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Sobre um eixo horizontal AB estão
rigidamente montados uma polia C de diâmetro d, e
uma haste D de massa m 2 . Sobre a polia está
enrolado um cabo em cuja extremidade prende-se um
corpo E de massa m 1 . Na extremidade da haste D
adapta-se um cilindro F de massa m 3 e altura h. Na
posição de equilíbrio a haste forma um ângulo θ com
a vertical. São desprezados a massa da polia e do
cabo, considera-se o cabo inextensível e o eixo e a
haste não sofrem torções. Determinar:
a) O comprimento da haste;
b) Calcule o comprimento da haste para os seguintes
valores, m 1 = 200 kg, d = 60 cm, m 2 = 12 kg , m 3
= 100 kg, h = 20 cm e θ = 30 o.
Dados do problema
•
•
•
•
•
•
diâmetro da polia C:
massa do corpo E:
massa da haste D:
massa do cilindro F:
altura do cilindro F:
ângulo formado entre a vertical e o sistema haste+cilindro:
d;
m1 ;
m2 ;
m3 ;
h;
θ.
Esquema do problema
Adotamos que a aceleração da gravidade no local é igual a g.
Suponhamos que inicialmente a corda está enrolada na polia e o sistema
haste+cilindro está na vertical. Sob a ação da força peso P 1 o corpo de massa m 1 começa a
descer, a corda começa a desenrolar e faz girar a polia, que está rigidamente ligada a barra AB
onde passa a atuar o torque N 1.
figura 1
Com a rotação do eixo AB o sistema haste+cilindro começa a girar, considerando as
forças peso da haste e do cilindro, P 2 e P 3 respectivamente, aplicadas ao centro de massa de
cada corpo para que o sistema todo permaneça em equilíbrio estas forças deve gerar um
torque, N 2 + N 3 de mesmo módulo e direção e com sentido contrário ao torque N 1, de tal forma
que a somatória dos torques seja nula. Adotamos x como sendo o comprimento da haste a ser
determinado.
Solução
1
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a) O torque de uma força é dado por
N = r×F
(I)
No sistema da polia temos o vetor posição (r 1) dado pelo raio da polia e a força (F)
representada pela força peso devido à massa m 1 (P 1), conforme figura 2-A. Aplicando a
expressão (I), temos
N 1 = r 1×P 1
a força peso será dada por P 1 = m 1 g , substituindo na expressão acima
N 1 = r 1×m 1 g
N 1 = m 1 r 1×g
Aplicando a regra da mão direita para o produto vetorial (levando o vetor r 1 em direção
ao vetor g – figura 2-B) obtemos o vetor N 1 perpendicular a estes dois, figura 2-C.
figura 2
Os vetores r 1 e g são perpendiculares entre si, portanto, em módulo temos
N 1 = m 1 r 1 g sen
o raio da polia será r 1 =
π
2
d
π
e sen = 1 , então temos
2
2
N1 = m1
d
g
2
(II)
Na haste temos o vetor posição (r 2) e a força (F) representada pela força peso devido à
massa m 2 da haste (P 2), conforme figura 3-A. Aplicando a expressão (I), temos
N 2 = r 2 ×P 2
a força peso será dada por P 2 = m 2 g ,
substituindo na expressão acima
N 2 = r 2 ×m 2 g
N 2 = m 2 r 2 ×g
figura 3
2
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Aplicando a regra da mão direita para o produto vetorial (levando o vetor r 2 em direção
ao vetor g – figura 3-B) obtemos o vetor N 2 perpendicular a estes dois, figura 3-C.
Os vetores r 2 e g formam um ângulo θ entre si, portanto, em módulo temos
N 2 = m 2 r 2 g sen θ
o vetor posição r 2 localiza o centro de massa da haste, supondo que a haste seja homogênea
o centro de massa está na metade do comprimento, assim o módulo do vetor posição será
x
r 2 = , então temos
2
N2 =m2
x
g sen θ
2
(III)
No cilindro temos o vetor posição (r 3) e a força (F) representada pela força peso devido
à massa m 3 do cilindro (P 3), conforme figura 4-A. Aplicando a expressão (I), temos
N 3 = r 3 ×P 3
a força peso será dada por
P 3 = m3g ,
substituindo
na
expressão acima
N 3 = r 3 ×m 3 g
N 3 = m 3 r 3 ×g
Aplicando a regra da
figura 4
mão direita para o produto
vetorial (levando o vetor r 3 em direção ao vetor g – figura 4-B) obtemos o vetor N 3
perpendicular a estes dois, figura 4-C.
Os vetores r 2 e g formam um ângulo θ entre si, portanto, em módulo temos
N 3 = m 3 r 3 g sen θ
o vetor posição r 3 localiza o centro de massa do cilindro, supondo que a haste seja homogênea
o centro de massa está na metade da altura do cilindro somado ao comprimento x da haste,
h
assim o módulo do vetor posição será r 3 = x , então temos
2
N3 =m3

h
x
2

g senθ
(IV)
Para que o sistema permaneça em equilíbrio temos a condição
3
∑Ni =0
i=1
adotando o sentido do torque N 1 como positivo, temos
N 1 −N 2 −N 3 = 0
(V)
substituindo as expressões (II), (III) e (IV) em (V), obtemos


d
x
h
g −m 2 g sen θ−m 3
x g sen θ = 0
2
2
2
d
x
h
m 1 g−m 2 g sen θ−m 3 g sen θ−m 3 x g sen θ = 0
2
2
2
m1
3
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multiplicando toda a expressão por 2, temos
d
x
h
g−m 2 g sen θ−m 3 g sen θ−m 3 x g sen θ = 0
2
2
2
m 1 d g −m 2 x g senθ−m 3 h g senθ−2 m 3 x g sen θ = 0
m 1 d g −m 3 h g sen θ−x g sen θ  m 22 m 3  = 0
x sen θ  m 2 2 m 3  = m 1 d −m 3 h sen θ
m1
x=
 x 2
m 1 d −m 3 h senθ
 m 22 m 3  sen θ
b) Convertendo o diâmetro da polia e a altura do cilindro dados em centímetros (cm) para
metros (m) usado no Sistema Internacional (S.I.)
o
e lembrando que θ = 30 =
d = 60 cm .
1m
60
=
m = 0,6 m
100 cm 100
h = 20 cm .
1m
20
=
m = 0,2 m
100 cm
100
π
π
, então, sen = 0,5 , usando a expressão obtida no item (a) e
6
6
os valores dados, temos
200 . 0,6−100 . 0,2. sen
x=
 122 . 100  . sen π
6
120−20. 0,5
x=
 12 200  . 0,5
x = 1,04 m
4
π
6