Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA ESPACIAL II
1 – POLIEDROS
Na Geometria Espacial, como o nome diz, o
nosso assunto são as figuras espaciais (no espaço).
Vamos estudar sólidos e corpos geométricos que
possuem três dimensões.
Uma definição importante é a de poliedro.
Poliedros são sólidos delimitados por polígonos tais
que cada lado pertença a exatamente dois polígonos
e dois polígonos com um lado comum nçao estão no
mesmo plano. Alguns exemplos famosos são o cubo e
o octaedro.
Cubo:
Figura 3 –poliedro convexo e poliedro não-convexo
3.2 – Quanto ao número de faces
Octaedro:
De acordo com o número de faces, os
políedros podem receber as seguintes denominações:
Nomenclatura
4 faces
5 faces
6 faces
7 faces
8 faces
9 faces
10 faces
11 faces
12 faces
20 faces
Figura 1 – exemplos de poliedros
2 – ELEMENTOS
Os elementos de um poliedro são as faces (os
polígonos que limitam o poliedro), arestas (lados dos
polígonos) e vértices (vértices dos polígonos), como
está ilustrado na figura abaixo.
Tetraedro
Pentaedro
Hexaedro
Heptaedro
Octaedro
Eneaedro
Decaedro
Undecaedro
Dodecaedro
Icosaedro
4 – POLIEDROS REGULARES
Os poliedros regulares são os poliedros em
que todas as faces são polígonos regulares e
congruentes e de todos os vértices saem a mesma
quantidade de arestas. Existem apenas 5 destes:
4.1 – Tetraedro regular
Figura 2 – elementos de um poliedro
Figura 4 – tetraedro regular e sua planificação
3 – CLASSIFICAÇÃO
As faces do tetraedro regular são
equiláteros.
3.1 – Quanto à região
triângulos
Um poliedro é convexo quando dados
quaisquer dois de seus pontos, o segmento de reta
que os une está contido no poliedro. Em caso
contrário, o poliedro é não-convexo.
CASD Vestibulares
Geometria
1
4.2 – Hexaedro regular (cubo)
5 – RELAÇÃO DE EULER
Em um poliedro convexo, sejam o número de
vértices,
o número de faces e
o número de
arestas. Então, tem-se:
Observação: A soma dos ângulos de todas as faces
(
)
de um poliedro convexo é
Figura 5 – hexaedro regular e sua planificação
As faces do hexaedro regular são
Exercício Resolvido 1:
quadrados
No cubo abaixo, identifique:
4.3 – Octaedro regular
a) Os vértices do cubo
b) As arestas do cubo
c) As faces do cubo
d) Os valores de , e
Figura 6 – octaedro regular e sua planificação
As faces do octaedro regular são
equiláteros
triângulos
A
Resolução:
Os vértices do cubo são os pontos:
Figura 7 – dodecaedro regular e sua planificação
As faces do dodecaedro regular são
pentágonos regulares
4.5 – Icosaedro regular
As arestas do cubo são os segmentos:
As faces do cubo são os polígonos:
Figura 8 –icosaedro regular e sua planificação
As faces do icosaedro regular são
equiláteros
triângulos
2
Geometria
CASD Vestibulares
12. (UFC - 04) Um poliedro convexo só tem faces
triangulares e quadrangulares. Se ele tem
arestas e
vértices, então, o número de faces triangulares é:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. Atividade Proposta nº 2, Geometria Espacial II
a)
b)
c)
d)
e)
2. Atividade Proposta nº 7, Geometria Espacial II
13. Atividade Proposta nº 6, Geometria Espacial II
3. Atividade Proposta nº 10, Geometria Espacial II
14. (UFJF - 07) A figura a seguir representa a
planificação de um poliedro convexo.
4. (ENEM - 10) Para confeccionar, em madeira, um
cesto de lixo que comporá o ambiente decorativo de
uma sala de aula, um marceneiro utilizará, para as
faces laterais, retângulos e trapézios isósceles e, para
o fundo, um quadrilátero, com os lados de mesma
medida e ângulos retos.
Qual das figuras representa o formato de um cesto que
possui as características estabelecidas?
O número de vértices deste poliedro é:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
e)
15. (UEPG - 10) Dado que um poliedro convexo tem
faces pentagonais, faces quadrangulares e faces
triangulares, assinale o que for correto.
e)
5. Atividade Proposta nº 9, Geometria Espacial II
01) Se o número de vértices do poliedro é
, então
6. (UPE - 11) Um poliedro convexo possui
(oito)
faces,
todas triangulares.
Nestas condições,
assumindo que tal poliedro exista, o número esperado
de vértices para este será
02) Se o número de faces do poliedro é
, então
a)
b)
c)
d)
e)
7. (UFC - 08) O número de faces de um poliedro
convexo com
vértices e com todas as faces
triangulares é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Nível II
04) O menor valor possível para é
08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do
poliedro é
, então
16) Se o número de arestas do poliedro é
, então
16. (UFPR - 12) Todas as faces de um cubo sólido de
aresta
foram pintadas de verde. Em seguida, por
meio de cortes paralelos a cada uma das faces, esse
cubo foi dividido em cubos menores, todos com aresta
. Com relação a esses cubos, considere as
seguintes afirmativas:
10. (UECE - 14) Um poliedro convexo tem
faces,
sendo
hexágonos e
pentágonos. O número de
vértices deste polígono
1. Seis desses cubos menores terão exatamente uma
face pintada de verde.
2. Vinte e quatro desses cubos menores terão
exatamente duas faces pintadas de verde.
3. Oito desses cubos menores terão exatamente três
faces pintadas de verde.
4. Um desses cubos menores não terá nenhuma das
faces pintada de verde.
a)
Assinale a alternativa correta.
8. Atividade Proposta nº 4, Geometria Espacial II
9. Atividade para Sala nº 4, Geometria Espacial II
b)
c)
d)
11. Atividade para Sala nº 2, Geometria Espacial II
CASD Vestibulares
a) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.
Geometria
3
7. Sejam o número de vértices, o número de faces
e o número de arestas. Então, tem-se:
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. Sejam
e
o
o número de vértices, o número de faces
número de arestas. Então, tem-se:
Da relação de Euler, tem-se:
Como as
faces são triangulares, e cada aresta
pertence a duas faces, tem-se:
Da relação de Euler, tem-se:
(
)
2. Sejam o número de vértices, o número de faces
e o número de arestas. Então, tem-se:
8. Sejam o número de vértices,
o número de faces
triangulares,
o número de faces quadrangulares, o
número total de faces e o número de arestas. Então:
Como cada aresta pertence a duas faces, tem-se:
Da relação de Euler, tem-se:
3. No octaedro regular, cada vértice pertence a faces.
Como cada face é um triângulo equilátero, em torno de
cada vértice, há ângulos de
. Logo, a soma dos
ângulos em torno de cada vértice é
4. Como o fundo do cesto deve ser um quadrilátero
com os lados de mesma medida e ângulos retos, o
fundo do cesto deve ser um quadrado. Os únicos
cestos que têm um fundo quadrado são os cestos das
letras a), c) e e). Além disso, as faces laterais do cesto
devem ser trapézios isósceles ou retângulos. Entre as
letras a), c) e e), o único cesto que possui trapézios
isósceles como faces laterais é o cesto c).
5. A cada face triangular do poliedro, corresponde um
vértice do cubo, e a cada face quadrada do poliedro,
corresponde uma face do cubo. Como o cubo possui
vpertices e
faces, o poliedro possui
faces
triangulares e faces quadradas.
6. Sejam o número de vértices, o número de faces
e o número de arestas. Então, tem-se:
Como as
faces são triangulares, e cada aresta
pertence a duas faces, tem-se:
Da relação de Euler, tem-se:
9. Sejam o número de vértices,
o número de faces
pentagonais,
o número de faces hexagonais,
o
número total de faces e o número de arestas. Então:
Como cada aresta pertence a duas faces, tem-se:
Da relação de Euler, tem-se:
Note que o número de átomos
nessa´molécula é o número de vértices
de
carbono
Da relação de Euler, tem-se:
4
Geometria
CASD Vestibulares
10. Sejam
o número de vértices,
o número de
faces pentagonais,
o número de faces hexagonais,
o número totalde faces e
o número de arestas.
Então:
13. Sejam
o número de vértices dos quais partem
arestas,
o número de vértices dos quais partem
arestas,
o número de vértices dos quais partem
arestas, o número total de vértices, o número de
faces e o número de arestas. Então
Como cada aresta pertence a duas faces, tem-se:
Da relação de Euler, tem-se:
Da relação de Euler, tem-se:
Como cada aresta liga dois vértices, tem-se:
faces, tem-se:
(
11. Sejam
o número de vértices,
o número de
faces triangulares,
o número de faces
quadrangulares,
o número total de faces e
o
número de arestas. Então:
)
14. Sejam
o número de vértices,
o número de
faces triangulares,
o número de faces
quadrangulares,
o número total de faces e
o
número de arestas. De acordo com a planificação do
poliedro, o poliedro possui
faces triangulares e
faces quadrangulares. Então,
Como cada aresta pertence a duas faces, tem-se:
Como cada aresta pertence a duas faces, tem-se:
Da relação de Euler, tem-se:
(
)
(
)
12. Sejam
o número de vértices,
o número de
faces triangulares,
o número de faces
quadrangulares,
o número total de faces e
o
número de arestas. Então:
Da relação de Euler, tem-se:
Da relação de Euler, tem-se:
Como cada aresta pertence a duas faces, tem-se:
(
CASD Vestibulares
)
Geometria
5
15. Sejam
o número de vértices,
o número de
faces triangulares,
o número de faces
quadrangulares,
o número de faces pentagonais,
o número total de faces e o número de arestas:
01) Se o número de vértices do poliedro é
16.
cubos terão apenas uma face pintada de verde
,
cubos terão três faces pintadas de verde.
Da relação de Euler, tem-se:
(
)
Como cada aresta pertence a duas faces, tem-se:
(
)
Só o cubo central não terá faces pintadas de verde.
02) Se o número de faces do poliedro é
04) Se
tem-se:
,
, como cada aresta pertence a duas faces,
GABARITO
(Absurdo!)
08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do
poliedro é
, tem-se:
(
)
1. C
2. D
3. B
4. C
Da relação de Euler, tem-se:
5. B
(
)
6. E
Como cada aresta pertence a duas faces, tem-se:
(
)
7. E
8. D
9. C
10. C
16) Se o número de arestas do poliedro é
,
Da relação de Euler, tem-se:
11. D
12. E
(
)
13. C
14. A
Como cada aresta pertence a duas faces, tem-se:
15. As afirmativas verdadeiras são 01), 02), 08), 16)
16. C
6
Geometria
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