UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
MATEMÁTICA BÁSICA II
TRIGONOMETRIA
Aula 03
Prof. Márcio Nascimento
[email protected]
2014.1
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Razões Trigonométricas do ângulo agudo.
Os triângulos A1OB1 , A2OB2 , A3OB3, etc., são
semelhantes. Daí
A
A4
�1�1 �2�2 �3�3

��1
=
��2
=
��3
=⋯
A2
A3
A1
O
α<90°
α
B1
B2
B3
B4
B
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Desta forma, dado um triângulo retângulo com ângulos
internos dados, existe uma relação que independe da
medida de seus lados
Chamaremos esta relação
de seno do ângulo α
A
��
��� � =
��
O
α
B
Usando triângulos pequenos, podemos fazer uma tabela
de senos.
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Hipotenusa, Catetos?
Hipotenusa: que se alonga
abaixo... No caso, abaixo do
ângulo reto.
Cateto: baixado, perpendicular.
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Aplicação: Cálculo do Raio da Terra.
A altura da torre (h) é conhecida;
O ângulo α entre a torre e a linha do
horizonte, é conhecido. Portanto o seu
seno também é conhecido.
�
��� � =
� +�
� = (� + �)� � � �
� − �.� � � � = �.� � � �
�.� � � �
�=
� − � � ��
Linha do
Horizonte
α
R
h
R
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Podemos definir outras duas relações num triângulo
retângulo que também independem das medidas dos lados
Chamaremos de cosseno do
ângulo α a seguinte relação:
��
��� � =
��
A
Chamaremos de tangente
do ângulo α a relação:
��
�� � =
��
O
α
B
B
A
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Relação Fundamental
Observe que:
2

�
�� + ��
=
���
�
A
Do Teorema de Pitágoras
�� � + �� � = ���
e
O
α
(� � � �)� + (��� �)� = �
B
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Tangente
Temos:
��
��
��� �
��
�� � =
=
=
��
��
��� �
��
O
α
A
B
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Outras relações
Seja d a medida da hipotenusa do triângulo AOB. Então
�� ��
��� � =
=
��
�
Isto é,
A
�� = � .� � � �
Analogamente,
d
� .� � � �
�� = � .��� �
O
α
� .��� �
B
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Proposição 1: Se dois ângulos α e β são complementares
(α+β=90°) então sen α = cos β, sen β=cos α e tg α = 1/tg β.
�
� � � � = = ��� �
�
�
��� � = = � � � �
�
�
�
�
�� � = = � =
�
�� �
�
β
a
b
α
c
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Utilidade da proposição 1: Para construir uma tabela de
senos e cossenos de ângulos entre 0° e 90°, precisamos
de cálculos efetivos apenas para o intervalo (0,45°)
Proposição 2:
(a)Se α ∈ (0°,45°) então
� � � � � = � .� � � �.��� �
(b) Se α ∈ (0°,90°) então
sen

a
1−cos a
=
2
2
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Prova da Proposição 2, parte (a):
B
Area  ΔBOC  =2 . Area  ΔBOA 
OC . BD
2
Area  ΔBOC  =
O
α
α
sen α
1
1 . sen2 α
2
cos α
s en
2 α
Area  ΔBOC  =
A
1
Area  ΔBOC  =
cos α . 2 senα
2
1. sen2 α cos α. 2 . sen α
=
 sen 2 α= 2 . cos α. senα
2
2
sen α
D
β
C
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Prova da Proposição 2, parte (b):
�� + �� = �
��� � � + ��.��� � = �
�� = � .� � ��
��� � = � � � �
O
α
α
��� � � + ��.��� � = �
��� � � + �� � � �.� � �� = �
�(� � � �)� = � − ��� ��
� − ��� ��
ඨ
�� �� =
�
B
sen α
1
cos α
A
cos
2α
sen α
D
β
C
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Ângulos Especiais: 30°, 60°
Considere um triângulo equilátero
A
ABC de lado 1.
30° 30°
1
Pelo Teorema de Pitágoras,
��� = ��� + ���
Ou seja,
B
60°
60°
D 1/2
� � = ��� + (�/ � )�
C
E portanto
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Ângulos Especiais: 30°, 60°
Observando as relações no
A
triângulo ADC, temos.
30° 30°
1
B
60°
60°
D 1/2
C
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Ângulos Especiais: 30°, 60°
Como 30° e 60° são ângulos
A
complementares, segue da
proposição 1 que
30° 30°
1
B
60°
60°
D 1/2
C
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Ângulos Especiais: 45°
C
45°
Isto é,
1
A
Considere um triângulo retângulo
isósceles de catetos medindo 1.
Pelo Teorema de Pitágoras,
1
45°
B
BC2=AB2+AC2
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Ângulos Especiais: 45°
C
Observando as relações no
triângulo ao lado, temos:
45°
1
A
1
45°
B
Trigonometria no Triângulo Retângulo
A Famosa Tabela
Ângulo
Seno
Cosseno
Tangente
30°
45°
60°
�
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Ângulos Especiais: 18°
Considere o triângulo isósceles ABC onde os lados iguais
medem 1 e o outro lado mede x.
C 72°
Considere a bissetriz do ângulo AĈB
O triângulo ADC é isósceles (dois
36°
36°
ângulos internos iguais)
1
�
Repare que os triângulos ABC e CDB
�
são semelhantes (ângulos internos
correspondentes (72°, 72º, 36º))
36°
�
D 72° 72° B
Assim,
A
�� ��
�
�
=
⇔ =
�� ��
� � −�
x
1
1-x
Trigonometria no Triângulo Retângulo
C
Ângulos Especiais: 18°
36° 36°
1
Daí, (1-x).1=x2
�
�
Ou seja,
�� + � − � = �
Que resulta em
A
36°
�
x
D
72°
72°
1-x
B
Trigonometria no Triângulo Retângulo
C
Ângulos Especiais: 18°
Voltando ao Triângulo inicial,
considere a altura AH relativa ao
lado BC.
O triângulo AHB é retângulo
18°
em H e HB=x/2
18°
Daí,
A
e pela Relação Fundamental,
36°
1
H
�/ �
1
B
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Ângulos Especiais: 9°, 36°, 72°
Basta usar a proposição 2:
Proposição 2:
(a) Se α ∈ (0°,45°) então
� � � �� = �.� � � �.��� �
(b) Se α ∈ (0°,90°) então
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Exercício: Encontrar seno, cosseno e tangente dos
ângulos:
9°, 36°, 72°