Parte 1 - Teoria Eletromagnética básica.
1.0. Introdução
Esta parte mostra a teoria eletromagnética básica para o entendimento das demais
áreas da telecomunicações, inicia com uma revisão de funções vetoriais (gradiente,
divergente e rotacional), passa pelas equações de Maxwell e termina em reflexão em
interfaces dielétricas e condutoras, onde consolida o conceito de blindagem, visto mais
tarde.
1.1 Derivação Vetorial
→
Operador Nabla ∇
Nas relações com campos vetoriais e escalares, é usual introduzir o “vetor
→
simbólico” ∇ definido como:
→ ∂ → ∂ → ∂ →
∇=
. i + . j+ . k
∂x
∂y
∂z
→
Logicamente, ∇ não é realmente um vetor completo, mas somente um símbolo
incompleto que não faz sentido, a menos que seja “aplicado” por um campo vetorial ou
escalar.
→
Definição de gradiente, divergente e rotacional através de ∇
Definamos uma função escalar u( x, y, z), com derivadas de primeira ordem:
∂u ∂u ∂u
, ,
∂x ∂y ∂ z
→
Em um vetor
A de componentes Ax, Ay, Az que dependam também de x, y, z.
→
→
→
Sendo ∇ um vetor, poderemos interagir u e A com ∇ , sob a forma mostrada abaixo:
(escalar)
(vetor)
→
u(x,y,z) - operação: ∇ u ou gradiente de u, resultado (vetor)
(vetor)
(escalar)
→
→
→
→
A (x,y,z) - operação produto escalar: ∇ . A ou divergente de A , resultado (escalar)
(vetor)
(vetor)
→
→
→
→
A (x,y,z) - operação produto vetorial: ∇ x A ou rotacional de A , resultado (vetor)
Podemos calcular estas expressões:
→
→
→
→
→
 ∂ → ∂ → ∂ →
∇. A =  . i + . j + . k  ⋅ ( Ax i + Ay j + Az k ) =
∂y
∂x 
 ∂x
=
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
 →i

→ →
∂
∇× A = 
 ∂x
 Ax

→
∇U=
→
j
∂
∂y
Ay
k 
∂ 
∂z 
Az 

→
∂U → ∂U → ∂U →
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
1.1.1 O Gradiente
Seja uma função U(x, y, z) e um ponto M de coordenadas (x, y, z) pertencente à U.
Podemos calcular a variação de dU de U quando passamos do ponto M para um
ponto infinitamente próximo M’ de coordenadas (x + dx, y + dy, z + dz), através da
expressão do diferencial total
dU =
∂U
∂U
∂U
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
→
Definindo-se um vetor d M = M’ - M que possuirá os componentes
→
d M = (dx, dy, dz)
dU pode ser escrito sob a forma
→
→
→
 ∂U → ∂U → ∂U →
dU = 
i+
j+
k  . (dx. i + dy. j + dz. k )
∂y
∂z 
 ∂x
ou seja
→
→
dU = ∇ U. d M
Quanto ao significado geométrico do gradiente, supondo um deslocamento
partindo de M à M’ sobre uma superfície U = constante, teremos
→
→
Pela noção de produto escalar, nota-se que os vetores ∇ U e d M são ortogonais,
e portanto dU será nulo.
Supondo agora um deslocamento de M à M’ na direção dos U crescentes
Neste caso, teremos dU > 0.
→
Podemos concluir que o ∇ U é um vetor perpendicular à superfície onde U é
constante e que ele aponta para direção dos U crescentes e na direção de máxima
variação de U.
Logo o gradiente expressa a "taxa de variação de uma grandeza, no sentido e
direção da taxa máxima de variação".
1.1.2 O Divergente
Examinemos o caso da superfície de um paralelepípedo infinitamente pequeno
cujos lados são dx, dy, dz, paralelos aos planos do sistema Oxyz.
→
Como mostrado na figura a área inferior vale dxdy e seu vetor normal d S .
→
Pode-se provar que o fluxo de um campo vetorial A nesta face vale
- Az dx dy
Sobre a face superior P’Q’R’S’ uma expressão análoga é aplicada. Porém a normal
→
à esta superfície é positiva e a componente Az do vetor A aumentou de dAz . Assim Az
na superfície superior vale
Az + dAz = Az +
∂Az
dz
∂z
o fluxo é então
∂Az 

. dz dxdy
 Az +


∂z
A soma destes dois fluxos vale
∂Az
dv
∂z
Sendo dv o volume do paralelepípedo.
Fazendo raciocínios análogos para os demais pares de dados, teremos:
 ∂Ax
∂Ay
∂Az 
+
+
dv
d∅ = 
∂y
∂z 
 ∂x
A expressão portanto da derivada do fluxo através de dv é:
→
→
d∅ = ∇ . A dv
A divergência nos diz quanto o fluxo está deixando o pequeno volume em termos
de ‘Por Unidade de Volume’, porém deve-se notar que o valor obtido é escalar e portanto
dissociado de direção.
Por exemplo, consideremos a divergência da velocidade da água em uma ducha.
O fluxo líquido de água que passa através de uma superfície fechada interna à ducha
deve ser zero, pois a água é essencialmente incompressível e a diferença entre a água
que entra e a água que sai da superfície fechada deve ser igual a zero.
Se, contudo, considerarmos a velocidade do ar dentro de um reservatório depois
de ser perfurado, verificaremos que o ar está se expandindo, e, consequentemente, há
um fluxo líquido saindo de qualquer superfície fechada dentro do reservatório. A
divergência desta velocidade será portanto maior que zero.
Divergências positivas indicam que há, para um campo vetorial, uma ‘fonte’ deste
campo. Divergências negativas indicam ‘drenos’ ou ‘sorvedouros’.
1.1.3 O Rotacional
Suponhamos a existência de uma curva fechada que limita uma superfície.
Dividindo esta última em pequenas parcelas S, examinaremos um retângulo
infinitamente pequeno de lados dx, dy paralelos aos eixos de coordenadas Ox e Oy.
→
Calculemos a circulação (integral de linha) de um campo vetorial A = (Ax, Ay, Az)
ao longo da linha que envolve S
– entre P e Q
C1=
∫
Q→
P
→
A. d e =
∫
Q
P
→
→
→
→
( Ax i + Ay j + Az k ). dx i
C1 = Axdx
→
– entre R e S, o vetor A será
→
A = ( Ax + dAx ; Ay + dAy ; Az + dAz )
onde Ax + dAx = Ax +
∂Ax
dy
∂y
Temos então

∂Ax 
C2 = − Ax +
dy dx
∂y


A soma de C1 com C2 é:
C12 = −
∂Ax
dxdy
∂y
Analogamente, a soma das circulações entre SP e QR é
C34 =
∂Ay
dxdy
∂x
A soma de C12 e C34, totaliza a circulação no retângulo PQRS e será chamada de
Cz. Então:
 ∂Ay ∂Ax 
Cz = 
−
 dxdy
∂y 
 ∂x
onde dxdy = ds
Calculando analogamente Cx e Cy em retângulos paralelos Oyz e Ozx obtemos
 ∂Az ∂Ay 
Cx = 
−
 ds
∂z 
 ∂y
e
 ∂Ax ∂Az 
Cy = 
−
 ds
 ∂z
∂x 
A circulação total em uma curva composta por estes três retângulos é portanto
 ∂Ay ∂Ax   ∂Az ∂Ay   ∂Ax ∂Az  
C = Cx + Cy + Cz = 
−
−
−
 +
 +
 ds
∂y   ∂y
∂z   ∂z
∂x  
 ∂x
→
Sendo d S um vetor normal a superfície S, podemos escrever C vetorialmente:
 ∂Az ∂Ay  →  ∂Ax ∂Az  →  ∂Ay ∂Ax  →  →
−
−
C = 
−
 i +
 k d s
 j+
 ∂z
∂z 
∂x 
∂y  
 ∂x
 ∂y
A soma dentro das chaves pode ser escrita na forma de determinantes e fica
→
i
∂
C=
∂x
Ax
→
j
∂
∂y
Ay
→
k
→
→ →
→
∂
.d s = (∇× A).d s
∂z
Az
Podemos, pois, descrever o rotacional como circulação por unidade de Área. O
percurso fechado é pequeno e tende a zero e o rotacional é definido em um ponto.
Como exemplo, considere um fluxo de água em um rio. A velocidade no leito é
zero e aumenta conforme se aproxima da superfície.
Imaginando-se uma pequena roda com pás, como um medidor de rotacional.
Se este medidor for posto dentro deste rio, a roda irá rodar indicando uma
componente rotacional na direção de largura do rio.
Caso a velocidade não varie conforme nos desloquemos neste rio, obteremos
rotacionais iguais a zero.
1.1.4 Operadores de segunda ordem (Laplacianos)
Podemos combinar duplamente dois operadores de primeira ordem, atuando sobre
→
funções escalares U e campos vetorias A .
→ →
Calculemos, à título de exemplo, o ∇. ∇ U .
→
∇U =
∂U → ∂U → ∂U →
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
e
→ →
∇. ∇ U =
∂ 2U
∂x 2
+
∂ 2U
∂y 2
+
∂ 2U
∂z 2
Com isto podemos definir um novo operador denominado Laplaciano Escalar
∇2 =
∂2
∂2 ∂2
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
O Laplaciano escalar é assim denominado por que tem como resultado um escalar,
Existe também o Laplaciano Vetorial, que genericamente é dado por:
r
r
r
∇ 2 A = ∇(∇. A) − ∇ × ∇ × A
Porém em coordenadas cartesianas é dado por:
r
r
r
r
∇ 2 A = ∇ 2 Ax.ax + ∇ 2 Ay.ay + ∇ 2 Az.az
Onde cada termo na direção x, y e z é um laplaciano escalar.
Estes operadores, definindo equações diferenciais de 2ª ordem a derivadas
parciais, constituem um domínio particularmente importante da matemática e da física.
Colocados sob forma conveniente descrevem fenômenos de difusão de grandezas, tanto
eletromagnéticas, como mecânicas, onde a energia potencial do sistema em questão é
naturalmente minimizada.
1.2 Equações Diferenciais e Integrais de Mawell
Lei da Eletricidade de Gauss
Forma diferencial ∇ ⋅ D = ρ
Forma integral
r r q
E
∫ .dA = ε 0
Primariamente esta lei nos fornece a relação entre carga e campo elétrico.
– A partir da lei de Coulomb
r
qq
f = K 1 2 2 ar , deste ponto obtemos a intensidade de campo elétrico (força por
r
unidade de carga sobre uma carga de prova positiva, sendo que a carga de prova, é
desconsiderada na formulação, logo o seu valor independe dela, normalmente é tão
pequena que não altera a distribuição de carga do sistema).
E=
q
ar
4πε 0r 2
– Densidade de fluxo elétrico
D = εE ∴ D =
q
4 πr 2
( ar )
– Fluxo de campo elétrico
dψ =
q
4πr 2
∫
dA cos θ ∴ D.cos θdA = q
∫ D cos θdA = ∫ D. an. dA = ∫ D. dA = q
∫
ε EdA = q
q
∫ EdA = ε = ∫ ρ. dv
v
– Para a forma diferencial
lim AV → 0
∫ D. da = lim
AV
AV → 0
∫ ρdV
V
AV
Portanto pela DEF de divergente
div D = ρ
∇. D = ρ
Lei do Magnetismo de Gauss
Afirma que o fluxo magnético através de uma superfície fechada deve ser igual a
zero. Esta equação nada mais é do que uma afirmação formal de que não existe o
monopolo magnético.
Forma integral
r r
B
∫ .dA = 0
Forma DIF ∇. B = 0
A densidade do fluxo B tem sido escrita como o rotacional de um vetor A. Sua
divergência é, então
∇. B = ∇.∇ × A
– O resultado em coordenadas retangulares é
∇. B =
∂ 2 Ax ∂ 2 Ay ∂ 2 Ax ∂ 2 Az ∂ 2 Ay ∂ 2 Ax
−
+
−
+
−
∂x∂y
∂x∂z
∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x
∂z∂y
– uma vez que as parciais podem ser tomadas de qualquer ordem,
r
∇.B = 0
a divergência do rotacional de qualquer vetor sempre será zero.
Aqui temos uma importante diferença entre os campos elétricos e magnéticos,
pois, ao contrário do campo elétrico, o campo magnético deverá ter divergência zero em
toda parte.
Os conceitos de campo magnético são freqüentemente desenvolvidos a partir de
uma comparação exata com os campos elétricos, considerando-se o conceito de pólos
magnéticos isolados como fontes de fluxo magnético, correspondendo à cargas
eletrostáticas. O resultado de divergência zero parece perfeitamente aplicável, uma vez
que tais pólos nunca foram isolados, mas parecem surgir como pares iguais e opostos.
Lei de Faraday
∇×E = −
∂B
∂t
Relaciona o campo elétrico produzido por um campo magnético variável.
V =n
∂ψ
∂t
Esta equação pode ser usada para uma generalização que indica uma f.e.m.
induzida em torno de qualquer caminho fechado. Se a f.e.m. em torno de qualquer
caminho fechado seja no espaço, nos diéletricos, ao longo de condutores, ou em
qualquer combinação dentro, for definido como integral de linha em torno deste caminho
f .e.m = ∫ E.d s
ela será igual, pela Lei de Faraday, à taxa de variação negativa no tempo do fluxo
magnético que flui através deste caminho. O fluxo magnético pode ser calculado
considerando-se a integral da componente normal da densidade B de fluxo magnético.
Então
∂
∂
∫ Eds = − ∂t ∫ B. ∂ A = − ∂t ∅
B
Para transformar em forma diferencial, utiliza-se o teorema de Stokes:
r r
r r
.
(
).dS
E
d
l
E
=
∇
×
∫C
∫S
r
Onde o contorno C encerra a superfície S
r
∂B
∇×E = −
∂t
Lei de Ampère - Maxwell
r
∂D r
∇×H =
+J
∂t
Esta lei relata que o campo magnético produzido por um campo elétrico variável ou
por uma corrente ou por estas duas causas.
O 1º termo de 2º membro afirma que todo o campo elétrico variável gera um
campo magnético.
Definimos a corrente de deslocamento pela relação id =
∫
∫
S
r
∂D r
.dS
∂t
r r
A corrente de condução é dada pela relação ic = J .dS
S
Deste modo podemos manter a noção da continuidade da corrente (corrente de
condução mais corrente de deslocamento). A corrente de deslocamento envolve um
campo magnético variável e não significa um deslocamento de cargas.
r
r r
∂D r r
∫C H .dl = ∫S ( ∂t + J ).dS
1.3 Relações constitutivas
Em um meio material, os vetores dos campos auxiliares H e D são definidos em
termos da polarização no material e das grandezas fundamentais de campo B e E. As
relações de H para B e D para são conhecidas como relações constitutivas e precisam
ser conhecidas antes que os resultados para as equações de Maxwell possam ser
determinados.
Consideremos, primeiramente, o caso elétrico. Se um campo elétrico E é aplicado
a um corpo material, essa força resulta numa distorção dos átomos ou moléculas de
maneira tal que se criem dipolos elétricos efetivos com um momento de dipolo P por
unidade de volume. A corrente de deslocamento total é a soma da corrente de
deslocamento no vácuo ∂ ε o . E
∂t
e a corrente de polarização ∂P / ∂t , o vetor de
densidade de fluxo elétrico D é definido como
D = Eε o + P
de onde a densidade total da corrente de deslocamento pode ser escrita como
∂D / ∂t .
Para uma grande quantidade de materiais, a polarização P está na direção do
campo elétrico E, apesar de P raramente vir a ter a mesma fase de E no tempo. Um
modelo clássico simples servirá para ilustrar este ponto. Um modelo de um átomo
formado de um núcleo com carga q, circundado por uma nuvem simétrica e esférica de
elétrons de carga total -q. A aplicação de um campo E desloca a nuvem de elétrons
numa distância efetiva x. Esse deslocamento é resistido por uma força restauradora kx
proporcional ao deslocamento. Além disso, os efeitos da dissipação, ou amortecimento,
estão presentes e resultam numa força adicional, a qual devemos presumir ser
proporcional à velocidade. Se m é a massa efetiva da nuvem de elétrons, a equação
dinâmica de movimento é obtida igualando-se a soma da força de inércia m d2x/dt2 da
força viscosa m v dx/dt, e da força restauradora kx à força aplicada -q; assim
m
d 2x
dx
+ mv
+ kx = − qE
2
dt
dt
Quando E = Ex cos wt, o resultado para x é da forma x = -A cos (wt + ∅ ).
Se Ex cos wt, é representado pelo fasor Ex , e x, pelo fasor X, a solução para X é
prontamente encontrada como sendo
X=
−qE x
− w m + jwvm + k
2
e, portanto,
x = Re( Xe jwt ) = − A cos( wt + ∅ )
onde
( q / m )E x
A=
[( w −
2
∅ = tg −1
w 2P ) 2
+w v
2 2
1
2
]
wv
w − w 2p
2
e substituindo-se k/m por wp2.
O momento do dipolo é px, onde
q2 Ex
p x = −qx =
m[( w 2 − w 2p ) 2 +
1
w2 v 2 ] 2
cos( wt + ∅)
Para N tais átomos por unidade de volume, a polarização por unidade de volume é
Px= Npx e a densidade de fluxo elétrico Dx é dada por
Nq 2 E x
Dx = ε 0 E x cos wt +
m[( w −
2
w 2p )2
+w v
2 2
1
]2
cos( wt + ∅)
Esta equação pode ser colocada na seguinte forma também:
1
 [ ε 0 ( w 2p − w 2 ) + Nq 2 / m ] 2 + ( wvε 0 ) 2  2
Dx = E x 
 cos( wt − θ)
( w 2p − w 2 )2 + ( wv ) 2


onde
θ = tg −1
wv
w 2p − w 2
− tg −1
wv
w 2p − w 2 + Nq 2 / ε 0 m
Dois pontos são de interesse em relação à Eq. de Dx. Um é a relação linear entre
P e E, e, assim, entre D e E. O segundo é o retardo no tempo de D em relação a E
sempre que forças de amortecimento estiverem presentes.
A diferença de fase entre o P, E e D torna desaconselhável a operação com estas
grandezas a menos que seja utilizada a representação fasorial.
Px =
Dx =
q2 Ex
( w 2p − w 2 + jwv )m
ε 0 ( w 2p − w 2 + jwv ) + Nq 2 / m
w 2p − w 2 + jwv
Ex
Em geral, para meios lineares, pode-se escrever
P = E0xeE
Onde
xe
é
uma
constante
complexa
de
proporcionalidade
denominada
susceptibilidade elétrica. A equação para D torna-se
D = ε 0 E + P = ε 0 ( 1 + x e )E
= εE = kε 0 E = ( ε ' − jε" )E
onde ε = ε 0(1 + xe) é chamada permissividade e k = ε /εε 0, a constante dielétrica
(permissividade) relativa do meio. Observe que ε é complexo sempre que os efeitos de
amortecimento estiverem presente e que a parte imaginária é sempre negativa. Uma
parte imaginária positiva implicaria em criação de energia em vez de perda de energia.
A perda num material dielétrico pode também ocorrer devido a uma condutividade
finita σ. Os dois mecanismos de dissipação (ε complexo e σ finito não-nulo) se
confundem sob o ponto de vista de efeitos externos. A equação do rotacional para H
pode ser escrita como
∇ × H = jw(ε '− jε ' ' ) E + σE
onde J = σE é a densidade da corrente de condução no material. Pode-se também
escrever
σ 


∇ × H = jw ε '− j ε ' '+  E = jwε ' E + ( wε ' ' +σ ) E
w 


daí ε’’ + σ/w poder ser considerada como a parte imaginária efetiva da
permissividade ou wε’’ + σ, como a condutividade efetiva total. A tangente de perdas de
um meio dielétrico é definida por
tgδ t =
wε' ' +σ
wε'
Qualquer medida de tg δt sempre inclui os efeitos da condutividade finita σ. Mas em
frequências de microondas, entretanto, wε’’ é comumente bem maior que σ devido ao
alto valor de w.
Os materiais para os quais P está linearmente relacionado com E, e na mesma
direção que E, são chamados materiais isotrópicos lineares. Os efeitos de nãolinearidade geralmente ocorrem somente para campos aplicados muito grandes e,
consequentemente, são raramente encontrados na prática, em microondas. Contudo o
material não-isotrópico é de alguma importância. Se na estrutura de cristal não existe
simetria esférica, como a existente num cristal cúbico, pode-se antecipar que a
polarização por unidade de volume dependerá da direção do campo aplicado. É dado
um modelo bidimensional de um cristal sem simetria cúbica. A polarização produzida,
quando o campo é aplicado ao longo do eixo x, pode ser maior que aquela produzida
quando o campo é aplicado ao longo do eixo y ou z, devido à maior facilidade de
polarização ao longo do eixo x. Nesse caso, devemos escrever
Dx = ε xx E x
D y = ε yy E y
Dz = ε zz E z
onde εxx, εyy e εzz são, em geral, todos diferentes. As constantes dielétricas relativas
k x = ε xx / ε 0 , k y = ε yy / ε 0 , k z = ε zz / ε 0 , são
conhecidas como as constantes dielétricas
principais, e o material é dito ser anisotrópico. Se o sistema de coordenadas usado
tivesse uma orientação diferente em relação à estrutura do cristal, a relação entre D e E
tornar-se-ia
Dx = ε xx E x + ε xy E y + ε xe E z
D y = εyxE x + ε yy E y + ε yz E z
Dz = ε zx E x + ε zy E y + ε zz E z
ou, em forma matricial,
 Dx  ε xx
 D  = ε
 y   yx
 DZ  ε zx
ε xy
ε yy
ε zy
ε xz   E x 

ε yz . E y 
 
ε zz   E z 
Para o meio anisotrópico, a permissividade é representada por um tensor
permissividade (um tensor de 2ª ordem pode ser representado por uma matriz). A maior
parte dos materiais que aparece neste texto é isotrópica. Entretanto, um conhecimento
da existência de meios anisotrópicos e da natureza das relações constitutivas para tais
meios.
Para o caso do meio magnético, H é definido pela relação constitutiva
µ0H = B − µ0 M
onde M é o valor da polarização do dipolo magnético por unidade de volume. Para
a maioria de materiais (excluindo-se materiais ferromagnéticos). M é linearmente
relacionado a B e assim a H. Por convenção, isto é expresso pela equação
M = xm H
onde xm é chamado de susceptibilidade magnética.
B = µ0 (M + H) = µ0 (1 + xm)H = µH
onde µ = µ 0 ( 1 + x m ) é chamado de permeabilidade magnética do meio ou,
simplesmente, permeabilidade.
Como no caso elétrico, forças de amortecimento tornam µ um parâmetro complexo
com uma parte imaginária negativa, isto é, µ = µ’ - jµ’’. Também existem materiais
magnéticos que são anisotrópicos; em particular, os ferrites são materiais magnéticos
anisotrópicos de grande utilidade nas frequências de microondas. Estes apresentam um
tensor permeabilidade da seguinte forma.
 µ1
[ µ ] = − jµ 2
 0
jµ 2
µ1
0
0

0
µ 3 
quando um campo magnético estático é aplicado ao longo do eixo para o qual a
permeabilidade é µ3. Não é possível se escrever, em geral, relações constitutivas da
forma D = εE. B = µH, quando D e E. e igualmente B e H, não estão em fase no tempo.
Para dependência arbitrária de tempo, deve-se, em lugar disto, escrever D = ε0E + P, B =
µ0(H +M) e relacionar P e M a E e H através da equação dinâmica de movimento que
rege o mecanismo de polarização. Esta dificuldade pode ser superada usando-se a
representação fasorial para a qual relações tais como D = εE são perfeitamente válidas,
pois a natureza complexa de ε considera a diferença de fase. Deve-se salientar,
entretanto, que para muitos materiais usados nas frequências até de microondas
(inclusive), as perdas são tão pequenas que D e E, e também H e B, estão quase em
fase. Nestes casos, relações constitutivas, tais como D = εE, B = µH se aplicam com
erros desprezíveis. Uma diferença significativa de fase entre D e E ou B e H ocorre
somente na proximidade de uma freqüência natural de ressonância do material, como
pode ser observado na equação de movimento para a polarização.
1.4 Energia e Potência
Numa unidade de volume, seja a carga efetiva oscilante da distribuição de dipolos
= - q , com uma massa efetiva m. Considerando-se um efeito de amortecimento devido
às colisões e perda de energia pela irradiação. Utilizamos uma força igual à “mv” vezes a
velocidade da carga. A equação para o deslocamento “u” de uma carga é:
m
∂ 2u
∂u
+ mv
+ ku = − qE
2
∂t
∂t
eq. 1
onde: u é dado na direção de E
A constante k é chamada de constante de elasticidade dando origem à força
restauradora, esta constante origina-se das resultantes das forças de Coulomb. A
polarização P do dipolo é - q.u, e a corrente de polarização é Jp =
∂P
, substituindo na
∂t
equação eq. 1 temos:
k
m ∂Jp mv
+ 2 Jp + 2
2
q
q ∂t
q
t
∫ Jpdt = E
Fazendo analogia com:
L
∂i
1
+ R.i + ∫ i∂t = v
∂t
C
Podemos analisar o problema como um circuito RLC série, cuja tensão aplicada é
e , temos que:
L=
m
R=
q2
mv
C=
q2
q2
k
Considerando a densidade de corrente como Jp = E.y onde y é a admitância de
entrada do circuito equivalente.
Jp = E
R − jx
1
onde x = wL −
2
2
wC
R +x
Como P = ε 0 X e . E e Jp = jwP
y=
Jp jwP jwε 0 X e E
=
=
= jwε 0 X e
E
E
E
− jy =
− X − jR
R2 + X2
= wε 0 X e
eq. 2
− jy = wε 0 X e
X e = ( X e '− jX e ' ' )
Separando eq. 2 em parte real e imaginária temos:
wε 0 X e ' =
−X
R +X
2
wε 0 X e ' ' =
2
R
R + X2
2
A perda de energia (no tempo) associada à polarização é a mesma que a perda de
energia em R no circuito equivalente.
P1 =
1
R
1
E. E * . 2
= EE * wε 0 X e ' '
2
R + X2 2
Esta perda é dada por unidade de Volume. A energia armazenada no sistema
apresenta-se de duas formas:
– a primeira é a energia cinética, que é
1 ∂u 2
m( ) , tirada a média sobre um ciclo, e
2
∂t
é igual à energia armazenada no indutor.
Um =
1
1
L
L. Jp. Jp * = E . E *. 2
4
4
R + X2
– a segunda forma de energia armazenada é a energia potencial associada com o
deslocamento de carga. O valor médio (no tempo) desta energia é igual a energia
elétrica média armazenada no capacitor C
Ue =
1
1
E. E*. 2
4
w C( R 2 + X 2 )
Considerando-se que
X = wL −
1
e considerando wε 0 X e , o que incluí a parte
wC
indutiva e capacitiva, pode-se pensar que a energia total armazenada é
mas:
1
E. E * ε 0 X e ' ,
4
1
−L
2
1
1
1
−X
w
C
E. E * ε 0 X e ' = E. E *
= E. E * 2
= Ue − Um
4
4
w(R 2 + X 2 ) 4
R − X2
Ou seja, isto significa a diferença entre as energias.
A energia armazenada total:
2+
1
2
∂
X
w 2 C (1 − 2 X
=
( 2
)
)
∂w R + X 2
R 2 + X2
R 2 + X2
eq. 3
Para um sistema de baixas perdas R2 << X2 temos 1 −
2X 2
R 2 X2
≅ −1
e simplificamos
a eq.3:
L+
1
∂
−X
∂
w2C
( 2
)
=
(
w
ε
X
'
)
≅
0
e
∂w R + X 2
∂w
R 2 + X2
eq. 4
Multiplicando-se por ¼ EE*, obtemos a energia média total armazenada, para
obtermos a energia elétrica média armazenada num volume V é dada pela integral
volumétrica de U (eq. 4), mais a energia de espaço livre
εo
E. E*) ∂v
4
we =
∫
(v +
we =
∫
∂wε 0 X e '
E. E *
(ε 0 +
) ∂v
4
∂w
we =
1
4
v
v
∫
v
E. E *
∂wε '
∂v
∂w
para ε constante mediante variação de freqüência:
we =
ε
4
∫
v
E. E * ∂v
ε 0 (E. E*)
4
1.4.1 Potência
Considere a divergência de E x H*
∇. E × H * = (∇ × E ).H * − (∇ × H *).E
das equações de Maxwell:
∇ × E = − jwB
∇ × H * = − jwD * + J *
então:
∇.E × H * = − jwB.H * + jwD * .E − E. J *
eq. 5
Integrando a eq. 5 ao longo de um volume V, circulado por uma superfície S,
temos:
1
1
w
1
∇. E × H * ∂v = ∫ E × H * .∂s = − j ∫ ( B. H * − E. D*)∂V − ∫ E. J * ∂V
∫
V
S
V
2
2
2
2V
Reescrevendo
1
B. H * E. D *
1
ExH * .(−∂S ) = 2 jw ∫
−
)∂w + ∫ E. J * ∂V
∫
S
V
2
4
4
2 V
eq. 6
Onde dS é um vetor elementar da área dirigido para dentro do volume V. Se o
meio contido em V é caracterizado por parâmetros ε = ε '− jε ' ' , µ = µ '− jµ ' ' , e condutividade
σ , separando a eq. 6 em parte imaginária e real, temos:
∫
Re
1
w
ExH*. (∂S) =
2
2
Im
1
2
∫
V
(µ". H. H * + e" E. E*) ∂V +
∫ ExH * (−∂S) = 2w ∫
S
V
(µ '
H. H *
E. E *
− e'
)∂V
4
4
1
2
∫
V
σE. E * ∂V
eq. 7
eq. 8
A eq. 7 é interpretada como estabelecendo que potência eletromagnética real,
transmitida através da superfície fechada S para dentro do volume V, é igual à perda de
potência produzida pela corrente de condução σE , resultando em aquecimento (Joule)
mais a perda de potência resultante das forças de amortecimento da polarização.
Observe que wε” pode ser interpretada como uma condutância equivalente, temos que
µ’’ e ε’’ devem ser positivos de forma a representar dissipação de energia, e assim, as
partes imaginárias de ε e µ precisam ser negativas. A eq. 8 estabelece que a parte
imaginária da variação complexa do fluxo de energia em V é igual a 2w vezes a energia
reativa líquida Wn-We armazenada nos campos elétricos e magnéticos contidos no
volume V. O teorema do vetor complexo de Poynting é essencialmente uma equação de
balanço de energia. Um resultado análogo pode ser obtido para um circuito
convencional. Considere o circuito RLC utilizado no desenvolvimento da energia. Se é
aplicado uma tensão V na entrada e a partir disto desenvolve-se uma corrente I, então a
potência complexa na entrada é:
1
1
1
j
V . I * = ZI . I * = I . I * ( R + jwL −
)
2
2
2
wC
Dado que a potência dissipada em R, a energia armazenada no campo magnético
que circunda a e a energia elétrica armazenada no campo elétrico associado ao
capacitor C são:
PL =
1
RII *
2
wm =
1
LII *
2
Uma vez que a tensão de C é J/wC. Assim,
Isolando Z temos:
Z=
PL + 2 jw( wn − we )
1
I.I *
2
we =
1 II *
4 w2 C
1
1
VI * = ZII * = PL + 2 jw( wn − we ) .
2
2
O que representa a definição da impedância de um circuito em termos de perda de
potência e da energia reativa armazenada, a ele associadas. O fator ½ I.I* é um fator de
normalização e é necessário para tornar Z independente da ordem de grandeza da
corrente na entrada da rede.
Considere um campo genérico variando no tempo uma expansão de ∇.εxH e a
substituição nas equações de Maxwel levam à seguinte equação para campos genéricos
no domínio do tempo.
∫ E × H .( −∂S ) = ∫ ( µ H .
S
Como H .
0
V
∂p
∂ε
∂M
2H
+ µ0 H .
+ ε 0 .ε .
+ε
+ ε . J )∂V
∂t
∂t
∂t
∂t
∂H 1 ∂ ( H . H )
=
∂t
2
∂t
e Jp =
∂P
∂M
, Jm = µ 0 (
)
∂t
∂t
Obtemos:
2
∫ E × H .( −∂S ) = ∂t ∫ (
S
V
µ0 H .H ε 0 E.E
)∂v + ∫ [ E.( J + Jp ) + H . Jm ]∂V
+
v
2
2
Esta equação estabelece que a taxa de fluxo de energia (potência) para dentro de
V é igual a taxa de dissipação de energia por aquecimento devido ao efeito Joule
originado da corrente de condução J.
Se M e H, e também P e E, estão em fase, não há perda de energia associada às
correntes de polarização, caso contrário alguma dissipação de energia ocorre, levando
ao aumento no aquecimento do material.
Se as susceptibilidade Xe e Xm puderem ser consideradas como constantes,
temos:
∂P
∂ε
= ε 0 Xe( )
∂t
∂t
∂M
∂H
= Xm(
) então:
∂t
∂t
e
∂
∫ E × H .(−dS ) = ∂t ∫ (
S
V
H .B E.D
+
)∂V + ∫ E. J ∂V
V
2
2
Que é a forma usual do teorema do vetor de Poynting. O primeiro termo à direita é
agora interpretado como a taxa de variação instantânea da energia elétrica e magnética
totais armazenadas no volume V, o que equivale a dizer que a potência eletromagnética
instantânea fluindo através da superfície S que limita o volume V.
1.4.2 Exemplo de aplicação
1) A figura abaixo mostra uma fonte de tensão V conectada a um resistor R através
de um cabo coaxial. Mostre que o uso do vetor de Poynting no dielétrico leva à mesma
potência instantânea no resistor que se obteria empregando os métodos da análise de
circuitos.
Solução:
a
b
v
– Cálculo de E
Utilizando a Lei de Gauss na forma diferencial:
[∇ D = ρ V ]
D = densidade de fluxo elétrico
ρ V = densidade de carga volumétrico
Como na região de interesse (a até b) não há cargas, então, ρ V =0
∴[∇. D = 0]
Em coordenadas cilíndricas
∇D =
L ∂
L ∂D ∅ ∂Dz
+
=0
(ρD ρ ) +
ρ ∂ρ
ρ ∂∅
∂z
Dρ= D na direção ρ
Dφ= D na direção φ
Dz= D na direção z
Considerando o cabo coaxial infinito, não há encurvamento do campo elétrico E
(não varia com z):
∂Dz
=0
∂z
Considerando superfícies equipotênciais (não varia com φ):
∂D ∅
=0
∂∅
∴∇D =
∂(ρD ρ )
1 ∂(ρD ρ )
=0⇒
=0
ρ ∂ρ
∂ρ
∴ ρD ρ = cons tan te = C α
Da condição de contorno → r = a ⇒ Dr = ρs (densidade de carga superficial)
∴ C α = aρ s
∴ Dρ =
aρ s
aρ
⇒ [ D = s aρ]
ρ
ρ
aρ = versor de r
aρ s
aρ](1)
ε 0ε rρ
Como D = ε 0 ε r E ⇒ [ E =
ε0 = permissividade do meio
εr = permissividade relativa
A d.d.p. entre a e b é dada por:
Vab = −
∫
a
b
E. ∂ρ
Como Vab = v
∴v = −
∫
a
b
aρ s
aρ. aρ. ∂ρ
ε 0ε r ρ
Como aρ. aρ = L:
v=−
∫
a
b
aρ s
−aρ s
∂ρ =
ε 0ε r ρ
ε 0ε r
∫
a
b
∂ρ − aρ s a
=
ln
b
ρ
ε 0ε r
∴ [v =
aρ s
a
ln ](2)
ε 0ε r
b
De (1) e (2)
[E =
v
ρ ln
a
b
aρ](3)
– Cálculo de H:
Utilizando a lei de Ampère:
∫ H ∂l = ∫
(J +
s
∂D
)∂A
∂t
Como D não varia com o tempo:
∫ H. ∂l = ∫
s
J . ∂A = I
∫
Como I= i ⇒ H. ∂l = i
Com o cabo coaxial infinito:
∂l = ρ∂ ∅ a ∅
H = Ha ∅
∫ H. ∂l = i ⇒ ∫ Ha
∅ ρ∂ ∅ a ∅
=i
Como a ∅ . a ∅ = 1
∫
Hρ ∂ ∅ = i ⇒ Hρ2 π = i ⇒ H =
0
i
i
⇒ [H =
a ∅ ](4)
2 πρ
2 πρ
Cálculo de potência:
Do teorema de Poynting:
P = ExH
Com (1) e (4):
P=
v
a
ρ ln
b
aρx
i
a∅
2πρ
Como aρxa ∅ = az
[P =
vi
b
2πρ ln( )
a
az](5)
2
A potência instantânea é dada por:
P( t ) =
∫ P. ∂
s
A
⇒ ∂ A = ρ∂ ∅ ∂ρaz
De (5)
P( t ) =
∫ 2πρ
s
vi
2
b
ln( )
a
azρ∂ ∅ ∂ ρ az
Como az. az = 1
P( t ) =
b
∫ ∫
2π
ρ = a ∅= 0
vi
b
2πρ ln( )
a
2
Portanto: [P(t) = vi]
ρ∂ ∅ ∂ ρ =
b
b∫ ∫
2π ln
vi
2π
ρ = a ∅= 0
a
1
∂ρ∂∅ =
ρ
vi
b
2π ln( )
a
b
ln( )2π = vi
a
1.5 A equação da Onda
Considerando as duas primeiras equações de Maxwell e as relações
constitutivas e fazendo-se a densidade de corrente J nula, temos que :
∂B
(A)
∂t
aplicando − se um novo rotacional aos dois lados
∂B
∇ × (∇ × E) = ∇ × ( − )
(B)
∂t
∇ × ∇ × E = ∇∇.E - ∇ 2 E
aplicando estas identidade s a equação B, teremos
∂
∇∇.E - ∇ 2 E = − [∇xB]
∂t
Da segunda relação constitutiva, temos que B = µ .H
∂
∇∇.E - ∇ 2 E = − µ [∇ × H ]
∂t
∂ D ∂(ε .E)
∂E
=
=ε
Com ∇ × H =
∂t
∂t
∂t
2
∂ E
∇∇.E - ∇ 2 E = − µε 2
∂ t
∇×E = −
Pela equação de Poisson
∇.E = ρ/ε
Como convencionamos que ρ é zero e ε é uma constante, temos que ∇.E = 0 (Equação
de Laplace)
Então :
∂ 2E
=0
∂t 2
Onde a constante µε corresponde ao inverso da velocid ade de propagação v.
Ou seja :
∇ 2 E − µε .
∇ 2 .E −
1
v
onde v =
2
.
∂
∂
2
E
=0
t2
1
µε
Quando µ for µ 0 e ε for ε 0 (o que ocorre no espaÁo livre), a velocida de v será
a velocida de da luz (c =
1
µ 0ε 0
)
Para o campo magnético de modo análogo,
∂ D
∇xH =
+ J,
J=0
∂ t
∂ D
∇x( ∇xH) = ∇x(
)
∂ t
∂ (∇xD)
∇∇.H - ∇ 2 . H =
∂ t
Como o divergente do campo B é sempre nulo, e sabendo que D = ε .E
∂ (∇xE)
- ∇ 2 .H = ε
∂ t
Lembrando a equação de Faraday :
∂ B
∂ ()
2
∂
t
−∇ .H= ε.
∂ t
2
∂ H
∇ 2.H-µε.
=0
∂ t2
como B=µ.H
Ou seja, tanto o campo magnético como o campo elétrico, satisfazem a equação
da onda.
Se considerarmos o caso em que a onda varia espacialmente em apenas uma
direção (posteriormente pode se extender as variações de E em função de y e z), e
considerando que por estarmos utilizando coordenadas retangulares, o laplaciano dos
vetores pode ser decomposto na soma vetorial dos laplacianos das componentes, temos
que:
∇2A = ∇2Ax.ax + ∇2Ay.ay + ∇2Az.az
∇ .E x − µε.
∂ 2 Ex
∂ 2E y
∂ 2 Ez
= 0 ; ∇ .E y − µε.
= 0 ; ∇ .Ez − µε.
= 0 (J)
∂ t2
∂ t2
∂ t2
Como laplaciano(divergent
e dogradiente)
, se considerar
mosapenasumacomponente
2
2
2
variandoemfunçãodacoordenadaz,
2
∂ ∂E x . a x ∂ E x
∇ .Ex =
[
]=
∂ z ∂ z
∂ z2
Então
2
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
− µε.
=0
∂ z2
∂ t2
A soluçãodestaequaçãodiferencia
l podetera forma E= f(t- z. µε).Istopodeser verifi
cado
pelasubstituiç
ãodasderivadasparciaisna equação:
∂E
∂E ’
= − µε.f ’ (t - z. µε )
= f (t - z. µε)
∂ z
∂ t
∂ 2E
∂ 2 E ’’
’’
= µε.f (t - z. µε )
= f (t - z. µε )
∂ z2
∂ t2
[µε.f ’’ (t - z. µε )]− µε[f ’’ (t - z. µε )] = 0
0 = 0 o.k.
Como a solução da equação também pode ser da forma E = f2(t+z.√(µε)), a soma
das soluções f1 e f2 ainda continua sendo solução da equação diferencial. Então, a
solução geral da equação diferencial pode ser escrita como:
E = f1(t-z.√(µε)) + f2(t+z.√(µε))
que é a equação da onda unidimensional. Pode se ter a noção de uma onda se
propagando no sentido positivo de z (1o termo) e outra se propagando no sentido
o
negativo de z (2 termo). A propagação pode ser percebida em se tomando um ponto de
E constante. Percebe-se que t pode crescer (variação do tempo) e a onda se propaga no
sentido de z a uma velocidade de 1/√(µε). Desta forma o argumento da função não varia,
mantendo o mesmo valor do campo elétrico E embora z esteja variando.
Equações de Helmholtz ou equações da onda reduzida :
Se reescrevermos as equações (J) em sua dependência temporal (E = E.ejωt),
teremos:
∂E/∂t = j.ω.E.e
j.ω.t
= j.ω.E
∂2E/∂t2 =-ω2.E.ej.ω.t = -ω2.E
que substituidas na equação J, nos dão
∇2.Ex. ej.ω.t-µ.ε.(-ω2). Ex. ej.ω.t = 0
[∇2.Ex + µ.ε.ω2. Ex = 0]
[∇2.Ey + µ.ε.ω2. Ey = 0]
[∇2.Ez + µ.ε.ω2. Ez = 0]
Se arbitrarmos k=ω.√(µε), chegaremos às equações de Helmholtz
∇2E + k2.E = 0
e, já que as expressões também valem para o fluxo magnético
∇2H + k2.H = 0
Parâmetro K0
Das equações de Helmholtz, temos uma constante k2, que é nada mais do que
ω2.µ.ε, a constante k, que é a raíz de tudo isto, é denominada número de onda, e pode
ser expressa em função de λ como sendo :
k = 2.π/λ, o comprimento de onda λ é igual a v/f.
Particularmente para o espaço livre, temos k0 = ω.√(µ0.ε0)
nem sempre ocorre o fato de se adotar a condutividade igual a zero, como é para o
vácuo. Em um meio de condutividade finita, a corrente de condução definida por J = δ.ε
existirá, resultando numa perda de energia devido ao efeito Joule. Neste meio os efeitos
do amortecimento fazem parte da natureza complexa de ε e µ, incorrendo em uma
característica complexa de k.
Neste caso ε = ε0-j(δ/ω) e as equações resultam em:
∇2E + k02.(1- j(δ/ω)).E = 0, a mesma análise funcionando para o campo magnético.
O termo 1-j(δ/ω) é o termo responsável pelo amortecimento da onda, devido às
perdas por efeito Joule.
1.5.1 Ondas Planas :
Este tópico tem por objetivo encontrar as equações de campo elétrico E e campo
magnético H de uma onda plana propagando-se em espaço livre.
Partimos da equação de Helmholtz.
O campo é uma solução da equação de Helmholtz.
E
E
E
∇ + k .E = ∂ + ∂ + ∂ + k .E=0
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
o
2
x
2
y
o
z
A equação é satisfeita para cada uma das componentes do campo elétrico, de
modo que :
∂ E + ∂ E + ∂ E + . =0
kE
∂ xi
∂ zi
∂y
i
2
2
2
i
i
2
i
2
2
2
o
(2.1)
i
onde i=x,y,z
O procedimento padrão para a solução de uma equação diferencial parcial é o
método de separação de variáveis. Para a equação de Helmholtz, o método de
separação de variáveis funciona em sistema de coordenadas comuns tais como
retangular (que será usada), cilíndrico e esférico. O procedimento básico para solução é
separar um produto da função onde cada função é dependente de uma só coordenada
variável. A substituição desta solução na equação diferencial parcial separa, então, esta
equação em três equações diferenciais ordinárias que podem ser resolvidas por meios
convencionais.
Seja Ex = f(x).g(x).h(x), onde Ex é o campo elétrico no eixo x e que depende do
produto das funções f, g, h, que são funções das variáveis independentes x, y, z,
respectivamente.
Após chegarmos a uma conclusão a respeito do comportamento do campo
elétrico no eixo x, generalizamos a solução para os eixos y e z e concluiremos o campo
total E.
Substituindo-se Ex = f(x).g(x).h(x) na equação 2.1, obtemos:
2
g.h.f’’+f.h.g’’+f.g.h’’+k0 = 0
onde f’’, g’’, h’’ são derivadas segundas. Dividindo esta equação por f.g.h, temos:
(f’’/f)+(g’’/g)+(h’’/h)+ k02 /(f.g.h) = 0
(2.2)
Como cada um dos 3 primeiros termos desta equação é função de uma única
2
variável, a soma destes termos só se igualará à constante k0 se cada um dos três
termos também for uma constante, deste mopdo a equação se divide em três :
(f’’/f) = -Kx2
ou
(g’’/g) = -Ky2
(h’’/h) = -Kz2
2
d f +k f =0
x
dx
d g +ky g=0
dy
d h+k h=0
z
dz
2
2
2
2
(2.3)
2
2
2
2
onde Kx2, Ky2, Kz2 são denominados constantes de separação.
A equação (2.2) impõe uma restrição sobre essas constantes, a soma delas deve
se +K02, isto é :
Kx2 + Ky2 + Kz2 = K02
Parâmetro K
Temos Ex = A.e-j(kx.x+ky.y+kz.z) como solução da equação diferencial de Helmholtz,
onde A é um fator de amplitude. Esta solução é a componente x de uma onda em
propagação no espaço, na direção especificada pelo vetor de propagação K
K = kx.ax + ky.ay + kz.az
O produto de K pelo vetor de posição r = x.ax + y.ay + z.az, é igual a kx.x + ky.y +
kz.z, que é K0 vezes a distância perpendicular da origem a um plano ao vetor K.
Sendo assim, K também pode ser escrito como K=n.k0, onde n é o vetor unitário
na direção de K, e K0 é a amplitude de K.
Parâmetro η o
As soluções parciais da equação de Helmholtz para propagações no espaço são
do tipo :
− j k.r
E = A .e
x
E = B .e
y
− j k.r
− j k.r
E = C .e
z
onde A, B, C são os coeficientes de amplitude. Se fizermos o vetor E0 = A.ax + B.ay +
C.az então podemos escrever a solução total E como sendo :
E = E0.e-j.K.r.
Sabemos que para o espaço livre
∇.E = 0, logo teremos:
∇ .E . e
-j.K.r
0
= − j.K.E0 . e
-j.K.r
K .E
o u se ja:
0
=0
=0
A sol ução total para o campo magnético H é obtida a par tir da eq uação de Ma x well
∂ B
∇ x E= -
∂
t
∂ H
)= − j.ω.µ .H
0
∂ t
1
1
-j.K.r
H=−
.∇ x E= −
. ∇ x E0 . e
j.ω.µ
j.ω.µ
∇ x E= µ (−
0
0
H=
1
.E x
j.ω.µ 0
0
∇ .e
-j.K.r
0
Da condiçã o de di vergência acima temos q ue
H=
∇ .e
-j.K.r
-j.K.r
=-j.K .e
1
-j.K.r
.K x E0.e
ω.µ
0
como K = n .k 0, temos q ue:
H=
K
.n x E=
ω.µ
0
ε .n x E, pois
k
µ
0
0
1
η
=ω
ε .µ
0
0
0
denominando η =
H=
0
ε
µ
0
temos q ue:
0
.n x E
0
η0 é chamado de impedância intrínseca de espaço livre.
Note que H é perpendicular a E e a n e, portanto, ambos H e E estão contidos no
plano de base constante. Por esta razão, este tipo de onda é chamada de onda
transversal eletromagnética (onda TEM).
O campo elétrico no domínio do tempo corresponde à notação fasorial da
equação
E = Re(E0.e-j.k.r + j.w.t) = E0.cos(k.r - w.t)
(2.4)
onde, para simplificar, E0 foi suposto real. O comprimento de onda é a distância que a
onda deve se propagar para experimentar uma mudança de fase de 2.π. Se fizermos λ0
representar o comprimento de onda em espaço livre, segue-se que :
|K|.λ0 = k0.λ0 = 2.π, de forma que
k
0
=ω
µε
0
0
=
ω 2π
=
c λ0
Este resultado é a conhecida relação entre comprimento de onda, frequência e
velocidade c no espaço livre. Um comprimento de onda em direção a outra, que não
aquela ao longo da direção de propagação n, pode também ser definido. Por exemplo,
ao longo da direção do eixo x, o comprimento de onda é :
λx = 2.π/kx
e uma vez que kx é menor que k0, λx será menor que λ0. A velocidade de fase é a
velocidade com qual um observador teria de se mover de modo a ver uma fase
constante. Da equação 2.4, observa-se que a fase de E é uma constante na medida em
que K.r-ω.t seja constante. Se o ângulo entre K e r é θ então K.r-ω.t = k0.r.cos(θ)-ω.t.
Diferenciando a relação :
k0.r.cos(θ)-ω.t = cte.
dr/dt = vp = ω/(k0.cos(θ))
para velocidade de fase vp no sentido r. Ao longo do sentido de propagação, cosθ = 1 e
vp=ω/k0. Em outras direções a velocidade de fase é maior do que c.
Quando a onda viaja de uma distância λ0 ao longo da distância n, a interseção do
plano de fase constate com o eixo deslocando-se de uma distância λu=λ0.sec(θ) ao
longo da direção u. Por esta razão, o comprimento de onda e a velocidade de fase ao
longo de u são maiores por um fator sec(θ), que as correspondentes velocidades
medidas ao longo da direção de propagação n.
Fisicamente uma onda plana uniforme não pode existir, pois ela se estende ao
infinito em duas dimensões e isto representa uma quantidade infinita de energia. O
campo distante de uma antena transmissora, contudo, é essencialmente uma onda
plana uniforme em uma região limitada.
Embora tenhamos considerado apenas a onda que varia senoidalmente no tempo
e no espaço, a solução pode ser generalizada para qualquer tipo de onda através da
série de Fourier quando estivermos tratando de ondas não periódicas.
1.5.2 Exercício de aplicação:
1.
Supor uma onda plana e uniforme com amplitude de 1000.ej.0 V/m propagando-se na
direção z com f=108 Hz em uma região condutiva tendo as constantes µ=µ0, ε=4.ε0 ,
δ/ω.ε=1.
(a)
Ache α, β e η para a onda
(b)
Ache o campo associado a H, e esboce a onda ao longo do eixo z para t=0
(c)
Ache a profundidade de penetração, o comprimento de onda e a velocidade de fase.
Compare λ e vp com seus valores em uma região sem perdas δ=0 para os mesmos valore de
µ e ε. Assuma somente as componentes Ex e Hy.
Resolução:
(a)
A atenuação α e fase β são obtidas a partir da cte. de propagação (γ)
δ
)
ω
γ pod e ser se pa r a d o e m u ma pa r t e r ea l e u ma i magi nár ia
γ = jω µ(ε − j
γ = α + jβ m -1
onde
α=
ω. µε
2
.[ 1 + (
1
δ 2
) − 1 ] 2 N p/m
ωε
ω. µε
1
δ 2
.[ 1 + ( ) + 1 ] 2 r a d/m
β=
ωε
2
δ
co m
= 1 µ = µ 0 = 4 π 10 − 7 H/m ε =4 ε 0 = 4 .8 ,854 .10 -12 F/m
ωε
ω =2 π .10 8 rad/s
α = 1 ,9 0 N p/m β = 4 ,58 r ad/m
A i m pedân cia i n t rín seca d e u m m eio co m per d as é:
µ
δ
)
j( 1 /2 )arctan(
ε
ωε
η=
=
.e
δ
δ
ε- j
[1 + ( ) 2 ]1/4
ω
ωε
j (π / 8 )
Ω
η = 159 . e
µ
(b)
O ca m po associad o a H é d ad o po r
E (z )
H y (z ) = x
= 6 , 29 . e − 1,9.z .e − j(4,58 z + π/8 ) A/m
η
(c)
A profundidade de penetração é dada por α-1 = 0,52 m que é a distância que a onda
deve percorrer para diminuir 36,8% de seu valor de referência (1000).
O comprimento de onda é obtido usando o valor de β
λ=2π/β = 1,5 m
Verifica-se ainda que a região condutiva tem o efeito de diminuir o λ. A velocidade
de fase na região condutiva é :
vp = ω/β = 1,37.10-8 m/s
Na região sem perdas:
vp = 1,5.10-8 m/s.
1.6 Reflexão em interface dielétrica e condutora
Equações dos Coeficientes de Reflexão e Transmissão
Para o equacionamento dos coeficientes de reflexão e transmissão
analisa-se esses efeitos para uma interface dielétrica, da qual pode-se analogamente,
utiliza-la para interface de condutores imperfeitos.
1.6.1 Reflexão em Interface dielétrica
Na figura 1 tem-se que o semi-espaço z ≥ é formado por um meio dielétrico
( permissividade ε, constante dielétrica relativa κ =
ε
e índice de refração η = κ ).
ε0
Supondo uma onda TEM incidindo na região z < 0, pode-se orientar os eixos xy de modo
r
que o vetor unitário n1 ( vetor de incidência ) esteja contido no plano xz.
Figura 1- Onda plana incidente na superfície de um dielétrico.
O problema é solucionado para dois casos distintos:
⇒ Polarização Paralela, o campo elétrico da onda incidente está situado no plano xz (
r
coplanar com n1 );
⇒ Polarização Perpendicular, o campo elétrico da onda incidente é perpendicular ao
r
plano xz, logo é ao longo do eixo y ( perpendicular a n1).
Os coeficientes de transmissão e reflexão calculados distintamente para
os dois casos resultam em valores diferentes. Para uma onda TEM incidente qualquer (
polarização arbitrária ) resolve-se o problema decompondo esta numa soma linear de
ondas polarizadas paralela e perpendicularmente.
1.1.a- Polarização Paralela
Observando a figura 1 tem-se que:
r
r
r
r
( onda TEM incidente )
E i = E1. e − j.κ0.n1.r
H i = Y0. n 1 x Ei
r
r
r
r
( onda TEM refletida )
E r = E 2 . e − j.κ0.n2 .r H r = Y0. n 2 x Er
r
r
r
r
E t = E 3 . e − j.κ0.n3.r
H t = Y0. n 3 x Et
( onda TEM transmitida )
onde:
κ0 = ω. µ 0 .ε 0
ε0
µ0
Y0 =
κ = ω. µ 0 .ε 0 = η. κ0
Y=
( parâmetros do espaço livre )
ε
= η. Y0
µ0
η. = κ
( parâmetros do meio dielétrico )
Deve-se destacar o fato de E1 estar contido no plano xz. Parte da potência
incidente será refletida e parte será transmitida para dentro do meio dielétrico.
Condições de Contorno:
No plano z = 0 da interface deve haver continuidade das componentes
tangenciais dos campos elétrico e magnético. Estas componentes devem ser contínuas
para todos os valores de x e y para z = 0, isto só é possível se os campos nos lados
adjacentes do contorno tiverem a mesma variação com x e y. Para isso deve-se ter:
r
r
r
r
κ0 . n1x = κ0 . n 2 x = κ0 . n 3x = η. κ0 . n 3x
r
r
r
( polarização paralela )
n1x = n 2 y = n 3z = 0
r
r
r
Os vetores unitários n 1, n 2, n 3 são expressos:
r
n 1 = âx.sen θ1 + âz.cos θ1
r
n 2 = âx.sen θ2 - âz.cos θ2
r
n 3 = âx.sen θ3 + âz.cos θ3
Como na direção x
r
r
κ0 . n1x = κ0 . n 2 x , então sen θ1 = sen θ2 ou θ1 = θ2.
Do mesmo modo,
r
r
κ0 . n1x = κ0 . n 3x , então sen θ1 = η.sen θ3.
Estas são as leis de Snell da reflexão e refração.
Com relação aos campos elétricos tem-se:
E1x = E1.cos θ1 , E1z = -E1.sen θ1 , E1y = 0
E2x = E2.cos θ2 , E2z = E2.sen θ2 , E2y = 0
E3x = E3.cos θ3 , E3z = -E3.sen θ3 , E3y = 0
Impondo-se a condição de contorno da continuidade da componente x em
z = 0, chega-se a:
E1.cos θ1 + E2.cos θ2 = E3.cos θ3
Fazendo:
cosθ3 = 1 − sen 2 θ3
( sen2 θ + cos2 θ =1 ),
e utilizando as leis de Snell chega-se a:
( E1 + E 2 ).cosθ1 = E 3 . 1 − sen θ3 = E 3
2
κ − sen 2 θ1
η
( 1° Condição de Contorno )
O campo magnético é dado por:
r
r
r
H1=Y0. n 1 x E1 = Y0.( -. n 1x.E1z + n 1z.E1x )ây = Y0.E1.ây
H2 = -Y0.E2.ây
H3 = -Y0.E3.ây
Observe que o campo magnético tem componente só na direção y (
perpendicular ao campo elétrico ).
A continuidade das componentes y para z = 0 resulta em:
Y0.( E1 - E2 ) = Y.E3 = η.Y0.E3
( 2° Condição de Contorno )
Os coeficientes de reflexão Γ e transmissão T são por definição:
campo
campo
campo
T=
campo
Γ=
elé trico refletido E 2
=
elé trico incidido E1
elé trico transmitido E 3
=
elé trico incidido
E1
Aplicando-se as duas condições de contorno chega-se a:
1

2

(κ − sen θ1 ) 2
1
Γ
T
+
=

1
1
η.cosθ1

1 − Γ1 = η. T1
( índice 1→ polarização paralela )
Resolvendo, obtém-se os coeficientes de transmissão e reflexão de
Fresnel para polarização paralela.
Γ1 =
T1 =
(κ − sen θ1
2
1
2
)
− κ.cosθ1
1
2
)
e
(κ − sen 2 θ1 + κ.cosθ1
2.η.cosθ1
(κ − sen θ1
2
1
)2
+ κ.cosθ1
O valor de θ1, onde o coeficiente de reflexão é nulo é chamado de ângulo
de Brewster. Nesta situação toda a potência incidente é transmitida para dentro do
dielétrico. Partindo da expressão de Γ1, esta situação ocorre para:
(κ − sen θ1
2
1
)2
= κ.cosθ1
Desenvolvendo chega-se ao valor do ângulo de Brewster:
1
 κ 2

θ1 = arc sen
 κ + 1
1.1.b- Polarização Perpendicular
Nesta situação o campo elétrico só terá componente na direção y. Assim
sendo os campos elétricos serão:
r
E 1 = E 1y
r
E 2 = E 2y
r
E 3 = E 3y
Como no caso anterior as condições de continuidade das componentes x
e y em z = 0 devem verificar, logo as leis de Snell aqui ainda são válidas. Assim sendo
as novas condições de contorno são:
E 1 + E2 = E3
( 1° Condição de Contorno )
Y0.( E1 - E2 ).cos θ1 = Y.E3.cos θ3
( 2° Condição de Contorno )
Aplicando-se novamente a definição de coeficiente de transmissão e
reflexão, as condições de contorno e resolvendo-se o sistema chega-se aos coeficientes
de transmissão e reflexão de Fresnel para a polarização perpendicular:
1
2
cosθ1 − (κ − sen θ1) 2
Γ2 =
1
(κ − sen 2 θ1 ) 2 + cosθ1
T2 =
e
2.cosθ1
1
(κ − sen 2 θ1 ) 2 + cosθ1
Neste caso não existe o ângulo de Brewster.
1.6.2 Reflexão em plano condutor
Figura 2- Onda plana incidente na superfície de um condutor.
Os campos incidentes e refletidos podem ser expressos quase da mesma
forma que no plano dielétrico:
r
r
E i = E1. e − j.κ0.z âx
H i = Y0 . E1. e − jκ0.z ây
r
r
E r = Γ. E1. e j.κ0.z âx H r = −Y0 . Γ. E1. e jκ0.z ây
Num meio condutor teremos que:
r
r
∇ 2 E − jω.σ. E = 0
Supondo que não há variação segundo x e y, o campo transmitido é uma
solução de:
(
∂2
r
j
).
E
ωµσ
−
=0
∂z 2
Para uma onda com só uma componente x e propagando-se ao longo do
eixo z, a solução é:
r
r
γ
1
Ht = −
∇xE t =
E 3e − γz â y
jωµ
jωµ
onde:
1
1+ j
γ = ( j.ω. µ.σ) 2 =
δ
A constante de propagação γ = α + jβ tem as constantes de atenuação e
de fase iguais ( α = β ). O δ é a profundidade de penetração e vale δ =
−1
 ω. µ.σ 2


 2 
.
No condutor os campos decaem de e-1 numa distância δ ( em freqüência
de microondas δ ≈ 10-7 m ).
A impedância intrínseca do metal Zm vale:
Zm =
j.ω. µ
=
γ
j.ω. µ
1
( j.ω. µ.σ) 2
=
1+ j
σ.δ
Para onda TEM num condutor, a razão entre o campo elétrico e o campo
magnético é a impedância intrínseca Zm.
Impondo-se as condições de contorno para campos tangenciais no plano
de separação de dois meios temos:
E3 = ( 1 + Γ ).E1 = T.E1
H3 =
(1 + Γ). E1 E3 T. E1
=
=
Z0
Zm
Zm
Donde obtemos:
Γ=
Z m − Z0
Z m + Z0
T = 1+ Γ =
2. Z m
Z m + Z0
Como Zm<< Z0, então Γ ≈ -1 e T ≈ 0. Quase toda a potência incidente é
refletida pela superfície metálica. Se a condutividade σ aumenta, Zm aproxima-se de
zero. No limite quando σ → ∞, teremos Γ = -1 e T = 0. Para um condutor perfeito ( caso
ideal ), o campo elétrico tangencial na superfície é nulo e o campo magnético tangencial
tem valor igual a duas vezes o da onda incidente. Isto é:
Caso Ideal ( σ → ∞ )
Zm = 0 δ = 0
Γ = -1
Pt = 0
E2 = -E1
E3 = 0
H3 = 2.H1
H2 = H1
r
A densidade de corrente no condutor é J que é igual a
r
J = σ. E1 = σ. T. E1â xe− yz
A corrente total por unidade de largura do condutor ao longo de y é:
∞
∞
r
r
σ. T. E1. â x
J = ∫ J . dz = σ. T. E1. â x ∫ e− yz. dz =
γ
0
0
Esse resultado pode ser representado de maneira mais simplificada com a
substituição de T na equação e substituindo γ por
r
J=
j. ω. µ
:
Zm
σ. T. E1
â
( Zm + Z0 ). jω. µ x
À medida que σ tende a infinito o valor da densidade de corrente tende a:
r 2. E1
J=
â = 2. Y0. E1.â x , uma vez que Zm → 0 e σ.Zm → j.ω.µ. Esta corrente só existe na
Z0 x
r
superfície do condutor desde que, com σ → ∞ e δ → 0. Nesta condição Γ=-1 e H =
r
2.Y0.E1.ây e igual em magnitude a J . Na forma vetorial , temos as seguintes condições
de contorno na superfície do condutor:
r r
nxE = 0
r r r
nxH = J
Para uma condutividade finita, a densidade de corrente na superfície é
σ.T.E1 e o campo magnético é Ym.T.E1. Considerando essas equações a densidade de
corrente por unidade de largura pode ser expressa por:
r
J = Ym.T.E1.âx, o que significa que a ela é igual ao campo magnético na superfície do
condutor.
A potência média transmitida para dentro do condutor por unidade de área
é dada pela parte real da metade do vetor de Poynting:
Pt =
r r
1
1
1
Re E × H*. â z = T. T*. E1. E1 * Re Ym = T. T * E1. E1 * σ.δ
2
2
4
Pode-se simplificar a equação considerando que :
σ. T. T* =
4.σ. Z m . Z m *
4.σ. Z m . Z m *
8
≈
≈
( Z m + Z 0 ).( Z m + Z 0 ) *
Z 02
σ.δ2 . Z 0 2
daí:
1 (2. Y0 . E1).(2. Y0 . E1*)
Pt ≈ .
2
σ.δ
Verifica-se que 2.Y0.E1 é o valor do campo magnético quando σ é infinito,
desta forma para avaliação de perda de potência em um condutor perfeito deve-se achar
o campo magnético tangencial ao mesmo e daí calcular a perda de potência com a
relação:
r r
rr
1
1
Pt = .Re( H t . H t *. Z m ) = .Re( J . J *. Z m )
2
2
Esse procedimento é muito usado para determinação de perda de
potência em microondas. Apesar de ser feita a dedução em considerações especiais ele
pode ser aplicado para estruturas mais complexas.
1.6.3- Exercício de aplicação
1- Uma onda plana uniforme em material não magnetizável E+(z) = 20.e-j.0,1.π.z.âx V/m ( z <
0 ) numa freqüência de 10 MHz, incide em um condutor perfeito em z = 0.
a- Encontre E ( t ) em z = -2 m
b- Encontre H ( t ) em z = -2 m
Solução
a- E ( t ) em z = -2 é soma dos sinais incidente e refletido, portanto:
E ( t ) = E+( t ) + E- ( t ), sabemos que E+ = -EE+( z ) = 20.e-j.0,1.π.z.âx e E-( z ) = -20.e-j.0,1.π.z.âx, portanto:
E( z ) = 20.( e-j.0,1.π.z - e+j.0,1.π.z ) âx
E( z ) = -j2.20.sen ( 0,1.π.z ) âx
Passando para o domínio também do tempo, teremos:
E ( z, t ) = Re [ E ( z ).ej.ω.t ]
= Re [-j2.20.sen ( 0,1.π.z ). ej.ω.t âx ]
= Re [ e-j90°.2.20.sen ( 0,1.π.z ). ej.ω.t âx ]
E ( z, t ) = 40.sen ( 0,1.π.z ). sen (ω.t) âx
então:
E ( -2, t ) = 40.sen ( 0,1.π.(-2) ). sen (2π.107.t) âx
E ( t ) = -23,5. sen (2π
π .107.t) âx V/m
b- H ( t ) para z = -2
Para encontrarmos a expressão de H ( z, t ), usamos o processo similar ao
de E (z, t ), com a diferença de que, como o campo magnético está defasado do elétrico
em 90°, em z = 0 as componentes se somam e H+ = H- e sua orientação é em ây, isso
resulta em um cosseno. ( Z0 = impedância intrínseca = 120.π )
H ( z, t ) =
para z = -2
H(t)=
40
.cos(0,1. π. z).cosω. t. â y
Z0
40
.cos(0,1. π.(−2)). cos 2π.10 7 . t. â y
120. π
H ( t ) = 0,0858.cos(2π
π .107.t) ây
A/m
2- Supondo que o campo elétrico incidente em uma superfície condutora de cobre seja
de 100 V/m e a sua freqüência seja de 10 kHz. Determine a profundidade nominal de
penetração, a impedância intrínseca do condutor e a corrente total por unidade de
largura. (Cobre ρ = 1,74.10-8 Ω.m e µ = 4.π. 10-7 H/m )
. ,7410
. −8
2. ρ
21
δ=
=
= 0,664.10−3
4
7
−
ω. µ
2. π.10 .4. π.10
δ = 0,664 mm
Zm =
r
J=
1 + j 1,7410
. −8 .(1 + j)
=
= 26,210
. −6 .(1 + j)Ω
−
3
σ.δ
0,66410
.
2.σ. Z m2 . E1
â = 0,53â x V / m
( Z m + Z 0 ). jω. µ x
* Obs: Existe uma parte imaginária igual a -j36,9.10-9 que é desprezível. Esse valor é
módulo como o campo incidente.