TURMA DO M˘RIO
TEORIA DOS CONJUNTOS
Entes Primitivos
Conjunto é uma idéia associada à coleção de objetos ou grupo. Não existe uma definição precisa,
mas mesmo assim todos os seres racionais possuem intuitivamente a noção do significado de conjunto. Um
conjunto qualquer é formado por objetos, estes também denominados de elementos.
Representação de um Conjunto
Existem várias maneiras de representar um conjunto, dentre as quais se destacam três, ou seja:
•
Através de diagramas (curvas fechadas) contendo os elementos em seu interior:
A
a
e
diagrama
i
o
•
u
Através da nomeação de seus elementos, escritos entre chaves, e o mesmo (conjunto) representado
por uma letra maiúscula.
A = {a, e, i, o, u}
•
Através de uma propriedade característica de seus elementos:
A = {vogais do alfabeto}
ou
A = {x / y é vogal}
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Relação de Pertinência
Dados um conjunto A e um elemento x qualquer, existe uma relação primitiva entre os mesmo,
denominada relação de pertinência que verifica uma e uma só entre as possibilidades seguintes:
•
O elemento X integra os elementos que constituem o conjunto A, ou seja:
x∈A
(x pertence a A)
•
O elemento x não integra os elementos que constituem o conjunto A, ou seja:
x∉ A
(x não pertence a A)
Conjunto Vazio
Um conjunto que não possui elementos é dito conjunto vazio e é representado por:
∅ ou { }
Observação: {∅} ≠ ∅
Subconjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se
então que A é um subconjunto de B, ou seja:
A ⊂ B
(A está contido em B)
Se, porém, isto não ocorrer, então A não é subconjunto de B, ou seja:
A ⊄ B
(A não está contido em B)
B
A
A ⊄ B
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A
B
A ⊂ B
•
Todo conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja, A ⊂ A
•
O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto.
•
Dizer que “o conjunto A está contido no conjunto B” (A ⊂ B) é equivalente a dizer que o
“conjunto B contém o conjunto A” (B ⊃ A)
•
Um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A.
União de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por
A ∪ B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou a B:
A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo:
A = {0; 1; 2; 3}
B = {2; 4; 5}
A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
Observações:
A ∪ ∅=A
A ∪ A=A
Visualização
A
B
(A ∪ B: os conjuntos A e B não possuem elementos em comum)
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A
B
(A ∪ B: os conjuntos A e B possuem elementos em comum)
A
B
(A ∪ B: o conjunto B é o subconjunto de A. Logo A ∪ B = A)
Intersecção de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado
por A ∩ B, formado por todos os elementos que pertencem a A e a B simultaneamente:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Exemplo:
A = {0; 1; 2; 3}
B = {2; 4; 5}
A ∩ B = {2}
Observações:
A ∩ ∅=∅
A ∩ A=A
Visualização
A
B
(A ∩ B = ∅ : os conjuntos A e B não possuem elementos em comum)
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A
B
(A ∩ B: os conjuntos A e B possuem elementos em comum)
A
B
(A ∩ B = B: o conjunto B é subconjunto de A)
Diferença de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto
representado por A – B, formado por todos os elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B:
A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo:
A = {0; 1; 2; 3}
B = {2; 4; 5}
A – B = {0; 1; 3}
B – A = {4; 5}
Observações:
A–A= ∅
A− ∅ =A
∅−A= ∅
A–B≠B–A
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Visualização
A
B
(A – B = A : os conjuntos A e B não possuem elementos em comum)
A
B
(A – B: os conjuntos A e B possuem elementos em comum)
A
B
(A – B: o conjunto B é o subconjunto de A)
Resumo Importante
A ∩ A =A
A ∪ A=A
A∩ ∅ = ∅
A ∪ ∅=A
A − ∅=A
∅ − A=∅
∅ ⊂ A
∅={ }
A−B ≠ B−A
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TEORIA DOS CONJUNTOS
01. Em cada diagrama a seguir represente o que se pede:
a) A ∩ B ∩ C
A
B
C
b) (A – B) – C
A
B
C
c) A – (B – C)
A
B
C
d) (A – C) ∩ (B – C)
A
B
C
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e) (A – C) ∪ (B – C)
A
B
C
02. A partir de o diagrama a seguir determine:
A
1
2
7
9
4
8
6
3
13
B
12
5
14
11
10
C
a) A ∩ B ∩ C =
b) A – B =
c) (A ∪ B) ∩ C =
d) (A – C) ∩ (B – C) =
e) (A – C) ∪ (B – C) =
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03. Sendo A = {0; 1; 2} e B = {0; 1; 2; {1; 2}} assinale as afirmações verdadeiras:
a) A ∪ B = B
b) A ∩ B = A
c) {1}∈ B
d) {1}⊂ B
e) {1, 2}⊂ B
f) {1, 2} ∈ B
g) {1, 2}∈ A
h) ∅ ∈ A
i) ∅ ⊂ A
j) {{1, 2}}⊂ A
h) {{1, 2}} ⊂ A
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
04. (PUC – PR) – Dados os conjuntos
A = {1; 4; 7; 10; 13} e B = {2; 4; 6; 8; 10; 12} podemos afirmar que:
a) A é subconjunto de B
b) B é subconjunto de A
c) a intersecção de A e B é vazia
d) a intersecção de A e B é não vazia
e) n.d.a.
05. (CEFET – PR) Sendo A = {0; 1; 2; 3}, B = {2; 3; 4; 5} e C = {4; 5; 6; 7}, então o conjunto (A – B) ∩ C
é:
a) {0; 1}
b) {2; 3}
c) {6; 7}
d) {4; 5}
e) ∅
06. (OSEC – SP) – Dados os conjuntos A = {a; b; c}, B = {b; c; d} e C = {a; c; d; e;}, o conjunto (A – C) ∪
(C – B) ∪ (A ∩ B ∩ C) é:
a) {a; b; c; e}
b) {a; c; e}
c) A
d) {b; d; e}
e) n.d.a.
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07. (FATEC – SP) – Se A = {2; 3; 5; 6; 7; 8}, B = {1; 2; 3; 6; 8} e C = {1; 4; 6; 8}, então:
a) (A – B)
b) (B – A)
c) (A – B)
d) (B – A)
e) n.d.a.
∩
∩
∩
∩
C = {2}
C = {1}
C = {1}
C = {2}
08. (CEFET – PR) – Observando o diagrama a seguir, podemos afirmar que a alternativa falsa é:
a) A ∩ B = {1; 8}
b) A ∪ C = {1; 3; 5; 6; 8; 10; 15}
c) A ∩ B ∩ C = {1; 3; 8}
d) (A ∩ B) ∪ B = {−1; 1; 2; 3; 4; 8}
e) B ∩ C = {1; 3}
A
5
8
6
1
10
B
-1
4
2
3
15
C
09. (ACAFE – SC) – Se M = {1; 2; 3; 4; 5} e N são conjuntos tais que M ∪ N = {1; 2; 3; 4; 5} e M ∩ N =
{1; 2; 3}, então o conjunto N é:
a) vazio
b) impossível de determinar
c) {4; 5}
d) {1; 2; 3}
e) {1; 2; 3; 4; 5}
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10. (OSEC – SP) – Sejam A e B conjuntos quaisquer A ∪ B = A ∩ B, se, e somente se:
a) A = ∅
b) A ⊃ B
c) A ⊂ B
d) A ⊃ B ou B ⊃ A
e) A ⊂ B e B ⊂ A
11. (UNESP – SP) – Suponhamos que:
A ∪ B = {a; b; c; d; e; f; g; h}
A ∩ B = {d; e}
A − B = {a; b; c}
Então:
a) B = {f; g; h}
b) B = {d; e; f; g; h}
c) B = {a; b; c; d; e}
d) B = {d; e}
e) B = ∅
12. (UFGO) – Nas sentenças abaixo, assinalam-se com V as sentenças verdadeiras e com F, as falsas
I) {2} ∈ {0; 1; 2}
II) ∅ ⊂ {5; 6; 7}
III) ∅ ∈ {∅; 4}
IV) 5 ∈ {3; {5; 1} ; 4}
V) {5; 6} ⊃ {5; 6; 7}
Nesta ordem, a alternativa correta é:
a) F, V, V, F, F
b) V, F, F, V, F
c) F, V, V, F, V
d) V, F, F, V, V
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13. (PUC – PR) – Associe V ou F a cada uma das seguintes afirmações, conforme ela seja verdadeira ou
falsa:
1. a ∈ {a}
2. A ∪ A = A ∩ A
3. {a}∈ {a; b}
4. ∅ ⊂ {∅}
Nesta ordem tem-se:
a) VVFV
b) VVFF
c) VVVF
d) VFVV
e) VFFF
14. (PUC – RS) – Se A, B e A ∩ B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o
número de elementos do conjunto A ∪ B é:
a) 10
b) 70
c) 85
d) 110
e) 170
15. (MACK – SP) – Seja o conjunto A = {3; {3}} e as proposições:
(1) 3 ∈ A
(2) {3} ⊂ A
(3) {3} ∈ A
então:
a) apenas (1) e (2) são verdadeiras
b) apenas (2) e (3) são verdadeiras
c) apenas (1) e (3) são verdadeiras
d) todas as proposições são verdadeiras
e) nenhuma proposição é verdadeira
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16. (PUC – PR) – A região assinalada no diagrama representa:
a) (A ∩ B) ∪ C
b) (A − B) ∪ (B − C)
c) (A − B) ∩ (C − B)
d) (A − C) ∩ (B − C)
e) (A ∩ C) − (B ∩ C)
A
B
C
17. (MACK – SP) – Sendo A = {{1}; {2}; {1; 2}} pode-se afirmar que:
a) {1} ∉ A
b) {1} ⊂ A
c) {1} ∩ {2} ⊄ A
d) 2 ∈ A
e) {1} ∪ {2} ∈ A
18. (FATEC – SP) – Se A = {0; 1} B = {{1}; {0; 1}} e C = {0; 1; {1}; {0; 1}}, então:
a) A ⊂ B
b) A ∩ B = {0; 1}
c) A – B = ∅
d) C – (A ∪ B) ⊄ B
e) (A ∩ C) ∈ B
19. (CESCEM – SP) – Se A = { ∅ ; 3 : {3}; {2; 3}}, então:
a) {2; 3}⊂ A
b) 2 ∈ A
c) ∅ ∈ A
d) 3 ⊂ A
e) {3} ∈ A
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20. (PUC – SP) – Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}}, podemos afirmar que:
a) B ⊂ A
b) A = B
c) A ∈ B
d) a = A
e) {A} ∈ B
21. (CATANDUVA – SP) – Dado o conjunto A = { ∅ , {a}, b} com {a} ≠ b ≠ a ≠ 0, pode-se afirmar que:
a) {∅, {b}} ⊂ A
b) {∅, {a}} ⊂ A
c) {∅, a} ⊂ A
d) {a; b} ⊂ A
e) ∅ ∉ A
22. (VUNESP) – Se
A = {x ∈ IN / x = 4 · n, com n ∈ IN}
B = {x ∈ IN * /
20
= n, com n ∈ IN}
x
então o número de elementos de A ∩ B é:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
e) impossível calcular.
23. (EPUSP) – Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
(1) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
(2) quando chove de manhã, não chove à tarde;
(3) houve 5 tardes sem chuva;
(4) houve 6 manhãs sem chuva.
Então n é igual a:
a) 7
b) 9
c) 10
d) 11
e) n.d.a.
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GABARITO – TEORIA DOS CONJUNTOS
A
01. a)
B
C
b)
A
B
C
A
c)
B
C
d)
A
B
C
e)
A
B
C
02.
a) A ∩ B ∩ C = {8; 5}
b) A − B = {1; 2; 7; 9; 6}
c) (A ∪ B) ∩ C = {9; 6; 8; 5; 11}
d) (A − B) ∩ (B − C) = {3; 4; 12}
e) (A − C) ∪ (B − C) = {1; 2; 7; 3; 4; 12; 13; 14}
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03. a) ( V )
b) ( V )
c) ( F )
d) ( V )
e) ( V )
f) ( V )
g) ( F )
h) ( F )
i) ( V )
j) ( F )
k) ( V )
04. Letra D
05. Letra E
06. Letra A
07. Letra B
08. Letra C
09. Letra D
10. Letra E
11. Letra B
12. Letra A
13. Letra A
14. Letra D
15. Letra D
16. Letra D
17. Letra E
18. Letra E
19. Letra E
20. Letra E
21. Letra B
22. 02
23. Letra B
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