Colégio Pedro II
Exercícios de:
UNIDADE CENTRO
Departamento de
Matemática.
APOIO – 1º ano – Ensino Médio
Data:
Aluno(a):
Turma:
nº.:
Turno: Tarde
Professores: Denise, Claudio Dias, Sérgio Serrano e Sérgio Jr
FUNÇÕES
1. (UFPR) Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem
uma pesquisa de preções, os estudantes receberam de uma empresa a seguinte proposta, na qual o preço de cada
passagem depende do total de passageiros: cada passageiro pagará R$90,00 mais o valor de R$5,00 por lugar
que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo que o ônibus tem 52, lugares, calcule:
a) A expressão da função P, que calcula o preço de cada passagem considerando que viajam x passageiros.
b) O total arrecadado pela empresa pelo pagamento de 40 passageiros.
2. Tome uma folha de papel em forma de quadrado de lado igual a 21 cm e
nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme a Figura 1. A seguir, dobre-a, de
maneira que o vértice D fique sobre o "lado" AB (Figura 2). Seja D’ esta
posição do vértice D e x a distância de A a D’. A função que expressa a área
do triângulo retângulo sombreado em função de x é:
3. Uma turma de torcedores de um time de futebol quer encomendar camisetas com o emblema do time para a
torcida. Contataram com um fabricante que deu o seguinte orçamento:
• Arte final mais serigrafia: R$90,00 independente do número de camisetas.
• Camiseta costurada, fio 30, de algodão: R$6,50 por camiseta.
Quantas camisetas devem ser encomendadas com o fabricante para que o custo por camiseta seja de R$7,00?
4. (Puccamp) Pesquisas mostram que, em modalidades que exigem bom
condicionamento aeróbico, o coração do atleta dilata, pois precisa trabalhar
com grande volume de sangue. Em um esforço rápido e súbito, como um saque
no tênis, uma pessoa normal pode ter o pulso elevado de 70 a 100 batimentos
por minuto; para um atleta, pode se elevar de 60 a 120 bpm, como mostra o
gráfico. Se o aumento dos batimentos cardíacos de uma pessoa normal ocorre
de forma linear, então os números de batimentos cardíacos do atleta e de uma
pessoa normal serão iguais, após quantos segundos do momento do saque?
a) 0,8
b) 0,78
c) 0,75
d) 0,64
e) 0,6
5. (UEG) Em uma fábrica, o custo de produção de 500 unidades de camisetas é de R$ 2.700,00, enquanto o custo
para produzir 1.000 unidades é de R$ 3.800,00. Sabendo que o custo das camisetas é dado em função do número
produzido através da expressão C(x) = qx + b, em que x é a quantidade produzida e b é o custo fixo, determine:
a) Os valores de b e de q.
b) O custo de produção de 800 camisetas.
6. O preço do gás natural para um consumidor residencial na Cidade do Rio de Janeiro é obtido a partir das
informações: 1) O consumidor paga pelo que gasta de acordo com quatro níveis de consumo: Os sete primeiros
metros cúbicos custam R$ 2,20 cada, os próximos dezesseis já custam
mais caro, R$2,90 cada. 2) Se o consumo for acima desses 23, mais caro
fica (R$ 3,60 por cada metro cúbico). E ainda existe mais uma faixa. Por
exemplo, se o consumo da sua casa for de 25 m³, você deverá pagar: 7 ×
2,20 + 16 × 2,90 + 2 × 3,60 = R$ 69,00.
a) Quanto pagará uma família cujo consumo for de 85 m³?
b) Escreva uma expressão que dê o valor pago por uma residência cujo consumo mensal, N, está entre 8 e 23
m³/mês.
7. (PUCMG) De acordo com certa revista, o peso ideal do corpo adulto em função da altura é dado pela fórmula
a  150 , em que P é o peso, em quilogramas, a é a altura, em centímetros, b = 4, para homens e para
P  a  100 
b
mulheres, b = 2. Se André e Simone, que têm a mesma altura, estão com seu peso ideal, segundo a informação
dessa revista, e André pesa 6 quilos a mais do que Simone, pode-se afirmar que o peso de Simone, em
quilogramas, é igual a:
8. Seja a função f(x – 4) = x³ + 1, calcule o valor de f(-3) + 4.f(5) – f(0).
9. Observe os gráficos das funções mostradas e responda:
a) Determine o
domínio e a imagem de cada função:
D(h) = __________
D(g) = _________
D(f) = ____________
D(t) = _____________
Im(h) = __________
Im(g) = _____________
Im(f) = ___________
Im(t) = ____________
b) Encontre o valor de h(-2) + h(2) = _______
c) Que número real possui imagem 2 na função y = t(x)? ______
d) Qual a maior imagem, h(-2) ou t(-2)? __________Justifique. _______________________
e) Em que intervalo h(x) < 0? ____________
f) Em que intervalo g(x) é crescente? _________
g) Em que intervalo t(x) é crescente? __________________ e decrescente? __________________
10. (UFRJ) Uma função f(x) tem o gráfico mostrado.
a) Qual o domínio de f? ____________
b) Qual a imagem de f? _____________
c) Qual o valor de f(f(-1))? ________
d) Quantos zeros há no intervalo [-3, -1]? _____
e) Que valor possui imagem 2? _______
f) Qual a imagem da abscissa 5? __________
g) Em que intervalo f é crescente? __________
11. Dadas as funções f(x) = 2x – 3 e g(x) = x2 – 2, determine o valor de:
a) f( 2) = _________
b) f(-1) = _________
e) f(-3).g(-3) = _______
f) g(0) = ________
3
 = ________
2
f  4
c) f 
g)
 
g2 6
= ______
d) f(0) = _________

h) g (3)
 f 1 / 2 = _______
Soluções
1.
a)
Solução. Observe o quadro que mostra a situação informada.
Nº de passageiros
1
4
...
x
Passageiros faltosos
(52 – 1)
(52 – 4)
...
(52 – x)
Preço da passagem
90 + (52 – 1).5
90 + (52 – 4).5
...
90 + (52 – x).5
A função será P(x) = 90 + (52 – x).5.
b)
Solução. Se comparecerem 40 passageiros, então o custo de cada passagem será:
P(40) = 90 + (52 – 40).5 = 90 + (12).5 = 90 + 50 = R$150,00. O total arrecadado será: (40).(R$150,00) =
R$6000,00.
2.
Solução. Observando o triângulo retângulo sombreado e calculando y em função de x para a expressão da
área, temos:
i) (21  y )²  y ²  x ²  441 42y  y ²  y ²  x ²  y 
441 x ²
42
.
 441 x ² 
x.

x.y
441x  x ³
 441 x ² 
 42 
ii) Área 
 A( x ) 
 x.
  A( x ) 
2
2
84
 84 
3.
Solução. Considere x o número de camisetas encomendadas. O custo total será C = 90 + 6,50x. Igualando
o custo unitário a R$7,00, temos:
90  6,5x
90
 7  90  6,5x  7x  7x  6,5x  90  0,5x  90  x 
 180 camisa .
x
0,5
4.
Solução. Observando os triângulos sombreados e estabelecendo as razões de semelhanças, temos:
y  60
x0

 2y  120  40x 
i) 100  60 2  0
.
 y  20x  60
y  70
x0
 4y  280  30x 
.
40
 2y  15x  140
ii) 100  70

Resolvendo o sistema com as duas equações, temos:
y  20x  60  (  2)  2y  40x  120



.
2y  15x  140
2y  15x  140
 25x  20  x 
20
 0,8
25
5.
Solução. Substituindo os valores indicados na lei da função, temos:
2700  q.( 500)  b  ( 1)
 500q  b  2700
1100 11

 500q  1100  q 


500
5 .
a) 3800  q.(1000)  b
1000q  b  3800
11
 b  2700  (500)  2700  1100  1600
5
b) C( x) 
11x
11.( 800)
 1600  C(800) 
 1600  11(160)  1600  1760  1600  R$3360,00 .
5
5
6.
a)
Solução. Observe que a decomposição de 25 em parcelas foi: 7 + 16 +
2.
No caso de 85m³ será: 7.(2,20) + 16.(2,90) + 60.(3,60) + 2.(3,77) =
R$15,40 + R$46,40 + R$216,00 + R$7,54 = R$285,34.
b)
Solução. O valor está na 2ª faixa. Será paga a quantia da 1ª faixa, R$15,40 e o restante custará (N – 7).2,90.
Desenvolvendo temos: Valor = 15,4 + 2,9N – 20,3 = 2,9N – 4,9.
7.
Solução. Se o peso de André é P, o peso de Simone será (P – 6). Substituindo os valores na fórmula,
temos:
a  150
4P  250
 4P  4a  400  a  150  3a  4P  250  a 
4
3
.
a  150
Simone : P  6  a  100 
 2P  12  2a  200  a  150  a  2P  50  12  a  2P  38
2
4P  250
136

 2P  38  4P  250  6P  114  2P  174  P 
 68kg  André  Simone : (68  6)  62kg
3
2
André : P  a  100 
8.
Solução. Calculando os valores em cada caso, temos:
x  4  3  x  1
 f ( 3)  f (1  4)  (1)³  1  2

f ( x )  x ³  1
.

 x  4  5  x  9

f
(
5
)

f
(
9

4
)

(
9
)³

1

731

f
(

3
)

4
.
f
(
5
)

f
(
0
)

2

4
.(
730
)

65

2922

65

2857

f ( x )  x ³  1
 x  4  0  x  4

 f (0)  f ( 4  4)  ( 4)³  1  65
f ( x )  x ³  1

9.
a) Determine o domínio e a imagem de cada função:
D(h) = [-2, ∞[
D(g) = R – {5}
Im(h) = [-1, ∞[
Im(g) = R – {-1}
D(f) = R – {1}
Im(f) = R – {0}
D(t) = [-3, 1]
Im(t) = [-1, 4]
b) Encontre o valor de h(-2) + h(2) = (1) + (-1) = 0.
c) Que número real possui imagem 2 na função y = t(x)? t(-3) = 2. Logo, x = -3.
d) Qual a maior imagem, h(-2) ou t(-2)? h(-2). Justifique. h(-2) = 1 e t(-2) = -1. Logo, h(-2) > t(-2).
e) Em que intervalo h(x) < 0? ]0, 3[
f) Em que intervalo g(x) é crescente? Em todo o domínio.
g) Em que intervalo t(x) é crescente? [-2, 1] e decrescente? [-3, -2]
10. .
a) Qual o domínio de f? [-3, 6]
b) Qual a imagem de f? [-1, 5]
c) Qual o valor de f(f(-1))? f(f(-1)) = f(2) = 5
d) Quantos zeros há no intervalo [-3, -1]? 2 (o gráfico
intercepta o eixo X por duas vezes neste intervalo.
e) Que valor possui imagem 2? {-3, -1, 5}
f) Qual a imagem da abscissa 5? f(5) = 2
g) Em que intervalo f é crescente? [-2, 2]
11.
a) f( 2) = 2(2) – 3 = 4 – 3 = 1.
d) f(0) = 2(0) – 3 = -3.
f) g(0) = (0)2 – 2 = -2
b) f(-1) = 2(-1) – 3 = -2 – 3 = -5.
e) f(-3).g(-3) = [2(-3) – 3].[(-3)2 – 2] = [-6 – 3].[9 – 2] = (-9).(7) = - 63.
g)
f  4
2 4  3
  2 6 
=
2
g2 6

h) g (3)
3
3
 = 2   3  3  3  0 .
2
2
c) f 
 f 1 / 2 = (3)2  2  2 
 1
2   3
 9  2
13
2
 7

2
83
11
1

 .
24  2
22
2

1
1

.
2
49
7
FUNÇÃO AFIM
1. Seja f uma função do primeiro grau tal que f(2) = 7 e f(5) = 13, calcule o valor de f(-1).
2. Se f(x) = 3x + 2, qual o valor de x para que f(x) = 5?
3. A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b tem o gráfico esboçado. O coeficiente
linear e o zero da função são, respectivamente:
a) 3 e 3
b) 5 e 3
c) 3 e 5
d) 5 e 5
e) 5/3 e 3/5
4. O gráfico da função y = 5x + m – 1 corta o eixo y no ponto de ordenada 3. Determine o valor de m.
5. (Unicamp) O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q 0 fixo, mais um valor que varia
proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram
percorridos 3,6km, a quantia cobrada foi de R$8,25 e que em outra corrida, de 2,8km a quantia cobrada foi de
R$7,25.
a) Calcule o valor inicial de Q0
b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$75,00 em 10 corridas, quantos quilômetros seu carro
percorreu naquele dia?
6. (FAAP) – Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, aproximadamente,
3ºC a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura e de 25ºC. Nessas
condições, podemos afirmar que a temperatura a 1500m de profundidade e:
a) 7ºC
b) 45ºC
c) 42ºC
d) 60ºC
e) 67ºC
7. (UFPE) A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao longo do dia. Em certo dia, a concentração de
poluentes no ar, às 8h, era de 20 partículas, em cada milhão de partículas, e, às 12h, era de 80 partículas, em cada
milhão de partículas. Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é uma função do 1º grau (função
afim) no tempo, qual o número de partículas poluentes no ar em cada milhão de partículas, às 10h20min?
a) 45
b) 50
c) 55
d) 60
e) 65
8. (UEL) - Se f e uma função do primeiro grau tal que f(120) = 370 e f(330) = 1000, então f(250) é igual a:
a) 760
b) 590
c) 400
d) 880
e) 920
9. (UFSE) Na figura mostrada tem-se o gráfico da função do 1º grau definida por y = ax + b. O valor de a/b é igual
a:
a) 3
b) 2
c) 3/2
d) 2/3
e) 1/2
Soluções
1.
Solução. Os pontos pertencem ao gráfico, logo satisfazem à lei da função f(x) = ax + b. Temos:
7  a(2)  b
2a  b  7  ( 1)  2a  b  7


 3a  6  a  2

13  a(5)  b 5a  b  13
5a  b  13
b  7  2(a)  7  2(2)  7  4  3
.
A função é : f ( x )  2x  3. Logo, f ( 1)  2( 1)  3  2  3  1
2.
Solução. Substituindo os valores na lei da função, temos:
f ( x )  2x  3
2
 2x  3  5  2x  5  3  x   1 .

2
f ( x )  5
3.
Solução. Observe que a reta passa pelos pontos (0, 3) e (5, 0). Encontrando a lei
da função, temos:
3  a(0)  b  b  3
3
 5a  3  a  

5
0  a(5)  3
f (0)  3  coef. linear
3

A função é : f ( x )   x  3. Logo, 
3
3
5
0   5 x  3  5 x  3  x  5
.
OBS: O coeficiente linear é o ponto onde o gráfico intersecta o eixo Y e o zero da função é o ponto onde o
gráfico intersecta o eixo X.
4.
Solução. O ponto de corte é (0,3). Substituindo os valores na lei da função, temos:
P(0,3)  y  5x  m  1  3  5(0)  m  1  m  3  1  4 .
5.
a)
Solução. A função é afim e as informações correspondem aos pontos (3,6; 8,25) e (2,8; 7,25). Substituindo
e resolvendo o sistema, temos:
8,25  3,6a  Q 0
8,25  3,6a  Q 0
1

 1  0,8a  a 
 1,25

0,8
7,25  2,8a  Q 0  ( 1)  7,25  2,8a  Q 0
Q 0  8,25  3,6(1,25)  8,25  4,5  3,75
.
A função é : f ( x )  1,25x  3,75. Logo, Q 0  R$3,75
b)
Solução. Em 10 corridas, houve 1º entradas no carro. Logo o valor inicial foi calculado 10 vezes. Logo a lei
da função em 10 corridas é f(x) = 3,75.(10) + 1,25x. Como foi ganho R$75,00, temos:
f ( x )  1,25x  3,75.(10)
75  37,5 37,5
 1,25x  37,5  75  x 

 30km .

1,25
1,25
f ( x )  75
6.
Solução1. A informação mostra uma proporção direta. Cada 100m aumenta 3ºC. A profundidade inicial é
de 100m com 25ºC. O aumento de profundidade é diretamente proporcional ao aumento da
temperatura. Observe que a profundidade aumentou de 1400m (1500 – 100) e a temperatura medida
estará aumentada de 25ºC iniciais.
100m 1500m  100m

 T  25  3(14)  T  42  25  67º .
3º C
T  25º C
Solução2. Observe que P(100m, 25ºC) e Q(200m, 28ºC) são dois pontos, pois aumentando 100m, a
temperatura passa de 25º para (25º + 3º) = 28ºC. Substituindo na função afim, vem:
25  100a  b  ( 1)  25  100a  b
3

 3  100a  a 
 0,03

100
28  200a  b
28  200a  b
b  25  100(0,03)  25  3  22
.
A função é : f ( x )  0,03x  22. Logo, f (1500)  0,03(1500)  22  45  22  67º C
7.
Solução. Utilizando as informações em minutos como pontos de gráfico e substituindo na lei da função
afim, temos:
8h  480 min;
12h  720 min;
10h20 min  620 min
.
20  480a  b  ( 1)
60
1
 60  240a  a 
  0,25

240 4
80  720a  b
b  20  480(0,25)  20  120  100
A função é : f ( x )  0,25x  100. Logo, f (620)  0,25(620)  100  155  100  55
8.
Solução. Substituindo os pontos na lei da função, temos:
370  120a  b  ( 1)
630
 630  210a  a 
3

210
1000  330a  b
b  370  120(3)  370  360  10
.
A função é : f ( x )  3x  10. Logo, f (250)  3(250)  10  750  10  760
9.
Solução. Observe que os pontos identificados no gráfico são (-2, 0) e (0, 3). Substituindo na lei da função,
temos:
0  2a  b
3
 2a  3  a 

2
3  0a  b  b  3
3
Logo,
a
3 1 1
 2 . 
b
3
2 3 2
.
FUNÇÃO QUADRÁTICA
1) Calcular os zeros das seguintes funções:
a) f(x) = x2 - 3x – 10
b) f(x) = x2 + x – 20
d) f(x) = – x2 + 4x – 4
e) f(x) = 36x2 + 12x + 1
c) f(x) = – x2 – x + 12
f) f(x) = (2x + 3).(x – 2)
2) Calcular m para que:
a) a função f(x) = (m – 3)x2 + 4x – 7 seja côncava para cima.
b) a função f(x) = (2m + 8)x2 – 2x + 1 seja côncava para baixo.
c) a função f(x) = (m2 – 4)x2 – 4x + 3 seja quadrática.
3) Nas funções abaixo, calcule as coordenadas do vértice, dizendo se este é ponto de máximo ou mínimo.
a) f(x) = x2 – 4x + 3
b) f(x) = – x2 – x + 2
c) f(x) = 4x2 + 4x + 1
4) Determine a lei da função afim cuja reta que a representa tem coeficiente angular igual a 2 e passa pelo vértice
da parábola de equação y  x²  4 .
5) (FGV) Responda as questões:
a) Entre todos os pares de números reais x e y cuja soma é 20 , determine aqueles para os quais o produto seja
3
máximo.
b) Entre todos os pares de números reais x e y, tais que x – y = 10 determine aqueles para os quais a soma de
seus quadrados seja mínima.
6) (FGV) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um muro retangular. Para os outros lados
iremos usar 400 m de tela de arame, de modo a produzir uma área máxima. Qual o quociente do lado menor pelo
maior?
7) (UFSCAR) Uma bola ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua
trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t  0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura
em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
b) a altura máxima atingida pela bola.
8) (Unifesp) De um cartão retangular de base 14cm e altura 12cm, deseja-se recortar
um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte
hachurada será retirada.
Calcule o valor de x, em centímetros, para que a área total removida seja mínima.
9) (UEL) A função real f, de variável real, dada por f(x) = – x² + 12x + 20, tem um valor:
a) mínimo igual a -16, para x = 6
b) mínimo igual a 16, para x = -12 c) máximo igual a 56, para x = 6
d) máximo igual a 72, para x = 12
e) máximo igual a 240, para x = 20
10) (UFMG) Nessa figura está representada a parábola de vértice V, gráfico da função
de segundo grau cuja expressão é:
a) y 
x2
 2x
5
b) y  x 2  10x
c) y  x 2  10x d) y 
x2
 10x
5
e) y 
x2
 10x
5
11) (UFPE) O gráfico da função y = ax² + bx + c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c são
respectivamente:
a) 1, - 6 e 0
b) - 5, 30 e 0
c) - 1, 3 e 0
d) - 1, 6 e 0
e) - 2, 9 e 0
12)(UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes – 3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é
igual a 8. A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é:
a) f(x) = –2(x–1)(x+3) b) f(x) = – (x–1)(x+3) c) f(x) = –2(x+1)(x-3) d) f(x) = (x–1)(x+3) e) f(x) = 2(x+1)(x–3)
13) (UFSC) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é:
a) y = - 2x + 2
b) y = x + 2
c) y = 2x + 1
d) y = 2x + 2
e) y = - 2x – 2
14)(UFMG) O intervalo no qual a função f(x) = x2 - 6x + 5 é crescente é:
a) x < 5
b) 1 < x < 5
c) x > 1
d) x > 3
15)(PUC) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada
pessoa pagasse R$6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de
R$2760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$1,50 no preço de inscrição, receberia 10
participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço
unitário, em reais, da inscrição em tal evento deve ser:
a) 15,00
b) 24,50
c) 32,75
d) 37,50
e) 42,50
16)(PUC) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo
produto é x – 10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada mês, depende do
preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70 – x. Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do
produto é, aproximadamente, uma função quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é:
a) 1200
b) 1000
c) 900
d) 800
e) 600
17)(VUNESP) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros,
deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura.
a) Exprima y em função de x.
b) Para que valores de x e de y a área ocupada pela casa será máxima?
18)(VUNESP) Um retângulo possui perímetro é 10cm e a medida de um dos lados é x. Determine:
a) a área do retângulo em função de x;
b) o valor de x para o qual a área do retângulo seja máxima.
19) (UNIRIO) Em uma fábrica, o custo de produção de x produtos é dado por c(x) = – x2 + 22x + 1. Se que cada
produto é vendido por R$10,00, o número de produtos que devem ser vendidos para se ter um lucro de R$44,00
é:
a) 3
b) 10
c) 12
d) 13
e) 15
20) (UFC) No triângulo ABC a seguir, a é a base, h a altura relativa a esta base, e b o lado oposto ao ângulo de 45°.
Se a + h = 4, calcule o valor mínimo de b2.
Soluções
1)
Solução. Os zeros da função são os valores de “x” que anulam a função. Ou, os pontos onde a parábola
intersecta o eixo das abscissas. Basta utilizar a fórmula de resolução da equação de 2º grau.
 ( 3)  ( 3) 2  4(1)( 10)
f ( x )  0  x 2  3x  10  0  x 
a)
2(1)
c)
3  9  40 3  49 3  7



2
2
2
37

x 
5
 1
2

 S  {2, 5}
x  3  7  2
 2
2
f ( x )  0  x 2  x  20  0  x 
b)

 (1)  (1) 2  4(1)( 20)
2(1)

1  1  80 1  81 1  9



2
2
2
1 9

x 1  2  5

 S  {4, 5}
x  1  9  4
 2
2
f ( x )  0   x 2  x  12  0  x 
 ( 1)  ( 1) 2  4( 1)(12)
2( 1)
1 7

x 
 4
 1
2

 S  {4, 3}
x  1  7  3
2

2

.
.
1  1  48 1  49 1  7



2
2
2
.
 ( 4)  ( 4) 2  4( 1)( 4)
 4  16  16  4  0

2.
2( 1)
2
2
S  2. Neste caso a parábola tan gencia o eixo X no ponto 2, 0
2
d) f ( x )  0   x  4x  4  0  x 
e)
f ( x )  0  36x 2  12x  1  0  x 
 (12)  (12) 2  4(36)(1)
2(36)


 12  144  144  12  0
1


72
72
6.
 1
 1 
S   . Neste caso a parábola tan gencia o eixo X no ponto   , 0 
 6
 6 
f) A função já está da forma fatorada. Lembrando que, dados dois números reais “a” e “b”, se a.b = 0, então
3

2x  3  0  x  
f
(
x
)

0

(
2
x

3
)(
x

2
)

0

x

2

a = 0 ou b = 0, temos:

x  2  0  x  2
.
 3 
 1 
S   , 2. Neste caso a parábola tan gencia o eixo X no ponto   , 0 
 2 
 6 
2)
a)
Solução. Para que a concavidade seja para cima o coeficiente de x² deve ser positivo e diferente de zero.
Logo, m – 3 > 0  m > 3.
b)
Solução. Para que a concavidade seja para baixo o coeficiente de x² deve ser negativo e diferente de zero.
Logo, 2m + 8 < 0  2m < -8  m < - 4.
c)
Solução. A função quadrática é da forma ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Logo, m² - 4 ≠ 0  m ≠ 2 e m ≠ – 2.
3)
Solução. O máximo ou mínimo, que serão definidos pelo sinal do coeficiente de grau 2.
a)
a  1  0
 b
.
b2  4ac   ( 4) ( 4)2  4(1)(3)   4 16  12 

   
   , 
f ( x )  x 2  4x  3  b  4  V   
,
,
  2,  1  mínimo
2
a
4
a
2
(
1
)
4
(
1
)
2
4


 
 
c  3

b)
a  1  0
 ( 1)
.
( 1)2  4( 1)(2)   1 1  8   1 9 

    , 
f ( x )   x 2  x  2  b  1
 V   
,
    ,   máximo
2
(

1
)
4
(

1
)
2

4
2
4






c  2

c)
a  4  0
 b
b2  4ac   ( 4)
( 4)2  4( 4)(1)   1 16  16   1 

   
    , 
    , 0   mínimo
f ( x )  4x  4x  1  b  4
 V   
,
,
4a   2( 4)
4( 4)
4( 4)   2 
 2a
  2
c  1

2
4)
Solução. A lei pedida é da forma f(x) = ax + b, logo f(x) = 2x + b. Encontrando o vértice da parábola, temos:

a  1


2
y   x  4  b  0

c  4



b



V   
,

4a 
 2a

.

0
02  4( 1)( 4)  
16 
   0, 
V   
,
  0, 4 
2
(

1
)
4
(

1
)

4

 
Como a reta passa pelo ponto (0, -4) temos:
V  0, 4  r
 4  2(0)  b  b  4 .

r : f ( x )  2x  b
A função pedida é f(x) = 2x + 4.
5)
a)
Solução. As condições impostas indicam uma função quadrática cujo máximo será encontrado pelo
20
20

y
x
20
x  y 
 20

 P  x.
 x   P  x 2 
x
3
3

3
estudo do vértice: 
.
 3

P

x
.
y

20
b
3  20  y  20  20  20 . Logo, x  y  20
PMáximo  x Máximo  

2a
2( 1)
6
3
6
3
3
b)
Solução. As condições impostas indicam uma função quadrática cujo máximo será encontrado pelo
estudo
do
x  y  10  y  x  10
 SQ  x 2  x  10  SQ  x 2  x 2  20x  100  SQ  2x 2  20x  100

2
2
.
SQ

x

y

x  5
( 20)
b
SQ Mínimo  x Mínimo  

 5  y  5  10  5. Logo, 
2a
2(2)
y  5
6)
Solução. Há três dimensões restantes, sendo duas de mesma medida. A tela
cercará a medida da soma (x + x + y). A área será A = xy. Utilizando as
informações, temos:
vértice:
2x  y  400  y  400  2x
 A  x.400  2x   A  2x 2  400x

A  x.y
AMáxima  xMáximao  
.
b
( 400)
100 1

 100  y  400  2(100)  200. Logo,

2a
2( 2)
200 2
7)
a)
Solução. O instante em que a bola retorna é o tempo em que ficou no ar. O tempo será o ponto onde o
gráfico
intersecta
o
eixo
das
abscissas
h( t )  2t 2  8t
t  0  incompatível .
 2t 2  8t  0  2t( t  4)  0  

h
(
t
)

0
t  4s

b)
Solução. A altura máxima será a ordenada do vértice da parábola:
h( t )  2t 2  8t
(8)2  4( 2)(0)
64

.

 8m

  h( t )Máxima  
4( 2)
8
h( t )Máxima  
4a

8)
Solução. A área removida será a soma das áreas do quadrado menor e do
trapézio. Construindo a função de área, temos:
168  12x  14x  x 2
 14  x 
2
A  x2  

(12  x )  A  x 
2
 2 
.
2x 2  168  12x  14x  x 2
x 2  2x  168
x2
A
A
A
 x  81
2
2
2
b
( 1)
A Mínima  xmínimo  

 1cm
2a
21
2
 
9)
Solução. O coeficiente de x2 é negativo. Encontrando as coordenadas do vértice (máximo), temos:
 (12)
[(12)2  4( 1)(20)]  
[144  80]  
[224] 
   6; 
f ( x )  x 2  12x  20  V   
;
   6; 
  6; 56 .
2
(

1
)
4
(

1
)

4

4






10)
Solução. O gráfico passa pela origem (0,0). Logo, c = 0. Identifica-se ainda que
f(5) = – 5 (vértice da parábola). Organizando essas informações, vem:
(t):
f ( x )  ax 2  bx  c :

f (0)  0  a(0) 2  b(0)  c  0  c  0

1
 1
i) f (5)  5  a(5) 2  b(5)  5  25a  5b  5  25a  5( 10a)  5  25a  5  a  . Logo, b  10   2
5
5

b
x V  5  
 5  b  10a  b  10a
2a

ii) f ( x ) 
x2
 2x
5
.
11)
Solução. O gráfico passa pela origem (0,0). Logo, c = 0. Identifica-se ainda que f(3) = 9 (vértice da
parábola). Organizando essas informações, vem:
f ( x )  ax2  bx  c :

f (0)  0  a(0)2  b(0)  c  0  c  0
.

9
i) f (3)  9  a(3)2  b(3)  9  9a  3b  9  9a  3( 6a)  9  9a  9  a 
 1.
9

b
x V  3  
 3  b  6a  b  6a
2a

Logo, b  6 1  6
12)
Solução 1. De acordo com as informações, temos que f(– 3) = 0 e f(1) = 0. A abscissa do vértice é a média
( 3)  1
aritmética das raízes quando elas são reais e diferentes. Logo, x V 
 1 e f(– 1) = 8. Substituindo
2
na expressão da função e utilizando o valor do mínimo, temos:
f ( x )  ax 2  bx  c :
f ( 3)  0  a( 3) 2  b( 3)  c  0 9a  3b  c  0
9a  3b  c  0
9a  3b  c  0




2
i) f (1)  0  a(1)  b(1)  c  0
 a  b  c  0  ( 1)   a  b  c  0  
8
f ( 1)  8  a( 1) 2  b( 1)  c  8
a  b  c  8
a  b  c  8
 2b  8  b   2  4



.
( 4)
b
4
ii) x V  1  
 1  
 1  2a  4  a 
 2
2a
2a
2
iii) 9a  3b  c  0  9( 2)  3( 4)  c  0  c  18  12  6
f ( x )  2x 2  4 x  6  2( x 2  2x  3)  2( x  3).( x  1)
Solução 2. A função quadrática também pode ser expressa como f(x) = a(x – r1).(x – r2), onde r1 e r2 são os
zeros (raízes) da função. No caso, temos:
r1  r2  3  1


 1
8
x V 
i) 
 f ( 1)  8  a( 1  3).( 1  1)  8  a(2).( 2)  8  4a  8  a 
 2 .
2
2
4
y  8
 V
ii) f ( x )  ax  r1 
. x  r2   2( x  ( 3)).( x  1)  a( x  3).( x  1)
13)
Solução. De acordo com o gráfico, f(– 1) = f(3) = 0 e f(0) = 3. Logo, c = 3.
Encontrando a expressão da função quadrática e o vértice, temos:
f ( x )  ax2  bx  3
f ( 1)  0  a( 1)2  b( 1)  3  0  a  b  3  0 a  b  3  (3) 3a  3b  9
i) 


.
2
9a  3b  3
9a  3b  3
f (3)  0  a(3)  b(3)  3  0  9a  3b  3  0
 12a  12  a  1. Logo, ( 1)  b  3  b  1  3  b  2.

2
[ 4  4( 1)(3)] 
  1; 4 
ii) f ( x )   x 2  2x  3  V   
;
4( 1)
 2( 1)

A reta pedida é a representação da função afim f(x) = ax + b, passando por (– 1,0) e (1,4).
f ( x )  ax  b
0  a( 1)  b  a  b  0  a  b
i) 

 a  a  4  2a  4  a  2. Logo, b  2 .
4

a
(
1
)

b
a

b

4


ii) Equação(reta)  f ( x )  2x  2 ou y  2x  2
14)
Solução. Para analisar os intervalos de crescimento, basta verificar a
concavidade da parábola e identificar a abscissa do vértice.
f ( x)  x2  6x  5
xV  
( 6)
3
2(1)
.
O coeficiente de x2 é positivo. Logo f(x) é crescente no intervalo [3, ∞[
15)
Solução. Descrevendo a situação na tabela até uma generalização, temos:
Número de participantes
460
460 – 1.(10)
460 – 2.(10)
460 – 3.(10)
...
460 – x.(10)
Preço do ingresso (R$)
6
6 + 1.(1,50)
6 + 2.(1,50)
6 + 3.(1,50)
...
6 + x.(1,50)
Arrecadação (R$)
460.(6)
(460 – 1.10).( 6 + 1.(1,50))
(460 – 2.10).( 6 + 2.(1,50))
(460 – 3.10).( 6 + 3.(1,50))
...
(460 – x.10).( 6 + x.(1,50))
A expressão, então da arrecadação é:
A(x) = (460 – 10x).(6 + 1,50x) = 2760 + 690x – 60x – 15x2 = – 15x2 + 630x + 2760. Uma função quadrática.
A maior arrecadação ocorrerá com máximo número de aumentos x dados.
Esse valor corresponde à abscissa do vértice da função: x V   b   (630)   (630)  21.
2a
2( 15)
( 30)
Com 21 aumentos de R$1,50 o preço do ingresso será: P = 6 + 21.(1,50) = 6 +31,50 = R$37,50.
16)
Solução. De acordo com as informações, o custo total da produção é C(x) = 10.(70 – x), pois 10 é o preço
unitário e (70 – x) a quantidade produzida. O total obtido pela venda do produto será V(x) = x.(70 – x).
Sendo o lucro a diferença entre o valor arrecadado na venda e o custo, temos:
L( x )  x.70  x   10.70  x   70x  x 2  700  10x   x 2  80x  700
L(máximo)  y V  
.

[6400  4( 1)( 700)]
[6400  2800] 3600



 900
4a
4( 1)
4
4
17)
a)
Solução. Observando a semelhança nos triângulos assinalados, temos:
30  x
x
600  20x

 600  30y  20x  xy  xy  600  30y  20x  0  y 

y
20  y
30
.
60  2x
y
3
b)
Solução. A área ocupada será A(x) = (x.y). Será máxima para um valor máximo das
medidas. Substituindo e calculando a abscissa do vértice, temos:
2
2x 2
 (20)
 20
 60  2x  60x  2x
 3  60
A  x.y  x.

 20x  x V 

 ( 20).   
 15

2

4
3
3
3
4


 4
2
.
3
3
60  2(15) 60  30 30
Logo, y 


 10
3
3
3


A área será máxima se as dimensões ocupadas forem x = 15m e y = 10m.
18)
Solução. Considere a outra medida do retângulo como y. Temos:
2P  10
i) 
 2x  2y  10  x  y  5  y  5  x
a) 2P  2x  2y
.
ii) A  x.y  x.5  x    x 2  5x
OBS: Repare que x não pode ser nulo, nem maior ou igual a 5.
A  x 2  5x
b)
A(máxima)  x V  
.
(5 )
5
  2,5 cm
2( 1) 2
19)
Solução. O arrecadado com a venda é V(x) = 10x. O lucro será a diferença entre a venda e o custo. Temos:


L( x )  10x   x 2  22x  1  10x  x 2  22x  1  x 2  12x  1
 x 2  12x  1  44  x 2  12x  45  0 

L
(
x
)

44

12  18

x 
 3  0

12  144  4(1)( 45) 12  144  180 12  324 12  18
 1
2
x




2
2
2
2
x  12  18  15
2

2

A quantidade de produtos não pode ser negativa. Logo, x = 15.
20)
Solução. Se a + h = 4, então a = 4 – h. Utilizando as relações métricas, vem:
i) y 2  h 2  h 2  y 2  2h 2  y  2h 2  h 2 .
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo relacionando o lado b oposto ao ângulo de
45º, temos:
i) y 2  h 2  h 2  y 2  2h 2  y  2h 2  h 2
 
ii) b 2  h 2
2
 
 ( 4  h) 2  2. h 2 .( 4  h). cos 45º  2h 2  16  8h  h 2  2 2.( 4h  h 2 ).
2

.
2
 b 2  3h 2  16  8h  2.( 4h  h 2 )  3h 2  16  8h  8h  2h 2  b 2  5h 2  16h  16
iii) Mínimo(b 2 )  
[( 16) 2  4(5)(16)]
[256  320]
[ 64] 64 16






4a
4(5)
20
20
20 5
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. Sabendo que sen
e tg
2. Um teleférico deve unir os topos A e B de dois morros. Para calcular a quantidade de cabos de aço necessária
para unir A e B, um engenheiro mediu as alturas dos morros em relação a um
mesmo plano horizontal, obtendo 108m e 144m. A seguir, mediu o ângulo
que a reta AB forma com a horizontal, obtendo 32º. A figura mostra o
esquema que representa essa situação. Calcule a distância entre os pontos A
e B. (Dados: sen32º = 0,52, cos32º = 0,84 e tg32º = 0,62)
3. Determine o valor de x na figura.
4. Uma escada deve ser construída para unir dois pisos de um prédio. A altura do piso mais elevado em relação
ao piso inferior é 8 m. Para isso, foi construída uma rampa plana unindo os dois pisos. Sabendo que o ângulo
formado pela rampa com um plano horizontal é 33º, calcule o comprimento da rampa.
(Dados: sen33º = 0,54, cos33º = 0,83 e tg33º = 0,64)
5. Calcule a medida x do segmento AD da figura, sabendo que sen 
cos  
12
.
13
6. Na figura
sen(90º ) 
4
. Determine o valor de x.
7
5
e
13
7. Na figura a seguir, CD=BD=5cm e DA=3cm.
Calcule:
a) cos2α
b) tg(90º-α)
8. Um observador, no ponto O da figura abaixo, vê o prédio ob um
ângulo de105º. Se esse observador está situado a uma distância de 18 m do prédio e a altura de 18 m em relação
ao terreno horizontal, calcule a altura do prédio.
(Considere
3  1,7 ).
Soluções
1.
Solução. Aplicando as razões trigonométricas, temos:
x

x
.
4   0,88  x  ( 4)(0,88)  3,52cm

4
cos 28º  0,88
a) cos 28º 
x

x
.
5   0,46  x  (5)(0,46)  2,3cm

5
sen28º  0,46
b) sen28º 
x

x
.
 0,53  x  (10)(0,53)  5,3cm
10 

10
tg28º  0,53
c) tg28º 
2.
Solução. A distância pedida é a hipotenusa do triângulo retângulo indicado. O cateto oposto ao ângulo de
32º é a diferença entre as distâncias dos morros. Aplicando a razão trigonométrica da tangente, temos:
144  108

36
36
sen32º 
.

 0,52  d 
 69,23cm
d

d
0
,
52
sen32º  0,52
3.
Solução. O triângulo ABD é retângulo isósceles, pois um dos ângulos
é de 45º. Logo a altura mede 10cm. De qualquer forma pode-se
aplicar a razão trigonométrica da tangente nos triângulos ABD e
ADC.
h

h
tg45º 
T( ABD ) : 
 1  h  10cm
10 
10
tg45º  1

tg30º 
T( ADC ) : 
tg30º 

h
x
3
3

.
10
3
30 30 3

x

.
 10 3cm
x
3
3
3 3
4.
Solução. O triângulo retângulo indicado apresenta como hipotenusa o
comprimento da rampa e o cateto oposto como a altura do piso 2 em
relação ao piso 1. Aplicando a relação trigonométrica do seno, temos:
8

8
8
sen33º 
.
 14,8m
C   0,54  C 

C
0
,
54
sen33º  0,54
5.
Solução. O triângulo ABC é retângulo, logo (w + α) = 90º. Se são ângulos complementares então sen(w) =
cos(α) e sen(α) = cos(w). Considerando “y” a hipotenusa no triângulo retângulo ABD, temos:
10

cos w  y
10 5
130


y
 26cm

y
13
5
5
cos w  sen 
.

13
x
x

senw  y  26
x 12
(26)(12)


x
 (2).(12)  24cm

26 13
13
senw  cos   12

13
6..
Solução. Como (α + w) = 90º, sen(90º - α) = sen(w) = cosα. Como “x” é o cateto adjacente, temos:
x

cos   28
.
x
4
(28)( 4)

 x
 ( 4).( 4)  16cm

4
28
7
7
cos   sen90º   
7

7.
Solução. Como CD = BD, então o triângulo BCD é isósceles. O ângulo interno D do
triângulo ABD vale 2 , pois é externo no BCD. O cateto “x” vale 4cm, pois
o triângulo ABD é pitagórico.
a) cos 2  x  3  0,6 . b) tg(90º)  1  1  8  2 .
5 5
tg 4
4
8
8..
Solução. O ângulo de 105º foi decomposto em um de 45º, pois é metade
do ângulo interno do quadrado, e 60º. A altura total do prédio será a
soma de 18m + h, onde “h” é a altura do triângulo retângulo de cateto
18m adjacente ao ângulo de 60º.
Aplicando a razão trigonométrica da tangente, temos:
h

h
tg60º 
18 
 3  h  (18) 3  (18)(1,7)  30,6m .

18
tg60º  3

 
A altura do prédio será: 18m + 30,6m = 48,6m.
LEI DOS SENOS E COSSENOS
1. No triângulo,
Calcule b.
a  5 2cm e os ângulos indicados valem A = 30º e B = 45º.
2. Calcule os valores de x, y e α (quando aparecem) em cada triângulo:
3. Um triângulo ABC possui ângulos B e C medindo, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medida do lado AB,
sabendo que a medida de AC é 8cm.
4. Na figura mostrada, os ângulos A e B medem, respectivamente, 75º e 45º. O raio da
circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 6cm. Determine as medidas dos lados AB e
AC.
5. Na figura, os ângulos A e C medem, respectivamente, 45º e 15º. Sabendo que BC = 12 cm, determine a medida
do lado AC e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
6. Um triângulo ABC tem lados AB e BC que medem, respectivamente, 5 cm e 7 cm. Determine a medida do lado
AC, sabendo que o ângulo B mede 60º.
7. Um triângulo ABC tem lados AB e BC que medem, respectivamente, 6 cm e 8 cm. Determine a medida do lado
AC, sabendo que o ângulo B mede 120º.
8. Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, determine o valor do cosseno e do seno do menor ângulo
interno desse triângulo.
9. Um triângulo ABC tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. Determine a
medida da mediana relativa ao lado AC.
10. Determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.
11. Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm, determine a altura desse triângulo relativa ao maior lado.
12. Na figura mostrada, determine:
a) o cosseno do ângulo α.
b) a medida do segmento AD.
13. Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado entre a
sua trajetória e a linha de visada do farol. Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada ao farol, obtém a
leitura de 75º. Determine a distância entre o farol e o navio no instante em que fez a 2ª leitura.
(Use 2  1,4 ).
Soluções
1.
Solução. O lado b está oposto ao ângulo B. Aplicando a lei dos senos, temos:
a
b
5 2
b
5 2





1
senA senB
sen30º sen45º
2
b
2

.
2
 2 b
   10  b  b  10cm
5 2.

2 2
 2  2
2.
Solução. As informações indicarão se será aplicada a lei dos senos ou a dos cossenos.
i)   30º 120º  180º    180º 150º  30º


 3
y
10 3
  10 3  1   y. 3  5 3  y  10 .

 y.

sen30º sen120º
2
2
 2 
iii) x  y  x  10
a) Lei dos senos: ii)
i)   2  3  180º  6  180º    30º
b) Lei dos senos: ii)
y
y
4
4
 1



 y.   4 1  y  8 .
sen330º  sen30º
sen90º sen30º
2
iii) x ²  4²  y ²  x ²  64  16  x  48  4 3
c) Lei dos cossenos:
 
x²  3 3
2
 
 3

 (2)²  2. 3 3 .( 2). cos 30º  x ²  27  4  12 3.
.
2


x ²  31  6(3)  x ²  13  x  13
3.
Solução. As informações estão representadas na figura mostrada. Aplicando a lei dos senos, temos:
8
x
2
x 2
8
8
2
 1

 8.   x.
4
x

.

sen45º sen30º
2
2
2
2 2
2
.
x
8 2
 4 2 cm
2
4.
Solução. O ângulo C mede 60º. Lembrando que a constante de proporcionalidade na
lei dos senos é o diâmetro, temos:
i)
 2
 3
y
x
 12  x  12.   6 2 cm; ii)
 12  y  12.   6 3 cm .
sen45º
sen60º
 2 
 2 
5.
Solução. O ângulo B mede 180º - (45º + 15º) = 120º. Aplicando a lei dos senos e utilizando o diâmetro
como a constante de proporcionalidade, temos:
 2


x
12
  12 3  

 x



sen120º sen45º
 2 
 2 
i)
.
12. 3 12. 3 2
x. 2  12. 3  x 

.
 6 6 cm
2
2
2
ii)
 2
12
12 12 2
 2R  2R   12  R 

.
 6 2 cm .
sen45º
2
2 2
 2 
6.
Solução. O lado AC está oposto ao ângulo B. Aplicando a lei dos cossenos, temos:
 1
AC ²  5 2  7²  2.5.( 7). cos 60º  AC ²  25  49  70. 
2 .
AC ²  25  49  35  AC ²  109  AC  39 cm
7.
Solução. O lado AC está oposto ao ângulo B. Aplicando a lei dos cossenos, temos:
 1
AC ²  6 2  8²  2.6.( 8). cos120º  AC ²  36  64  96.  
 2 .
AC ²  36  64  48  AC ²  148  AC  148  2 37 cm
8.
Solução. O menor ângulo está oposto ao menor lado. Considerando α esse ângulo e aplicando a lei dos
cossenos em relação ao lado 5cm, temos:
i)
5²  7 2  8²  2.7.( 8). cos   25  49  64  112. cos   25  113  112. cos  
 112. cos   88  cos  
 88 11

 112 14
.
sen²  cos ²  1
2
121
196  121
75

 11 
 sen²     1  sen²  1 
 sen 



11
196
196
196
 14 
ii) cos  
.
14

 sen 
5 3
14
9.
Solução. Mediana é o segmento que parte de um vértice do triângulo e divide o lado oposto em partes
iguais. A figura ilustra a situação. Aplicando a lei dos cossenos nos triângulos ABC e ABM considerando o
ângulo α, temos:
81  125 44
11


 100
100 25
 11 
.
ii) m²  5 2  5²  2.5 .( 5). cos   m²  50  50.  
25
 
i) 9²  5 2  10²  2.5.(10). cos   cos  
 m  50  22  28  2 7 cm
10.
Solução. O raio da circunferência será encontrado através da razão na lei dos senos. Aplicando a lei dos
cossenos em relação a um dos lados (6cm, por exemplo) e encontrando o seno pela relação fundamental,
temos:
i)
6²  4 2  5²  2.4.( 5). cos   36  16  25  40. cos   36  41  40. cos  
 cos  
5
1

40 8
sen²  cos ²  1
2
1
 1
ii) 
 sen²     1  sen²  1 
 sen 

1
64
cos  
8

8

.
64  1
63 3 7 .


64
8
8
 6
 2R

3 7 
6
iii)  sen
  6  R  48  8  8 . 7  R  8 7 cm .

 2R  2R


7
3 7
6 7
7
7 7
sen  3 7
 8 
8

8
11.
Solução. Altura é o segmento que parte de um vértice do triângulo e intersecta o lado oposto
perpendicularmente. A figura ilustra a situação. Aplicando a lei dos cossenos considerando o ângulo a e a
razão do seno no triângulo retângulo, temos:
i) 4²  5 2  6²  2.5.( 6). cos a  cos a 
16  61 45 3


 60
60 4
sen²a  cos ²a  1
9
16  9
7

ii) 
 sena  1 


3
16
16
4
cos a  4
iii)
.
 7 5 7
h

 sena  h  5.
cm

5
4
4


12.
a)
Solução. O lado BC vale 10cm. Aplicando a lei dos cossenos,
temos:
8²  5 2  10²  2.5.(10). cos   cos  
64  125 61 .

 100
100
b)
Solução. Aplicando a lei dos cossenos, temos:
183
305  183
122 .
 61 
AD ²  5 2  6²  2.5.( 6). cos   AD ²  61  60.


  AD  61 
5
5
5
 100 
13.
Solução. Observe a situação ilustrada na figura. A distância “d”
pedida
pode
ser
calculada
pela
lei
dos
senos:
 2
d
20
 1

 d.   20  
sen30º sen45º
2
 2 
.
20 20.(1,4)
d 2  20  d 

 10(1,4)  14 milhas
2
2
REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE
1) Calcule a 1ª determinação de cada arco e indique em que quadrante está sua extremidade:
a) -1395º: _______________________________
b)
13 : ______________________________
2
2) Calcule o seno, cosseno e a tangente dos ângulos abaixo:
a) 405º:
b) 840º:
c) 1290º:
e)
2
rad :
3
4
rad :
3
f)
3) Se sen  
15
e
17
3
<  < 2, calcule
2
4) Sabendo que senx 
g)
d) 1740º:
7
rad :
4
h)
41
rad :
6
cos  e tg  .
3
4
e cos x   , calcule sen2  x   cos  x 
5
5
5) Resolva as equações indicando a solução completa (incluindo os arcos côngruos).
a) senx  
6) Determine
3
2
b) tgx  1
tgx sabendo que
7) Calcule o valor de
8) Se cos x  
5
3
 x  2 e senx = - .
13
2
Y  cos 510ºsen300ºtg585º cos 90º .
3 2
14
e tgx  
, qual o valor de senx ?
5
6
9) Calcule o valor das expressões.
a) E 
cos120º sen330º
cos180º
c) E  cos 1500º sen
37
19
 cos
6
3
b) E 
d)
cos 810º  cos 900º
sen630º sen1080º
E
cos 1380º  sen1260º
sen765º  cos 3

3 
 
6

f) E   tg . cos
11
3
2


 cos 
6
cos
e)
E  sen240º cos150ºtg330º
g)
17
8
15
 7 
 2 
E  sen 
 cos 
 sen
  sen
  tg
6
3
6
 6 
 3 
Soluções
1)
b) 13
a) -1395º: 1ª determinação: 45º; 1º quadrante
2
: 1ª determinação: π/2; está sobre o eixo
Solução. Encontrando a 1ª determinação em cada caso, temos:
a)  1395º360  3; resto  315º  (315º360º  45º )
b)
13 12 


2
2
2
2)
Solução. Encontrando as 1ª determinações em cada caso e reduzindo ao 1º quadrante, temos:
a) 405º360  1; resto  45º
b) 840º360  2; resto  120º
c) 1290º360  3; resto  210º
d) 1740º360  4; resto  300º
e) Já é a 1ª determinação.
f) Já é a 1ª determinação.
g) Já é a 1ª determinação.
h)
41 36 5


.
6
6
6
sen45º  2

2


a) 405º: cos 45º  2

2

tg45º  1



3
sen120º 
2
b) 840º: cos120º   1

2

tg120º   3


3
sen300º  
2
d) 1740º: cos 300º  1

2

tg300º   3


3
2
sen 3 
2
2
e)
rad : cos 2   1

3
3
2

tg 2   3
3

sen7   2

4
2

7
g)
rad : cos 7  2

4
4
2

7

 1
tg
4


sen210º   1
2


c) 1290º: cos 210º   3

2

tg210º  3
3


3
4
sen 3  
2
4
f)
rad : cos 4   1

3
3
2

tg 4  3
3

sen5  1
6
2

41
h)
rad : cos 5   3

6
6
2

tg 5   3
6
3

3)
Solução. Aplicando a relação fundamental, temos:
sen2  cos 2   1
2

 15 
 cos   1     

15
 17 
sen  
17

8

cos   17  (positivo) : 4º quadrante


 15
17   15 . 17   15
tg   sen 
8

cos 
17 8
8
17

289  225

289
64

289
.
4)
Solução. Repare que adicionando uma volta completa, encontramos um arco côngruo na mesma posição
e adicionando meia volta, a extremidade se posicionará simétrica em relação ao centro da circunferência
trigonométrica.
sen2  x   senx
3  4 3 4 7
 sen2  x   cos  x   senx  cos x         .

5  5 5 5 5
cos  x    cos x
5)
Solução. Identificando os arcos cujos senos são iguais, (1º e 2º quadrantes) e (3º e 4º quadrantes), e cujas
tangentes são iguais (múltiplos de 180º), temos:
 4
 3  2k

3
senx  
 x  ou
;kZ
2
 5
a)
.
  2k
3
240  360º k

Em graus : x  ou
;kZ
300º 360º k

b)
3
 k; k  Z
.
4
Em graus : x  135º 180º k; k  Z
tgx  1  x 
6)
Solução. O valor corresponde ao arco no 4º quadrante.
sen2   cos 2   1
2
169  25
144

 5 
 cos   1     



5
169
169
 13 
sen  
13

12

.
cos   13  (positivo) : 4º quadrante


5
13   5 . 13   5
tg   sen 

cos  12
13 12
12
13

7)
Solução. Substituindo os arcos pelas suas primeiras determinações, temos:
510º  150º
3
3
 Y  cos150º sen300º tg225º  cos 90º  

 (1)  0   3  1 .

2
2
585º  225º
8)
Solução. Aplicando a relação trigonométrica envolvendo seno, cosseno e tangente, temos:
tgx 

senx
14
senx
14   3 2  3 28 3.2 7
7


 senx   
.




.
cos x
6
6  
5 
30
30
5
3 2


5
9)
Solução. Calculando os valores das primeiras determinações, temos:

1 1

2 2   1  1.
1
1
a) E 
cos120º sen330º

cos180º
b) E 
cos 810º cos 900º cos 90º  cos180º
0 1


 1.
sen630ºsen1080º
sen270ºsen0º
 1 0
c) E  cos1500º sen
37
19

 1 1 1 3
 cos
 cos 60ºsen  cos     .
6
3
6
3 2 2 2 2
d)
cos1380º  sen1260º cos 300º  sen180º
E


sen765º  cos 3
sen45º  cos 

1
2 2

1
2 2
.
22
22

g)
1
1
2
2
 .

2 2 2 2 2
.
2
22
22

24
2
e) E  sen240º  cos150º  tg330º  

cos
3 
 
6
f) E   tg . cos

11
3
2


 cos 
6
1
0
2

2
1
2
3 
3 
3
3
 


.

2  2  3
3
 3
.0 
 

3


3
2  1.
3
2
17
8
15 1 1 1
 7 
 2 
E  sen 
 cos 
 sen
    3 1
  sen
  tg
6
3
6
2 2 2
 6 
 3 
1
1 2 3
  3
2
2
.
SIMETRIAS E RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
1. Calcule:
a) sen( 45º )
b) sen( 60º ) c) sen( 240º )
33
 11 
 f) sec
6
 6 
d) tg(1215º ) e) sen 
2. Observe a figura e assinale V (verdadeiro) ou F (falso).
( ) sen(  )  sen
( ) cos(  )  cos 
( ) sen(  )  sen
( ) cos(  )   cos 
( ) sen(2  )  sen
( ) cos(2  )  cos 
3. Simplifique as expressões:
a) E 
3.sen(   )  sen(   )
, sen  0
5.sen(   )
b) M 
cos(360º)  cos(180º )
, cos   0
cos   cos(180º)
4. Determine o valor das expressões:
 2 
 5 
sen2    cos 
 3 
 3 
b) Y 
 5 
cos 4  
 6 
3
cos(180º )  cos(360º)  sen(180º )
5. Se sen  , calcule E 
, sen  0
5
sen2 (180º)
sen330º  cos2 300º
a) X 
sen200º  cos 70º sen2 240º
1
3
, calcule cos , tg, sec e cos sec .
,
3
2

7. Quais são os valores de senx e cos x , sendo senx  2 cos x , com
 x  ?
2
6. Sendo, sen  
8. Calcule o valor da expressão.
M  sen2 10º  sen2 20º  sen2 30º  sen2 40º  sen2 50º  sen2 60º  sen2 70º  sen2 80º
Soluções
1.
Solução. Lembrando que sen(-x) = -senx e encontrando a primeira determinação, caso necessário, temos:
a) sen( 45º )  sen45º  
2
;
2



c) sen( 240º )  sen240º   
b) sen( 60º )  sen60º  
3
;
2
3 
3

; d) tg(1215º )  tg(225º3.360º )  tg(225º )  1

2 
2
;
 11 
 11 
 1 1
  sen
      ;
 6 
 6 
 2 2
e) sen 
 33 
 9 
  sec   não existe ( ) ;
 6 
 6 
f) sec
2.
( V ) sen(  )  sen
( F ) cos(  )  cos 
( V ) sen(  )  sen
( V ) cos(  )   cos 
( F ) sen(2  )  sen
( V ) cos(2  )  cos 
Solução. As coordenadas de cada ponto são (cosx, senx). Logo, basta
comparar os valores em cada situação.
3.
Solução. De acordo com as equivalências das coordenadas, temos:
a) E 
3.sen(   )  sen(   ) 3.sen  sen 2sen 2


 .
5.sen(   )
5.sen
5.sen 5
b) M 
cos(360º)  cos(180º) cos   (  cos ) cos   cos  2 cos 



 1.
cos   cos(180º)
cos   (  cos ) cos   cos  2 cos 
4.
Solução. Encontrando os valores ou relações conhecidas, temos:
sen330º  cos 2 300º
X

sen200º  cos 70º sen2 240º

1  1
 
2 2
2

3 
sen(180º 20º )  sen(90  70º )   

a)
 2 
1 1
 2 1
1
 

1 4
1
2 4
 4  4  . 
3
3
3
4 3
3
 sen20º sen20º 
4
4
4
2

.
2
 2 
 5   3   1 3 1 3  2
sen2    cos  

2 42
5 16 20
 3 
 3  2 

 4  .

b) Y 
.
4
9
9
4
9
9
4  5 


cos  
 3 
16
16
 2 
 6 


5.
Solução. Simplificando a expressão antes da substituição, temos:
E
cos(180º)  cos(360º )  sen(180º)  cos   cos   sen sen
1
5



 .
2
2
2
sen (180º )
sen 
sen  sen 3
6.
Solução. O arco está no 3º quadrante.
i) sen  
1
1
 cos sec  
 3
3
sen
2
1
8
2 2
 1
ii) cos   1  sen   cos    1       1   

9
9
3
 3
2
2
1
3
3
2
3 2


.

cos 
4
2 2
2 2 2
1

sen
3   1.  3  1  1 . 2  2
iv) tg  

cos 
3 2 2 2 2 2 2 2
4
2 2

3
.
iii) sec  
7.
Solução. O arco x pertence ao 2º quadrante.
senx  2 cos x
2
  2 cos x   cos 2 x  1  4 cos 2 x  cos 2 x  1  5 cos 2 x  1 

2
2
sen x  cos x  1
i) cos x  
1
1
1
5
5


.

5
5
5
5 5
.

5  2 5
ii) senx  2 cos x  2. 
 5
 5 
8.
Solução. Dois ângulos complementares (x + y = 90º) possuem a propriedade: senx = cosy. Observando os
arcos indicados, temos:
i) 60º + 30º = 90º;
ii) 10º + 80º = 90º;
iii) 20º + 70º = 90º;
iv) 40º + 50º = 90º.
Substituindo de acordo com a propriedade, temos:
M  sen2 10º  sen2 20º  sen2 30º  sen2 40º  sen2 50º  sen2 60º  sen2 70º  sen2 80º
M  cos 2 80º  cos 2 70º  cos 2 60º  cos 2 50º  sen2 50º  sen2 60º  sen2 70º  sen2 80º

 
 
 
M  cos 80º sen 80º  sen 70º  cos 70º  cos 60º  sen 60º  cos 50º sen 50º
2
2
2
2
2
2
2
2

.
M  1 1 1 1  4
Material disponibilizado pelo professor Walter Tadeu
Funções Trigonométricas
1. (Ufpr) O pistão de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um cilindro, como ilustra a figura.
Suponha que em um instante t, em segundos, a altura h(t) do pistão, em centímetros, possa ser descrita pela expressão:
 2πt 
h  t   4 sen 
  4.
 0,05 
a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge.
b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza, funcionando durante um minuto?
2. (Ufsm) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veículos causam graves problemas a toda
população. Durante o inverno, a poluição demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de
doenças respiratórias.
Suponha que a função
π

N  x   180  54cos   x  1 
6

represente o número de pessoas com doenças respiratórias registrado num Centro de Saúde, com x  1 correspondendo
ao mês de janeiro, x  2, ao mês de fevereiro e assim por diante.
A soma do número de pessoas com doenças respiratórias registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é igual a
a) 693.
b) 720.
c) 747.
d) 774.
e) 936.
7π
π
3. (Uepb) Sendo f(x)  4cos   x   2cos x, o valor de f    é:
 4 
2

a) 2
b) 2
c)  2
d) – 1
e)
2
2
4. (Ucs) Suponha que o deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante seja dado pela
1
4
equação s  t   10  sen 10πt , em que t é o tempo, em segundos, após iniciado o movimento, e s,
medido em centímetros, indica a posição.
Meio segundo após iniciado o movimento da corda, qual é, em cm, o afastamento da partícula da
posição de repouso?
a) 0
b) 0,125
c) 0,25
d) 10
e) 10,25
5. (Ufpr) Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na
π 
t  , sendo t o tempo em horas
 12 
superfície de um lago possa ser descrita pela função F(t)  21  4cos 
medido a partir das 06h00 da manhã.
a) Qual a variação de temperatura num período de 24 horas?
b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23ºC?
6. (Ufrgs) O número de interseções da função f(x) = sen 5x com o eixo das abscissas no intervalo [ 2π,2π ] é
a) 10.
b) 14.
c) 21.
d) 24.
e) 27.
7. (Ucs) Para colocar um objeto em movimento e deslocá-lo sobre uma trajetória retilínea por x
metros, é necessário aplicar uma força de 20  10 sen  x  newtons sobre ele.
Em qual dos gráficos abaixo, no intervalo 0,3, está representada a relação entre a força aplicada e
a distância, quando o objeto é deslocado até 3 metros?
a)
b)
c)
d)
e)
8. (Uern) Um determinado inseto no período de reprodução emite sons cuja intensidade sonora
oscila entre o valor mínimo de 20 decibéis até o máximo de 40 decibéis, sendo t a variável tempo
em segundos. Entre as funções a seguir, aquela que melhor representa a variação da intensidade
sonora com o tempo I(t) é
π
a) 50  10 cos  t  .
6
 
π
b) 30  10 cos  t  .
6 
π
c) 40  20 cos  t  .
6 
π
d) 60  20 cos  t  .
6 
9. (Ufpb) Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés na vida de várias
espécies em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, dada em metros, em um espaço de
tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a função:
 
A(t)  1,6  1,4 sen  t 
6 
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da meia-noite de certo
dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está representada pelo gráfico:
a)
b)
c)
d)
e)
10. (Uepa) Os desfiles de moda parecem impor implicitamente tanto o “vestir-se bem” quanto o
“ser bela” definindo desse modo padrões de perfeição. Nesses desfiles de moda, a rotação pélvica
do andar feminino é exagerada quando comparada ao marchar masculino, em passos de igual
amplitude. Esse movimento oscilatório do andar feminino pode ser avaliado a partir da variação do
ângulo θ conforme ilustrado na figura abaixo, ao caminhar uniformemente no decorrer do tempo
(t).
Um modelo matemático que pode representar esse movimento oscilatório do andar feminino é dado
por: θ  t  
a)
b)
c)
d)
e)
π
 4π 
3
cos 
t  . Nestas condições, o valor de θ   é:
10
2
 3 
π
8
π
10
π
12
π
18
π
20
11. (Fgvrj) A previsão mensal da venda de sorvetes para 2012, em uma sorveteria, é dada por
 x 
P  6000  50x  2000cos   , em que P é o número de unidades vendidas no mês x ; x = 0
 6 
representa janeiro de 2012, x = 1 representa fevereiro de 2012, x = 2 representa março de 2012 e
assim por diante. Se essas previsões se verificarem, em julho haverá uma queda na quantidade
vendida, em relação a março, de aproximadamente:
a) 39,5%
b) 38,5%
c) 37,5%
d) 36,5%
e) 35,5%
12. (Ufpr) Suponha que a expressão P = 100 + 20 sen(2  t) descreve de maneira aproximada a
pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste. Nessa
expressão, t representa o tempo em segundos.
A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de mercúrio,
indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem um período de 1
segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste.
a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s.
b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?
13. (Ufpb) Com o objetivo de aumentar a produção de alimentos em certa região, uma secretaria de
agricultura encomendou a uma equipe de agrônomos um estudo sobre as potencialidades do solo
dessa região. Na análise da temperatura do solo, a equipe efetuou medições diárias, durante quatro
dias consecutivos, em intervalos de uma hora. As medições tiveram início às 6 horas da manhã do
primeiro dia (t = 0). Os estudos indicaram que a temperatura T, medida em graus Celsius, e o tempo
t, representando o número de horas decorridas após o início das observações, relacionavam-se
através da expressão
4π 
 π
T  t   26  5cos  t 
.
3 
 12
Com base nessas informações, identifique as afirmativas corretas:
( ) A temperatura do solo, às 6 horas da manhã do primeiro dia, foi de 23,5 ºC.
( ) A função T(t) é periódica e tem período igual a 24 h.
( ) A função T(t) atinge valor máximo igual a 30 ºC.
( ) A temperatura do solo atingiu o valor máximo, no primeiro dia, às 14 h.
( ) A função T(t) é crescente no intervalo [0,8].
Gabarito:
Resposta
da
questão
a) A altura máxima ocorre quando o valor do seno é máximo, ou seja,
1:
 2πt 
sen 
  1.
 0,05 
hmáxima = 5 cm
b) Determinando o período P da função, temos:
P
2π
 0,05s.
2π
0,05
1 ciclo se realiza em 0,05; em 60s teremos 60/0,05 = 1200 ciclos completos
Resposta
[B]
da
questão
2:
Sabendo-se que ângulos suplementares têm cossenos simétricos, concluímos que:


π
2π
f(1)  f(3)  f(5)  f(7)  4  180  54   cos0  cos  cos
 cos π 
3
3


 720.
Resposta
[C]
da
questão
3:
da
questão
4:
Sabendo que cos(x)  cos x, temos
 7π 
 9π 
 7π 
f 
 4 sen 
 2cos  



 4 
 4 
 4 
π
π
 4 sen  2cos
4
4
π
 2sen
4
  2.
Resposta
[A]
O afastamento vertical da partícula, em relação à posição inicial, após meio segundo, é
1
1 
1
 1


s    s(0)  10  sen  10 π    10  sen(10 π  0)
2
4
2
4
 

 

1
1
 10  sen(5 π )  10  sen0
4
4
 0.
Resposta
a)
da

π 
valor máximo ocorre para cos  12 t   1  F(máx)  21  4( 1)  25


π  
F(t)  21  4cos  t   
 12  
π 
valor mínimo ocorre para cos  t   1  F(máx)  21  4( 1)  17

 12 
questão
5:
Portanto, a temperatura varia de 17°C a 25°C na superfície do lago.
b) Para t  ? temos F(t)  23 . Logo:
 π 
 π 
 π 
F(t)  21  4cos  t   21  4cos  t   23  4cos  t   2
 12 
 12 
 12 
1
 π 
 cos  t   
2
 12 
Logo :
π
2π
t
ou
12
3
t  8h
π
4π
t
12
3
ou
t  16h
Porém, o tempo em horas foi medido a partir das 06h da manhã, o que nos permite afirmar que a
temperatura de 23°C foi atingida às:
t1  6h  8h  14h
e
t 2  6h  16h  22h
Resposta
[C]
f(x)  sen(5x)  Período 
da
questão
6:
questão
7:
2π
.
5
Total: 21 intersecções com o eixo x.
Resposta
[A]
da
Sabemos que a lei de F é F(x)  20  10sen(x).
π
Portanto, como F(0)  20 e F    20  10  30, segue que a alternativa [A] apresenta o gráfico de F
2
no intervalo [0, 3].
Resposta
[B]
da
questão
8:
π
6 
Dentre as funções apresentadas nas alternativas, I(t)  30  10cos  t  é a única cujo conjunto
imagem é o intervalo [20, 40]. De fato,
Im  30  10  [1, 1]  [30  10, 30  10]  [20, 40].
Resposta
[A]
da
Se t = 0, temos A(0) = 1,6 – 1,4.sen0 = 1,6;
π
Se t = 3, temos A(3) = 1,6 – 1,4.sen   = 0,2;
Se t = 6, temos A(6) = 1,6 –
2
1,4.sen π = 1,6;
questão
9:
Se t = 9 temos, A(9) = 1,6 – 1,4.sen 
3.π 

 2 
= 3,0.
Portanto, o gráfico da alternativa [A] é o correto.
Resposta
[B]
da
questão
10:
da
questão
11:
3 π
 4π 3 
θ  
 cos 
 
2
10
 
 3 2
3 π
θ  
 cos  2π 
 2  10
3 π
θ  
1
 2  10
3 π
θ  
 2  10
Resposta
[A]
Mês de Março: P  2  6000  50  2  2000  cos 
2π 
  7100
 6 
Mês de Julho: P  6   6000  50  6  2000  cos 
6π 
  4300
 6 
Queda da quantia vendida em porcentagem:
4300  7100
7100
39,5%
Resposta
da
questão
a) Para t  0 s, temos P  100  20  sen(2  0)  100mm de Hg.
Para t  0,75 s, vem P  100  20  sen(2  0,75)  100  20  80mm de Hg.
b) A pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando
sen(2t)  1  sen(2t)  sen
 2t 
t
3
2
3
2
3
 0,75 s.
4
Resposta
VVFVV
da
questão
1
2
( V ) T(0) = 26 + 5.(  ) = 23,5o
(V)P=
2π
 24h
π
2
( F ) Valor máximo = 26 + 5.1 = 31
(V)
12:
π
4π
.t 
 2π  t  8,8  6  14horas
12
3
( V ) começa em 23,5o e vai aumentando até seu valor máximo quando t = 8
13: