206
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(17) y = sec u
y' = sec u • tg u • u'
y' = — cosec u cotg u u'
(18) y = cosec u
u'
(19) y = arc sen u
u2
(20) y arc cos u
—u'
y'
- u2
u'
1 +u 2
(21) y = arc tg u y' =
y = arc cotg u y' =
(23) y = arc sec u, lul
1
(24) y = arc cosec u, lu! 1
1 + u2
y' —
,
u'
lul Nu2 — 1
y' —
u
lul > 1
'
lul Nu2 — 1
(25) y = senh u y' = cosh u u'
(26) y = cosh u y' = senh u u'
(27) y = tgh u y' = sech 2 u u'
y' = — cosech 2 u • u'
(28) y = cotgh u
(29) y = sech u
y' = — sech u • tgh u • u'
(30) y = cosech u y' = — cosech u • cotgh u u'
X(31) y = arg senh u y' —
(32) y = arg cosh u
u'
- \lu2 + 1
u'
y' —
-\1/42 — 1
u>1
lul >
Derivada
(33) y =
arg tgh u
(34) y = arg cotgh u
(35)
7;(36)
y = arg sech u
y ' -
y
u
1 - u2
'
y ' -
u
y = arg cosech u y' =
,
lul < 1
u
1 - u2
=
lul > 1
-u
, O < u<1
1/1 - u2
-u '
lu] -‘11 + u 2
, u O.
1
4.15 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
1.
f(x)=
10 (3x2 + 7x - 3) 1-9
2. f(x) =
1
3. f(x) = - (bx 2 + ax) 34. f(x)
a
1
(2x5 + 6x-3 ) 5
(3x26x) 10 _ 1
x2
5. f(t) = (7t2 + 6t) 7 (3t - 1) 46. f(x)= (5x -2) 6 (3x - 1) 3
7. f(t) -
7t + 1
2t2 +
3)
8. f(x) - (2x - 5) 4 + x +1
-
9. f(x) = N1(3x2 + 6x - 2) 210. f(t) = (4t 2 -5t + 2)- 1/3
11.
207
f(x) -
13. f(t)
2x
',13x - 1
= ..\41 2t + 1
t-1
12. f(x)
5
2
14: f(x) = 2 e
7X2
3x+1
+ 6x + 7
I
v3x + 1
208
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
15. f(x) = 1- 3 _ x
3
16. f(x) =
17. f(x) = 2 3x2 .4- 6x
18. f(x) = [
19. f(s) = (7 s2 + 6s -1) 3 + 2e - 35
20. f(t) -
1 In 2x
e-1 + 1
'Nie t - 1
21. f(t) = et/2 (t2 + 50
2/2( f(t)"\le t + 1
23. f (x) = log 2 (2x + 4)
1
,)
24. f(x) = - (br + c) - Inx
25. f(s) = log 3+ 1
26 . f(x) = - ln (7x2 - 4)
2
27. f(x) = ln
29. f(x) =
1
a
1
1
x2
a 3x
b3x2 -
+ x)
23. ftx) = ln
+—
x
30. f(t) =
a
1-x
\\ri.
6x
32. f(x) = (eX2
31. f(t) = (2t + 1) ? - 1
1
33. f(s) =- (a + bs) in(a
2
MJ= cos (7[12 - u)
37. f(0) = 2 cos 0 2 • sen 2 0
39. f(x) = sen 3 (3x2 + 6x)
bs)
34. f(x) = sen (2x + 4)
36. f(8) = 2 cos (2 02 3
—
f(a) -
1 + cos 2 a
2
40. f(0)= sen 2 8 + cos 2 8
+ 1)
Derivada
41. ,fix) = 3tg (2x + 1) + -Cx 43. f(x) —
42. f(s) = cote (2s — 3) 2
3 sec 2x
44. f(x) — seni x
46/ fix) = sen (x + 1)
ex
45. .f(x) = e2x cos 3x
47. f(0) = — cosec 2 0348.
f(x) = sen2 (x/2) cos e (x/2)
50. f(t) = 1n cos 2t
49. f(x) = a ••cos bx
51. f(u) = (u tg u) 252.
f(x) = log 2 (3x — cos 2x)
54. f(t) e2 cos 2t
53. f(0) a cotg O a>0
55. f(x) = (arc sen 4 256.
f(x) = arc cos 3
58. f(s) —
57. f(t) = t arc cos 3t
f(t) = arc cos (sen t)
arc sen s/2
s+1
6‘. f(x) = arc tg 1
x2
61. f(x) = arc sec
62. f(x) = senh (2x —1)
63. f(t) t2 arc cosec (2t + 3)
64. f(t) ln [cosh (t 2 — 1)]
65. f(x) —
(sen hx)
66. f(t) = tgh (4t2 — 3) 2
x
67. ftt) = [cotgh (t + 1)2
]1/2
68. f(x) = sech [ln x]
209
210
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(3x + 1) 1
cosech
3
69.
f(x) =
71.
f(x) = x arg cosh x - 1/x- 2 - 1
73. f(x)
75. f(x)
76.
x
x arg cotgh x 2
1
2
70.
f(x) = (arg senh x) 2
72.
f(x) = arg tgh
74.
f(x) = (x + 1) arg sech 2x
x2
[arg cosh x2]2
Encontrar f ' (x).
1- x , x O
a)' f(x) =
,x>O
) f(x) = ln I 3 - 4x
c) f(x) =e
77.
12x-11 .
Calcular f ' (0), se jlx) = e-x cos 3x.
78. Calcular f ' (1), se fix) = ln (1 + x) + arc sen x/2.
.
79. Dada f(x) = é
X
, calcularflO) + xf '(0).
80. Dada f(x) = 1 + cos x, mostrar que f(x) é par e f ' (x) é ímpar.
81. Dada afiz) = sen 2x cos 3x, mostrar que .gx) é ímpar e f '(x) é par.
82. Dada a função f(x) = sen 2x , calcular f (x) e verificar que f e f ' são periódicas de
2
mesmo período.
83. Seja.fix) derivável e periódica de período T. Mostrar que f ' também é periódica de período T.
Derivada
84.
Mostrar que a função y = x e
X
211
satisfaz a equação xy' = (1 - x)y.
2
85. Mostrar que a função = x e -x /2 satisfaz a equação xy ' = (1 - x 2)y.
86. Mostrar que a função y =
87.
1
satisfaz a equação xy' = y (y ln x - 1).
1 + x + ln x
Sejam f e g funções tais que (f o g) (x) = x para todo x, e f '(x) e g '(x) existem para todo x.
Mostrar que
f '(g(x)) =
88.
,
g (x)
, sempre que g' (x) # O.
Obtenha a regra do produto para (uv)' derivandp a fórmula
ln (uv) ln u + ln v.
89. Provar que:
a)
Se y = cotg x, então y' = - cosec 2 x.
b)
Se y = sec x, então y' = sec x tg x.
c) Se y arc cotg x, então y ' -
d)
-1
1 +x2
Se y arc cosec x,lx I _ 1, então y' -
/0"
,
Ixl 'Vx2 - 1
e)
Se y = cosh x, então y' = senh x.
f)
Se y = tgh x, então y' = sech 2 x .
g)
Se y = sech x, então y' = - sech x - tgh x.
lx1 > 1 .
212
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
h)
—1
Se y = arg sech x, então y ' —
x
i)
90.
Se y = arg cosech x, então y ' —
O<x<1.
— x2
—1
Ix I .\/1 +x2
x#
O.
Encontrar todos os pontos onde o gráfico de f(x) tem tangente horizontal.
a) f(x) = sen 2x;
b) f(x) = 2 cos x.
4.16 DERIVADAS SUCESSIVAS
Seja f uma função derivável definida num certo intervalo. A sua derivada f '
é também uma função, definida no mesmo intervalo. Podemos, portanto, pensar na
derivada da função f '
4.16.1 Definição. Seja f uma função derivável. Se f' também for derivável, então a
sua derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por f "(x)
(lê-sef-duas linhas de x) ou
(lê-se derivada segunda de f em relação a x).
4.16.2 Exemplos
(i)
Se f (x) = 3x2 + 8x + 1, então
f' (x) = 6x +
f " (x) =
8e
6.
(ii) Se f(x) = tg x, então
f ' (x) =
sec 2 x e
f " (x) =
2sec x • sec x tg x
2 sec 2 x • tg x.
Derivada
213
(iii) Se f(x) = "Nix2 + 1 , então
f' (x)
_1 (x2 + 1)-1/2 2x
2
X (X2 ± 1) -1/2 e
-1
- (x2 + 1) -3/2 • ZX -I- (X2 ± 1) -4 /2
x 2
f " (x) =
1
.
\IX2
X2
+1
.\/(X2 + 1) 3
Se f " é uma função derivável, sua derivada, representada por f "' (x), é
chamada derivada terceira de f(x).
A derivada de ordem n ou n-ésima derivada de f, representada por f ( n) (x), é
obtida derivando-se a derivada de ordem n —1 de f.
4.16.3 Exemplos
(i) Se f(x) = 3x5 + 8x2 , então
f '(x) = 15x4 + 16x
f "(x) = 60x3 + 16
f '" (x) = 180x2
f iv(x) = 360x
j(5) (x) = 360
"x)
f ( n) (x) = 0, para n
6.
214
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) Se f(x) = e x/2, então
f '(x) = 1
2
x/2
f"(x) = 1 e -
1
f '"(x) = - e x/2
8
f n (x) = 2n e x/2
(
)
(iii) Se f(x) = sen x, então
f ' (x) = cos x
f "(x) = - sen x
f "' (x) = - cos x
f i v(x) = sen x
cos x,
sen x,
f (n)(x) =
- cos x,
sen x,
para n = 1, 5, 9, .. .
para n = 2, 6, 10, .. .
para n = 3, 7, 11, .. .
para n = 4, 8, 12, .. .
Derivada
215
4.17 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
4.17.1 Função na forma implícita.
Consideremos a equação
F(x, y) = O.
(1)
Dizemos que a função y = f(x) é definida implicitamente pela equação (1), se
ao substituirmos y por f(x) em (1), esta equação se transforma numa identidade.
4.17.2 Exemplos
(i)
A equação x2 + 1
2 y —1 = O define implicitamente a função y = 2 (1 —x 2).
1
De fato, substituindo y = 2 (1 — x2 ) na equação x2 + — y — 1 = O , obtemos
2
1
a identidade x 2 + — 2(1 — x2) — 1 = O .
2
(ii)
A equação x2 + y2 = 4 define, implicitamente, uma infinidade de funções.
De fato, resolvendo a equação para y como função de x, temos
y = ± -\14 — x2 .
Duas funções na forma implícita são obtidas naturalmente:
y = + -\/4 — x2e
y = — •\14 — x2 .
Os gráficos dessas funções são, respectivamente, a semicircunferência superior
e inferior da circunferência de centro na origem e raio 2 (ver Figura 4.8).
216
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 4-8
Podemos obter outras funções implícitas da equação x 2 + y 2 = 4. Se tomamos
um número real c qualquer entre —2 e 2, podemos definir a função
h(x)
'■14 — x2 ,
=
-
-
\14
-
x2 ,
para x
c
para x < c .
A função h(x) é definida implicitamente pela equação x 2 + y 2 = 4, pois
x2 + [ h (x) ] 2 = 4 para todo x no domínio de h.
Podemos ver o gráfico da função h na Figura 4.9. Observamos que esta função
não é contínua no ponto c e portanto não é derivável.
Figura 4-9
•
Derivada
217
Atribuindo diferentes valores a c, podemos obter tantas funções quantas queiramos. Assim, a equação x 2 + y 2 = 4, define implicitamente uma infinidade de funções.
Nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma função definida
implicitamente. Por exemplo, como explicitar uma função y = f(x) definida pela equação
y4 + 3xy + 2 ln y = O?
O método da derivação implícita perrnite encontrar a derivada de uma função
assim definida, sem a necessidade de explicitá-la.
4.17.3 A Derivada de uma função na forma implícita.
Suponhamos que F(x, y) = O define implicitamente uma função derivável y =f (x).
Os exemplos que seguem mostram que usando a regra da cadeia, podemos determinar
y' sem explicitar y.
Exemplos.
(i) Sabendo que y = f(x) é uma função derivável definida implicitamente
pela equação P + y 2 = 4, determinar y'.
Como a equação x2 + y2 = 4 define y = f(x) implicitamente, podemos considerá-la uma identidade válida para todo x no domínio de f.
Derivando ambos os membros desta identidade em relação a x, temos
(x2 + y 2 )' = (4)'
o u,
(x2 ) '(Y 2) '
0.
Como y = f(x), usando a regra da cadeia, vem
2x + 2y y' = O.
218
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Isolando y', temos
Observamos que, neste exemplo, foi usado o fato de que y =,f(x) é uma função
derivável definida implicitamente. Esse resultado não é válido para a função h(x),
representada graficamente na Figura 4.9. De fato, embora esta função também seja
definida implicitamente pela equação x2 + y 2 = 4, ela não é contínua no ponto x = c e
portanto, não é derivável neste ponto.
(ii) Sabendo que y = f(x) é definida pela equação xy 2 + 2y 3 =
determinar y'.
Sabemos que a equação xy 2 + 2y 3 = x — 2y é uma identidade quando substituimos y por f (x). Portanto, em todos os pontos onde y f(x) é derivável, temos .as
seguintes igualdades:
(xy2 + 2y 3 )' = (x — 2y)'
(xy 2)' + ( 2y 3 )' = (x)' — ( 2y)'
x • 2y y' + y 2 + 6y 2 y' = 1 — 2y'.
Isolando y' na última igualdade, temos
Y—
1 — y2
2xy + 6y2 + 2
(iii) Se y = f(x) é definida por x2y 2 + x sen y = O, determinar y'.
Lembrando que y = f(x) e derivando em relação a x com o auxilio da regra da
cadeia, temos
x-2• y' +
2 1- X
cos y y' + sen y = O.
Derivada
219
Isolando y', vem
y
+ sen y
2x2y + x c3os y
—
(iv) Determinar a equação da reta tangente à curva x2 + y — 1 = O no
2
ponto (— 1, O).
Derivando implicitamente em relação a x, temos
2x +
1
y'=O
2
—
Portanto, y' = — 4x. No ponto x = —1, y' = 4.
A equação da reta tangente à curva no ponto (-1, O) é dada por
y — O = 4 (x + 1), ou seja,
y = 4x + 4.
4.18 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA
FORMA PARAMÉTRICA
4.18.1 Função na Forma Paramétrica.
Sejam
{ x = x(t)
(1)
)
Y = Y(0
duas funções da mesma variável real t, t E [a, b]. Então, a cada valor de t correspondem
dois valores x e y. Considerando estes valores como as coordenadas de um ponto P,
podemos dizer que a cada valor de t corresponde um ponto bem determinado do plano
xy. Se as funções x = x(t) e y = y(t) são contínuas, quando t varia de a até b, o ponto
P(x(t), y(t)) descreve uma curva no plano (ver Figura 4.10). As equações (1) são
chamadas equações paramétricas da curva e t é chamado parâmetro.
220
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Ay
y(t)
a
x(t)
Figura 4-10
Vamos supor agora, que a função x = x(t) admite uma função inversa t = t(x).
Neste caso, podemos escrever
y = y [t(x)
e dizemos que as equações (1) definem y como função de x na forma paramétrica.
Eliminando o parâmetro t nas equações (1), podemos obter a função y = y(x)
na forma analítica usual.
Muitas curvas importantes costumam ser representadas na forma paramétrica.
Em geral, as equações paramétricas são úteis porque, em diversas situações, elas
simplificam os cálculos. Elas também são muito usadas na Física, para descrever o
movimento de uma partícula. A seguir, apresentamos as equações paramétricas de
algumas curvas e damos exemplos de algumas funções definidas na forma paramétrica.
4.18.2 Exemplos
(i) As equações
x = 2t + 1
y = 4t + 3
definem uma função y(x) na forma paramétrica.
Derivada
221
De fato, a função x = 2t + 1 é inversível sendo que sua inversa é dada por
1
t = — (x — 1). . Substituindo este valor na equação y = 4t + 3, obtemos a equação
2
cartesiana da função y(x), que é dada por
y = 4 [ — (x — 1) + 3
2
= 2x + 1.
(ii) As equações
x = a cos t
y = a sen
(2)
t , t e [O, 2 n] ,
onde a é uma constante positiva, representam uma circunferência de centro na origem
e raio a.
Na Figura 4.11, visualizamos o parâmetro t, O 5 t 5_ 2 n, que representa o
ângulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que une o ponto P à
origem.
Figura 4-11
Para obter a equação cartesiana, devemos eliminar o parâmetro t.
222
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Elevando ao quadrado cada uma das equações em (2) e adicionando-as, obteMO S
x2 = a2 cos 2 t
y2 = a2 sen2 t
x2 + y2 = a 2 cos 2 t + a2 sen2 t
= a2
ou seja, x2 4_ y2 = a2
.
Observamos que, neste exemplo, não temos uma função y(x) na forma paramétrica, porque a função x = a cos t não é inversível no intervalo [O, 2 n ]. No entanto,
podemos obter uma ou mais funções y y(x) na forma paramétrica, restringindo
convenientemente o domínio
y =
Y=-
-
Figura 4-12
Por exemplo, as equações
{x = a cos t
y --,-- a sen t , t E [O, 7C]
2 _ x2
Derivada
definem, na forma paramétrica, a função y =
-N, I 61 2 - x2
223
e as equações
{x = a cos t
y = a sen t , t E [n,27c]
definem a função y = — Ia 2 — x2 (ver Figura 4.12).
(iii) As equações
{
x = a cos t
(3)
y= b sen t , t E 10, 27c1 ,
onde a e b são constantes positivas, representam uma elipse de centro na origem e
semi-eixos a e b, como mostra a Figura 4.13(a).
Neste caso, o parâmetro t também representa um ângulo e pode ser visualizado
na Figura 4.13(b).
(a)
(b)
Figura 4-13
metro t.
Para obter a equação cartesiana da elipse dada, devemos eliminar o parâ-
224
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Multiplicando a primeira equação de (3) por b e a segunda equação por a,
obtemos
bx = ab cos t
ay = ab sen t.
Elevando cada uma dessas equações ao quadrado e adicionando-as, vem
b2 x2 = a 2 b2 cos 2 t
a2 y2 = a 2 b 2 sen2 t
b2 x2 + a 2 y2 = a 2 b2 (cos 2 t + sen2 t)
= a2 b2
ou, de forma equivalente,
x2y2
a2 b 2 =
Como no exemplo anterior, restringindo convenientemente o domínio,' ipoj
demos definir uma ou mais funções y(x) na forma paramétrica.
Figura 4-14
Derivada
225
Por exemplo, as equações
{
x = a cos t
y = b sen t , t e
O
'
definem, na forma paramétrica, a função y(x) que está representada na Figura 4.14.
(iv) As equações
{
x = a cos a t
(4)
y= a sen 3 t,0‹ t<27z,
onde a é uma constante positiva, representam a curva vista na Figura 4.15(a).
(b)
(a)
Figura 4 15
-
Esta curva é chamada astróide ou hipociclóide de 4 cúspides e pode ser
definida como a trajetória descrita por um ponto fixo P de uma circunferência de raio
a/4, quando esta gira, sem escorregar, dentro de uma circunferência fixa de raio a.
226
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Na Figura 4.15(b), ilustramos o significado geométrico do parâmetro t.
Para obter a equação cartesiana da curva, procedemos de forma análoga aos
exemplos anteriores. Elevando cada equação de (4) à potência 2/3 e adicionando-as,
obtemos
X2/3
a2/3 cos 2 t
y2/3 = C/2/3 sen 2 t
x2/3 + y2/3 = a2/3 (cos2 t + sen2 t)
ou, de forma equivalente,
x2/3 + y 2/3
Observamos que as equações (4) não definem uma função y(x) na forma
paramétrica, porque x = a cos a t não é inversível no intervalo [0, 2/c]. Portanto, se
queremos definir uma função y(x) na forma paramétrica, devemos tomar o cuidado de
restringir conveniententemente o domínio.
4.183 Derivada de uma Função na Forma Paramétrica.
Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas
x = x(t)
(5)
y = y(t) , t E [a,b]
Suponhamos que as funções y = y(t), x = x(t) e sua inversa t = t(x) são
deriváveis.
Podemos ver a função y = y(x), definida pelas equações (5), como uma função
composta
y = y [t(x)]
e aplicar a regra da cadeia. Temos, então
dy
dx = y
' (t) - t '(x) .
(6)
Derivada
227
Como x = x(t) e sua inversa t = t(x) são deriváveis, pelo teorema 4.13, vem
t '(x)
=
1
(7)
x '(t)
Substituindo (7) em (6), obtemos
dy
dx
y '(t)
x '(t)
.
Observamos que esta fórmula nos permite calcular a derivada dy
sem
dx
conhecer explicitamente y como função de x.
4.18.4 Exemplos
dy
(i) Calcular a derivada
dx
pelas equações:
da função y(x) definida na forma paramétrica
x = 3t — 1
x = 2t + 1
(a)
(b)
y = 4f + 3 ;
y = 9t2 — 6t .
Solução.
(a)
Temos,
dy
dx
(b)
y '(t)
4
2
x '(t)
-
2
Temos,
cli
_ y '(t)
dx
x '(t)
18t — 6
3
— 2 .
(8)
228
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Se quisermos o valor da derivada dy
em função de x, devemos determinar
dx
t = t(x) e substituir em (8). Temos,
1
t = —3 (x + 1) .
x = 3t — 1
Substituindo em (8), vem
dy
= 6
dx
•
1
— (x + 1) — 2
3
2x.
=
(ii) Determinar a derivada
pelas equações
dy
—
da função y(x) definida na forma paramétrica
x = 4 cos a t
y = 4 sena t ,
o<t
<
2
Temos,
x'(t) = —12 cos e t sen t
y' (t) = 12 sen 2 t cos t.
Portanto,
o
dy
dx
y '(t)12 sen2 t cos tsen t
x '(t)
— 12 cose t sen t
cos t
— —
tg
t.
Derivada
229
Observamos que este resultado só é válido para os pontos onde x' (t) O, ou
seja, para t Oet —7c2 -
ponto
ções
(iii) Determinar a equação da reta tangente à circunferência x 2 + y2 = 4, no
.
Solução. Vamos usar a função y(x) definida na forma paramétrica pelas equa-
xx = 2 cos t
y= 2 sen t ,
t
E
[O, 7t] ,
como vimos no Exemplo 4.18.2(ü).
Vamos agora, calcular a inclinação da reta tangente no ponto P, ou seja, vamos
calcular o valor da derivada dy
no ponto P. Temos,
dx
y '(t)2 cos t
— — cotg t .
dx x '(t) — —2 sen t
—
Precisamos determinar o valor do parâmetro t que corresponde ao ponto P.
Temos,
= 2 cos t
-\Õ
= 2 sen t ,
TC
e portanto t = 4
A equação da reta tangente à curva no ponto PC ,
y—
= —1(x —
,
, é dada por
230
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
ou seja,
y= —x + 2 \/2".
-
4.19 DIFERENCIAL
4.19.1 Acréscimos. Seja y = f(x) uma função. Podemos sempre considerar uma
variação da variável independente x. Se x varia de x 1 a x2 , definimos o
acréscimo de x, denotado por Ax, como
Ax = x2 — x l .
dada por
A variação de x origina uma correspondente variação de y, denotada por Ay,
Ay = f(x2 )
—f(x1)ou,
Ay =f(x / + Ax) — f(x 1 ) (ver Figura 4.16).
Ay
x
,
Ax
Figura 4-16
x2
1
X
Deripada
231
4.19.2 Diferencial. Sejam y = f(x) uma função derivável e Ax um acréscimo de x.
Definimos:
(a) a diferencial da variável independente x, denotada por dx, como
dx = Ax;
(b) a diferencial da variável dependente y, denotada por dy, como
dy = f '(x) Ax.
De acordo com a definição anterior, podemos escrever dy = f '(x) • dx ou
dy
= f (x).
dx
,
dy
já usada para f ' (x), pode agora ser considerada um
dx
quociente entre duas diferenciais.
Assim, a notação
4.19.3 Interpretação Geométrica. Consideremos a Figura 4.17, que representa o
gráfico de uma função y f(x) derivável.
O acréscimo Ax que define a diferencial dx está geometricamente representado
pela medida do segmento P M [P(x i , f(x i )) e M(x 2 , /V I M (ver Figura 4.17).
Figura 4-17
232
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
O acréscimo Ay está representado pela medida do segmento M Q [Q (x2 , f (x2)].
A reta t é tangente à curva no ponto P. Esta reta corta a reta x = x2 no ponto
R, formando o triângulo retângulo P M R. A inclinação desta reta t é dada por!(x 1 ) ou
tg a. Observando o triângulo P M R, escrevemos
AIARi
nx i) = tg a = P
onde MR e PM são respectivamente as medidas dos segmentos MR e PM. Usando o
dy
fato de que f'(x i ) = dx , concluímos que dy MR , já que PM = dx
Observamos que, quando Ax torna-se muito pequeno, o mesmo ocorre com a
diferença Ay — dy. Usamos esse fato em exemplos práticos, considerando Ay dy
.(Ay aproximadamente igual a dy), desde que o dx considerado seja um valor pequeno.
4.19.4 Exemplos
(i) Se y = 2x 2 — 6x + 5, calcule o acréscimo Ay para x = 3 e Ax = 0,01.
Usando a definição de Ay, escrevemos
Ay = f(x i + Ax) —f(x i )
= f(3 + 0,01) — .V)
= f(3,01) —f(3)
•
[2 - (3,01) 2 — 6 3,01 + 5] — [2 3 2 — 6 3 + 5]
•
5,0602 — 5
•
0,0602.
(ii) Se y = 6x2 — 4, calcule Ay e dy para x = 2 e Ax = 0,001.
Usando a definição de Ay, temos
Ay =f(x 1 + Ax)
= f (2 + 0,001) —/(2)
Derivada
233
= [6 • (2,001) 2 — 4] — [6 2 2 — 4]
= 20,024006 — 20
= 0,024006.
Usando a definição de dy, temos
dy = f ' (x) Ax
= 12x • Ax
12.2.0,001
0,024.
Observamos que a diferença Ay — dy = 0,000006 seria menor caso usássemos
um valor menor que 0,001 para Áx.
(iii) Calcule um valor aproximado para 65,5 usando diferenciais.
Seja y = f(x) a função definida por f(x) = "tx .
Escrevemos,
y + Ay = .3■Ix + Ax e dy — 3 2/3
dx
Fazemos x = 64 e dz = 1,5, isto porque 64 é o cubo perfeito mais próximo de
65,5.
Portanto,
x + Ax = 65,5 , dx = Ax = 1,5 e
dy =
1
3(64) 2/3
l5
1,5 =
6 — 0,03125 .
3 1
'
la
234
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Então,
+ 1,5 = .3\ix + Ax = y + Ay .
.■/65,5 =
Fazendo Ay dy, obtemos finalmente que
y + Ay = 4 + 0,03125
= 4,03125.
(iv) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa
cilíndrica de altura 12 m, raio interior 7 m e espessura 0,05 m. Qual o erro decorrente
se resolvermos usando diferenciais?
A Figura 4.18 representa o sólido de altura h, raio interior r e espessura Ar.
O volume V do cilindro interior é dado por
V = 7C r2 h
re 7 2 - 12
588 7C M 3 .
Figura 4- 18
Dando um acréscimo Ar o volume da coroa será igual à variação AV em V.
•
Derivada
Usando diferenciais, temos
dV =
2nrhAr
= 2n • 7 • 12 0,05
= 8,4 n m3 .
O volume exato será
AV
n(r+Ar) 2 •11 — nr2 h
•
n(7,05) 2 12 — • 7 2 . 12
•
596,43 TC - 588 TZ
•
8,43 n m 3 .
Portanto, o erro cometido na aproximação usada foi
AV — dV= 0,03 n m 3 .
4.20 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 12 calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
1.
y=3x4 -2x;n=5
2.
y=ax3 +bx2 +cx+d;n=3
3.
y=3-2x2 +4x5 ;n=10
4.
y = "\13 — x2 ;n=2
5.
y —x
6.
y=e2x+1 ;n=3
7.
1
y = — ;n=4
8.
y=ln2x;n=2
9.
y=senax ; n=7
1
1 , n —4
—
10.
y = —2 cos
; n=5
235
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
236
12. y=arctgx;n= 2.
11. y=tgx;n=3
13. Achar a derivada de ordem 100 das funções:
a) y = sen x;
b) y = cos x
(1)nnt
14. Mostrar que a derivada de ordem n da função y = 1/x é dada por y (n) = ' xn +1 •
15. Mostrar que a derivada de ordem n da função y = e" é dada por y(n) = an e".
16. Sejam f (x) e g(x) funções deriváveis até 3' 1 ordem. Mostrar que:
a) (fg)" =
+ 2f ' g' + fg";
b)
(fg)"' = gf.., +3f " g' +3f ' g" + fg"'
17. Mostrar que x = A cos (ffit + a ), onde A, w e a são constantes, satisfaz a equação
+
2x =0
=
d2x
2
dt
18. Calcular y' = dY das seguintes funções definidas implicitamente.
x
a) x3 +y 3 =a 3
b) x3 +x2y+y2 = O
x-y
d) y3 - x + y
e) a cos e (x + y) = b
tgy=xy
g) eY=x+y.
19. Determinar as retas tangente e normal à circunferência de centro (2, 0) e raio 2, nos pontos de
abscissa 1.
20. Demonstrar que a reta tangente à elipse
x xo y yo
-1.
a2b2
X2
y2
+= 1 no ponto (x0, yo) tem a equação
Derivada
21. Em que pontos a reta tangente à curva y 2 = 2x3 é perpendicular à reta 4x — 3y + 1 = O?
22. Mostrar que as curvas cujas equações são 2x 2 + 3y 2 = 5 e y 2 = x3 interceptam-se no ponto
(1, 1) e que suas tangentes nesse ponto são perpendiculares.
23.
Calcular a derivada y ' = dy
das seguintes funções definidas na forma paramétrica. Para
dx
quais valores de t, y' está definida?
(a)
x = cos 2t
= t2
(b)
y= sen 2t , t E
= t3 , t e (o,+ eo)
(c)
(d)
y = sen3 t , t e
x = 2t —1
y= ta + 5,-00< t <+
00
{
{x = 2 cos t
y = 3 sen t , t e [0, 27c]
25.
3 NrT
2
-
2
Determinar as equações da reta tangente e da reta normal à astróide
{x = cos a t
y = sen 3 t , t e [0, 2n]
2
,O
y= 8 sen t, t E [O, 7C]
Determinar a equação da reta tangente à elipse
,—
f
x = 8 cos 3 t
1)
(e)
no ponto P(N2 ,
1
32
x = cos 3 t
x = 3 cos t
y= 4 sen t , t E [n, 27c]
24.
CO
238
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1 3 .f3—
8 8
no ponto P
26. Encontrar Ay — dy das funções dadas.
a) y= 3x2 —x+ 1;
b)
y = 2NÍ.• ;
c) y —
x +1
2x — 1 •
27. Encontrar Ay e dy para os valores dados
a)
y=
b)
y = 5x2 — 6x ; Ax = 0,02 ; x = O ;
1
2x`
2x+ 1
y= x — 1
= 0,001 ; x = 1 ;
• Ax = 0,1 ; x = —1 ;
28. Calcular um valor aproximado para as seguintes raízes, usando diferencial.
a)
29.
-‘11:1- ;
b)
63,5 ;
c)
13 .
Calcular a diferencial das seguintes funções.
a) y = ln (3x 2 — 4x) ;
b) y
x+1 .
—
eX
c)
y = sen (5x2 + 6).
30. A área S de um quadrado de lado x é dada por S = x2 . Achar o acréscimo e a diferencial desta
função e determinar o valor geométrico desta última.
31. Dar a interpretação geométrica do acréscimo e da diferencial da função S = iv x2 (área do
círculo).
32. Uma caixa em forma de um cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 1/4 cm.
Se o lado da caixa é de 2 m, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento
necessária.
Derivada
239
33. Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é
sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é 12 cm, use diferenciais para obter
a variação do raio que origina um aumento de 2 cm 3 no volume da pilha.
34.
Use diferenciais para obter o aumento aproximado do volume da esfera quando o raio varia
de 3 cm a 3,1 cm.
35. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se
que cada um de seus lados mede 1 200 m, com um erro máximo de 10 m. Usando diferencial,
determinar o possível erro no cálculo da área do terreno.
36. Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas com 40 cm de lado.
Depois que recebeu as placas verificou que os lados das placas tinham 1/2 cm a mais. Usando
diferencial, encontrar o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada.
53°
CAPÍTULO 5
MAKRON
Books
APLICAÇÕES DA DERIVADA
Neste capítulo, apresentaremos as aplicações da Derivada.
Em diversas áreas encontramos problemas que serão resolvidos utilizando a
derivada como uma taxa de variação.
A análise do comportamento das funções será feita detalhadamente usando
definições e teoremas que envolvem derivadas.
Finalmente, introduziremos as regras de L'Hospital, que serão usadas no
cálculo de alguns limites.
5.1 VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
Velocidade e aceleração são conceitos que todos nós conhecemos. Quando
dirigimos um carro, podemos medir a distância percorrida num certo intervalo de
tempo. O velocímetro marca, a cada instante, a velocidade. Se pisamos no acelerador
ou no freio, percebemos que a velocidade muda. Sentimos a aceleração.
Mostraremos que podemos calcular a velocidade e a aceleração através de
derivadas.
240
Aplicações da derivada
241
5.1.1 Velocidade. Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que s = s(t)
represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t. Então, no intervalo
de tempo entre t e t + At, o corpo sofre um deslocamento
As = s(t + At) – s(t).
Definimos a velocidade média nesse intervalo de tempo como o quociente
v –
s(t + At) – s(t)
At
isto é, a velocidade média é o quociente do espaço percorrido pelo tempo gasto
em percorrê-lo.
De forma geral, a velocidade média nada nos diz sobre a velocidade do corpo
no instante t. Para obtermos a velocidade instântanea do corpo no instante t, calculamos
sua velocidade média em instantes de tempo At cada vez menores. A velocidade instantânea, ou velocidade no instante t, é o limite das velocidades médias quando At se
aproxima de zero, isto é,
v (t) =
As
s (t + At) – s (t)
—
A =
At
At —> O A tAt —> o
lim
Como já vimos no capítulo anterior, esse limite é a derivada da função s = s(t)
em relação a t. Portanto,
v (t) = s '(t) =
ds
dt
•
5.1.2 Aceleração. O conceito de aceleração é introduzido de maneira análoga ao de
velocidade.
A aceleração média no intervalo de tempo de t até t + At é dada por
am –
v (t + At) – v (t)
At
Observamos que ela mede a variação da velocidade do corpo por unidade de
tempo no intervalo de tempo At. Para obtermos a aceleração do corpo no instante t,
242
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
tomamos sua aceleração média em intervalos de tempo At cada vez menores. A aceleração instantânea é o limite
v (t + At) — v (t)
— v '(t) .
At
At -> O
a (t) = lim
Logo, a derivada da velocidade nos dá a aceleração. Como v(t) = s '(t) , temos
a(t) = v '(t) = s "(t).
5.1.3 Exemplos
(i) No instante t O um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua
posição no instante t é dada por s(t) = 16t — t 2 .
Determinar:
(a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2, 4];
(b) a velocidade do corpo no instante t = 2;
(c) a aceleração média no intervalo [O; 4];
(d) a aceleração no instante t = 4.
(a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo entre 2 e 4 é dada
por
v —
s (4) — s (2)
4—2
(16 4 — 42 ) — (16 • 2 — 2 2 )
4—2
48 — 28
2
= 10 unid. veloc. .
Aplicações da derivada
ponto
(b) A velocidade do corpo no instante
2. Como s(t) = 16t — t 2 , temos
t=
243
2 é o valor da derivada s '(t) no
t=
v(t) = s '(t) = 16 — 2t.
No instante t = 2, a velocidade é
= 16 — 2 • 2
v(2)
= 12 unid. veloc.
(c)
A aceleração média no intervalo [0, 4] é dada por
am—
v (4) — v (0)
4- 0
Como v(t) = 16 — 2t, temos
(16 — 2 4) — (16 — 2 0)
4
am
8-16
4
= —2 unid. aceler. .
A aceleração no instante t = 4 é dada pela derivada v ' (4). Como
v(t) = 16 — 2t, temos a(t) = v ' (t) = — 2. Portanto,
(d)
a(4) = —2 unid. aceler. .
(ii) A equação do movimento de um corpo em queda livre é
1
— gt2
s—2
—
244
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
onde g 9,8 m/s 2 é a aceleração da gravidade. Determinar a velocidade e a .aceleração
do corpo em um instante qualquer t.
Num instante qualquer t, a velocidade é dada por
v(t)
= s' (t)
1
= — g • 2t
2
= gt m/s.
A aceleração num instante t é
a(t)
= v ' (t)
= g In/s 2 ,
que é a aceleração de gravidade.
5.2 TAXA DE VARIAÇÃO
Na seção anterior vimos que quando um corpo se move em linha reta de acordo
com a equação do movimento s = s(t), a sua velocidade é dada por v = s' (t).
Sabemos que a velocidade representa a razão de variação do deslocamento por
unidade de variação do tempo. Assim, a derivada s' (t) é a taxa de variação da função
s(t) por unidade de variação t.
O mesmo ocorre com a aceleração que é dada por a(t) = v' (t). Ela representa
a razão de variação da velocidade v(t) por unidade de variação do tempo t.
Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma
função y = f(x), quando a variável independente varia de x a x + Ax, a correspondente
variação de y será Ay = f(x + Ax) — f(x). O quociente
Aplicações da derivada
245
Ay fix + Ax) — jlx)
Ax
LX
representa a taxa média de variação de y em relação a x.
A derivada
f '(x) = lim
—> o
f(x + Ax) — f(x)
é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação
a x.
A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações
práticas nas mais diversas ciências. Vejamos alguns exemplos.
5.2.1 Exemplos
(/) Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar:
(a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado
quando este varia de 2,5 a 3 m.;
(b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede
4 m.
Solução. Sejam A a área do quadrado e 1 seu lado. Sabemos que
A = 12 .
(a) A taxa média de variação de A em relação a 1 quando 1 varia de 2,5 m a
3 m é dada por
AA
Al
A(3) — A(2,5)
3 — 2,5
9 — 6,25
0,5
246
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
2,75
0,5
= 5,5.
(b) A taxa de variação da área em relação ao lado é dada por
(p)
dA
dl
dl
2 1.
Quando 1= 4, temos
dA
dl
24=8,
OU,
dA
dl
(4)
=8.
Portanto, quando 1 = 4 m, a taxa de variação da área do quadrado será de
8 m2 por variação de 1 metro no comprimento do lado.
(2) Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de
saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo
t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por
f(t) = 64t — 3
(a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?
(b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?
(c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5 2 dia?
Aplicações da derivada
247
Solução. A taxa com que a epidemia se propaga é dada pela razão de variação
da função f(t) em relação a t. Portanto, para um tempo t qualquer, essa taxa é dada por
f ' (t) = 64 — t2 .
(a) No tempo t = 4, temos
f ' (4) = 64 — 16 = 48.
Logo, no tempo t = 4, a moléstia está se alastrando à razão de 48 pessoas por
dia.
(b)
No tempo t = 8, temos
f ' (8) = 64 — 64
= 0.
Portanto, no tempo t = 8 a epidemia está totalmente controlada.
(c) Como o tempo foi contado em dias a partir do 1 9 dia de epidemia, o
5 9 dia corresponde à variação de t de 4 para 5.
•0 número de pessoas atingidas pela moléstia durante o quinto dia será dado
por
1(5) — fl4)
64 • 5 — = 320 —
53\
43
— 64 4 — —
3
3
125
64
— 256 +
3
43.
No item (a), vimos que no tempo t = 4 (início do 5°), a epidemia se alastra a
uma taxa de 48 pessoas por dia. No item (c), calculamos que durante o 5 9 dia 43 pessoas
serão atingidas. Essa diferença ocorreu porque a taxa de propagação da moléstia se
modificou no decorrer do dia.
248
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(3) Analistas de produção verificaram que em uma montadora x, o número
de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por
f (t) =
50 (t2 + t), para O _5 t 5 4
200 (t + 1), para 4 5 t 5 8.
(a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de
trabalho? E após 7 horas?
(b) Quantas peças são produzidas na 8' 1 hora de trabalho?
Solução.
(a)
t < 4, temos
A razão de produção após 3 horas de trabalho é dada por f '(3). Para
f '(t) = 50(2t + 1).
Portanto,
f '(3)
50(2 • 3 + 1)
= 350.
Logo, após 3 horas de trabalho a razão de produção é de 350 peças por hora
de trabalho.
A razão de produção após 7 horas de trabalho é dada por f ' (7). Para t > 4,
f '(t) = 200.
Logo, após 7 horas de trabalho a razão de produção é de 200 peças por hora
de trabalho.
(b)
O número de peças produzidas na oitava hora de trabalho é dado por
f(8) — f(7) = 200(8 + 1) — 200(7 + 1)
= 200.
Aplicações da derivada
249
Neste exemplo, o número de peças produzidas na 8 4 hora de trabalho coincidiu
com a razão de produção após 7 horas de trabalho. Isso ocorreu porque a razão de
produção permaneceu constante durante o tempo considerado.
(4) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada
por
V = 50(80 — t) 2 .
Determinar:
(a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante
as 10 primeiras horas de escoamento.
(b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas
de escoamento.
(c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas
de escoamento.
Solução.
(a) A taxa de variação média do volume nas 10 primeiras horas é dada por
Av_
At
50 (80 — 10) 2 — 50 (80 — 0) 2
10
50 [70 2 — 802 ]
10
50 • (-150)
—7.500 1/hora.
O sinal negativo aparece porque o volume de água está diminuindo com o
tempo.
250
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(b) A taxa de variação do volume de água num tempo qualquer é dada por
dV
dt
50 2(80 — t) (— 1)
—100(80 — t).
No tempo t = 8, temos
dV
dt
(8)
—100 (80 — 8)
= —100.72
= —72011h.
dada por
(c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas é
V(0) — V(5)
= 50(80) 2 — 50(75) 2
= 38.750 1.
Em muitas situações práticas a quantidade em estudo é dada por uma função
composta. Nestes casos, para determinar a taxa de variação, devemos usar a regra dá
cadeia. Vejamos os exemplos que seguem.
(5) Um quadrado de lado 1 está se expandindo segundo a equação 1= 2 + t2 ,
onde a variável t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse
quadrado no tempo t = 2.
Solução. Seja A a área do quadrado. Sabemos que A = 1 2 e que 1= 2 + t2 .
A taxa de variação da área em relação ao tempo, num tempo t qualquer é dada
dA
por
dt
Aplicações da derivada
251
Usando a regra da cadeia, vem
dA
dt
dA dl
dl dt
•
21. 2t
•
4/ t
•
4(2 + t) - t.
No tempo t = 2, temos
dA
dt
(2)
•
4 (2 + 2 2) • 2
•
48 unid. área/unid. tempo.
(6) O raio de uma circunferência cresce à razão de 21 cm/s. Qual a taxa de
crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo?
Solução. Sejam
r = raio da circunferência,
t = tempo,
1 = comprimento da circunferência .
Da geometria, sabemos que 1 = 2 Ir r.
Por hipótese, a taxa de crescimento de r em relação a t é
A taxa de crescimento de 1 em relação a t é dada por
cadeia, vem
dl _ dl dr
dr dt
dt
dr
= 21 cm/s.
dt
—
dl
• Usando a regra da
dt
—
252
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
= 2n •
dr
—
dt
= 2 n 21
= 42 n cm/s.
(7) Um ponto 13 (x, y) se move ao longo do gráfico da função y = 1/x. Se a
abscissa varia à razão de 4 unidades por segundo, qual é a taxa de variação da ordenada
quando a abscissa é x = 1/10?
Solução. Temos
dy dx
dt
dx • dt •
dt
Como x varia à razão de 4 unid./seg, — = 4 . Como y = 1/x, dx —
dt
dy
Então,
dy
dt
_ 1 4
x2
—4
X2
Quando x = 1/10, temos
dy = —4
dt
(1/10)2
= —4. 100
= — 400 .
Aplicações da derivada
253
Portanto, quando a abscissa do ponto P é x = 1/10 e está crescendo a uma taxa
de 4 unid./seg a ordenada decresce a uma razão de 400 unid./s. Intuitivamente, podemos
perceber isso analisando o gráfico de f (Ver Figura 5.1).
Figura 5-1
(8) Acumula-se areia em um monte com a fora de um cone onde a altura
é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m 3 /h, a que
razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m?
Solução. Sejam
V = volume de areia,
h = altura do monte,
r =
raio da base,
A = área da base. (Ver Figura 5.2.)
Figura 5-2
-
254
Cálculo A -- Funções, Limite, Derivação, Integração
Da geometria, sabemos que
A = 7C /2
V =Ã7cr2 h.
Por hipótese,
1
V = — 7c r3
3
(2)
dV
dt
= 10 m 3/h e h = r. Substituindo h = r em (2), temos
(3 )
.
Queremos encontrar a taxa de variação
dA
dt
quando r = 4 m.
Derivando (1) em relação a t, temos
dA
dA dr
dt dr dt
= 2 Tc r
dr
dt
.
Precisamos determinar dt
• Derivando a equação (3) em relação a t, vem
dV dV dr
dt dr dt
r2 dr
dt
dV
Como — = 10 m 3 /h, temos
dt
1
it r2
dr
dt
-
10
r2
10
Aplicações da derivada
255
Portanto,
dA
dt
= 27c r
10
r2
20
r •
Quando r= h=
dA
20 6 •
m ' dt 4
Logo, quando a altura do monte é de 4 m, a área da base cresce a uma taxa
de 5 m 2/h.
5.3 EXERCÍCIOS
1.
Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por , f(t) = 16t + t2 ,
O t 5. 8, onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros.
(a) Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo [b, b + h], 0 b < 8.
(b) Achar a velocidade média durante os intervalos [3; 3,1], [3; 3,01] e [3; 3,001].
(c) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t.
(d) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3.
(e)
2.
Determinar a aceleração no instante t.
Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação de
seu movimento retilíneo é y=
b
—
+ ct ,
onde y é o deslocamento e t o tempo.
(a) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2?
(b) Qual é a equação da aceleração?
3. A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a
equação x = 3t2 — t3 , em que x vem expresso em metros e t em segundos.
256
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos?
(b) Qual a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos?
(c) Qual é a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos?
4.
Um corpo cai livremente partindo do repouso. Calcule sua posição e sua velocidade depois de
decorridos 1 e 2 segundos. (Da Física, use a equação y= v ot — 1 g t2 para determinar a
posição y do corpo, onde v o é a velocidade inicial e g 9,8 m/s 2).
5.
2
Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas
W(t) =
{ 20+2 (t + 4) 2 , O < t < 60
, 60
24,4t + 604
t < 90 ,
onde t é medido em dias.
(a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando t = 50?
(b) Quanto a ave aumentará no 51 2 dia?
(c) Qual a razão de aumento do peso quando t = 80?
6.
Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante t = O. Após t horas, sua temperatura,
em graus centígrados, é dada por
4
T (t) = 30 — 5t + +
t
1
O < t
5.
Qual a velocidade de redução de sua temperatura após 2 horas?
7.
A temperatura de um gás é mantida constante e sua pressão p em kgf/cm3 e volume v em cm 3
estão relacionadas pela igualdade vp = c, onde c é constante. Achar a razão de variação do
volume em relação à pressão quando esta vale 10 kgf/cm 3 .
8. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000
litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2500 t 2 litros, determinar:
(a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina;
Aplicações da derivada
257
(b) taxa média de escoamento no intervalo [2, 5];
(c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.
9. Um apartamento está alugado por Cr$ 4.500,00. Este aluguel sofrerá um reajuste anual de
Cr$ 1.550,00.
(a) Expresse a função com a qual podemos calcular a taxa de variação do aluguel, em t anos.
(b) Calcule a taxa de variação do aluguel após 4 anos.
(c) Qual a porcentagem de variação do aluguel depois de 1 ano do primeiro reajuste?
(d) Que acontecerá à porcentagem de variação depois de alguns anos?
10. Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será de
p (t) = 20 —
t
+ 1 milhares.
(a) Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta comunidade?
(b) Qual será a variação real sofrida durante o 18° mês?
-11. Seja r a raiz cúbica de um número real x. Encontre a taxa de variação de r em relação a x
quando x for igual a 8.
12. Um líquido goteja em um recipiente. Após t horas, há 5t — t1'2 litros no recipiente. Qual a taxa
de gotejamento de líquido no recipiente, em 1/hora, quando t = 16 horas?
13. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5 m de raio de base e 10 m de altura.
No tempo t = 0, a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m 3/h. Com que velocidade o
nível de água sobe? Quanto tempo levará para o tanque ficar cheio?
14. Achar a razão de variação do volume v de um cubó em relação ao comprimento de sua
diagonal. Se a diagonal está se expandindo a uma taxa de 2 m/s, qual a razão de variação do
volume quando a diagonal mede 3 m?
15. Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha
cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
258
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume
quando o raio mede 2 m?
16. Os lados de um triângulo equilátero crescem à taxa de 2,5 cm/s.
(a) Qual é a taxa de crescimento da área desse triângulo, quando os lados tiverem 12 cm de
comprimento?
(b) Qual é a taxa de crescimento do perímetro, quando os lados medirem 10 cm de
comprimento?
17. Um objeto se move sobre a parábola y = 2x 2 + 3x — 1 de tal modo que sua abscissa varia à
taxa de 6 unidades por minuto. Qual é a taxa de variação de sua ordenada quando o objeto
estiver no ponto (0, —1)?
18.
Um trem deixaffia estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80 km/h.
Um segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de
95 km/h. Achar a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois
do segundo trem deixar a estação.
19. Uma lâmpada colocada em um poste está a 4 m de altura. Se uma criança de 90 cm de altura
caminha afastando-se da lâmpada à razão de 5 m/s, com que rapidez se alonga sua sombra?
20. O raio de um cone é sempre igual à metade de sua altura h. Determinar a taxa de variação da
área da base em relação ao volume do cone.
Análise do Comportamento das Funções
Dada uma curva y = ftx), usaremos a derivada para obter alguns dados acerca
da curva. Por exemplo, discutiremos os pontos de máximos e mínimos, os intervalos
onde a curva é crescente ou decrescente.
Esses dados nos levam a um método geral para construir esboços de gráficos
de funções.
Aplicações da derivada
259
5.4 MÁXIMOS E MÍNIMOS
A Figura 5.3 nos mostra o gráfico de uma função y = f(x), onde assinalamos
pontos de abscissas x l , x2 , x3 e x4 .
Figura 5-3
Esses pontos são chamados pontos extremos da função. f(x i ) e f(x 3 ) são chamados máximos relativos e f(x2 ),flx4 ) são chamados mínimos relativos.
Podemos formalizar as definições.
5.4.1 Definição. Uma função f tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) f(x) para todo x E 1 n D(f).
5.4.2 Definição. Uma função f tem um mínimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) f(x) para todo xe I n D(f).
5.4.3 Exemplo. A função f(x) = 3x4 — 12x 2 tem um máximo relativo em c = O, pois
existe o intervalo (-2, 2) tal que f(0) f(x) para todo x E (-2, 2).
Em c 2 = — -\/2: e c 3 = .\ff, a função dada tem mínimos relativos pois
f(—
f(x) para todo x E (-2,0) e f
f(x) para todo x E (O, 2) (ver
Figura 5.4).
260
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
♦Y
-2 Nffi ' 2
X
-
12
Figura 5 4
-
A proposição seguinte permite encontrar os possíveis pontos extremos de uma
função.
5.4.4 Proposição. Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de x e (a, b) e
que f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f '(c) existe,
então f ' (c) = O.
Prova. Suponhamos que f tem um ponto de máximo relativo em c e que f ' (c) existe.
, Então,
f '(c) = lim
x c
.1(x) - f(c)
x - c
-
fim =
.ffx)
C+
-
f(c)
x - c
f(x) - f(c)
- lim
•
_
x - c
-)
Como f tem um ponto de máximo relativo em c, pela definição 5.4.1, se x
estiver suficientemente próximo de c temos que f(c) f(x) ou f(x) f(c) O.
Se x -->c+, temos x - c > O. Portanto,
j( x. ) - f(c)
f '(c) = lim
+ x- c
flx) - flc) O e então
x- c
O.
Se x —>c , temos x- c < O. Portanto, f(x) -1(c) O e então
x- c
-
(1)
261
Aplicações da derivada
f '(c) = lim fix) fic) > O .
_x—c
X -, c
(2)
Por (1) e (2), concluímos que f ' (c) = O.
Se f tem um ponto de mínimo relativo em c, a demonstração é análoga.
Esta proposição pode ser interpretada geometricamente. Se f tem um extremo
relativo em c e se f '(c) existe, então o gráfico de y = f(x) tem uma reta tangente
horizontal no ponto onde x = c.
Da proposição, podemos concluir que quando f '(c) existe, a condição f '(c).= O
é necessária para a existência de um extremo relativo em c. Esta condição não é
suficiente (ver Figura 5.5(a)). Isto é, se f ' (c) = O, a função f pode ter ou não um extremo
relativo no ponto c.
Da mesma forma, a Figura 5.5(b) e (c) nos mostra que quando f ' (c) não existe,
.Rx) pode ter ou não um extremo relativo em c.
Y
X
(a)
X
(b)
Figura 5 5
-
O ponto c E
crítico de f.
D(
f ) tal que f ' (c) = O ou f '(c) não existe, é chamado ponto
Portanto, uma condição necessária para a existência de um extremo relativo
em um ponto c é que c seja um ponto crítico.
É interessante verificar que uma função definida num dado intervalo pode
admitir diversos pontos extremos relativos. O maior valor da função num intervalo é
262
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
chamado máximo absoluto da função nesse intervalo. Analogamente, o menor valor é
chamado mínimo absoluto.
Por exemplo, a função f(x) = 3x tem um mínimo absoluto igual a 3 em [1, 3).
Não existe um máximo absoluto em [1, 3) .
A função f(x) = —x2 + 2 possui um máximo absoluto igual a 2 em (-3, 2).
Também podemos dizer que —7 é mínimo absoluto em [-3, 2] .
Temos a seguinte proposição, cuja demonstração será omitida.
5.4.5 Proposição. Seja!: [a, b] —> 1? uma função contínua, definida em um intervalo fechado [a, b]. Então f assume máximo e mínimo absoluto em [a, b].
Para analisarmos o máximo e o mínimo absoluto de uma função quando o
intervalo não for especificado usamos as definições que seguem.
5.4.6 Definição. Dizemos que f(c) é o máximo absoluto da função f, se c e D( f ) e
f(c) ffx) para todos os valores de x no domínio de f.
.
5.4.7 Definição. Dizemos que f(c) é o mínimo absoluto da função f se c e D( f ), e
f(c) f(x) para todos os valores de x no domínio de f.
5.4.8 Exemplos
(i) A função f(x) = x 2 + 6x — 3 tem um mínimo absoluto igual a —12 em
c = —3, já que f(-3) = —12 ^ f(x) para todos os valores de x e D( f ) (ver Figura 5.6(a)).
(ii) A função f(x) = —x 2 + 6x — 3 tem um máximo absoluto igual a 6 em
c = 3, já que f(3) = 6 f(x) para todos os x e D( f ) (ver Figura 5.6(b)).
Aplicações da derivada
(a)
263
(b)
Figura 5-6
5.5 TEOREMAS SOBRE DERIVADAS
5.5.1 Teorema de Rolle. Seja f uma função definida e contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Se f(a) = f(b)= O, então existe pelo menos um ponto c entre a e
b tal que f ' (c) = O.
Prova. Faremos a prova em duas partes.
lg parte. Seja f(x) = O, para todo x, a x b. Então f '(x) = O para todo x, a < x <
Portanto, qualquer número entre a e b pode ser tomado para c.
2g parte. Seja f(x) O, para algum x, a < x < b. Como f é contínua em [a, h], pela
proposição 5.4.5, f atinge seu máximo e seu mínimo em [a, b]. Sendo f(x) O para
algum x E (a, b), um dos extremos de f será diferente de zero. Como f(a) = f(b) = O,
esse extremo será atingido em um ponto c e (a, b).
Como f é derivável em c E (a, b), usando a proposição 5.4.4, concluímos
que f ' (c) = O.
264
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
5.5.2 Teorema do Valor Médio. Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b). Então existe um número c no intervalo (a, b) tal que
f ' (c) —
f(b) — fia)
b—a
Antes de provar este teorema apresentaremos sua interpretação geométrica.
Geometricamente, o teorema do valor médio estabelece que se a função
y = f(x) é contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe pelo menos um ponto
c entre a e b onde a tangente à curva é paralela à corda que une os pontos P (a, f(a))
e Q (b, f(b)) (ver Figura 5.7).
Figura 5-7
Prova do Teorema do Valor Médio. Sejam P (a, f(a)) e Q (b, f(b)). A equação da reta
é
y
b) — f(a)
— f(a) f(b
(x
——
a
a) .
Fazendo y = h (x), temos
h (x) —
f (b) — f (a)
b — a
(x — a) + f (a) .
Aplicações da derivada
265
Como h (x) é uma função polinomial, h (x) é contínua e derivável em todos
os pontos.
Consideremos a função g (x) = f(x) — h (x). Esta função determina a distância
vertical entre um ponto (x, f(x)) do gráfico de f e o ponto correspondente na reta secante
Temos,
g(x) = f(x) —
f(b) — f(a)
(x — a) — f(a) .
b—a
A função g (x) satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle em [a, b]. De fato,
(i)
g (x) é contínua em [a, b] já que f(x) e h (x) são contínuas em [a, b].
(ii) g (x) é derivável em (a, b) pois f(x) e h (x) são deriváveis em (a, b).
(iii) g (a) = g (b) = O, pois
g(a) = f(a) —
f( a)
f b)
(
(a — a) — f(a) = O
b— a
e
f(b)
— f( a)
g(b) = f(b) —
(b — a) — f(a) = O .
—a
b
Portanto, existe um ponto c entre a e b tal que g' (c) = O.
Como g '(x) = f '(x) —
g '(c) = f ,(c) —
f(b) — f( a)
—O
b—a
e desta forma,
f ' (c) —
f(b) — f(a)
temos
b —a '
1T b) — f(a)
b—a
266
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
5.6 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES
5.6.1 Definição. Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente
neste intervalo se para quaisquer x l , .x2 E I, x 1 < x2 , temos f(x l ) 5_ flx2 ) (ver
Figura 5.8).
x,
X
x2
Figura 5-8
Figura 5-9
5.6.2 Definição. Dizemos que uma função f, definida num intervalo /, é decrescente nesse intervalo se para quaisquer x l , X2 E I, x 1 < x 2 temos f(x l ) f(x2) (ver ,
Figura 5.9).
Se uma função é crescente ou decrescente num intervalo, dizemos que é
monótona neste intervalo.
Analisando geometricamente o sinal da derivada podemos determinar os intervalos onde uma função deriv ável é crescente ou decrescente. Temos a seguinte
proposição.
.
5.6.3 Proposição. Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no
intervalo (a, b).
(i)
Se f ' (x) > O para todo x e (a, b) então f é crescente em [a, b];
(ii) Se f '(x) < O para todo x E (a, b) então f é decrescente em [a, b].
Aplicações da derivada
267
Prova. Sejam x 1 e x 2 dois números quaisquer em [a, b] tais que x 1 < x2 . Então f é
contínua em [x 1 , x2 ] e derivável em (x 1 , x2 ). Pelo teorema do valor médio, segue que
) - f (x 1
2
3 c E (x i , x2) tal que f '(c) — f (x
•
x2 - x 1
)
(1)
(i) Por hipótese, f '(x) > O para todo x E (a, b). Então f '(c) > O. Como
x 1 < x2 x2 - x 1 > O.
,
Analisando a igualdade (1), concluímos que f(x 2 ) — f(x 1 ) > O, ou seja,
f(x2 ) > f(x i ).
Logo, f é crescente em [a,
(ii) Neste caso, f '(x) < O para todo x E (a, b). Temos então f '(c) < O e
x2 - X 1 > O.
Analisando a igualdade (1), concluímos que f(x 2 ) — f(x 1 ) < O e dessa forma
f(x2 ) < f(x / )•
Logo, f é decrescente em [a, b].
Observamos que a hipótese da continuidade de f no intervalo fechado [a, b] é
muito importante. De fato, tomando por exemplo, a função
f: [O, 1] —> R
x + , para O x < 1
f(x) =
1
, para x = 1
temos que f '(x) = 1 > O para todo x E (O, 1) e no entanto, f não é crescente em [O, 1].
A proposição não pode ser aplicada porque f(x) não é contínua no ponto 1.
268
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
5.6.4 Exemplos. Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são
crescentes ou decrescentes.
(i)
f(x) = x3 + 1.
Vamos derivar a função e analisar quais os números x tais que f ' (x) > O e
quais os números x tais que f ' (x) < O.
Temos,
f ' (x) = 3x2 .
Como 3x2 é maior que zero para todo x O, concluímos que a função é sempre
crescente.
A Figura 5.10 ilustra este exemplo.
Figura 5-10
(ii) f(x) = x2 - x + 5.
Temos f ' (x) = 2x - 1. Então, para 2x - 1 > O ou x > 1/2 a função é crescente.
Para 2x - 1 < 0 ou x < 1/2 a função é decrescente (ver Figura 5.11).
Aplicações da derivada
Figura 5-11
(iii) f(x) =
2x2 — 4,
se x
1
—x — 1,
se x
1.
O gráfico de f(x) pode ser visto na Figura 5.12.
Figura 5-12
Se x < 1, então f ' (x) 4x. Temos,
4x > O para x e (O, 1);
4x < O para x (-03, O).
269
270
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Se x > 1, temos f '(x) = —1. Então, f '(x) < O para todo x e (1, + ao).
Concluímos que f é crescente em [O, 1] e decrescente em (— oo, O] u [1, +
5.7 CRITÉRIOS PARA DETERMINAR OS EXTREMOS
DE UMA FUNÇÃO
A seguir demonstraremos teoremas que estabelecem critérios para determinar
os extremos de uma função.
5.7.1 Teorema (Critério da derivada primeira para determinação de
extremos). Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b] que
possui derivada em todo o ponto do intervalo (a, b), exceto possivelmente
num ponto c.
(i) Se f '(x) > O para todo x < c ef' (x) < O para todo x > c, então f tem um
máximo relativo em c.
(ii) Se f '(x) < O para 'todo x<cef'(x) > O para todo x > c, então f tem um
mínimo relativo em c.
Prova.
(i) Usando a proposição 5.6.3, podemos concluir que f é crescente em [a, c]
e decrescente em [c, b]. Portanto,flx) < f(c) para todo x # c em (a, b) e assim f tem um
máximo relativo em c.
(ii) Pela proposição 5.6.3, concluímos que f é decrescente em [a, c] e
crescente em [c, b]. Logo f(x) > f(c) para todo x c em (a, b). Portanto, f tem um
mínimo relativo em c.
A Figura 5.13 ilustra as diversas possibilidades do teorema.
Aplicações da derivada
271
Figura 5-13
5.7.2 Exemplos
(i) Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento e os máximos e
mínimos relativos da função
f(x)=x 3 -7x+ 6.
Temos f ' (x) = 3x2 — 7, para todo x. Fazendo f ' (x) = O, vem
3x2 — 7 =
OU,
x
= ± - /7/3.
Portanto, os pontos críticos da função f são + -■/7/3 e — '17/3 .
Para x < — [7/3 ,f ' (x) é positiva. Aplicando a proposição 5.6.3, concluímos
que f é crescente em (— oo, — .V7/3). Para — V7/3 < x < V7/3, f ' (x) é negativa. Então
f é decrescente em H I7/3 , I7/3 1 . Para x > .V7/3 , f ' (x) é positiva e então, f é
crescente em [ .V7/3 , + .0) .
Pelo critério da derivada primeira concluímos que f tem um máximo relativo
em —117/3 e f tem um mínimo relativo em + -■17/3 .
A Figura 5.14 mostra um esboço do gráfico de f.
272
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 5-14
(ii) Seja
(x — 2) 2 — 3 , se x ^. 5
f(x) =
1/2 (x + 7) , se x > 5 .
Se x < 5, temos f ' (x) = 2 (x — 2) e se x > 5 temos f ' (x) =.1/2.
Ainda
ponto crítico de f.
(5) = 1/2 e f' (5) = 6. Logo, f '(5) não existe e então 5 é um
O ponto x = 2 também é ponto crítico, pois f ' (2) = O.
Se x < 2, f ' (x) é negativa. Então pela proposição 5.6.3, f é decrescente em
(—
, 2].
Se 2 < x < 5, f ' (x) é positiva. Então f é crescente em [2, 5].
Se x > 5, f ' (x) é positiva. Entãof é crescente em [5, + 00) .
Pelo critério da derivada primeira, concluímos que f tem um mínimo relativo
em x = 2.
Apresentamos o gráfico de f na Figura 5.15.
Aplicações da derivada
273
Figura 5-15
5.7.3 Teorema (Critério da derivada V para determinação de extremos
de uma função). Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e c um
ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ' (c) = O, com a < c < b. Se f admite a
derivada f " em (a, b), temos:
(i)
Se f "(c) < O, f tem um valor máximo relativo em c.
(ii) Se f "(c) > O, f tem um valor mínimo relativo em c.
Prova. Para provar este teorema utilizaremos o seguinte resultado que não foi mencionado no Capítulo 3. "Se lim f(x) existe e é negativo, existe um intervalo aberto
x a
contendo a tal que f(x) < O para todo x a no intervalo".
Prova de (i). Por hipótese f
f_
"(c)
existe e f "(c) < O. Então,
Hm f (x) f ,(c)
x _,,
x—c
" "
Portanto, existe um intervalo aberto I, contendo c, tal que
f '(x)
f '(c) < O , para todo x E I.
x—c
(1)
274
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Seja A o intervalo aberto que contém todos os pontos x e I tais que x < c.
Então, c é o extremo direito do intervalo aberto A.
Seja B o intervalo aberto que contém todos os pontos x E I tais que x > c.
Assim, c é o extremo esquerdo do intervalo aberto B.
Se x e A, temos x — c < 0. De (/), resulta que f '(x) > f '(c).
Se x E B,x—c> 0. De (/), resulta que f ' (x) < f ' (c).
Como f ' (c) = 0, concluímos que se
x E A, f ' (x) > 0 e se x e B, f ' (x) < 0.
Pelo critério da derivada primeira (teorema 5.7.1), f tem um valor máximo relativo
em c.
A prova de (ii) é análoga.
5.7.4 Exemplos. Encontre os máximos e os mínimos relativos de
critério da derivada segunda.
(i)
f aplicando o
f(x)= 18x + 3x2 — 4x 3 .
Temos,
f ' (x) = 18 + 6x — 12x 2
e f "(x) = 6 — 24x.
Fazendo f ' (x) = O, temos 18 + 6x — 12x2 = 0. Resolvendo esta equação obtemos
os pontos críticos de f que são 3/2 e —1.
Como f " (3/2) = —30 < O, f tem um valor máximo relativo em 3/2.
Como f "(—J) = 30 > O, f tem um valor mínimo relativo em —1.
(ii)
f(x) . = x (x — 1) 2 .
Neste exemplo, temos
f '(x)
x• 2
(x — 1) + (x 1) 2 1
3x2 — 4x + 1
Aplicações da derivada
275
e f "(x) = 6x — 4.
Fazendo f ' (x) = 3x2 — 4x + 1 = O e resolvendo a equação obtemos os pontos
críticos de f, que neste caso são 1 e 1/3.
Como f "(1) = 2 > O, f tem um valor mínimo relativo em 1. Como
f " (1/3) = —2 < O, f tem um valor máximo relativo em 1/3.
(iii) f (x) = 6x — 3x2 +
1
2x
3
.
Temos,
f '(x)
6 — 6x +
3
2
x
2
.
e f "(x) = — 6 + 3x.
Fazendo f ' (x) = O, temos 6 — 6x + —23 x2 = O Resolvendo a equação,
obtemos x = 2 que neste caso é o único ponto crítico de f.
Como f " (2) = O nada podemos afirmar com auxílio do teorema 5.7.3.
Usando o critério da derivada primeira, concluímos que esta função é sempre
crescente. Portanto não existem máximos nem mínimos relativos.
5.8 CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO
O conceito de concavidade é muito útil no esboço do gráfico de uma curva.
Vamos introduzi-lo, analisando geometricamente a Figura 5.16.
Na Figura 5.16(a) observamos que dado um ponto qualquer c entre a e b, em
pontos próximos de c o gráfico de f está acima da tangente à curva no ponto P (c, f(c)).
Dizemos que a curva tem concavidade voltada para cima no intervalo (a, b).
276
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
y
(a)
(b)
Figura 5-16
Como f ' (x) é a inclinação da reta tangente à curva, observa-se na Figura
5.16(b), que podemos descrever esta mesma situação afirmando que no intervalo (a, b) a
derivada f ' (x) é crescente. Geometricamente, isto significa que a reta tangente gira no
sentido anti-horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita.
Analogamente, a Figura 5.17 descreve uma função que tem concavidade voltada para baixo no intervalo (a, b).
(b)
Figura 5-17
Na Figura 5.17(b) vemos que a tangente gira no sentido horário quando nos
deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita. A derivada f ' (x) é decrescente
em (a, b).
Aplicações da derivada
277
Temos as seguintes definições:
5.8.1 Definição. Uma função f é dita côncava para cima no intervalo (a, b), se f ' (x)
é crescente neste intervalo.
5.8.2 Definição. Uma função! é côncava para baixo no intervalo (a, b), se f ' (x) for
decrescente neste intervalo.
Reconhecer os intervalos onde uma curva tem concavidade voltada para cima
ou para baixo, auxilia muito no traçado de seu gráfico. Faremos isso, analisando o sinal
da derivada f "(x).
5.8.3 Proposição. Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável até 2 4
ordem no intervalo (a, b):
(i)
Se f "(x) > O para todo x e (a, b), então f é côncava para cima em
(a, b).
(ii)
Se f "(x) < O para todo x E (a, b), então f é côncava para baixo em (a, b).
Prova. (i). Como f "(x) = ' (x)r , se f "(x) > O para todo x e (a, b), pela proposição
5.6.3, f ' (x) é crescente no intervalo (a, b). Logo, f é côncava para cima em (a, b).
Analogamente, se prova (ii).
Podem existir pontos no gráfico de uma função nos quais a concavidade muda
de sentido. Esses pontos são chamados pontos de inflexão.
5.8.4 Definição. Um ponto P (c, f(c)) do gráfico de uma função contínua f é chama-
do um ponto de inflexão, se existe um intervalo (a, b) contendo c, tal que uma
das seguintes situações ocorra:
(i)
f é côncava para cima em (a, c) e côncava para baixo em (c, b).
(ii)
f é côncava para baixo em (a, c) e côncava para cima em (c, b).
Na Figura 5.18, os pontos de abscissa c l , c 2 , c 3 e c 4 são pontos de inflexão.
Vale observar que c 2 e c 3 são pontos de extremos de f e que f não é derivável nestes
278
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
pontos. Nos pontos c 1 e c4 , existem as derivadas f ' (c 1 ) e f '(c 4 ). Nos correspondentes
pontos (c 1 , f(c 1 )) e (c4 , f(c 4 )) a reta tangente corta o gráfico de f.
Figura 5-18
5.8.5 Exemplos. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde
as funções seguintes tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
(i) f(x) = (x — 1) 3 .
Temos
f '(x) = 3 (x — 1) 2
e f "(x) = 6 (x — 1).
Fazendo f "(x) > O, temos as seguintes desigualdades equivalentes
6 (x — 1) > O
x—1>O
x > 1.
Aplicações da derivada
279
Portanto, no intervalo (1, + 00), f "(x) > O. Analogamente, no intervalo
(– co, 1),f "(x) < O. Pela proposição 5.8.3 f é côncava para baixo no intervalo (– 1)
e no intervalo (1, + f é côncava para cima.
No ponto c = 1 a concavidade muda de sentido. Logo, neste ponto, o gráfico
de f tem um ponto de inflexão.
Podemos ver o gráfico de f na Figura 5.19.
Figura 5-19
(ii) f(x) = x 4 – x2 .
Temos,
f ' (x) = 4x3 –2x
e f "(x) = 12x2 – 2.
Fazendo f "(x) > O, vem
12x2 -2 > O
x2 > 1/6.
Então, x >
'‘W
6
■W
6
ou x < – —
-
280
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Portanto, f tem concavidade para cima nos intervalos
(
\
( \W
6 i ■ 6 ' + c° • •
-
'
( .Nr6-- -■1-6--No intervalo – — , —
6
6
, f "(x) < 0. Portanto, neste intervalo f é côncava
para baixo.
Nos pontos c 1 – e c2 – a concavidade muda de sentido. Logo,
6
6
nestes pontos o gráfico de f tem pontos de inflexão.
A Figura 5.20 mostra o gráfico de f onde assinalamos os pontos de inflexão.
Figura 5-20
.12para
x
1
(iii) f(x) =
1-(x - 1) 2 ,
para x > 1 .
Para x < 1, f ' (x) = 2x e f "(x) = 2. Para x > 1, f ' (x) = –2(x – 1) e
f "(x) = –2. Logo, para x e (– 00, 1),f "(x) > 0 e portanto f é côncava para cima neste
intervalo. No intervalo (1, + 00), f "(x) < 0. Portanto, neste intervalo f é côncava para
baixo.
No ponto c = 1, a concavidade muda de sentido e assim o gráfico de f apresenta
um ponto de inflexão em c = 1.
Aplicações da derivada
281
O gráfico de f pode ser visto na Figura 5.21. Observamos que no ponto
c = 1, f tem um máximo relativo.
Figura 5-21
5.9 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se
• aproximam de uma reta a medida que x cresce ou decresce (ver Figuras 5.22 e 5.23).
X
Figura 5-22
Estas retas são chamadas assíntotas.
282
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Y
-
Figura 5-23
Particularmente, vamos analisar com um pouco mais de atenção as assíntotas
horizontais e as verticais.
5.9.1 Definição. A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de y = flx), se pelo
menos urna das seguintes afirmações for verdadeira:
(i)
(i
lim f(x) = +
x -> a+
liM j(X) =
x -> a -
00
F1111 j(X) =
x -> a +
(iv)
lim f(x) = — 00 .
x-3 a
5.9.2 Exemplo. A reta x = 2 é uma assíntota vertical do gráfico de
Y—
1
— 2) 2
Aplicações da derivada
De fato,
x
1
=. 1 = + oe , ou também,
lim
x 2+ (x 2 ) 2O
+
1
Hm
2-
283
(X
=1=
— 2)2 0+
A Figura 5.24 ilustra este exemplo.
2
Figura 5-24
5.9.3 Definição. A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de y = f(x), se
pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
Hm J(x) = b
(i)
x
lim Rx) = b .
(ii)
x
5.9.4 Exemplo. As retas y = 1 e y = —1 são assíntotas horizontais do gráfico de
Y—
x
"‘ix2 + 2
284
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
,
porque lim
— 1 e lim — — 1 (ver Figura 5.25) .
+— Nx2 + 2
x
1x2. + 2
Figura 5-25
5.10 ESBOÇO DE GRÁFICOS
Utilizando todos os itens citados na análise do comportamento de uma função,
podemos fazer um resumo de atividades que nos levarão ao esboço de gráficos.
ETAPAS
14
PROCEDIMENTO
Encontrar D( f
DEFINIÇÕES E
TEOREMAS UTILIZADOS
)
24
Calcular os pontos de
intersecção com os eixos.
(Quando não requer muito
cálculo.)
31
Encontrar os pontos críticos
Seção 5.4.
O
Determinar os intervalos de
crescimento e decrescimento
de f(x)
Proposição 5.6.3.
Aplicações da derivada
ETAPAS
PROCEDIMENTO
285
DEFINIÇÕES E
TEOREMAS UTILIZADOS
54
Encontrar os máximos e
mínimos relativos.
Teoremas 5 7 1 ou 5.7.3.
6á
Determinar a concavidade e
os pontos de inflexão de f
Proposição 5.8.3.
7a
Encontrar as assíntotas
horizontais e verticais se
existirem.
Definições 5.9.1 e 5.9.3.
84
Esboçar o gráfico.
5.10.1 Exemplos. Esboçar o gráfico das funções:
(i) f(x) = 3x4 — 8x3 4- 6x2 + 2.
Seguindo as etapas propostas temos:
lg etapa. D( f ) I?.
2g etapa. Intersecção com o eixo dos y.
f(0) = 2.
3g etapa. f ' (x) = 12x3 — 24x2 + 12x.
Resolvendo 12x 3 — 24x2 + 12x = O, encontramos x 1 = O e x2 = 1 que são os
pontos críticos.
4' etapa. Fazendo f ' (x) > O, obtemos que 12x 3 — 24x2 + 12x > O quando x> O. Portanto,
f é crescente para x O.
Fazendo f '(x) < O, obtemos que 12x 3 — 24x2 + 12x < O quando x < O. Portanto,
f é decrescente para x O.
286
Cálculo A -- Funções, Limite, Derivação, Integração
etapa. Temos f "(x) =
_
36x2 — 48x + 12.
Como f " (0) = 12 > 0, temos que o ponto O é um ponto de mínimo e f(0) = 2
é um mínimo relativo de f.
Come(f "(1) = 0, nada podemos afirmar.
Fazendo f "(x) > 0, temos que 36x2 — 48x + 12 > O quando x E [(— , 1/3)
u (1, + 0.)}.
6 etapa.
Então, f é côncava para cima em (— , 1/3) u (1, + ao).
Fazendo f "(x) < 0, temos que 36x2 — 48x + 12 < 0 para x E (1/3, 1). Então f
é côncava para baixo em (1/3, 1).
Os pontos de abscissa 1/3 e 1 são pontos de inflexão.
75 etapa.
Não existem assíntotas.
cV etapa. Temos na Figura 5.26 o esboço do gráfico.
Figura 5-26
x2
(ti) f(x) —
x—
3
O domínio de f é D( f ) = I? — {3 }.
Aplicações da derivada
287
Temos,
x (x — 6)
f '(x) =
(x — 3) 2
54
f "(x) — 18x — •
(x — 3) 4
Fazendo f ' (x) = 0, temos
x (x — 6)
=o
(x — 3) 2
e então, x=0ex=à são pontos críticos.
em (—
00
Vemos que f ' (x) > O quando x E [(— oo , 0) u (6, + oo)]. Assim, f é crescente
, 0] u [6, + oe). Fazendo f '(x) < 0, vemos que f é decrescente em [0, 6].
Como f "(0) < 0, temos que O é ponto de máximo relativo e como f " (6) > 0,
temos que 6 é ponto de mínimo relativo.
Ainda f (0) = O é o máximo relativo de f e f (6) = 12 é o mínimo relativo
de f.
Fazendo
f "(x)
18x — 54
(x — 3) 4 > 0
obtemos que f é côncava para cima em (3, + c.) e fazendo
18x — 54
f "(x) —< 0 ,
(x — 3) 4
obtemos que f é côncava para baixo em (—
ao
, 3).
288
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Determinando os limites
lim
x 3+
x2 = —
9 = + 00
X
- 3
0+
e
x2 = 9_ =
lim
0-
encontramos que x = 3 é assíntota vertical. Não existe assíntota horizontal.
A Figura 5.27 mostra o esboço do gráfico de f(x) -
x2
x-
Figura 5-27
(iii) f(x) -= (x + 1) 1 /3 .
O domínio deflx) é D( f ) = 1?..
f (x) corta o eixo dos y no ponto y = 1 já que f (0) = 1. Corta o eixo dos x
em -1 já que resolvendo (x + 1) 113 = 0, obtemos x = -1.
Fazendo
f (x)
= 3 (x + 1)- 2/3 = 0
Aplicações da derivada
289
concluímos que não existe x que satisfaça f ' (x) = O. Como f ' (-1) o único ponto
crítico de f é x = -1.
Como f '(x) é sempre positiva concluímos que a função é sempre crescente.
Não existem máximos nem mínimos
Como
-2
f "(x) =
9
(x + 1)- 5/3
,
concluímos que para x < - 1, f "(x) > O e portanto f é côncava para cima em (- 00 , -1).
Quando x > -1, f "(x) < O e então f é côncava para baixo em (-1, + 0.0).
O ponto de abscissa x = -1 é um ponto de inflexão.
Não existem assíntotas.
A Figura 5.28 mostra o gráfico de f(x).
Figura 5-28
5.11 EXERCÍCIOS
1.
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso
afirmativo, achar um número c em (a, b), tal que
290
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
f , (c) _ f(b) — f(a)
b—a
Interpretar geometricamente.
a) fix) = 1 ; a = 2 , b = 3 .
b) f(x) = I ; a = -
c) f(x)=x3 ;a= O ,b= 4 .
d) f(x) = x3 ; a = —2 , = O .
e) .ffx) = cos x ; a = O , b = 7c/2.
f)
g) f(x)=tgx;a=0;b=n14.
h) f(x) = 111 — x2 ; a = —1 , b =
i) f(x) =
31
—
x
; a = —1 , b = 1 .
j)
f(x) = tg x ; a = ir.14 , b = 37c/4.
f(x) = lx I ; a = —1 , b = 1 .
2.
A função f(x) = x213 1 é tal quef(-1) = ftl) = O. Por que ela não verifica o Teorema de Rolle
no intervalo [-1, 11?
3.
Seja /(x) = —x4 + 8x2 + 9. Mostrar quef satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo
[-3, 3] e determinar os valores de c E (-3, 3) que satisfaçam f ' (c) = O.
—
.
.
4. Usando o teorema do valor médio provar que:
5.
a)
Isen0—senal5.10—a1,V 8,cce R;
b)
sen85_0,0 0.
Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.
a)
y =3x + 4
b)
y = x2 —3x + 8
c)
y=2+2x — x2
d)
y = (x — 2) (x + 4)
e)
y=3 —x3
f)
y=x3 +2x2 +5x+3
g)
y=x4 +4x3
h)
y = sen x
Aplicações da derivada
i)
y = cos x
k)
y
m) y =
ex — x
x
f(x)
y = sen x — cos x
Y
n)
x2 — 4
x ,
o)
j)
(x2 — 9 ) 2/3
y = 1 2x — 3 1
x<O
{ x2
x>O
6.
Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes.
a) f (x) = 2x — 1
b) f (x) = 3 — 5x
c) f (x) = 3x2 + 6x +7
d) f (x) =- x 3 2x2 — 4x + 2
e) f (x) (x —1) (x —2) (x + 3)
fj f(x) = x + se n x
g) f (x) = 2x
h) f (x) e—x .4_ —
i) f (x) = x e—x
D f(x) = x — 1
2
x2
k) f (x) = x + 1l)
7.
f(x) = e X sen x , x e [O, 2n].
Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.
a)
f (x) =1-3x , [-2, 2]
b)
f (x) = x2 — 4 a-1 3]
c)
f (x) = 4 — 3x + 3x 2 , [0, 3]
d)
f (x) = x3 — x2 , [O, 5]
e)
f(x) =
f)
f(x) = I x — 21 , [1, 4]
g)
f(x) = cosh x , [-2, 2]
h)
f (x) = tgh x , [-2, 2]
1 + x2
— 2 , 2]
,
291
292
Cálculo A— Funções, Limite, Derivação, Integração
i) f(x) = cos 3x , [O, 27r]
j)
,ffx) = cos e x , [O, 27t]
k) f(x) = sen a x — 1 , [O, n./2].
8.
Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos
das seguintes funções.
a)
f(x)=2x+ 5
b)
f(x) = 3x2 + 6x + 1
c)
g(x) = 4x3 — 8x2
d)-
h(x) = 3 X3 +
e)
f(t)
f)
f(t) = t + —1
g)
g (x) = x
h)
h(x)
i)
f (x) = 1 2 —
j)
g(x) =
= t—1
t+1
1
6x + 5
x+4,
x <—2
2,
x > —2
—
1 + x , x < —1
3 — 4t , t > O
4t + 3 , t 5 O
—
1
—
—
Nx
x2
k) h(t) =
X2
1)
,f(x) =
1 — x2 , x —1
10 — (x — 3)2 , x 5 —2
m) g(x) = 5(x — 1)
—
9.
—2 < x 5 —1
+ (x — 2) 2 , x > —1
Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem.
a) f(x) = 7 x 2 — 6x + 3
b) g(x) = 4x — x 2
c) h(x) = x 3 + 3x2 — 7 x + 9
d) h(x) = _1x4
— x3 + 4x2 — 4x + 8
4
3
Aplicações da derivada
e)
f(t) = {ê
t<O
,
3t2 , t
g)
f(x) = 5 +
i)
g(x) =
k)
f(x) =
293
f)
f(x) = 6x2/3 — 2x
h)
f(x) = 3 + (2x + 3) 4/3
j)
h(x)
1)
f(x) = x2 .N/16 — x .
O
— 2) 7/5
4x
x2 + 4
+ 2) 2— 1) 3
logo x
x+ 1
x2 — 2x + 2
10.
Mostrar que y = números a > 1.
11.
Determinar os coeficientes a e b de forma que a função f(x) = x 3 + a x2 + b tenha um extremo
relativo no ponto (-2, 1).
12.
Encontrar a, b, c e d tal que a função f(x) = 2ax3 + bx2 — cx + d tenha pontos críticos em
x=0 ex= 1. Se a > O, qual deles é de máximo, qual é de mínimo?
13.
Demonstrar que a função y = a x2 + b x + c, x e R, tem máximo se, e somente se, a < O., e
mínimo se, e somente se, a > O.
tem seu valor máximo em x = e (número neperiano) para todos os
14. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem
concavidade voltada para cima ou para baixo.
a) f(x) = —x 3 + 5x2 — 6x
c) f(x)
1
x+4
b) f(x) = 3x4 — 10x3 — 12x2 + 10x + 9
d) f(x) = 2x e-3x
e) f(x) = x2 exf)
2
t
g) .t)—
• (t
+9
3) 2
h)
f(x) = 4 .Nix + 1 —
f(t)=
2
cos t , t E [O, 27t]
x2 — 1
294
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
{ 2x
i) f(x) =
- x2 , x < 1
.f(x) =
, x> 1
x
x2 — 4 , x < 2
4 — x2 , x > 2
15. Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções:
a) f(x) — 4
x —4
c) f(x) — 4
x2 — 3x + 2
f)
2x2
g) f(x) — -gx
2
f(x)
f(x)
— 16
i) f(x) e 1/X
k) f(x)
x+2
d) f(x) —
1
,
Nx + 4
e) f(x)
—3
b) f(x) —
j)
—1
(x — 3) (x + 4)
2
"Nix — 3
x
-\lx2 + x — 12
f(x) = eX —1
x.
16. Esboçar o gráfico das seguintes funções:
a) y=x2 +4x+ 2
b) y (x — 3) (x + 2)
c) y = —x3 + 3x2 — 2x +
3
2
6
d) y = x3 — 9 x2 — 12x + 3
2
—
e) Y =
1 4
5 _3
x +
2
g) y = x + —
i) y =
3x + 1
(x + 2)(x — 3)
,, _2
f)
y = x4 - 32x + 48
y—
y =
2x
x 2
2
x2 — 2x — 3
Aplicações da derivada
k) y —
4
= X3/2n)
o) y =
ln (2x + 3)
y=
cosh x
=
x2
I)
y
p)
y =
295
ln (x2 + 1) .
5.12 PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO
A seguir apresentamos alguns problemas práticos em diversas áreas, onde
aplicamos o que foi visto nas Seções 5.4 e 5.7 sobre máximos e mínimos
O primeiro passo para soluCionar estes problemas é escrever precisamente
qual a função que deverá ser analisada. Esta função poderá ser escrita em função de
uma ou mais variáveis. Quando a função é de mais de uma variável devemos procurar
expressar uma das variáveis em função da outra.
Com a função bem definida, devemos identificar um intervalo apropriado e
então proceder a rotina matemática aplicando definiçõe e teoremas.
5.12.1 Exemplos
(1) Na Biologia, encontramos a fórmula = V • A, onde é o fluxo de ar na
traquéia, V é a velocidade do ar e A a área do círculo formado ao seccionarmos a
traquéia (ver Figura 5.29).
Figura 5-29
Quando tossimos, o raio diminui, afetando a velocidade do ar na traquéia.
Sendo ro o raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade V e o raio r da traquéia
durante a tosse é dada por V (r) = a r2 (r0 — r), onde a é uma constante positiva.
296
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(a)
Calcular o raio r em que é maior a velocidade do ar.
(b) Calcular o valor de r com o qual teremos o maior fluxo possível.
Solução.
(a) O raio r da traquéia contraída não pode ser maior que o raio normal r o ,
nem menor que zero, ou seja, O r 5_ ro .
Neste item vamos encontrar o máximo absoluto da função V(r) em
O r ro .
Temos,
V(r)
= a r2 (ro — r);
V '(r) = 2a ro r —3a r2 .
Fazendo V '(r) = 2a 1 -0 r — 3a r 2 = O, obtemos os pontos críticos r 11 = —23 O
r e
r2 = O .
Temos V "(r) = 2a 1- 0 — 6a r. Como V " (0) = 2a rei > O, concluímos que r2 = O é
um mínimo relativo. Como V "(2/3 r o ) é um valor negativo, concluímos que r 1 = 2/3 1-0 é
um valor máximo relativo.
Para r E [O, ro], temos que o máximo absoluto é V(2/3r 0) = 4a/27r(3) .
Diante deste resultado afirmamos que a velocidade do ar na traquéia é maior
quando o raio r da mesma, é dois terços do raio r o da traquéia não contraída.
(b) Podemos escrever a função (1) = V • A em função do raio r da traquéia:
414(r) = ar2 (ro — r) • TC /2 .
Queremos encontrar o máximo absoluto da função cgr) em O r ri:) .
Temos, O' (r) = 4a TC ro r3 — 5a 7C tA .
Fazendo 4'- (r) = 4a Te 1-0 r 3 — 5a TC r4 = O, obtemos r 1 = O e r2 = 4/5 ri) como
pontos críticos de 0(r).
Aplicações da derivada
297
Temos 0"(r) = 12a 7E r o r2 — 20a TC r3 .
Logo, 0" (0) = O e 0"(415 O= —64/25 a it ti . Concluímos que em 4/5 r0 temos
um ponto de máximo relativo.
O ponto r 1 = O é um ponto de mínimo relativo, pois a função (1)(r) decresce
em (— 00, 0] e cresce em [0, 4/5 r o ].
O máximo absoluto em [0, r0 ] será 0(4/5 r 0) que é igual à 256/3125 a it go .
Portanto, o maior fluxo possível é obtido quando r = 4/5 r 0 .
(2) Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à
margem de um rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra
margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obra através do rio é de
Cr$ 640,00 por metro, enquanto, em terra, custa Cr$ 312,00. Qual é a forma mais
econômica de se instalar a rede de água potável?
Solução. A Figura 5.30 esquematiza a função que dará o custo da obra:
f(x) = (2000 — x) - 312,00 + -six2 + 5002 • 640,00.
x
(2000 - x)
CONJUNTO
HABITACIONAL
CENTRAL DE
ABASTECIMENTO
Figura 5 30
-
Nosso objetivo será calcular o mínimo absoluto dessa função para O x 2000.
Temos,
f '(x) = —312,00
+ 640,00 x
.Vx2 + so02
298
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Resolvendo a equação
— 312,00 +
640,
00x
— O ,
"\ix2 + 5002
obtemos que x E 279,17 m é um ponto crítico.
Temos,
f "(x) =
5002 • 640,00
(x2 + 5002) 3/2
Como f" (279,17) > 0, temos que x = 279,17 é um ponto de mínimo relativo.
Resta-nos saber se este mínimo é absoluto no intervalo O 5 x 5_ 2000.
Como o único ponto crítico de f no intervalo aberto (0, 2000) é x E 279,17,
este ponto é mínimo absoluto neste intervalo. Como f(0) > f(279,17) e
f(2000) > f(279,17), concluímos que a obra poderá ser realizada com o menor custo
possível se a canalização de água alcançar o outro lado do rio 279,17 m abaixo da
central de abastecimento.
(3) Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12100 m 2 .
A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m atrás e 12 m em
cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser
construído este galpão.
Solução. A Figura 5.31 ajuda a definir a função que vamos minimizar.
Figura 5-31
Aplicações da derivada
Sabemos que A = 12100 m2 = x • y.
299
(1
)
A função que definirá a área do lote é
S = (x + 12+ 12) (y + 25 + 20)
= (x + 24) (y + 45).
De (1), obtemos que y =
S(x) = (x + 24)
r
(2)
12100
. Substituindo em (2), vem
x
12100 + 45
X
Esta é a função que queremos minimizar.
Temos,
S ' (x) =
45x2 — 290400
x2
44 -00
45x2 — 290400
é
= 0 , obtemos que x =
3
x2
um ponto crítico. (x é uma medida e portanto consideramos só o valor positivo.)
Resolvendo a equação =
Temos que S "(x) =
580800
e portanto S
x33
44 NW
> 0.x =
44 30
3
um
ponto de mínimo
Fazendo x =
y =
44 ..■ 30
80,33 m, obtemos que
3
12100 = 12100
= 150,62m,
x
4430I3
e então, a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente
(80,33 + 24) m x (150,62 + 45) m.
300
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(4) Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma
que o seu volume seja 2500 m 3 . O material da base vai custar Cr$ 1200,00 por
m2 e o material dos lados Cr$ 980,00 por m 2 . Encontre as dimensões da caixa de modo
que o custo do material seja mínimo
Solução.
Observando a Figura 5.32, escrevemos a função que dá o custo do material:
C = x2 1200,00 + 4xy 980,00.
(1)
X
x
4x
Figura 5-32
Como V = x 2y = 2500 cm 3 , temos que a dimensão y pode ser escrita como
y = 2500/x2.
Substituindo esse resultado em (1), obtemos
C (x) = 1200,00 • x 2 + 9.800.000,00/x,
que é a função que queremos minimizar.
Aplicações da derivada
301
Temos,
C '(x) —
2400 00 x3 — 9.800.000,00
xz
Resolvendo a equação
x= 5
3
00
2400,00x3 — 9.800.000,
— 0, encontramos
x2
98 = 15,983 m, que é o ponto crítico que nos interessa.
3
De fato, para x 15,983 vamos ter um ponto de mínimo, já que C" (15,983) > 0.
Portanto, as dimensões da caixa de modo a obter o menor custo possível são
E 9,785 m.
x a.. 15,983 mey
5.13 EXERCÍCIOS
• 1. Um fio de comprimento / é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com
o outro um quadrado.
a)
Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas
figuras seja mínima?
b)
Como devemos cortar o fio a fim
de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?
2.
Determinar o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole xy = 1, que está mais próximo da
origem.
3.
Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou Cr$ 380.000,00
para criar os bois e continuará gastando Cr$ 2,00 por dia para manter um boi. Os bois
aumentam de peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de Cr$ 18,00 o
quilo, mas o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para
maximizar seu lucro?
4. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível.
302
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
5.
Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado a, deseja-se construir urna caixa sem tampa,
cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante.
Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja
o maior possível.
6.
Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V, de forma que a
sua área total seja mínima.
7. Duas indústrias A e B necessitam de água potável. A figura a seguir esquematiza a posição das
indústrias, bem como a posição de um encanamento retilíneo 1, já existente. Em que ponto do
encanamento deve ser instalado um reservatório de modo que a metragem de cano a ser
utilizada seja mínima?
B
RESERVATÓRIO
C- 12 Km 8.
Qual é o retângulo de perímetro máximo inscrito no círculo de raio 12 cm?
9.
Traçar uma tangente à elipse 2x2 + y2 = 2 de modo que a área do triângulo que ela forma com
os eixos coordenados positivos seja mínima. Obter as coordenadas do ponto de tangência e a
área mínima.
10. Mostrar que o volume do maior cilindro reto que pode ser inscrito num cone reto é 4/9 do
volume do cone.
11. Um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base. A que distância da base deve ser
feito esse corte, para que o cone reto de base na secção determinada, e de vértice no centro da
base do cone dado, tenha volume máximo?
12. Determinar o ponto A da curva y = x 2 + x que se encontra mais próximo de (7, O). Mostrar
que a reta que passa por (7, O) e por A é normal à curva dada em A.
13. Uma folha de papel contém 375 cm 2 de matéria impressa, com margem superior de 3,5 cm,
margem inferior de 2 cm, margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de 2,5 cm.
Aplicações da derivada
303
Determinar quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de
papel.
14. Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semi-círculo. Achar as dimensões
de modo que o perímetro seja 3,2 m e a área a maior possível.
15. Um canhão, situado no solo, é posto sob um ângulo de inclinação a. Seja 1 o alcance do
canhão, dado por 1 =
2v2
sena cos a , onde v e g são constantes. Para que ângulo o
alcance é máximo?
16. Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km
de uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, como mostra a figura a seguir. Se
a barca tem uma velocidade de 18 km por hora, e os carros tem uma velocidade média de 50
km/h, onde deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem a mais rápida
possível?
Fl
ESTAÇÃO CIDADE
100 Km
17. Uma cerca de 1 m de altura está situada a uma distância de 1 m da parede lateral de um galpão.
Qual o comprimento da menor escada cujas extremidades se apoiam na parede e no chão do
lado de fora da cerca?
18. Seja s uma reta que passa pelo ponto (4, 3) formando um triângulo com os eixos coordenados
positivos. Qual a equação de s para que a área desse triângulo seja mínima?
19. Uma pista de atletismo com comprimento total de 400 m, consiste de 2 semi-círculos e dois
segmentos retos, conforme figura a seguir. Determinar as dimensões da pista, de tal forma que
a área retangular, demarcada na figura, seja máxima.
304
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
20. Um cilindro circular reto está inscrito num cone circular reto de altura H = 6 m e raio da base
R = 3,5 m. Determinar a altura e o raio da base do cilindro de volume máximo.
21. Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo
de produção é dado por C = 2x3 + 6x2 + 18x + 60, e o valor obtido na venda é dado por
V = 60x — 12x2 , determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza o lucro
L = V —C.
/
22. Um cilindro reto é inscrito numa esfera de raio R. Determinar esse cilindro, de forma que seu
volume seja máximo.
23. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum
a. Se cada pasto deve medir 400 m 2 de área, determinar as dimensões a e b, de forma que o
comprimento da cerca seja mínimo.
24. Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens, retangulares, exige que o comprimento de
cada caixa seja 2 m e o volume 3 m 3 . Para gastar a menor quantidade de material possível na
fabricação das caixas, quais devem ser suas dimensões?
25. Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos medindo 9 cm e 12 cm.
Encontrar as dimensões do retângulo com maior área, supondo que sua posição é dada na
figura a seguir.
Aplicações da derivada
305
•
5.14 REGRAS DE L'HOSPITAL
Nesta Seção apresentaremos um método geral para levantar indeterminações
do tipo 0/0 ou Esse método é dado pelas regras de L'Hospital, cuja demonstração
necessita da seguinte proposição.
5.14.1 Proposição (Fórinula de Cauchy). Se f e g são duas funções contínuas
-
em [a, b], deriváveis em (a, b) e se g' (x) # O para todo x E (a, b), então existe
um número z E (a, b) tal que
f(b) — f(a) _ f '(z)
g(b) — g(a)
g '(z)
Prova. Provemos primeiro que g(b) — g(a) # O. Como g é contínua em [a, b] e derivável
em (a, b), pelo teorema do valor médio, existe c e (a, b) tal que
g '( c) = g(b) — g(a)
b—a
(1)
Como, por hipótese, g' (x) # O para todo x E (a, b), temos g' (c) # O e assim,
pela igualdade (1), g(b) — g(a) # O.
Consideremos a função
f(b) — fl a )][g (x
) — g(a)]
h(x) = Í(x) — fia) — [ g (b) — g(a)
A função h satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle em [a, b], pois:
(i)
Como f e g são contínuas em [a, b], h é contínua em [a, b];
(ii)
Como f e g são deriváveis em (a, b), h é derivável em (a, b);
(iii) h (a) = h (b) = O.
306
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Portanto, existe z E (a, b) tal que h' (z) = O.
Como h '(x) = f ' (x) —
f(b) — f(a)
f'(z) — g(b) — g(a)
f(b) — f(a)
g(b) — g(a)
g '(x), temos
• g '(z) = O .
(2)
Mas g' (z) # O. Logo, podemos escrever (2) na forma
f(b) — fia)
f'(z)
g(b) — g(a)
g '(z)
5.14.2 Proposição (Regras de L'Hospital). Sejam f e g funções deriváveis num
intervalo aberto I, exceto possivelmente, em um ponto a E I. Suponhamos que
g' (x) # O para todo x # a em I.
(i)
Se lim • (x) = lim g(x) = O e
x
—)
a
x --> a
x
lim
f '(x)
a g (x)
= L, então
lim = lim f (X) = L ;
x —> a g(x)
x —> a g
(ii) Se lim f(x) = lim g(x) = oo e lim
x —> a
lim x)
x —> a g(x)
x--> a
x —> a g(x)
'
,
= L, então
= lim f (X) — L .
x —> a g
Prova do item (i). Suponhamos que lim
lim f (X) =
x —> a g ( C)
f '(x)
x —> a g (x)
L . Queremos provar que lim tome a forma indeterminada 0/0 e que
) = L.
x —> a g(x)
Aplicações da derivada
307
Consideremos duas funções F e G tais que
g(x),
f(x) , sexta
F(x) =
e
G(x) =
O , se x = a
O
sext a
se x
Então,
lim F(x) = lim f(x) = O = F(a)
x —> a
x —> a
lim G(x) = lim g(x) = O = G(a) .
x —> a
x —> a
Assim, as funções F e G são contínuas no ponto a e portanto, em todo intervalo I.
Seja x E I, x a. Como para todo x a em I, f e g são deriváveis e g '(x) O,
as funções F e Gsatisfazem as hipóteses da fórmula de Cauchy no intervalo [x, a] ou
[a, x]. Segue que existe um número z entre a e x tal que
F(x) — F(a)
G(x) — G(a)
vem
F '(z)
G '(z)
.
Como F(x) = f(x), G(x) = g(x), F(a) = G(a) = O, F '(z) = f '(z) e G '(z) = g '(z),
f(x) = f '(z)
g (x)
g '(z)
Como z está entre a e x, quando x —) a temos que z --> a. Logo,
x
lim f(x) — lim f (Z)
x a g '(z)
a g (x)
—
lim f
(Z)
z _> a g '(z)
—L.
308
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Observamos que se
lim f(x) = lim g(x) = O ou u m f(x) = lim g(x) = 00 ,
x —> a
e lim
x— > a
rx
(
)
g (x)
x — > a
= ao,
x —> a
x >a
a regra de L'Hospital continua válida, isto é
lim ftx) = lim •f (X)
x a g '(x)
g(x)
= 00
x —> a
Ela também é válida para os limites laterais e para os limites no infinito.
A seguir apresentaremos vários exemplos, ilustrando como muitos limites
que tomam formas indeterminadas podem ser resolvidos com o auxilio da regra
de L'Hospital.
5.14.3 Exemplos
(i) Determinar lim
2x
x,o ex —
Quando x'—> O, o quociente
do a regra de L'Hospital, vem
ex
•
2x
toma a forma indeterminada 0/0. Aplican1
2
2
= lim —
= = 2.
x,o e —1
x,o e e°
lim
2x
Aplicações da derivada
309
x2 + x - 6
x2 - 3x + 2
(ii) Determinar lim X-32
O limite toma a forma indeterminada 0/0. Aplicando a regra de L'Hospital,
temos
2
lim
m x,
x-2 X'-`"
+ - 6 =. lim 2x + 1 2 2 + 1 = 5 .
2 2 - 3
- 3x + 2
2 2x - 3
(iii) Determinar lim
x o
sen x - x
+ e' - 2
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a regra de
L'Hospital uma vez, temos
lim sen
x-*o ex +
x - xlim cos x
- 2
x-,oe X
éX
-
Como o último limite ainda toma a forma indeterminada 0/0, podemos aplicar
novamente a regra de L'Hospital. Temos,
lim
x -> O
cos x - 1
-
= lim
x O
Logo, lim sen
+
x-. 1:-.)
- sen x=
= .
ex + e- x2
x- x
X- 2
eX
= .
-1
(iv) Determinar lim
x + x3 + 4x
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 00/ao. Aplicando a regra de
L'Hospital sucessivas vezes, temos
ex
1
eX
lim
=
+ - x3 + 4x
X-->+oo 3x2 + 4
lim
—
310
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
= lim
-›+ - 6x
= lim
x ->
6
(v) Determinar hm (3x
x->+Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 00 ° . Vamos transformá-la numa
indeterminação do tipo ../00 com o auxílio de logaritmos e em seguida aplicar a regra
de L'Hospital.
Seja L = lim (3x + 9) 1/x . Então, lnL = ln
lim (3x 4. 9) 1/x .
x-)+-
x
Aplicando a proposição 3.5.2(g) e as propriedades de logaritmos, vem
In L =
lim ln (3x + 9) 1/x"
x +
lim 1 ln (3x + 9)
hm
x
-)
ln 3x + 9)
X
Temos agora uma indeterminação do tipo 00/00. Aplicando a regra de L'Hospital, obtemos
ln L = hm
lim
+ 9).
- hm
1
x
3
3x +. 9
Aplicações da derivada
311
Como ln L = O, temos L = 1 e dessa forma
lim (3x + 9) 1 tx = 1 .
+ 00
x^
(vi) Determinar lim x sen 1/x .
Neste caso temos uma indeterminação do tipo .0 • O. Reescrevendo o limite
dado na forma
sen 1/x
1/x
lim x sen 1/x = lim
x-›+temos uma indeterminação do tipo 0/0.
Aplicando a regra de L'Hospital, vem
lim x sen 1/x =
lim sen 1/x
.7c -›+- 1/x
lim
lim cos 1/x
+
cos O
1.
312
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(vii) Determinar Hm
x —> o
1
(
1
x2 + x cos i — 1
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0. — .... Reescrevendo o limite
dado, temos
1
1
(
lim
= lim cos x — 1 — x2 — X
x-->0\ x2 + xcos X — 1
/
vem
x —> 0 (X2 + X) (cos X — 1)
Temos então uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a regra de L'Hospital,
f
lim
x —> o
1
1
_
x2 + x cos x — 1
"
—
=
lim
x —> o
cos x — 1 — x2 — x
(x2 + x) (cos x — 1)
— sen x — 2x — 1
lim
o (x2 + x) • (— sen x) + (cos x —1) (2x + 1)
x
—1
o
(viii) Determinar lim+ (2x 2 + x) x .
xo
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 0 ° . Com o auxilio de logaritmos, vamos transformá-la numa indeterminação da forma 00/00.
Seja
L = lim
x
ln L
=
(2x2 + x) x . Então,
in [ lim (2x2 + x
x
-
Aplicações da derivada ▪
1.,_
x->0
rr, .2 +
(
L
•
lim x • ln (2x2 + x)
x->0o+
•
lim ln (2x2 + x)
1/x
x-)0+
Temos agda uma indeterminação do tipo
L'Hospital, vem
lnL = lim
x-> o+
x-)o+
4x3 + x2
2x2 + x
Aplicando novamente a regra de L'Hospital, obtemos
ln L =
lim
x o+
12x2 + 2x
4x + 1
o
1
o.
Como ln L = O, temos L = 1. Logo,
x o+
313
(2x2 + x) = 1 .
Aplicando a regra de
314
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1+ 1
2x
(ix) Calcular lim
Neste caso, temos uma indeterminação do tipo I – . Usando logaritmos, vamos
transformá-la numa indeterminação da forma 0/0.
Seja L =
ln L
=
lim
1+
ln
lim
X -->
1
2x
x
. Então,
—
1
1+
+ —
2-x\
=
x
1
2x
lim [ ln
1+
lim x ln
1+ 1
2x
x
In
= lim
x
1 + 1
2x
1/x
X
Temos agora uma indeterminação do tipo 0/0. Aplicando a regra de L'Hospital,
obtemos
ln L =
lim
X
--
+00
(
1
–1 / 1
+2x2
-
1/2
lim
-x –)+– 1 + 1
2x
1/x2
Aplicações da derivada
1/2
1
1/2.
Portanto, ln L =
1
—
2
lim
dessa forma L = e112. Logo,
=e
1/2
5.15 EXERCÍCIOS
Determinar os seguintes limites ccim auxilio das regras de L'Hospital.
x-2 - 4x + 4
x —> 2 X2 — x - 2
lim
1.
3.
x
6 - 2x + 3x2 - x3
lim
x - 33 x4 — 3x3 - x + 3
5.
7.
9.
11.
x2 + 6x
O x3 + 7x2 + 5x
lim
x
lim
lim
EM
x2 - 6x + 7
x3 + 7x
- 1 •
2. lim
x-1
4. lim
X2
— 1
x2 +
+3
2x2 + x
-
1
x —> 1/2 4X 2 — 4X + 1
x+1
6. lim
x --+ -1 2x" + 2x 3 + 3x2 + 2x - 1
5 - 5x3
8. lim
2 - 2x3
x
7x5 - 6
4x2 - 2x + 4
5
- x + x2
10. lim
x-9+.0 2 - x 2x2
eX
12. lim
-
X99
315
316
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
x
lim
x_,0 ex — cos
14. lim x2 (e l — 1)
x
x
cos x
lim
x —)7v2 (x — ir/2) 22x
1 lim
1
— x — 2
x —> 2 [2x — 4
lim
x —)
)
+
ln x
22. lim
3
—> +
x 2 tg
+ cos 4x
—
x
cosh x — 1
—>
1
—cos i
x
24.
lim
Hm (1 — cos x) cotg x
x
x+1
20. Hm tgh x
lim senh x
sen x
X -3 0
x —> ir./4
x )
18.
x
2
2x
1
16. lim
—
cotg x 2 cos x
lim sec
-> + m
26. Hm [ln x ln (x — 1)]
—>
—> 1
3
1
27.
lim
x— n. [2(1
29.
fim x sen x
„+
x —>
— -Ct )
)
1
28. hm
o
—> +
30. lim x
7t x
Hm (1 — x)
2
32. lim x sen 71/x
X
—> +
X2/3
33.
lim
—>
(x2 + 2) 1/3
0.
1—x
—>1
cos 31.
1
3(1 —
x4 + ln x
34. Hm
senh x
Aplicações da derivada
lim
35.
(2x - 1)
2/x
x
37.
39.
41.
43.
ln (sen a x)
lim, In (sen x)
x-) 0+
x
1
lim + x tg x
O
lim (1 - tg x) sec 2x
x -› n/4
36.
38.
40.
42.
lim (cos 2x)
x --> 0
3/2
1
x-3
lim
x -) 3
lim + x
2
317
5
x2 - x - 6
2
ln x
+
x ->0
lim
+
x In x
x + ln x
lim (ex + x)
x -) o
5.16 FÓRMULA DE TAYLOR
A Fórmula de Taylor consiste num método de apróximação de uma função por
um polinômio, com um erro possível de ser estimado.
5.16.1 Definição. Seja f: 1 --> I? uma função que admite derivadas até ordem n num
ponto c do intervalo 1. O polinômio de Taylor de ordem n de f rigponto c, que
denotamos por P n (x), é dado por
P n (x) = f(c) + f '(C) (x - c) +
.„(n)
(x - c) 2 + . + 3
n!
) (x - c)
n
Observamos que no ponto x = c , P n (c) = .gc) .
5.16.2 Exemplo. Determinar o polinômio de Taylor de ordem 4 da função f (x) =
no ponto c = O.
318
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Temos, f(x) = f ' (x) = ...= f
f(0) = f '(0)
(iv)
(x) = e x e assim,
..= f (1v) (0) = e ° = 1 .
Portanto,
P 4(x) = 1 + 1 (x
=1+
X
+
–
X2
O) +
(x
0) 2 +
(x
2!
3!
—
–
—
—
3
O) +
4!
(x 0)4
X3
2!
X4
—
3! 4! '
é o polinômio de Taylor de grau 4 da função f(x) = ex no ponto c = O.
Dado o polinômio de Taylor de grau n de uma função f(x), denotamos por
R n (x) a diferença entre f(x) e P n (x), isto é, R n (x) = f(x) – P (x) (ver Figura 5.33).
n
c
X
Figura 5-33
Temos então, f(x) = Pn (x) + R n (x), ou mais explicitamente,
f(x) = .Ac) +f ' (c) (x – c) +
f "(c)
(x – c) 2 +
2!
f(n)
(x – cr + R (x)
n . (1)
n!
Aplicações da derivada
319
Para os valores de x nos quais R n (x) é "pequeno", o polinômio P n (x) dá uma
boa aproximação de f(x). Por isso, R n (x) chama-se resto. O problema, agora, consiste
em determinar uma fórmula para R n (x) de tal modo que ele possa ser avaliar..! Temos
a seguinte proposição.
5.16.3 Proposição (Fórmula de Taylor). Seja f: [a, b] > 1? uma função defmida num intervalo [a, b]. Suponhamos que as derivadas f ' , f " , f (n ) existam e
sejam contínuas em [a, b] e que f (n + 1) exista em (a, b). Seja c um ponto
qualquer fixado em [a, b]. Então, para cada x E [a, b], x # c, existe um ponto
z entre c e x tal que
—
f(x) = f(c) + f (c) — c) + + f
(n)
(C)
n!
— C)n f(n+1) ( z
)
(n + 1)!
— c)n + 1
(2)
Quando c = 0, a Fórmula de Taylor fica
f(x) = f(0) + f '(0) x f (a ) ( 0 ) xn + 1) (Z) xn + 1
n!f(n + 1)!
e recebe o nome de Fórmula de Mac-Laurin.
Prova. Faremos a demonstração supondo x > c. Para x < c, o procedimento é análogo.
Sejam 13 n (t) o polinômio de Taylor de grau n de f no ponto c e R n (t) o resto
correspondente. Então, f(t) = P n (t) + R n (t), para qualquer t e [a, b].
Portanto, no ponto x, temos
) (C)
f(x) = f(c) + f '(c) (x — c) +f "(c) (x — c) 2 + + f (n
2!
n!
(x — c) n + R n(x) .
Para provar (2), devemos mostrar que
R n (x) =
.f(n + 1) (
`
(n + 1 )!
(x — c)" 1
,
onde z é um número entre c e x.
320
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Para isso, vamos considerar a seguinte função auxiliar:
g: [c, x] —> 1?
f"
g(t) = f(x) — f(t) — f ' (t) (x — t) —
f
(
n ) ( t)
n!
t ()
2!
(x — t) 2 —
+1
_
(x — tr — R ,z (x) • (x
(x — c)n + 1
Pelas propriedades das funções contínuas, segue que g é contínua em [c, x].
Pelas propriedades das funções deriváveis, segue que g é derivável em (c, x). Além
disso, podemos verificar que g(c) = g(x) = O.
Logo, g satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle em [c, x] e portanto existe
um ponto z, entre c e x, tal que g' (z) = O.
Derivando a função g com o auxílio das regras de derivação e simplificando,
obtemos
R n (x) —
f(n +1)
z)
(n+1)
v ' (x — c)
,
(n + 1)!
e, conseqüentemente, a fórmula (2) fica provada.
Observando as fórmulas (1) e (2), vemos que na Fórmula de Taylor apresentada, o resto R n (x) é dado por
f(n + 1) (,A
Rn (x) = "' ) (x — c)n + 1
(n + 1) !
Essa forma para o resto é chamada Forma de Lagrange do Resto e a fórmula
(2) é dita Fórmula de Taylor com Resto de Lagrange. Existem outras formas para o
resto, como a forma da integral, que não abordaremos aqui.
5.16.4 Exemplos
(i) Determinar os polinômios de Taylor de grau 2 e de grau 4 da função
f (x) = cos x, no ponto c = O. Esboçar o gráfico de f e dos polinômios encontrados.
•
Aplicações da derivada
321
Usando o polinômio P4 (x) para determinar um valor aproximado para cos —7t g o que se
6
pode afirmar sobre o erro cometido?
Solução. Para determinar os polinômios pedidos, necessitamos do valor de f e de suas
derivadas até ordem 4, no ponto c = O.
Temos,
f(x)
=
cos x , ft0)
=
cos O =
1
f '(x) = — sen x , f '(0) = — sen O = O
f "(x) = — cos x
f "(0) = — cos O = —1
f "'(x) = sen x , f "'(0) = sen O = O
f `v(x) =
cos x
f iv(0) =
cos O =
1.
O polinômio de Taylor de grau 2, no ponto c, é dado por
f "( c)
P2(x) = f(c) + f ' (c) (x — c) + 2 , (x — c) 2 .
Como no nosso caso c = O, vem
P2 (x) = f(0) + f'(0) x + f (1 0) .x2
=1+O•
= 1 -
X2
X
+
1)
2!
x2
•
O polinômio de Taylor de grau 4, no ponto c, é dado por
P4 (x) = f(0) + f ' (0) (x) + f ';(,°) x2 + f 3" 1(°) x3 + f 4v (,2c) x4
322
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
= 1+0-X+
=
—
( 22!0
x2
+
+ 1 x4
x3
3!
4!
X2X4
r
•
2 24
A Figura 5.34 mostra o gráfico de f(x), P 2 (x) e P 4 (x). Comparando esses
gráficos, podemos observar que o gráfico de P 4 (x) está mais próximo do gráfico de
f(x). Se aumentarmos n, o gráfico de P n (x) se aproxima cada vez mais do gráfico de
f(x)•
Figura 5-34
Usando o polinômio P 4 (x) para determinar um valor aproximado de cos —n ,
6
pela Fórmula de Taylor, temos
cos
n
—
6
= P4 (n/6) + R4 (n/6)
1
7c
=1—— —
2! 6
1 '
4! 6
—
J
onde z é um número entre O e n/6.
\
f (5)(z )
5!
`5
6
Aplicações da derivada
323
Como f v (x) = —sen x e I — sen x I 1 para qualquer valor de x, podemos
(
)
afirmar que o resto R 4 ( 6 ) satisfaz
—
I R4 (n/6) I=
I- sen z I
5!
n
1
5! 6
(
6
E
0,000327 .
Logo, quando calculamos o valor de cos —7c pelo polinômio P 4 (x), temos
6
= 1 cos —11
6
(7c/6) 2(n/6) 4
24
2!
E 0,86606
e podemos afirmar que o erro cometido, em módulo, é menor ou igual a 0,000327.
(iii) Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f (x) = sen 2x no
ponto c = 4 Usar este polinômio para determinar um valor aproximado para sen
3
Fazer uma estimativa para o erro.
Solução. Devemos calcular o valor da função e suas derivadas até ordem 6, no ponto
7C
C= 4 .
—
Temos,
f(x)
= sen 2x
f '(x) = 2 cos 2x
, f(n/4)
,
f (n14)
'
f "(x) = — 4 sen 2x , f "(n14)
f '" (x)
—8 cos 2x , f "'(7c14)
= sen Tc/2
= 1
= 2 cos n/2 = O
=—4
= 0
324
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
f iv(x) = 16 sen 2x , f iv(n/4)
= 16
f v(x) = 32 cos 2x , f v(7c14)
= O
f vi(x) = — 64 sen 2x , f (n14)
O polinômio de Taylor de grau 6, no ponto c = it/4,, é dado por
P6(x) = f 4
±
+
2
f ' (n/4))TC
TC
f " ( n/4)
x 4 ±
2!
1!
f(vi) (n/4)
6!
x -
z—
)
4
TC )6
4
2
4
=
(—
64) x — —
1 -1- 0 + (-4) x—n) +0+16
) +0+
4
4
4! x-4
2!
6!
=
)2,
22
24
—
1
X - -
- X -
2!
4
4!
4
6
- 26
6!
ir
4
x
•N 6
6
Usando o polinômio P 6(x) para determinar sen 3 , obtemos pela Fórmula de
Taylor,
TC
sen — = sen (2 7r./6) = f (7E/6) = P6 (7C/6) + R 6 (n./6)
3
2
2 2 (ir ?L
24
= 1 - - - - 1-
2! 6 4
\.
n n
4! 6 4
f (vio (z)
0,86602526 + 7!
4
-
26 ir
6! 6
7C 7
6
4
n
4
6
+
Pvii) (z) "7C
7!
6
k
7L
4
∎7
À
Aplicações da derivada
Como f ( vii) (x) = - 128 cos 2x e 1 cos 2x 1 ^ 1 para todo x, o resto
satisfaz
325
R6
Z
[
IR 6 (7E/6) 1
128
7!
\7
6
4
2,1407 x 10-6 .
Logo, usando o polinômio P 6 (x) obtemos sen
tido, em módulo, será inferior a 2,1407 x 10 -6 .
3
=
0,86602526e o erro come-
Usando a Fórmula de Taylor, pode-se demonstrar a seguinte proposição que
nos dá mais um critério para determinação de máximos e mínimos de uma função.
5.16.5 Proposição. Seja f: (a, b)
R uma função derivável n vezes e cujas
derivadas, f ' , f " ,
f ( n) são contínuas em (a, b). Seja c E (a, b) um ponto
crítico de f tal que f ' (c) = = -1) (c) = O e f ( n ) (c) 0. Então,
(i)
se n é par e f ( n) (c) 5 0, f tem um máximo relativo em c;
(ii) se n é par e f (n) (c) 0, f tem um mínimo relativo em c;
(iii) se n é ímpar, c é um ponto de inflexão.
5.16.6 Exemplos
(i) Determinar os extremos da função f(x) = (x - 2) 6 .
Temos f' (x) = 6 (x - 2) 5 . Fazendo f' (x) = 0, obtemos x = 2, que é o único
ponto crítico de f.
Calculando as derivadas seguintes no ponto x = 2, temos
f" (x) = 30 (x - 2) 4 , f" (2) = O
f,.. (x) = 120 (x - 2) 3 , f"' (2) = O
f iv (x) = 360 (x - 2) 2 , f iv (2) =
326
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
f (1') (x) = 720 (x — 2) , f (") (2) = O
, f (14) (2) = 720 # 0.
f" (x) = 720
Logo, x = 2 é um ponto de mínimo relativo.
(ii) Pesquisar máximos e mínimos da função f (x) = x5
—
x3 .
Fazendo f ' (x) = 5x4 3x2 = 0, obtemos os pontos críticos que são
x i = 0, x2 = .■i3/5 e x3 = — -V-3/5 .
—
Calculando o valor das derivadas seguintes no ponto x 1 = 0, temos
f " (x) = 20x3
f "' (x) = 60x2
—
-
6x , f " (0) = O
6
, f "' (0) = 6 # 0.
—
Como f "' (0) 0, concluímos que O é um ponto de inflexão.
No ponto x 2 = -■r3/5, temos
f "(x) = 20x3 — 6x , f "(NTD) = 20 (3/5) 32 — 6 .Nii75-
=
20 • — 6
5
= 6I7>0.
Logo, concluímos que x 1 =
No ponto x3 =
temos
é um ponto de mínimo relativo.
Aplicações da derivada
f
"(x) = 20x 3 - 6x , f "( - .\13/5 )
3
= — 20 —
5
327
3/2
)
— 6 ( — 'N/3/5 )
= — 6 -■/3/5 < 0 .
Logo, o ponto x3 = — 'N/3/5 é um ponto de máximo relativo.
5.17 EXERCÍCIOS
1.
Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções:
b) f(x) =
c) f(x)=1n(1—x); c=0 e 1/2; n = 4
d) f(x) = sen x ; c = rt12 ; n = 8
e) f(x) = cos 2x ; c = O e n/2 ; n = 6
2.
; c = —1 e 2; n=4
a) f(x) = ex12 ; C = 0 e 1; n = 5
X
1
f (x) - 1 + x ,c-0 e 1;n=4.
Encontrar o polinômio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a função que define o resto
na forma de Lagrange, das seguintes funções:
a) y=coshx;n=4;c=0
c) y =
; n = 3 ; c = 1
b) y = tg x ; n=3;
d) y= e
x2
C = 7C
; n = 4 ; c = O.
3.
Usando o resultado encontrado no exercício 1, item (c), com c = O, determinar um valor
aproximado para ln 0,5. Fazer uma estimativa para o erro.
4.
Determinar o polinômio de Taylor de grau 6 da função f(x) = 1 + cos x no ponto c = it. Usar
este polinômio para determinar um valor aproximado para cos (5n/6). Fazer uma estimativa
para o erro.
5.
Demonstrar que a diferença entre sen (a + h) e sen a + h cos a é menor ou igual a — h .
1 2
2
328
6.
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Um fio delgado, pela ação da gravidade, assume a forma da catenária y = a cosh —x .
a
Demonstrar que para valores pequenos de Ixl,a forma que o fio toma pode ser representada,
x2
aproximadamente, pela parábola y = a + —
2a
7.
Pesquisar máximos e mínimos das seguintes funções:
a) f(x) = 2x — 4
b) f(x) = 4 — 5x + 6x2
c) f(x) = (x — 4) 10
d) f(x) = 4 (x + 2) 7
e) f(x) = x6 — 2x4
f(x) _ x5
1325 x3
EDITORA
CAPÍTULO 6
DAVFSt
MAKRON
Books
INTRODUÇÃO À INTEGRAÇÃO
Neste capítulo introduziremos a integral. Em primeiro lugar, trataremos da
integração indefinida, que consiste no processo inverso da derivação. Em seguida,
veremos a integral definida, que é a integral propriamente dita, e sua relação com o
problema de determinar a área de uma figura plana. Por fim, apresentaremos o Teorema
Fundamental do Cálculo, que é a peça Chave de todo Cálculo Diferencial e Integral,
pois estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração.
6.1 INTEGRAL INDEFINIDA
6.1.1 Definição. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um
intervalo 1 (ou simplesmente uma primitiva de ftx)), se para todo x e 1, temos
.
F ' (x) = f(x).
Observamos que, de acordo com nossa definição, as primitivas de uma função
f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando não explicitamos o intervalo
e nos referimos a duas primitivas da mesma função
são primitivas de f no mesmo intervalo 1.
f,
entendemos que essas funções
329
330
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.1.2 Exemplos
(i)
F ' (x) =
F (x) =
x3 \
3
é
uma primitiva da função f(x) = x2 , pois
1/3 3x2 = x2 = f(x).
(ii) As funções G(x) = x3 /3 + 4, H(x) = 1/3 (x3 + 3) também são primitivas
da função f(x) = x2 , pois G ' (x) = H' (x) = f(x).
(iii) A função F(x) = 1/2 sen 2x + c, onde c é uma constante, é primitiva da
função f(x) = cos 2x.
(iv) A função F(x) = 1/2x2 é uma primitiva da função f(x) = —1/x 3 em
qualquer intervalo que não contém a origem, pois para todo x O, temos F '(x) = fiz).
Os exemplos anteriores nos mostram que uma mesma função f(x) admite mais
que uma primitiva. Temos as seguintes proposições.
6.1.3 Proposição. Seja F(x) uma primitiva da função f(x). Então, se c é uma constante qualquer, a função G(x) F(x) + c também é primitiva de f(x).
Prova. Como F(x) é primitiva de f(x), temos que F '(x) = f(x). Assim,
G ' (x) = (F(x) +
= F ' (x) +
O = f(x),
o que prova que G(x) é uma primitiva de f(x).
6.1.4 Proposição. Se f ' (x) se anula em todos os pontos de um intervalo
constante em
I,
então f é
Prova. Sejam x, y E I, x < y. Como f é derivável em I, f é contínua em [x, y] e derivável
em (x, y). Pelo Teorema do Valor Médio, existe z E (x, y), tal que
f (z) f(Y) - flx)
y—x
Introdução à integração
331
Como f '(z) = O, vem que f(y) — f(x) = O ou f( y) = f(x). Sendo x e y dois pontos
quaisquer de I, concluímos que f é constante em I.
6.1.5 Proposição. Se F(x) e G(x) são funções primitivas de f(x) no intervalo I, então
existe uma constante c tal que G(x) — F(x) = c, para todo x E I.
Prova. Seja H(x) = G(x) — F(x). Como F e G são primitivas de f(x) no intervalo
I, temos
F ' (x) = G ' (x) = f(x), para todo x E I. Assim,
H ' (x) = G '(x) — F ' (x) = f(x) — f(x) = O, para todo x E
Pela proposição 6.1.4, existe uma constante c, tal que H (x) = c, para todo
x E I. Logo, para todo x E 1, temos
G(x) — F(x) = c.
Da proposição 6.1.5, concluímos que se F(x) é uma particular primitiva de f,
então toda primitiva de f é da forma
G(x) = F(x) + c,
• onde c é uma constante. Assim o problema de determinar as primitivas de f, se resume
em achar uma primitiva particular.
6.1.6 Exemplo. Sabemos que (sen x)' = cos x. Assim, F(x) = sen x é uma primitiva
da função flx) = cos x e toda primitiva de f(x) = cos x é da forma
G(x) = sen x + c,
para alguma constante
c.
6.1.7 Definição. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada
integral indefinida da função f(x) e é denotada por
f .ffx) dx = F(x) + c .
332
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
De acordo com esta notação o símbolo
1 é chamado sinal de integração, f(x)
.
função integrando e f(x) dx integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando
serve para identificar a variável de integração.
Da definição da integral indefinida, decorre que:
(i)
f (x) dx = F (x) + c <=> F ' (x) = f (x).
(ii)f f (x) dx representa uma família de funções (a família de todas as
primitivas da função integrando).
Propriedades da Integral Indefinida
6.1.8 Proposição. Sejam f, g: I —> R e K uma constante. Então:
(i)
J K f (x) dx = K J f (x) dx.
(ii)f
(f (x) + g (x)) dx = Jf (x)
g (x) dx.
Prova.
(i) Seja F (x) uma primitiva de f (x). Então K F (x) é uma primitiva
de K f(x), pois (K F(x))' = K F ' (x) = K flx). Desta forma, temos
IKf(x)dx = KF(x)+c=KF(x)+Kc i
= K [F(x) + c] = K Jf (x) dx.
(ii) Sejam F(x) e G(x) funções primitivas de f(x) e g(x), respectivamente.
Então, F (x) + G (x) é uma primitiva da função (f (x) + g (x)), pois [F(x) + G(x)]'
= F '(x) + G '(x) = f(x) + g(x).
Introdução à integração
333
Portanto,
J(f (x) +g(x))dx = [F (x) + G (x)] + c
= [F(x) + G(x)1 + c + c 2 , onde c = c i + c2
= [F(x) + c 1 ] + [ G(x) + c 2 ]
= f (x) dx + S g (x) dx.
O processo de integração exige muita intuição, pois conhecendo apenas a
derivada de uma dada função nós queremos descobrir a função. Podemos obter uma
tabela de integrais, chamadas imediatas, a partir das derivadas das funções elementares.
6.1.9 Exemplos
(i)
Sabemos que (sen
(ii)
Como (—cos
= cos x. Então cos x dx = sen x + c.
= sen O, então sen 8 d6 = — cos 6 + c.
(iii) J ex dx = eX + c, pois (e)' = ex.
(iv)
(v)
X2/3
J
dt
dx =
3
x5/3 + c, pois (3/5 x5/3 )'=
5
—
= 2 ' + c, pois (2 Vi5' = 1/Nií .
X213 .
334
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
6.1.10 Tabela de Integrais Imediatas
c
(1)
du
(2)
— = ln ru I + c
(3)
u a du —
J
f
u a +1
+ c (a é constante —1)
a+1
a"
au du =
a+c
ln
(5);
e" du = e" + c
(6)
sen u du = — cos u + c
(7)
cos u du = sen u + c
(8)
sec 2 u du = tg u + c
(9)
s..
$ cosec 2 u du = — cotg u + c 5,..— k'
„.K.,
(10) f sec
c/ = sec u + c
,
>c d
1
ct5)' x
cosec u cotg u du = — cosec u + c
)
(11)
(12)
(13)
du
— arc sen u + c
'■1 1 — u2
du
.1 1 +
- arc tg u + c
Introdução à integração
du
(14) j.
— are sec u + c
u .\44 2 — 1
4's (15) S senh u du = cosh u + c
(16)
J u du =
.
cosh
senh u + c
(17) S sech2 u du = tgh u + c
(18)
cosech 2 u du =
(19)
sech u • tgh u du =
—
cotgh u + c
—
sech u + c
At(20) f cosech u • cotgh u du =
(21)
(22)
du
J
du
—1
(23)
u + -5,/u 2 + 1
+c
— arg cosh u + c = ln I u + 'Vu 2 — 1
+c
arg tgh u + c
du
1 — u2
=
(24)
(25)
du
u
cosech u + c
arg senh u + c = ln
"\11 + u 2
f
—
—u 2
,
se lul < 1
arg cotgh u + c ,
se lul > 1
1
—
2
ln
1+u
1—u
+c
— —arg sech lu I+ c
du
— —arg cosech lu I + c .
u
+ u2
335
336
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais, podemos
calcular a integral indefinida de algumas funções.
6.1.11 Exemplos. Calcular as integrais indefinidas.
(i)
5 (3x
2
+5+ -Cx) dx
.
'NA
Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais;temos
J
3x2 + 5 +
dx = 3 f x2 dx + 5 f dx + f x 1/2 dz
X3
= 3 — + 5x + 3
x3/2
3/2
+c
2
= x3 + 5x + – x3/2 + c .
3
(ii)
(3 sec x • tg x + cosec 2 dx.
Temos,
(3 sec x • tg x + cosec2 x) dx = 3 sec x tg x dx + cosec 2 x dx
= 3 sec x – cotg x + c.
sec2 x
dx .
(iii)
iii)
cosec x
Neste caso, temos
sec2 x dx = i• 1 sen x
dx =
cosec x
J cos x cos x
tg x • sec x dx = sec x + c .
Introdução à integração
(iv)
( 3 .•VX-2 + 1/3x) dx .
Temos,
f ( -‘172 + 1/3x)
=I
jdx
3 x2 dx
+ j. 1/3x dx
f
x2/3 dx + 1 dx
3 x
x5/31
+ — ln lx 1 + c
5/3 3
3 x5/3
ln lx 1 + c
5
3
x4 + 3x 1/2 + 4
(v
)
?Cic
V
dx .
Temos,
• 1,,
3x4x
+ 3x- 1/2 + 4
dx
3 1—
J
.
( x4
3
-1/2
1r;
4
dx
(x 111. + 3x-516 + 4x 9 dx
x 11/3 dx + 3 .1' x-5/6 dx + 4 j. x-1/3 dx
x 14/3
14/3
•
=
14
X
1/6
X2/3
+ 3 • 1/6 + 4 •2/3 + c
X1413 + 18x 1/66X273 + c .
337
•
338
•
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
1\
(vi) f 2[ cosx + -,- dx .
Nx
--
Temos,
(
1\
2 cos x+ rNx
f 2 cos x dx +
dx
•
2 cos x dx + S x112 dx
= 2 sen x + = 2 sen x +
2 e -
(vii)
F_dx
NX
X1/2
1/2
+c
+ c.
sen x2
+ — dx
cos2 x X7
Temos,
f
2 ex -
sen x2
2
+
cos x X
J 2 e dx - S
dx
•
sen x
cos
2
x
2 dx
dx +
x7
21ex -I secx-tgxdx + 2 f x 7 dx
s
= 2ex - sec x + 2 •+ c
-6
= 2ex - sec x -
1
3x6
+ c.
Introdução à integração
339
6.2 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 10, calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir
os resultados.
_
1.
X3
N
2.
3.
(ax4 + bx3 + 3c) dx
5.
(2x2
7.
'■/2y
dx
x3
10.
dx
dx2 x
sen
'dt
8.
dy
dt
3
"\rx-
6.
1
9t2 + 11Nt3
1 ± x
4.
3)2 dx
.12y -
9.
f
—
3/2 + 3
J
x5 + 2x2 - 1
dx
X4
Nos exercícios de 11 a 30, calcular as integrais indefinidas.
f
x2 ± 1
x2 2
+ 1 dx
sen x
1'
cos
J
2
x
\4/ 4
X
( et
2
x2
1
dx
)
-N/ 1 _
X2
dx
Á.8x4 - 9x3 + 6x2 - 2x + 1
4
7
x2
X-
1
17. f — + "\it + -
19.
-
dx
-
- e -x) dx
t
dt
dx
cos O • tg OdO
20. f(t +
dt
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
340
21.
x-1/3 - 5
x
J
f sec
25.
27.
f
(cos a x + 1) dx
x2 — 1
J x2
J
29.
31.
2x
4
) dt
16t +
tg2 x cosec 2 x dx
dt
J
26.
d
+ 1x
(et -
- 1/2) t"
— h et + cosh t) dt
22.
dx
O, constante.
(a,2 a2 , a '3N1 8 (t - 2) 6 (t + ) 3 dt
2
28.
ln x
dx
x ln x`-
30:
(x - 1) 2 (x + 1) 2 dx
onde n E z.
32.
Encontrar uma primitiva F, da função f(x) = x213 + x, que satisfaça F(1) = 1.
33.
Determinar a função f(x) tal que
5
f(x) dx = x2 +
2
cos 2x + c .
34.
Encontrar uma primitiva da função f(x) = — + 1 que se anule no ponto x = 2.
35.
Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade
f(x) dx = sen x - x cos x -
1
+ c , determinar f (n/4).
36. Encontrar uma função f tal que f '(x) + sen x = O e ,ff0) = 2.
Introdução à integração
341
6.3 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO OU
MUDANÇA DE VARIÁVEL PARA INTEGRAÇÃO
Algumas vezes, é possível determinar a integral de uma dada função, aplicando uma das fórmulas básicas depois de ser feita uma mudança de variável. Este processo
é análogo à regra da cadeia para derivação e pode ser justificad-o como segue.
Sejam flx) e F(x) duas funções tais que F ' (x) = f(x). Suponhamos que g seja
outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F. Podemos
considerar a função composta F o g.
Pela regra da cadeia, temos
[F(g(x))]' = F ' (g(x)) • g ' (x) = f(g(x)) • g '(x), isto é, F(g(x)) é uma primitiva
de f(g(x)) • g ' (x).
Temos, então
f (g (x)) g' (x) dx = F (g (x)) + c .
(1)
Fazendo u = g(x), du =g '(x) dx e substituindo em (1), vem
f (g (x)) g ' (x) dx = f (u) du = F (u) + c.
Na prática, devemos então definir uma função u = g(x) conveniente, de tal
forma que a integral obtida seja mais simples.
6.3.1 Exemplos. Calcular as integrais:
(i)
\1-
1 2x
+ x2dx,s
Fazemos u = 1 x2 . Então, du = 2x dx. Temos,
du
1 + x2 dxu
,1 1 1
r
342
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
= 111 114 +
C
= ln (1 +x 2 )+ c.
(ii)
sen 2 x cos x dx.
Se fizermos u = sen x, então du = cos x dx. Assim,
sen 2 x cos x dx = Ju2du
U3
=
3
-
+
C
sena x
+c
3
(iii)
sen (x + 7) dx.
Fazendo u = x + 7, temos du = dx. Então,
J
sen (x + 7) dx =
J
sen u du
= - COS
U+C
= - cos (x + 7) + c.
(iv) f tg x dx.
Podemos escrever tg x dx =
sen x
dx
cos x
Introdução à integração
343
Fazendo u = cos x, temos du = — sen x dx e então sen x dx = — du. Portanto,
tg x dx = r — du
du
u
— — ln lu I + c
= — ln I cos x 1 + c.
I
(v)
(3x dx
— 5) 8
Fazendo u = 3x — 5, temos du = 3 dx ou dx = 1/3 du. Portanto,
(3x d_x 5)8.1* 1/3 du
u8
1
1 u- 7
3 j. ir 8 du = 3 _ 7 + c
—1
+c.
21 (3x — 5) 7
(vi)
(x + sec 2 3x) dx.
Podemos escrever,
f (x + sec
2
3x) dx = f x dx +
J sec 3x dx
2
x2
— + f sec 2 3x dx .
2
J
(1
)
Para resolver sec 2 3x dx fazemos a substituição u = 3x. Temos, então
du = 3dx ou dx = 1/3 du Assim,
344
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
J
1
1
sec2 u • — du = —
sec2 u du
3
3
sec2 3x dx =
=
1
—
3
1
tg u + c = — tg 3x + c .
3
Substituindo em (I), obtemos
X21
(x + sec 2 3x) dx = — — tg 3x + c .
2
du
2
u + a2
3
, (a O).
Como a O, podemos escrever a integral dada na forma
du1 f.
u2 +
u2 +
a2
Portanto,
du
2 +1
a
•
Fazemos a substituição v = u a. Temos então, dv = 1/a du ou du = a dv.
du1 f a dv
u 2 + a 2 a 2 J v2 + 1
1f dv
a -1 v2 1- 1
1
=— arc tg v + c
a
=
1
a
arc tg
—
a
+c.
Introdução à integração r2
345
dx
+
6x + 13 •
Para resolver esta integral devemos completar o quadrado do denominador.
Escrevemos,
x2 +6x+13 = x 2 +2•3x+9-9+13
= (x + 3) 2 + 4.
Portanto,
dx
dx
(x + 3) 2 +
x2 + 6x + 13
Fazendo u = x + 3, du = dx e usando o exemplo anterior, obtemos
du
+ c
u.. ± 22 — 12 arc tg
2
dx =
/ .x2 + 6x + 13
1
= — arc tg
2
x+3
2 +
c.
(ix) — 2
x+1
Neste caso, fazemos a substituição u =
ou ainda, dx = 2 u du.
— 2 . Então, u2 = x — 2 ou x = u2 + 2,
Substituindo na integral, vem
—2
x+1
dx
2
u2 + 2 + 1
u du
2 u2 du 2 u2 du
u2 + 3
u2 + 3
346
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Efetuando a divisão dos polinômios, temos
—2
x+1
dx
—3
2 ( 1 + u2 3 ) du
du
u2 + 3
2 [ du 3
1
du
u2 + 3
= 2 u — 6 J.
6
.N13
arc=2u— tg + c
'‘1 3
6
•Nix — 2
= 2 -■ix — 2 —
arc tg
+c.
(x) J .Nit2 - 2 t4 dt .
Escrevemos,
'Vt2 —2 t4 d = f t2 (1 — 2 t2 ) dt =
J
t
— 2 t2 dt .
Fazendo u = 1 — 2t2 , temos du = — 4t dt e então t dt =— du Assim,
.\it2 - 2 t4 dt
u1/2 — du
4
_—
4 u
1 u 3/2— 1
4 3/2 4- c
1/2
du
— 2 t2) 3/2 +
C
.
Introdução à integração
6.4 EXERCÍCIOS
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
(x3 — 2) 1/7 x2 dx
(2x2 + 2x — 3) 10 (2x + 1) dx
f
5
x dx
5x "‘/4 — 3x2 dx
.
.\1X —
f
1 1Ix2 + 2x4 dx
e i/x + 2
e t dt
1
et + 4
u
tg x sec2 x dx
sen x
11.
COS 5X
15.
1
ex cos 2 et dx
sen (50 — 7t) de
.
a + b tg 0
19(
10.
1
dx
15.
(e 2t + 2) 1/3 e 2t dt
2 sec 2 0
dy
y` — 4y + 4
de
x2
dx
senil x cos x dx
2 sen x — 5 cos x
cos x
cos X2 dx
y
3i.arc sen
dy
—y2
18.
(
).‘./ S
16dx
+ r2
sen 0 cosg O de
dx
347
348
21.
23.
25.
27.
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
ln x2\,
dx
x
f 'N/3 t
3 dx
-I x2 - 4x + 1
+3
x-1
29.
f (sen
31.
f xe
33.
dx
4x + cos 27c) dx
3x2 dx
dt
t
35.
+ t2 dt
4
22.
(e" + e-arf dx
24.
4 dx
4 xa + 20x + 34
est dx
26.
e2x +
3 dx
x ln a 3x
28.
30.
( 2x2 1- x dx
32.
dt
(2 +
34.
ln t
.f (e + 2)
2x
5 e 2x dx
16
36.
8x \I1 -
f
e
2x2 dx
4 t dt
'‘/4 t2 + 5
37.
f 3 -cossenx x dx
38.
l' dv
i 'i-v- (1 + 'Nfv-) 5
39.
5 x2 -V1 + x dx
40.
f x4 e- xsdx
41.
f t cos t
42.
5 8x2 16x3 + 5 dx
43.
1 sen 1/2 2 O cos 2 O dO
44.
5 seca (5x + 3) dx
2 dt
Introdução à integração
45.
sen O dO
•/ (5 - cos 0) 3
47. f (1 + e-at) 3/2 e-at dt , a > O
49.
r ,Ft - 4 dt
46.
$ cotg u du
48.
1 cos
50.
$ x (sen 2x
x
2
349
dx
3
+ 4x) dx
6.5 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos,
[f(x) g(x)]' = f(x) - g ' (x) + g(x) • f ' (x)
o u,
f(x) • g ' (x) = [f(x) g(x)]' - g(x) • f ' (x)•
Integrando ambos os lados dessa equação, obtemos
f (x) • g ' (x) dx = f [f (x) g (x)r dx - g (x) • f ' (x) dx,
ou ainda,
f (x) • g ' (x) dx = f (x) • g (x) -1 g (x) • f ' (x) dx.
(1)
Observamos que na expressão (1) deixamos de escrever a constante de integração, já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras. Todas elas podem
ser representadas por uma única constante c, que introduziremos no final do processo.
Na prática, costumamos fazer
u = f(x)
du = f ' (x) dx
350
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
e
v = g(x)
dv = g '(x) dx.
Substituindo em (1), vem
que é a fórmula de integração por partes.
6.5.1 Exemplos
(i) Calcular
j x e-2x dx.
Antes de resolver esta integral, queremos salientar que a escolha de u e dv
são feitas convenientemente.
Neste exemplo, escolhemos u = x e dv = e -2x dx. Temos,
u= x
du= dx
dv = e-2x dx
v=
j e-2x dx =
1 e -2x .
2
Aplicamos então a fórmula
f udv=u•vivdu
e obtemos
dx =
—1
2
e- 2x
—11
2
dx
Introdução à integração
351
Calculando a última integral, vem
x • e-2x dx —
1
2
1
xe——— e —+c.
4
Observamos que se tivéssemos escolhido u = C2x e dv = x dx, o processo nos
levaria a uma integral mais complicada.
(ii) Calcular ln x dx.
Seja
u
x
du = llx dx
v = dx = x.
dv = dx
Integrando por partes, vem
5 ln xdx = (ln x)• x — x•
1
dx
= xlnx—f dx
x ln x — x + c.
(iii) Calcular x2 sen x dx.
Neste exemplo, vamos aplicar o método duas vezes. Seja
u = x2du=2xdx
dv = sen x dx
v = sen x dx = — cos x.
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Integrando por partes, vem
x2 •sen x dx
= x2 (— cos x) — J(— cos x) 2x dx
= —x2 cosx+2fxcosxdx.
A integral x cos x dx deve ser resolvida também por partes. Fazemos,
u =x
du = dx
dv = cos x dx
v = J cos x dx = sen x.
Temos,
x cos x dx = x sen x — J sen xdx.
Logo,
j. x2 sen x dx =
cos x + 2 [x sen x — sen x dx]
—x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + c.
(iv) Calcular e ax sen x dx.
Este exemplo ilustra um artifício para o cálculo, que envolve também duas
aplicações da fórmula de integração por partes.
Seja
u = e2x
du = 2 e2x dx
dv = sen x dx
v = sen x dx = — cosi.
J
Introdução à integração 353
Aplicando a integração por partes, vem
e21` sen x dx
e2r (- cos x) - f (- cos x) 2e2x dx
—e2x COS X 1- 2 e2x cos x dx.
Resolvendo 1 e 2x cos x dx por partes, fazendo u = e 2x e dv = cos x dx,
encontramos
.
S
e2x sen x dx = -e2x cos x + 2 [e2x sen x - f sen x • 2 e lt. dx]
= -e2x cos x + 2 e 2x sen x - 4 f e a' sen x dz.
(2)
Observamos que a integral do 2 membro é exatamente a integral que queremos calcular. Somando 4 f e2x sen x dx a ambos os lados de (2) , obtemos
5 1 e2x sen x dx = -e 2x cos x + 2 e2x sen x.
.
Logo,
e2x sen x dx =
5
(2 e2x sen x - e 2x cos x) + c .
(v) Calcular f sena x dx.
.r,
Neste caso, fazemos
u = sen 2 x
dv = sen x dx
du = 2 sen x cos x dx
v = f sen x dx = - cos x.
,
C' s
ttik
V --
-
354
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Então,
J sena x dx = sen2 x (- cos x) -
- cos x • 2 sen x cos x dx
- sen 2 x cos x + 2 cos2 x sen x dx
= - sen 2 X
COS X —
COS
3X
2 + c.
3
6.6 EXERCÍCIOS
Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
1. $ x sen 5x dx
3. f
t e 4t dt
G 5
4.
ln (1 — x) dx
f x+1
(
)
cos 2 x dx
5. f x ln 3 x dx
6. i cos 3 x dx
7. f ex cos ";, dx
8. 5 \r
x ln x dx
9.
cosec3 x dx
11. $ x cosec2 x dx
10. $ x2 cos a x dx
12. j. arc cotg 2x dx
Introdução à integração
ln (ax + b)
dx
"■Iax + b
13. f e" sen bx dx
14.
15.
16. J 1n3 2 x dx
X3
— X2 dX
17. j are tg a x dx
18. 5 x3 sen 4x dx
19. f (x — 1) e' dx
20. f x2 ln x dx
21. f x2 ex dx
22. i arc sen ; dx
.
23.
(x — 1) sec2 x dx
25.
x"- ln x dx , n E N
26.
27.
ln (x + 1 + x2 ) dx
28.
x arc tg x dx
30.
x cose x dx
29.
31.
dx
J
(x+ 3)2 ex dx
33.
cos (ln x) dx
35.
seca x dx
J 24.
32.
34.
36.
e3x cos 4x dx
5
in(x2 +1)dx
J x
+ 1 dx
arc cos x dx
evx
x3
dx.
355
356
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.7 ÁREA
Desde os tempos mais antigos os matemáticos se predcupam com o problema
de determinar a área de uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da
exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são
conhecidas.
Como exemplo, podemos citar o círculo. Para definir sua área, consideramos
um polígono regular inscrito de n lados, que denotamos por P n (Figura 6.1(a)).
Seja A n a área do polígono P n . Então, A n = n A T , onde A T é a área do
triângulo de base /n e altura h n (Figura 6.1(b)).
(a)
(b)
Figura 6-1
Como A T —
An = n • In
•
2 h
n
e o perímetro do polígono P n é dado por p n = nin , vem
In hn pn h n
2
2
Fazendo n crescer cada vez mais, isto é, n + co, o polígono Pn toma-se uma
aproximação do círculo. O perímetro p n aproxima-se do comprimento do círculo 2nr e
a altura h n aproxima-se do raio r.
Introdução à integração
357
Temos,
lim A n
n --)
2 icr r
= — n r2 , que é a área do círculo.
2
Para definir a área de uma figura plana qualquer, procedemos de forma análoga. Aproximamos a figura por polígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos
métodos da geometria elementar.
Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana S,
delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa f, pelo eixo dos x e por
duas retas x = a e x = b (ver Figura 6.2).
Figura 6-2
Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a, b], isto é, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos, escolhendo os pontos
a = ox < x < < x.1-1< x. < ...< x n = b .
Seja Axi = xi - xi_ 1 o comprimento do intervalo [x i_ 1 , xi ].
Em cada um destes intervalos [x i_ 1 , xi ], escolhemos um ponto qualquer c i .
Para cada i, i = 1,
(ver Figura 6.3).
n, construímos um retângulo de base Ax i e altura f(c i )
358
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 6-3
A Figura 6.4 ilustra esses retângulos nos casos n = 4 e n = 8.
Figura 6-4
A soma das áreas dos n retângulos, que representamos por Sn , é dada por:
Sn = f(c 1 ) Ax i +1(c2) &2 +... +.ficn) An
=
fici) Axi .
i
=1
Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x).
Introdução à integração
359
Podemos observar que a medida que n cresce muito e cada Az i , i = 1,
n,
torna-se muito pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos como a área de S.
6.7.1 Definição. Seja y = f(x) uma função contínua, não negativa em [a, b]. A área
sob a curva y =flx), de a até b, é definida por
A = Hm
n
flc i) A xi ,
máx A x. —> O i = 1
onde para cada i = 1,
n, c i é um ponto arbitrário do intervalo [xi_i , xi l.
É possível provar que o limite desta definição existe e é um número não
negativo.
6.8 INTEGRAL DEFINIDA
A integral definida está associada ao limite da definição 6.7.1. Ela nasceu com
a formalização matemática dos problemas de áreas. De acordo com a terminologia
introduzida na seção anterior, temos a seguinte definição.
6.8.1 Definição. Seja f uma função definida no intervalo [a, b] e seja P uma
partição qualquer de [a, b]. A integral definida de f de a até b, denotada por
r
a
f(x) dx ,
é dada por
fb flx) dx = lim
a
máx Ari —> O
desde que o limite do 2° membro exista.
360
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Se fb f(x) dx existe, dizemos que f é integrável em [a, b].
a
s
Na notação b f(x) dx , os números a e b são chamados limites de integração
a
(a = limite inferior e b = limite superior).
Se f é integrável em [a, b], então
Sb f(x) dx =
a
f
f(t) dt = b f(s) ds ,
a
a
isto é, podemos usar qualquer símbolo para representar a variável independente.
Quando a função f é contínua e não negativa em [a, b], a definição da integral
definida coincide com a definição da área (Definição 6.7.1). Portanto, neste caso, a
integral definida
f(x) dx
a
é a área da região sob o gráfico de f de a até b.
Sempre que utilizamos um intervalo [a, b], supomos a < b. Assim, em nossa
definição não levamos em conta os casos em que o limite inferior é maior que o limite
superior.
6.8.2 Definição
(a)
Se a > b, então
J(x) dx = —
r
f(x) dx ,
se a integral à direita existir.
(b)
Se a = b e f(a) existe, então
f
a
f(x) dx = O .
Introdução à integração
361
É muito importante saber quais funções são integráveis. Uma ampla classe de
funções usadas no Cálculo é a classe das funções contínuas. O teorema abaixo, cuja
demonstração será omitida, garante que elas são integráveis.
6.8.3 Teorema. Se f é contínua sobre [a, b], então f é integrável em [a, b].
Propriedades da Integral Definida
6.8.4 Proposição. Se f é integrável em [a, b] e k é um número real arbitrário, então
k f é integrável em [a, b] e
Sb k f(x) dx = k
f f(x) dx
a
a
Prova. Como f é integrável em [a, b], existe o
lim
máx Ax.
O
i i
f(c ) Ax ,
=1
e portanto, podemos escrever
Sb k f(x) dx
a
máx
lim
k f(c Axi
máx exiO
=. 1
n
k
Az
= k
lim
.
O=
ta f(x) dx .
(c. Axi
1
362
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.8.5 Proposição. Se f e g são funções integráveis em [a, b], então f + g é integrável
em [a, b] e
r
a
„(x) ,g(x)1dx f(x) dx +
g(x) dx.
a
a
Prova. Se f é integrável em [a, b] existe o limite
fiC i ) ,\x , que é a fb f(x) dx .
lim
máx Az. --> O
a
i = 1
Se g é integrável em [a, b] , existe o limite
n
lim
máx Ax —> O
E
=
g(c i) Axi , que é a fb g(x) dx .
a
Escrevemos então,
fb+ g(x)1 dx =
a
lim
máxAxi-÷0 i=1
máx
Ç
a
lim
Cffci) + g(c) ) Ax i
f(c i) Axi +
O i = 1máx
lim
O i=1
g(c i )
f(x) dx + g(x) dx
a
Observamos que esta proposição pode ser estendida para um número finito de
funções, ou seja,
Introdução à integração
r [Ti (x) + f2(x) +
a
fi (x) dx + Sb f2 (x) dx
+ fn (x)] dx =
a
363
...
+ fb fn (x)dx
a
Vale também para o caso de termos diferença de funções, isto é,
fb [f(x) — g(x)] dx = r f(x) dx —
a
a
a
g(x) dx .
6.8.6 Proposição. Se a <c <b e f é integrável em [a, c] e em [c, b], então f é
integrável em [a, b] e
fb flx) dx = f(x) dx + f b f(x) dx .
a
a
c
Prova. Consideremos uma partição no intervalo [a, b] de tal forma que o ponto c
(a < c < b) seja um ponto da partição, isto é, c = xi , para algum i.
11111111
Podemos dizer que o intervalo [a, c] ficou dividido em r subintervalos e
[c, b] em (n — r) subintervalos. Escrevemos as respectivas somas de Riemann
=
f(c i ) Axie
=r+
J(c)&i
Então,
f(c Axi +
f(c i ) Axi =
=
=
,Aci) Axi
=r+
364
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Usando a definição de integral definida, vem
fb flx) dx
a
f(ci) Axi
lim
máxhai -› o
1
(
r
lim
fici)Axi +
máx Azi -> O
i =1
llm
f(ci)Axi
=r+1
f(ci)Axi + lim
MáJC AXiO
flc)Axi
MáX AXi -> O i=r+i
i
f(x) dx + fb fix) dx
a
c
Esta propriedade pode ser generalizada: "Se f é integrável em um intervalo
fechado e se a, b, c são pontos quaisquer desse intervalo, então
fb flx) dx = S c f(x) dx + fb fix) dx ."
a
a
c
A Figura 6.5 ilustra a proposição 6.8.6, para o caso em que f(x) > O. A área
do trapezóide ABCD adicionada à área do trapezóide BEFC é igual à área do trapezóide
AEFD.
Figura 6-5
Introdução à integração
365
6.8.7 Proposição. Se f é integrável e se f(x) >_ O para todo x em [a, b], então
Sb f(x) dx O .
a
Prova. Como .Ac i ) O para todo ci em [xi_ 1 , xi ], segue que
f(c i) AxiO .
=1
Portanto,
n
lim
O
MáXAXi -4
=1
.Ac i )A ^. O
e dessa forma f b f(x) dx O .
a
6.8.8 Proposição. Se f e g são integráveis em [a, b] e f(x) g(x) para todo x em
[a, b], então
.ftx)
dx r g(x) dx .
a
a
Prova. Fazemos
I = r f(x) dx
a
—
a
g(x) dx .
366
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Devemos mostrar que 1 _^ O. Usando a proposição 6.8.5, podemos escrever
1 = Sb f(x) dx — jb g(x) dx
a
a
= fb Ú(x) — g(x)) dx .
a
Como f(x) g(x) para todo x e [a, b] temos que f(x) — g(x) O, para todo
x e [a, b].
Usando a proposição 6.8.7, concluímos que I _^ O.
6.8.9 Proposição. Se f é uma função contínua em [a, b], então
fb f(x) dx
a
Sb I f(x) dx
a
Prova. Se f é contínua em [a, b], então
a)
f é integrável em [a, b];
b)
I f 1 é contínua em [a, b];
c) I f 1 também é integrável em [a, b].
Sabemos que
— I f(x) I f(x) I f(x) I .
Usando a proposição 6.8.8, escrevemos
fb — ifix) dx fb f(x) dx r,fix)I dx .
a
a
a
Introdução à integração
367
Pela proposição 6.8.4, vem
f
— b 1f(x) 1 dx 5
a
a
f(x) dx 5_ fb Igx) 1 dx .
a
Usando a propriedade 1.3.3(i), segue que
a
f(x) dx
s
b f(x) dx
a
Na proposição a seguir, cuja demonstração será omitida, apresentamos o Teorema do Valor Médio para integrais.
6.8.10 Proposição. Se f é uma função contínua em [a, b], existe um ponto c entre a
e b tal que
fb flx) dx = (b — a) f(c) .
a
Seflx) O, x e [a, b], podemos visualizar geometricamente esta proposição.
Ela nos diz que a área abaixo da curva y =f(x), entre a e b, é igual à área de um retângulo
de base b — a e altura f(c) (ver Figura 6.6).
Figura 6-6
■
. 368
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
6.9 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
O teorema fundamental do Cálculo nos permite relacionar as operações de
derivação e integração. Ele nos diz que, conhecendo uma primitiva de uma função
contínua f: [a, b] —> I?, podemos calcular a sua integral definida a
f(t) dt . Com
isso, obtemos uma maneira rápida e simples de resolver inúmeros problemas práticos
que envolvem o cálculo da integral definida.
Para apresentar formalmente o teorema, inicialmente vamos definir uma
importante função auxiliar, como segue.
Tomamos a integral definida
ff(t)dt ,
a
fixamos o limite inferior a e fazemos variar o limite superior. Então, o valor da integral
dependerá desse limite superior variável, que indicaremos por x. Fazendo x variar no
intervalo [a, b], obtemos uma função G(x), dada por
G(x) =
r
a
flt) dt .
Intuitivamente, podemoS compreender o significado de G(x), através de uma
análise geométrica. Conforme vimos na seção 6.8, se f(t) _^ O, V t E [a, b], a integral
a
f(t) dt
representa a área abaixo do gráfico de f entre a e b (ver Figura 6.7(a)).
Da mesma forma,
G(x) =
f
a
f(t) dt
nos dá a área abaixo do gráfico de f entre a e x (ver Figura 6.7(b)). Podemos observar
que G(a) = O e G(b) nos dá a área da Figura 6.7(a).
Introdução à integração
369
Y=f
Y = f(t)
(a)
(b)
Figura 6 7
-
lição.
Vamos agora, determinar a derivada da função G(x). Temos a seguinte propo-
6.9.1 Proposição. Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b]. Então
a função G: [a, b] —> definida por
n
f(t) dt ,
G(x) =
a
tem derivada em todos os pontos x E [a, b] que é dada por
G ' (x) = f(x), ou seja,
dx
,fft) dt = f(x) .
Prova. Vamos determinar a derivada G ' (x), usando a definição
G '(x) = lim G(x + Ar) — G(x)
Ax
Ax —> O
370
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Temos,
G(x)
=
r
a
f(t) dt ;
G(x + Ax)
=
r
+Ax
,f(t)dt ;
a
G(x + dx) — G(x)
= J
+Ax
f(t) dt
a
— J f(t) dt .
a
Usando a proposição 6.8.6, podemos escrever
ix+Ax
j a
f(t) dt
=
r
f(t) dt
a
+ r+Ax f(t) dt
e então,
G(x + Az) — G(x) =
f(t) dt
a+Ax
J
x
+
r
+Ax
f(t) dt
—
f
a
,fit) dt
flt) dt
Como f é contínua em [x, x + Ax}, pela proposição 6.8.10, existe um ponto
x entre x e x + Ax tal que
rx+Ax
f(t) dt = (x + A x — x) f( x )
= f(x ) Ax
-
■
Introdução à integração
371
Portanto,
lim G(x + A x) — G(x) lim
Ar -4 0
Ax o
=
f( ) A x
Ax
Az —> O
).
Como x está entre x e x + Ax, segue que x x quando Ax —> O. Como f é
contínua, temos
lim f(x ) = lim f( x ) = f(x).
Ax —>
X -) X
Logo,
hm
G(. x + A x) — G(x)
Ax
— f(x) , ou seja,
G '(x) = f(x).
Observamos que quando x é um dos extremos do intervalo [a, b], os limites
usados na demonstração serão limites laterais. G '(a) será uma derivada à direita e G' (b)
uma derivada à esquerda.
Uma importante conseqüência desta proposição é que toda função f(x) contínua num intervalo [a, b] possui uma primitiva que é dada por
G(x) =
r
a
f(t) dt .
Outro resultado importante obtém-se da análise geométrica. Voltando à Figura
6.7, podemos dizer que a taxa de variação da área da Figura 6.7(b) com relação a t é
igual ao lado direito da região.
Podemos agora, estabelecer formalmente' o Teorema Fundamental do Cálculo.
372
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.9.2 Teorema. Se f é contínua sobre [a, b] e se F é uma primitiva de f neste
intervalo, então
f f(t) dt = F(b)
— F(a) .
b
a
Prova. Como f é contínua sobre [a, b], pela proposição 6.9.1, segue que
G(x) =
r
a
f(t) dt
é uma primitiva de f nesse intervalo.
Seja F(x) uma primitiva qualquer de f sobre [a, b]. Pela proposição 6.1.5,
temos que
F(x) = G(x) + C, V x E [a, b].
Como G(a) = ja f(t) dt = O e G(b) = Sb f(t) dt , calculando a diferença
a
a
F(b) — F(a), obtemos
F(b) — F(a)
= (G(b) + c) — (G(a) + c)
= G(b) — G(a)
= fb f(t) dt — O
a
= r f(t) dt
a
Observamos que a diferença F(b) — F(a) usualmente é denotada por
F(t)
b
. Também escrevemos,
a
b
fb f(x) dx = F(x)
a
= F(b) — F(a) .
a
Introdução à integração
373
6.9.3 Exemplos. Calcular as integrais definidas:
(i)
53 x dx .
1
Sabemos que F(x) = x2 é uma primitiva de f(x) = x. Portanto,
2
x dx _ 1
2 x2
(ii)
2
o
3
1
—
32
2
1
-
2
12 9 1 4
2 2
cos t dt
A função F(t) = sen t é uma primitiva de f(t) = cos t. Logo,
Jo
n/2
cos t dt = sen t
= sen —7t — sen O = 1.
2
o
(iii) (x3 — 4x2 + 1) dx .
o
Usando as propriedades da integral definida e o Teorema Fundamental do
Cálculo, temos
(x3 — 4x2 + 1) dx =
1
O
x3 dx — 4 x 2 dx + dx
x4
4
o
—4
x3
3
4
o
1
+ x
1
o
= ( — — O) — ( — — O) + (1 — O)
4
3
= —1/12.
•
374
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(iv)
1
1 x dx
0
X2
±
1
Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida
/
x dx
x2 + 1 •
Para isso, fazemos a substituição u = x2 + 1. Temos então, du = 2x dx ou
x dx =
du
2
—
. Portanto,
du/2
1 du
2 u
J u
•
– 1 ln lul + c
2
1
ln (x2 + 1) + c .
2
–
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
1.1
x dx
J0 x2 + 1
•
1
2
ln (x2 + 1)
1
= – ln 2 –
2
2
1
1
ln 1
In 2 .
Observamos que, para resolver esta integral, também podemos fazer a mudança de variáveis na integral definida, desde que façamos a correspondente mudança nos
limites de integração.
Ao efetuarmos a mudança de variável fazendo u = x2 + 1, vemos que:
x = O
u = 1;
x = 1
u = 2.
■
Introdução à integração
375
Então,
1
-I
x dx
2 du1
2 du/21
—
2 1 u
o x2 ± 1 —
2
2
ln I u I
1
1
1
= — (ln 2 — ln 1) = — ln 2 .
2
(v) 12 x e -X.2 +1 dx .
1
Calculamos primeiro a integral indefinida 1= x e
2
x+1
du
Fazendo u = —x 2 + 1, temos du = —2x dx ou x dx = -- • Assim,
2
= S eu — du — 1 s eu du
—
—1
2
2
2
eu + c
1 c_x2 + + c .
2
Logo,
2
—1
x e - x + 1 dx —
2
.1
x2 + 1
2
—14C + 1 + 1 - 1 + 1
2
2
—
—1 e
3+
2
2
6.10 EXERCÍCIOS
1.
2
Calculando as integrais / 1 = f x2 dx , 12 =
2
x dx
e 13 =
2
dx ,
obtemos // = 7/3, / 2 = 3/2 e I3 = 1. Usando estes resultados, encontrar o valor de:
376
Cálculo A- Funções, Limite, Derivação, Integração
a)
12
b)
c-1) dx
d) 52 (3x + 2) 2 dx
c) 2 (x - 1) (x - 2) dx
2.
2x (x + 1) dx
1
Sem calcular a integral, verificar as seguintes desigualdades:
a)
f
c)
3
(3X2 + 4) dx
1
$ 3(2x2 + 5) dx
1
-1 dx <
b)
-2 X
s3rc✓2
sen x dx O
o
1
5,---
ni2
r
2
-2
- cos x dx O .
3.
Se f Nx2 dx =
7
O
4.
Se
5.
Verificar se o resultado das seguintes integrais é positivo, negativo ou zero, sem calculá-las.
r./
2
o
calcular
9 cos 2 t dt = 9 71 calcular
4 '
a) fo
dx
2
6.
- cos2 O dO.
$2.
b)
0 x + 2
c)
dt.
n
o
3
(2x + 1) dx
1
sen t dt
(X2 — 2x -
3) dx
Determinar as seguintes derivadas:
a)
c)
dx
r2
d
s
d8
"\it
1
4 dt
t sen t dt
I L.
2x A_
dy J 3 x2 + 9 `4-4
m d
Introdução à integração
7.
377
Em cada um dos itens abaixo, calcular a integral da função no intervalo dado e esboçar seu
gráfico.
2x + , — 1 x < O
a) f(x) =
, 0 x<1
5
b) f(x)= I sen x 1 ; em [— ic , ir ]
d) f(x) = x —
Ix1
2
; em [-1, 1]
; em [ —1,1]
c)
flx) = 21x 1 ; em [ — 1, 1]
e) f(x) = sen x + 1 sen x 1 ; em [— ir , 7r]
f) f(x)= sen x + I cos x 1; em [ — TC , rc].
8.
Mostrar que:
a)
c)
jn sen 2x cos 5x dX = 0
-n
-n
b) S-n cos 2x cos 3x dx = O
sen 5x cos 2x dx = 0
(Sugestão: Usar as fórmulas
sen mx sen nx
1
[cos (m n) x — cos (m + n) x] ,
—2
_1
sen mx cos nx
[sen (m + n) x + sen (m — n) x] e
—2
1
cos mx cos nx
[cos (m + n) x + cos (m — n) x] ,
2
onde m e n são dois inteiros quaisquer.)
9.
Se f(x) é contínua e f(x) M para todo x em [a, b], provar que
f
b flx) dx M (b — a) . Ilustrar graficamente, supondo f(x) O.
a
378
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
10. Se f(x) é contínua e m 5f(x) para todo x em [a, b], provar que
m (b - a) fb f(x) dx . Ilustrar graficamente, supondo m > 0.
a
11. Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10, para encontrar o menor e o maior valor possível
das integrais dadas a seguir:
r
a)
3
4
5x dx
b) 1
c) .14 I x - 11 dx
2x2 dX
-2
14 (x4 - 8,12 + 16) dx
-1
Nos exercícios de 12 a 34, calcular as integrais.
12.
14.
16.
18.
20.
22.
24.
-1
s
x(1,_ x ) dx
3
2 dx
1 x
6
dy
o '13y + 1
x2 dx
f1
- 1
1x3 + 9
r- (x2_ 4x + 7) dx
15.
r
17.
7.
19.
,
$ 12t - 4 I dt
-2
5
4 dx
r.,Ix2+ 9
_
13.
'NI2x - 1 dx
3
4
r/4
n/4
1 021c
21.
23.
25.
2t
dt
sen x cos x dx
I sen xl dx
1x2
JJ
o
v
-
3x + 2 dx
v2 dv
- 2 ( 3 — 2)2
dx
,(,,,+,)3
Introdução à integração
26.
28.
30.
32.
Jo
27.
x + x dx
2
cos
x
29.
J7 (1 + sen x) 5 dx
r
ecx
o
1.2 x
*I 1
ri
31.
dx
33.
ln x dx
34.
s -
35.
Seja f contínua em [-a, a]. Mostrar que:
2
sen2 x dx
O
f
O
(2x + 1) - 1 /2 dx
5x3
7x2
- 5x + 2 dx
x2
1
s-
379
2
-3
(t
1 2
) dt
— —
t
8
dx .
x+2
1 x3
o
a) Se f é par então ia f(x) dx = 2 ia f(x) dx .
-a
O
b) Se f é ímpar então f f(x) dx = O .
-a
36. Usar o resultado do exercício 35 para calcular:
a)
c)
fn
2 sen x dx
-rz
fl
-1
b)
cos x
-•
7t
dx
(x4 + x2 ) dx .
6.11 CÁLCULO DE ÁREAS
O cálculo de área de figuras planas pode ser feito por integração. Vejamos as
situações que comumente ocorrem.
380
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.11.1 Caso I. Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas
x = a, x = b e o eixo dos x, ondef é contínua e.fix) O, V XE [a, b] (ver Figura
6.8).
Figura 6-8
Neste caso, a área é dada por
fb f(x) dx .
a
6.11.2 Exemplo. Encontre a área limitada pela curva y = 4 x 2 e o eixo dos x.
A curva y = 4 — x 2 intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa —2 e 2 (ver
Figura 6.9).
Figura 6-9
Introdução à integração 381
No intervalo [-2 , 2], y = 4 — x 2 ^ 0. Assim, a área procurada é a área sob o
gráfico de y = 4 — x2 de —2 até 2. Temos,
A=
2
1
-2
(4 — x2) dx
2
X3
4x — —
3
/ -2
[ (8 — 8/3) —
8—
2 3 \ = 32
—3'
3
)
Portanto, A = 32/3 u • a (32/3 unidades de área).
6.11.3 Caso II. Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas
x = a, x = b e o eixo dos x, ondef é contínua eflx) 0, V x E [a, b] (ver Figura
6.10).
r
a
É fácil constatar que neste caso basta tomar o módulo da integral
f(x) dx , ou seja,
A=
jb f(x) dx
a
N‘N
y= f(x)
Figura 6-10
382
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
6.11.4 Exemplos.
(i)
Encontre a área limitada pela curva y = — 4 + x 2 e o eixo dos x.
A curva y = x2 — 4 intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa —2 e 2 (ver
Figura 6.11).
Figura 6 11
-
No intervalo [-2, 2], y = x 2 — 4 O. Assim,
A =
f2
-2
— 32
3
(x2 — 4) dx
32
3 u.a.
(ii) Encontre a área da região S, limitada pela curva y = sen x e pelo eixo
dos x de O até 27c.
Precisamos dividir a região S em duas subregiões S 1 e S 2 (ver Figura 6.12).
Introdução à integração
383
Figura 6-12
No intervalo [O, n], y = sen x ^ O e no intervalo [n, 2n], y = sen x O. Portanto,
se A l é a área de S 1 e A 2 é a área de S2 , temos
A = A i +A 2
=
o
sen x dx +
= — cos X
1.27t
sen x dx
7C
—
o
cos x
7t
—cos n + cos O + I —cos 2n + cos TC I
— (— 1) + 1 + j — 1 1- (— 1)
= 4 u.a.
6.11.5 Caso III. Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g,
pelas retas x = a ex= b, onde f e g são funções contínuas em [a, b]
e f(x) ^ g(x), V x e [a, b].
Neste caso pode ocorrer uma situação particular onde f e g assumem valores
não negativos para todo x E [a, b] (ver Figura 6.13).
•
384
•
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 6-13
Então a área é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área
sob o gráfico de g, ou ainda,
A
rf(x) dx — g(x) dx
a
a
•
fb (f(x) — g(x)) dx .
a
Para o caso geral, obtemos o mesmo resultado. Basta imaginar o eixo dos x
deslocado de tal maneira que as funções se tornem não-negativas, V x e [a, b].
Observando a Figura 6.14, concluímos que
A'
fb (/ (x) — g 1 (x)) dx
A
a
•
fb (f(x) — g(x)) dx .
a
f
Introdução à integração 385
Figura 6-14
6.11.6 Exemplos
(i) Encontre a área limitada por y = x 2 e y = x + 2.
As curvas y = x2 ey=x+ 2 interceptam-se nos pontos de abscissa -1 e 2 (ver
Figura 6.15).
No intervalo [-1, 2], temos x + 2 x2 . Então,
x2
3
A = $2 (x ± 2- x2) dx = [-2-x
+ 2x' - -3-
22
= —
2
9
= 2 u.a.
23 \
3
)
2
( (-- 1)2(
1) 3
2 + 2 • (- 1) 3
386
Cálculo A
-
Funções, Limite, Derivação, Integração
Figura 6-15
(ii) Encontre a área limitada pelas curvas y = x 3 e y x.
As curvas y = x3 e y = x interceptam-se nos pontos de abscissa -1, O e 1 (ver
Figura 6.16).
t
Figura 6-16
No intervalo [-1, 0], x < x3 e no intervalo [0, 1], x > x3 . Logo,
A = J.° (x3 - x) dx +
-1
o
-1
=1 u.a.
2
O
(x - x3) dx
x2 x4
(—
2 —
4
1
Introdução à integração
387
Observamos que poderíamos ter calculado a área da seguinte forma:
A = 2
O
(x - x3 ) dx =
1
2
-
u.a. ,
pois a área à esquerda do eixo dos y é igual a que se encontra à sua direita.
(iii) Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x 2 - 1 e y = x + 1.
As curvas y = x2 -1 e y = x + 1 interceptam-se nos pontos de abscissa -1 e
2 (ver Figura 6.17).
Figura 6-17
No intervalo [-1, 2], x + 1 _^ x2 - 1. Logo,
A =
2
-1
f
[(x + 1) - (x2 - 1)] dx
2
-1
( x2
2
= 9/2 u.a.
— X2 ± 2)
dx
2
+ 2x
388
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(iv) Encontre a área da região S limitada pelas curvas y - x = 6, y - x3 = O e
2y + x = O.
Devemos dividir a região em duas subregiões S 1 e S 2 (ver Figura 6.18).
Figura 6-18
No intervalo [- 4, O], a região está compreendida entre os gráficos de
y=
x
2
e y= 6+ x (região S i ).
No intervalo [O, 2], está entre os gráficos de y = x 3 e y = x + 6 (região S 2).
Se A l é a área de S 1 e A 2 é a área de S 2 , então a área A procurada é dada por
A = A l + A 2'
Cálculo de A 1-• No intervalo [- 4 , O] , 6 + x - x . Assim,
2
-
A =
-4
[(6 + x) - (-x/2)] dx
J t) ( 6
-4
+
dx
2
Introdução à integração
o
+ 3x2
4
—4
= 12 u.a.
Cálculo de A 2 : No intervalo [O, 2], 6 + x ?_ x3 . Então,
A = j.2 [(6 + x) — x3 ] dx
O
2
6x +
x2 x4
2
4 ) o
= 10 u.a.
Portanto, A = A l + A 2 = 12 + 10 = 22 u.a.
6.12 EXERCÍCIOS
Nos exercícios de 1 a 29 encontrar a área da região limitaria pelas curvas dadas.
y2 = 2x e x2 = 2y
1.
x=1/2, x='■47 e y= x+2
3.
y=5—x2 e y=x+3
4.
y =
5.
y=1—x2 e y=-3
6.
x+y=3 e y+x2 =3
7.
x=y2 , y—x=2 , y2 e y=3
8.
y=x3 x e y=0
9.
y=e' , x=0 , x=1 e y=0
.
10.
x2 e y = 6
—
x = y3 e x = y
389
390
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
11. y=lnx , y=0 e x = 4
12. y=lnx , x=1 e y = 4
13. y = sen x e y = - sen x , x E [O, 2n]
14. y = cos x e y = -cos x, x e
3n 1
22
7G
[
- -
15. y = coshx , y=senhx , x=-1 e x=1
16. y = tgx , x=0 e y=1
17. y=e-x , y=x+1 e x = -1
18. y=sen2x , y=x+2 , x=0 e x=7"c/2
19. y=-1-x2 , y=-2x-4
20. y = cos x , y -
21. y -
22.
- 33
7t 4n
x+
5n
10 x E 2 3
1
1
- ,y= 2x+lex=-3
x - 11 ,y= x
1
x = y2 e y = - - x
2
23. y=4 -x2 e y = x2 - 14
y=rx e y=4
24. x=y 2 +1 e x+y=7
25. y= x ,
26. y = arc sen x , y = na e x = O
2 , x=-2,x=-2ey=0
27. y = 2cosh X
28. y=lx- 2 I e y = 2 - (x- 2) 229. y = - 1 , y= -x e x = 1.
30. Encontrar a área das regiões S1 e S2 , vistas na figura a seguir
Introdução à integração
391
CAPÍTULO 7
MAKRON
Books
MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO
Neste capítulo, apresentaremos, inicialmente, alguns métodos utilizados para
resolver integrais envolvendo funções trigonométricas.
A seguir veremos a integração por substituição trigonométrica e a integração
de funções racionais por frações parciais.
Finalmente, abordaremos as integrais racionais de seno e cosseno usando a
substituição universal e as integrais envolvendo raízes quadradas de trinômios do
segundo grau.
7.1 INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
7.1.1 As integrais
f sen u du e f cos u du .
As integrais indefinidas da função seno e da função cosseno estão indicadas
na tabela da Seção 6.1.9. Temos,
f sen u du =— cos u+ C e
f cos u du -= sen u + C .
392
Métodos de integração
393
7.1.2 Exemplos. Calcular as integrais:
(i) J (x + 1) sen (x + 1) 2 dx .
Usando o método da substituição (Seção 6.3), fazemos u = (x + 1) 2 . Então,
du = 2 (x + 1) dx. Temos,
+ 1) sen (x + 1) 2 dx
(x
=
21 sen u du
1
= — — cos u + C
2
= — — cos (x + 1) 2 + C .
2
(ii)
o
cos (e 2x) dx .
Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida
I = e2x cos (e2x) dx
Para isso, fazemos a substituição u = e 2x . Temos então, du = 2e 2x dx. Portanto,
1
=
— cos u du
2
1
= — sen u + C
1
= — sen (e2x) + C .
2
394
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
f
o
cos (e2') dx =
2
sen (e2')
= 2 (sen e 2 - sen 1) .
7.1.3 As integrais 1 tg u du e
..
f cotg u du .
As integrais indefinidas da função tangente e da função cotangente são resolvidas usando o método da substituição, como foi visto no exemplo 6.3.1(iv). Temos,
$ tg u du =
sen
J cos uudu
= - ln I cos u I + C
= in I (cos u)-1 I + C
= ln I sec u I + C ;
e
cotg u du =
cos u
f sen u
du
= ln I sen u I + C .
7.1.4 Exemplos. Calcular as integrais
(i)
tg .■[:í dx
f.X •
.-
Métodos de integração
395
1
Fazemos u = c . Então, du — , dx . Temos,
2 •Nlx
f tg.N/lx
(ii)
dx = 21n I sec
S cotg (ln x)
I + C.
dx .
Fazemos u =1n x. Então, du = llx dx. Temos,
r cotg (In x)
x
dx = in I sen (ln x)1 + C .
7.1.5 As integrais sec u du e
cosec u du .
Nestas integrais usamos um artifício de cálculo para podermos aplicar o
método da substituição.
Na integral da secante, multiplicamos e dividimos o integrando por sec u + tg u.
Temos,
f sec u du =
sec u (sec u + tg u)
du.
sec u + tg u
Fazemos v = sec u + tg u. Então, dv = (sec u • tg u + sec 2 u) du. Portanto,
5 sec udu
dv
v
= ln lv + C
= In I sec u + tg u I + C .
396
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Na integral da cossecante, multiplicamos e dividimos o integrando por
cosec u - cotg u. Temos,
cosec u du J
cosec u (cosec u - cotg u)
du .
cosec u - cotg u
Fazemos v = cosec u - cotg u. Então,
cosec u cotg u - (- cosec 2 u)] du
dv =
(cosec 2 u - cosec u • cotg u) du.
Portanto,
cosec u' du =
dv
v
= lnlvl+C
= ln I cosec u - cotg u I + C.
7.1.6 Exemplos.
(i)
Calcular as integrais
J sec (5x - n) dx .
Fazemos u = 5x sec (5x - ic) dx
\\
7L. Então,
du = 5dx. Portanto,
('
yn
1
sec u du
5
=
=
j,,`,,(\)(
-
1
ln sec (5x - n) + tg (5x - n) + C .
5
-
Métodos de integração
(ii)
397
3
d
:6 sen 2 0
1
Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida
í
d
sen 2 0
Para isso, fazemos u = 28. Então, du = 2d0. Portanto,
1 send20
cosec 20 de
1 cosec u du
2
1
= — ln 1 cosec 20 — cotg 201 + C .
2
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
n/3
r/3
d9
1
—
ln cosec 2 8— cotg 2 8
4/6
se n 2
2
1
27t
27c
= — ln cosec — — cotg —
2
3
3
1
= — ln 3.
2
n/6
-
2
cosec
IC
Ir
— cotg —
3
3
—
398
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
7.2 INTEGRAÇÃO DE ALGUMAS FUNÇÕES
ENVOLVENDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
7.2.1 As integrais sen a u du e S cosa u du , onde n é um número
inteiro positivo.
Nestas integrais, podemos usar artifícios de cálculo com auxílio das identidades trigonométricas
sen2 x + cos 2 x =1
sen2 x —
cos 2 X
—
1 — cos 2x
2
1 + cos 2x
2
3
visando a aplicação do método da substituição. Os exemplos que seguem ilustram os
dois possíveis casos: n é um número ímpar ou n é um número par.
Estas integrais também podem ser resolvidas com auxilio das fórmulas de
redução ou recorrência, conforme veremos na Seção 7.2.11.
7.2.2 Exemplos. Calcular as integrais
(i)
cos5 x dx .
Vamos inicialmente preparar o integrando para a aplicação do método da
substituição. Observamos que o artifício que usaremos é válido sempre que n for um
número ímpar.
Fatorando convenientemente o integrando e aplicando a identidade (1), temos
cos 5 x = (cos 2 x) 2 • cos x
= (1— sen2 x) 2 cos x
Métodos de integração
399
= (1 — 2 sen2 x + sen4 x) cos x
= cos x — 2 sen 2 x cos x + sen 4 x cos x.
Portanto,
cos 5
x
dx
(cos x
—
cos x dx
2 sen 2 x cos x
—
2
J sen
2
x
+
sen4 x cos
cos x dx +
J sen
2
1
= sen x — —
sen a x + — sen" x + C .
3
(ii)
5
f sen3 29 d0 .
Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, temos
sen3 20 = sen 2 29 sen 20
(1— cos e 20) • sen 20
sen 20 — cos 2 20 sen 20.
Portanto,
f sen 29 d0
3
=
J
=
(sen 20 — cos 2 20 sen 20) d0
sen 20 d0 — cos 2 29 sen 20 de
1
1
= — — cos 29 + — cosa 29 + C .
2
6
x) dx
il
x
cos x dx
400
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
(iii) f seno x dx .
Neste exemplo n é um número par. Na preparação do integrando, usamos agora
as identidades (2) e (3). Temos,
sen4 X = (sen2 )2
1 — cos 2x
,2
2
1
= — (1 — 2 cos 2x + cose 2x)
4
-""
1
4
1 — 2 cos 2x +
1 + cos 4x
2
3
1
= — — cos 2x +
cos 4x .
8 2
8
Portanto,
J seno x dx =
1
1 cos 2x + — cos 4x) dx
1
38 x — 1
=—
—
4 sen 2x +
sen 4x + C .
Observamos que o raciocínio usado neste exemplo é válido para as potências
pares.
7.2.3 A integral senm u cosa u du, onde m e n são inteiros positivos.
Nestas integrais, a preparação do integrando deve ser feita visando à aplicação
do método da substituição, da mesma forma que foi feito em 7.2.1 e 7.2.2.
Métodos de integração
401
Quando pelo menos um dos expoentes é ímpar usamos a identidade (1) e
quando os dois expoentes são pares usamos (2) e (3) e, eventualmente, também (1).
7.2.4 Exemplos. Calcular as integrais
(i)f sen x • cos x dx
5
2
Preparando o integrando, temos
sen5 x cos 2 x = (sen2 x) 2 • sen x • cos 2 x
= (1— cos 2 x) 2 • sen x cos x
= (1 — 2 cos 2 x + cos4 x) sen x cos2 x
= cos 2 x sen x — 2 cos 4 x sen x + cos 6 x sen x.
Portanto,
sen5 x cos 2 x dx =
(cos2 x sen x — 2 cos 4 x sen x + cos 6 x sen x) dx
cos 2 x sen x dx — 2 cos4 x sen x dx
+ cos 6 x sen x dx
1
— 2
5
cos x — cos' x + C .
cos" x +
31
5
—
(ii)
sen2 x cos4 x dx .
Preparando o integrando, temos
402
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
sen2 x cos 4 x = sen2 x • (cos 2 x) 2
1 + cos 2x
1 - cos 2x
2
=
1
2
2
(1 + cos 2x - cos 2 2x - cos a 2x)
1
- [ 1 + cos 2x 8
1
1
1 +co
s 4x
= — - — cos 4x +
16
16
2
1
- (1 - sen2 2x) cos 2x
sen2 2x cos 2x .
Portanto,
1
1
f sen2 x cos4 x dx = f — - — cos 4x + - sen2 2x cos 2x dx
16 16
8
-
11
1
x
sen 4x + sen a 2x + C .
16
64 4 8
sen4 x cos4a
x x, .
(iii)
Quando m e n são iguais, também podemos usar a identidade
1
sen x cos x = - sen 2x.
2
(4)
Temos,
4
sen4 x
COS
4
x = -2 sen 2x
1
= 16 (sen 2 24 2
Métodos de integração
1
16
---
-
64
403
1 — cos 4x \2
r
2
(1 — 2 cos 4x + cos e 4x)
1 (
1 — 2 cos 4x +
64
31
—
128
32
cos 4x +
1 +cos 8x
2
1
128
cos 8x .
Portanto,
seno x cos o x dx
31
1
—
cos 4x +
cos 8x dx
128
32
1288
=
-
1288
1
sen 4x + sen 8x + C .
12 8 1024
7.2.5 As integrais tgn u du e cote u du, onde n é inteiro positivo.
Na preparação do integrando, usamos as identidades
tg2 u = sec 2 u — 1 e
(5)
cotg2 u = cosec 2 u — 1.
(6)
Os artifícios são semelhantes aos usados nas seções anteriores. Temos,
tez u = tgn u tg2 u
= tgn- 2 u (sec 2 u — 1)
• •
404
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
e
cotg" u = cotg" -2 cotg2 u
cotg" u (cosec 2 u — 1).
7.2.6 Exemplos. Calcular as integrais
(i) f tg3 30 d0 .
Preparando o integrando, temos
tg3 30 = tg 30 • tg 2 30
tg 30 (sec 2 30 —1)
-
tg 30 sec 2 30 — tg 30.
Portanto,
tg3 30 de
(tg 30 sec 2 30 — tg 30) d0
•
(ii)
1
1
— tg2 30 + — ln I cos 30 I + C .
6
3
cotg4 2x dx .
Preparando o integrando, temos
cotg4 2x
cotg2 2x • cotg2 2x
•
cotg 2 2x (cosec 2 2x -1)
Métodos de integração
405
= cotg2 2x • cosec 2 2x — cotg 2 2x
cotg 2 2x cosec 2 2x — (cosec 2 2x — 1)
cotg2 2x • cosec2 2x — cosec 2 2x + 1.
Portanto,
cote 2x dx =
(cotg2 2x cosec 2 2x — cosec 2 2x + 1) dx
=—
1
1
cotg -2 2x + — cotg 2x + x + C .
6
2
—
7.2.7 As integrais seca u du e coses" u du, onde
n é inteiro posi-
tivo.
Estas integrais, para o caso de n ser um número par, são resolvidas utilizando
as identidades (5) e (6). Temos,
n-2
secn x = (sec 2 x)
2 •
sec 2 x
n-2
2
= (tg X + 1)
2 •
sec 2 x
e
n-2
COSeC n x =
(cosec 2 x) 2c
osec 2 x
n-2
= (cotg 2 x + 1) 2c
osec 2 x .
Quando n for ímpar, devemos aplicar o método da integração por partes visto
na Seção 6.5.
406
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
7.2.8 Exemplos. Calcular as integrais
(i)
cosec6 x dx .
Preparando o integrando, temos
(cosec2 x) 2 cosec 2 x
cosec 6 x
•
(cotg 2 x + 1) 2 • cosec 2 x
•
(cotg 4 x + 2 cotg2 x + 1) cosec 2 x
•
cotg4 x cosec 2 x + 2 cotg 2 x cosec 2 x + cosec 2 x.
Portanto,
_r
x dx
=
cosec 6
(cotg4 x cosec 2 x + 2 cotg 2 x cosec 2 x + cosec2 x) dx
= - - cotg5
5
(ii)
2
- cotg3 - cotg x + C .
3
seca x dx .
Nesta integral, vamos usar o método de integração por partes. Seja
u = sec x
du = sec x • tg x dx
dv = sec 2 x dx
v =
sec2 dx = tg x .
Então,
seca x dx = sec x • tg x - tg x • sec x • tg x dx
Métodos de integração
=
sec x • tg x
tg2 x sec x dx
=
sec x • tg x
(sec2 x
1) sec x dx
sec3 x dx +
sec x tg x
407
sec x dx
Adicionando sec a x dx a cada membro, obtemos
2 sec 3 x dx = sec x tg x + sec x dx
= secxtgx+lnIsecx+tgx1
OU
f sec
3
1
1
x
dx =2 sec x tg x + ln 1 sec x + tg x I -F C .
—
—
7.2.9 As integrais f tg m u seca u du e cotgm u cosecn u du, onde m e
n são inteiros positivos.
Quando m for ímpar ou n for par, podemos preparar o integrando para aplicar
o método da substituição.
Quando m for par e n for ímpar a integral deve ser resolvida por integração
por partes. Os exemplos que seguem ilustram os diversos casos.
7.2.10 Exemplos. Calcular as integrais
(i)
te x secó xdx.
Neste exemplo n é par. Podemos, então, preparar o integrando para aplicar o
método da substituição. Temos,
408
Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
te x sec 6 x = te x(sec 2 x) 2 sec 2
te x(tg 2 x + 1) 2 sec 2 x
te x (tg4 x + 2 tg2 x + 1) sec 2 x
tg 11 x seu
se c2 X + 2 tg9
x sec2 x + te x sec 2 X.
Portanto,
(tg 11 x sec 2 x + 2tg 9 x sec2 x + tg 7 x sec2 x) dx
tg7 x sec 6 x dx =
1
112 x + -1 tg
10 x + tg8 x + C .
12 tg
5
8
(ii) f te x sec5 x dx .
Neste exemplo m é ímpar. Podemos, então, preparar o integrando como segue
te x sec 5 x = (tg 2 x) 3 tg x sec 4 x sec x
= (sec 2 x - 1) 3 seê x sec x tg x
= (sec l° x - 3 sec 8 x + 3 sec 6 x - sec4 x) sec x tg x.
Portanto,
te x sec5 x dx =
c l° x - 3 sec 8 x + 3 sec 6 x - sec4 x) sec x tg x dx
1
11
3
7
1
secll x - 1- sec
9 x + sec x - - sec5 x + C .
3
7
5
Observamos que, no exemplo (i), poderíamos preparar o integrando de forma
idêntica à preparação do exemplo (ii), pois m = 7, isto é, m é ímpar. Os resultados
seriam equivalentes.
Métodos de integração
(iii)
409
tg2 x sec3 x dx .
Reescrevendo o integrando, temos
tg2 x sec a x dx = f (seca x — 1) sec 3 x dx
(sec5 x — sec 3 x) dx
1
sec 5
sec
CLÃ.
j. seca x dx .
Recaímos em duas integrais que devem ser resolvidas por partes, como foi
feito no exemplo 7.2.8(ü). Temos,
f
tg2 x sec3 x dx = f sec 5 x dx — f sec 3 x dx
1
1
= —
sec a x tg x — — sec x tg x
4
8
1
— — ln I sec x + tg x I + C .
8
Observamos que as integrais sec 5 x dx e ; sec3 x dx também podem ser
calculadas usando a fórmula de recorrência que será dada na seção seguinte.
7.2.11 Fórmulas de Redução ou Recorrência.
O método de integração por partes pode ser usado para obtermos fórmulas de
redução ou recorrência. A idéia é reduzir uma integral em outra mais simples do mesmo
tipo. A aplicação repetida dessas fórmulas nos levará ao cálculo da integral dada.
As mais usadas são:
1
n—1
sena u du = —1 sena - 1 u cos u +
senn-2 u du ;
(7)
410
Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
1
j" cos a u du =
-
n
cosa 1 u sen
-
u+
n-1
cos" u du ;
n
(8)
1
secn - 2 u tg u + n
2 secn - 2 u du ;
n - 1
n-1
secn u du -
cosecn u du -
-1
n-2
coses" -2 u cotg u + -1J COSeC n- 2 u du .
n-1
n
(9)
(10)
Prova de (7). Seja
u = senn-1 u
du* = (n - 1) senn -2 u cos u du
dv = sen u du
v
sen u du = - cos u .
Integrando por partes, vem
sena u du = senn -1 u (- cos u) -
- cos u) • (n - 1) • senn -2 u • cos u du
= - senn -1 u cos u + (n - 1) S senn -2 u cose u du
= - senn -1 u cos u + (n - 1) 5 senn -2 u (1 - sen2 u) du
- senn -1 u cos u + (n - 1)
5
(senn -2 u - senn u) du
= - senn -1 u cos u - -1) senn u du
+ n - 1) senn 2 u du .