
Temos:
O quociente é um polinômio do primeiro grau, pois:
gr(Q) = gr(A) – gr(B) = _________________________________
Logo:
Q(x) = _______________________________________________
Como gr(R) < gr(B), sendo o divisor B(x) = x2 + x + 1, então gr(B) = ______ e
gr(R)<____, isto é, o resto tem, no máximo, grau __________:
R(x) = __________________________
Como A(x) B(x).Q(x) + R(x), podemos escrever.
Comparando ambos os membros, temos:
Logo:
Q(x) =___________________________________ e R(x) = _______________________
2) Determinar k, de modo que x3 + kx + 3 seja divisível por x – 1
3) Determinar k e m de modo que x4 + 3x3 + mx2 + x + k seja divisível por x2 + 3x
65
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6.7.2
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DIVISÃO DE POLINÔMIO POR BINÔMIOS DO 1O GRAU:
6.7.2.1 Teorema do Resto:
O resto da divisão de P(x) por (x – a) é P(a):
P(x) = (x – a).Q(x) + R
Fazendo x = a, vem:
P(a) = (a – a). Q(a) + R
P(a) R
6.7.2.2 Teorema de D’Alembert
Um polinômio P(x) é divisível por (x – a) se, e somente se, P(a) = 0
P(x) = (x – a).Q(x) + 0
Fazendo x = a, vem:
P(a) = (a – a). Q(a) + o
P(a) = 0
Exemplos:
1) Determinar k, de modo que o resto da divisão de P(x) = x3 + 3x2 – kx + 4 por x – 2 seja 10.
2) Calcular a e b, de modo que os polinômios P(x) = x2 + ax – 3b e Q(x) = - x3 + 2ax – b sejam
divisíveis por x – 1
66
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6.7.2.3 Divisão de P(x) por (ax + b), a 0
Temos:
P(x)
| ax + b
R
Q(x)
Como ax + b é de grau 1, R é de grau 0, e, portanto, uma constante.
b
Fazendo x em P(x) (ax + b).Q(x) + R, vem:
a
b b
b
P a b Q R
a a
a
b
P R
a
b
Logo, o resto da divisão de P(x) por (ax + b) é R P
a
Exemplo:
Determinar k, de modo que P(x) = x3 + x2 + kx – 2 seja divisível por 2x + 1
67
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AULA 07 – EXERCÍCIOS
1) Calcule m R de modo que o polinômio
P(x)=(m3 – 1)x4 + (m2 – 1)x2 + 5x – 7 seja do 1o
grau em relação a x.
2) Determine m R, para que o polinômio
P(x)=(m2 – 16)x2 + (m + 4)x + 4 seja de grau 2.
3) Calcule os valores de m, n e l para os quais
P(x)=(2m- 1)x3 – (5n -2)x2 + (3 – 2l) seja
identicamente nulo.
4) Dados A(x) = (a + 1)x2 + (b – 1)x + c e B(x) =
ax2 + bx – 3c, calcule a, b e c para que A(x) +
B(x) 0
5) Determine os valores de m, n e p, de modo que
sejam idênticos os polinômios: P1(x) = (m + n +
p)x4 – (p + 1)x3 + mx2 + (n – p)x + n e P2(x) =
2mx3 + (2p + 7)x2 + 5mx + 2m.
6) Determine os valores de a, b, c e d para que o
polinômio a(x – c)3 + b(x + d) seja idêntico ao
polinômio x3 + 6x2 + 15x + 14.
7) Dado o polinômio P(x)=4x3 – x2 + x – 1,
calcule:
a) P( 2 )
P(1) P(1)
P(0)
1
P P ( 0)
3
c)
1
2 P
2
b)
8) Ache o polinômio P(x) do segundo grau em x,
sabendo que admite 2 como raiz e P(1) = - 2 e
P(3) = 4
9) Se P(x) = x6 – 12x5 – 45x4 + 2x3 -32x2 + 31x –
18, então P(15) é igual a :
10) Dados os polinômios P1(x) = 2x3 + mx2 + nx +
3 e P2(x) = x2 + x – 3, se P1(x) é divisível por
P2(x), então m – n é igual a:
11) Dividindo um polinômio P(x) por (x – 3),
resulta um resto – 7 e um quociente de x – 4. Qual
é P(x)?
12) A divisão do polinômio P(x) por x – a fornece
quociente Q(x) = x3 + x2 + x + 1 e resto P(a) = 1.
Sabendo-se que P(0) = - 15, o valor de a é:
13) Dados os polinômios P(x) = (m – 3)x3 + 3x –
2m e Q(x) = (m – 1)x3 + (m – 2)x2 + (2m – 3)x,
determine P(x).Q(x) de modo que gr(P + Q) = 1.
14) Sabendo-se que
, calcular A e B.
A
B
5 x 10
2
x 4 x 1 x 3x 4
15) Se
x 1
A
B
, então 2A
x 2 x 24 x 4 x 6
2
+ B é igual a:
16) Efetue a decomposição da fração, em soma de
frações com denominadores do 1o grau.
3x 1
x 5x 6
9 x 2 16 x 4
b) 3
x 3x 2 2 x
a)
2
17) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c que
satisfaz as condições: P(1) = 0; P(-x) + P(x) = 0,
qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)?
18) O resto da divisão do polinômio P(x) = x243 +
x81 + x27 + x9 + x3 + x, por x – 1 é:
RESPOSTAS:
1) m = 1
2) m 4
1
3
2
3) m ; n e l
2
5
2
1
1
4) a ; b e c = 0
2
2
5) m = 1; n = 2 e p = - 3
6) a = 1, b = 3, c = - 2 e d = 2
7) a) 9 2 3
b) - 10
140
c)
27
8) P(x) = x2 – x – 2
9) – 3
10) 8
11) x2 – 7x + 5
12) 16
13) – x6 + 2x4 – 4x3 + 3x2 – 4x
14) A = 2 e B = 3
3
15)
2
7
10
16) a)
x2 x3
2
3
4
b)
x x 1 x 2
17) P(2) = 6
18) 6
68
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AULA 8
6.7.2.4 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini:
O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é utilizado para determinar o quociente e o resto da
divisão de um polinômio P(x) pelo binômio (x – a)
Exemplos:
1) Obter o quociente e o resto da divisão de P(x) = 3x5 + 4x4 + 3x3 – 7x2 – 2x + 3 por (x– 1)
Coeficiente de P(x)
valor de a
R(x)
Repetir o primeiro
coeficiente
Q(x)=_____________________________ e R(x)=________________________________
2) Determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 2x4 + 5x3 – 2x – 5 por (x + 3).
Obs.: Quando escrever os coeficientes de P(x), não esquecer dos coeficiente nulos.
Q(x) =_____________________________ e R(x) =________________________________
3) Dividir P(x) = - 2x3 – x2 + 12x – 4 por (2x – 3)
Q(x) =_____________________________ e R(x) = _______________________________
69
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6.8 EQUAÇÕES POLINOMIAIS:
Equação polinomial ou algébrica é toda equação redutível a forma:
an x n an1 x n1 ... a2 x 2 a1 x a0 0
P( )=0
6.8.1
Chamamos de zero ou raiz de uma equação polinomial P(x) = 0 todo o número , tal que
DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO EM FATORES DO 1O GRAU:
Se P(x) = 0 é de grau n (n 1) e tem raízes 1 , 2 ,..., n , então P(x) pode ser decomposto
em n fatores do 1o grau, sendo an (an a1) o fator em evidência:
an x n an1 x n1 ... a2 x 2 a1 x a0 an ( x 1 )( x 2 )...( x n )
6.8.2
RAÍZES MÚLTIPLAS:
As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas ou não.
Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 2, isto é, será
uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, a raiz terá multiplicidade 3, isto é, será uma raiz tripla e
assim sucessivamente.
Se o número for uma só vez raiz de uma equação algébrica ele será chamado raiz
simples ou raiz de multiplicidade 1.
Exemplos:
1) Determinar a multiplicidade das raízes 1, 2 e – 3 na equação
x6 4 x5 2 x 4 32 x3 59 x 2 44 x 12 0
2) Mostrar que 1 é raiz de multiplicidade 3 da equação x4 – 5x3 + 0x2 – 7x + 2 = 0
70
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6.8.3
TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS:
Dada
a
equação
polinomial
com
coeficientes
inteiros
p
an x n an1 x n1 ... a2 x 2 a1 x a0 0 se o número racional (com p Z e q Z*, p e q primos
q
entre si), então p é diviso r de a0 e q é divisor de an
Exemplos:
1) Resolver a equação x3 + 4x2 + x – 6 = 0
Na equação, temos: an = _______ e a0 = __________
Se p, é divisor de a0, então p {________________________________________}
Se q, é divisor de an, então q {________________________________________}
p
Os possíveis valores das raízes racionais são dados pela razão , logo:
q
p
{______________________________________________________________}
q
Se existirem raízes racionais na equação dada, elas pertencem ao conjunto acima.
2) Resolver a equação x3 3x 2 4 0 .
71
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3) Resolver a equação 2x4 – 5x3 – 4x2 + 15x – 6 = 0
AULA 08 – EXERCÍCIOS
1) Dados os polinômios
A(x) = 2x3 + x2 – 10x + 5, B(x) = x3 – 4x + 4,
C(x) = x – 3 e D(x) = x – 2, determine o valor
A( x) 2b( x)D( x)
de:
C ( x)
2) Determine o valor de a para que o resto da
divisão do polinômio P(x)=ax3-2x+1 por (x3) seja 4.
3) Qual é o número real que se deve adicionar
a P(x)= x3 – 2x2 + x, para se obter um
polinômio divisível por x – 3?
4) Aplicando o dispositivo prático de BriotRuffini, calcule o quociente e o resto da
divisão de:
a) P(x)=x4–5x3 + 2x2 + 3x – 1 por (x-2)
b) P(x) = 2x3 – x2 – 1 por (x – 1)
c) P(x) = 5x2 – 3x + 2 por (x + 3)
d) P(x) = 4x5 – 5x4 + 1 por (x – 1)
e) P(x) = 2x3 – 3x2 + x + 2 por (2x – 1)
f) P(x) = x2 – 2x + 1 por (2x – 3)
5) No esquema abaixo, foi aplicado o
dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule
P(x):
a
b
c
d
e
2
-1
1
-2
1
6) Resolver as equações algébricas abaixo:
a) x3 + 2x2 – 13x + 10 = 0
b) x4 – 7x3 + 13x2 + 3x – 18 = 0
c) x4 – 5x2 + 4 = 0
d) 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0
e) 3x3 – 13x2 + 13x – 3 = 0
f) x(x – 4)2 + 10x(x – 2) – 8 = 0
2 x 2 8x
x
g) 2
x 4x
h) x6 – 6x5 + 11x4 – 6x3 = 0
7) Determine todas as raízes da equação
P( x) 0 , sendo P(x) = 9x3 – 36x2 + 29x – 6.
Sabe-se que é divisível por (x – 3).
8) Uma raiz da equação x3 – 4x2 + x + 6 = 0 é
igual a soma das outras duas. As raízes dessa
equação são:
9) Determine o produto das raízes da equação
x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0
Respostas:
1) x2 – x - 2
2) 1
3
3) – 12
4) a) Q(x)= x3-3x2-4x-5 e R(x)= - 11
b) Q(x)=2x2 + x + 1 e R(x) = 0
c) Q(x)= 5x – 18 e R(x) = 56
d) Q(x)= 4x4 – x3 – x2 – x – 1 e R(x) = 0
e) Q(x)= 2x2 – 2x e R(x) = 2
1
1
f) Q(x) = x e R(x) =
2
4
4
3
2
5) P(x) = 2x – 7x + 4x – 5x + 7
6) a) {-5; 1; 2}
b) {-1,; 2; 3}
c) {-2; -1; 1; 2}
d) {-1; ½; 1}
e) {1/3; 1; 3}
f) {-2; 2}
g) {2}
h) {0; 1; 2; 3}
1 2
7) ; ;3
3 3
8){2, 3, -1}
9) S = 6 e P = 6
72
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AULA 9
7. MATRIZES
7.1 DEFINIÇÃO:
São números dispostos em linhas (filas horizontais) e colunas (filas verticais), formando
uma tabela.
Matriz mxn é uma tabela de m.n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n
colunas (filas verticais).
Gastos de uma família (aproximadamente) - Renda Familiar R$
Descrição
Supermercado
Saúde
Transporte
Vestiário
Higiene Pessoal
Lazer
Poupança
Totais
Outubro
Novembro
Dezembro
Média
350
80
200
50
40
20
120
860
360
40
244
60
50
60
30
844
640
12
300
400
30
10
0
1392
450
44
248
170
40
30
50
1032
A tabela que você acabou de ver, podemos transformá-la numa matriz: onde os nomes
supermercado, saúde, transporte, vestiário, higiene pessoal, lazer e poupança são as linhas (7) e
outubro, novembro, dezembro e Média são as colunas (4). Assim você terá a matriz
a11 a12 a13 a14
a
21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44 , de ordem 7x4, que forma uma matriz com 28 elementos. Veja também:
a51 a52 a53 a54
a61 a62 a63 a64
a
71 a72 a73 a74
a32=244, isso significa que 244 está ocupando a posição na 3ª. Linha e 2ª. coluna ; a 44=170,
podemos dizer que 170 está na 4ª. Linha e 4ª. Coluna, etc.
7.2 NOTAÇÃO DE UMA MATRIZ
a11 a12 a13
.
1. Uma matriz de ordem 2x3: B
a21 a22 a23
Exemplo:
4 3 0
é uma matriz 2x3, com 6 elementos, onde a 11=4, a12=-3, a21=2/5,
D 2
1 6
5
a13=0, a22=1, a23=6.
73
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a11 a12
a`21 a`22
2. Uma matriz genérica de ordem nxn: A a31 a32
...
...
a
m1 am 2
a13
a23
a33
...
am 3
...
...
...
...
...
a1n
a2 n
a3n
...
amn
A matriz A também pode ser indicada por A( aij )mxn
Exemplo:
Escreva a matriz A( aij )2 x 3 tal que aij = 2i + j .
7.3 ALGUMAS MATRIZES ESPECIAIS
7.3.1
MATRIZ RETANGULAR: É A MATRIZ ONDE M N.
7.3.2
MATRIZ COLUNA: É TODA MATRIZ DO TIPO MX1.
Exemplo:
10
M , matriz de ordem 2x1, isto é, 2 linhas e uma coluna.
3
7.3.3
MATRIZ LINHA: É TODA MATRIZ DO TIPO 1XN.
Exemplo:
C 3 0 1 8 , matriz de ordem 1x4, isto é, uma linha e 4 colunas.
7.3.4
MATRIZ QUADRADA:
Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Assim, uma
matriz quadrada nxn é chamada de: matriz quadrada de ordem n
Diagonal Principal: seja a matriz quadrada A( aij ) de ordem n.
Os elementos aij com i = j, constituem a diagonal principal.
Diagonal Secundária - seja a matriz quadrada A( aij ) de ordem n.
Os elementos aij em que i + j = n + 1, constituem a diagonal secundária.
74
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Exemplo:
1 7
é uma matriz quadrada de ordem 2x2;
1. A
0 2
4 0 1
2. B 9 2 5 é uma matriz quadrada de ordem 3x3.
8 0 3
7.3.5
MATRIZ DIAGONAL
É a matriz quadrada A( aij ) que tem os elementos aij = 0 quando i # j, ou seja, onde os
elementos fora da diagonal principal são nulos.
Exemplos:
0
9 0 0
2 0 0
0 0 0
0
0 4 0
B
C
A 0 7 0 ;
0
0
0
e
0 0 3 0
0 0 8
0 0 0
0 0 0 10
7.3.6
MATRIZ ESCALAR:
A matriz diagonal que tem os elementos a ij iguais entre si para i = j é uma matriz escalar.
7.3.7
MATRIZ IDENTIDADE:
Matriz identidade ou matriz unidade é toda matriz quadrada de ordem n (indicada por In )
onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais, iguais a zero.
Exemplos:
1 0
, matriz identidade de ordem 2;
I 2
0 1
1 0 0
I 3 0 1 0 , matriz identidade de ordem 3;
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
I4
, matriz identidade de ordem 4, e etc
0 0 1 0
0 0 0 1
75
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7.3.8
MATRIZ ZERO OU NULA:
Uma matriz zero é a matriz cujos elementos a ij são todos nulos.
Exemplos:
0 0 0
0 0
e B 0 0 0 , etc.
A
0 0
0 0 0
7.3.9
MATRIZES IGUAIS
Duas matrizes A e B são iguais, se e somente se, os elementos da mesma posição são
iguais, ou seja, os elementos correspondentes são iguais.
Exemplo:
5 1
5 1
logo D=E.
e E
D
0 3
0 3
7.3.10
MATRIZES OPOSTAS:
Dada uma matriz A, chamamos de matriz oposta de A (indicamos por
obtida invertendo-se o sinal de cada um de seus elementos.
Exemplo:
0
7 0
7
a sua oposta é:
A
A
3 1
3 1
7.3.11
A) a matriz que é
MATRIZ TRANSPOSTA:
Dada uma matriz A de ordem m n , denominamos transposta de A (indicamos por At ) a
matriz de ordem n x m obtida trocando-se ordenadamente as linhas de A pelas coluna de A.
Exemplo:
2 5 7
2 4 10
t
A 4 6 8 a sua transposta é A 5 6 1 .
10 1 0
7 8 0
Diz-se que uma matriz A de ordem n é matriz simétrica, se ela é igual a sua transposta.
7.3.11.1 Propriedades da matriz transposta
i.
ii.
iii.
7.3.12
A A
t t
A Bt At Bt
.At .At
MATRIZ SIMÉTRICA
É uma matriz quadrada A aij
nxn
, diz-se simétrica quando aij a ji para todo i,1 i n ,
para todo j, 1 j n .
76
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7.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES:
7.4.1
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
A soma de duas matrizes A aij e B bij é a matriz A B aij bij , ambas do
mesmo tipo mxn .
7.4.1.1
i.
ii.
iii.
iv.
7.4.2
Propriedades:
A + (B + C) = (A + B) + C
A+0=0+A=A
–A + A = A – A = 0
A+B=B+A
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR:
Dados um número real e uma matriz A, mxn, o produto de por A é uma matriz B,
mxn, obtida multiplicando-se todos os elementos de A por .
Então: B = A onde bij = aij, i, i {1, 2,...,m) e j, j {i, 2, ...,n}
7.4.2.1 Propriedades:
i.
ii.
iii.
iv.
7.4.3
( )A = ( A)
( + )A = A + A
(A + B) = A + B
1A=A
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR OUTRA:
Dada a matriz A = (aij)mxn e a matriz B = (bjk)nxp o produto A x B é a matriz (cik)mxp, tal que
o elemento cik é calculado multiplicando-se, ordenadamente, os elementos da linha i de A pelos
elementos da coluna k de B e somando-se os produtos assim obtidos.
Obs.: O produto de duas matrizes será compatível se o número de colunas da primeira for
igual ao número de linhas da segunda matriz. Na matriz produto, o número de linhas é igual ao
número de linhas da primeira matriz e o número de colunas é igual ao número de colunas da
segunda matriz, isto é: Se A é do tipo mxn e B é do tipo nxp, então AxB é do tipo mxp.
7.4.3.1 Propriedades:
i. A multiplicação de matrizes não é comutativa.
ii. A multiplicação de matrizes é associativa: (A.B).C=A.(B.C)
iii. A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição: A.(B+C)=A.B+A.C
iv. Multiplicação de um número real por uma matriz: . A.B . A.B
v. Multiplicação pela matriz identidade: A.I n I n . A A
vi. A0 I n , se A 0
vii. A1=A
viii. A p 1 A p . A, para p N
ix. AP=A.A.A.….A, p fatores
t
x. A.B Bt . At
77
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7.4.3.2 Comutatividade de Multiplicação de duas matrizes:
Em geral a existência do produto AB não implica a existência do produto BA.
Exemplo:
A (3,5) X B (5,6)
Mesmo quando as multiplicações A x B e B x A são possíveis, os dois produtos são , em
geral, diferentes.
Existem matrizes A e B tais que AB = BA, porém essa não é a regra.
1º Caso:
3 2
A
5 7
1 0
e I
0 1
A.I = I.A = A
2º Caso:
2 3
11 3
A
e B
7 2
7 11
AB = BA = I
A matriz B é a inversa da matriz A e indicamos A -1
Assim, para saber se, dadas duas matrizes quadradas A e B, de mesma ordem, uma é inversa
da outra, basta multiplicar uma pela outra e verificar se o produto é a matriz I.
7.4.3.3
Matriz Involutiva
Uma matriz A quadrada é involutiva quando A2 I
7.4.3.4 Matriz anti-simétrica:
É uma matriz quadrada A aij
nxn
, diz-se anti-simétrica quando aij a ji para todo i,
1 i n , para todo j, 1 j n .
Obs: Se A é simétrica então A At ; os elementos da diagonal principal são todos
nulos.
78
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7.5 MATRIZ INVERSA
7.5.1
DEFINIÇÃO
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma
inversa de A, se e somente se: A.B B. A I n .
A inversa de uma matriz A existe se o det A 0 .
7.5.2
i.
PROPRIEDADES
A.B1 B1.A1
A
t 1
t
iii.
A1
. A1 1 . A1
iv.
A
ii.
p 1
A1
p
7.6 MATRIZ ORTOGONAL:
Uma matriz M cuja inversa coincide com a transposta é denominada matriz ortogonal.
M-1 = M T , isto é, M . M T = M T . M = I
Exemplo:
1
1
3
3
2 e MT 2
2 fazendo a multiplicação da matriz M pela sua
M 2
3 1
3 1
2
2
2
2
transposta, obtemos a matriz Identidade, portanto, M é uma matriz ortogonal.
7.7 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR:
A matriz quadrada A aij , que tem os elementos aij = 0 para i j, é uma matriz triangular
superior.
7.8 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:
A matriz quadrada A aij , que tem os elementos aij = 0 para i j, é uma matriz triangular
inferior.
Exemplos:
2
2 1
A 0 5 7
0 0
3
3 0 0
B 1 5 0 A é uma matriz triangular superior e B inferior.
2 4 2
79
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7.9 POTÊNCIA DE UMA MATRIZ:
Uma matriz quadrada A aij , pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que
se resulta dessas operações, e que representa por An, é chamada potência n da matriz A.
7.10 MATRIZ PERIÓDICA:
Dada uma matriz quadrada A, diz-se que A é uma matriz periódica se An = A, sendo n 2.
Se n é o menor inteiro para o qual An = A, diz-se que o período de A é n – 1.
7.11 MATRIZ IDEMPOTENTE:
Dada uma matriz periódica A, tal que A2 = A, diz-se que A é uma matriz idempotente. O
período da matriz idempotente é 2 – 1 = 1.
7.12 MATRIZ NIHILPOTENTE:
Dada uma matriz quadrada A, se existir um número p, inteiro e positivo, tal que Ap= 0,
diz-se que a é uma matriz nihilpotente. Se p é o menor inteiro positivo tal que Ap= 0, diz que A é
uma matriz nihilpotente de “índice”p.
Exemplos:
2 1 1
1) Seja A 3 4 3
5 5 4
2 1 1 2 1 1 2 1 1
2
A 3 4 3 x 3 4 3 3 4 3 A matriz A é idempotente.
5 5 4 5 5 4 5 5 4
1 1 1
2) Seja B 3 3 3
4 4 4
1 1 1 1 1 1 0 0 0
B 3 3 3 x 3 3 3 0 0 0 B é nihilpotente de índice 2.
4 4 4 4 4 4 0 0 0
1
3
1
2
6
3) Seja C 5
2 1 3
2
1
3 1
1
3 0 0
0
1
C 5
2
6 x 5
2
6 3 3
9
2 1 3 2 1 3 1 1 3
2
80
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0 1
1
3 0 0 0
0 0
C C xC 3 3
9 x 5
2
6 0 0 0 C é nihilpotente de índice 3
1 1 3 2 1 3 0 0 0
3
2
AULA 09 – EXERCÍCIOS
x y mn
1) Sendo as matrizes A
x 2 y 3m n
8 6
, achar os valores de x, y,
e B
1 10
m e n para que se tenha A=B.
2) Determine x e y, sabendo que as matrizes
2x 5 y 9
= são iguais.
x y 1
x y a b 5 1
, determine x,
=
3) Se
x y a b 1 3
y, a e b.
2 5
e
4) Sendo as matrizes A
12 1
x y x y
, calcule x e y de
B
2y 5 1
modo que A Bt .
5) Sejam as matrizes
4
2
x y
2z
3
3
A
e
0
4
x y
6 z t
1
4 2
5
2
3
3
B
.
0
4 1
6 3 1
t
t
Se A B , determine x, y, z e t.
6) Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem
t
mxn. Demonstre que: A B At Bt .
2 6
,
A
8 10
3 6
3 2
e C
, calcular:
B
1 0
2 4
a) A B C
b) A B C
8) Determinar x, y e z sabendo que:
x 2 4 1 2 z 3 3 z
.
+
=
1 2 4
y 1 3 3
1 2 1
e
9) Sejam as matrizes A
3 1 4
7)
Dadas
as
matrizes
2 5
B 4 3 , o produto determine
2
1
AxB.
1 1
e
10) Sejam as matrizes A
0
1
0
0
, calcule as matrizes
B
1
1
produtos:
a) A.B b) B.A c) A.B=B.A?
1 1
, determine a matriz X tal
11) Se A
1 2
que A. X I 2 .
1 1 2
12) Seja a matriz A 1 3 1 , determine
4 1 1
a matriz polinomial, 2. A2 3. A 5.I .
81
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y 4
13) Dadas as matrizes A
9
2
e
x 4
2
12 2
B
, calcular y e x de modo que
9 53
A seja igual a B.
14)
Dadas
as
matrizes
9 5
A
7 4
e
4 n
B
calcular m e n para que a
m 9
matriz B seja inversa de A.
15) Uma matriz diagonal, de ordem 2, é
involutiva. Determine-a. (Sugestão: Faça
a 0
).
A
0 b
16) Determine o número b R, para que a
3 2b
, seja simétrica.
matriz A 2
b
b
17) Seja a matriz A aij 4 x 4 , para a qual
aii 0
. Determine A e
aij i j , se1 i, j 4
At. A é simétrica?
18) Seja a matriz A, quadrada de ordem n.
Demonstre que A+At é simétrica.
19) Determine os números reais a, b, c, x, y e
z
para
que
a
matriz
2
3
a
A x 1 b 2 y 4
seja
anti z
4
c
simétrica.
2
20 Dadas as matrizes: A 5
7
3 7 1
7
B 4 2 5 e
C 4
0 9 4
9
calcule:
a) A + B
b) C – A
c) 3A – 2B + 4C
21) Calcular o produto das matrizes:
3 8
9 6 ,
4 1
8 3
3 2 ,
5 1
8 4 6 1
a) A
2 5 7 3
0 4
2 2
.
B
1 5
3 8
2 3 4
x
b) A 3 5 4 e X y
4 7 2
z
e
1 1 0
22) Dadas as matrizes A 0 1 1 e
1 1 3
2 3 1
B 1 3 1 , verificar se B é
1 2 1
inversa de A.
23) Calcule os valores de m e n para que as
matrizes A e B sejam iguais:
15n
8
8 75
a) A
e B
12 m 3
6 3
m 2 40 n 2 4
b) A
e
6
3
41 13
B
6 3
8
7 8
7
c) A
e B
2
4 x
4 10 x 25
8
2 3
24) Dadas as matrizes A
,
4 1 6
5 7 9
B
e
1
0 4
calcular:
a) A + B
b) B + C
c) A + C
d) A – B
e) A – C
f) B – C
g) X = 4A – 3B + 5C
h) X = 2B – 3A – 6C
i) X = 4C + 2A – 6B
0 9 8
C
,
1 4 6
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25)
Dadas
as
matrizes:
1 2
3 1
,
A
7 4
5 9
2 4
C
e
3 5
1 3 5 7
B
,
6 2 8 3
7
3 8
1
3 1 1 3
, calcular:
D
4
1 9
0
3 2 3
5
a) AB
b) (AB)D
c) A(BD)
d) BA
e) (BA)C
f) B (AC)
26) Verifique se a matriz B é inversa de A.:
0,5 1,5 1
a) A 0,5 2,5 0,5 e
0,5 2
1
12 4 14
B 2
0 2
2 2 4
2 4 6
b) A 4 6 6 e
4 4 2
30) Sejam as matrizes
2 1
A
1 1
e
1 2
. Resolva a equação matricial
B
3 4
A. X B .
2 1 0
31) Sejam as matrizes A
1 2 1
0 0 2
, determine as matrizes X e
e B
6 4 2
2 X Y A
Y, de ordem 2x3, tais que
x y B
a 1
com a+b=4, a.b=3 e
32) Sendo A
2 b
2
x
a b, B A1 , X e C ,
1
y
é verdade que:
(01) detA=1
3 2
(02) B=
1 1
(04)
detA.detB=1
7
(08) Se A.X=C, então X
5
(16)
0
2
Se B.X= , então X
3
0
t
(32) det(A+5.B) =96
2
1,5
1,5
B 2
2,5 1,5
1
1
0,5
27) Determine a matriz inversa da matriz
1 2
.
A
3 0
1 1
. Determine A-1,
28) Seja a matriz A
0 0
se existir.
29) Para cada matriz a seguir, determine A-1,
se existir:
1 1
a) A
2 3
2
b) B
1
1
1
2
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Respostas:
x=5; y=3; m=4 e n= -2
4/7 e 11/7
3, 2, 1 e –2
7e5
x=2, y=3, z=1 e t=4
(A-B)t = (A + (-B))t = At + (-1).Bt = At –
Bt .
2 14
2 2
b)
7) a)
5 6
9 14
8) 4, -1 e 4
4 2
9)
6 16
1)
2)
3)
4)
5)
6)
1 1
0 0
e
10)
1 1
1 2
2 1
11) 3 3
1 1
3 3
28 15 16
12) 19 36 15
30 19 28
13) x = +/- 7 e y = 8
14) m = -7 e n = -5
1 0
1 0
1 0
,
,
,
15)
0 1
0 1
0 1
1 0
0 1
16) 0 ou 2
0 3 4 5
3 0 5 6
17) A
, sim A é uma matriz
4 5 0 7
5 6 7 0
simétrica.
18)
19) a=b=c=0; x=-1 , y=0 e z=3
5 11 5
1 10 9
20) a) 9 11 1 b) 9 12 8 c)
2 9
2
7 13 3
2 x 3 y 4 z
5 2
21) a)
, b) 3x 5 y 4 z
6
7
4 x 7 y 2 z
22) Sim.
23)
a) m = -6 e n = 5
b) m = +/- 9 e n = +/-3
c) x = 5
24) Verificar se houver dúvidas.
25) Verificar se houver dúvidas.
26) Se A.B = I, é inversa, caso contrário, não
é inversa.
1
0
3
27)
1
1
6
2
28) Não existe, pois a matriz é singular.
3 1
, B-1 não existe.
29) A1
2
1
2 2
30) X
6
5
1
2
2
3
3
31) X 3
1
2
1
3
1
4
2
3
3
3
Y
11
2
1
3
32) V, F,V,V,F,V, total: 45
40 37 34
9
11 20
57 26 7
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AULA 10
8. DETERMINANTES
8.1 NOÇÃO:
Determinante de uma matriz quadrada M é um número associado a esta matriz, obtido
seguindo-se regras previamente estabelecidas.
8.2 NOTAÇÃO:
a11 a12
Representa-se o determinante de uma matriz M a 21 a 22
a31 a32
a11 a12
ou a 21 a 22
a31 a32
a13
a11 a12
a 23 por det a 21 a 22
a31 a32
a33
a13
a 23
a33
a13
a 23 ou ainda det M.
a33
8.3 CÁLCULO DE UM DETERMINANTE:
Neste estudo o determinante será calculado através de regra prática. Para o cálculo do
determinante de uma matriz M de ordem n, temos:
a) Se M for de ordem 1, ou seja, M = (a11), então det M = |a11| = a11
Exemplo:
M = [-5], então det M = | -5| = -5
a12
a
b) Se M for de ordem 2, ou seja, M 11
, então det M = a11.a22 - a12, a21 (produto
a 21 a 22
dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal
secundária)
Exemplo:
2 3
2 3
M
det M
2 5 4 3 2
4 5
4 5
c) Se M for de ordem 3, calcula-se o determinante de terceira ordem através da regra de
Sarrus, que consiste em:
1) Repetir as duas primeira colunas à direita da matriz ou as duas primeiras linhas
abaixo da matriz;
2) Multiplicar os elementos da diagonal principal e os que aparecem dispostos
paralelamente em grupos de 3;
3) Multiplicar os elementos da diagonal secundária e os que aparecem dispostos
paralelamente em grupos de 3;
4) Determinar a diferença da soma dos produtos do item (2) pela soma dos produtos
do intem (3).
71
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a11 a12
Então, para: M a 21 a 22
a31 a32
a11 a12
a13
a 23 , temos det M = a 21 a 22
a33
a31 a32
a13 a11 a12
a 23 a 21 a 22 =
a33 a31 a32
= a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 –
- a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
Exemplo:
1 0 1
Calcular o determinante da matriz M 2 4 6
3 5 3
8.4 ABAIXAMENTO DA ORDEM DE UMA MATRIZ QUADRADA:
8.4.1
MENOR COMPLEMENTAR
Menor complementar de um elemento a ij da matriz M, é o determinante que se obtém de
M eliminando a linha e a coluna que contém o elemento a ij. Representa-se por: Dij.
Exemplo:
Determine o Menor Complementar, D22, D23 e D12 da matriz m, sendo:
1 2 4
M 3 1 2
4 3
5
Então: D32 =
1 4
2 + 12 = 14
3 2
D23 =
1 2
3 – 8 = - 5
4 3
D12 =
3 2
15 – 8 = 7
4 5
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8.4.2
COMPLEMENTO ALGÉBRICO OU COFATOR:
Complemento algébrico ou Cofator de um elemento a ij, é o número que se obtém
multiplicando-se o menor complementar pelo fator (- 1)i + j
Cij (1) i j Dij
a11 a12
Então,para: M a 21 a 22
a31 a32
a13
a
a12
a 23 , o cofator C23,, será: C 23 (1) 23 11
a31 a32
a33
Exemplo:
Determine o Complemento Algébrio, C23, C31 e C12 da matriz M, sendo:
3
1 2
M 3 2 5
2 1 3
Então: C23 = (-1)2 + 3.
1 2
-1(1 – 4) = 3
2 1
C31 = (-1)3 + 1.
3 2
1.(3 + 4) = 7
2 1
C12 = (-1)1 + 2 .
3 5
-1.(-9 -10) = 19
2 3
8.5 REGRA DE LAPLACE:
O determinante de uma matriz quadrada M é igual á soma dos produtos dos elementos de
qualquer linha ou coluna pelos seus respectivos cofatores.
Exemplos:
1) Desenvolva o determinante da matriz M, aplicando a regra de Laplace à primeira coluna, sendo:
a11 a12 a13
M a 21 a 22 a 23
a31 a32 a33
Então:
Det M = a11.(-1)1+1.
a 22
a32
a
a 23
+ a21.(-1)2+1. 12
a32
a33
a
a13
+ a31.(-1)3+1. 12
a 22
a33
a13
a 23
73
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2) Calcular o determinante da matriz M, aplicando a regra de Laplace à segunda coluna, sendo:
0
1 2 3
4 0 2
3
M
5 3 4 1
3 0 2 1
8.6 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:
O determinante de uma matriz A não se altera quando se trocam as linhas pelas
colunas; isto é, det M = det Mt
Exemplo:
2 7
2 5
29
29
7 3
5 3
Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos todos nulos, o
determinante é nulo.
Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante é nulo.
Se na matriz A duas linhas (ou colunas) tem seus elementos correspondentes
proporcionais, o determinante é nulo.
O determinante de uma matriz triangular A (superior ou inferior), é igual ao produto
dos elementos da diagonal principal.
Exemplo:
6 5 4 7
0 1 3 5
det A
6 x1x1x 2 12
0 0 1 3
0 0 0 2
Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz A, o determinante muda de
sinal, isto é, fica multiplicado por –1.
Exemplo:
1 3 5
det A 0 0 2 8
0 4 12
1 3 5
det A 0 4 12 8
0 0 2
74
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Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma linha (ou uma
coluna) da matriz A, o determinante fica multiplicado por esse número.
1 3 5
det A 0 4 12 8 .
0 0 2
Dividindo a segunda linha por 4, temos:
1 3 5
det A1 0 2 6 2 , o resultado do determinante também fica dividido por 4.
0 0 2
1 3 5
det A 4 x 0 2 6 4 x 2 8
0 0 2
Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (coluna)
da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente
multiplicados por um número real diferente de zero.
Exemplo:
1 2 4
det A 4 10 12 34 se multiplicarmos a 1ªL por –4 e somar com a 2ªL, temos:
5 7 9
1 2 4
det A 0 2 4 34 o determinante de A continua o mesmo.
5 7 9
8.7 REGRA DE CHIO:
A Regra de Chio consiste em eliminar as filas que se interceptam no elemento aij = 1, caso
exista, e:
a)
Fazemos a diferença de cada elemento restante na matriz pelo produto dos elementos que
se encontram nas “extremidades das perpendiculares” traçadas do elemento considerado à linha
e coluna elimidadas;
b) Obteremos assim uma nova matriz cujo determinante, multiplicado por (-1)i+j, é igual ao
da matriz inicial.
Exemplo:
Calcule, aplicando a regra de Chio, o determinante:
1 4 2
98
64 1 2
1+1
D = 2 9 6 = (-1) 15 12 10 6 = 3 4 2
3 15 10
8.8 PROCESSO DE TRIANGULAÇÃO:
Se M é uma matriz “Triangular”, isto é, quando todos os elementos acima ou abaixo da
diagonal principal são nulos, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, e
75
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das propriedades sabemos que um determinante não se altera quando se somam aos elementos de
uma linha (coluna) da matriz A os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente
multiplicados por um número real diferente de zero. Então, podemos deixar a matriz de forma
“Triangular”
Exemplo:
2 4 6
1) det A 5 9 8
7 2 1
2 3 1 2
1 0
1 2
2) det A
3 1 4 1
2 2 3 1
resposta: - 128
resposta: - 55
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8.9 MATRIZ INVERSA - COMPLEMENTOS
8.9.1
MATRIZ SINGULAR:
Uma matriz quadrada A = [aij] cujo determinante é nulo, é uma matriz singular.
A matriz singular não tem inversa.
8.9.2
MATRIZ NÃO-SINGULAR:
Uma matriz quadrada A = [aij] cujo determinante é diferente de zero, é uma matriz nãosingular ou regular.
A matriz não-singular ou regular sempre tem inversa.
8.9.3
PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA:
i.
Se a matriz A admite inversa (det A 0), esta é única.
ii.
Se a matriz A é não-singular, sua inversa A-1 também é. A matriz inversa de A-1 é A.
iii. A matriz A é não-singular, sua transposta At também é. A matriz inversa de At é (A-1)T.
iv. Se as matrizes A e B são não-singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz
não-singular. A matriz inversa de AB é a matriz B-1 A-1.
8.9.4
OPERAÇÕES ELEMENTARES:
i.
Permutação de duas linhas (ou de duas colunas)
ii.
Multiplicação de todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real
diferente de zero.
iii. Substituição dos elementos de uma linha (coluna) pela soma deles com os elementos
correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente
de zero.
Exemplos:
0 2
.
1) Encontrar a matriz inversa A-1 da matriz A
1 4
Solução:
0 2 a b 1 0
.
1 4 c d 0 1
0b 2.d 1 0
0.a 2c
1.a 4c 1.b 4.d 0 1
2c
2.d
1 0
1.a 4.c 1.b 4.d 0 1
2d 0
,
b 4d 1
a 4c 0
2 1
encontramos a matriz inversa A 1
.
1 / 2 0
resolvendo os sistemas: 2c 1
e
77
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2) Determinação da matriz inversa usando o determinante e a matriz transposta dos cofatores:
0 2
.
Encontrar a matriz inversa A-1 da matriz A
1 4
Solução:
Cálculo do determinante de A:
detA= 0.4-2.(-1)=2
Determinação da matriz dos cofatores da matriz A:
a11 12 .4 a12 13 . 1 4 1
a 13 .2 a 14 .0 2 0
22
21
Dividir todos os elementos da matriz transposta formada pelos cofatores pelo detA:
4 / 2 2 / 2
1/ 2 0 / 2
Matriz inversa de A é:
2 1
A 1
1 / 2 0
3) Usando o escalonamento: coloca-se à direita da matriz dada, a matriz identidade; faz-se o
escalonamento de modo que a matriz identidade passe a ocupar a posição da matriz dada.
A posição da matriz A será ocupada pela matriz identidade e na posição da matriz identidade
encontraremos a matriz inversa.
Exemplo:
2 1 3
A 4 2 2
2 5 3
78
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AULA 10 – EXERCÍCIOS
1) Resolva as equações:
x 2 x 3 x 1
a) 2
1
3 60
3
2
1
x 3 2
b) 5 x 1 12
1 3 1
3 2 x
c) 1 2 x 8
2 1 x
2 x2 1
d) 1 x 3 4 56
3 x 1 5
2) Encontrar a matriz inversa da matriz,
usando a matriz transposta dos cofatores .
1 2
a) A
2 4
4 2
b) B
0 6
3) Determinar a matriz inversa das matrizes:
(usar o escalonamento)
2 1 7
a) A 1 3 2
5 3 4
1 0 2
b) B 2 0 1
3 6 0
4) Determine a matriz inversa das matrizes:
12 7
A
5 3
2 3 1
B 1 3 1
1 2 1
2
2 1 0
3
1 2 2
C
4 1 2
3
1 1 2
3
3
1
2
d) D 4 2 2
2 5 1
Respostas:
1) a) x = 10
b) x = 2 ou 3
c) x = 4
d) x = 8
2) a) A-1 não existe! Det A = 0
1 / 4 1 / 12
b) B 1
0 1/ 6
6 / 66 17 / 66 19 / 66
9 / 22
1 / 22
3) a) A 1 / 11
12 / 66
1 / 66
5 / 66
0
1/ 5 2 / 5
1
b) B 1 / 10 1 / 15 1 / 6
2/5
1/ 5
0
1
3
4) a) A1
5
1
1
b) B 0
1
7
12
1 0
1 1
1 3
1 1 0 2
1 2 2 0
c) C 1
0 1 0 1
0 1 2
1
d) D 1 não existe! Just. det D = 0.
79
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 11
9. SISTEMAS LINEARES
9.1 EQUAÇÕES LINEARES:
Entendemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x 1, x2, x3, ... , xn , como sendo a
equação da forma a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b , onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais
ou complexos. a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo independente.
Exemplos de equações lineares:
2x1 + 3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2, coeficientes 2 e 3,e termo independente 7)
3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)
2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)
2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo).
9.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
A um conjunto de equações lineares dá o nome de sistema de equações lineares:
a 11x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 ... a 1n x n b1
a x a x a x ... a x b
22 2
23 3
2n n
2
21 1
a 31x 1 a 32 x 2 a 33 x 3 ... a 3n x n b 3
.................................................................
.................................................................
a m1 x 1 a m2 x 2 a m3 x 3 ... a mn x n b m
9.3 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR:
Os valores das variáveis que transformam simultaneamente as equações de um sistema
linear em identidade, isto é, que satisfazem a todas as equações do sistema, constituem sua solução.
Esses valores são denominados raízes do sistema de equações lineares.
9.4 SISTEMA COMPATÍVEL:
Um sistema de equações lineares é compatível quando admite solução, isto é, quando tem
raízes.
9.4.1
SISTEMA DETERMINADO:
Um sistema compatível é determinado quando admite uma única solução.
Exemplo:
2 x 3 y 18
, é compatível e determinado, pois tem como raízes x = 3 e y = 4.
3x 4 y 25
83
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
9.4.2
SISTEMA INDETERMINADO:
Um sistema compatível é indeterminado quando admite mais de uma solução (infinitas
soluções).
Exemplo:
4 x 2 y 100
, é compatível e indeterminado, pois admite infinitas soluções.
8 x 4 y 200
(25,0), (24,2), (23,4), (22,6)...
9.5 SISTEMA INCOMPATÍVEL
Um sistema de equações lineares é incompatível quando não admite solução.
Exemplo:
3x 9 y 12
, é incompatível, pois a expressão 3x + 9y não pode ser simultaneamente
3x 9 y 15
igual a 12 e igual a 15 para os mesmos valores de x e y.
9.6 CLASSIFICAÇÃO:
Determinado: admite um única
solução.
Possível ou compatível,
admite solução:
Indeterminado: admite mais de
uma solução
0.x = 0
Sistema
Incompatível ou Impossível: não admite solução
9.7 SISTEMAS EQUIVALENTES:
Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando admitem a mesma solução.
Exemplo:
3x 6 y 42 x 2 y 14
e
2 x 4 y 12
x 2 y 6
são equivalentes, pois admitem a mesma solução x = 10 e y =2
84
Fundamentos Matemáticos da Computação
9.7.1
Profa Paula F. Benevides
OPERAÇÕES ELEMENTARES E SISTEMAS EQUIVALENTES:
Existe um conjunto de operações que podemos realizar entre as equações de um sistema
linear para transformá-lo em um outro sistema equivalente.
i. Permuta de duas equações;
ii. Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero;
iii. Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por
um número real diferente de zero.
9.8 SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO:
Quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todos nulos, o
sistema é chamado homogêneo.
2 x 5 y 3 z 0
7 x 2 y 4 z 0
3 x 8 y 5 z 0
9 x 3 y 8 z 0
Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução; essa solução denominada
solução trivial, é, qualquer que seja o sistema, xi = 0, xi representando as variáveis e i = 1, 2, 3,...,
m.
9.9 SOLUÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES:
9.9.1
REGRA DE CRAMER:
Dado o sistema:
a 11x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 ... a 1n x n b1
a x a x a x ... a x b
22 2
23 3
2n n
2
21 1
a 31x 1 a 32 x 2 a 33 x 3 ... a 3n x n b 3
.................................................................
.................................................................
a m1 x 1 a m2 x 2 a m3 x 3 ... a mn x n b m
onde m é o número de equações e n o número de incógnitas.
A resolução desse sistema, quando m = n, se faz através da regra prática de Cramer, que
consiste em:
1o) Calcular o determinante D da matriz dos coeficientes.
a11 a12 a13 ... a1n
a`21 a`22 a 23 ... a 2 n
D a31 a32 a33 ... a3n
...
a m1
...
am2
... ... ...
a m 3 ... a mn
2o) Se D 0, o sistema é determinado – admite uma única solução, dada por:
85
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
x1
b1
b2
Dx1 b3
...
bn
Dx3
Dxn
Dx2
Dx1
, x2
, x3
, . . . , xn
, onde
D
D
D
D
a12
a`22
a32
...
an2
a13
a 23
a33
...
a n3
...
...
...
...
...
a1n
a11 b1
a2n
a`21 b2
a3n ; Dx2 a31 b3
...
... ...
a nn
a n1 bn
a13
a 23
a33
...
a n3
...
...
...
...
...
a1n
a2n
a3n , . . .
...
a nn
ou seja, Dx é o determinante que se obtém substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a
coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes das respectivas equações.
3o) Se D = 0 e todos os Dx forem nulos, o sistema é indeterminado.
4o) Se d = 0 e existir pelo menos um Dx 0, o sistema é impossível
Exemplos:
3x 2 y 12
1) Resolva, pela regra de Cramer
5 x 4 y 2
2x 3y z 1
2) x 2 y 3z 4
3x 2 y z 4
86
Fundamentos Matemáticos da Computação
9.9.2
Profa Paula F. Benevides
RESOLUÇÃO POR ESCALONAMENTO DE MATRIZES:
Método de Gauss ou Escalonamento – aplicação a forma matricial. Ele consiste em:
a) Anular os coeficientes da 1a incógnita comparando a 1a equação com as demais.
b) Anular os coeficientes da 2a incógnita comparando a 2a equação com as restantes, exceto a
1a.
c) Anular os coeficientes da 3a incógnita comparando a 3a equação com as restantes, exceto a
1a e 2a.
E assim sucessivamente.
Exemplos:
2 x 3 y 2 z 3
1) Resolva o sistema x y 3z 2
3x 2 y z 1
87
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
x yz 4
2) Resolva o sistema 3x 2 y z 6
2 x y 2 z 6
88
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
x y 2 z 3
3) Resolver o sistema 2 x 2 y z 9
x y 3z 12
89
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
x y z 3
4) Resolver o sitema x y 0
x y z 5
x y z 1
90
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Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 11 – EXERCÍCIOS
x yz 4
1) 2 x y 2 z 6
3 x 2 y z 6
4 x 5 y 7 z 4
2) 2 x 7 y z 20
x 2y z 0
2 x t 0
3) x y 0
y 2t 1
x 3y 2z 0
4) x 8 y 8 z 0
2 x 5 y 6 z 0
x y z 1
2x y z 2
5)
x 3 y 2z 2
3 x y 2 z 5
Respostas:
1) {3; 2; 1}
100 32
2)
; ;12
3
3
1 1 2
3) ; ;
5 5 5
4) indeterminado
5) impossível
6) {3;2}
7) {1;-1;2}
8) {2; -1; 1; -2}
9) impossível
10) {0; 0; 0}
11) {1; -1; 3}
x y 5
6) x y 1
2 x y 8
x yz 2
7) x 2 y 3
2 x y z 1
x y z t 0
2x y t 1
8)
y z 2t 6
x y 3t 3
x yz 0
9) x y 2 z 5
3x y 4 z 2
x y 2z 0
2x y z 0
10)
3 x y 4 z 0
5 x y 6 z 0
x y z 3
x y 0
11)
x yz 5
3 x y z 1
91
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 12
10.LIMITES
10.1 NOÇÃO INTUITIVA:
Seja a função f(x)= 2x + 1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita
(valores maiores que 1) e pela sua esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor
correspondente de y.
x
1,01
1,02
1,03
1,04
1,1
1,2
y = 2x + 1
x
0,6
0,7
0,9
0,95
0,98
0,99
y = 2x + 1
Notamos que a medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de ______, ou seja, quando
x tende para 1 (x 1), y tende para _____ (y _____), ou seja:
lim x1 (2 x 1) 3
De forma geral, escrevemos:
lim xa f ( x) b
10.1.1
PROPRIEDADES:
1. lim xa [ f ( x) g ( x)] lim xa f ( x) lim xa g ( x)
2. lim xa [ f ( x) g ( x)] lim xa f ( x) lim xa g ( x)
3. lim xa
f ( x) lim xa f ( x)
g ( x) lim xa g ( x)
4. lim xa f ( x) n lim xa 0 f ( x) , n N *
n
5. lim xa n f ( x) n lim xa f ( x) , n N *
6. lim xa sen( f ( x)) senlim xa f ( x)
Exemplos:
1) lim x1 ( x 2 3x 3 )
2) lim x ( x 3 cos x)
71
Fundamentos Matemáticos da Computação
3) lim x0
Profa Paula F. Benevides
cos x
x 2 10
4) lim x1 ( x 2 3) 2
5) lim x2 x 3 x 2 1
6) lim x1 sen( x 2 3x)
7) lim x2 (2 x 2 3x 4)
8) lim x2
x2 4
x2
9) lim x3
x 2 4x 3
x2 9
10) lim x1
x 2 5x 4
x 1
11) lim x1
x 3 3x 2
x2 1
12) lim x0
x3 3
x
13) lim x1 ( x 3 3x 4)
72
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
14) lim x0 (cos x senx)
15) lim x2
x3 8
x2 4
16) lim h1
h 1
h 1
17) lim t 0
25 3t 5
t
18) lim t 0
(4 t ) 2 16
t
19) lim x1
x 2 3x 2
x2 1
20) lim x0
1 x 1 x
x
21) lim x1
x4 1
x5 1
73
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 12 – EXERCÍCIOS
3
2
1) lim x1 ( x x 5x 1)
Respostas
3
2
2) lim x1 ( x 2 x 4 x 3)
3) lim x
2
(4 x 3 2 x 2 2 x 1)
x 2 5x 4
4) lim x2
x2 5
x 2 7 x 10
5) lim x2
x2
x 2 2x 3
6) lim x3
x3
x3 4x 3
7) lim x1 5
x 2x 1
x 2 36
8) lim x6
x6
x 5 32
9) lim x2
x2
x 4 8 x 3 18 x 2 27
10) lim x3 4
x 10 x 3 36 x 2 54 x 27
x2
11) lim x2
2x 4
x4
12) lim x4
x 2
x
13) lim x0
2 4 x
1) 8
2) 4
3) 6 2 5
4) -10
5) -3
6) -4
7) 1
3
8) 12
9) 80
10) 2
11) 0
12) 4
13) 4
14) 1
4
15) 2
16) 4
17) 5
3
14
2 3 x
x 1
x
15) lim x0
x 1 1
1 2x 3
16) lim x4
x 2
14) lim x1
17) lim x2
2 x 2 3x 2 2
3x 2 5 x 1 1
74
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 13
10.2 LIMITES INFINITOS:
Quando os valores assumidos pela variável x são tais que |x|> N, sendo N tão grande
quanto se queria, então se diz que o limite da variável x é infinito.
lim x x ou
10.2.1
lim x x
IGUALDADES SIMBÓLICAS:
10.2.1.1 Tipo Soma:
a. (3) + ( ) =
b. (+ ) + (+ ) = +
c. - + (- ) = -
d. - = indeterminado
10.2.1.2 Tipo Produto:
a. 5 x ( ) =
b. (-5) x ( ) =
c. (+ )x(+ ) = +
d. (+ )x(- ) = -
e. x 0 = indeterminado
10.2.1.3 Tipo Quociente:
c
0
b.
c
0
c. 0
0
d. e
indeterminado
0
a.
10.2.1.4 Tipo Potência:
a. c (c>1)
b. c 0
(0<c<1)
c. 0 0
d. c 0
e. ()
f. () c (se c for ímpar)
75
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
g. () c (se c for par)
h. () 0
i. () c 0
j. 00 = indeterminado
k. () 0 indeterminado
l. 1 indetermindado
Obs.: O limite de uma função polinomial quando x tende ao infinito, é o limite do termo de
maior grau.
Exemplos:
1) lim x ( x 2 3x 1)
2) lim x
5x 4 x 2 2 x 1
2 x 2 3x 4
3) lim x
3x 2 4 x 5
x2 x 3
4) lim x
3
5) lim x
2x5
x4 6
18 x 4 x
2 x 4 3x 1
6) lim x ( x 2 x 1 x 2 x 1)
76
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 13 – EXERCÍCIOS
1) lim x (5x 3 3x 2 2 x 1)
Respostas:
2) lim x (2 x 5 x 4 2 x 2 1)
1)
+
3) lim x (3x 4 2 x 2 1)
2)
-
4) lim x (3x 4 5x 2 8)
3)
-
5) lim x (5x 3 3x 2)
4)
+
6) lim x ( x 3x 2)
5)
+
2 x 3x x 1
x2 x 3
2x 2 1
8) lim x 2
x 1
3x
9) lim x 2
x 3
3x 3 5 x 2 2 x 1
10) lim x
9 x 3 5x 2 x 3
2 x 3 5x 2 8
11) lim x
4 x 5 8x 7
5x 3 2 x 2 1
12) lim x
x7
x2 x 1
13) lim x
( x 1) 3 x 3
6)
-
7)
+
8)
2
9)
0
10)
1
11)
0
12)
+
13)
1
14)
1
15)
-1
16)
2
17)
2
18)
3
19)
+
2
3
2
7) lim x
14) lim x
x x 1
x 1
15) lim x
x2 x 1
x 1
2
3
3
2
16) lim x 2 x 3x 5
2
x4 1
17) lim x
2 x 2 3x 5
x4 1
18) lim x ( x 2 3x 4 x)
19) lim x ( x 2 3x 4 x)
77
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 14
10.3 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS:
lim x0
senx
1
x
Demonstrando o limite fundamental por tabela temos que:
Usando valores de x 0 em radianos, obtemos valores iguais ou muito próximos.
x
0,008
0,006
0,004
0,002
0,001
Senx
0,008
0,006
0,004
0,002
0,001
Exemplos:
1) lim x0
sen3x
x
2) lim x0
1 cos x
x2
3) lim x0
sen5 x
sen2 x
4) lim x0
sen5 x senx
sen2 x sen4 x
78
Fundamentos Matemáticos da Computação
5) lim x0
6) lim
Profa Paula F. Benevides
3x sen2 x
x sen9 x
x 0
tgx
x
7) lim x0
1 cos x
x
8) lim x 0
sen(mx)
sen(nx)
79
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 14 – EXERCÍCIOS
Respostas:
sen3x
2x
senx
2) lim x0
4x
tg 2 x
3) lim x0
3x
sen4 x
4) lim x0
sen3x
tg 3x
5) lim x0
tg 5 x
1 cos x
6) lim x0
xsenx
1 sec x
7) lim x0
x2
tgx senx
8) lim x0
x
senx cos x
9) lim x0
1 tgx
tgx senx
10) lim x0
sen 2 x
x senx
11) lim x0
x senx
cos 5 x cos 3x
12) lim x0
sen4 x
sen3x sen2 x
13) lim x0
senx
sen( x a) sena
14) lim x0
x
1 cos 2 x
15) lim x0
3x 2
1) lim x0
1) 3/2
2) ¼
3) 2/3
4) 4/3
5) 3/5
6) ½
7) – ½
8) 2
9) -1
10) 0
11) 0
12) 0
13) 1
14) cos a
15) 2/3
80
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 15
10.4 LIMITES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICAS:
x
1
lim x 1 e
x
(1)
Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número
irracional e, cujo valor aproximado é 2,7182818
x
X
1
2
3
10
100
1000
10000
100000
1
1
x
2
2,25
2,3703
2,5937
2,7048
2,7169
2,7181
2,7182
x
Nota-se que a medida que x ,
1
1 e
x
De forma análoga, efetuando a substituição
1
1
y e x
y
x
temos:
lim y 0 (1 y)
1
y
e (2)
Ainda de forma mais geral, temos:
(3) lim y 0 (1 ky)
l
y
e kl
lx
k
(4) lim x 1 e kl
x
(5) lim x0
a x 1
ln a
x
(6) lim x0
ex 1
1
x
Exemplos:
3
1) lim x 1
x
4x
81
Fundamentos Matemáticos da Computação
2) lim x0 (1 2 x)
3
3x 1
2x
4) lim x0
ex 1
sen2 x
5
5) lim x 1
x
6) lim x0 1 2 x
2x
2
x
7) lim x0
2x 1
x
8) lim x0
sen3x
ex 1
9) lim x0
e3x 1
sen4 x
10) lim x0
x
3) lim x0
Profa Paula F. Benevides
35 x 1
sen2 x
11) lim x2 log
3 1 4x
6 x 2
82
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 15 - EXERCÍCIOS
1) lim x2 3
x 2 4
x2
20) lim x0
x 1
2) lim x1 e
x 1
1
3) lim x4
e
4)
5)
6)
7)
Respostas
x 2 5 x 4
1) 81
x 2
2) e2
x 2 3x 2
lim x1 log 3 2
x 5x 4
x3
lim x3 ln
x 1 2
x x3
lim x0 log 2
x x
2x
1
lim x 1
x
1
8) lim x 1
x
x
1
9) lim x 1
x
x2
3
15) lim x0 (1 3x)
2
17) e4
18) e
19) ½
x
x
x 4
lim x
x 1
x2 1
17) lim x 2
x 3
9) e
16) e-3
1
8) e1/3
15) e-6
14) lim x0 (1 4 x)
7) e2
14) e4
x
3x
6) 0
13) e-6
4
11) lim x 1
x
2
13) lim x 1
x
5) ln4
12) e6
3x
4) -1
11) e4
x 3
2
12) lim x 1
x
3) e-12
10) e
1
10) lim x 1
x
16)
ln(1 2 x)
3x
20) 2/3
x 3
x2
2x 3
18) lim x
2x 1
ln(1 x)
19) lim x0
2x
x
83
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 16
10.5 LIMITES LATERAIS:
Consideramos uma função y = f(x), da qual queremos achar os limites laterais para x
tendendo a a, ou seja, queremos calcular:
lim xa f ( x) ?
Limite lateral à direita
lim xa f ( x) ?
Limite lateral à esquerda
Vejamos como proceder em cada caso:
Limite a direita (quando x a+)
Fazemos a seguinte troca de variável:
x = a + h, com h > 0
x a, devemos ter h 0
Exemplo:
lim x2 (3x 4)
Limite a esquerda (quando x a-)
Fazemos a seguinte troca de variável:
x = a – h, com h > 0
x a devemos ter h 0
Exemplo:
lim x2 (3x 4)
O Limite de uma função existe quando lim xa f ( x) lim xa f ( x)
84
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 16 - EXERCÍCIOS
1) lim x2 (3x 2 x 1)
2 x 2 - 3x - 1
c) f ( x) 1
2
- x 6x - 7
lim f ( x) e lim
3x 4
x2
5 x 2 3x 2
3) lim x1
3x 1
5 x 2 x 10
4) lim x3 2
x 3x 2
5) lim x3 (1 x 3 )
2) lim x3
x 2
x
x2
7) lim x2 ( x 2 3x)
2) 1
3) 2
3x
x2
3x
10) lim x2
x2
4) 26
9) lim x2
5) 1
6)
7) 10
1
x
11) lim x0 2
8) 10
1
x
9) -
12) lim x0 2
4
1 2
4
1
1 2
1
10) +
11) 0
x
12) +
x
13) 4
15) Calcule os limites laterais solicitados.
3x 2 se x 1
se x 1
a) f ( x) 2
4x 1 se x 1
lim f ( x) , lim f ( x) , lim f ( x)
x 1
se
se
se
14) 0
15) a) 1 e 5
b) 1 e -3
c) 1 e 1
x 1
x 1
1 x 2
b) f ( x) 0
x - 1
lim f ( x) e
x 2
se x 2
f ( x)
1) 9
8) lim x2 ( x 2 3x)
14) lim x0
x2
x2
Respostas:
6) lim x2
13) lim x0
x 2
se
se
x2
x2
x 2
lim f ( x)
x 2
85
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 17
11.ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
11.1 INTRODUÇÃO:
Traçaremos com facilidade um esboço gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas
horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam.
Assíntota são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para traçarmos a função,
onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da assíntota, porém não "toca " esta reta,
pois a assintota são os limites laterais vertical e horizontal da função
11.2 ASSÍNTOTA VERTICAL
Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das
afirmações seguintes for verdadeira:
lim xa f ( x)
i.
ii.
lim xa f ( x)
iii.
lim xa f ( x)
iv.
lim xa f ( x)
11.3 ASSÍNTOTA HORIZONTAL
Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das
afirmações seguintes for verdadeira:
lim x f ( x) b
i.
ii.
lim x f ( x) b
Exemplos:
1) Seja a função f ( x)
2
. Encontre a equação assíntotas horizontais e verticais se ela existirem.
( x 1)
86
Fundamentos Matemáticos da Computação
2) Considere a função f ( x) 3
Profa Paula F. Benevides
4
. Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se
( x 2) 2
ela existirem.
12.FUNÇÕES CONTÍNUAS
12.1 DEFINIÇÃO:
Uma função f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as seguintes condições:
f (a)
i.
lim xa f ( x)
ii.
iii.
lim xa f ( x) f (a)
Exemplos:
Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto indicado:
1) f ( x) 2 x 5 3x em x = 4
87
Fundamentos Matemáticos da Computação
2) f ( x)
Profa Paula F. Benevides
| x2|
em x = 2
2
x 2 1 se x 3
se x 3
3) f ( x) 2
3 x se x 3
em x = 3
88
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 17 - EXERCÍCIOS
Escreva a equação das assíntotas das funções abaixo, faça um esboço do gráfico da função:
5
x3
3x 1
y
x 1
2
y
x
2
y
( x 1) 2
3
y 1
x2
1) y
2)
3)
4)
5)
Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados
| x 3 |
se x 3
6) f ( x) x 3
em x = 3
1
se x 3
x2 9
7) f ( x)
em x = 3
x3
8) f ( x) 3x 5 em x = 2
x 2 5 x 1 se x 2
9) f ( x)
em x = 2
se x 2
x3
Respostas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
x = 3 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assintota horizontal
x = 1 é a equação da assíntota vertical e y = 3 é a assintota horizontal
x = 0 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal
x = 1 é a equação da assíntota vertical e y = 0 é a assíntota horizontal
x = 2 é a equação da assíntota vertical e y = - 1 é a assíntota horizontal
a função não é contínua
a função é continua
a função é contínua
a função não é contínua
89
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 18
13.DERIVADAS
13.1 INTRODUÇÃO:
O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo
de início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à
Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não-elementar tanto nas ciências
naturais como humanas.
O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora da
realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas em geral na resolução
de problemas cotidianos.
13.2 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE GRÁFICO:
Seja f uma função representada no gráfico abaixo:
y
f(x)
x
x
Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado
ponto, vamos supor P(x, f(x)).
Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo assim, devemos
encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em P (x, f(x)).
y
f(x)
x
x
90
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
Seja P(x, f(x)) e Q (x + h, f(x +h)) dois pontos da função f onde h representa a diferença entre
as abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta PQ utilizando os conceitos de
trigonometria no triângulo retângulo.
Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q.
f(x)
y
s
Q
f(x+h)
f(x)
P
R
x
x+h
x
Sabemos que o coeficiente angular mPQ da reta secante é dado pr
QR
mPQ ms tg
PR
f ( x h) f ( x )
(i) inclinação da reta secante
ms
h
Podemos tomar no gráfico pontos Q1, Q2, Q3, Q5,....Qn cada vez mais próximos de P, a reta
s(PQ) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h, tende a zero.
f(x)
y
s
Q
f(x+h)
Q1
Q2
f(x)
P
Q3
x
R
x+h
x
Logo:
mt lim x0 ms
mt lim x0
f ( x h) f ( x )
h
onde m representa o coeficiente angular da reta tangente.
Esse limite quando existe é chamado Derivada de t
91
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
13.3 DEFINIÇÃO:
Seja uma função f: D R, e seja D’ o conjunto de todos os valores x tal que exista f’(x).
Chama-se função derivada de f a função f’ : D’ R tal que:
f ' ( x) lim x0
f ( x x) f ( x)
x
Exemplo:
1) Se f(x) = x2 determine a equação da reta tangente ao gráfico f no ponto de abscissa x = 2
2) Seja a função f: R R tal que f(x) = x2. Obter a função derivada de f:
3) Utilizando a definição calcule a derivada da função f(x)=x 3
92
Fundamentos Matemáticos da Computação
13.3.1
Profa Paula F. Benevides
OUTRAS NOTAÇÕES PARA A FUNÇÃO DERIVADA:
y’ (lê-se: derivada de y)
y’x (lê-se: derivada de y em relação a x)
dy
(derivada de y em relação a x)
dx
Df (derivada de f)
13.4 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA;
A questão fundamental da cinemática consiste em determinar a velocidade de um móvel em um
instante qualquer quando é conhecida a equação de seu movimento ou seja, a expressão que nos dá o
espaço (posição) em função do tempo, s=f(t).
Quantitativamente a velocidade exprime em geral, a razão de variação do espaço em relação ao
tempo. Quando esta razão é constante, temos o movimento uniforme. Ou seja, se o móvel percorre um
S
espaço S em um intervalo de tempo t , a velocidade é dada pelo quociente v
, que é uma
t
razão constante.
Quando porém, temos um movimento variado, ou seja, o móvel percorre espaços diferentes em
tempos iguais, é necessário e fundamental distinguir a velocidade média da velocidade instantânea.
Se um automóvel percorre 120 km em 2 horas, não podemos concluir deste fato que sua
velocidade tenha sido de 60 km/h. Se durante o percurso nós ativéssemos ao velocímetro
constataríamos que a velocidade apresentou variação, ora para mais, ora para menos. Portanto a
velocidade de 60 km/h que obtivemos dividindo 120km pelo tempo de 2 horas gastos em percorrê-los
é o que chamamos de velocidade média. A velocidade que observamos a cada instante no velocímetro
do veículo denominamos velocidade instantânea.
Consideremos um móvel de equação horária s = f(t) que se desloca sobre uma trajetória
retilínea de origem O e que em um instante t 1 ocupe uma posição S1 e num instante t2 ocupe uma
posição S2.
93
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
Sabemos que o espaço percorrido pelo móvel entre uma posição e outra é S S 2 S1 ou
S f (t 2 ) f (t1 ) e que o tempo gasto para percorrê-lo é t t 2 t1 .
Logo, sua velocidade média neste percurso é:
f (t 2 ) f (t1 )
S S 2 S1
t
t 2 t1
t 2 t1
Com a definição de velocidade média e considerando a variação do tempo tendendo a zero
podemos estabelecer a equação da velocidade instantânea no instante t 1, dada por:
Vm
V lim t 0
f (t 2 ) f (t1 )
S
lim
t
t 2 t1
Mas t 2 t1 t t 2 t1 t e considerando t1 um instante genérico t, temos t 2 t t ,
logo:
V lim t 0
f (t t ) f (t )
t
que é a derivada da função f em relação a sua variável independente t, ou seja:
Se S = f(t) então S’(t) = v
Raciocínio semelhante pode ser desenvolvido a partir da função velocidade do móvel, v= f(t), o
que nos levará a concluir que a sua derivada nos fornecerá a aceleração do móvel em um instante
qualquer, isto é:
Se v = f(t) então v’(t) = a
Onde a é a aceleração instantânea do móvel.
94
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
13.5 REGRAS DE DERIVAÇÃO:
Esta seção contém algumas regras gerais que simplificam o trabalho de cálculo das derivadas.
f’(x) = 0
1) f(x) = c
2) f(x) = x
n
f’(x) = n.xn-1
3) f(x) = u.v
f’(x) = u’v + uv’
4) f(x) = u.v.w
f’(x) = u’vw + uv’w + uvw’
5) f ( x)
u
v
f ' ( x)
u ' v uv'
v2
6) f(x) = un
f’(x) = n.un-1.u’
7) f(x) = au
f’(x) = au.ln a.u’
8) f(x) = eu
f’(x) = eu.u’
9) f(x) = ln u
f ' ( x)
u'
u
10) f(x) = log a u
f ' ( x)
u'
u. ln a
11) f(x) = cos u
f’(x) = - u’.sen u
12) f(x) = sen u
f’(x) = u’.cos u
13) f(x) = tg u
f’(x) = u’.sec2 u
14) f(x) = cotg u
f’(x) = - u’.cossec2u
f’(x) = u’.sec u. tg u
15) f(x) = sec u
16) f(x) = cossec u
f’(x) = - u’.cossec u. cotg u
17) f(x) = uv
f’(x) = v.uv-1.u’ + uv.v’.ln u
v
f ' ( x) u v (v' ln u .u ' )
u
18) f(x) = arc sen u
f ' ( x)
19) f(x) = arc cos u
f ' ( x)
20) f(x) = arc tg u
f ' ( x)
u'
1 u 2
u
1 u 2
u'
1 u2
95
Fundamentos Matemáticos da Computação
13.5.1
Profa Paula F. Benevides
DERIVADA DE FUNÇÃO ALGÉBRICA:
Exemplos:
1) y = 4x2 – 2x
7x2
3
5
7
2)
y
3)
y 3 x2
4) y
2x
x 1
5)
y (2 x 3)(1 x x 2 )
6)
y ( x 2 3) 5
7)
y 1 x2
8)
y
2
4x 3
96
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 18 - EXERCÍCIOS
1) y = 5X4 – 3X3 + 2X2 + 3X + 5
2) y = 7x4 -2x3 + 8x
2 x 3 5x 2
4x
3) y
3
2
7
4) y 3
x
4
5) y 5
x
6) y x 2 x
7) y 5 x 2 4 x 3 x 4
8) y 12 x 3 6 x
1
9) y
3x 5
3x 5
10) y
2x 7
2x 3
11) y 2
x 5x 5
x 2 3x 2
12) y 2
x x2
13) y = (1 + 4x3)(1 + 2x2)
14) y = (x2 – 1)(1 – 2x)(1 – 3x2)
15) y = (2x2 – 4x + 8)8
16) y = (3a- 2bx)6
17) y 3 a bx 3
18) y 3 (2 5 x 2 ) 2
19) y (a x) a x
20) y x 5 x 4
2x 5
21) y
6x3 5
x 1
22) y
x 2 2x 4
23) y
24) y
1 x
1 x
a x
a x
Respostas:
1) y’ = 20x3 – 9x2 + 4x + 3
2) y’ = 28x3 – 6x2 + 8
3) y’ = 2x2 + 5x – 4
21
x4
20
y' 6
x
4x 2 x
y'
2x
2
3
y'
4 4x3
55 x 3 4 x
3
y ' 18 x
x
3
y' 2
9 x 30 x 25
31
y'
( 2 x 7) 2
4) y '
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11) y '
2 x 2 6 x 25
( x 2 5 x 5) 2
2x 2 4
( x 2 x 2) 2
13) y’ = 40x4 + 12x2 + 4x
14) y’ = 30x4 – 12x3 – 24x2 + 8x + 2
15) y’ = (32x – 32)(2x2 – 4x + 1)7
16) y’ = -12b(3ª-2bx)5
bx 2
17) y '
3
(a bx 3 ) 2
20 x
18) y '
33 2 5 x 2
a 3x
19) y '
2 ax
15 x 8
20) y '
2 5x 4
6 x 3 45 x 2 10
21) y '
(6 x 2 5) 3
3
22) y '
( x 2 2 x 4) 3
1
23) y '
1 x 2 (1 x)
a
24) y '
x (a x ) 2
12) y '
97
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 19
13.5.2
DERIVADA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS:
Exemplos:
1) y 3 x
2) y e x
3) y e x
2
2 x
4) y x 2 e ax
ex 1
5) y x
e 1
6) y log 3 x
7) y log a ( x 2 1)
8) y
e x ex
e x e x
98
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 19 - EXERCÍCIOS
Respostas:
x
1) y = 3
2) y = e – x
8
3) y e x
4) y e x
2
5) y 7 x
2
1) y' 3 x ln 3
x 1
2) y' e x
2 x
3) y' 8 x 7 .e x
ex
6) y
x
7) y ( x 1) x
8) y ( x 1)
x 3 1
9) y ln 3 x
10)
y 4 log x 3
11)
y ln
12)
13)
14)
15)
16)
17)
x2
1 x2
1 x
y ln
1 x
y ln 9 2 x 2
1
y
x ln x
y e x ln x
y x 2 ln x 2
ln x
y
x
4) y' e x
2
5) y' 7 x
2
x 1
2 x
8
.(2 x 1)
. ln 7.(2 x 2)
e ( x 1)
x2
7) y' x( x 1) x1 ( x 1) x ln( x 1)
6) y '
x
8) y' ( x 3 1)( x 1) x ( x 1) x 1 .3x 2 . ln( x 1)
3
3
ln 2 x
x
12
y'
x ln 10
2
y'
x(1 x 2 )
2
y'
(1 x) 2
2x
y'
9 2x 2
ln x 1
y'
( x ln x) 2
1
y ' e x ln x
x
y' 2 x(ln x 2 1)
1 ln x
y'
x2
9) y ' 3
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
99
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 20
13.5.3
DERIVADA DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:
Exemplos:
1) y = sen 5x
2) y = 3cos 2x
3) y = tg 3x
4) y = sec 4x
5) y = tg x3
6) y = tg2 x
7) y = cotg(1 – 2x2)
8) y = x2cosx
9) y = sen2x.cosx
10) y
cos x
x
11) y arccos
x
2 x
100
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA20 - EXERCÍCIOS
1)
2)
3)
4)
5)
y = cossec 7x
y = sen3x + cos2x
y = sen5x
y = 5sen3x
y 3 tg 3x
6) y sen 2 x 1
cos x
7) y
xe x
8) y (cos x) x
senx
9) y
cos x
10) y e x senx 4x 3
11) y sec 3 x
12) y x 2 senx.e x
13) y arcsen3x
1
14) y arctg
x
15) y arcsen(3x 2)
16) y arctg 2x 2
17) y arcsen(5 2 x 3 )
18) y arc cot g (1 x 2 )
19) y arc sec x 3
20) y arccos sec( x 1)
21) y x 2 arcsenx
22) y x.arctgx
23) y ln arccos x
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Respostas
y’ = -7cossec7x.cotg7x
y’ = 3cos3x-2sen2x
y’ = 5sen4x.cosx
y’ = 15sen2x.cosx
3 tg 3 x
y'
cos 3x.sen3x
cos 2 x 1
y'
2x 1
x( senx cos x) cos x
y'
x 2e x
x
y' (cos x) (ln cos x xtgx )
9) y' sec 2 x
10) y' e x (senx cos x) 12 x 2
3
sec 3 x .tg x
11) y '
2 x
12) y’ = xex(2senx+xcosx+xsenx)
3
13) y '
1 9x 2
1
14) y ' 2
x 1
3
15) y '
9 x 2 12 x 3
4x
16) y '
1 4x 4
6x 2
17) y '
4 x 6 20 x 3 24
2x
18) y '
2 2x 2 x 4
3
19) y '
x x6 1
1
20) y '
( x 1) x 2 2 x
1
21) y ' 2 x
1 x2
x
22) y ' arctgx
1 x2
1
23) y '
arccos x. 1 x 2
101
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 21
13.6 DERIVADAS SUCESSIVAS
Seja f uma função contínua em um intervalo I e derivável em um intervalo A I. Vimos que
a derivada de f em A denotamos por f’ . Se f’ é derivável em um intervalo B, B A, a esta derivada
de f’ denotamos por f” denominamos derivada segunda de f.
Procedendo de maneira análoga, definimos as derivadas terceiras, quarta,...,enésimas.
Exemplo:
1) Obtenha até a derivada de 5a ordem da função f(x) = 5x5 – 3x3
2) Dada a função f(x) = x4 – 2x3 + 4x2 – 1, pede-se calcular f”(-1) e f(6)(15)
13.7 REGRAS DE L’HOSPITAL
Agora apresentaremos um método geral para levantar indeterminações do tipo
0
ou
.
0
Esse método é dado pelas regras de L’Hospital.
Regras de L’Hospital:Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I. Suponhamos
que g’(x) 0 para todo x a em I.
f ' ( x)
L então:
i). Se lim xa f ( x) lim xa g ( x) 0 e lim xa
g ' ( x)
f ( x)
f ' ( x)
lim xa
lim xa
L
g ( x0
g ' ( x)
102
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
ii).
Se lim xa f ( x) lim xa g ( x) e lim xa
lim xa
f ' ( x)
L então:
g ' ( x)
f ( x)
f ' ( x)
lim xa
L
g ( x)
g ' ( x)
f ' ( x)
f ' ( x)
ou lim xa
.
g ' ( x)
g ' ( x)
Ela também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito.
Obs.: A regra de L’Hospital continua válida se lim xa
Exemplos:
Determinar
2x
1) lim x0 x
e 1
2) lim x0
senx
x
3) lim x0
1 cos x
x
4) lim x4
x 2
x4
5) lim x2
x2 x 6
x 2 3x 2
103
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 21 – EXERCÍCIOS
x2 1
x 1
x 3 3x 2
2) lim x1 3
x x2 x 1
x3
3) lim x x
e
ln x
4) lim x1
x 1
x senx
5) lim x0
3x 2
1 x ex
6) lim x
2x3
e x e3
7) lim x3
x3
tgx x
8) lim x0
x senx
e x ex x2
9) lim x0
2 x senx
1 x2
10) lim x1
senx
x
1 sen
2
11) lim x
x
x senx
12) lim x0
x3
ax bx
13) lim x0
x
1 sen 3 x
14) lim x
2 x
2
x2
e 1
15) lim x0
cos x 1
16) Obter a derivada terceira das seguintes
funções:
a) f(x) = x3 + 2x2 + 1
b) f(x) = 5x2 – 3x +2
1
c) f ( x) 1
2x
d) f(x) = 2x-3
e) f(x) = sen3x
f) f(x) = e2x
1) lim x1
a)
b)
x2
ax
y = ex.cosx
y
Respostas
1)
2)
2
3
2
0
1
0
0
e3
2
2
2
11) 0
1
12)
6
a
13) ln
b
14) 0
15) -2
16) a) 6 b) 0 c) 0
d) -120x-6
e) -27cos3x f) 8e2x
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
17)
2a 2
(a x) 3
b) y” = -2exsenx
a) y"
17) Obter a derivada segunda das seguintes
funções:
104
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AULA 22
13.8 APLICAÇÃO DAS DERIVADAS
13.8.1
TAXAS DE VARIAÇÃO RELACIONADAS
Notemos que se duas grandezas variáveis estão relacionadas entre si através de uma
terceira grandeza, então suas taxas de variação em relação a esta grandeza da qual dependem
também estarão.
dy dy dx
Exemplo: Se y depende de x e x depende de t, temos:
dt dx dt
Exemplos:
1) Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taxa de variação
de sua área em relação ao tempo no instante em que o lado mede 15cm.
2) Um cubo se expande de modo que sua aresta varia a razão de 12,5cm/s. Achar a taxa de variação
de seu volume no instante em que sua aresta mede 10cm.
105
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Fundamentos Matemáticos da Computação
3) Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base.
Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m 3/h, a que razão aumenta a área da base quando a
altura do monte é de 4m?
13.8.2
MÁXIMOS E MÍNIMOS
13.8.2.1 Introdução:
Suponha que o gráfico abaixo tenha sido feito por um instrumento registrador usado para
medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eixo dos x
representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(x).
Por exemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas, pressão,
corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de indivíduo, quantidade de um produto
químico em uma solução, bactérias em uma cultura, etc.
Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela é
decrescente.
y
P
M
N
a
b
c
d
e
x
A figura mostra que f é crescente no intervalo de ]a,b[, decrescente de ]b, c[, crescente ]c,
d[ e decrescente de ]d, e[.
106
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de [b, e], veremos que a quantidade atingiu
seu máximo (maior valor) em d e seu mínimo em c.
Observe que em outros intervalos existem diferentes máximos e mínimos.
O ponto M da curva, de abscissa x = b, situa-se exatamente no ponto onde a função passa
de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máximo local em x = b,
ou que f(b) é um máximo local da função. Isto é, o valor de f(b) é o maior valor que a função
assume para valores de x, próximos de b.
Convém observar que o ponto M não é o ponto mais alto do gráfico. M é o ponto mais
alto dos que lhe são próximos. Por isso o adjetivo “local”.
Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de ]b, c[ e crescente de ]c, d[. O
ponto N da curva situa-se exatamente no ponto em que a função passa de decrescente para crescente
e sua abscissa é x = c. Observamos que N é o mais baixo ponto entre os que lhe são próximos.
Dizemos que a função apresenta ai um mínimo local, ou que f(c) é um mínimo local de f. O valor
de f(c) é o menor valor que a função assume para valores próximos de x, próximos de b.
Notemos que a função pode apresentar outros máximos e mínimos locais.
Definição 1: Seja f uma função definida em um intervalo l e c um número em l, então:
i). f(x) é máximo de f em l se f(x) f(c) para todo x em l
ii). f(x) é mínimo em f em l se f(x) f(c) para todo x em l
Definição 2: Seja c um valor do domínio de uma função f
i). f(c) é máximo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) f(c)
para todo x em (a,b)
ii). f(c) é mínimo local de f se existe um intervalo (a,b), contendo c, tal que f(x) f(c)
para todo x em (a,b)
Teorema: Se uma função f tem extremo local para um valor c, então f’(c) = 0 ou f’(c) não
existe.
Suponha que uma função f seja derivável, neste caso o seu gráfico admite tangente em
cada ponto, conforme o gráfico abaixo.
No ponto B, de máximo local, e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma reta
horizontal, paralela ao eixo x. Logo f’(a) = f’(b) = 0 pois o coeficiente angular da reta tangente é a
derivada da função no ponto.
Se f é uma função derivável e xo ponto tal que f’(xo) = 0 ou não exista, dizemos que x0 é
um ponto crítico da função f.
Portanto da afirmação anterior, concluímos que os máximos e mínimos locais de uma
função ocorrem em pontos críticos da função.
A condição f’(x) = 0 é necessária para que haja máximo ou mínimo local no ponto x,
mas não é suficiente.
107
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
Seja por exemplo a função f(x) = x3. Derivando temos: f’(x) = 3x2, logo f’(x) = 0 e o ponto
de abscissa x = 0 não é nem máximo local nem mínimo local da função.
Definição 3: Um ponto (número) c do domínio de uma função f é ponto crítico de f se, ou
f’(c)=0 ou f’(c) não exista.
Exemplo:
Determine os pontos críticos da função f(x) = 4x2 – 3x + 2
13.8.2.2 Determinação dos Máximos e Mínimos locais:
1o) Calcular a derivada primeira da função f e resolver a equação f’(x)=0, cujas raízes são as
abscissas dos pontos críticos de f.
2o) Examinamos cada ponto crítico encontrado afim de verificar se trata-se de extremo ou
não. Para isso, utilizaremos o teste da derivada primeira ou o teste da derivada segunda.
13.8.2.3 Crescimento e Decrescimento de funções:
Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no
intervalo aberto (a, b).
i). Se f’(x) > 0 para todo x em (a, b) então f é crescente em [a, b]
ii). Se f’(x) < 0 para todo x em (a, b) então f é decrescente em [a, b]
108
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
13.8.2.4 Teste da Derivada Primeira:
Suponhamos que para x = x0 a função f tenha um ponto crítico e sejam a e b muito
próximos de x0 tais que a<x0<b, então:
i). Se tivermos que f’(a) > 0 e f’(b) < 0, então, nesse caso a função passa de crescente a
decrescente e podemos afiram que f(x0) é um máximo local da função.
ii). Se tivermos que f’(a) < 0 e f’(b) > 0, então, nesse caso a função passa de decrescente a
crescente e podemos afirmar que f(x0) é um mínimo local da função.
Exemplos:
1) Seja a função f(x) = x2 -4. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de inflexão se
existirem.
2) Seja a função f(x) = - x3 + 8x2 + 12x – 5. Determine os pontos de máximo, de mínimo e de
inflexão se existirem.
13.8.2.5 Concavidade e Teste da Derivada Segunda:
109
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
Teste da Concavidade: Se uma função f é diferenciável em um intervalo aberto contendo c,
então, no ponto P(c, f(c)), o gráfico é:
i). Côncavo para cima se f”(c) > 0
ii). Côncavo para baixo se f”(c) <0
Teste da Derivada Segunda: Seja f diferenciável em um intervalo aberto contendo c e
f’(c)=0.
i). Se f”(c) < 0, então f tem máximo local em c
ii). Se f”(c) > 0, então f tem mínimo local em c
Se a função f admite derivada segunda nos pontos críticos, e supondo que esta seja contínua
no domínio considerado, podemos empregá-la para examinar cada ponto crítico e classificá-lo.
Seja x0 a abscissa de um ponto crítico, se f”(x0) > 0, o gráfico de f côncavo para cima para x
próximo de x0, isto é, f tem ai concavidade voltada pra cima e então f(x 0) é um mínimo local de f.
Se f”(x0) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo pra x próximo de x 0, isto é, f tem
concavidade voltada pra baixo, e nesse caso, f(x0) é um máximo local de f.
Resumindo:
f ' ( x0 ) 0
Mínimo Local:
f " ( x0 ) 0
f ' ( x0 ) 0
Máximo Local:
f " ( x0 ) 0
Exemplo:
Determinar os pontos máximos ou mínimos da função f(x) = - x3 – 3x2 + 9x – 5, se
existirem usando o teste da DERIVADA SEGUNDA.
110
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 22 - EXERCÍCIOS
1) Ao aquecer um disco circular de metal,
seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min.
Quando o diâmetro esta com 5 metros, a que
taxa esta variando a área de uma face?
2) Um tanque em forma de cone com vértice
para baixo mede 12 m de altura e tem no topo
um diâmetro de 12 m. Bombeia-se água à taxa
de 4m3/min. Ache a taxa com que o nível da
água sobe:
a) quando a água tem 2 m de
profundidade.
b) quando a água tem 8 m de
profundidade.
3) Uma pedra lançada em uma lagoa provoca
uma série de ondulações concêntricas. Se o
raio r da onda exterior cresce uniformemente
à taxa de 1,8 m/s, determine a taxa com que a
área de água perturbada está crescendo:
a) quando r = 3m
b) quando r = 6m
4) Determine as abscissas dos pontos críticos
das funções abaixo:
a) s(t) = 2t3 + t2 – 20t +4
b) f(x) = 4x3 – 5x2 – 42x + 7
c) g(w) = w4 – 32w
5) Determine os pontos de máximo, de
mínimo e de inflexão das seguintes funções se
existires, UTILIZANDO O TESTE DA
DERIVADA PRIMEIRA.
a) y = 6x3 + 15x2 – 12x -5
4
b) f ( x) x 2 8 x 8
7
c) f(x) = - 9x2 + 14x +15
7) Imagine que a trajetória de uma pedra
lançada ao ar seja um trecho da parábola dada
por y = 5x2 – 20x (x e y em metros),
determine o ponto máximo da função.
Respostas:
5
1)
cm 2 / min
2
4
a ) m / min
2)
1
b)
m / min
4
3)
a)10,8m 2 / s
b)21,6m 2 / s
a )t 5 e 2
3
4) b) x 3 e 7
2 3
c) w 2
5) a) máx x = -2 e min x = 1/3
b) máx x = 7
c) máx x = 7/9
6) a) máx x = 3 e min x = 5
b) máx x = -3/4 e min x = 5
c) máx x = 3 e min x = - 9
7) P(2,- 20)
6) Determine as abscissas dos pontos
máximos ou mínimos das seguintes funções,
UTILIZANDO O TESTE DA DERIVADA
SEGUNDA.
a) f(x) = x3 – 12x2 + 45x +30
b) y = 8x3 – 51x2 -90x +1
c) y = -x3 – 9x2 + 81x – 6
111
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 23
14.INTEGRAIS
14.1 INTRODUÇÃO:
Até o momento, nosso problema era; dada a função obter a sua derivada. A partir de
agora, trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada?
A operação contrária a diferenciação (ou a derivação) é chamada de antidiferenciação ou
anti-derivada.
Definição: Uma função F é chamada de anti-derivada de uma função f em um intervalo l se
F’(x) = f(x) para todo x em l
Exemplo:
Seja f(x) = 4x3 + 2x + 1. F(x) = x4 + x2 + x é a anti-derivada da função f, pois F’(x0 = f(x).
Mas não existe uma única integral, note por exemplo que: G(x) = x 4 + x2 + x + 5 também é uma
anti-derivada de f pois G’(x) = f9x0
Na verdade,qualquer função definida por H(x) = x4 + x2 + x + c onde x é uma constante
qualquer, será uma integral de f.
14.1.1
NOTAÇÃO:
A anti-diferenciação é um processo pelo qual se obtém a anti-derivada, mais geral de uma
função encontrada. O símbolo denota a operação de integral, e escrevemos:
f ( x)dx F ( x) C
onde F ' ( x) f ( x)
A expressão acima é chamada de Integral Indefinida de f. Em lugar de usarmos a expressão
antiderivação para o processo de determinação de F, utilizaremos agora, a expressão Integração
Indefinida.
Para facilitar o nosso processo de obtenção da anti-derivada de uma função, temos algumas
regras, que veremos a seguir.
14.2 INTEGRAIS IMEDIATAS
n
x dx
1)
x dx
2)
x
x n 1
c
n 1
5
dx
2
112
Fundamentos Matemáticos da Computação
3)
dx
3
Profa Paula F. Benevides
x2
4) (1 x) x dx
2
1
5) x 2 3 dx
x
6)
( x3 5 x 2 4)
dx
x2
v n 1
v dv n 1 c
7) ( x3 2)2 .3x 2 dx
n
8)
a 2 b 2 x 2 .xdx
9)
dv
ln v c
v
dx
(2 x 3)
113
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
10)
x 2 dx
1 2 x3
v
a dv
av
c
ln a
e dv e
v
v
c
1
e x
11) 2 dx
x
12) 3x e x dx
13)
a
2
bx
dx
a xb x
x
114
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
tgv.dv ln cos v c
ou
tgv.dv ln sec v c
14) tg 2 xdx
cos sec vdv ln(cos sec v cot gv) c
15) cos sec xdx
sec
16)
x
2
2
vdv tgv c
sec2 x3dx
sec vdv ln(sec v tgv) c
17) sec x
dx
x
sec x.tgx.dx sec x c
18)
senx
dx
2
x
cos
cos sec
2
xdx cot gx c
115
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
19)
dx
1 cos x
dv
v
arcsen c
a
a2 v2
20)
dx
16 9 x 2
a
21)
2
a2 v2
arccos
v
c
a
dv
1
v
arctg c
2
v
a
a
ou
a
2
dv
1
v
arc cot c
2
v
a
a
dx
2
9
4x
dv
v
22)
dv
ou
x
v a
2
dx
4x 2 9
a
1
v
arc sec c
a
a
1
ou
v
dv
1
v
arccos sec c
a
a
v a
2
2
dv
2
2
v2
2a
ln
av
av
c
116
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
23)
dx
2
1
9x
v
24)
3x
2
2
dv
1 va
ln
c
2
a
2a v a
dv
v a
2
2
ln(v v 2 a 2 ) c
dx
4x 7
117
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
1)
(x
2)
(x
3)
2
8x
dx
2)3
( x 3)
3
2
6 x)
1
dx
3
x 2 2 x 4 dx
(2 ln x)
dx
x
(1 x) 2
5)
dx
x
6) (e x 1)3.e x dx
4)
7)
sen2 x.cos
2
2 x.dx
2
sec x
dx
8)
1 tgx
3ax
9) 2
dx
b c2 x2
dx
10)
x. ln x
11) tg 2 x.dx
dx
2x 2
)
senx cos x
13)
dx
cos x
cot gx
14)
dx
sen 2 x
15) (sec 4 x 1)2 dx
12)
(e
16)
a b sec x dx
sec x.tgx
cos 3 x
dx
17)
sen 4 x
18) tg 4 x.dx
19)
20)
21)
(tg 2 x sec 2 x) dx
(tgx cot gx) dx
ax
x b dx
2
2
4
4
dt
22)
4 9t
23)
4 sen
24)
2
cos .d
2
x
AULA 23 - EXERCÍCIOS
arccos 2 x
25)
dx
1 x2
x2
26)
dx
5 x6
dx
27)
2
(1 x )arctgx
dx
28) x
e e x
sec x.tgx
29)
dx
9 4 sec2 x
dx
30) 2
x 2x 5
dx
31)
3x x 2 2
3dx
32)
(2 x 1) x 2 x 2
arccos x x
33)
dx
1 x2
2x 3
34) 2
dx
3x 4 x 7
xdx
35)
27 6 x x 2
dx
36)
1 x x2
3x 1
37)
dx
4x2 9
2x 3
38) 2
dx
9 x 12 x 8
sen2 x
39)
dx
1 sen 2 x
e 2 x dx
40)
2 e2 x
dx
41)
x 1 ln 2 x
dx
42)
2
2sen x 3 cos 2 x
43) x.3 3x 2dx
dx
x 4 1
Respostas:
1)
4
c
3( x 2) 2
3
118
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Fundamentos Matemáticos da Computação
2)
3( x 2 6 x)
4
2
3
25)
+c
3
3)
4)
(1 2 x 2 ) 2
c
6
(2 ln x) 2
c
2
3
5)
6)
7)
8)
9)
26)
27)
28)
5
4x 2 2x 2
2x
c
3
5
(e x 1) 4
c
4
(cos 2 x)3
c
6
1
c
1 tgx
3a
ln(b 2 c 2 x 2 ) c
2
2c
1
2
10) ln(lnx) + c
11)
12)
13)
1
ln(sec 2 x) c
2
1
c
4e 4 x
ln(sec x) x c l
(cot gx) 2
c
14)
2
1
1
15)
tg 4 x ln(sec 4 x tg 4 x) x c
4
2
1
16)
ln( a b sec x) c
b
1
1
17)
c
senx 3sen3 x
tg 3 x
tgx x c
18)
3
19) tg 2 x sec 2 x x c
20) cot gx tgx c
2
a
x
arctg 2 c
2
2b
b
1 2 3t
22)
ln
c
12 2 3t
1 2 sen
23)
ln
c
4 2 sen
1
24)
arc sec x 2 c
2
21)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
arccos 3 x
c
3
5 x3
1
c
ln
6 5 5 x3
ln(arctgx) c
arctge x c
1
2 sec x
arctg
c
6
3
1
x 1
arctg
c
2
2
arcsen(2 x 3) c
2 x 1 c
arc sec
3
2
arccos x
1 x2 c
2
1
13 3x 3
ln(3x 2 4 x 7) ln
c
3
30 3x 7
x 3 c
35)
27 6 x x 2 3arcsen
36)
ln( x 1 1 x x 2 ) c
2
3
1
4 x 2 9 ln( 2 x 4 x 2 9 ) c
4
2
1
13 1
3x 2
ln(9 x 2 12 x 8) . arctg
c
9
9 2
2
37)
38)
39)
40)
41)
42)
43)
6
2 1 sen2 x c
1
ex
arctg
c
2
2
ln x
arcsen
c
1
2
1
arctg tgx c
6
3
7
4
1
1
(3x 2) 3 3x 2 3
21
6
119
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 24
14.3 INTEGRAIS POR PARTES
u.dv u.v v.du
1)
x.e dx
2)
x .ln x.dx
3)
x
x
2
3
3x 2dx
120
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
4) ln( x 1 x 2 )dx
5) e senxsen2 xdx
121
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 24 - EXERCICIOS
1) arcsenxdx
Respostas:
2) sen2 xdx
1) x.arcsenx 1 x 2 c
3) sec3 xdx
2)
x sen2 x
c
2
4
3)
1
1
sec x.tgx ln(sec x tgx ) c
2
2
4)
5)
6)
7)
x .senx.dx
2
x .e
3
x .e
3
x2
2x
.dx
4) x2 .cos x 2 xsenx 2 cos x c
.dx
5)
1 x2 2
e ( x 1) c
2
6)
3 2x 4 3
.e . x 2 x 2 2 x 1 c
8
3
x.arctgx.dx
8) arcsenx.
xdx
1 x
2 3
7) arctgx (1 x 2 ) x c
9) tg 2 x.sec3 x.dx
8)
10)
x.arctg
1 1 x
ln
c
2 1 x
1 x
arcsenx
2
x 2 1dx
ln x.dx
11)
( x 1) 2
9)
1 3
1
1
sec xtgx sec xtgx ln(sec x tgx ) c
4
8
8
10)
12) arcsen
x
dx
x 1
1 2
1 2
x arctg x 2 1
x 1 c
2
2
11)
ln x
x
ln
c
( x 1)
x 1
12) xarcsen
x
x arctg
x 1
x c
122
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Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 25
14.4 INTEGRAÇÃO COM APLICAÇÃO DE IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
As identidades seguintes são empregadas no cálculo das integrais trigonométricas do
presente capítulo:
i). sen 2 x cos 2 x 1
ii). 1 tg 2 x sec 2 x
iii). 1 cot g 2 x cos sec 2 x
1
iv). sen 2 x (1 cos 2 x)
2
1
v). cos 2 x (1 cos 2 x)
2
1
vi). senx cos x sen2 x
2
1
vii). senx cos y sen( x y) sen( x y)
2
1
viii). senx seny cos( x y) cos( x y)
2
1
ix). cos x cos y cos( x y) cos( x y)
2
1
x). 1 cos x 2sen 2 x
2
1
xi). 1 cos x 2 cos 2 x
2
1
xii). 1 senx 1 cos x
2
Exemplos:
1) sen 2 xdx
2) cos 2 3xdx
123
Fundamentos Matemáticos da Computação
3)
sen
3
Profa Paula F. Benevides
xdx
4) cos 6 xdx
5)
sen
2
x cos 2 xdx
124
Fundamentos Matemáticos da Computação
6)
sen3x.sen2 xdx
7)
sen3x. cos 5x.dx
Profa Paula F. Benevides
8) cos 4 x. cos 2 x.dx
9)
1 cos 3x
3
2
.dx
125
Fundamentos Matemáticos da Computação
10)
11)
Profa Paula F. Benevides
1 cos x dx
dx
1 sen2 x
12) tg 4 x.dx
13) cot g 3 2 xdx
126
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Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 25 - EXERCÍCIOS
1) cos 5 xdx
sen xdx
3) cos 2 x.sen 2 x.dx
4) sen 3x. cos 3xdx
5) sen x. cos xdx
4
2)
4
3
3
5
4
6)
sen 3 x
cos 4 x
7) tg 5 xdx
3
4
dx
8) sec 4 2 xdx
9) sec 4 x.tg 3 xdx
10) tg 3 2 x. sec 3 2 xdx
11) tg 4 x. sec 4 xdx
12) cot g 4 3xdx
Respostas:
2
1
1) senx sen 3 x sen 5 x C
3
5
3
1
1
2) x sen2 x sen4 x C
8
4
32
1
1
3)
cos 7 2 x cos 5 2 x C
14
10
1
1
4)
cos 8 3x cos 6 3x C
24
18
1
sen8 x
5)
C
3x sen4 x
128
8
5
1
3
6) 3 cos 3 x cos 3 x C
5
4
2
tg x tg x
ln sec x C
7)
4
2
1
1
8) tg 3 2 x tg 2 x C
6
2
4
6
sec 6 x sec 4 x
tg x tg x
C
C ou
9)
6
4
4
6
1
1
10)
sec 5 2 x sec 3 2 x C
10
6
5
7
tg x tg x
C
11)
5
7
1
1
12) cot g 3 3x cot g 3x x C
9
3
127
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 26
14.5 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
Esta técnica é usada para integrar funções racionais próprias, isto é, funções da forma
p ( x)
R( x)
, onde p e q são polinomiais e o grau de p(x) é menor que o grau de q(x). A ídéia é
q( x)
desdobrar o integrando R(x) em uma soma de funções racionais mais simples, que podem ser
integradas.
É fácil verificar que:
2
1
1
2
x 1 x 1 x 1
A expressão à direita é o que se chama uma decomposição em frações parciais de
Pode-se usar esta decomposição para calcular a integral indefinida de
2
.
x 1
2
2
.
x 1
2
Basta integrarmos cada uma das frações da decomposição, obtendo:
2
1
1
x 2 1 dx x 1 dx x 1 dx
O desdobramento do integrando pode ser feito de acordo com os casos seguintes:
CASO 1: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores distintos do 1 o grau.
Neste caso, a cada fator da forma (ax + b), a * e , b , que aparece no denominador,
A
corresponde uma fração da forma
.
(ax b)
Exemplos:
2
2
2
x( x 1) x( x 1)( x 1)
2
A
B
C
2
x( x 1) x ( x 1) ( x 1)
4 x 2 13x 9
dx
Calcule 3
x 2 x 2 3x
128
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
CASO 2: O denominador de R(x) pode ser decomposto em fatores repetidos do 1 o grau. A
cada fator da forma (ax + b) que aparece n vezes no denominador, corresponde uma soma de n
frações da forma:
An
A1
A2
...
2
ax b (ax b)
(ax b) n
Exemplos:
1 x
1 x
2
2
( x 1) ( x 2 x 1)
( x 1)( x 1)[( x 1) 2 ]2
1 x
1
2
2
2
( x 1) ( x 2 x 1)
( x 1)( x 1) 4
A3
A5
A1
A2
A4
1 x
2
2
2
2
3
( x 1) ( x 1) ( x 1)
( x 1) ( x 2 x 1)
( x 1)
( x 1) 4
2
Calcule
3x 3 18 x 2 29 x 4
( x 1)( x 2) 3 dx
129
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
CASO 3: O denominador é constituído por fatores quadráticos distintos e irredutíveis da
forma q(x) = ax2 +bx + c com a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1o grau. A
Ax B
cada fator q(x) que aparece no denominador, corresponde uma fração da forma
q(x)
Exemplo:
A x B1
A x B2
1
21
22
2
2
( x x 1)( x 1) ( x x 1) ( x 1)
Calcule
x 2 x 21
2 x 3 x 2 8x 4 dx
130
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
CASO 4: O denominador é constituído por fatores quadráticos repetidos e irredutíveis da
forma q(x) = ax2 + bx + c com a 0 e não pode portanto ser decomposto em fatores do 1 o grau. A
cada fator de q(x) que aparece repetido no denominador, corresponde uma soma de frações da
A x Bn
A x B1 A2 x B2
forma 1
... n
2
q ( x)
[q( x)]
[q( x)]n
Calcule
5 x 3 3x 2 7 x 3
( x 2 1) 2 dx
131
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 26 - EXERCICIOS
5 x 12
1)
x( x 4)dx
2)
( x 1)( x 2)( x 3) dx
3)
( x 1)
37 11x
6 x 11
2
dx
x 16
dx
2x 8
5 x 2 10 x 8
dx
5)
x3 4x
2 x 2 25 x 33
6)
dx
( x 1) 2 ( x 5)
4)
x
2
Respostas:
1) 3 ln | x | 2 ln | x 4 | C
2) 4 ln | x 1 | 5 ln | x 2 | ln | x 3 | C
5
3) 6 ln | x 1 |
C
x 1
4) 2 ln | x 4 | 3 ln | x 2 | C
5) 2 ln | x | ln | x 2 | 4 ln | x 2 | C
1
6) 5 ln | x 1 |
3 ln | x 5 | C
x 1
132
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 27
14.6 INTEGRAL DEFINIDA:
Teorema fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b] e g uma função tal
que g’(x) = f(x) para todo x [a, b]. Então
A expressão
b
a
b
a
f ( x)dx g (b) g (a) .
f ( x)dx é chamada de Integral Definida de f de a até b.
Em linguagem simples, este teorema nos diz que se g é uma anti-derivada de f, então a
integral definida de a até b de f é dada pela diferença g(b) – g(a).
Os valores de a e b são chamados de limites de integração.
Exemplos:
3
1) Calcule
2) Calcule
5dx
3) Calcule
1
x 2 dx
3
1
7
0
xdx
133
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
14.6.1
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA:
Vamos agora interpretar geometricamente os exemplos 2 e 3.
1) Seja f(x) = 5 (exemplo 2). Tomemos a região delimitada por (x), o eixo x e as retas x = 1 e x = 3.
x=1
x=3
Temos um retângulo de base 2 e altura 5, cuja área é dada por:
A1 = b.h = 2x5 = 10u.a (como no exemplo 2)
2) Seja f(x) = x (exemplo 3). Tomaremos a região delimitada pelo eixo x, a função f(x) = x e as retas
x = 0 e x = 7.
y
f(x)=x
7
3
1
1
3
x
7
7 7 49
u.a .
2
2
Os fatos observados nestes exemplos não são mera coincidência. Na verdade, se f(x)>0
Temos um triângulo de base 7 e altura 7, cuja área é dada por A2
para x [a,b], então
b
a
f ( x)dx nos fornece a área limitada por f(x) pelas retas x =a e x = b e o eixo
x.
134
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
3) Tomemos agora um exemplo em que f(x) < 0 em [a, b]
1
12
32
x2
1
3 ( x 1)dx 2 x 3 2 (1) 2 (3) 2
A região delimitada por y = (x+1), pelo eixo x e as retas x = - 3 e x = - 1 é apresentada
abaixo:
y
1
-
1
x
-3
-1
-2
Note que A3 é um triângulo de base 2 e altura 2, assim, A3
Assim, vemos que A3
1
3
22
u.a.
2
f ( x)dx .
Em geral se f(x)<0 em [a, b] a área delimitada por f(x), o eixo x e as retas x = a e x=b é
dada por A
14.6.2
b
a
f ( x)dx .
PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS
1. Se uma função f é integrável no intervalo fechado [a, b], e se k é uma constante qualquer,
então:
b
a
b
k. f ( x)dx k f ( x)dx
a
Exemplo:
Calcule o valor da integral
3
5xdx
0
135
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
2. Se as funções f e g são integráveis no mesmo intervalo fechado [a,b] então f + g é
integrável em [a, b] e:
b
b
a
a
[ f ( x) g ( x)]dx
b
f ( x)dx g ( x)dx
a
Exemplo:
Calcule o valor da integral
2 1
x dx
3
x
5
3. Se a função f é integrável nos intervalos fechados [a, b], [a, c] e [c, b] então:
b
a
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Exemplo:
Calcule o valor da integral
3
xdx
2
AULA 27 - Exercícios
Encontre o valor das integrais definidas
Respostas:
abaixo:
8
1)
2
3
1) x 2 dx
0
15
2
2)
3
2) x dx
4
1
3)
66
4
3) ( x 2 4 x 5)dx
4) 4
1
6
2
5)
4) ( x 3 1)dx
2
7
4
1
1
35
5) x 3 4 x 3 dx
6)
1
2
4
2 2
6) ( x 2)dx
7)
7 1
3
3
5
dx
7)
4374
1
8)
3x 1
7
3
6
9) 2
8) (t 3t )dt
3
38
4
xdx
10)
9)
3
0
x2 9
3
11)
5
5
10) x 4dx
11)
0
1
0
3
8 x 7 dx
136
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 28
14.6.3
APLICAÇÕES DE INTEGRAL DEFINIDA
14.6.3.1 CÁLCULO DE ÁREAS DE UMA REGIÃO PLANA
Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se f(x) 0 para todo x em [a,
b], então temos que o número que expressa a área da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e
as retas x = a e x = b é dada por, em unidades quadradas:
b
A f ( x)dx
a
Por conveniência, referimo-nos à região R como a região sob o gráfico f de a até b.
y
Área = R
x
a
b
Exemplos:
1) Encontre a área limitada pela curva y = x2, o eixo x e as retas x = -1 e x = 2.
y
x=1
x=2
x
137
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
2) Encontre a área limitada pela curva y = x2 – 4, o eixo x e as retas y = - 2 e x = 2
y
-2
2
x
4
3) Calcule a área limitada pelas curvas y = x2 + 1, y = - x2 - 1 e as retas x = -1 e x = 3.
10
A1
-1
3
A2
- 10
138
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
4) Calcule a área da região definida pela curva y = x 2 – 4, o eixo x e as retas x = - 4 e x = 2
y
12
A1
-4
-2
x
2
A2
4
139
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
14.6.3.2 ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR DUAS FUNÇÕES:
Nesta seção, consideraremos a região que esta entre os gráficos de duas funções.
Se f e g são contínuas em f(x) g(x) 0 para todo x em [a, b], então a área A da região R,
limitada pelos gráficos de f, g, x =a e x = b, pode ser calculada subtraindo-se a área da região sob o
gráfico de g (fronteira inferior de R) da área da região sob o gráfico de f (fronteira superior de R):
b
b
a
a
A f ( x) xdx g ( x)dx
ou
b
[ f ( x) g ( x)]dx
a
Suponha que desejamos calcular a área A delimitada por duas curvas f(x) e g(x) e as retas
x = a e x = b, como ilustra a figura abaixo:
f(x)
g(x)
a
b
Note que a área pode ser obtida pela diferença das áreas A1 – A2
f(x)
g(x)
b
a
a
b
b
a
a
b
Sendo A1 f ( x)dx e A2 g ( x)dx
A = A1 – A2
b
b
A [ f ( x) g ( x)]dx
A
a
b
f ( x)dx g ( x)dx
a
a
Assim verificamos que é válido o teorema a seguir:
140
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
Teorema: se f e g são contínuas e f(x) g(x) 0 para todo x em [a, b], então a área A da
região delimitada pelos gráficos de f, g, x = a e x = b é:
b
A [ f ( x) g ( x)]dx
a
Diretrizes pra encontrar a área de uma região R limitada por duas funções:
Esboçar a região, designando por y = f(x) a fronteira superior e por y = g(x) a fronteira
inferior.
Encontrar os pontos de intersecção (a e b) entre as duas funções (sistema de equações)
b
Calcular a integral A [ f ( x) g ( x)]dx
a
Exemplos:
1) Encontre a área A limitada pela curva f(x) = x2 + 2 e g(x) = 1 no intervalo de [-2, 3]
141
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
2) Encontre a área A da região limitada pelas curvas y = x 2 e y = -x2 + 4x.
AULA 28 – Exercícios
Encontre a área delimitada pelas
curvas e as retas dadas.
1) y = 4x – x2, o eixo x, as retas x
= 1 e x=3.
2) y = 8x-x2, o eixo x, as retas x=
0 e x=4.
3) y = x2 + 1 e y =5
4) y = x2 e y = 4x
5) y = 1 – x2 e y = x – 1
6) y = senx, o eixo x, x = 0 e
x
rad
2
7) y = senx, o eixo x, x = 0 e x =
2 rad
8) y = cosx, o eixo x, x = 0 e x =
2 rad
9) y = x e y = x2 com 0 x 2
10) y = x2 e y = x
Respostas:
22
u.a
1)
3
32
u.a
3)
3
9
5) u.a
2
7) 4 u. a
9) 1 u. a.
128
u.a..
3
32
u.a
4)
3
2)
6) 1 u.a.
8) 4 u. a
1
10) u.a.
3
142
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
AULA 29
14.6.3.3 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO:
Definição 1: Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região do
plano em torno de uma reta no plano, chamada de eixo de revolução.
Exemplo: Ao girarmos o triângulo abaixo em torno do eixo y, obtemos um cone de
revolução.
y
y
x
x
Definição 2: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Se S for o sólido obtido
pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = f(x), o eixo x e as retas x = a e x
= b e se V for o número de unidades cúbicas do volume de S, então:
b
V [ f ( x)]2 dx
a
Exemplo:
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região plana limitada pela curva y x 2
e as retas x = 2 e x = 3 em torno do eixo x.
143
Profa Paula F. Benevides
Fundamentos Matemáticos da Computação
Definição 3: Seja uma região R do plano limitada pelos gráficos de x = a, x = b e pelos
gráficos de duas funções contínuas f e g, com f(x) g(x) 0 para todo x em [a, b]. Então o
volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x é dado por:
b
V f ( x) 2 g ( x) 2 dx
a
Exemplo:
Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x, da região limitada
pela parábola y = x2 + 1 e a reta y = x + 3
AULA 29 – Exercícios
1) Seja f(x) = x2 + 1, determine o volume do
sólido gerado pela rotação em torno do eixo x,
da região do plano limitada por f(x), pelo eixo
x e as retas x = -1 e x = 1.
1
2) Seja f ( x) , determine o volume do
x
sólido gerado pela rotação em torno do eixo x,
da região limitada por f(x), pelo eixo x e as
retas x = 1 e x = 3.
3) Seja f(x) = x2 – 4x, determine o volume
do sólido gerado pela rotação em torno do
eixo x, da região do plano limitada por f(x) e
pelo eixo x.
4) Em cada um dos exercícios abaixo esboce
a região R delimitada pelos gráficos das
equações dadas e determine o volume do
sólido gerado pela rotação de r em torno do
eixo x.
a) y = x2, y = 4 – x2
b) y = 2x, y = 6, x = 0
x
c) y , y = 4, x = 1
2
56
u.v.
15
2
u.v.
2)
3
512
u.v.
3)
15
64 2
4) a)
u.v.
3
b) 72 u.v.
833
u.v.
c)
12
1)
Respostas:
144
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AULA 30
15.VETORES
15.1 NOÇÃO DE VETORES
-
módulo
direção
sentido
A = origem
B= extremo
Representante (A, B)
OBS: (A, B) # (B, A)
15.1.1
SEGMENTO ORIENTADO (A, A)
A
15.1.2
segmento nulo
PROPRIEDADES:
1) Dois segmentos têm o mesmo comprimento, se os módulos forem iguais.
2) Dois segmentos têm a mesma direção se forem paralelos
3) Dois segmentos têm o mesmo sentido se:
AC BD
= Ø
145
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4) Dois segmentos têm sentidos opostos se:
AC BD
# Ø
15.2 ADIÇÃO DE VETORES
B
u
AB BC A C
v
A
C
u+v
Quando ocorrer coincidência de extremo com extremo, é necessário fazer algumas
mudanças:
15.2.1.1 Regra do paralelogramo
C
A
B
Propriedades:
i.
ii.
iii.
iv.
Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w)
Comutativa: u + v = v + u
Elemento Neutro: v + 0 = 0 + v = v
Qualquer que seja o vetor v, existe só um vetor –v (vetor oposto de v) tal
que: v + (-v) = -v + v = 0
15.3 EQUIPOLÊNCIA:
( A, B) e (C, D) são eqüipolentes se tem o mesmo módulo, direção e sentido.
Indicamos ( A, B) ~ (C, D)
15.3.1
PROPRIEDADES:
Reflexiva: ( A, B) ~ (A, B)
Simétrica: ( A, B) ~ (C, D) ( C, D) ~ (A, B)
Transitiva: ( A, B) ~ (C, D) e ( C, D) ~ (E, F) (A, B) ~(E, F)
146
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15.4 VETORES OPOSTOS
B
B
AB é oposto de BA
A
AB anula BA
A
15.5 VETORES NO PLANO CARTESIANO
y
Seja A (1, -1) e B ( 5,1)
O vetor u , tem origem em A e extremo em B.
A coordenada (4,2) nos mostra a
posição do vetor u se transferirmos a origem
do plano para a origem do vetor.
x
15.6 MÓDULO DE UM VETOR – NORMA - | V |
|v|=
v.v
|v|=
( x, y).( x, y)
|v|=
x2 y 2
A partir de cada vetor v # 0, é possível obter um vetor unitário fazendo u =
v
|v|
.
Exemplo: v = ( 3, -4 ):
147
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Obs: dado um vetor AB com extremidades nos pontos a (xa, ya) e B (xb, yb), o
módulo desse vetor será:
| AB |=
( xb xa )2 ( yb ya )
2
15.7 OBSERVAÇÕES SOBRE ADIÇÃO DE VETORES
B
u+v
u
-v
B
D
u
u-v
u
v+u
A
A
v
C
v
C
Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto, verifica-se que:
i.
ii.
a soma u + v ou v + u tem origem no ponto u (u + v) ou v (v + u)
a diferença u – v tem por origem na extremidade de v.
15.8 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR
Dado um vetor v # 0 e um número real k 3 0, chama-se produto do número real
k pelo vetor v o vetor p = kv, tal que:
i.
ii.
iii.
módulo: p = |kv| = |k|.|v|
direção: a mesma de v
sentido: o mesmo de v, se k > 0; e contrário ao de v, se k < 0.
OBS:
1) se k = 0 ou v = 0, o vetor kv é o vetor 0;
2) se k = -1, o vetor (-1)v é o oposto de v, isto é, (-1)v = -v.
v
kv
- kv
148
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15.8.1
PROPRIEDADES:
i.
ii.
iii.
iv.
a ( bu ) = ( ab )u
( a + b ) u = au + bu
a ( u + v ) = au + av
1u = u
15.9 SOMA DE PONTO COM VETOR
Seja P
Q
E3 e v
V3
P+v=Q
V=
P
15.9.1
i.
ii.
iii.
iv.
v.
15.10
PROPRIEDADES:
Elemento Neutro: P + 0 = P
Cancelamento do Ponto: P + u = P + v u = v
Associativa: (P + u) + v = P + ( u + v)
Cancelamento do Vetor: A + u = b + u A = B
Soma com o oposto: (P – v) + v = P P = P
CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES:
Lei do cosseno:
cos
u.v
| u |.| v |
Exemplo: Calcular o ângulo entre os vetores u = ( -2, -2 ) e v = ( 0, -2 ).
149
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15.11
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PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO: U . V
Seja u = ( x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2). O produto escalar de dois vetores , onde
representamos por u . v , é o número real:
u . v = x1.x2 + y1.y2+z1.z2
u = (3, 2 , -4)
Ex. Se
v = (5, 0, 1)
15.11.1 PROPRIEDADES:
u . u 0 e u . u = 0 se, e somente se, u = 0 = (0,0)
u . v = v . u ( comutativa )
u . ( v + w ) = u .v + u . w ( distributiva )
(mu) . v = m (u.v) = u . (m.v)
u . u = |u2|
| u + v |2 = |u2 |+ 2uv + |v2|
| u - v |2 = |u2 | - 2uv + |v2|
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
15.12
PRODUTO VETORIAL: U X V
Seja u = ( x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2). O produto vetorial de dois vetores , é o
vetor w = ( i, j, k):
i
x1
x2
j
y1
y2
k
z1
z2
Exemplo: u = (1,3,2) e v = (2,4,5)
uxv=
15.13
PARALELISMO
x
y z
u // v se e somente se 1 = 1 = 1 = k
x2 y 2 z 2
15.14
ORTOGONALISMO
u v se, e somente se, u . v =0
150
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AULA 30 - EXERCÍCIOS
1) Calcule a adição dos vetores abaixo:
a.
A
B
b.
F
C
O
c.
E
D
B
C
H
G O
A
D
F
E
d.
E
F
A
B
G
H
D
e.
C
C
D
B
C
151
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B
A
2) Se u é representado por (A, B) e u = - v , então qual é a origem de v ? (origem em B)
3) Se v é representado por (A, B) e w por (B, C), como é representado o vetor (v + w)? (AC)
4) Dados os segmentos orientados (A, B) e (C, D), quais as condições para que tenham:
a. Mesmo módulo –
b. Mesma direção –
c. Mesmo sentido –
5) Resolver o sistema nas incógnitas x e y
x 2y u
3x y 2u v
x= 5/7 u +2/7 v
y = 1/7 u – 1/7 v
6) Mostre que AB AC CB
7) Resolva o produto interno sendo u =(4, 7 , 3), v =(2 , 2 , 1) e w =(0 ,-5, 2)
a. u.v
b. v.w
c. (u + v) .w
d. u ( v – 2w )
8) Ache x de modo que u v nos casos:
a. u = (x, 0 , 3) e v = (1, x, 3)
b. u = (x, x , 4) e v = (4, x, 1)
c. u = (-1, 1, x) e v = (1, 1, 1)
9) Ache u tal que || u || = 3 3 e u é ortogonal a v = (2, 3 ,-1) e a w (2, -4, 6).
10) Ache u ortogonal a v = (4, -1, 5) e a w (1, -2, 3) e que satisfaz u . (1, 1, 1) =
11) Ache a medida do ângulo entre os vetores:
a. u = (1,0,1) e v = (-2, 10, 2)
b. u = (3, 3, 0) e v = (2, 1, -2)
c. u = (-1, 1, 1) e v = (1, 1, 1)
12) Ache u tal que || u || = 2 , a medida em graus do ângulo entre u e (1, -1, 0) seja 45º
e u (1, 1, 0)
13) Dados u = (1, 1, 2), v = (3, 1, -1) e w (0, 2, 1), calcular:
a. u x w
152
Fundamentos Matemáticos da Computação
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b. w x v
c. v x ( w - u )
d. ( u + v ) x ( v - w )
14) Dados A(1 , 0, 0), B(0, 1, 0) e C (0, 0, 1), calcular AB x AC
15) Determine o vetor AB e seu módulo nos casos:
a. A (2,1) B (4,6)
b. A (-2,0) B(3,-1)
c. A(4,3) B (4,5)
d. A(3,-1) B(10,-1)
16) Dados A (2,1) B(5,-1) e C ( -4,0) calcular o vetor soma dos vetores AB e AC .
17) Se v = AB ; A (3,2) e v (5,8), determine o ponto B.
1
18) Dados A (3,7) e B (11,19). Determine o ponto C tal que AC AB
4
19) Os vetores u (3,4) , v (2a, 7) e w (1, 3b), satisfazem a equação 2 u - v + 3 w = 0
Calcule a e b.
20) Ache a medida em graus do ângulo entre os vetores u = (1 , 10 , 200) e v = ( -10 , 1,
0)
21) Sabe-se que o vetor u é ortogonal a ( 1, 1 , 0 ) e a ( -1 , 0 , 1) e tem norma
Calcule o vetor u .
22) Sejam os vetores do R3 u = ( -1 , 0 , -5), v = ( -1, 4 , 3 ) e w = ( -3, 2 , -1). Ache:
a. 3 u – 4 v
b. 2 w – u
c. ( u + 2 w ) x v
d. ( u + v + w ) . u
3.
153
Fundamentos Matemáticos da Computação
Profa Paula F. Benevides
REFERÊNCIAS
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. Vol. 1 e 2. Porto Alegre: Ed.Bookman, 2000.
COELHO, F.U. Curso Básico de Cálculo. Editora Saraiva, 2005.
GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J.R.; GIOVANNI JR, J.R. Mátematica Fundamental, Uma
Nova Abordagem. Volume Único. Editora FTD, 2001
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. Vol1 e Vol 2. 5a ed. Editora LTC, 2001.
KOLMAN, B. Introdução à álgrebra linear: com aplicações. 6 ed. Rio de Janeiro: PrenticeHall do Brasil, 1998.
MEDEIROS, V.Z.M; CALDEIRA, A.M; SILVA, L.M.O; MACHADO, M.A.S. Pré-Cálculo.
Editora Thomson, 2006
PAIVA, M.R. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. 1 ed. Vol. 1, 2 e 3. São Paulo:
Moderna, 2002.
STEWART, James. Cálculo. 4 ed. Vol. 1 e 2. São Paulo: Cengage Learning, 2005.
154
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