Autovalores do p-Laplaciano em Dimensão Um
Carlos Eduardo Guedes Belchior ([email protected])
Orientadora: Profa. Dra. Cláudia Buttarello Gentile ([email protected])
III Bienal da SBM - IME/UFG - 2006
Resumo
(18)
Λ0(u0(t)) = t = Id(t)
O Método de Shotting
Portanto, a solução - a qual é única por construção - de (13) é
Visa-se nesse trabalho à análise dos "autovalores" e "autovetores" do
p-laplaciano, ou seja, determinação de valores de um parâmetro λ para
os quais uma equação diferencial ordinária não-linear de segunda ordem possui soluções não-nulas. Para o desenvolvimento da pesquisa,
foi utilizado o chamado Método de "Shotting". É possível observar
relações existentes entre as seqüências de autovalores determinadas pelos problemas governados pelos operadores laplaciano e p-laplaciano,
respectivamente, assim como das autofunções associadas.
Objetivo
Construção das soluções do p-laplaciano com p > 2, e obtenção dos
"autovalores" referentes ao problema desta aplicação não-linear com as
condições de contorno de Dirichlet.
Analisaremos o seguinte problema com condições de fronteira:
0
0 0
p−2
(|u | u ) = f (u) em I = (0, 1)
(P )
u(0) = u(1) = 0
u0(t) = Λ−1
0 (t),
(3)
0
0
Denotemos ϕp(u ) := |u |p−2u .
0
0
0
|u |p−2u recebe a denominação de p-laplaciano 1-dimensional.
(I)
Φp(s) :=
Z s
0
ϕp(t)dt =
|s|p
p
0
0
;
F (s) :=
(II)
Z s
(
f (t)dt.
0
0
(4)
p
0 p−2 0 p∗−2 0 p−2 0 p∗= p−1
0
Φp∗ (ϕp(u )) = ϕp∗ (ϕp(u )) = |u | u
|u | u = u .
−∆u = −u = λu
(1)
√ 00
√
√ 0
√
√
−(sen λx) = −( λ cos λx) = −(−λsen λx) = λsen λx
e, analogamente,
√ 00
√
−(cos λx) = λ cos λx.
Além disso,
∀x
sen(x)
cos(x) sen(x) cos(x) W (x) = =
=
Dxsen(x) Dx cos(x)
cos(x) −sen(x)
sen(x)(−sen(x)) − cos(x) cos(x) = −(sen2(x) + cos2(x)) = −1 6= 0.
√
√
Como sen λx e cos λx são li - cf. Seção 3.3 de [1] -, então estas
são uma base do espaço de soluções de (1); ou seja, a solução geral da
edo (1) é dada
√ por:
√
u(t) = A cos λt + Bsen λt, A, B ∈ R, λ ≥ 0.
Consideremos o problema de se determinar uma solução u(t) da
equação (1) definida no intervalo (0, 1) ⊂ R e satisfazendo as condições
adicionais u(0) = u(1) = 0, conhecidas como condições de fronteira de
Dirichlet.
00
−u = λu em (0, 1)
(2)
u(0) = u(1) = 0
Temos:
0 = A cos(0) √
+ Bsen(0) = A e
0 = Bsen( λ) Como A =√ 0 e, para se ter solução não trivial
(não-nula), B 6= 0, então sen( λ) = 0.
Multiplicando (1) por u, obtemos
(I)
0
0
0
0
0
(II)
0
0
(5)
(6)
(Φp∗ ◦ ϕp)(u (t)) + F (u(t)) = C,
C∈R
Da atribuição (I) e conforme ϕp(u ) foi denotada, resulta
p−2 p∗
|s| s
=
|s|
(p−2)p
p−1
|s|
p
p−1
p∗
|s|p
= ∗
p
0
|u (t)|p
+ F (u(t)) = C.
∗
p
(8)
(9)
|u (0)|p
Encontramos C = p∗ . Desta forma, (9) fica
0
0
p
∗
|u (t)| + p F (u(t)) = |u (0)|p
Esta última é a equação de equação de energia associada a (P).

0
0 0
p−2

 −(|u | u ) = f (u) em I = (0, 1)
(Pα) u(0) = 0

 u0 (0) = α 6= 0
0
(10)
(11)
1/p
p
∗
u (t) = α − p F (u(t))
(13)
u(0) = 0
1/p
p
∗
G(x) = α − p F (x)
define uma função par contínua.
Denotemos o primeiro zero positivo de
2dt
(u
(t))
>0
λ = R01
2
0 (u(t)) dt
√
∗, e os autovaloAssim, as soluções serão √
da forma Bsen(
λt),
B
∈
R
√
res λ serão tais que sen λ = 0, i.e, λ = kπ, k ∈ N∗. Deste modo,
as soluções estarão dadas por
uk (t) = Bsen(kπt),
(14)
pelo que G(x) > 0
∀x ∈ (−S(α), S(α)).
Seja agora u0 uma solução de (13), então
0
u0(t)
= 1,
G(u0(t))
Considere
u0(t) ∈ (−S(α), S(α)).
(15)
Z t
dτ
Λ0 : [−S(α), S(α)] −→ R, Λ0(t) :=
, definindo
0 G(τ )
Λ0(S(α)) = θ(α). Como conseqüência, Λ0(−S(α)) = −θ(α).
1
Λ0(t) =
> 0 em (−S(α), S(α)),
G(t)
0
u0(t)
0
0
0
1=
= Λ0(u0(t))u0(t) = (Λ0 ◦ u0) (t)
G(u0(t))
0 0
p−2
−(|u | u ) = λ|u|p−2u em I = (0, 1)
u(0) = u(1) = 0
Nestes termos,
Z 1
Z 1
(24)
dt
0 (1 − tp)1/p
πp
dt
1/p
:= (p − 1)
.
1/p
p
2
0 (1 − t )
λ1/p = kπp, k ∈ N∗
" Z
1
λk (p) = (kπp)p = k p(p − 1) 2
(25)
dt
uk (t) = Csenp(kπpt), C ∈ R∗.
#p
(26)
(27)
0 < λ1(p) < λ2(p) < ... < λk (p) < ...,
e as autofunções uk tem (k − 1) zeros no interior do intervalo [0, 1].
Bibliografia
[1] Boyce, W. E. e Di Prima, R. C., Equações Diferenciais Elementares
e Problemas de Valores de Contorno, Ed. Guanabara Koogan, Rio de
Janeiro, 1994 (5.a edição).
[2] Iriarte, Edson A. A., Multiplicidad de soluciones para el plaplaciano 1-dimensional, monografia, Universidad Mayor de San
Simón, Cochabamba, Bolívia, 1996.
[3] Sotomayor, J., Lições de equações diferenciais ordinárias, Projeto
Euclides, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1979.
Apoio
(16)
De (15) e (16), resulta
0
0
Pode-se constatar interessantes semelhanças entre o caso regido pelo plaplaciano e o problema de autovalores referente ao laplaciano, apesar
destes serem distintos em sua essência.
por S(α). Dessa forma,
cada uma delas correspondendo ao autovalor λk = k 2π 2, k ∈ {1, 2, ...}.
Conclusão
x 7→ αp − p∗F (x)
αp
F (S(α)) = ∗ ,
p
(23)
Observação. Bem como no caso do laplaciano, os autovalores λk (p)
do p−laplaciano formam uma sucessão crescente de números positivos
(12)
0
t ∈ [θ(α), 3θ(α)].
denotará o k−ésimo autovalor do p-laplaciano.
|u (t)|p + p∗F (u(t)) = αp
0
u(2θ(α)) = 0
0 (1 − tp)1/p
0
Escolhendo u (0) = α > 0, a equação de energia associada a (Pα) será
1 R 1 0 0 R 1 0 2
− u u dt =
−u
udt
=
−
(u
u)
0
0 u (t) dt
0
0
k
2
R1 2
R1
0 λu dt = λ 0 u(t) dt
(22)
λ1/p = 2k(p − 1)1/p
0
(
1/p
p
∗
u (t) = − α − p F (u(t))
0
O problema (P ) terá solução se ∃α ∈ (0, ∞) tal que θ(α) =
1 , para algum k ∈ N∗.
2k
(7)
0
0
R1
0
0
p∗
(21)
A função Λ1 : [−S(α), S(α)] → R definida por
Z t
dτ
Λ1(t) = −Λ0(t) = −
0 G(τ )
(Pλ)
(Φp∗ ◦ ϕp)(s) =
u0(θ(α)) = u0(−θ(α)) = 0.
u1(t) = Λ−1
1 (t − 2θ(α)),
Por (4) e (6),
e, integrando por partes entre 0 e 1,
Disto,
0
0
(F (u)) = f (u)u
−u u = λu2
00
0
−(ϕp(u )) u = (ϕp(u )) Φ∗(ϕp(u )) = [Φp∗ (ϕp(u ))]
00
R1
0
0
é tal que, se u1 é solução de 22, então
A equação (4) é equivalente a
0
(20)
0
−(ϕp(u )) u = f (u)u
0
00
u0(θ(α)) = S(α) e u0(−θ(α)) = −S(α)
0
EDO linear de 2.a ordem
Consideremos a seguinte equação diferencial ordinária de 2.a ordem:
De Λ0(S(α)) = θ(α) e Λ0(−S(α)) = −θ(α) obtemos que
com p > 2 e f : R → R uma função ímpar contínua satisfazendo a
condição de sinal xf (x) > 0 para x 6= 0.
0
(19)
t ∈ [−θ(α), θ(α)].
(17)